UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
VICERRECTORADO ACADEMICO
SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO
AREA DE MATEMÀTICA
PLAN DE CURSO
I. Identificación
Nombre: Introducción a los Sistemas Dinámicos Discretos
Código: 775
U.C: 6
Carrera: Licenciatura en Matemática
Código: 126
Semestre
VII
Prelaciones: Ninguna
Requisito:
100 U.C.
Autor:
Profesor Alfredo Espejo
Asesoría en Diseño Académico: Profa wendy Guzman
FUNDAMENTACIÓN
El curso Introducción a los Sistemas Dinámicos Discretos es un curso de
carácter electivo que responde al ajuste curricular de la nueva carrera de
Matemática. Está orientado al estudio introductorio de los Sistemas Dinámicos
Discretos, y orientará al estudiante en los siguientes aspectos:
1. La comprensión del comportamiento dinámico de las funciones
continuas de variable real y de variable compleja.
2. La introducción del concepto de Caos en un sistema dinámico
discreto.
3. La aplicación de los sistemas dinámicos, para resolver
problemas matemáticos y de otras ciencias como la biología y la
economía
El estudio de las propiedades dinámicas de un sistema, se remonta a la época
de Newton. La filosofía científica de principios del siglo XVIII, se interesaba por
el movimiento mecánico y por las leyes que lo regían. Uno de los problemas
más estudiados es el comportamiento del movimiento de un número finito de
cuerpos sometidos a las fuerzas gravitatorias. Este problema no es muy
complicado para uno o dos cuerpos. El problema se complica
extraordinariamente para tres cuerpos o más. Tanto es así que aún hoy no se
le ha conseguido solución. Uno de los matemáticos que más trabajó en el
problema anterior, es el matemático francés Henry Poincaré. Este matemático
encontró que el problema se hacía extremadamente engorroso, al querer
obtener la solución del sistema de ecuaciones diferenciales que planteó. En
vista de lo anterior Poincaré, trató de analizar en forma cualitativa estas
soluciones, en vez de hallar la solución en forma explícita o numérica. Aunque
no resolvió el problema, creó una nueva línea de investigación, que consiste
en el estudio cualitativo de las soluciones de estas ecuaciones diferenciales.
Comenzando el siglo XX, se obtuvo un avance en el estudio de los sistemas
dinámicos, por los trabajos de los matemáticos, también franceses Gaston Julia
y Pierre Fatou. Estos investigadores, estudiaron fundamentalmente, las
los sistemas dinámicos, realizaron otro progreso, fundamentalmente debido a
los trabajos de Stephen Smale sobre dinámica simbólica y el descubrimiento
del Caos, este concepto apareció en el modelo simplificado del tiempo
atmosférico de Lorentz. El desarrollo de los sistemas dinámicos no ha cesado
y en la actualidad es una de las disciplinas mas estudiadas en matemática.
Los sistemas dinámicos encuentran aplicación en diversas áreas de la
matemática, biología y economía.
El material de instrucción básico consta del texto: Antonio Giraldo y M. Sastre
(2002): Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. U.P.M. Este material será
suministrado por el Área de Matemática, previa validación de la inscripción. El
alumno, debe comunicarse con el Area de Matemática una vez haya realizado
III. PLAN DE EVALUACION
ASIGNATURA: Introducción a los Sistemas DinámicosDiscretos. COD: 775
CRÉDITOS: 06- LAPSO: 2010-2 Semestre: VII
CARRERA: MATEMÁTICA
Responsable: Alfredo Espejo
Teléfono: 5552-080/081
Correo electrónico: [email protected]
MOMENTO OBJETIVOS MODALIDAD
TRABAJO 1
1, 2, 3 y 4
Trabajo Práctico
TRABAJO 2 5 y 6
M U O OBJETIVOS EVALUABLES EN LA ASIGNATURA
1
I
1 Reconocer el comportamiento dinámico de los distintos modelos matemáticos.
2 Explicar el comportamiento de la dinámica de las funciones cuadráticas unidimensionales.
3 Analizar la dinámica asociada a la función logística.
4
Reconocer el fenómeno del caos matemático manifestado en algunos sistemas dinámicos.
II
5 Establecer las características de los sistemas dinámicos planos.
6 Explicar el comportamiento de la dinámica de las funciones de variable compleja.
ORIENTACIONES GENERALES
• Realiza con detenimiento la lectura de cada capítulo del libro recomendado. • Analiza los teoremas que se exponen en el libro.
• Realiza los ejercicios suministrados por el profesor • Reproduce los algoritmos mostrados en el libro
• Usa los algoritmos para resolver problemas numéricos. • Mantén comunicación permanente con el profesor.
• Consulta los sitios web que se señalan a continuación, para ubicar material sobre el curso: http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/home.html#programa
http://matematicas.uclm.es/cedya09/archive/textos/93_Linero-Bas-A.pdf
http://premat.fing.edu.uy/papers/2009/117.pdf
IV. DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN DEL CURSO
Módulo I Objetivo Contenido
Unidad I
1. Reconocer el comportamiento dinámico de los distintos modelos matemáticos.
2. Explicar el comportamiento de la dinámica de las funciones cuadráticas unidimensionales.
3. Analizar la dinámica asociada a la función logística.
4. Reconocer el fenómeno del caos matemático que se manifiesta en algunos sistemas dinámicos.
Sistemas dinámicos clásicos. Análisis gráfico. Dinámica de las
aplicaciones lineales unidimensionales. Puntos fijos. Bifurcaciones. Puntos periódicos. Teorema de de Li Yorke. Teorema de Sarkoskii. Atractores. Aplicaciones dinámicas conjugadas.
La familia cuadrática. El diagrama de Feigenbaum para la familia cuadrática. La constante de Feigenbaum.
La familia logística. El diagrama de Feigenbaum para la familia logística.
Concepto de Caos matemático. Sistema asociado al operador “shif”.
Módulo I Objetivo Contenido
Unidad II
5. Establecer las características de los sistemas dinámicos planos.
6. Explicar el comportamiento de la dinámica de las funciones de variable compleja
Sistema dinámico asociado al operador “tienda de campaña”. Caos en el sistema asociado a la curva logística.
Dinámica de las aplicaciones lineales. Variedades estables e inestables. La aplicación de Arnold. La transformación de panadero. La herradura de Smale. El atractor de Hénon. Exponentes de Lyapunov.
OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
1. Reconocer el
comportamiento
dinámico de los distintos modelos matemáticos.
Material Instruccional Texto Básico:
Antonio Giraldo y M. Sastre (2002): Sistemas Dinámicos Discretos y Caos.Capítulo 1.
Este material será suministrado por el Área Académica, previa validación de la inscripción.
Material Complementario:
Disponible en: (Preguntar por prof. Alfredo Espejo)
Eventos o Actividades de Estudio El estudiante debe:
Leer con detenimiento, cada sección del capítulo.
Utilizar el análisis gráfico para el estudio del comportamiento dinámico de modelos matemáticos.
Manejar algoritmos que muestren la dinámica de las aplicaciones reales unidimensionales.
Reconocer la naturaleza de los puntos fijos atractivos, repulsivos e indiferentes
Comunicarse permanentemente con el profesor. Para aclarar dudas.
En relación a la evaluación formativa:
El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el material básico y complementario, para retroalimentar y reforzar el aprendizaje de los contenidos.
En relación a la evaluación sumativa:
OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
2. Explicar el
comportamiento de la dinámica de las funciones
cuadráticas unidimensionales.
Material Instruccional Texto Básico:
Antonio Giraldo y M. Sastre (2002): Sistemas Dinámicos Discretos y Caos .Capítulo: 2
Este material será suministrado por el Área Académica, previa validación de la inscripción.
Material Complementario:
Disponible en: (Preguntar por prof. Alfredo Espejo)
Eventos o Actividades de Estudio El estudiante debe:
Leer con detenimiento, cada sección del capítulo 2 del libro de texto básico.
Estudiar el comportamiento dinámico de la familia cuadrática, para distintos valores del parámetro.
Construir el diagrama de Feigenbaum usando los algoritmos descritos en texto.
Reconocer la naturaleza de los puntos fijos atractivos, repulsivos e indiferentes en la familia cuadrática, para cada valor del parámetro.
Comunicarse permanentemente con el profesor.
En relación a la evaluación formativa:
El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el material básico y complementario, para retroalimentar y reforzar el aprendizaje de los contenidos.
En relación a la evaluación sumativa:
OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
3. Analizar la
dinámica asociada a la función logística.
Material Instruccional Texto Básico:
Antonio Giraldo y M. Sastre (2002): Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. Capítulo: 3
Este material será suministrado por el Área Académica, previa validación de la inscripción.
Material Complementario:
Disponible en: (Preguntar por prof. Alfredo Espejo)
Eventos o Actividades de Estudio El estudiante debe:
Leer con detenimiento, cada sección del capítulo 3 del libro de texto básico.
Estudiar el comportamiento dinámico de la familia logística, para distintos valores del parámetro.
Construir el diagrama de Feigenbaum para la familia logística, usando los algoritmos descritos en texto.
Reconocer la naturaleza de los puntos fijos atractivos, repulsivos e indiferentes en la familia cuadrática, para cada valor del parámetro.
Comunicarse permanentemente con el profesor.
En relación a la evaluación formativa:
El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el material básico y complementario, para retroalimentar y reforzar el aprendizaje de los contenidos.
En relación a la evaluación sumativa:
OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 4. Reconocer el
fenómeno del caos matemático
manifestado en algunos sistemas dinámicos.
Material Instruccional Texto Básico:
Antonio Giraldo y M. Sastre (2002): Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. Capítulo: 4
Este material será suministrado por el Área Académica, previa validación de la inscripción.
Material Complementario:
Disponible en: (Preguntar por prof. Alfredo Espejo)
Eventos o Actividades de Estudio El estudiante debe:
Leer con detenimiento, cada sección del capítulo 4 del libro de texto básico.
Estudiar el concepto de caos matemático
Revisar el comportamiento caótico del sistema dinámico asociado a la curva logística
Utilizar el exponente de Liapunov.
Comunicarse permanentemente con el profesor.
En relación a la evaluación formativa:
El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el material básico y complementario, para retroalimentar y reforzar el aprendizaje de los contenidos.
En relación a la evaluación sumativa:
OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 5. Establecer las
características de los sistemas dinámicos planos.
Material Instruccional Texto Básico:
Antonio Giraldo y M. Sastre (2002): Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. Capítulo: 5
Este material será suministrado por el Área Académica, previa validación de la inscripción.
Material Complementario:
Disponible en: (Preguntar por prof. Alfredo Espejo)
Eventos o Actividades de Estudio El estudiante debe:
Leer con detenimiento, cada sección del capítulo 5 del libro de texto básico.
Estudiar la dinámica de las aplicaciones lineales en el plano.
Identificar las variedades estables e inestables en sistemas dinámicos del plano.
Utilizar el exponente de Liapunov.
Analizar la transformación del panadero.
Examinar el atractor de Hénon
Comunicarse permanentemente con el profesor
En relación a la evaluación formativa:
El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el material básico y complementario, para retroalimentar y reforzar el aprendizaje de los contenidos.
En relación a la evaluación sumativa:
OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
6. Explicar el
comportamiento de la dinámica de las
funciones de variable compleja.
Material Instruccional Texto Básico:
Antonio Giraldo y M. Sastre (2002): Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. Capítulo: 6
Este material será suministrado por el Área Académica, previa validación de la inscripción.
Material Complementario:
Disponible en: (Preguntar por prof. Alfredo Espejo)
Eventos o Actividades de Estudio El estudiante debe:
Leer con detenimiento, cada sección del capítulo 6 del libro de texto básico.
Estudiar las nociones básicas de los sistemas dinámicos complejos.
Analizar la dinámica de la familia cuadrática compleja.
Clasificar los conjuntos de Julia.
Estudiar los algoritmos que generan conjuntos de Julia.
Analizar el conjunto de Mandelbrot.
Comunicarse permanentemente con el profesor.
En relación a la evaluación formativa:
El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el material básico y complementario, para retroalimentar y reforzar el aprendizaje de los contenidos.
En relación a la evaluación sumativa:
V. BIBLIOGRAFÍA
Obligatoria
Antonio Giraldo y M. Sastre (2002): Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. UPM. Madrid. España.
Este material será suministrado por el Área Académica, previa validación de la inscripción.
Complementaria
