Teoría vectores, rectas y planos E. Boada

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

"

"AANNTTOONNIIOOJJOOSSÉÉDDEESSUUCCRREE""

V

VIICCEE--RREECCTTOORRAADDOOPPUUEERRTTOOOORRDDAAZZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES

S

SEECCCCIIÓÓNNDDEEMMAATTEEMMÁÁTTIICCAA..

1.

EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Los puntos del espacio tridimensional se pueden poner en correspondencia uno a uno con ternas ordenadas de número reales usando tres rectas coordenadas mutuamente perpendiculares llamadas ejes.

Estos tres ejes forman un sistema tridimensional de coordenadas cartesianas o rectangulares y el punto de intersección se denomina origen del sistema de coordenadas, se acostumbra usar las letras

x

,

y

,

z

para denotar dichos ejes.

Cada pareja de ejes coordenados determina un plano llamado plano coordenado. Se distinguen así el plano

xy

,

xz

,

yz

. Estos planos dividen el espacio en ocho octantes.

En este sistema tridimensional a un punto

P

del espacio tridimensional se le asigna una terna ordenada

(

a

,

b

,

c

)

de números reales. Los números

a

,

b

,

c

son las coordenadas de

P

. Escribimos “el punto

P

(

a

,

b

,

c

)

”. De esta manera las coordenadas representan:

a: _{es la distancia dirigida del punto}

_P

_{al plano}

_yz

_. b: _{es la distancia dirigida del punto}

_P

_{al plano}

_xz

_. c: _{es la distancia dirigida del punto}

_P

_{al plano}

_xy

_.

Los puntos que tienen sus tres coordenadas positivas forman el primer octante. NO existe una convención de aceptación general para numerar los demás octantes.

Un sistema de coordenadas tridimensional puede ser de orientación derecha (dextrógiro) o de orientación izquierda (levógiro). Un sistema derecho tiene la propiedad que, cuando los dedos de la mano derecha se doblen de modo que apunten del semieje positivo

x

al semieje positivo

y

, entonces el pulgar apunta (aproximadamente) en la dirección del eje

z

positivo.

Debemos se capaces de visualizar las siguientes caracterizaciones:

Región Descripción

Plano

xy

Consiste en todos los puntos de la forma

(

x

,

y

,

0

)

Plano

xz

(

x ,

,

0 z

)

Plano

yz

(

0 ,

y,

z

)

Eje

x

(

x

,

0 ,

0

)

Eje

y

(

0 ,

y

,

0

)

(2)

Muchas fórmulas válidas en el sistema de coordenadas bidimensional se pueden generalizar a tres dimensiones, por ejemplo:

La distancia entre dos puntos del espacio:

Dados los puntos

P

1

(

x

1

,

y

1

,

z

1

)

,

P

2

(

x

2

,

y

2

,

z

2

)

entonces la distancia no dirigida

d

entre

P

1 y

P

2 está dada por:

(

) (

)

2

2 1 2 2 1 2 2

1

x

y

z

x

d

=

−

+

−

+

−

(se le llama distancia Euclídea)

Regla del punto medio:

El punto medio del segmento recto que une los puntos

P

1

(

x

1

,

y

1

,

z

1

)

y

P

2

(

x

2

,

y

2

,

z

2

)

tiene

coordenadas













₊

2 ,

2

2 1 2 1 2

1

x

y

z

x

Obs. La demostración se puede ver en el texto Geometría Analítica, autor Lehmann. Definimos el conjunto,

R

3

=

{

(

x

,

y

,

z

)

/

x

,

y

,

z

con

números

reales

}

2. VECTORES

Existen magnitudes físicas como fuerza, velocidad, aceleración que involucran un valor numérico y una dirección.

Para representar geométricamente tales magnitudes se utiliza un segmento de recta orientado o dirigido.

Dados dos puntos

P

1 y

P

2 en el espacio, denotamos por

P

1

P

2 al segmento de recta orientado (o dirigido de

P

₁ a

P

₂ ). Se designa

P

₁ como el punto inicial y

P

₂ como el punto final.

La longitud (magnitud, módulo) del segmento orientado

P

1

P

2 es la distancia entre los puntos 1

P

y

P

2 y la dirección del segmento orientado

P

1

P

2 será definida más adelante mediante los

cosenos directores.

2.1 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE SEGMENTOS ORIENTADOS.

Dos segmentos (de recta) orientados

P

₁

P

₂ y

P

₃

P

₄ son equivalentes sí y sólo sí

1 2 3

4

x

−

=

−

,

y

4

−

y

3

=

y

2

−

y

1,

z

4

−

z

3

=

z

2

−

z

1.

PROPIEDADES.

1. Dos segmentos orientados

P

1

P

2 y

P

3

P

4 se dice que son equivalentes si tienen la misma

magnitud y dirección.

2. Geométricamente dos vectores equivalentes coinciden en el espacio mediante traslaciones.

3. Dado un segmento orientado

P

₁

P

₂ y un punto

P

₃ cualquiera del espacio, siempre es posible hallar un punto

P

tal que

P

1

P

2 es equivalente a

P

3 .

En consecuencia dado un segmento orientado

P

1

P

2 cualquiera, siempre es posible hallar un

único segmento orientado con punto inicial en el origen que sea equivalente a

P

1

P

2 .

(3)

Sea

P

1

P

2 segmento orientado cualquiera, el conjunto de todos los segmentos orientados

equivalente a

P

1

P

2 forman un clase de equivalencia, la cual estará representada por el

segmento orientado en posición canónica o normal perteneciente a esa clase. Formalmente un vector se define como dicha clase de equivalencia.

DEFINICIÓN. El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un segmento dirigido

P

1

P

2 dado, es un vector en el espacio. El vector cero es el vector para el

cual

P

1

=

P

2.

Un segmento orientado en posición canónica se puede caracterizar dando sólo las coordenadas de su punto final. Luego existe una correspondencia biunívoca entre

R

3 y el conjunto de todos los segmentos orientados en posición canónica.

En virtud de esta correspondencia se presenta una definición algebraica para vectores en el espacio.

DEFINICIÓN. Un vector en el espacio es una terna ordenada de números reales que denotaremos por

(

v

1

,

v

2

,

v

3

)

v

r

=

Los números

v

1

,

v

2

,

v

3 se llaman componentes de

v

r

. El vector cero se denota por

0 =

(

0 ,

0

)

r

.

Dado un segmento orientado

P

1

P

2 , la expresión en componentes del vector

v

r

representado por

P

₁

P

₂ es

v

r

=

(

x

₂

−

x

₁

,

y

₂

−

y

₁

,

z

₂

−

z

₁

)

.

OPERACIONES CON VECTORES.

Sean

u

r

y

v

r

vectores en

R

3 y

k

un escalar (número real), entonces se definen: 1. La suma vectorial de

u

r

y

v

r

como:

(

u

1

v

1

,

u

2

v

2

,

u

3

v

3

)

v

u

r

+

r

=

+

2. La multiplicación de un vector por un escalar como:

(

kv

1

,

kv

2

,

kv

3

)

v

k

r

=

3. El vector opuesto de

v

r

como:

(

v

1

,

v

2

,

v

3

)

v

=

−

r

4. La diferencia de

u

r

y

v

r

cómo:

( )

v

u

v

u

r

−

r

=

r

+

−

r

y escribimos,

u

r

−

v

r

=

(

u

₁

−

v

₁

,

u

₂

−

v

₂

,

u

₃

−

v

₃

)

PROPIEDADES.

Sean

u

r

,

v

r

vectores en

_R

3_,

_c

_y

_d

_{escalares. Entonces:} 1.

u

r

+

v

r

=

v

r

+

u

r

2.

(

u

r

+

v

r

)

+

w

r

=

u

r

+

(

v

r

+

w

r

)

3.

u

r

=

+

0

4.

( )

0 r

r

=

−

+

u

(4)

5.

c

( ) ( )

d

u

r

=

dc

u

r

6.

(

c

+

d

)

u

r

=

c

u

r

+

d

u

r

7.

c

(

u

r

+

v

r

)

=

c

u

r

+

c

v

r

8.

1 .

v

r

=

v

r

LONGITUD DE UN VECTOR.

La longitud de

v

r

=

(

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

)

también se llama norma, módulo, magnitud, se define

como 2

3 2 2 2

1

v

r

=

+

PROPIEDAD. Para todo vector

v

r

y todo escalar

c

se cumple que:

c

v

r

=

c

.

v

r

VECTORES UNITARIOS.

Sea

v

r

un vector en

_R

3_{, se dice que}

_v

r

_{es unitario sí y sólo sí la longitud de}

_v

r

_{es igual} a uno, es decir,

v

r

=

1

.

DESIGUALDAD TRIANGULAR. Dados

u

r

y

v

r

vectores, entonces:

v

u

v

u

r

+

r

≤

r

+

r

LA BASE CANÓNICA. Para todo vector

v

r

=

v

₁

,

v

₂

,

v

₃ , se tiene que:

k

j

i

r

3 2

1

v

=

+

Siendo

i

=

(

1 ,

0 ,

0

)

r

,

j

r

=

(

0 ,

1 ,

0

)

y

k

=

(

0 ,

1

)

r

los vectores de la base canónica de

R

3.

ÁNGULO ENTRE VECTORES. Sean

u

r

y

v

r

dos vectores diferentes del vector cero, el ángulo entre

u

y

v

es el ángulo

θ

determinado por sus representaciones canónicas tal que

π

θ

≤

0

.

ÁNGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR.

Sea

v

un vector en

R

3 y

0 r

r

≠

v

, se llaman ángulos directores de

v

r

denotados por

γ

β

α

,

a los ángulos.

α

: ángulo entre

v

r

y

i

r

(dirección positiva del eje x)

β

: ángulo entre

v

r

y

j

r

(dirección positiva del eje y)

γ

: ángulo entre

v

r

y

k

r

(dirección positiva del eje z) La dirección de

v

r

está dada por la terna ordenada

(

α

,

β

,

γ

)

.

COSENOS DIRECTORES.

Sí

0 r

r

≠

v

entonces

v

r

1

cos

α

=

,

v

r

2

cos

β

=

y

v

r

3

cos

γ

=

se llaman los cosenos directores de

v

r

.

TEOREMA. Sea

0 r

r

≠

v

un vector y

α

,

β

,

γ

sus ángulos directores entonces,

1 cos

cos

2

α

+

2

β

+

2

γ

=

(5)

ur

v

r

v ur−r

θ

1. Sea

v

=

(

v

1

,

v

2

,

v

3

)

r

. El vector

v

r

es unitario sí y sólo sí

v

1

=

cos

α

,

v

2

=

cos

β

,

γ

cos

3

=

v

.

2. Dado un vector

0 r

r

≠

v

siempre es posible construir un vector unitario

u

r

en la misma dirección de

0 r

r

≠

v

. A saber:

v

u

r

₁

=

. El proceso de hallar

u

r

dado

0 r

r

≠

v

, se llama

normalización de

v

r

.

3. Sí la dirección de

v

r

≠

0

es

(

α

,

β

,

γ

)

entonces la dirección de

−

v

r

(

α

′

,

β

′

,

γ

′

)

es tal que

α

+

α

′

=

β

+

β

′

=

γ

+

γ

′

=

π

.

PRODUCTO ESCALAR.

Dados dos vectores

u

r

=

(

u

₁

,

u

₂

,

u

₃

)

y

v

r

=

(

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

)

. El producto escalar de

u

r

y

v

r

denotado por

u

r

⋅

v

r

se define como:

3 3 2 2 1

1

v

u

v

u

v

u

v

u

r

⋅

r

=

+

PROPIEDADES:

Sean

u

r

,

v

r

,

w

r

vectores en

_R

3_{. Entonces:}

1.

u

r

⋅

v

r

=

v

r

⋅

u

r

(Propiedad conmutativa) 2.

u

r

⋅

(

v

r

+

w

r

)

=

u

r

⋅

v

r

+

u

⋅

w

r

3.

c

( ) ( )

u

r

⋅

v

r

=

c

u

r

⋅

v

r

4.

0 ⋅

v

r

=

0 r

5.

v

r

⋅

v

r

=

v

r

2

TEOREMA. Sí

u

r

y

v

r

son vectores no nulos, entonces

( )

θ

cos

v

u

v

u

r

⋅

r

=

r

⋅

r

siendo

θ

el ángulo entre

u

r

_y

v

r

.

La prueba de este teorema hace uso de la ley de los cósenos en el triángulo cuyos lados están dados por los vectores

u

r

,

v

r

y

u

r

−

v

r

.

Así,

( )

θ

cos

2

2 2 2

v

u

v

u

v

u

r

−

r

=

r

+

r

−

r

⋅

r

Luego,

(

u

r

−

v

r

) (

⋅

u

r

−

v

r

)

=

u

r

⋅

u

r

+

v

r

⋅

v

r

−

2 u

r

⋅

v

r

cos

( )

θ

( )

θ

cos

2 u

v

u

v

u

v

u

r

⋅

r

−

r

⋅

r

−

r

⋅

r

+

r

⋅

r

=

r

⋅

r

+

r

⋅

r

−

r

⋅

r

(6)

O

M

u

r

v

r

θ

OBSERVACIÓN: Sea

θ

el ángulo entre dos vectores no nulos, entonces: 1. Sí

θ

=

0

entonces

u

r

y

v

r

tienen la misma dirección.

2.

θ

=

π

sí y sólo sí

u

r

y

−

v

r

tienen la misma dirección. 3.

θ

=

π

₂

sí y sólo sí

u

r

⋅

v

r

=

0

.

4.

2

0 <

θ

<

π

sí y sólo sí

u

r

⋅

v

r

>

0

. 5.

π

<

θ

<

π

2

sí y sólo sí

u

⋅

v

<

0 r

r

DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ.

v

u

v

u

r

⋅

r

≤

r

⋅

r

VECTORES PARALELOS.

Sean

u

r

y

v

r

dos vectores no nulos. Se dice que

u

r

y

v

r

son paralelos sí y sólo sí

u

r

=

c

v

r

para algún escalar

c

∈

R

.

VECTORES PERPENDICULARES.

Sean

u

r

y

v

r

dos vectores no nulos. Se dice que

u

r

y

v

r

son perpendiculares sí y sólo sí

0 =

⋅

v

u

r

.

PROYECCIONES Y VECTORES COMPONENTES.

Dados dos vectores

u

r

y

v

r

no nulos, queremos expresar

u

r

(ó

v

r

) como

u

w

1

w

2

r

+

=

tales que:

1)

w

1

r

y

w

2

r

son perpendiculares. 2)

w

r

₁ es paralelo a

v

r

.

Sean

u

r

y

v

r

dos vectores no nulos,

θ

el ángulo entre ellos y proyectamos el punto terminal de

u

r

, en forma ortogonal sobre la recta que contiene al vector

v

r

para determinar así al punto M.

La longitud del vector

0 M

está dada por

u

r

cos

( )

θ

. Sí

w

r

es el vector unitario en dirección de

v

r

,

Entonces:

Luego,

OM

.

w

r

(7)

i

j

k

( )

v

u

r













=

cos

θ

0M

Al vector

0M

lo llamaremos la proyección ortogonal del vector

u

r

en la dirección del vector

v

r

y se denotará por:

u v

proy

rr _{(componente vectorial de}

_u

r

_sobre

_v

r

₎

A la longitud del vector

0M

se llama “la componente escalar de

u

r

en la dirección de

v

r

“.

v

u

proy

w

vu

r

r r













_⋅

=

2 1 1 2

u

w

r

=

r

−

r

(componente vectorial de

u

r

ortogonal a

v

r

)

PRODUCTO VECTORIAL. Sean

u

r

=

(

u

₁

,

u

₂

,

u

₃

)

y

v

r

=

(

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

)

vectores. Se define el producto vectorial

u

r

×

v

r

como:

)

,

(

u

₂

v

₃

u

₃

v

₂

u

₃

v

₁

u

₁

v

₃

u

₁

v

₂

u

₂

v

₁

v

x

u

r

=

−

Una fórmula simbólica que permite recordar la definición es:













=

3 2 1 3 2 1

det

v

u

v

u

k

j

i

x

r

PROPIEDADES.

1.

u

r

×

v

r

=

−

(

v

r

×

u

r

)

.

2.

u

r

×

(

v

s

+

w

r

)

=

u

r

×

v

r

+

u

r

×

v

r

. 3.

c

(

u

r

×

w

r

) ( )

=

c

u

r

×

w

r

=

( ) ( )

u

r

×

c

w

r

.

4.

0

0 r

r

=

×

u

.

5.

0 r

r

=

×

u

.

6.

u

r

⋅

(

v

r

×

w

r

)

=

(

u

r

×

v

r

)

⋅

w

r

. Producto mixto o escalar triple.

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS.

1.

El vector

u

r

×

v

r

es ortogonal tanto al vector

u

r

como al vector

v

r

.

2. u

r

⋅

v

r

sen

( )

θ

=

u

r

×

v

r

siendo

θ

el ángulo entre estos vectores.

3.

0 r

r

=

×

v

u

sí y sólo sí

u

r

y

v

r

son múltiplos escalares uno del otro, es decir, existe

λ

tal que

u

r

=

λ

v

r

.

4. u

r

×

v

r

=

Área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son

u

r

×

v

r

OBSERVACIÓN:

(8)

El producto cruz de dos vectores consecutivos tomados en el sentido de las manecillas del reloj es el que sigue.

El producto cruz de dos vectores en el sentido contrario a las manecillas del reloj es el opuesto aditivo del vector que sigue.

REGLA DE LA MANO DERECHA.

Ya sabemos que

u

r

×

v

r

es ortogonal a

u

r

y

v

r

, es posible demostrar que la orientación

u

×

v

se puede determinar usando la llamada Regla de la mano derecha: Sea

θ

el ángulo entre

u

y

v

y supóngase que

u

se gira un ángulo

θ

hasta que coincida con

v

. Si los dedos de la mano derecha se doblan en el sentido de la rotación entonces el pulgar indica (aproximadamente) el sentido (orientación) de

u

×

v

.

RECTAS EN

_R

3_.

Considere la recta

L

que pasa por el punto

P

₀

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

y es paralela al vector

v

r

=

(

a

,

b

,

c

)

. La recta

L

es el conjunto de puntos

Q

(

x

,

y

,

z

)

para los cuales el vector

PQ

es paralelo a

v

r

. Quiere decir que

PQ

es múltiplo escalar de

v

de modo que

PQ

=

t

v

donde

t

es un escalar.

⇒

=

t

v

PQ

(

x

−

x

₁

,

y

−

y

₁

,

z

−

z

₁

) (

=

t

a

,

b

,

c

)

Igualando componentes:

ta

x

=

₁

+

tb

y

=

₁

+

tc

z

=

1

+

Se obtienen las llamadas ecuaciones paramétricas de la recta.

Sí

a

, b

,

y

c

son todos distintos de cero entonces es posible despejar

t

en cada igualdad anterior, para obtener:

c

z

b

y

a

x

₁ ₁

−

₁

=

−

=

−

que son las ecuaciones simétricas de la recta en el espacio.

EXPLICAR LAS SIGUIENTES SITUACIONES:

1. ¿Cómo averiguar si un punto dado pertenece o no a una recta?

2. Escribir las ecuaciones simétricas y paramétricas de una recta a partir de ecuaciones como las siguientes,

3

2

1

5

1

3

2

4 :

x

z

y

L

−

=

−

=

−

.

3. Posiciones Relativas entre rectas: Rectas paralelas, Rectas coincidentes, Rectas que se interceptan en un único punto, Rectas Oblicuas o rectas que se cruzan.

4. Cómo hallar si existe punto intersección entre dos rectas. 5. Dos rectas

L

1 y

L

2 con las siguientes propiedades:

1.

L

1 y

L

2 no son paralelas.

2.

L

1 y

L

2 no tienen ningún punto en común.

(9)

6. Angulo entre rectas. Rectas Perpendiculares. EJEMPLO. Hallar el ángulo entre las rectas

t

x

=

1 −

3 x

=

1 +

2 s

t

y

=

2 +

4 y

=

2 −

2 s

t

z

=

−

6 +

z

=

−

6 +

s

PLANOS.

La gráfica de una ecuación de tres variables es una superficie. La superficie más sencilla es el plano.

Considere un punto

P

₀ de

_R

3_{y un vector}

_v

r

_de

_R

3_{. El conjunto de todos los puntos}

(

x

y

z

)

P

,

en

_R

3_{para los cuales el vector}

_P

0 y el vector

n

son perpendiculares

determina un plano, esta situación se traduce en:

0

P

⋅

n

=

P

(Ecuación vectorial de un plano) Desarrollando este producto se obtiene:

0 ,

,

0 0 1 2 3

0

−

⋅

=

−

x

y

z

n

x

0

0 3 0 2 0

1

x

−

x

+

n

y

−

y

+

n

z

−

z

=

n

que es la ecuación canónica del plano en

_R

3_.

Si efectuamos las operaciones de la ecuación canónica obtenemos una ecuación de la forma

0 =

+

by

cz

d

ax

Es llamada ecuación general del plano.

Obs. Una ecuación lineal en las variables

x

,

y

,

z

en

_R

3_{representa un plano.}

TRAZAS.

Las intersecciones de un plano con los planos coordenados se llaman trazas.

Traza

xy

: Se hace

z

=

0

, si es posible, en la ecuación del plano para determinar la ecuación de la traza xy como recta de ese plano.

Traza

xz

Traza

yz

1. Dar ejemplo de trazas.

2. Escribir en forma paramétrica las trazas de un plano.

Obs. Si en la ecuación de un plano “falta” una variable entonces el plano es paralelo al eje representado por la variable que falta y perpendicular al plano representado por las variables que intervienen en la ecuación.

EJEMPLO. La ecuación

2 x

+

3 y

−

6 =

0

en

ℜ

3 representa un plano paralelo al eje z y perpendicular al plano xy..

1. Explicar las trazas en este caso.

(10)

EJEMPLO. La ecuación

2 z

−

1 =

0

representa un plano paralelo al plano

xy

. A estos planos se les llama horizontales.

2. Explicar las trazas en este caso.

REPRESENTANDO GRÁFICAMENTE PLANOS EN

_R

3_.

Es útil hallar los puntos de corte con los ejes y sus trazas.

EJEMPLO. Representar gráficamente la porción del plano

2 x

+

3 y

+

z

−

6 =

0

en el primer octante.

Obs. En

R

3 una ecuación de la forma

1

0 0 0

=

+

z

y

x

representa un plano cuyas intersecciones con los ejes

x

,

y

,

z

respectivamente son

(

x

0

,

0 ,

0

)

;

(

0 ,

y

0

,

0

)

;

(

0 ,

z

0

)

.

ÁNGULO ENTRE PLANOS.

El ángulo

θ

entre dos planos se define como el ángulo

θ

entre los vectores normales

1

n

y

n

2 de ambos planos, tal que,

0

2

π

θ

≤

, y está dado por,

2 1

cos

n

⋅

=

θ

.

1. Si dos planos son paralelos entonces sus vectores normales son paralelos.

2. Dos planos son perpendiculares sí y sólo sí sus vectores normales son perpendiculares (ortogonales).

POSICIONES RELATIVAS ENTRE PLANOS 1. Planos paralelos

2. Planos coincidentes.

3. Intersección de dos planos formando una recta.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS. 1. La recta pertenece al plano.

2. La recta es paralela al plano.

3. La recta intercepta al plano en un único punto.

DISTANCIA DE UN PUNTO AL UN PLANO.

(11)

n

PQ

proy

d

PQ n













⋅

=

2

n

PQ

d

=

⋅

₂

2 2 2 1 1 1

c

b

a

d

cz

by

ax

n

PQ

d

+

=

⋅

=

(

x

0

,

y

0

,

z

0

)

PQ

=

−

(

ax

by

cz

)

ax

by

cz

d

cz

by

ax

n

Q

P

₀

• r

=

₁

+

₁

+

₁

−

₀

+

₀

+

₀

=

₁

+

₁

+

₁

+

DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS.

Dos planos distintos son paralelos sí y sólo sí es posible escribir ecuaciones generales de tal forma que sólo difieren en el término independiente.

Así, las ecuaciones,

0

2 1

=

+

=

+

d

cz

by

ax

d

cz

by

ax

, representan planos paralelos.

Sea

ax

+

by

+

cz

+

d

₁

=

0

la ecuación del plano fijado y

Q

(

x

0

,

y

0

,

z

0

)

un punto del otro plano

cuya ecuación es

ax

+

by

+

cz

+

d

2

=

0

, quiere decir que

ax

0

+

by

0

+

cz

0

+

d

2

=

0

entonces:

2 2 2 2 1 3 2 2 1 0 0 0

c

b

a

d

D

c

b

a

d

cz

by

ax

D

+

−

=

⇒

+

=

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

TEOREMA. La distancia de un punto

Q

a una recta en el espacio viene dada por:

u

PQ

d

=

×

donde

u

r

es un vector director de la recta y

P

un punto de la recta.

n

(

0 0 0

)

0

x

,

y

,

z

P

(

x1,y1,z1

)

Q

0 =

+

by

cz

d

ax

k c j b i a

(12)

Prueba.

Sea

θ

el ángulo entre los vectores

PQ

y

u

entonces:

d

=

PQ

sen

( )

θ

Así:

d

⋅

u

=

PQ

⋅

u

sen

( )

θ

Luego:

d

⋅

u

=

PQ

×

u

. Finalmente

u

PQ

d

=

×

DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN.

Obs. Dadas

L

1 y

L

2 dos rectas oblicuas, entonces existen dos únicos planos paralelos

π

1 y 2

π

que las contienen respectivamente.

Se define la distancia entre dos rectas oblicuas

L

1 y

L

2 como la distancia entre los dos planos

paralelos

π

1 y

π

2.

TEOREMA. Sean

P

y

Q

puntos en rectas oblicuas

L

1 y

L

2 con vectores directores

d

1

r

y

2

d

respectivamente. Sean

n

=

d

1

×

d

2 . La distancia

d

entre estas rectas está dada por

n

PQ

d

⋅

=

ALGUNAS SITUACIONES:

1. Recta que pasa por dos puntos.

2. Recta que pasa por un punto y es paralela a una recta dada.

3. Recta que pasa por un punto y es perpendicular a dos vectores linealmente independientes.

4. Recta que pasa por un punto y es normal a un plano. 5. Intersección de una recta y un plano coordenado. 6. Intersección de una recta y un plano.

7. Plano determinado por tres puntos no colineales. 8. Plano determinado por un punto y una recta. 9. Plano determinado por dos rectas paralelas.

10. Plano determinado por dos rectas que se interceptan en un único punto. 11. Hallar los planos paralelos que contienen a dos rectas que se cruzan. 12. Intersección de planos.

θ

u P