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UNIVERSIDAD TECNOL ´

OGICA DE LA MIXTECA

“ ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DE LORENZ ”

T E S I S:

PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN MODELACI ´ON MATEM ´ATICA

PRESENTA:

ING. J. JES ´US VENEGAS GARC´IA

DIRECTORA DE TESIS:

DRA. SILVIA REYES MORA

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Dedicatoria

A mi esposa Judith y a mi hija Sophia Romina por ser mis compa˜neras y motivaci´on en esta aventura llamada vida.

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Agradecimientos

Agradezco al Dr. V´ıctor Alberto Cruz Barriguete por sugerirme este apasio-nante tema de estudio, a la Universidad Tecnológica de la Mixteca por darme la oportunidad de estudiar el posgrado, también a todos mis maestros de la UTM porque sin su paciencia y enseñanzas no estar´ıa en esta situación. Estoy muy agradecido con los miembros del jurado:

Dr. Margarito Jos´e Hern´andez Morales.

Dr. Salvador S´anchez Perales.

Dr. Emmanuel Abdias Romano Castillo.

Dr. Virgilio V´azquez Hip´olito.

Por las observaciones realizadas a la tesis.

Pero principalmente quiero agradecer a la Dra. Silvia Reyes Mora por sus consejos y el gran apoyo que siempre me dio mientras escrib´ıa esta tesis.

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Abstract

In this paper the deduction of the Lorenz model is presented; in which the behavior of the fluid confined in a two-dimensional cell is modeled, in this process intervence the flow of heat by convection and conduction, pressure, temperature and external forces.

This model is deduced from the second law of Newton, studying the forces that influence only one particle bidimensional fluid. The deduction of Lorenz system is explained in terms of partial differential equations; an explicit solution of the system is given, exposing the reduction of the system to a system of ordinary differential equations which are know as the Lorenz model. Finally, a study the Lorenz model is made, and the interpretation of solutions of this model is given in terms of the problem initially raised.

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_{Indice general}

Introducci´on 1

1. Descripci´on f´ısica del problema 5

1.1. Conceptos b´asicos de meteorolog´ıa . . . 5

1.1.1. Meteorolog´ıa, estado del tiempo y clima . . . 5

1.1.2. La atm´osfera . . . 6

1.1.3. Capas de la atm´osfera . . . 6

1.2. Din´amica vertical de la atm´osfera . . . 7

1.2.1. Presi´on atmosf´erica . . . 8

1.2.2. Estabilidad vertical de la atm´osfera . . . 10

2. Deducci´on del modelo general de Lorenz 13 2.1. Suposiciones del modelo . . . 13

2.2. Construcci´on del modelo . . . 14

2.2.1. Masa y aceleraci´on de la parcela de fluido . . . 14

2.2.2. Fuerzas que act´uan sobre la part´ıcula de fluido . . . 16

2.2.3. Fuerza de flotaci´on . . . 21

2.2.4. Funci´on de corriente . . . 22

2.2.5. Ecuaci´on de Navier-Stokes en forma de vorticidad . . . 23

2.3. An´alisis de la influencia de temperatura . . . 24

2.3.1. Transferencia de calor por conducci´on . . . 24

2.3.2. Relación entre conducción y convección . . . 25

3. Estabilidad del modelo general de Lorenz 29 3.1. Soluci´on expl´ıcita de Θ y Ψ . . . 30

3.2. Soluci´on de Θ y Ψ cuando Ω(t)6= Ω∗(t) . . . 39

4. Deducci´on del modelo particular de Lorenz 45 4.1. Sistema de Lorenz . . . 45

4.2. An´alisis cualitativo del sistema de Lorenz . . . 54

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4.2.1. Puntos de equilibrio . . . 54

A. Estabilidad de Liapunov 65

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Introducci´

on

A lo largo de su paso por la tierra, el ser humano ha sentido la necesidad de entender y predecir lo que sucederá con el clima en un futuro; esto debido a que el clima influye en prácticamente todas las actividades humanas principalmente en la agricultura, la pesca, el transporte y muchas otras actividades económicas. Por estas y muchas otras razones es necesario conocer el estado del tiempo, ya que de ello depende cómo se actuará ante tales circunstancias.

El hombre, en su afán de entender y explicar el mundo que lo rodea, ha creado versiones simplificadas de su entorno llamadas modelos; que intentan dar informa-ción de manera aproximada de los eventos que ocurren en el planeta Tierra, con la firme intención de saber cuando ocurrirá dicho evento; es as´ı como los modelos ma-temáticos también tratan de describir lo que sucede en la naturaleza, incluyendo el estado del tiempo.

Cuando se crea un modelo matemático, se trata de tomar en cuenta el mayor número de variables posibles que influyen en el fenómeno que se está estudiando, pensando que entre mayor sea el número de variables que intervienen en el modelo, este será más preciso; sin embargo, es bien sabido que a mayor número de variables el modelo es más complicado en su resolución. As´ı, el modelar el clima o el estado del tiempo1_{es un proceso en el cual se desea obtener un pron´}_{ostico del estado de la} atmósfera, mediante la solución de un sistema de ecuaciones (modelo matemático) que describen la evolución del tiempo atmosférico, como la velocidad del viento, la presión atmosférica y la temperatura.

Predecir cómo será el estado del tiempo puede parecer algo sencillo, ya que si el cielo esta nublado, probablemente llueva y también se sabe que en verano, la temperatura es alta y en diciembre siempre hace fr´ıo al menos en el hemisferio norte; sin embargo, lo complicado está en predecir lo que sucederá con el clima o el tiempo en una fecha y lugar determinados. Ya que la atmósfera está en un incesante y continuo cambio; un estado atmosférico parece que nunca se repite, los vientos no dejan de fluir, la humedad, presión y temperatura están cambiando

1_{En la secci´}_{on 1.1.1 se explica la diferencia entre estado del tiempo y clima.}

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todo el tiempo, as´ı que el estado del tiempo es un tanto determinista y en una gran mayor´ıa caótico ya que predecir el futuro del estado atmosférico pareciera que depende del azar y del comportamiento de las variables que intervienen en el fenómeno. La atmósfera es un fluido, por lo que las ecuaciones utilizadas para tratar de predecir su comportamiento y por ende el estado del tiempo, son las ecuaciones generales de la mecánica de fluidos, para el caso de una capa aislada de aire seco o con vapor de agua. La predicción del tiempo se lleva a cabo a partir de un modelo matemático formulado en la mayor´ıa de las veces por un sistema de ecuaciones en derivadas parciales, las cuales traducen las leyes generales de la F´ısica que rigen la atmósfera terrestre.

En esta tesis se estudió el modelo matemático del pronóstico del tiempo pro-puesto por Edward Lorenz en su famoso art´ıculo “Deterministic non periodic flows” [17], este estudio se realizó desde la perspectiva de los sistemas din´ ami-cos continuos con respecto a la tendencia original.

Desafortunadamente, en muchos de los art´ıculos que explican la deducción del modelo de Lorenz, se da una deducción puramente teórica o se omiten detalles importantes de la f´ısica del sistema. Es por esto, que esta tesis tuvo como obje-tivo general, exponer la deducción del modelo de Lorenz de una forma detallada explicando los supuestos del mismo. Esto nace por la curiosidad de saber si las ecuaciones de Lorenz son capaces de predecir el estado del tiempo de una región en particular, as´ı que era necesario entender cómo las ecuaciones de Lorenz se relacionan con el estado del tiempo.

Se estudió el fluido confinado en una celda y se consideró el flujo de calor, con el objetivo de simular el comportamiento de la atmósfera terrestre, a grandes rasgos se ha observado que el sol calienta la atmósfera y la superficie terrestre proporcionando una enorme fuente de energ´ıa térmica, el océano y el espacio sacan esa energ´ıa fuera de la atmósfera. A medida que tiene lugar este evento; el aire se eleva sobre el suelo caliente debido a la convección hasta alcanzar el punto de roc´ıo2donde se condensa para formar nubes. Por otra parte, la temperatura de la tropósfera desciende con la altura, lo que provoca que el aire se enfr´ıe, se vuelva mas denso y caiga. De esta manera se crean corrientes de convección provocando as´ı el estado del tiempo.

Para deducir el sistema de Lorenz, primeramente se investigó cómo se dan los cambios climáticos en la atmósfera terrestre. As´ı, el cap´ıtulo uno contiene la descripción f´ısica del problema, particularmente, se describe la convección at-mosférica, que es la responsable de los fenómenos meteorológicos en el planeta. Se explica la diferencia entre estado del tiempo y clima como objetos de estudio

2_{A la temperatura a la que se enfr´ıa una masa de aire para producir la condensaci´}_{on sin variar}

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de la meteorolog´ıa y la climatolog´ıa respectivamente, el medio donde ocurren los fenómenos meteorológicos y climáticos es la atmósfera; razón por la cual se hace una breve descripción de las capas que la conforman, dando especial importancia a la primera capa llamada tropósfera ya que en ella ocurren la mayor´ıa de los cambios en el estado del tiempo. Finalmente, se describe el problema de estudio, es decir, la convección atmosférica y las variables que intervienen en este proceso como la presión atmosférica, la estabilidad vertical y las consecuencias que provoca la convección natural.

En el segundo cap´ıtulo, se realiza una deducción detallada de las ecuaciones de Lorenz partiendo de la segunda ley de Newton para explicar y predecir el com-portamiento (movimiento) de un fluido, as´ı como las fuerzas que actúan sobre él; estas fuerzas son la presión, la fricción y la fuerza de flotación. Con este proce-so se llega a obtener la ecuación en derivadas parciales, llamadas ecuaciones de Navier-Stokes para el movimiento de fluidos, al introducir una función llamada de corriente, se obtiene la ecuación de Navier-Stokes en términos de la vorticidad. Se analiza cómo la temperatura afecta el transporte de calor por conducción y convección para obtener un sistema de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs) que describen el movimiento de la part´ıcula de fluido en términos de la función de corriente y la temperatura.

En el cap´ıtulo tres, se busca una solución expl´ıcita para el sistema de ecuaciones diferenciales parciales, empleando el método de separación de variables.

En el cap´ıtulo cuatro, se linealiza el sistema y las soluciones encontradas se sus-tituyen en el sistema original de EDPs para obtener un sistema de dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs). Durante este proceso, se encuentra la tempera-tura a la cual se debe encontrar la placa inferior para iniciar la convecci´on. Al estudiar la estabilidad del sistema se obtiene un sistema tridimensional de EDOs llamado sistema de Lorenz. Finalmente, se hace un an´alisis cualitativo del sistema de Lorenz donde se estudian los puntos de equilibrio, analizando la estabilidad del sistema en cada uno de ellos, empleando el teorema de Liapunov.

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Cap´ıtulo 1

Descripci´

on f´ısica del

problema

1.1. Conceptos b´

asicos de meteorolog´ıa

1.1.1. Meteorolog´ıa, estado del tiempo y clima

La Meteorolog´ıa es la ciencia encargada del estudio de la atmósfera, de sus propiedades y de los fenómenos que en ella tienen lugar, los llamados meteoros. El estudio de la atmósfera se basa en el conocimiento de una serie de magnitu-des, o variables meteorológicas, como la temperatura, la presión atmosférica o la humedad, las cuales var´ıan tanto en el espacio como en el tiempo.

Cuando describimos las condiciones atmosféricas en un momento y lugar con-cretos, estamos hablando deltiempo atmosférico1_{. Todos sabemos que el tiempo} atmosférico es uno de los principales condicionantes de las actividades que reali-zamos, especialmente de aquellas que se realizan al aire libre ya que nos permite predecir si el tiempo sera cálido, fr´ıo, lluvioso, seco, etc. ([23]).

Por otro lado, la Organización Meteorológica Mundial define alclimacomo las condiciones meteorológicas medias para el mes y el año, que tienen lugar en una región a lo largo del tiempo, calculadas sobre un per´ıodo de 30 años. Los fenómenos de tipo meteorológico, se pueden clasificar en fenómenos térmicos como fr´ıo y calor, mecánicos como la velocidad del viento y acuosos entre los que se encuentran la formación de nubes y precipitaciones. El clima es el objeto de estudio de la

climatolog´ıa.

1_{Estado del tiempo.}

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6 CAPÍTULO 1. DESCRIPCI ÓN FÍSICA DEL PROBLEMA

1.1.2. La atm´

osfera

La atmósfera es una capa gaseosa compuesta principalmente por nitrógeno, ox´ıgeno y vapor de agua; todos ellos indispensables para la existencia de la vida en nuestro planeta. En la atmósfera se llevan a cabo los procesos de evaporación de los r´ıos, mares y lagos, esto hace posible la condensación en forma de nubes y la precipitación en forma de lluvia. La atmósfera también actúa como un filtro pro-tector contra las radiaciones ultravioleta y otras radiaciones provenientes del sol. Además, regula la temperatura del planeta impidiendo que existan calentamientos o enfriamientos bruscos.

1.1.3. Capas de la atm´

osfera

Existen varios criterios para obtener las regiones verticales en que se divide la atmósfera; sin embargo, la que nos interesa en esta tesis es la partición de la atmósfera en función de la variación de la temperatura y la altura, en esta división se cuentan cuatro capas que se muestran en la Figura 1.1.

Figura 1.1: Capas de la atmósfera. La curva indica cómo cambia la temperatura en cada una de las capas de la atmósfera.

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1.2. DIN ´AMICA VERTICAL DE LA ATM ´OSFERA 7

As´ı, la temperatura en su l´ımite superior, llamado tropopausa, llega a ser de unos

−50o_C_{. En esta capa tienen lugar la formaci´}_{on de nubes y la precipitaci´}_{on en}

for-ma de lluvia. Entre la superficie y los tres primeros kil´ometros, se observan capas isotermas, en las que la temperatura se mantiene constante, y otras en las que la temperatura aumenta con la altura, llamadas inversiones t´ermicas, debido a estas variaciones en la temperatura se producen importantes movimientos convectivos horizontales y verticales de masas de aire.

La segunda capa es la llamada estratósfera, comienza a los 10 km de altura y tiene un l´ımite superior de aproximadamente 45km, aqu´ı el aire se mueve so-lamente de manera horizontal, no existe vapor de agua y la temperatura va en aumento hasta alcanzar los 0oC en la estratopausa. La caracter´ıstica más impor-tante de laestratósfera es que en su interior se encuentra la capa de ozono, que absorbe la mayor parte de las radiaciones ultravioleta que son muy peligrosas para la vida.

Lames´osfera, es la zona entre 45 y 85kmen la cual la temperatura disminuye r´apidamente con la altura hasta llegar a los−90o_C_{en la}_mesopausa_{que es el punto}

más fr´ıo de la atmósfera. Aqu´ı se producen las auroras boreales y se desintegran los meteoritos por la fricción con el ox´ıgeno.

Finalmente, se encuentra laterm´osfera que se extiende desde los 85km hasta los 1600kmy su temperatura puede exceder los 1000o_C_{; esto quiere decir que la}

temperatura aumenta con la altura, esta capa contiene poco aire predominando el hidr´ogeno y el helio.

1.2. Din´

amica vertical de la atm´

osfera

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de transferencia de calor entre una superficie sólida y el l´ıquido o gas adyacentes que están en movimiento. Comprende los efectos combinados de la conducción y el movimiento de fluidos.

Para realizar el an´alisis del movimiento vertical, haremos uso del concepto de

parcela de aire,part´ıculao burbuja que es una porción teóricamente infinitesimal de aire que se utiliza para identificar movimientos verticales en la atmósfera, y consiste en analizar el desplazamiento vertical de la burbuja que se supone inicial-mente en equilibrio con el aire circundante.

La dinámica atmosférica da inicio cuando el sol calienta la superficie de la tierra por radiación. El aire que está en contacto con el suelo, al calentarse genera una diferencia de temperatura entre la parcela y el aire vecino, ya que la parcela consigue tener mayor temperatura que el aire que la rodea; esto provoca que la parcela disminuya su densidad y comience a elevarse. Durante el ascenso, la burbuja es sometida a menor presión atmosférica, al disminuir la presión sobre la parcela de aire, aumentará su volumen. La part´ıcula de aire que se eleva puede ser saturada2; recordemos que en la tropósfera, la temperatura desciende con la altitud, a la diferencia de temperatura entre dos puntos se le llama gradiente vertical de temperatura. Si la temperatura disminuye con la altura el gradiente de temperatura es negativo por el contrario si la temperatura aumenta con la altitud se tiene un gradiente positivo. A este fenómeno se le conoce como inversión térmica. Durante la elevación, la part´ıcula de aire experimentará una disminución en su temperatura causada por el gradiente vertical de temperatura, esto tendrá como consecuencia que la burbuja alcance su altura máxima cuando su densidad sea igual a la del aire circundante. Al enfriarse, la part´ıcula se condensa; es decir, disminuye su temperatura y volumen pero su densidad aumenta, esto genera que la parcela de aire descienda hasta llegar a la superficie donde nuevamente aumentará su temperatura para reiniciar el ciclo; obteniéndose as´ı las corrientes convectivas, que son movimientos verticales de masas de aire (ver Figura 1.2).

Recordemos que por la ley de Arqu´ımedes, un objeto (en este caso la parcela de aire) puede flotar o elevarse en un medio, si la densidad del objeto es menor que la densidad del medio, y se hundirá si la densidad del objeto es mayor que la densidad del medio; esto en la atmósfera, está relacionado con la llamada estabilidad vertical de la atmósfera.

1.2.1. Presi´

on atmosf´

erica

Antes de entrar con la descripción de la estabilidad atmosférica, hablaremos sobre la presión; ya que también es una variable que afecta la dinámica de la

2_{Se dice que una parcela de aire es saturada cuando contiene vapor de agua y no saturada}

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Figura 1.2: La burbuja de aire caliente se eleva debido a la disminuci´on de su densidad y, el espacio que deja, es cubierto con aire fr´ıo.

atmósfera. Como se puede encontrar en [10], el aire que rodea a la burbuja tiene peso y por lo tanto, ejerce una fuerza sobre la part´ıcula de aire debida a la acción de la gravedad. Esta fuerza por unidad de superficie es la denominada presión atmosférica, cuya unidad de medida en el Sistema Internacional es el Pascal3_{. La} presión atmosférica depende de muchas variables, sobre todo de la altitud; cuanto más arriba en la atmósfera se encuentre la parcela de aire, la cantidad de aire por encima de ella será menor. Esta disminución no es directamente proporcional a la altitud ya que se reduce ampliamente en los primeros metros para luego descender con mayor suavidad. A la diferencia de presión entre dos puntos, se le llama gradiente de presión.

Una de las variables que mayor información nos proporciona a la hora de cono-cer una situación meteorológica, es la presión atmosférica; cuyos valores sobre la superficie terrestre quedan representados en los denominados mapas de isobaras. Las isobaras, o l´ıneas que unen puntos de igual presión, nos dan idea de la inten-sidad del viento (a mayor proximidad entre isobaras, mayor inteninten-sidad), as´ı como de su procedencia. Cuando en un mapa de isobaras existe una zona en la que la presión es más alta que a su alrededor, entonces aparece una “A” y decimos que hay un anticiclón. En esta zona, la estabilidad atmosférica será alta, puesto que el movimiento del aire es descendente evitando la formación de nubosidad, y

dif´ıcil-3_{1 Pascal =} N

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mente lloverá. Si por el contrario, la presión empieza a decrecer, en el punto en el que alcanzan su valor m´ınimo aparece una “B” y decimos que hay una zona de baja presión o depresión (ver Figura 1.3). En este caso, habrá mayor inestabilidad y podr´ıa llover fácilmente. Cuando una zona de bajas presiones va acompañada de tiempo muy lluvioso y con viento intenso podemos llamarla borrasca.

Figura 1.3: Cicl´on (B) y anticicl´on (A).

1.2.2. Estabilidad vertical de la atm´

osfera

La estabilidad, es una propiedad del aire que describe su tendencia a perma-necer en su posición original (estable), o a elevarse; en tal caso se dice que el aire es inestable. La estabilidad de la atmósfera está regulada por la temperatura en diferentes niveles de la tropósfera; es decir, el gradiente vertical de temperatura. Wallace, en [29], distingue tres tipos de estabilidad, conocidas como estabilidad absoluta, inestabilidad absoluta e inestabilidad condicional, que se describen a continuación.

Estabilidad absoluta

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Figura 1.4: La burbuja de aire se eleva y cruza de una regi´on de temperaturaT1 aT2 dondeT2< T1, la part´ıcula se enfr´ıa y regresa a la posici´on de salida.

Inestabilidad absoluta

Una parcela de aire tiene inestabilidad absoluta, cuando a lo largo de su as-censo, la temperatura de la parcela de aire disminuye más lentamente que la temperatura del aire circundante. Estas zonas son depresiones, borrascas o ciclo-nes. Esta situación es de mal tiempo porque el aire, a medida que asciende, se va enfriando y, el vapor de agua se condensa favoreciendo la formación de nubes, que pueden dar lugar a precipitaciones (ver Figura 1.5).

Figura 1.5: La parcela de aire asciende libremente originando un n´ucleo de baja presi´on en la superficie y la convergencia de aire circundante hacia el mismo.

Inestabilidad condicional

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inestabilidad condicional depende del tiempo presente y de si el aire est´a o no sa-turado. Una consecuencia importante de la inestabilidad condicional es la llamada

inversión térmica, que se da cuando la temperatura en la tropósfera aumenta con la altura. Como ya se mencionó; este fenómeno depende de las condiciones del tiempo en ese momento, pero generalmente se presenta en una capa relativamente superficial. A medida que se enfr´ıa el suelo, también lo hace el aire situado sobre ´

el, de manera que ´este adquiere una temperatura inferior a la que existe en las capas superiores; en esta circunstancia; la parcela de aire queda atrapada cerca de la superficie impidiendo su ascenso a la regi´on caliente superior, as´ı que la parcela de aire saturada se condensa formando una nube baja que toca el suelo dando as´ı origen a la niebla.

Para mayor información sobre los fenómenos meteorológicos que ocasiona la convección atmosférica como la formación y tipos de nubes, diferentes formas de precipitaciones y vientos recomendamos consultar [4], [9], [10], [23] y [29].

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Cap´ıtulo 2

Deducci´

on del modelo

general de Lorenz

En 1963, en la revistaJournal of Atmosferic Science, apareció un art´ıculo ti-tuladoDeterministic Nonperiodic Flow, publicado por el Meteorólogo Edward N. Lorenz, de Massachusetts Institute of Technology; que presenta el análisis ma-temático y la solución numérica de un sistema de ecuaciones que buscaba modelar la circulación del aire, cuando éste es calentado por el agua del mar. Ya que Lorenz se preguntaba acerca de la posibilidad de predecir con un grado de fiabilidad acep-table el tiempo que habrá algunos d´ıas después, a partir del conocimiento de las condiciones de partida. Para tratar de responder esta pregunta, Lorenz simplificó considerablemente las ecuaciones que gobiernan la circulación atmosférica hasta llegar al sistema que lleva su nombre. Durante el desarrollo de este cap´ıtulo, se usa la referencia [2] como gu´ıa principal para la obtención del sistema de Lorenz.

2.1. Suposiciones del modelo

Lorenz parte del llamado sistema de Bénard, que modela el comportamiento de un fluido viscoso incompresible contendido entre dos placas horizontales, ya que este modelo simula el comportamiento de la tropósfera, y particularmente, de la dinámica vertical de la atmósfera. La placa horizontalxse extiende infinitamente hacia la derecha y la izquierda, para la coordenada verticalyse toman valores que van de 0 aπ.

Para obtener el modelo se consideran las siguientes suposiciones:

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14 CAP´ITULO 2. DEDUCCI ´ON DEL MODELO GENERAL DE LORENZ

La placa inferior se mantiene caliente y la superior fr´ıa1 _{con el fin de que,} entre ellas, se produzca una diferencia de temperatura y as´ı se genere el movimiento convectivo.

La parcela de aire que se emplea para identificar las corrientes convecti-vas, es infinitesimal y bidimensional; esto causa que no existan movimientos cicl´onicos o anticicl´onicos en el modelo.

En la realidad, el suelo obtiene su energ´ıa térmica por la radiación prove-niente del sol; sin embargo, el modelo no toma en cuenta el calentamiento por radiación en la placa inferior.

La parcela de aire es un sistema aislado que no intercambia calor con el fluido circundante; es decir, es un sistema adiab´atico.

El coeficiente de viscosidad din´amica del fluidoµes constante y cuya unidad es _mskg.

La densidadρde la part´ıcula de fluido es constante. Esto quiere decir que no existen variaciones en la densidad, provocadas por las diferencias de presi´on o temperatura y por lo tanto, tambi´en es incompresible.

El calor especifico2_c

ρ es constante.

El coeficiente de conductividad t´ermica3 kes constante.

2.2. Construcci´

on del modelo

2.2.1. Masa y aceleraci´

on de la parcela de fluido

Para simular la dinámica atmosférica y la estabilidad vertical de la atmósfera, Lorenz partió del modelo propuesto por Rayleigh - Bénard, donde se tiene un fluido confinado entre dos placas horizontales separadas una distancia deπunidades que se extienden infinitamente, la placa inferior tiene una temperatura T mayor que la placa superior. Se considera que el fluido es un medio continuo como se indica en [15], ya que sus átomos o moléculas están tan próximos unos de otros, que el conjunto puede considerarse macroscópicamente como una masa homogénea, cuyo comportamiento puede preverse sin tener en cuenta el movimiento de cada una de las part´ıculas que lo componen; es decir, no se supone que existan vac´ıos o

1_{En nuestro trabajo la placa inferior se encuentra a 0}0_C.

2_{Energ´ıa requerida para elevar un grado la temperatura de una unidad de masa de una}

sustancia con unidad de m2_s(2oC).

3_{Medida de la capacidad de un material para conducir calor con unidad de} (W)(oC)

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2.2. CONSTRUCCI ´ON DEL MODELO 15

separación entre las moléculas. As´ı, el objetivo de esta sección es encontrar una ecuación que describa el comportamiento o movimiento del fluido contenido entre las placas; las ecuaciones que describen el movimiento para el flujo de fluidos se escriben para una masa fija, tomando una pequeña parcela de fluido a la cual también se le conoce como volumen de control o part´ıcula de fluido con dimensiones ∆xen la base, ∆yen la altura y una profundidad ∆z. Durante el desplazamiento de la parcela, ésta puede tener dos tipos de movimientos; el primero es el movimiento de traslación, el cual se da cuando la part´ıcula, que se supone se comporta como un cuerpo r´ıgido, se desplaza entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) en el planoxy. (ver Figura 2.1). Si la part´ıcula gira en algún punto durante su trayectoria, entonces se dice que la part´ıcula tiene movimiento de rotación.

Figura 2.1: El volumen de control tiene movimiento traslacional, ya que se desplaza con el fluido entre dos puntos del planoxy.

Por otra parte, un fluido bidimensional en cualquier instantet, es descrito por el campo de velocidades que describe el valor de la velocidad para la parcela de fluido que ocupa el lugar (x, y) en el plano en el instante dado t. A esa posici´on se le otorgan coordenadas espacio-temporales e independientemente del enfoque (Euler o Lagrange) que se adopte se puede escribir4_:

v=v(x, y, t),

que a su vez, en coordenadas cartesianas queda como:

v= (u(x, y, t), v(x, y, t)) =u(x, y, t)ˆı+v(x, y, t)ˆ

donde ˆıy ˆson los vectores de la base can´onica deR2.

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As´ı, la parcela de fluido se moverá por medio de él con la velocidadvy además, podemos encontrar su ecuación de movimiento utilizando la segunda ley de New-ton:

F=ma, (2.1)

dondeFrepresenta la suma de todas las fuerzas que act´uan sobre la part´ıcula de fluido,mes la masa de la part´ıcula yaes su aceleraci´on.

Por un lado, se sabe que la variación con el tiempo de la velocidad de un punto material, representa la aceleración del fluido (contenido en un volumen material infinitesimal en el entorno de ese punto). Para indicar esta variación se utiliza la

forma dv

dt. As´ı:

a= dv

dt, (2.2)

donde dv dt = ∂v ∂t dt dt+ ∂v ∂x dx dt + ∂v ∂y dy

dt. (2.3)

Como

dx

dt =u y

dy dt =v,

entonces la aceleraci´on es:

a= dv

dt = ∂v

∂t +u ∂v

∂x +v ∂v

∂y; (2.4)

que equivale a:

a(x, y, t) = ∂v

∂t + ∂v

∂v, (2.5)

donde

∂v

∂v =u ∂v ∂x +v

∂v ∂y.

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Fuerza de presi´on superficial

Según [5], la presión es la fuerza de compresión por unidad de área y la presión en cualquier punto de un fluido, es la misma en todas direcciones; es decir, tiene magnitud pero no una dirección espec´ıfica y, en consecuencia, es una cantidad escalar. Ya que estamos interesados en conocer la fuerza de presión sobre la parcela de fluido, entonces debemos obtener relaciones para la variación de la presión en los fluidos que se mueven como un cuerpo sólido en ausencia de esfuerzos cortantes. Para esto, consideramos que la parcela de fluido corresponde a un paralelep´ıpedo infinitesimal rectangular de fluido en el tiempot y, un sistema de referencia con planos paralelos a las caras del elemento del fluido (ver Figura 2.2).

Figura 2.2: Sistema de referencia y volumen de control infinitesimal.

Consideremos s´olo la caraAdel paralelep´ıpedo (ver Figura 2.3).

Figura 2.3: Presi´onP sobre el centroQde la caraA.

La presión sobre el centroQde esta cara, puede obtenerse considerando varia-ciones lineales de la presión en todas las direcciones cercanas. Esto es; si suponemos que la presión es una función dos veces derivable con respecto a la posición, enton-ces podemos desarrollar el polinomio de Taylor de grado dos alrededor del punto

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El polinomio de Taylor que aproxima la presi´onPen el centroQ= 1 2∆y,

1 2∆z

est´a dado por:

P(y, z) =P(Q) +∂P

∂y

y−1

2∆y

+∂P

∂z

z−1

2∆z

,

como:

y−1 2∆y=

1

2∆y, y z−

1 2∆z=

1 2∆z;

entonces la presi´on sobre el centro de la caraA est´a dada por:

PA=P(Q) +

1 2

∂P ∂y∆y+

1 2

∂P

∂z∆z. (2.6)

Si se considera la caraB localizada exactamente enfrente de la caraA, a una distancia ∆x, entonces la presi´on en el centro Q∗ de la cara B, al aproximarse mediante un polinomio de Taylor de segundo grado, centrado enQ∗ es:

PB=P(Q∗) +

1 2

∂P ∂y∆y+

1 2

∂P ∂z∆z+

∂P

∂x∆x. (2.7)

Debido a que las presiones que act´uan sobre las carasA yB en direcci´on del ejexdeben ser iguales, entonces debe cumplirse que:

Px=PA−PB = 0;

luego:

Px=P(Q) +

1 2

∂P ∂y∆y+

1 2

∂P

∂z∆z−P(Q

∗₎₋1 2

∂P ∂y∆y−

1 2

∂P ∂z∆z−

∂P ∂x∆x;

entonces:

Px=−

∂P ∂x∆x.

Como la fuerza superficial Fs se define como: Fs = P A, dondeA es el ´area;

entonces la fuerza superficial sobre el elemento del fluido en direcci´on del ejexes:

Fsx= (Px)A,

(29)

Fsx= (Px)∆y∆z,

luego;

Fsx=−

∂P

∂x∆x∆y∆z.

De manera an´aloga se pueden obtener las fuerzas superficiales Fsy y Fsz en

las direcciones dey yz, respectivamente; as´ı:

Fsy=−

∂P

∂y∆x∆y∆z,

Fsz =−

∂P

∂z∆x∆y∆z.

Entonces la fuerza superficialFso fuerza de presi´on que act´ua sobre la parcela

de fluido es:

Fs=Fsxˆı+Fsyˆ+Fszˆk.

Fs=

−∂P

∂xˆı− ∂P

∂yˆ− ∂P

∂z

ˆ

k

∆x∆y∆z=−∇P∆x∆y∆z. (2.8)

En adelante, analizaremos otra fuerza importante que act´ua sobre el fluido que es la debida a la fricci´on.

Fuerza debida a la fricci´on

Se dice que un flujo de fluido tiene comportamiento laminar, si durante su movimiento, el fluido, se comporta como si estuviera formado por una serie de capas o láminas paralelas que se mueven uniformemente; la viscosidad represen-ta la resistencia del fluido a la deformación y también es la responsable de las fuerzas de fricción entre las capas adyacentes del fluido. Estas fuerzas se denomi-nan esfuerzo cortante que se denota porτ y dependen del gradiente de velocidad del fluido. Consideremos un fluido laminar contenido entre dos placas paralelas infinitas separadas una distanciahmuy pequeña (ver Figura 2.4).

(30)

Figura 2.4: Movimiento entre dos placas originado por un esfuerzo tangencial.

la velocidad relativa entre capas o velocidades de deformación, y denominó a la constante de proporcionalidad viscosidad dinámica,µ, de forma que:

τ=µdv dy.

Cuando el gradiente de presiones y las fuerzas másicas o gravitatorias son despreciables, y no hay efectos convectivos de velocidad, la variación de la cantidad de movimiento del fluido por unidad de masa y tiempo se relacionan con las fuerzas de origen viscoso mediante la expresión:

Ff ric=µ∆v, (2.9)

que representa la fuerza debida a la fricci´on en el fluido.

La tercera fuerza que actúa sobre la part´ıcula de fluido es la fuerza de flotación, debida a la diferencia de temperatura entre las placas a la que denotaremos por Ff lot. Esta fuerza de flotación se obtendrá después de realizar el análisis de la

influencia de la temperatura en el movimiento del fluido.

As´ı, la fuerza a la que est´a sometido el elemento de fluido es la suma de la Ff lot y las fuerzas mostradas en las ecuaciones (2.8) y (2.9). Luego, se cumple:

F=−∇P+µ∆v+Ff lot. (2.10)

(31)

−∇P+µ∆v+Ff lot=

∂v

∂t + ∂v

∂v;

de donde:

∂v

∂t =− ∂v

∂v − ∇P+µ∆v+Ff lot. (2.11)

A la expresión (2.11) se le conoce como ecuación de Navier-Stokes y es la ecuación de movimiento para un fluido newtoniano incompresible.

Hasta aqu´ı hemos encontrado una ecuación que indica el movimiento de una part´ıcula que se mueve en el fluido newtoniano incompresible. Lo que haremos en la siguiente sección es encontrar e incorporar la fuerza de flotación o fuerza externa.

2.2.3. Fuerza de flotaci´

on

La part´ıcula de fluido se encuentra sometida a la suma de las fuerzas de presión, fricción y fuerza de flotación. Las dos primeras fuerzas ya las hemos encontrado, as´ı que ahora nos centraremos en analizar la fuerza de flotación. La fuerza vertical que el fluido ejerce sobre la parcela de fluido es:

Ff lot=ρgV; (2.12)

dondeρrepresenta la densidad del fluido,ges la gravedad yV indica el volumen de la part´ıcula.

La part´ıcula de fluido esta confinada entre dos placas horizontales con una diferencia de temperatura entre ellas, si la diferencia de temperatura entre las placas es muy peque˜na, entonces la densidad del fluido se puede escribir como:

ρ=ρ0−cτ, (2.13)

para constantes positivasρ0 yc. Al sustituir (2.13) en (2.12) se tiene:

Ff lot=−(ρ0−cτ)gV;

(32)

2.2.4. Funci´

on de corriente

El objetivo de esta sección es obtener una función Ψ(x, y) que describa a la curva equipotencial, ya que sobre ella se encuentra la trayectoria de la part´ıcula. En el instante t, la velocidadv de cada elemento del fluido centrado en (x, y), es una función vectorial de la forma:

v=u(x, y, t)ˆı+v(x, y, t)ˆ.

As´ı, dado un campo de velocidades v; se denomina l´ıneas de corriente, a las l´ıneas que en todos sus puntos tienen por tangente av, en un instante determinado (ver Figura 2.5).

Figura 2.5: Campo de velocidades y curvas equipotenciales. Las l´ıneas Ψ = C

representan l´ıneas de corriente en el flujo.

En un punto arbitrario (x, y) el vectorv= (u, v) dondeu= dx_dt yv=dy_dt tiene pendiente:

dy dx =

v u;

entonces:

u(x, y)dy−v(x, y)dx= 0. (2.14)

es una ecuaci´on diferencial exacta, ya que por la ecuaci´on de continuidad se cumple que:

∂u ∂x =−

(33)

Luego, existe una funci´on Ψ(x, y) que resuelve a la ecuaci´on diferencial (2.14) y que cumple:

dΨ(x, y) = ∂Ψ

∂xdx+ ∂Ψ

∂ydy= 0. (2.15)

Las soluciones de la ecuación (2.15) están dadas de manera impl´ıcita por las curvas de nivel Ψ(x, y) =C, as´ı las componentes de la velocidad se pueden expresar en términos de la llamada función de corriente Ψ.

u=−∂Ψ

∂y v=

∂Ψ

∂x.

2.2.5. Ecuaci´

on de Navier-Stokes en forma de vorticidad

Como ya se mencionó al inicio de este cap´ıtulo, la part´ıcula de fluido puede tener movimiento de rotación durante su trayectoria. Para que ocurra una rota-ción en la part´ıcula de fluido, se requiere que existan esfuerzos cortantes sobre la superficie de la part´ıcula, capaces de deformarla y obligarla a girar.

Como el campo vectorialvrepresenta el flujo del fluido, sirotv= 0, significa que el fluido no tiene rotaciones o es irrotacional, si expresamos el rotacional de la velocidad del fluido en t´erminos de la funci´on de corriente se obtiene que

rotv= _∂₍₀₎ ∂y − ∂v ∂z ˆı+ _∂u ∂z − ∂(0) ∂x ˆ + _∂v ∂x− ∂u ∂y ˆ k,

rotv= _∂v ∂x − ∂u ∂y ˆ k.

Si expresamos las componentes de la velocidaduyven t´erminos de la funci´on de corriente tenemos:

rotv= ∂ 2_Ψ

∂x2 +

∂2_Ψ

∂y2,

rotv= ∆Ψ,

y como la ecuación de Navier-Stokes (2.11) describe el movimiento de traslación del fluido, entonces esta ecuación en forma de vorticidad es:

∂∆Ψ

∂t =− ∂∆Ψ

∂v +µ∆

2_{Ψ +}_rot_F

(34)

2.3. An´

alisis de la influencia de temperatura

El modelo de Lorenz describe el movimiento de un fluido incompresible con-tenido en una larga y delgada celda acotada arriba y abajo por placas paralelas. La placa inferior se mantiene a una temperatura T en grados Celcius y la placa superior se mantiene a 0 grados; creando as´ı la diferencia de temperatura ∆T (ver Figura 2.6).

Figura 2.6: Representaci´on de la celda bidimensional que contiene a un fluido incompresible.

2.3.1. Transferencia de calor por conducci´

on

Si la diferencia de temperatura ∆T entre las placas es muy pequeña; entonces no hay movimiento del fluido y el calor es transmitido únicamente por conducción; es decir, la pared bidimensional está formada por las propias part´ıculas de fluido que se encuentran quietas y el calor se propaga a través de ellas. La densidad de una pequeña parcela de fluido disminuye a medida que se calienta el fluido, por lo que ésta experimentará una fuerza de flotación que la empujará hacia arriba. As´ı, cuando la celda está en un estado de conducción, la parcela de fluido pierde calor a las parcelas vecinas antes de que tenga tiempo de elevarse. En tal situación la temperatura en la celda cae linealmente con la posición vertical deT, en la parte inferior, a 0 en la parte superior, esta relación se muestra en la Figura 2.7.

De lo anteriormente expuesto, podemos obtener la ecuaci´on de recta a la que denotaremos por τcond que pasa por los puntos (0, T) y (π,0). Luego; mientras el

fluido est´a en un estado de conducci´on y donde no hay movimiento, la temperatura

τconden cualquier punto de la celda, se puede expresar por la funci´on:

τcond(y) =T−

T

(35)

2.3. AN ´ALISIS DE LA INFLUENCIA DE TEMPERATURA 25

Figura 2.7: Relaci´on entre la temperatura y la altura.

donde T es la temperatura de la placa inferior y la variable y representa la altura de la celda entre 0 yπ.

Debido a que la celda es delgada, el movimiento es pr´acticamente bidimensio-nal, por lo que no hay componente de profundidad en las funciones que describen el flujo del fluido. La temperatura se asume constante para todos los valores de profundidadz, de la placa.

Notemos que podemos obtener informaci´on de la funci´onτconddada en (2.17);

en los puntos de la frontera de la celda, estas condiciones son:

τcond(x,0, t) =T, (2.18)

τcond(x, π, t) = 0. (2.19)

Adem´as, la temperatura entre las placas superior e inferior se puede considerar comoτcond x,π₂, t

.

2.3.2. Relaci´

on entre conducci´

on y convecci´

on

Cuando la diferencia de temperatura crece y rebasa un valor umbral5_{, la parcela} del fluido comienza a elevarse antes de que pierda una cantidad considerable de energ´ıa térmica por conducción. As´ı, una vez que el fluido ha subido a una región de menor temperatura y mayor densidad; la fuerza de flotación aumentará porque la parcela es menos densa que las parcelas vecinas. Si la fuerza ascendente es lo suficientemente grande, la parcela de fluido continúa subiendo más rápido de lo que tarda en enfriarse.

(36)

De esta manera, las parcelas de fluido más caliente se mueven hacia la placa su-perior de la celda, empujando a las parcelas de fluido más fr´ıas, las cuales son más densas y por lo tanto se mueven hacia la placa inferior de la celda. Este proceso se repite provocando la aparición de los llamados rollos de convección en la cel-da. Cuando la celda se encuentra en esta fase se dice que está en estado convectivo.

Denotemos por τ(x, y, t) a la temperatura del fluido cuando se encuentra en un estado convectivo. Podemos definir a la función de temperatura que mide la diferencia entre la temperatura en estado convectivoτ(x, y, t) y la temperatura en estado conductivoτcond(x, y, t). Esta función está definida y denotada como:

Θ(x, y, t) =τ(x, y, t)−τcond(x, y, t). (2.20)

Debido a que, en las placas superior e inferior, las temperaturas son fijas, se debe cumplir:

τ(x,0, t) =T y τ(x, π, t) = 0.

Por lo tanto; la funci´on de la diferencia de temperatura satisface:

Θ(x,0, t) = Θ(x, π, t) = 0. (2.21)

De la ecuación (2.21), se observa que la temperatura del fluido en la parte superior e inferior de la celda, es la misma para la conducción y la convección, estas condiciones son descritas por la ecuación de difusión térmica:

∂τ

∂t +v·gradτ =k∆τ, (2.22)

por la ecuaci´on (2.20), podemos escribir:

∂(Θ +τcond)

∂t +v·grad(Θ +τcond) =k∆(Θ +τcond),

comoτcond es independiente dexy detse tiene:

∂Θ

∂t + (u+v)

_∂_{(Θ +}_t

cond)

∂x +

∂(Θ +tcond)

∂y

=k∆(Θ +τcond),

y por la ecuaci´on (2.17) resulta:

∂Θ

∂t =k∆Θ +v T π −u

∂Θ

∂x −v ∂Θ

∂y.

(37)

2.3. AN ´ALISIS DE LA INFLUENCIA DE TEMPERATURA 27

u=−∂Ψ

∂y, v=

∂Ψ

∂x,

entonces se tiene:

∂Θ ∂t = ∂Ψ ∂y ∂Θ ∂x − ∂Ψ ∂x ∂Θ ∂y + T π ∂Ψ

∂x +k∆Θ,

que se puede reescribir como:

∂Θ

∂t =−

∂(Ψ,Θ)

∂(x, y) +

T π

∂Ψ

∂x +k∆Θ, (2.23)

donde:

∂(Ψ,Θ)

∂(x, y) =

∂Ψ ∂x ∂Θ ∂y − ∂Ψ ∂y ∂Θ ∂x.

Como en la ecuación (2.16) la fuerza de flotación Ff lot está afectada por el

rotacional, entonces:

rotFf lot=−gV

∂ρ0 ∂x − ∂cτ ∂x ;

y debido a que la gravedad, volumen y la densidad inicial son constantes, se tiene que:

rotFf lot=gV c

∂τ

∂x. (2.24)

Adem´as como se cumple:

τ(x, y, t) = Θ(x, y, t) +τcond(x, y, t);

al sustituir la ecuaci´on anterior en (2.24) obtenemos:

rotFf lot =gV c

_∂_Θ ∂x + ∂τcond ∂x .

M´as a´un, como la τcond no var´ıa con respecto a x, entonces ∂τ_∂xcond = 0 y, si

agrupamos las constantes enc1, se llega a:

rotFf lot=c1

∂Θ

∂x;

(38)

∂∆Ψ

∂t =− ∂∆Ψ

∂v +µ∆ 2_{Ψ +}_c

1

∂Θ

∂x;

as´ı la expresi´on anterior queda de la forma:

∂∆Ψ

∂t =−

∂(Ψ,∆Ψ)

∂(x, y) +µ∆ 2_{Ψ +}_c

1

∂Θ

∂x. (2.25)

Finalmente, escribimos el sistema de ecuaciones formado por (2.23) y (2.25):

∂∆Ψ

∂t =−

∂(Ψ,∆Ψ)

∂(x, y) +µ∆ 2_{Ψ +}_c

1

∂Θ

∂x,

∂Θ

∂t =−

∂(Ψ,Θ)

∂(x, y) +

T π

∂Ψ

∂x +k∆Θ.

Este sistema de ecuaciones diferenciales parciales, que hemos llamado Modelo General de Lorenz, describen simult´aneamente, el movimiento de un fluido gene-rado por la diferencia de temperaturas en una celda convectiva, dondexyy son coordenadas espaciales,t es el tiempo y las variables dependientes son Ψ y Θ que se interpretan como sigue:

Ψ(x, y, t) es la funci´on de corriente: el movimiento ocurre a lo largo de las

curvas de nivel de Ψ, con campo de velocidades∂_∂xΨ,−∂Ψ

∂y

.

Θ(x, y, t) =τ(x, y, t)−τcond(x, y, t) representa la diferencia entre la

(39)

Cap´ıtulo 3

Estabilidad del modelo

general de Lorenz

El sistema formado por (2.23) y (2.25) puede ser linealizado si omitimos los t´erminos que contienen el Jacobiano en ambas ecuaciones y as´ı obtenemos el sis-tema:

∂∆Ψ

∂t =µ∆

2_{Ψ +}_c 1

∂Θ

∂x, (3.1)

∂Θ

∂t = T π

∂Ψ

∂x +k∆Θ. (3.2)

En los gases, los coeficientesµykdependen exclusivamente de la temperatura y aumentan con ella, por las propiedades particulares de los gases se considera queµykson diferentes. Ya que uno de los supuestos para el análisis del modelo de Lorenz es que el fluido sólo se mueve en el planoxy; la teor´ıa de convección de Rayleigh Bénard ([22]), indica que el fluido se moverá en forma circular, debido a las diferencias de temperatura entre las placas, que aumentan o disminuyen la densidad del fluido. Dado que el fluido se supone incompresible, el cambio de densidades se verá reflejado en el movimiento del fluido, el cual puede ocurrir formando c´ırculos que giran en el sentido positivo ( ) o en sentido negativo (); esto ocurre cuando la diferencia de temperatura entre las placas, no es demasiado grande (ver Figura 3.1).

Es claro que las ecuaciones (3.1) y (3.2) tienen una solución trivial cuando Ψ = 0 y Θ = 0; es decir, cuando el fluido está en reposo y la conducción de calor

(40)

30 CAP´ITULO 3. ESTABILIDAD DEL MODELO GENERAL DE LORENZ

Figura 3.1: Movimiento del fluido en la celda de convecci´on debido a la diferencia de temperatura entre las placas.

ocurre exclusivamente por difusi´on1, el sistema tambi´en se satisface cuando las variables Ψ y Θ son constantes.

3.1. Soluci´

on expl´ıcita de

Θ

y

Ψ

Buscaremos soluciones no triviales, para el sistema de ecuaciones diferenciales parciales formado por (3.1) y (3.2) por el m´etodo de separaci´on de variables y proponemos soluciones de la forma:

Θ(x, y, t) =X(x)Y(y)Ω(t),

Ψ(x, y, t) =X∗(x)Y∗(y)Ω∗(t);

para la temperatura y la funci´on de corriente respectivamente.

Primeramente, consideramos el problema de flujo de calor en la regi´on bidi-mensional, donde se encuentra contenido el fluido con lados x= 0,x=L, y= 0 y y = π. Los lados y = 0, y = π se mantienen a temperatura constante en la parte superior de 0 y en la parte inferior de T, para generar una diferencia de temperatura; los lados x= 0 y x= L est´an perfectamente aislados (ver Figura 3.2).

Se requiere encontrar una soluci´on Θ(x, y, t) para el problema de flujo de calor descrito por la ecuaci´on:

∂Θ

∂t = T π

∂Ψ

∂x +k ∂2Θ

∂x2 +k

∂2Θ

∂y2,

1_{El t´}_{ermino difusi´}_{on expresa que no existe generaci´}_{on de calor, en otras palabras, las placas}

(41)

3.1. SOLUCI ´ON EXPL´ICITA DEΘYΨ 31

Figura 3.2: Placa con lados aislados.

con valores en la frontera:

∂Θ

∂x(0, y, t) = ∂Θ

∂x(L, y, t) = 0, 0< y < π, t >0; (3.3)

Θ(x,0, t) = 0, Θ(x, π, t) = 0, 0< x < L, t >0; (3.4)

Θ(x, y,0) =τ−τcond, 0< x < L, 0< y < π. (3.5)

Derivamos Θ y Ψ para obtener:

∂Θ

∂x =YΩX

0_, ∂Θ

∂y =XΩY

0_, ∂Θ

∂t =XYΩ

0_,

∂2Θ

∂x2 =YΩX

00_, ∂2

∂y2 =XΩY

00_, ∂2Θ

∂t2 =XYΩ 00_,

∂Ψ

∂x =Y

∗_Ω∗_X∗0_.

Al sustituir estas expresiones en la ecuaci´on (3.2), tenemos:

XYΩ0 =T

πX

∗_Y∗_X∗0₊_kY_Ω_X00₊_kX_Ω_Y00_;

dividiendo porXYΩ tenemos:

Ω0 Ω =

T Y∗Ω∗X∗0

πXYΩ +k

X00 X +k

Y00

Y . (3.6)

(42)

X00

X =−

Y00

Y +

Ω0

kΩ−

T kπ.

Igualamos ambos miembros con la constante de separaci´on λ y quedan las siguientes ecuaciones:

X00−λX= 0, (3.7)

−T

π +

Ω0

kΩ−

Y00

Y =λ. (3.8)

Introducimos υ como nueva variable de separaci´on para la expresi´on (3.8) y tenemos:

Y00

Y =

Ω0

kΩ−

T

kπ−λ=υ;

al separar variables se obtienen las ecuaciones:

Y00−υY = 0, (3.9)

Ω0−

kλ+kυ+T

π

Ω = 0. (3.10)

De (3.7), (3.9) y (3.10) obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordi-narias:

X00−λX= 0,

Y00−υY = 0,

Ω0−

kλ+kυ+T

π

Ω = 0.

Observamos que las condiciones de frontera dadas en (3.3) equivalen a:

∂Θ

∂x

_x₌₀=

∂Θ

∂x

_x₌_L=X

0₍₀₎_Y₍_y_)Ω(_t_{) =}_X0₍_L₎_Y₍_y_)Ω(_t_{) = 0}_,

0< y < π, t >0.

(43)

De lo anterior, resolveremos el problema:

X00−λX = 0,

X0(0) = 0, X0(L) = 0.

Notamos que (3.7) es una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes, entonces para resolverla la buscamos en la forma:

X(x) =erx.

Del polinomio caracter´ısticor2−λ= 0, analizamos tres casos:

Caso 1.λ >0.

Cuando resolvemos la ecuaci´on auxiliar, con λ > 0, se encontramos que las ra´ıcesr1,2=±

√

λson reales y distintas, en consecuencia la soluci´on de (3.7) es:

X(x) =c1e √

λx₊_c

2e− √

λx_.

ComoX0(0) yX0(L) son iguales a cero, entonces:

X0(x) =

√

λc1e √

λx₋√_λc

2e− √

λx_;

y

X0(0) =

√

λc1−

√

λc2= 0; encontramos quec1=c2, por otra parte,

X0(L) =√λc1e √

λL₋√_λc

2e− √

λL_{= 0}_,

comoc1=c2entonces:

c1

√

λe

√

λL₋_e−√λL_{= 0}_,

as´ı encontramos quec1= 0 yc2= 0, por lo tanto tenemos soluciones triviales de la ecuaci´on (3.7).

Caso 2.λ= 0.

(44)

X(x) =c1erx+c2xerx; comor= 0 se tiene:

X(x) =c1+c2x, por ello:

X0(x) =c2,

LuegoX(x) =c1, y as´ı hemos encontrado una soluci´on constante. Caso 3.λ <0.

Al resolver la ecuaci´on auxiliar con valores negativos paraλ, hallamos las ra´ıces

r1,2 =±

√

−λ, que son ra´ıces complejas, entonces la soluci´on de (3.7) se escribe como:

X(x) =c1cos(

√

−λx) +c2sen(

√ −λx),

por lo tanto su derivada es:

X0(x) =c2

√

−λcos√−λx−c1

√

−λsen√−λx,

al evaluarla en cero tenemos:

X0(0) =c2

√

−λ= 0,

por lo tantoc2= 0 y al evaluarla enLllegamos a:

X0(L) =c1

√

−λsen(√−λL) = 0,

este producto es cero cuando c1 = 0,λ= 0 ´o sen(

√

−λL) = 0, no queremos que c1 = 0 ya que tendr´ıamos una soluci´on trivial y hemos encontrado queλ es negativo por lo tanto:

sen(√−λL) = 0,

esto sucede cuando√−λL=mπ as´ı queλ=− mπ L

2

.As´ı encontramos que la soluci´onX(x) est´a dada por:

X(x) =c1cos(

√ −λx);

peroλ=− mπ L

2

(45)

X(x) =c1cos

mπ

L x

, (3.11)

pero tambi´en hemos encontrado que X(x) es igual a una constante a la que nombraremosc0, entonces la soluci´on puede escribirse de la forma:

X(x) =c0+c1cos

mπ

L x

,

param= 1,2,3, ...,. La soluci´on tambi´en se puede expresarse como:

X(x) =cmcos

mπ

L x

(3.12)

param= 1,2,3, ...,y dondecmson constantes arbitrarias no nulas.

Para encontrar a Y(y) hacemos uso de las condiciones de contorno dadas en (3.4) y obtenemos que:

Θ(x,0, t) = Θ(x, π, t) =X(x)Y(0)Ω(t) =X(x)Y(π)Ω(t) = 0.

Luego,

Y(0) =Y(π) = 0.

De lo anterior, resolveremos el problema:

Y00−υY = 0,

con condiciones de frontera:

Y(0) = 0, Y(π) = 0.

Buscaremos soluciones no triviales paraY(y) as´ı como lo hicimos paraX(x) a partir de la ecuaci´on auxiliarr2₋_υ_{= 0.}

Caso 1.υ >0.

Cuandoυ >0 las ra´ıces son r1,2=±

√

υpor lo tanto la soluci´on para (3.9) se puede escribir como

Y(y) =c1e √

υy₊_c

2e− √

υy_;

al sustituir las condiciones en la frontera tenemos:

(46)

Como

Y(π) =c2e √

υπ₊_c

2e− √

υπ _{= 0;}

entonces:

c2

e−

√

υπ₋_e√υπ_{= 0}_.

Luegoc2= 0 y comoc1=−c2, obtenemos soluciones triviales.

Caso 2.υ= 0.

Si υ = 0, las ra´ıces son r1 = r2 = 0; ya que se tienen ra´ıces repetidas, la soluci´on es:

Y(y) =c1ery+c2yery, que al evaluar en cero yπ, obtenemos:

Y(0) =c1= 0, y

Y(π) =c2πerπ= 0,

por lo quec2= 0; con lo que obtenemos nuevamente soluciones triviales.

Caso 3.υ <0.

Como obtenemos ra´ıces complejasr1,2=±i

√

υcuandoυes negativa, entonces la soluci´on para (3.9) es de la forma:

Y(y) =c1cos(

√

−υy) +c2sen(

√ −υy);

al sustituir las condiciones de contorno tenemos:

Y(0) =c1cos

√

−υ(0) +c2sen

√

−υ(0) = 0,

Y(0) =c1= 0, y al evaluarla enπobtenemos:

Y(π) =c2sen

√

(47)

como sen√−υπ = 0 cuando √−υ =n, con n ∈ Z. Por lo tanto la soluci´on

general para el problema (3.9) con valores en la fronteraY(0) = 0 yY(π) = 0 es:

Y(y) =c2sen(ny), (3.13) donden∈_Zpositivos.

Debido a que buscamos a Θ de la forma:

de las ecuaciones dadas en (3.12) y (3.13) obtenemos que:

Θ(x, y, t) =cmcos

mπ

L x

c2sen(ny)Ω(t);

dondem, n∈_Zpositivos.

Para encontrar a Ω(t) resolvemos a (3.10) por separaci´on de variables:

Z _Ω0₍_t₎

Ω(t)dt=

Z

kλ+kυ+T

π

dt,

eln Ω(t)=e[t(kλ+kυ+Tπ)+c]_,

Ω(t) =ce(kλ+kυ+Tπ)t_,

comoλ=− mπ L

2

yυ=−n2 tenemos que:

Ω(t) =c3e(−k(

mπ L )−kn

2₊T π)t_.

Al sustituirX(x),Y(y) y Ω(t) en la solución propuesta, tenemos que la solución expl´ıcita para la función de temperatura es:

Θ(x, y, t) =cmncos

mπ

L x

sen(ny)et

−k(πm

L )

2

−kn2₊T π

, (3.14)

dondem, n∈Zpositivos.

Para encontrar la solución de la función de corriente Ψ partimos de la suposi-ción que:

(48)

Como la soluci´on se propuso de la forma Ψ(x, y, t) =X∗(x)Y∗(y)Ω∗(t) enton-ces se tiene que:

X∗0=X=cmcos

mπ

L x

,

para encontrar a X∗(x) integramos la ecuaci´on anterior con respecto a x, y obtenemos:

cm

Z

cosmπ

L x

dx=cm

Lsen πmx L

πm +K,

luego:

X∗(x) =cmL

mπ sen

mπx

L

+K;

comoY(y) =Y∗(y) entonces:

Y∗(y) =c2sen(ny), y como tambi´en Ω(t) = Ω∗(t) entonces:

Ω∗(t) =c3e(−k(

mπ L )−kn

2₊T π)t_.

As´ı, la soluci´on para la funci´on de corriente es:

Ψ(x, y, t,) = senmπ

L x

sen(ny)e(−k(mπL )−kn 2₊T

π)t_. _(3.15)

Teorema 3.1.1. Teorema de JJVenegas Si la soluci´on del sistema:

∂Θ

∂t =−

∂(Ψ,Θ)

∂(x, y) +

T π

∂Ψ

∂x +k∆Θ,

∂∆Ψ

∂t =−

∂(Ψ,∆Ψ)

∂(x, y) +µ∆ 2_{Ψ +}_c

1

∂Θ

∂x;

se busca en forma de variables separables:

Ψ(x, y, t) =X∗(x)Y∗(y)Ω∗(t);

(49)

3.2. SOLUCI ´ON DEΘYΨCUANDO Ω(T)6= Ω∗₍_T₎ ₃₉

Θ(x, y, t) = ∞ X m=0 ∞ X n=1

amne

t−k(πm

L )

2

−kn2−T π

cosmπ

L x

sen(ny),

Ψ(x, y, t) = ∞ X m=0 ∞ X n=1

bmne

t−k(πm

L )

2

−kn2₋T π

senmπ

L x

sen(ny).

Hasta aqu´ı hemos encontrado una forma expl´ıcita para Θ(x, y, t) y Ψ(x, y, t), bajo los supuestos que Θ y Ψ son de la forma:

Ψ(x, y, t) =X∗(x)Y∗(y)Ω∗(t),

y se cumplen las condiciones:

X(x) =X∗0(x),Y(y) =Y∗(y) y Ω(t) = Ω∗(t).

3.2. Soluci´

on de

Θ

y

Ψ

cuando

Ω(

t

)

6 = Ω

∗

(

t

)

En lo que resta del cap´ıtulo vamos a continuar buscando las soluciones en la for-ma de separaci´on de variables, y supondremos que se cumple queX(x) =X∗(x),

Y(y) = Y∗(y) pero que Ω(t)6= Ω∗(t). As´ı, buscaremos la forma de encontrar las soluciones para Ω(t) y Ω∗(t).

Ya que las soluciones del sistema de ecuaciones parciales linealizado son de la forma:

Ψ(x, y, t) = Ω(t) sen(ax) sen(ny), (3.16)

Θ(x, y, t) = Ω∗(t) cos(ax) sen(ny), (3.17)

donde apertenece a los n´umeros reales yn a los enteros positivos. Ahora se sustituyen estas soluciones (3.16) y (3.17) en el sistema linealizado formado por (3.1) y (3.2) para obtener un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en t´erminos de Ω∗(t) y Ω(t). Para realizar este proceso necesitaremos las siguientes derivadas:

∂Ψ

(50)

∂2Ψ

∂x2 = −a

2_Ω(_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

∂Ψ

∂y = nΩ(t) cos(ny) sen(ax), ∂2Ψ

∂y2 = −n

2_Ω(_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

∂Θ

∂x = −aΩ

∗₍_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

∂2_Θ

∂x2 = −a

2_Ω∗₍_t_{) cos(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

∂Θ

∂y = nΩ

∗₍_t_{) cos(}_ax_{) cos(}_ny₎_,

∂2_Θ

∂y2 = −n

2_Ω∗₍_t_{) cos(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

∂Θ

∂t = Ω

∗0₍_t_{) cos(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

∂4_Ψ

∂x4 = a

4_Ω(_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

∂4Ψ

∂y4 = n

4_Ω(_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

∂4_Ψ

∂x∂y2_∂x = a

2_n2_Ω(_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

∂4_Ψ

∂y∂x2_∂y = a

2_n2_Ω(_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎_,

al sustituir la soluci´on y sus derivadas en (3.1) obtenemos:

∂ ∂t −a

2_Ω(_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎₋_n2_Ω(_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎ =

µ[a4Ω(t) sen(ax) sen(ny) +n4Ω(t) sen(ax) sen(ny)+

a2n2Ω(t) sen(ax) sen(ny) +a2n2Ω(t) sen(ax) sen(ny)]−

c1aΩ∗(t) sen(ax) sen(ny);

al resolver la derivada en el primer miembro y factorizando tenemos:

−a2_Ω0₍_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny₎₋_n2_Ω0₍_t_{) sen(}_ax_{) sen(}_ny_{) =}

µ[Ω(t) sen(ax) sen(ny)(a2₊_n2₎2_]₋_c

(51)

3.2. SOLUCI ´ON DEΘYΨCUANDO Ω(T)6= Ω∗₍_T₎ ₄₁

luego:

−(a2+n2)Ω0(t)−µΩ(t)(a2+n2)2+c1aΩ∗(t)

sen(ax) sen(ny) = 0,

como sen(ax) sen(ny)6= 0, entonces tenemos:

Ω0(t) =−µ(a2+n2)Ω(t) + c1a

a2₊_n2Ω

∗₍_t₎_. _(3.18)

Ahora, sustituimos las soluciones y sus derivadas en (3.2) y vemos que se cum-ple:

Ω∗(t) cos(ax) sen(ny) =T_πaΩ(t) cos(ax) sen(ny)+

k −a2Ω∗(t) cos(ax) sen(ny)−n2Ω∗(t) cos(ax) sen(ny); luego:

Ω∗0(t)−T

πΩ(t) + Ω

∗₍_t₎₍_a2₊_n2₎_k

cos(ax) sen(ny) = 0.

Como cos(ax) sen(ny)6= 0, entonces se tiene:

Ω∗0(t) = T

πaΩ(t)−k(a

2

+n2)Ω∗(t). (3.19)

As´ı, tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias formado por (3.18) y (3.19):

Ω0(t) =−µ(a2+n2)Ω(t) + c1a

a2₊_n2Ω ∗₍_t₎_,

Ω∗0(t) = T

πaΩ(t)−k(a

2₊_n2_)Ω∗₍_t₎_.

Recordemos que este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias surge de la necesidad de encontrar a Ω(t) y Ω∗(t) en (3.16) y (3.17), que a su vez son soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales parciales linealizado, (3.1)-(3.2). En lo que sigue, analizaremos la estabilidad local del sistema (3.18)-(3.19).

Este es un sistema lineal cuya matriz de coeficientes es:

A= 



−µ(a2+n2) c1a(a2+n2)−1

T

πa −k(a

2₊_n2₎ 

(52)

Para asegurarnos de que (0,0) es el ´unico punto cr´ıtico, supondremos que el

detA=µk(a2₊_n2₎2₋ a2_c 1T

π(a2₊_n2₎ es distinto de cero.

SitrA=−µ(a2₊_n2₎₋_k₍_a2₊_n2_{) =}₋₍_a2₊_n2₎₍_µ₊_k₎_,_{entonces la ecuaci´}_on caracter´ıstica puede escribirse como:

λ2−trAλ+detA= 0,

cuyos valores propios est´an dados por:

λ1,2=

trA±p(trA)2₋₄_detA

2 .

Observamos que el determinante deAdepende de la temperaturaT, ya que:

detA=µk(a2+n2)2− a

2_c 1T

π(a2₊_n2₎.

Notemos que si T = 0, entonces detA > 0, pero conforme T aumenta, detA

decrece hasta volverse negativo. F´ısicamente significa que siT = 0, el origen ser´a estable, pero conforme se incrementa la temperatura, habr´a un valor umbralTn,a

de temperatura, en el cual el origen dejar´a de ser estable para volverse inestable. Este valorTn,a, se alcanzar´a cuandodetA= 0; es decir, cuando:

µk(a2+n2)2= Tn,aa 2_c

1

π(a2₊_n2₎, esto es; cuando:

Tn,a=

µkπ(a2₊_n2₎3

a2_c 1

.

As´ı, siT > Tn,a, entonces:

µk(a2+n2)2= Tn,aa 2_c

1

π(a2₊_n2₎<

T a2_c 1

π(a2₊_n2₎; luego:

detA=µk(a2+n2)2− T a

2_c 1

π(a2₊_n2₎ <0, por lo que el origen ser´ıa inestable.

Ahora bien, como el valor Tn,a depende de n y a, entonces buscaremos los

(53)

3.2. SOLUCI ´ON DEΘYΨCUANDO Ω(T)6= Ω∗₍_T₎ ₄₃

Es claro quen = 1 es el valor m´ınimo para Tn,a, como funci´on de n. As´ı, para

n= 1, se tiene que el m´ınimo deT1,a, como funci´on dea, es:

a= r

1 2; ya que:

T0(a) = mkπ

c1

₆_a3₍_a2_{+ 1)}2₋₂_a₍_a2_{+ 1)}3

a4

,

se anula en a1 = − q

1

2 y a2 = q

1

2; pero como a > 0, entonces tomamos

a=q1₂.

De esta forma, la temperatura cr´ıticaTc es:

Tc =T₁_,√1 2

=27µkπ 4c1

. (3.20)

As´ı, mientras T sea menor que Tc, tendremos que el origen (Ω(0),Ω∗(0)) =

(0,0) será estable; esto es, si damos una condición inicial (Ω1(t0),Ω2(t0)) cercana al origen, la solución (Ω(t),Ω∗(t))→(0,0), cuandot→ ∞.

Por el contrario, si T > tc; al dar la condici´on inicial cercana al origen, la

soluci´on (Ω(t),Ω∗(t)) se alejar´a del origen.

Teorema 3.2.1. Temperatura cr´ıtica y estabilidad.

Si se tiene un fluido bidimensional incompresible contenido entre dos placas, donde T es la temperatura de la placa inferior, entonces el sistema (3.18)-(3.19) es:

Estable en(Ω(0),Ω∗(0)) = (0,0) siT < Tc.

Inestable en(Ω(0),Ω∗(0)) = (0,0) siT > Tc.

donde Tc es la temperatura critica y esta dada por:

Tc =T₁_,√1 2

=27µkπ 4c1

.