COLEGIO DE BACHILLERES
PLANTEL 15 “CONTRERAS”
GUÍA DE ESTUDIO DE
MATEMÁTICAS VI
CLAVE 604
Plan 2014
Fecha de elaboración: JUNIO 2017
1. Calcula r lo s cua rtile s las se ries e sta dística s:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1 .
10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6 , 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 1 8
a)
b)
3
26/4 = 6.5 Q1 = 7
Q2 = Me = 10
4. Una distribución estadística viene d ada por la sigu iente tabla:
fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2
Hallar los c uartiles 1º y 3º.
xi fi Fi
[10, 15) 12.5 3 3
[15, 20) 17.5 5 8
[25, 30) 27.5 4 19
[30, 35) 32.5 2 21
21
5 .Dada la d istribución estad ística:
fi
[0, 5) 3
[5, 10) 5
[10, 15) 7
[20, 25) 2
[25, ∞) 6
Calcu lar los Cuartiles 2º y 3º:
6. El histo grama de la distribución co rrespondiente al pe so de 1
¿A partir de que va lores se encuentra n el 25 % de los alu mnos más pesados?
El va lor a partir d el cua l se enc uentra e l 25% de los a lumno s más
pesa dos e s el cuart il tercero.
7. Dadas las se ries estad ísticas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1 .
Calcu lar:
Los deciles 2º y 7º .
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
8 · (2 /10) = 1.6 D2 = 2
8 · (7 /10) = 5.6 D7 = 6
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1 .
8 · (2 /10) = 1.6 D2 = 2
8. Calcula r los de ciles de la distribu ción de la tabla:
fi Fi
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Cálculo del se gundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del c uarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sé ptimo decil
Cálculo del octa vo decil
9. Una distribución estadística viene d ada por la sigu iente tabla:
fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2
Hallar los deciles 3º y 6º.
xi fi Fi
[10, 15) 12.5 3 3
[15, 20) 17.5 5 8
[25, 30) 27.5 4 19
[30, 35) 32.5 2 21
21
10. Ha llar la des vi a ción media d e la s er ies d e números s ig uientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
Des viación media
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Des viación media
11 .Calcula r la des viación me dia de la distribución:
xi fi xi · fi |x - x| |x - x| · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428
12 .Calcula r la des viación me dia de una distribución estadística que vie ne dada por la sigu iente tabla:
fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2
xi fi |x − x | · fi
[10, 15) 12.5 3 27.857
[15, 20) 17.5 5 21.429
[25, 30) 27.5 4 22.857
[30, 35) 32.5 2 21.429
21 98.571
Media
Desviación media
13. Ha llar l a des vi a ción media, la vari a nza y la de s viaci ón
típica de la ser ies d e números s ig uie nte s:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Media
Des viación típica
14. Un pediatra obtuvo la siguiente ta bla sobre los mese s de
edad de 50 niños d e su consu lta en el momento de andar por primera ve z:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
14 8
15 1
Calcu lar la des via ción típica.
xi fi Ni xi · fi x²i · fi
9 1 1 9 81
10 4 5 40 400
11 9 14 99 1089
12 16 30 192 2304
13 11 41 143 1859
14 8 49 112 1568
15 1 50 15 225
15.. El resultado de lan zar dos dados 120 ve ces viene d ado por la ta bla:
Sumas Veces
2 3
3 8
4 9
5 11
6 20
7 19
8 16
9 13
Calcu lar la des via ción típica.
xi fi xi · fi xi2 · fi
2 3 6 12
3 8 24 72
4 9 36 144
5 11 55 275
6 20 120 720
7 19 133 931
8 16 128 1024
9 13 117 1053
11 6
10 11 110 1100
11 6 66 726
12 4 48 576
120 843 6633
16. Calcula r la des viación típica de u na distribución
estadística que vie ne dada por la sigu iente tabla:
fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[30, 35) 2
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 468.75
[15, 20) 17.5 5 87.5 1531.25
[20, 25) 22.5 7 157.5 3543.75
[25, 30) 27.5 4 110 3025
[30, 35) 32.5 2 65 2112.5
21 457.5 10681.25
Media
Des viación típica
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
18. Las altu ras de los ju gadore s de un equ ipo de balonce sto
Altura Nº de Jugadores
[1.70, 1.75) 1
[1.75, 1.80) 3
[1.80, 1.85) 4
[1.85, 1.90) 8
[1.90, 1.95) 5
[1.95, 2.00) 2
Calcu lar la des via ción típica
xi fi Fi xi · fi xi2 · fi
[1.70, 1.75) 1.725 1 1 1.725 2.976
[1.75, 1.80) 1.775 3 4 5.325 9.453
[1.85, 1.90) 1.875 8 16 15 28.128
[1.90, 1.95) 1.925 5 21 9.625 18.53
[1.95, 2.00) 1.975 2 23 3.95 7.802
23 42.925 80.213
Media
Des viación típica
19. Dada la d istrib ución estad ística:
fi
[0, 5) 3
[10, 15) 7
[15, 20) 8
[20, 25) 2
[25, ∞) 6
Calcu lar la des via ción típica.
xi fi Fi
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
31
Media
No se puede calcular la media, po rqu e no se puede hallar la
marca de clase del último intervalo.
Des viación típica
Si no ha y me dia no es posible ha lla r la des viación típic a
20. Durante e l mes de julio, en una ciudad se han re gistrado las
siguiente s tempera turas má ximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
Construir la tabla de frec uencias.
xi fi Fi ni Ni
27 1 1 0.032 0.032
28 2 3 0.065 0.097
29 6 9 0.194 0.290
31 8 24 0.258 0.774
32 3 27 0.097 0.871
33 3 30 0.097 0.968
34 1 31 0.032 1
31 1
21. Los pesos de los 65 empleados d e una fábrica vienen dados
por la sigu iente tab la:
Peso fi
[50, 60) 8
[60, 70) 10
[70, 80) 16
[80,90) 14
[100, 110) 5
[110, 120) 2
Construir la tabla de frec uencias.
xi fi Fi ni Ni
[50, 60) 55 8 8 0.12 0.12
[60, 70) 65 10 18 0.15 0.27
[70, 80) 75 16 34 0.24 0.51
[80,90) 85 14 48 0.22 0.73
[90, 100) 95 10 58 0.15 0.88
[100, 110) 105 5 63 0.08 0.96
[110, 120) 115 2 65 0.03 0.99
22. Un dentista observa e l número de carie s en cada uno de los 100 niños de cierto cole gio. La información obtenida a p arecer
resumida en la siguiente ta bla:
Nº de caries fi ni
0 25 0.25
1 20 0.2
2 x z
3 15 0.15
4 y 0.05
Completar la tabla obteniendo los valo res x, y, z.
La suma de las fre cuencias re lativas ha de ser igual a 1:
0.25 + 0.2 + z + 0.15 + 0.05 = 1
0.65 + z = 1 z = 0.35
La frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia
Nº de caries fi ni fi · ni
0 25 0.25 0
1 20 0.2 20
2 35 0.35 70
3 15 0.15 45
4 5 0.05 20
155
23. Completar los datos que faltan en la siguiente tabla
estadís tica:
1 4 0.08
2 4
3 16 0.16
4 7 0.14
5 5 28
6 38
7 7 45
8
Calcu lar la me dia, mediana y moda d e esta distribución.
Primera fila:
F1 = 4
Segunda fila:
Tercera fila:
Cuarta fila:
N4 = 16 + 7 = 23
Quinta fila:
Sexta fila:
28 + n8 = 38 n8 = 10
Séptima fila:
Octa va fila:
N8 = N = 50 n8 = 50 − 45 = 5
1 4 4 0.08 4
2 4 8 0.08 8
3 8 16 0.16 24
4 7 23 0.14 28
5 5 28 0.1 25
6 10 38 0.2 60
7 7 45 0.14 49
8 5 50 0.1 40
50 238
25. En cie rto barrio se qu iere hacer un estudio pa ra conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Pa ra ello van a se r en cuestados 100 in dividuo s elegidos a l a za r.
a) Exp licar qué p roce dimiento de sele cción sería más ade cuado utiliza r: muestreo con o sin reposición . ¿Por qué?
Todas las fórmulas que hemos e studiado de teo ría del muestreo y de in ferencia estad ística presuponen que las poblaciones son infinitas o que, si no lo son, el mue streo aleatorio se realiza con reposición.
b) Como los gustos ca mbian con la edad y se sabe que en el b arrio
viven 2.500 n iños, 7.000 adultos y 500 ancianos ,
posteriormente se decide e le gir la mu estra anterior utilizando un muestreo estratificado. Dete rminar el tamaño muestra l correspondiente a cada estrato .
Para efectuar un muestreo aleato rio estratificado, será necesario que la muestra refleje fielmente los e stratos existente s en la p oblación; deben considera rse los estratos formados por: niño s, adultos y ancian os.
El tamaño muestral de cada e strato de berá se r p roporcio nal a la pre sencia de l mismo en la població n original:
26. En cierta ca dena de centros comercia les trabajan 150 personas en e l departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el de partamento de contabilidad y 100 depa rtamentos de atención a l cliente. Con objeto de realiza r una encuesta labora l, se quie re selecciona r una muestra de 180 trabajado re s.
a) ¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar pa ra la selección de la muestra si que re mos que inclu ya a t rabajado res de los cuatro departamentos mencionados?
Utilizaremos un muestreo aleatorio estratificado, ya que queremos que h aya rep resentante s de cada uno de los departamentos.
b) ¿Qué número de trabajadores tendría mos que se leccion ar en
cada departamento atendiendo a un criterio de
27. Sea la pobla ció n de elementos: {2 2,24, 26}.
a) Escriba todas las muestras posible s de tamaño dos, escogida s mediante muestreo aleatorio simple.
M1 = {22, 24 },
M1 = {22, 26 },
M1 = {24, 26 }
b) Calcu le la va rian za de la población.
28. Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen μ = 500 g y σ = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.
a) Calcu lar la p robabilidad de que la med ia de los pesos de las bolsas de un pa que te sea menor que 4 95 g.
b) Calcu lar la p robabilidad de que una ca ja 100 de bolsa s p ese más de 51 kg.
29. El tiempo que tardan las ca je ras de un supermercado en cobrar a lo s cliente s sigue una le y normal con media desconocida y desviación típica 0 .5 minuto s. Pa ra una muestra a leatoria de 25 cliente s se obtu vo un tiempo medio de 5. 2 minutos.
b) Indica el tamaño muestra l necesa rio p ara estimar dicho tiempo medio con u n el erro r de ± 0,5 minutos y un n ivel de confianza de l 95%.
n ≥ 4
31. Se ha tomado una muestra de los pre cio s de un mismo producto alimenticio en 16 comercio s, ele gidos al a za r en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguiente s prec io s:
95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.
Suponiendo que lo s precios de e ste p roducto se d istribuyen según una le y no rmal de varian za 25 y media descono cida:
a) ¿Cuál es la distribu ción de la media muestra l?
32. La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la e sta tura de las personas de esa ciudad es una va riab le aleato ria qu e sigue
una distribución normal con varianza σ2 = 0 ,16 m2.
a) Constru ye un inte rvalo, de un 95% de confianza, para la media de las estatu ras de la población.
n=400 x =1.75 σ=0.4
1- α=0.95 z α / 2=1.96
(1.75 ± 1.96 · 0.4/2 0 ) → (1.7108,1.7892)
b) ¿Cuál sería el m ín imo tamaño muestral necesa rio pa ra que pueda decirse que la ve rdadera media de las estaturas e stá a menos de 2 cm de la media muestral, con un nive l de
La mues tra de be tener al me nos 108 3 personas
33. Las ventas men suales de una tiend a de electrodomésticos se
distribu yen se gún una le y no rmal, con desviación típica 900 €.
En un estud io esta dístico de las venta s rea lizadas en lo s últimos nueve mese s, se h a encontrado un intervalo de confian za para la media mensual de las ventas, cuyos extremos son 4 663 € y 5 839 €.
a) ¿Cuál ha sido la m edia de las ventas en estos nue ve me ses?
n = 9
x= (4663 + 5839) / 2; x=5251
b) ¿Cuál es el nive l d e confianza pa ra e ste inte rva lo?
E= ( 5839 - 4663 ) / 2 = 588
588 = z α / 2 · 900 / 3 z α / 2 = 1.96
1-α = 0.95 → 95%
34. Se desea estim ar la propo rción, p, de individuo s daltónicos
de una población a tra vé s del po rce ntaje obse rvado e n una muestra aleato ria d e individuos, de ta maño n.
a) Si e l po rcenta je de ind ividuo s da ltónicos en la muestra es igua l al 30%, calcula e l valor de n para que , con un nivel de co nfianz a de 0,95, el erro r co metido en la estim ación sea inferio r a l 3,1%
Al menos 840 individuos.
b) Si el tamaño de la muestra es de 64 individuo s, y el porcentaje de individuos daltó nicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de sign ificación d el 1%, el co rre sp ondiente intervalo de confia nza pa ra la p ropo rción de daltónico s de la población.
α=0.01 1- α=0.99 z α / 2=2.575
35. En una població n una variable a leatoria sigue una le y n ormal
de media desconocida y desviación típ ica 2.
a) Observada una mu estra de tamaño 4 00, tomada al a za r, se ha obtenido una media muestra a l igua l a 50. ¿Calcu le un interva lo, con el 97 % de con fianza, pa ra la med ia de la pob lación.
2Con el mismo nivel de confian za, ¿qué tamaño mínimo debe
tener la mue stra pa ra qué la amplitud del inte rva lo que se obtenga sea, como máximo, 1?
36. La cantidad de hemoglobina en sa ngre de l hombre sigue una le y no rmal con una desvia ción típ ica d e 2g/d l.
Calcu le el n ivel de confianza de una muestra de 12 e xtra cciones de san gre que indique que la media poblaciona l de hemoglobina en sangre está entre 13 y 15 g/dl.
37. 1.Con sidé rense los siguiente s dato s: 3, 8, 4, 10, 6, 2 . Se
pide:
38. Calcula r su media.
a) . Si los todos lo s d atos ante rio res los multiplicamos por 3, cúal
será la nue va me dia.
a)
39. A un conjunto d e 5 números cu ya media es 7.31 se le
añaden los número s 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media de l nuevo
40. Calcula r la me dia de una dis tribución es tadística que
viene dada por la siguiente tabla:
x i 6 1 6 4 6 7 7 0 7 3 f i 5 1 8 4 2 2
7 8
xi fi xi · fi
61 5 305
64 18 1152
67 42 2814
71 27 1890
73 8 584
100 6745
41. Hallar la me dia de la distribución estadística que vie ne
dada por la sigu iente tabla:
fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2
xi fi xi · fi
[10,
[15,
20) 17.5 5 87.5
[20,
25) 22.5 7 157.5
[25,
30) 27.5 4 110
[30,
35) 32.5 2 65
21 457.5
42. Calcula r la me dia de la d istribu ción estadística:
fi
[0, 5) 3
[5, 10) 5
[10, 15) 7
[15, 20) 8
[20, 25) 2
[25, ∞) 6
xi fi Fi
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, ∞) 6 31
31
No se puede calcular la media, po rqu e no se puede hallar la
43. Los resu ltados al lan za r un dado 2 00 ve ces vienen da dos
por la sigu iente ta bla:
1 2 3 4 5 6
f i a 3 2 3 5 3
3 b
3 5
Determina r a y b sabiendo que la puntuación me dia es 3.6.
xi fi xi · fi
1 a a
2 32 64
3 35 125
4 33 132
5 b 5b
6 35 210
135 + a + b 511 + a + 5b
a = 29 b = 36
44. Calcular la moda de la siguien te serie de números: 5, 3, 6,
5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4 , 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
Mo = 5
45. Un pediatra obtuvo la siguiente ta bla sobre los mese s de
edad de 50 niños d e su consu lta en el momento de andar por primera ve z:
Meses Niños
9 1
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
Calcu lar la moda.
Mo = 12
46. Calcular la moda de una distribución estad ística que viene
dada por la sigu iente tabla:
fi
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
100
47. Calcular la moda de una distribución estad ística vien e
dada por la sigu iente tabla:
fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[25, 30) 4
[30, 35) 2
48. Calcular la moda de la d istribu ció n estad ística:
fi
[0, 5) 3
[5, 10) 5
[10, 15) 7
[15, 20) 8
[20, 25) 2
[25, ∞) 6
49. El histo grama d e la distribución co rre spondiente a l pe so de
100 alumnos de Bachille rato es e l siguiente:
50. En la siguiente tabla se muestra la s calificaciones
(suspenso , aproba do, notable y sobre saliente ) obten idas por
un grupo de 50 alu mnos. Calcular la moda.
fi hi
[0, 5) 15 3
[5, 7) 20 10
[7, 9) 12 6
[9, 10) 3 3
50
51. Dadas las se rie s estad ística s:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1 .
Calcu lar:
Los percentiles 32 y 85.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
7 · (32/100 ) = 2,2 P3 2 = 4
7 · (85/100 ) = 5.9 P8 5 = 7
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1 .
8 · (2 /10) = 1.6 D2 = 2
8 · (7 /10) = 5.6 D7 = 6
52. Una distribució n estad ística viene dada por la sigu iente
tabla:
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2
Hallar e l pe rcentil 70.
xi fi Fi
[10, 15) 12.5 3 3
[15, 20) 17.5 5 8
[20, 25) 22.5 7 15
[25, 30) 27.5 4 19
[30, 35) 32.5 2 21
21
53. Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Percentil 60
54. Las altu ras de los ju gadore s de un equ ipo de balonce sto
vienen dadas po r la tabla:
Altura Nº de Jugadores
[1.70, 1.75) 1
[1.75, 1.80) 3
[1.80, 1.85) 4
[1.85, 1.90) 8
[1.90, 1.95) 5
[1.95, 2.00) 2
¿Cuántos ju gadore s se encuentran po r encima de la me dia
más una des viación típica?
xi fi Fi
[1.70,
1.75) 1.725 1 1
[1.75,
1.80) 1.775 3 4
[1.80,
[1.85,
1.90) 1.875 8 16
[1.90,
1.95) 1.925 5 21
[1.95,
2.00) 1.975 2 23
23
x + σ = 1.866+ 0.077 = 1.943
Este valo r pe rtenece a un percentil qu e se encuentra en el penúltimo inte rva lo .
Sólo ha y 3 ju gadores por encima de x + σ.
55. Dada la distribución de frecue nc ias absolutas
acumula das:
Edad Fi
[0, 2) 4
[2, 4) 11
[4, 6) 24
[6, 8) 34
[8, 10) 40
¿Entre qué valo res se encuentran las 10 edades centrales?
Debemos halla r P3 7 . 5 y P6 2 . 5.
Las 10 edades centrales están en e l in terva lo: [4.61, 6.2]
56 Durante e l mes de julio, en una ciu dad se han re gistra do las
siguiente s tempera turas má ximas:
3, 35, 30, 37, 27, 3 1, 41, 20, 16, 26, 4 5, 37, 9, 41, 28, 21 , 31, 35, 10, 26, 11, 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40.
Construir la tabla de dis tribución de frecue ncias.
xi Recuento fi Fi ni Ni
27 I 1 1 0.032 0.032
28 II 2 3 0.065 0.097
30 7 16 0.226 0.516
31 8 24 0.258 0.774
32 III 3 27 0.097 0.871
33 III 3 30 0.097 0.968
34 I 1 31 0.032 1
31 1
57. Las puntuacion es obtenidas po r u n grupo de en una prueba
han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.
xi Recuento fi Fi ni Ni
13 III 3 0.15 3 1
14 I 1 0.05 4 0.95
15 5 0.25 9 0.85
16 IIII 4 0.20 13 0.80
18 III 3 0.15 16 0.65
19 I 1 0.05 17 0.45
20 II 2 0.10 19 0.20
22 I 1 0.05 20 0.15
20
58. El número de e stre llas de los hote les de una ciudad viene
dado por la sigu iente serie:
Construir la tabla de dis tribución de frecue ncias.
xi Recuento xi Fi ni Ni
1 6 6 0.158 0.158
2 12 18 0.316 0.474
3 16 34 0.421 0.895
4 IIII 4 38 0.105 1
38 1
59. Las calificacio nes de 50 alumnos en Matemáticas han sido
las siguiente s:
5, 2, 4, 9, 7, 4 , 5, 6 , 5, 7, 7, 5, 5 , 2, 10 , 5, 6, 5, 4, 5 , 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6 , 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.
xi fi Fi ni Ni
0 1 1 0.02 0.02
1 1 2 0.02 0.04
2 2 4 0.04 0.08
3 3 7 0.06 0.14
4 6 13 0.12 0.26
5 11 24 0.22 0.48
6 12 36 0.24 0.72
7 7 43 0.14 0.86
8 4 47 0.08 0.94
9 2 49 0.04 0.98
10 1 50 0.02 1.00
60. Los 40 alumnos de una clase ha n obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un e xamen de Física.
3, 15, 24, 28, 33, 3 5, 38, 42, 23, 38, 3 6, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
Construir la tabla de frec uencias.
xi fi Fi ni Ni
[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025
[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050
[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125
[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200
[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275
[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425
[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600
[40, 45) 47.5 4 38 0.100 0.950
[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1.000
40 1
61. Indica que variables son cualita tivas y cuale s cuantitativas:
a) Comida Fa vo rita.
Cualitativa
b) Profesión que te gusta.
Cualitativa
c) Número de gole s marcados po r tu e qu ipo favorito en la ú ltima temporada.
Cuantitativa
d) Número de alumno s de tu Instituto.
Cuantitativa
e) El co lor de los o jos de tus compañero s de cla se.
Cualitativa
f) Coeficiente intele ctual de tus compañe ros de clase.
Cuantitativa
62. De la s siguientes va riables indica cuáles son discre tas y
cuales c ontinuas.
Discreta
b) Temperaturas re gistradas cada ho ra e n un observato rio .
Continua
c) Período de dura ció n de un autom óvil.
Continua
d) El diámetro de las ruedas de va rio s coches.
Continua
e) Número de hijos de 50 familias.
Discreta
f) Censo anual de los españoles.
Discreta
63. Cla sifica r la s siguiente s varia bles en cualita tivas y
cuantita tivas disc retas o continuas
a) La nacionalidad de una persona.
Cualitativa
b) Número de litros d e agua conten idos en un depósito.
Cuantitativa c ontinua
c) Número de lib ro en un estante de libre ría.
Cuantitativa discreta
d) Suma de puntos tenidos en el lan zamiento de un par de dados.
Cuantitativa di screta
e) La profesión de una persona.
Cualitativa
Cuantitativa c ontinua
64. Hallar la des viación me dia, la va rianza y la des via ción
típica de la se rie s de números sigu ien tes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
Varianza
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Media
65. Un pediatra obtuvo la siguiente ta bla sobre los mese s de edad de 50 niños d e su consu lta en el momento de andar por primera ve z:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
Calcu lar la varianza.
xi fi Ni xi · fi x ²i · fi
9 1 1 9 8 1
1 0 4 5 4 0 4 0 0
1 1 9 1 4 9 9 1 0 8 9
1 2 1 6 3 0 1 9 2 2 3 0 4
1 3 1 1 4 1 1 4 3 1 8 5 9
1 4 8 4 9 1 1 2 1 5 6 8
1 5 1 5 0 1 5 2 2 5
5 0 6 1 0 7 5 2 6
Media aritmé tica
66. El re sultado de lan za r dos dados 120 ve ces viene da do por la ta bla:
Sumas Veces
2 3
3 8
4 9
5 11
6 20
7 19
8 16
9 13
10 11
11 6
12 4
a) Calcu lar des viación típica.
xi fi xi · fi xi2 · fi
2 3 6 12
3 8 24 72
4 9 36 144
5 11 55 275
6 20 120 720
7 19 133 931
8 16 128 1024
9 13 117 1053
10 11 110 1100
11 6 66 726
12 4 48 576
67. Calcula r la va rianza de una distrib ución estad ística que viene dada por la siguiente tab la:
fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2
xi fi xi · fi xi2· fi
[1 0, 1 5) 12 .5 3 37 .5 46 8. 75
[1 5, 2 0) 17 .5 5 87 .5 15 37 .3
[2 0, 2 5) 22 .5 7 15 7. 5 35 43 .8
[2 5, 3 0) 27 .5 4 11 0 30 25
[30, 35) 32.5 2 65 2112.5
21 457.
5 10681.25
Media
Varianza
xi fi xi · fi xi2 · fi
[ 1 0 , 2 0 ) 1 5 1 1 5 2 2 5
[ 2 0 , 3 0 ) 2 5 8 2 0 0 5 0 0 0
[ 3 0 , 4 0 ) 3 5 1 0 3 5 0 1 2
2 5 0
[ 4 0 , 5 0 ) 4 5 9 4 0 5 1 8
2 2 5
[ 5 0 , 6 0 ) 5 5 8 4 4 0 2 4
2 0 0
[ 6 0 , 7 0 ) 6 5 4 2 6 0 1 6
9 0 0
[ 7 0 , 8 0 ) 7 5 2 1 5 0 1 1
2 5 0
4 2 1 8 2 0 8 8
0 5 0
69 .Las altu ras de los ju gadore s de un equ ipo de balonce sto
vienen dadas po r la tabla:
Altura Nº de Jugadores
[1.70, 1.75) 1
[1.75, 1.80) 3
[1.80, 1.85) 4
[1.85, 1.90) 8
[1.95, 2.00) 2
Calcu la la va rian za .
xi fi Fi xi · fi xi2· fi
[ 1 . 7 0 , 1 . 7 5 )
1 . 7
2 5 1 1 1 . 7 2 5 2 . 9 7 6
[ 1 . 7 5 , 1 . 8 0 )
1 . 7
7 5 3 4 5 . 3 2 5 9 . 4 5 3
[ 1 . 8 0 , 1 . 8 5 )
1 . 8
2 5 4 8 7 . 3
1 3 . 3 2 4
[ 1 . 8 5 , 1 . 9 0 )
1 . 8
7 5 8 1 6 1 5
2 8 . 1 2 8
[ 1 . 9 0 , 1 . 9 5 )
1 . 9
2 5 5 2 1 9 . 6 2 5 1 8 . 5 3
[ 1 . 9 5 , 2 . 0 0 )
1 . 9
7 5 2 2 3 3 . 9 5 7 . 8 0 2
2 3 4 2 . 9 2
5
8 0 . 2 1 3
Media
Varianza
70.Dada la d istribu ción estad ística:
fi
[0, 5) 3
[5, 10) 5
[15, 20) 8
[20, 25) 2
[25, ∞) 6
Calcu lar la varianza.
xi fi Fi
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, ∞) 6 31
31
Media
No se puede calcular la media, po rqu e no se puede hallar la
marca de clase del último intervalo.
Varianza
Si no ha y me dia no es posible ha lla r la varianza.
71. Considé rense los sigu ientes dato s: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se
pide:
a) Calcu lar su me dia y su varia nza.
b) Si lo s todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal
será la nue va me dia y va rianza.
xi xi2
2 4
4 16
6 36
8 64
10 100
33 229
a)
b)
72. La tabla siguie nte nos da las notas del test de aptitu d (X) dadas a
seis depend ientes a prueba y venta s del primer mes de prueba (Y) en cientos de eu ros.
X 25 42 33 54 29 36
Y 42 72 50 90 45 48
a) Hallar e l coe ficiente de c orrelación e interp reta r el
resultado obtenido.
b) Calcu lar la rec ta de regresión de Y sobre X. Predecir la s
venta s de un vende dor que obten ga 47 en el test.
xi yi xi · yi xi2 yi2
25 42 625 1 764 1 050
42 72 1 764 5 184 3 024
33 50 1 089 2 500 1 650
54 90 2 916 8 100 4 860
29 45 841 2 025 1 305
36 48 1 296 2 304 1 728
73. Cin co niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilo s.
a) Hallar la ecuación de la re cta de re gresión de la edad sobre el peso.
b) ¿Cuál sería el pe so apro ximado de u n niño de seis años?
xi yi xi2 yi2 xi · yi
2 14 4 196 28
3 20 9 400 60
5 32 25 1 024 160
7 42 49 1 764 294
8 44 64 1 936 352
74. Un centro come rcial sabe en funció n de la distancia , e n kilómetros, a la que se sitúe d e un núcleo de po blación, acuden lo s clientes, en cientos, que figu ra n en la tabla:
Nº de Clientes (X) Dista ncia (Y)
8 15
7 19
6 25
4 23
2 34
1 40
a) Calcu lar el coeficie nte de correlación lineal.
b) Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos clientes puede esperar?
c) Si desea recibir a 5 clientes, ¿a qué distancia del nú cle o de
población debe situ arse?
xi yi xi · yi xi2 yi2
8 15 120 64 225
7 19 133 49 361
6 25 150 36 625
4 23 92 16 529
2 34 68 4 1 156
1 40 40 1 1 600
Corre lación nega tiva mu y fuerte.
75. Las notas obte nidas por cin co alu mnos en Matemáticas y Qu ímica
son:
Matemá ticas Química
6 6. 5
4 4. 5
8 7
5 5
3. 5 4
Determina r las rec tas de regresión y calcu lar la nota esperada en
Química para un a lumno que tiene 7.5 en Matemática s.
xi yi xi · yi xi2 yi2
6 6. 5 36 42. 25 39
4 4. 5 16 20. 25 18
8 7 64 49 56
5 5 25 25 25
26. 5 27 153. 25 152. 5 152
76. Las esta turas y pesos de 10 ju gad ores de balon cesto de un
equipo son:
Estatura (X) Peso (Y)
186 85
189 85
190 86
192 90
193 87
193 91
198 93
201 103
203 100
205 101
Calcu lar:
a) La recta de regres ión de Y sobre X.
b) El coe ficiente de correlación.
c) El peso estimado d e un ju gador que m ide 208 cm.
186 85 34 596 7 225 15 810
189 85 35 721 7 225 16 065
190 86 36 100 7 396 16 340
192 90 36 864 8 100 17 280
193 87 37 249 7 569 16 791
193 91 37 249 8 281 17563
198 93 39 204 8 649 18 414
201 103 40 401 10 609 20 703
203 100 41 209 10 000 20 300
205 101 42 025 10 201 20 705
1 950 921 380 618 85 255 179 971
