TEMA 2. DISTRIBUCIONES DE MASAS
1. Halla la fuerza gravitatoria entre: a. Un protón y un electrón. b. Dos protones.
c. Dos electrones.
2. Señala al menos tres propiedades de las líneas de campo.
3. ¿Puede ser nula la intensidad del campo en un punto y no serlo el potencial? ¿Por qué?
4. Representa el aspecto que muestra el campo gravitatorio creado por dos masas idénticas y separadas una distancia d.
5. ¿Qué pasaría si desde una nave orbital se dejase caer un objeto?
6. Justifica si es cierta la siguiente afirmación: “cuando dos masas, M1 y M2, crean un
campo gravitatorio en la misma región del espacio hay puntos en los que se cruzan las Líneas del campo que crea cada una de ellas y puntos en los que se cortan las superficies equipotenciales correspondientes a cada una de ellas”.
7. Razona si el vector intensidad de campo gravitatorio tiene el sentido de los potenciales crecientes o decrecientes.
8. Explica qué son las líneas de campo e indica si pueden cortarse entre sí y por qué. 9. ¿Coinciden las líneas de campo del campo gravitatorio con las trayectorias de las
partículas materiales que se mueven libremente bajo su acción? Justifica la respuesta. 10. Explica a qué llamamos superficies equipotenciales e indica si pueden cortarse entre sí.
Razona tu respuesta.
11. Indica cuál es la relación que existe entre las líneas de un campo conservativo y sus superficies equipotenciales.
12. Dos masas aisladas se atraen gravitacionalmente. Si una es el doble que la otra, ¿cómo serán en comparación las fuerzas que actúan sobre cada una de ellas? ¿Qué pasará con las fuerzas si la distancia entre las masas se reduce a la mitad? ¿Cómo serán, en comparación, las aceleraciones que adquirirán las masas?
13. Tres masas puntuales iguales de 5 kg se encuentran situadas en los vértices inferiores de un triángulo equilátero de 40 centímetros de lado. Si se coloca en el vértice superior una tercera masa m’:
a. ¿Qué aceleración adquiere esta última masa en ese punto (notación vectorial)?
b. ¿Descenderá con aceleración constante?
c. ¿Qué aceleración tendrá en el momento de llegar a la base del triángulo? 14. Dos masas puntuales de 10 kg cada una se encuentran fijas en dos puntos separados
por una distancia de un metro. Una tercera masa de 0,5 kg se abandona en un punto A equidistante de ambas y situado a 30 centímetros por encima del punto medio B del segmento que las une. Calcula:
15. Dos de los vértices del triángulo equilátero de un metro de lado de colocadas en dos masas de 3 kg cada una. Calcula el módulo, la dirección y el sentido de la fuerza con la que actúan sobre otra masa de 5 kg colocada en el otro vértice.
16. Tres masas puntuales de 1 kg están situadas en tres vértices de un cuadrado de un metro de lado. ¿Qué fuerza actúa sobre una cuarta masa de un kilogramo colocada en el otro vértice?
17. Dos puntos materiales de masas M y 2M se encuentran a una distancia de un metro. ¿Dónde habrá que colocar otro objeto para que esté en equilibrio?
18. En el origen de coordenadas se sitúa una masa m1=1kg, en el punto A (3, O) se coloca otra masa m2 = 2 kg y en el punto B (O, 4) una tercera mg = 3 kg. El módulo de la fuerza que actúa sobre la masa colocada en el origen es:
a. 1,94·10-11 N. b. 2,73·10-11 N. c. O N.
d. 1,94·10-9 N.
19. Calcula la masa y el peso que tendrá un cuerpo en la Luna si en la Tierra pesa 980 N. ¿Coincidirá el resultado con lo que mide la balanza en ambos lugares?
Datos: ; ; ⁄ .
20. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen más rápido los cuerpos:
a. De mayor masa. b. De menor masa. c. Todos igual de rápido.
21. Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g.
a. Si hiciésemos la experiencia en la Luna, ¿cuántas pesas tendríamos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?
b. ¿Y si hiciésemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: ; .
22. Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuál es su peso? ¿Y cuál sería su peso…
a. …si la masa de la Tierra se reduce a la mitad? b. …si el radio de la Tierra se reduce a la mitad?
c. …si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: .
23. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamaño, ¿cuál será su peso? Dato:
.
25. Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequeña masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vértices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:
a. A y B se acercarán uno al otro más rápidamente. b. C y X se acercarán uno al otro más rápidamente. c. Se acercarán ambas parejas con la misma aceleración.
26. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 · 108 m, ¿en qué punto debiera situarse un satélite de 10 toneladas para que sea igualmente atraído por ambas? ¿Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas?
Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra.
27. En los vértices inferiores de un rectángulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que está en el tercer vértice, si la altura del rectángulo es de 3 m.
28. Sabemos que la distancia entre los centros dela Tierra y de la Luna es de unos 3,84 · 105 km y que la masa de la Luna es 0,012 veces la dela Tierra. Calcula en qué punto, entre la Tierra y la Luna, un objeto se encontraría en equilibrio debido a la atracción de los astros. ¿Es estable o inestable el equilibrio? ¿Por qué?
29. Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan posiciones fijas separadas por una distancia de 2 m, según indica la figura. Una tercera masa, m'= 0,2 kg, se suelta desde el reposo en el punto A, equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la línea que las une ( ̅̅̅̅ = 1 m). Si no actúan más que las acciones gravitatorias de las masas, determina:
a. La fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la masa m’ en la posición A.
b. Las aceleraciones de m’en las posiciones A y B. Dato: .
30. Explica cómo sería el movimiento de un objeto que se dejase caer, desde la superficie terrestre, a través de un túnel que la atravesara diametralmente. Desprecia todos los rozamientos.
31. ¿A qué altura sobre la superficie dela Tierra se debe encontrar un cuerpo para que su peso disminuya un 10% respecto del que tiene en la superficie?
Dato: .
32. Si, por alguna razón, la masa dela Tierra se redujese a la mitad, para que la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna se mantuviese constante, la distancia entre ambas debería:
b. Hacerse √ veces mayor. c. Hacerse 2 veces mayor. d. Hacerse 2 veces menor.
33. El peso de una persona respecto a su peso a nivel del mar es mayor: a. En la cima de una montaña.
b. En todas partes es igual. c. En ningún sitio.
d. Cerca del centro dela Tierra.
34. Se tienen dos cuerpos de masa m, compuestos por dos sustancias distintas que se subliman y separados por una distancia r. Al cabo de un cierto tiempo la masa del primero se ha reducido a la mitad, y la del segundo, a la octava parte. Para que la fuerza de atracción entre ellos recupere su valor, es necesario:
a. Acercarlos hasta una distancia igual a la cuarta parte de la inicial. b. Acercarlos hasta una distancia igual a la sexta parte de la inicial. c. Acercarlos hasta una distancia 16 veces menor que la inicial.
d. Acercarlos hasta una distancia igual a la mitad de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de 8 y 2.
35. Si la Tierra tuviera un radio igual a la mitad del actual conservando la misma masa, deduce, razonadamente, si los cuerpos situados sobre su superficie pesarían cuatro veces más.
36. ¿Cómo se ve afectada la interacción gravitatoria entre dos masas si en las proximidades de ambas se coloca una tercera masa, también puntual?
a. Aumenta. b. Disminuye. c. No influye.
d. Depende de la posición de la tercera masa.
Realiza un esquema de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre la tercera masa. 37. La masa es una propiedad que determina la aceleración de los cuerpos y su interacción
gravitatoria mutua. Supón que la masa puede ser negativa y considera dos masas aisladas en el espacio, inicialmente en reposo, tales que M1 > 0 y M2 < 0 con | | . En este caso, indica que respuesta seria correcta y justifícalo:
a. Las dos masas se mueven alejándose una de otra. b. Las masas se acercan entre sí.
c. Las masas se mueven en la misma dirección y M2 alcanza a M1.
d. M1 se queda en reposo y M2 se aleja de ella.
38. Una mujer cuyo peso en la Tierra es de 700 N se traslada a una altura de dos radios terrestres por encima de la superficie de la Tierra. ¿Cuál será su peso a dicha altura? 39. Una vez conocido el valor de la constante de gravitación universal, G, el británico
Cavendish obtuvo el valor de la densidad media de la Tierra. ¿Cómo se puede calcular y que valor se obtiene?
Datos: ; ..
40. Calcula el potencial gravitatorio que crea la Tierra considerada como una masa puntual en los siguientes puntos:
b. En el punto en que se anulan los campos gravitatorias creados por la Tierra en la Luna sabiendo que la masa de la Tierra es 80 veces mayor que la de la Luna. 41. Dos masas de 2 y 5 kg se encuentran separadas una distancia de un metro. ¿en qué
punto a lo largo de la línea que une las masas se anula el campo gravitatorio?
42. Calcula hasta qué altura sobre la superficie terrestre habrá que elevarse para reducir el peso en un 35%.
43. Un astronauta tiene un peso en la Tierra de 800 N. Cuando llega la Luna observa que pesa 160 N. Halla la intensidad del campo gravitatorio de la Luna.
44. Tres masas de 2, 8 y 4 kg se encuentran los puntos B(2,0), O(0,0) y A(0,2) en metros, respectivamente.
a. Halla el campo gravitatorio en el punto (2,2).
b. ¿Qué trabajo habría que realizar para llevar una masa de 5 kg desde el infinito hasta el punto (2,2)?
45. Calcula el campo gravitatorio en Marte sabiendo que el radio de Marte es la mitad que el de la Tierra y que su masa es la centésima parte de la de la Tierra.
46. Una forma de perder peso consiste en elevarse por encima de la superficie de la Tierra. Determina lo que pesa un astronauta de 100 kg de masa en la Tierra cuando se eleva a una altura de 2RT. ¿Se encontraría el astronauta más delgado y estilizado?
47. Cuatro masas de valores 1, 2, 3 y 4 kg se encuentran los vértices de un cuadrado de un metro de lado. Halla la intensidad del campo y el potencial gravitatorio en el centro del cuadrado.
48. La masa de la Luna es 6,7 ·1022 kg y la distancia Tierra Luna es de 380.000 km. Calcula: a. ¿En qué punto, entre la Tierra la Luna, se anula el campo?
b. ¿Cuál sería el peso de una masa M colocada en ese punto?
49. Imagínate que un planeta aumentara de tamaño sin alterar su densidad. ¿Se elevaría o disminuiría el peso de los cuerpos en su superficie?
50. Unos astronautas, al llegar a un planeta desconocido de gran tamaño, ponen su nave a orbitar a baja altura del planeta y con los motores desconectados. ¿Cómo podrían estimar la densidad del planeta usando sólo un reloj?
51. Considerando que la densidad media de la Tierra es de 5500 kg/m3, y teniendo en cuenta el valor de su radio, haz una estimación del valor de la constante G.
52. Supongamos que la Tierra tiene una densidad media d. Cuál sería el valor de g sobre su superficie si:
a. El diámetro fuese la mitad y la densidad fuese la misma. b. El diámetro fuese el doble sin variar la densidad.
53. Dos planetas extrasolares A y B presentan la misma densidad, pero el radio de A es el doble que el de B. ¿Cómo serán en comparación los pesos de una misma masa m en sus respectivas superficies?
54. La densidad de Marte es 0,71 veces la de la Tierra, mientras que su diámetro es 0,53 veces el terrestre. Explica cómo serán, en comparación, los pesos de una misma masa m en Marte y en la Tierra. ¿Cuál es el valor de g en la superficie de Marte si en la Tierra es de 9,8 m/s2?
b. El valor de la gravedad en su superficie en relación con el terrestre.
56. La masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra, su radio medio es 10,85 veces el terrestre y se distancia media del Sol es 5,2 veces la de la Tierra. Con estos datos calcula el periodo orbital en torno al Sol en relación a un año terrestre y el valor de la gravedad de su superficie en relación al de la Tierra.
57. Supón que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa. ¿Aumentaría el valor de la aceleración de la gravedad de su superficie? ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol?
58. Calcula el valor de la aceleración de la gravedad de la superficie del planeta Mercurio, sabiendo que su radio es igual a la tercera parte de radio terrestre y que su densidad es igual a 3/5 de la densidad de la Tierra.
59. La aceleración de la gravedad en un planeta es de 5 m/s2. Si su radio es igual a la mitad del radio terrestre, calcula la relación de su masa con la masa de la Tierra.
60. Un planeta de forma esférica tiene un radio de 3000 km y la aceleración de la gravedad de su superficie es de 6 m/s2. Calcula su densidad media.
61. Un cuerpo de masa 100 kg está situado en la superficie de la Tierra. ¿Cuál es su peso? Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo la masa de ésta, ¿cuál sería entonces el peso del cuerpo? Sí se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo constante su densidad media, ¿cuál sería en tal caso el peso del objeto?
62. Un satélite artificial describe una órbita circular de radio 2RTierra en torno a la Tierra.
Calcula su velocidad orbital y el peso del satélite en órbita si en la superficie de la Tierra pesa 5000 N. Dato: RTierra = 6400 km.
63. Un satélite gira alrededor de la Tierra en órbita circular de 20000 km de radio. Si el radio de la Tierra es igual a 6370 km y la aceleración de la gravedad de su superficie es 9,8 m/s2, calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la órbita y la velocidad angular del satélite.
64. A que altura sobre la superficie de la Tierra se reduce a la mitad el campo gravitatorio terrestre? RT = 6 400 km.
65. ¿Cuál será el peso de un objeto al elevarlo a una distancia igual a dos veces el RTierra?
a. 3 · Psuperficie.
b. Psuperficie /3.
c. Psuperficie /9.
d. Psuperficie /2.
66. Un planeta posee un radio que es el doble del radio terrestre y su densidad media es la misma que la de la Tierra. El peso de los objetos en ese planeta respecto de lo que pesan en la Tierra es:
a. 2 · PTierra.
b. PTierra.
c. PTierra/2.
d. PTierra/4.
b. El potencial gravitatorio es una magnitud cuyo signo es siempre negativo. c. El trabajo para transportar una masa por una superficie equipotencial es
siempre positivo.
d. Las superficies equipotenciales no se pueden cortar.
68. Si la Tierra redujese su radio a la mitad conservando su masa, el módulo del campo gravitatorio en su superficie es:
a. 2 · g0.
b. 4 · g0.
c. g0/2.
d. g0.
69. El potencial gravitatorio en el punto medio del segmento que une a dos masa de 1 kg situadas a 4 m de distancia es:
a. 0 J/kg.
b. 6,67 · 10-11 J/kg. c. - 6,67 · 10-11 J/kg. d. 0,5 J/kg.
70. El campo gravitatorio terrestre se reduce a la mitad de su valor en la superficie de la Tierra a una distancia del centro de la Tierra de:
a. RTierra/2.
b. 2 · RTierra.
c. RTierra.
d. 4 · RTierra.
71. Indica si es cierta o no la siguiente expresión: “si el valor del campo gravitatorio debido a una masa M1 en un punto A es -8 N/kg y el campo en ese mismo punto creado por
una masa M2 es -4 N/kg, el campo debido a la acción conjunta de las masas M1 y M2 en
el punto A es -12 N/kg”.
72. Indica si es cierta o no la siguiente expresión: “Si el valor del potencial gravitatorio debido a una masa M1 en un punto A es -8 J/kg y el potencial en ese mismo punto
creado por una masa M2 es -4 J/kg, el potencial debido a la acción conjunta de las
masas M1, y M2 en el punto A es -12 J/kg”.
73. Dadas dos masas, M1 y M2:
a. ¿Existirá algún punto del espacio en el que el campo gravitatorio provocado por esas dos masas sea cero?
b. ¿Existirá algún punto del espacio en el que el potencial gravitatorio provocado por esas dos masas sea cero?
74. Razona cuál de las siguientes respuestas es correcta. Dadas dos masas puntuales iguales, el campo y el potencial en el punto medio de la línea que une ambas masas es:
a. g = 0; V < O. b. g = 0; V = O. c. g = 0; V > 0. d. g 0; V < 0. e. g 0; V > 0.
b. El potencial en ese punto.
76. ¿Cómo varía g al profundizar hacia el interior de la Tierra? a. Aumenta.
b. Disminuye. c. No varia.
77. a) Escribe y comenta la ley de la gravitación universal.
b) Dos planetas esféricos tienen la misma masa, M1 = M2, pero la aceleración de la
gravedad en la superficie del primero es cuatro veces mayor que en la del segundo, g1 = 4g2. Calcula la relación entre los radios de los dos planetas, R1/R2, y entre sus
densidades medias, d1/d2.
78. a) Un astronauta de m = 80 kg está en la estación espacial orbital girando en torno a la Tierra. Al intentar pesarse, la balanza marca cero. Explica por qué marca cero y si actúa o no la gravedad terrestre en ese punto.
b) Si este mismo astronauta aterriza en un planeta que tiene la misma densidad que la Tierra, pero su radio es 10 veces mayor, ¿cuál sería el peso en ese planeta en comparación con el peso en la Tierra?
79. Calcula la aceleración de la gravedad en un punto que está situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).
80. Llamando g0 y V0 a la intensidad del campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en la
superficie terrestre, respectivamente, determina en función del radio de la Tierra: a. La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad del campo
gravitatorio es g0/2.
b. La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V0/2.
81. Imagina que, por alguna causa interna, la Tierra redujese su masa a la mitad manteniendo su radio constante y responde a las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál sería la intensidad de la gravedad en su superficie? b. ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol?
82. Considera cuatro masas puntuales de igual valor m colocadas en los vértices de un cuadrado de lado l. Calcula la intensidad de campo y el potencial gravitatorios en los siguientes puntos:
a. En el centro del cuadrado. b. En el centro de uno de los lados.
83. Un astronauta hace experimentos con un péndulo de 1 m de longitud en un planeta que tiene un radio que es 7/10 del de la Tierra. Si el periodo de oscilación del péndulo es de 2,5 s, ¿cuál es la masa del planeta?
Datos: ;
85. La nave espacial Cassiny-Huygens orbita alrededor de Saturno en una misión para estudiar este planeta y su entorno. La masa de Saturno es de 5684,6 · 1023 kg y la de la nave, de 6000 kg. Cuando la nave espacial pasa a 1270 km de la superficie de Titán (la Luna más grande de Saturno, con un radio de 2 575 km y 1345 · 1020 kg de masa), se libera de ella la sonda Huygens. Calcula la aceleración a que se ve sometida la sonda en el punto en que se desprende de la nave y empieza a caer hacia Titán (considera Solo la influencia gravitatoria de Titán). Dato: .
86. La Luna describe una órbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 días. a. Calcula la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna.
b. Halla el valor de la masa de la Luna sabiendo que una partícula de masa m podría estar en equilibrio en un punto alineado con los centros de la Tierra y de la Luna y a una distancia del centro de la Tierra de 3,4 · 109 m.
c. Si en la Luna se deja caer, sin velocidad inicial, un objeto desde una altura de 10 m, ¿con que velocidad llegará al suelo?
Datos: ; ; .
87. Dos planetas, A y B, de masas mA y mB, siendo mA = 25 mB, tienen la misma intensidad
de la gravedad en su superficie. Determina cuál es el planeta de mayor densidad y la relación entre las densidades de ambos.
88. La masa de la Luna es 0,0123 veces la de la Tierra y su radio mide 1.74 ·106 m. Calcula el período de oscilación en la Luna de un péndulo cuyo período en la Tierra es de 5 s. Dato: radio de la Tierra, .
89. Determina la fuerza que actúa sobre la masa m’ de la distribución que se aprecien la figura:
90. Dos masas puntuales de valor m se encuentran situados sobre el eje y en las posiciones y = +a e y = -a con respecto al origen.
a. Demuestra, detallando todos los pasos y argumentando la respuesta, que la fuerza que ambas masas ejercen sobre una tercera m0 situada sobre el eje x a una distancia x del origen, es:
⃗ ( ) ⁄ ⃗
b. ¿Qué expresión se obtendrá si situamos la masa m0 a una distancia x mucho
91. Considera cuatro masas puntuales iguales en los vértices de un cuadrado de lado l. Calcula la intensidad de campo y el potencial gravitatorios:
a. En un punto P situado sobre la perpendicular al plano del cuadrado por su centro y a distancia l.
b. En el centro del cuadrado.
c. Calcula, además, la velocidad de una masa m abandonada en reposo en el punto P, al llegar al Centro del cuadrado.
