Teoría de ECUACIONES ALGEBRAICAS

Teoría de

ECUACIONES

ALGEBRAICAS

Teoría de

ECUACIONES

ALGEBRAICAS

Luciano Couder Alonso

A mis padres

Norberta y Francisco

A mi hijo Carlos

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN 13

0 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS 15

0.1 Divisibilidad . . . 15

0.2 Algoritmo de la división . . . 17

0.3 Máximo común divisor . . . 19

0.4 Primos relativos y números primos . . . 23

0.5 El teorema fundamental de la aritmética . . . 24

0.6 EJERCICIOS . . . 25

1 LOS NÚMEROS COMPLEJOS 31 1.1 El conjunto de los números complejos . . . 31

1.2 Suma y multiplicación de complejos . . . 34

1.3 Los complejos como parejas ordenadas . . . 41

1.4 Complejos conjugados. Valor absoluto de complejos . 42 1.5 Las raíces cuadradas de un complejo . . . 46

1.6 Forma trigonométrica de un complejo . . . 50

1.7 Fórmula de De Moivre . . . 54

1.8 Resolución de la ecuación xn z= 0 . . . 58

1.9 Representación geométrica de las raíces de la ecuación xn z= 0 . . . 62

1.10 Las raíces n–ésimas de la unidad . . . 63

1.11 Notas . . . 66

1.12 EJERCICIOS . . . 67

2 POLINOMIOS 75 2.1 Conjuntos de polinomios . . . 75

2.2 Suma y multiplicación de polinomios . . . 79

2.3 Divisibilidad de polinomios . . . 90

2.4 El algoritmo de la división . . . 93

2.5 El teorema del residuo y la división sintética . . . 97

2.6 Máximo común divisor . . . 100

2.7 Polinomios primos relativos y polinomios irreducibles . 109 2.8 EJERCICIOS . . . 112

3 RAÍCES DE POLINOMIOS 117 3.1 Raíces de polinomios . . . 117

3.2 El teorema fundamental del álgebra . . . 122

3.3 Multiplicidad de raíces . . . 124

3.4 Raíces imaginarias de polinomios con coe…cientes reales129 3.5 Raíces racionales de polinomios con coe…cientes enteros131 3.6 Acotamiento de las raíces reales de polinomios con coe…cientes reales . . . 135

3.7 Factorización de un polinomio en polinomios de raíces simples . . . 141

3.8 Relación entre las raíces y los coe…cientes de un poli-nomio . . . 148

3.9 EJERCICIOS . . . 151

4 SEPARACIÓN DE RAÍCES 163 4.1 Raíces aisladas . . . 164

4.2 El signo de un polinomio para grandes y pequeños valores de la indeterminada . . . 164

4.3 El teorema de cambio de signo . . . 168

4.4 El teorema de Rolle . . . 176

4.5 El teorema de Descartes . . . 181

4.6 El teorema de Sturm . . . 189

4.7 EJERCICIOS . . . 199

5 APROXIMACIÓN DE RAÍCES 207 5.1 Sucesiones monótonas y acotadas . . . 208

5.2 El teorema del valor medio . . . 213

5.3 Concavidad y convexidad . . . 216

5.4 El método de bisección . . . 218

5.5 El método de regula falsi . . . 222

5.6 El error de aproximación en el método de regula falsi . 231 5.7 El método de Newton . . . 235

CONTENIDO 11

5.9 El error de aproximación al combinar los métodos de regula falsi y de Newton . . . 247 5.10 Comentarios . . . 248 5.11 EJERCICIOS . . . 250

6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 251

6.1 Sistemas de ecuaciones lineales . . . 251 6.2 Matriz de coe…cientes . . . 253 6.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales. Método

de reducción de Gauss . . . 255 6.4 EJERCICIOS . . . 264

A SOLUCIÓN POR RADICALES DE LAS ECUACIONES

DE SEGUNDO, TERCER Y CUARTO GRADOS 273

A.1 El discriminante de una ecuación . . . 274 A.2 La ecuación de segundo grado . . . 275 A.3 El discriminante de la ecuación de segundo grado . . . 276 A.4 La ecuación de tercer grado . . . 277 A.5 El discriminante de la ecuación de tercer grado . . . . 281 A.6 La ecuación de cuarto grado . . . 285

B EL USO DE LA COMPUTADORA 289

INTRODUCCIÓN

El presente libro es producto de la impartición, en repetidas ve-ces, del primer curso de álgebra en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (ESFM–IPN). Los objetivos centrales son resolver la ecuación algebraica

anxn+an 1xn 1+: : :+a1x+a0= 0

y resolver un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. El segundo objetivo se alcanza totalmente, pues se proporciona un método, el de Gauss, por medio del cual puede decidirse si un sis-tema dado tiene o no solución; y en caso de tener, decidir si tiene sólo una o más de una; y en cualquiera de estos casos, encontrarlas. El primer objetivo sólo se alcanza totalmente en cuanto a las raíces reales de ecuaciones con coe…cientes reales.

Consta este trabajo de siete capítulos numerados de 0 a 6. En el Capítulo 0 se estudian algunas propiedades elementales de la a-ritmética de números enteros; además de que su presentación facilita el estudio del Capítulo 2, algunos resultados aquí vistos serán útiles en las demostraciones de otros, en capítulos siguientes. En el Capí-tulo 1 se estudian los números complejos y se resuelven algunas ecua-ciones algebraicas de tipo particular. En el Capítulo 2 se estudian las expresiones de la formaanxn+an 1xn 1+: : :+a1x+a0;denominadas polinomios, y que aparecen en el miembro izquierdo de las ecuaciones algebraicas. En el Capítulo 3, se aborda formalmente el problema de encontrar las raíces de un polinomio, es decir, de resolver la ecuación algebraica anxn+an 1xn 1+: : :+a1x+a0 = 0:En el Capítulo 4 se estudia el problema de separar las raíces reales de polinomios con coe…cientes reales. En el Capítulo 5, una vez que se tienen separadas

las raíces reales de polinomios con coe…cientes reales, se dan métodos para encontrar valores aproximados de tales raíces. Finalmente en el Capítulo 6, se estudia el problema de resolver un sistema de m

ecuaciones lineales con nincógnitas.

Se supone el conocimiento de los números naturales N con sus operaciones y propiedades; lo mismo en cuanto a los números enteros

Z;así como de los números racionalesQy de los números realesR:

También se supone el conocimiento de las propiedades de orden, valor absoluto y de la exponenciación racional de los números reales; así como la propiedad arquimedeana y el concepto de intervalo en los mismos. Finalmente, se supone el conocimiento del principio de Buen Orden y la demostración por inducción matemática.

Quiero expresar mi agradecimiento al Dr. Carlos Rentería Márquez y al Dr. Roberto S. Acosta Abreu, quienes aparte de haber sido mis profesores en algunos cursos, revisaron el presente trabajo. También expreso mi agradecimiento a Ma. Eugenia Carrillo Hernández, quien pacientemente mecanogra…ó el manuscrito.

Luciano Couder Alonso

Capítulo 0

PROPIEDADES DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

En este capítulo se estudiarán, brevemente, algunas propiedades elementales de la aritmética de números enteros. Además de ser útiles en posteriores resultados, son esencialmente las mismas que veremos en el álgebra de polinomios, en el capítulo 2.

0.1

Divisibilidad

De…nición (0.1.1).–Seana; b₂Z:Decimos queb divide a a(o que bes un factor de ao queaes un múltiplo de b) si existeq₂Ztal que a=bq:

Notación: Para decir que b divide a a escribiremos b_ja; y la expresión b_{6 j}asigni…ca queb no divide aa: Por tanto, b_ja; si y sólo si, existe q ₂ Z tal que a = bq: Además, b _{6 j}a; si y sólo si, a ₆= bq

para todoq ₂Z:

Observación: Sia=bq yb₆= 0;entoncesq es único. En efecto: si a=bq0;entoncesbq0 =bq y comob₆= 0;se sigue que q0 =q:

Proposición (0.1.2).–En Z:

1. b_jb;para cadab₂Z:

2. b_j0;para cada b₂Z:

3. 1_jay 1_ja;para cada a₂Z:

4. 0_ja₍₎a= 0:

5. Si b_j1;entonces b= 1:

6. Si b_jay a_jb;entoncesa= b:

7. Si b_jay a_jc;entoncesb_jc:

8. Si b_jay b_jc;entonces b_ja+cy b_ja c:

9. Si b_ja; entoncesb_jac₈c₂Z:

10. Si b_jay b_jc;entonces b_jas+ct₈s; t₂Z:

11. b_ja₍₎b_j a₍₎ b_ja₍₎ b_j a:

12. b_ja₍₎b _ja_{j () j}b_j a_{() j}b_{j j}a_j:

Demostración: Sólo demostraremos (5) y (6), los demás se de-jan como ejercicio al lector.

(5) Sib_j1;entonces existeq₂Ztal que1 =bq, luegob₆= 0yq ₆= 0

y también 1 =_jb_{j j}q_j;por lo tanto _jb_j 1 y _jq_j 1:Si _jb_j>1;

entonces1 =_jb_{j j}q_j>_jq_j 1;lo cual es una contradicción. Así que _jb_j= 1;de donde se sigue queb= 1:

(6) Si b_ja y a_jb; entonces existen q1; q2 2 Z tales que a = bq1 y

b=aq2;por lo tantoa=a(q1q2):Suponiendo que a6= 0 (pues sia= 0;entoncesb= 0), tenemos que1 =q1q2;por tantoq1j1; y por (5)q1= 1:Puesto que a=bq1;entoncesa= b:

0.2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 17

Proposición (0.1.3).–Sean a; b ₂ Z: Si b_ja; entonces a = 0 ó

jb_{j j}a_j:

Demostración: Si b_ja; existeq ₂Ztal que a=bq; por lo tanto

ja_j =_jb_{j j}q_j: Sia = 0₆ ;entonces 1 _jb_j y 1 _jq_j; de donde se sigue que _jb_{j j}b_{j j}q_j;o sea, _jb_{j j}a_j:

q.e.d.

0.2

Algoritmo de la división

Teorema (0.2.1).–Sia; b₂Zyb₆= 0;entonces existenq; r₂Z;

únicos, tales que

a=bq+r con 0 r <_jb_j:

En este caso ase llama dividendo,b se llama divisor, y los númerosq y

r se llaman, respectivamente, el cociente y el residuo de dividiraporb:

Demostración:

I) Suponemos primero que a >0 y b >0 (_jb_j= b):En este caso procederemos por inducción sobre a:

i) Si a = 1 : Como b > 0; entonces b 1: Si b = 1; como

1 = 1 1 + 0; elegimos q = 1 y r = 0: Si b > 1; como

1 = b 0 + 1; elegimos q = 0 y r = 1: En cualquier caso

1 =bq+r con0 r < b:

ii) Suponemos el resultado cierto paraa;es decir, suponemos que existenq1; r1 2Ztales quea=bq1+r1con0 r1< b:

iii) Probaremos que el resultado es válido paraa+ 1;es decir, probaremos que existen q; r₂Ztales quea+ 1 =bq+r

con 0 r < b: En efecto: Por hipótesis de inducción

con0< r1+1 b:Sir1+1< b;comoa+1 =bq1+(r1+1); elegimos q =q1 y r =r1+ 1:Si r1 + 1 =b; se tiene que

a+ 1 = b(q1 + 1) + 0; por lo que en este caso elegimos

q =q1+ 1y r= 0: En cualquier casoa+ 1 = bq+r con

0 r < b:

II) Suponemos ahora quea= 0yb >0:Como0 =b 0+0;elegimos

q = 0 yr= 0;así obtenemos a=bq+r con0 r < b:

III) Suponemos quea <0 y b >0: Comoa <0; entonces0 < a

y por (I), existen q1; r12Ztales que a=bq1+r1 con

0 r1< b;por lo tantoa=b( q1) + ( r1):Sir1 = 0;elegimos

q = q1 yr= 0:Si0< r1;como a=b( q1 1) + (b r1)con

0< b r1;elegimos en este caso q= q1 1yr =b r1:En cualquier casoa=b q+r con0 r < b:

Observemos que de (I), (II) y (III) se sigue que sia₂Zyb >0;

entonces existenq; r₂Ztales que a=bq+r con0 r < b:

IV) Finalmente suponemos que a ₂ Z y b < 0: Como b < 0; en-tonces0< b;y por la observación anterior, existenq1; r1 2Z tales que a = ( b)q1 +r1 con 0 r1 < b = jbj; por tanto

a=b( q1) +r1 con0 r1 <jbj:Eligiendoq = q1 y r=r1; obtenemosa=b q+r con0 r <_jb_j:

Probaremos ahora la unicidad deq yr:

Si existen q0; r0 ₂ Z tales que a = bq0 +r0 con 0 r0 < _jb_j;

entonces bq+r = bq0+r0; por tanto b(q q0) = r0 r; de donde se sigue que b_jr0 r; entonces, por la proposición (0.1.3), r0 r= 0

ó _jb_j r0 r: Pero _jb_j r0 r no es posible, porque 0 r < _jb_j

y 0 r0 < _jb_j: Así que r0 r = 0; por lo tanto r0 =r; por lo que tambiénb(q0 q) = 0;y como b₆= 0;entoncesq0 =q:

0.3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 19

0.3

Máximo común divisor

Dados a; b₂Zno ambos cero, construimos el conjunto

A=_fx₂Z x >0; x_ja y x_jb_g:

Por el principio de buen orden, aplicado al conjunto

B =_fy₂Z_jy > x; ₈x₂A_g;

es posible probar que A tiene elemento máximo, a este lo podemos de…nir como el máximo común divisor deayb:Sin embargo, daremos otra de…nición, la cual facilita su estudio posterior y desde luego puede probarse que es equivalente a la anterior.

De…nición (0.3.1).–Seana; b₂Z;no ambos cero. Decimos que

d₂Z; d >0;es máximo común divisor (mcd) dea yb;si:

i) d_jay d_jb:

ii) Si c₂Zes tal quec_jayc_jb;entonces c_jd:

Notación: Para decir que des máximo común divisor deayb, escribiremosd= (a; b) ód=mcd_fa; b_g:

Observación: Sid = (a; b);entonces d es único. En efecto: Si también d0 = (a; b);entonces por la de…nición, d0_jdyd_jd0;luego por (6) de la proposición (0.1.2), d0 =d:

Lema (0.3.2).–Seana; b₂Z;conb₆= 0:Si b_ja; entonces

jb_j= (a; b):

i) Como b_jb y por hipótesisb_ja; entonces por (12) de la

proposi-ción (0.1.2), _jb_j b y_jb_j a:

ii) Sic₂Zes tal quec_jayc_jb;entonces por (12) de la proposición

(0.1.2), c _jb_j:

De (i) y (ii) se sigue que _jb_j= (a; b):

q.e.d.

Lema (0.3.3).–Seana; b₂Z;no ambos cero. Sia=bq+r; para algunos q; r₂Z;entoncesd= (a; b);si y sólo si, d= (b; r):

Demostración: Suponemos primero que d= (a; b) y probare-mos qued= (b; r):

i) Comod= (a; b);entoncesd_jayd_jb;y comoa=bq+r;entonces

d_jr; luego d_jby d_jr:

ii) Sic₂Zes tal quec_jby c_jr; entoncesc_ja;pues a=bq+r; por lo tanto c_jb yc_ja; luego c_jd:

De (i) y (ii) se sigue que d= (b; r):

Probaremos ahora que sid= (b; r);entoncesd= (a; b):En efecto: Comoa=bq+r;entoncesr=b( q)+a;luego sid= (b; r);entonces, por lo ya probado anteriormente, d= (a; b):

q.e.d.

Teorema (0.3.4) [Algoritmo de Euclides].–Dados a; b₂ Z;no ambos cero, existe d= (a; b): Además, d es el mínimo entero positivo para el cual existen s; t₂Ztales qued=as+bt:

Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos suponer que b₆= 0. Por teorema (0.2.1), existenq1; r12Ztales que

0.3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 21

Si r1 = 0;entonces por lema (0.3.2), jbj= (a; b):Si r1 > 0; nueva-mente por teorema (0.2.1), existen q2; r22Ztales que

b=r1q2+r2 con 0 r2< r1:

Sir2= 0;entonces, por lema (0.3.2),r1 = (b; r1);y por lema (0.3.3)

r1= (a; b):Si r2 >0;continuamos el proceso anterior, obteniéndose la siguiente tabla:

a=bq1+r1 con 0< r1 <jbj

b=r1q2+r2 con 0< r2 < r1

r1=r2q3+r3 con 0< r3 < r2

rn 3 =rn 2qn 1+rn 1 con 0< rn 1< rn 2

rn 2 =rn 1qn+rn con 0< rn< rn 1

rn 1 =rnqn+1+rn+1 con rn+1= 0

9 > > > > > > > > = > > > > > > > > ; ( )

El proceso termina cuando para algunan₂N; rn>0yrn+1 = 0; lo que siempre ocurre, pues en caso contrario el conjunto

fjb_j; r1; r2; r3; : : :g N;

donde _jb_j> r1 > r2 > r3 > : : : ; no tendría elemento mínimo, lo que contradiría el principio de buen orden.

A…rmamos quern;el último residuo diferente de cero, es el mcd de a yb, es decir, rn=d= (a; b). En efecto: Procediendo de abajo para arriba en la tabla ( ), por el lema (0.3.2), rn= (rn; rn 1)y por lema (0.3.3)

rn= (rn; rn 1) = (rn 1; rn 2) =: : := (b; r1) = (a; b):

Veamos ahora que existen s; t₂Z tales que rn =as+bt: Pro-cediendo de arriba para abajo en la tabla ( ), se tiene que:

Sis1 = 1 yt1= q1; entonces

r1=as1+bt1: También

r2 =r1( q2) +b;

por lo tanto r2=a( s1q2) +b( t1q2+ 1):Sis2 = s1q2 y

t2 = t1q2+ 1;entonces

r2 =as2+bt2:

Análogamente, de la tabla ( )

r3 =r2( q3) +r1;

por lo tanto r3 =a( s2q3+s1) +b( t2q3+t1):Si s3 = s2q3+s1 yt3 = t2q3+t1;entonces

r3 =as3+bt3:

Continuando este proceso tenemos que

rn=asn+btn

donde sn = sn 1qn+sn 2 y tn = tn 1qn+tn 2: Eligiendo

s = sn y t = tn, obtenemos rn = d = as+bt; donde es claro que

s; t₂Z:

Finalmente demostraremos que d es el mínimo entero positivo para el cual existens; t₂Ztales que d=as+bt:Seac₂Z; c >0;

tal quec=ax+byconx; y₂Z:Comod= (a; b);entoncesd_jayd_jb

y por lo tantod_jax+by; o sea, d_jc, luegod c:

q.e.d.

Ejemplo: Calcular el mcd de 60 y 168.

Solución:

2 1 3

60 168 48 60 12 48

0.4. PRIMOS RELATIVOS Y NÚMEROS PRIMOS 23

Por tanto,12 = (60;168):

Observación: Seana; b₂Z;no ambos cero. Sic₂Z; c >0;es tal que c=ax+by; conx; y ₂Z;no necesariamentec es el mcd de

ayb. Sin embargo, si1 =ax+by;conx; y₂Z;entonces1 = (a; b):

Proposición (0.3.5).–Si a; b₂Z; son no ambos cero, entonces

(a; b) = (_ja_j;_jb_j):

Demostración: Se deja al lector como ejercicio.

0.4

Primos relativos y números primos

De…nición (0.4.1).–Seana; b₂Z;no ambos cero. Decimos que

ay bson primos relativos, si 1 = (a; b):

Proposición (0.4.2).–Seana; b; c₂Z:

1. Si 1 = (a; b) ya_jbc;entonces a_jc:

2. Si 1 = (a; b);entonces 1 = (a; bn) ₈n₂N:

Demostración:

De (1): Como1 = (a; b) entonces existens; t₂Ztal que

1 = as+bt; luego c = a(cs) +bc(t): Claro que a_ja y por hipótesis

a_jbc; por lo tanto a_jc:

De (2): Procederemos por inducción sobren:

i) Sin= 1 :Claro que1 = (a; b) implica que 1 = (a; b1):

iii) Probaremos que el resultado es válido para n+ 1; es decir, probaremos que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; bn+1_{) : Como}

1 = (a; b); entonces existen s; t ₂ Z tales que 1 = as +bt;

y además, por hipótesis de inducción, 1 = (a; bn); por tanto existenx; y₂Ztales que1 =ax+bn_{y. Multiplicando miembro} a miembro 1 =ax+bny y 1 =as+bt; obtenemos

1 =a(axs+bxt+sbny) +bn+1(yt);por lo tanto1 = (a; bn+1):

q.e.d.

De…nición (0.4.3).–Decimos que p ₂ Z es número primo, si

p >1 y los únicos divisores positivos de p;son1 yp mismo.

Proposición (0.4.4).–Sean a; b ₂ Z y sea p un número primo. Entonces:

1) p_jaó 1 = (a; p):

2) Si p_jab; entonces p_ja op_jb:

Demostración:

De (1): Sead= (a; p);entoncesd_jayd_jp;y por lo tanto d= 1 ó

d=p;de donde se sigue quep_jaó 1 = (a; p):

De (2): Supongamos que p_{6 j}a; luego, por (1), 1 = (a; p):Como por hipótesis p_jab;entonces por proposición (0.4.2)(1), p_jb:

q.e.d.

0.5

El teorema fundamental de la aritmética

0.6. EJERCICIOS 25

Demostración: Sea A= _fm ₂N m >1 y m_ja_g: Claro que

A ₆= ; pues a ₂ A: Por el principio de buen orden, A tiene un elemento mínimo, sea estep:A…rmamos quepes número primo. En efecto: Si p no es primo, entonces existe q ₂Z; con1 < q < p; tal que q_jp: Como p_ja; entonces q_ja; por tanto q ₂ A; lo cual es una contradicción a la elección dep:

q.e.d.

Teorema (0.5.2) [Teorema fundamental de la aritmética].–Si

a ₂Zy a >1; entonces aes primo ó existen p1; p2; : : : ; pk números primos tales que

a=p1 p2 : : : pk:

Además, si q1; q2; : : : ; qm son números primos tales que

a=q1 q2 : : : qm;

entoncesm=k yqi =pj para algunosi; j= 1;2; :::; k:

Demostración: Se deja como ejercicio al lector.

0.6

EJERCICIOS

1. Seana; b; c₂Z:Decimos queces combinación lineal de ayb, si existen x; y₂Ztales que c=ax+by:

1.1 Pruebe que 29 es combinación lineal de5 y7:

1.2 Escriba a 50 en dos formas diferentes como combinación lineal de 5y2:

1.3 Si d_ja; d_jb y d_{6 j}c; pruebe quec no es combinación lineal de ayb:

1.5 Encuentre un entero m que no sea combinación lineal de

28 y49:

1.6 Simdivide a cualquier combinación lineal deayb; pruebe que m_jaym_jb:

1.7 Decida si la ecuación 153 = 34x+ 51y tiene soluciones enteras xy y:

1.8 Si c es impar, pruebe que la ecuación c = 14x+ 72y no tiene soluciones enteras x yy:

2. Sib_jm para todom₂Z, pruebe queb= 1:

3. Sib_ja1; bja2; : : : ; bjan;pruebe que bja1+a2+: : :+an:

4. Pruebe que:

4.1 8_j(2n 1)2 1;para cada n₂N:

4.2 6_jn3 _{n; para cadan2N:}

4.3 9_jn3+ (n+ 1)3+ (n+ 2)3;para cadan₂N:

4.4 133_j11n+2+ 122n+1;para cadan₂N:

4.5 Sia; b; cson dígitos, entonces143divide al número (cifrado)

abcabc:

5. Sia; b₂Z; pruebe que a b_jan bn;para cadan₂N:

6. Seana; b₂Z;conb₆= 0:Pruebe queb_ja;si y sólo si, el residuo de dividirapor b;esr = 0:

7. Aplicando el algoritmo de división, encuentreqyrpara escribir

a=bq+r en los siguientes casos:

7.1 a= 0 y b= 5: 7.2 a= 138 y b= 11:

7.3 a= 18 y b= 46: 7.4 a= 137 y b= 18:

7.5 a= 23 y b= 52: 7.6 a= 14 y b= 8:

7.7 a= 32 y b= 57: 7.8 a= 18 y b= 4:

7.9 a= 28 y b= 46:

7.10 a=m3+ 3m2+ 3m+ 2 y b=m+ 1 (m >0):

0.6. EJERCICIOS 27

9. Aplicando el algoritmo de Euclides y el ejercicio anterior, en-cuentre el mcd de:

9.1 a= 60 y b= 42: 9.2 a= 60 y b= 42:

9.3 a= 35 y b= 49: 9.4 a= 82 y b= 36:

9.5 a= 764 y b= 866: 9.6 a= 468 y b= 964:

10. Si(a; b) = 1;pruebe que la ecuaciónc=ax+bytiene soluciones enterasx yy; para cadac₂Z:

11. Seana; b; c₂Z:Sid= (a; b);pruebe que la ecuación

c=ax+by tiene soluciones enteras, si y sólo si, d_jc:

12. Sid >0es tal qued_ja; d_jbyd=as+bt;pruebe que d= (a; b):

13. Sid= (a; b) yd=as+bt; pruebe que (s; t) = 1 [?‘son únicos

syt ?].

14. Sid= (a; b); a=dq1 yb=dq2;pruebe que (q1; q2) = 1:

15. Sic_jay(a; b) = 1;pruebe que(b; c) = 1:

16. Sia_jc; b_jc y d= (a; b);pruebe que ab_jcd:

17. Si(a; b) = 1y c₆= 0;pruebe que(a; b c) = (a; c):

18. Sik >0;pruebe que (ak; bk) =k(a; b):

19. Sik₆= 0;pruebe que (ak; bk) =_jk_j(a; b)

20. Si(a; b) = 1;pruebe que (a+b; a b) = 1ó 2:

21. Si(a; b) = 1;pruebe que (am; bn) = 1 para todom; n₂N:

22. Si(a; b) =k;pruebe que(an; bn) =kn para todon₂N:

23. Seanm; n; k₂N:Simn=k2 y(m; n) = 1;pruebe quem=a2

yn=b2 para algunosa; b₂N:

24. Si(a; c) = 1y (b; c) = 1;pruebe que(ab; c) = 1:

25. Sib2_ja2;pruebe queb_ja:

27. Sia₂Nya₆=k2 para todok₂N;pruebe que pa =₂Q:

28. Sia₂Nya₆=kn para todok₂N;pruebe que pn_{a =} 2Q:

29. Sia1; a2; : : : ; an son dígitos, pruebe que 9ja1a2: : : an;si y sólo si,9_ja1+a2+ : : :+an (a1a2: : : an es número cifrado).

Sugerencia: Pruebe y use que 9_j10n 1, para cadan₂N:

30. Sean a0; a1; : : : ; an 2 Z; no todos cero. Decimos que d 2 Z;

d > 0; es máximo común divisor (mcd) de a0; a1; : : : ; an; y escribimos d= (a0; a1; : : : ; an);si:

I) d_ja0; dja1; : : : ; djan:

II) Sic₂Z es tal que c_ja0; cja1; : : : ; cjan;entonces cjd:

30.1 Sid= (a0; a1; : : : ; an);pruebe quedes único. 30.2 Pruebe que existe d= (a0; a1; : : : ; an);y además que

existen s0; s1; : : : ; sn 2Z tales que

d=a0s0+a1s1+: : :+ansn;

y que des el mínimo entero positivo con esta propiedad.

Sugerencia: Proceda por inducción. De otro modo, de-…na A = _fx ₂ N _j x = a0t0 +a1t1 +: : :+antn; con

t0; t1; : : : ; tn 2Zg, veri…que que A 6= : Por el Principio de Buen Orden,Atiene elemento mínimo, pruebe que este satisface (I) y (II).

31. Seana; b; c₂Z;no todos cero. Pruebe que(a; b; c) = ((a; b); c):

32. Sean a0; a1; : : : ; an2Z;no todos cero. Pruebe que

(a0; a1; : : : ; an) = (ja0j;ja1j; : : : ;janj):

33. Seana; b₂Z;cona₆= 0 y b₆= 0. Decimos que m₂Z; m > 0;es mínimo común múltiplo (mcm) de a y b;y escribi-mos m= [a; b]óm=mcm_fa; b_g;si:

I) a_jm y b_jm:

II) Si a_js y b_js para algún s₂Z; entonces m_js:

33.1 Sim= [a; b];pruebe quem es único.

0.6. EJERCICIOS 29

33.3 Pruebe que [a; b] = [_ja_j;_jb_j]:

33.4 Sia >0yb >0;pruebe que[a; b] = a b (a; b):

33.5 Sik >0;pruebe que [ak; bk] =k[a; b]:

34. Escriba una de…nición de mcm dea; b₂Z;sin la restricción de que a₆= 0 y b₆= 0:

35. Seana0; a1; : : : ; an2Z; con ai6= 0 para cadai= 0;1; : : : ; n: Escriba una de…nición de mcm dea0; a1; : : : ; an:Además, enun-cie y pruebe ejercicios similares a 33.1, 33.2, 33.3, 33.4 y 33.5.

36. Factorice en primos los siguientes números: 834;656;383;637;

2831:

37. Si p es primo y p_ja1 a2 : : : an; pruebe que pjai para algún

i= 1; 2; : : : ; n:

38. Si a ₂Z y a < 1;pruebe que existen primos p1; p2; : : : ; pn tales que a= p1 p2 : : : pn:

39. Sean a=p 1

1 p22 : : : pnn y b=p11 p22 : : : pnn; donde

p1; p2; : : : ; pn son números primos tales que pi 6=pj; sii6=j; y donde i 0 y i 0;para cadai= 1; 2; : : : ; n:

39.1 Si d=p 1

1 p21 : : : pnn con0 i =mínf i; ig;para cadai= 1; 2; : : : ; n, pruebe que d= (a; b):

39.2 Sim=p 1

1 p22 : : : pnn con0 i =máxf i; ig; para cadai= 1; 2; : : : ; n;pruebe que m= [a; b]:

40. Sean₂N:Si 2n _{1 es primo, pruebe quenes primo}

41. Seaa₂N; a >1: Sip_{6 j}apara cada primo ptal que

p2 a; pruebe que aes primo (Teorema de Eratóstenes).

42. Seana; b₂Z: Sip₂Z; p >1;es tal quep_jabimplica p_jaop_jb;

pruebe que pes primo.

43. Si p es un número primo y n₂N;pruebe que la suma de los divisores positivos de pn 1 es p

n ₁

p 1 :

Capítulo 1

LOS NÚMEROS

COMPLEJOS

1.1

El conjunto de los números complejos

Uno de nuestros objetivos es la resolución de ecuaciones alge-braicas con una incógnita y de coe…cientes reales, es decir, de expre-siones de la forma

anxn+an 1xn 1+: : :+a1x+a0 = 0;

donde an; an 1; : : : ; a1; a0 son números reales llamados coe…cientes de la ecuación, x es la incógnita (o indeterminada) y n 1; si

an 6= 0; es el grado de la ecuación. Resolver la ecuación ante-rior signi…ca encontrar todos los valores numéricos de la incógnita

x que la satisfagan, es decir, que al sustituir x por tales valores, llamados soluciones o raíces de la ecuación, y efectuar las opera-ciones indicadas, el primer miembro de la ecuación se reduzca a cero. Veremos enseguida que el conjunto de números reales no es su…ciente para resolver cualquier ecuación de coe…cientes reales. En efecto:

Consideremos la ecuación

x2+ 1 = 0: (1)

Supongamos quet₂Res una solución de (1), entoncest2_{+1 = 0;} por tanto t2 = 1: Si t > 0; entonces t2 > 0: Si t = 0; entonces

t2 = 0: Si t < 0; entonces t2 > 0: Por tanto t2 ₆= 1; para todo

t₂R:En consecuencia, no hay número real que satisfaga la ecuación

x2+ 1 = 0:

Consideremos ahora la ecuación

x2+x+ 1 = 0: (2)

Sabemos que las soluciones reales de una ecuación del tipo

ax2+bx+c= 0;

cona; b; c₂R, son de la forma

b pb2 _4ac

2a :

Suponiendo que s ₂ R es una solución de la ecuación (2), en-tonces

s= 1 + p

3

2 ó s=

1 p 3

2 :

En el primer caso se tendría que p 3 = 2s+ 1;y en el segundo caso se tendría que p 3 = (2s+ 1): En cualquier caso se tendría que

3 = (2s+ 1)2; donde 2s+ 1 ₂ R; pues hemos supuesto s ₂R;y esto no es posible ya que, como vimos antes, el cuadrado de todo número real es positivo o cero. Así pues, tampoco hay número real que satisfaga la ecuación (2).

Lo que haremos enseguida es ampliar el sistema de los números reales, a un sistema de números donde, por lo menos, las ecuaciones (1) y (2) tengan soluciones. De hecho, como veremos más adelante, toda ecuación de coe…cientes reales o en el nuevo sistema, tendrá soluciones en éste.

Una solución de la ecuación (1) sería un númeroital quei2_{= 1;} el cual, como hemos visto, no puede ser número real. Las soluciones de la ecuación (2) serían números de la forma

1 p 3

1.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 33

Si en lugar de 3 dentro del radical, escribimos3i2;y si intentamos extender las leyes de radicales de números reales, tendríamos

1 p3i2

2 =

1 p3i

2 :

Así que las soluciones de la ecuación (2) serían

1 2+

p 3

2 i y

1 2

p 3 2 i;

donde claro que 1₂; p₂3 y p₂3 son números reales.

Motivados por las ideas anteriores, hacemos la siguiente

De…nición (1.1.1).–Un número complejo es una expresión de la forma a+bi;dondea ybson números reales e ies un símbolo.

Si con C denotamos al conjunto de los números complejos, en-toncesC =_fa+bi_j a₂Ryb₂R_g:

La expresión a+bi se llama forma normal de un número com-plejo. Al número real a se le llama la parte real de a+bi, y lo denotamos por a =Re(a+bi). Al número real b se le llama parte imaginaria de a+bi; y lo denotamos por b=Im(a+bi):

De…nición (1.1.2).–Decimos que dos números complejos a+bi

y c+dison iguales, y escribimos a+bi=c+di;si a=c yb=d:

Sib₆= 0;al número complejoa+bise le llama número imaginario, y al complejo0+bise le llama número imaginario puro, y se le denota simplemente porbi;esto es,bi= 0+bi: Al número complejoa+0i se le denota simplemente pora; es decir, a=a+ 0i; que es un número real.

Pora bientenderemos el número complejo a+ ( b)i;o sea que

Análogamente

a+bi = ( a) +bi; a bi = ( a) + ( b)i;

i = 0 + 1i; i = 0 + ( 1)i; a+i = a+ 1i:

1.2

Suma y multiplicación de complejos

De…nición (1.2.1).–Seana+biyc+di números complejos.

i) De…nimos la suma de a+bi yc+di;denotada por

(a+bi) + (c+di);como:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i:

ii) De…nimos la multiplicación de a +bi yc +di; denotada por

(a+bi) (c+di)o por (a+bi)(c+di);como:

(a+bi) (c+di) = (ac bd) + (ad+bc)i:

Comentario: La suma de dos números complejos se ha de…nido, naturalmente, como el complejo cuya parte real es la suma de partes reales, y cuya parte imaginaria es la suma de partes imaginarias. La multiplicación se ha de…nido bajo la siguiente indicación:

Si x; y; v; ! ₂R;sabemos que

(x+y)(v+!) =xv+y!+x!+yv:

Siguiendo esta idea, y como queremos i2 = 1;obtenemos

(a+bi) (c+di) = ac+bdi2+adi+bci

= (ac bd) + (ad+bc)i:

1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS 35

S1) ₈z1; z2 2C; z1+z2 2C:

S2) ₈z1; z2; z32C;(z1+z2) +z3 =z1+ (z2+z3):

S3) ₈ z1; z2 2C; z1+z2 =z2+z1:

S4) Existe un único elemento ₂Ctal que z+ =z; ₈z₂C:

S5) ₈z₂C;existe un único z₂Ctal que z+ ( z) = :

M1) ₈z1; z22C; z1 z2 2C:

M2) ₈z1; z2; z32C;(z1 z2) z3=z1 (z2 z3).

M3) ₈z1; z22C; z1 z2 =z2 z1:

M4) Existe un único`<sub>2</sub>C;tal que z `=z ₈z₂C:

M5) ₈z₂C; z₆= ;existe un único ₂Ctal que z =`:

D) ₈ z1; z2; z3 2C; z1 (z2+z3) =z1 z2+z1 z3:

Demostración:

De (S1): Es consecuencia inmediata de la de…nición de suma.

De (S2): Seanz1 =a+bi; z2=c+diyz3 =e+f i;entonces

(z1+z2) +z3 = ((a+bi) + (c+di)) + (e+f i)

= ((a+c) + (b+d)i) + (e+f i) = ((a+c) +e) + ((b+d) +f)i

= (a+ (c+e)) + (b+ (d+f))i

= (a+bi) + ((c+e) + (d+f)i) = (a+bi) + ((c+di) + (e+f i)) = z1+ (z2+z3):

De (S3): Se deja al lector.

De (S4): Sea z= a+biun complejo arbitrario, y consideremos el complejo 0 + 0i;entonces:

(a+bi) + (0 + 0i) = (a+ 0) + (b+ 0)i

Por tanto, = 0 + 0i es tal quez+ =z; ₈z₂C:

Veamos ahora que es único: Si también 0 es un complejo tal que z + 0 = z; ₈z ₂ C; entonces, en particular, + 0 = y

0_{+ =} 0_{:Como por (S3) +} 0 ₌ 0_{+ ;entonces} 0 _{= :}

En resumen, = 0 + 0i es único tal que z+ = z;₈z ₂ C. Como por notación 0 = 0 + 0i, entonces en lugar de escribimos simplemente0, o sea = 0 + 0i= 0:

De (S5): Dadoz=a+bi; consideremos el complejo

a bi= ( a) + ( b)i:

Claro que

(a+bi) + ( a bi) = (a a) + (b b)i

= 0 + 0i

= 0:

Así que dado z = a+bi; z = (a+bi) = a bi es tal que

z+ ( z) = 0: Veamos ahora que z es único: Si también z0 _{es un}

complejo tal que z+z0= 0;entonces

z0 = 0 +z0

= ( z+z) +z0

= z+ (z+z0)

= z+ 0

= z:

Resumiendo, dadaz =a+b i; z = a bi es el único tal que

z+ ( z) = 0:

De (M1): Es consecuencia inmediata de la de…nición de multipli-cación.

1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS 37

De (M3): Seanz1 =a+biyz2=c+di;entonces

z1 z2 = (a+bi) (c+di)

= (ac bd) + (ad+bc)i

= (ca db) + (da+cb)i

= (c+di) (a+bi) = z2 z1:

De (M4): Sea z=a+b i un complejo arbitrario y consideremos el complejo `= 1 + 0i: Claro que

z ` = (a+bi) (1 + 0i) = (a 0) + (0 +b)i

= a+bi

= z:

Así pues, `= 1 + 0i es tal que z `=z; ₈z₂C:

Veamos ahora que ` es único: Si también `0 ₂ C es tal que

z `0 = z; <sub>8</sub>z <sub>2</sub> C; en particular ` `0 = ` y `0 ` = `0; y como

`0 `=` `0; entonces `0 =`:

Puesto que por notación a+ 0i=a; entonces 1 + 0i= 1, así que, en lugar de ` escribiremos simplemente1:

De (M5): Sea z=a+bi₆= 0 (a₆= 0 o b₆= 0);y sea =x+yi un complejo tal que z = 1, es decir, (a+bi)(x+yi) = 1; entonces

(ax by) + (ay+bx)i= 1 y por lo tanto

ax by= 1 (1)

y

a y+b x= 0: (2)

Multiplicando (1) por a; y (2) porb;tenemos que

a2x aby=a (3)

y

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4), se tiene que a2_x+b2_{x=a;entonces (a}2_+b2_{)x=a; y por tanto}

x= a

a2_+b2:

Multiplicando ahora (1) por b;y (2) por a;y haciendo un pro-ceso análogo al anterior, se tiene que

y = b

a2_+b2: Así pues, dadoz=a+bi₆= 0;

= a

a2_+b2 +

b a2_+b2i

es tal que z = 1. Veamos ahora que es único: Si 0 es tal que

z 0 = 1;entonces

0 ₌ 0 ₁

= 0 (z )

= ( 0 z) = (z 0) = 1

= :

En lugar de escribimos z 1_{; o sea que, si z = a+b i 6= 0;} entonces

z 1 = a

a2_+b2 +

b a2_+b2i es el único tal quez z 1= 1:

De (D): Se deja al lector.

q.e.d.

Notación: Dadosz1; z22C; en lugar dez1+ ( z2); escribimos

z1 z2;es decir,

z1 z2=z1+ ( z2): En particular, z z=z+ ( z):Análogamente,

1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS 39

y

z1+z2 = ( z1) +z2:

Puesto que las once propiedades anteriores (denominadas axio-mas de campo) son las misaxio-mas que cumplen los números reales, las consecuencias de ellas son también las mismas que se tienen para los números reales. Para recordar algunas de ellas, enunciamos la siguiente

Proposición (1.2.3).–Siz; z1; z2 2C;entonces:

1. z 0 = 0:

2. z= ( 1)z y ( z) =z:

3. (z1)( z2) = ( z1)(z2) = (z1 z2):

4. ( z1)( z2) =z1z2:

5. Si z1 z2= 0;entoncesz1 = 0 oz2= 0:

6. Si z+z1=z+z2;entoncesz1=z2:

7. Si z z1 =z z2 yz6= 0;entonces z1 =z2:

8. Si z₆= 0;entonces (z 1) 1 =z:

Demostración: Ejercicio.

Observación: Considerando la notaciónb+0i=by0+i=i;por la conmutatividad de la multiplicación tenemos que ib=bi:Así que también escribimosa+iben lugar dea+bi:Análogamente, podemos escribirbi+aóib+aen lugar dea+bi;debido a la conmutatividad de la suma y a la notacióna+ 0i=ay0 +bi=bi=ib:

De…nición (1.2.4).–Sean z1; z2 2 C; con z2 6= 0: Se de…ne el cociente de z1 yz2;denotado por

z1

z2

;como

z1

z2

De la de…nición anterior se deduce quez 1= 1 z 1= 1

z:

Proposición (1.2.5).–Siz1; z2; z3; z42C;conz2 6= 0yz4 6= 0; entonces:

1. (z2 z4) 1=z₂1 z₄1:

2. z1

1 =z1:

3. z1

z2

z3

z4

= z1 z3

z2 z4

:

4. z1

z2

+z3

z2

= z1+z3

z2

:

5. z1

z2

+z3

z4

= z1 z4+z2 z3

z2 z4

:

6. Si z3 6= 0; z1

z2

z3

z4

= z1 z4

z2 z3

:

7. z2

z4 1

= z

1 2

z₄1 = z4

z2

:

8. z2

z4

= z2

z4

= z2

z4

:

Demostración: Ejercicio.

De…nición (1.2.6).–Dadosn₂ Ny z₂ C; de…nimos z1 _{=z y}

zn+1 =zn z:Si z₆= 0;de…nimos z n= z 1 n yz0 = 1:

1.3. LOS COMPLEJOS COMO PAREJAS ORDENADAS 41

Sea R el conjunto de los números complejos del tipo x+ 0i, es decir,R=_fx+0i_jx₂R_g:Dadosz1; z2 2R, claramentez1+z2 2R y z1 z2 2 R. Además, si z 2 R, entonces z 2 R y si z 6= 0;

z 1 ₂ R: De lo anterior se sigue que R, con las operaciones de C;

es un campo (compruébese!) contenido enCy además es una copia del campo de números reales R; lo que nos ha permitido escribir

x+0i=x. Por las razones anteriores, convenimos que el campo de los números reales está contenido en el campo de los números complejos, simbólicamente, R C:Se dice que un número complejoa+bies número real sib= 0;y si b₆= 0;se dice que es número imaginario.

1.3

Los complejos como parejas ordenadas

Dadas las parejas ordenadas (a; b);(c; d)₂R2, se tiene que

(a; b) = (c; d); si y sólo si, a= c yb =d. Por lo tanto, al complejo

a+bi lo podemos identi…car con la pareja ordenada (a; b) ₂R2;y escribiremos(a; b) =a+bi. Observemos que

a = a+ 0i

= (a;0)

y

bi = 0 +bi

= (0; b):

En particular 1 = 1 + 0i = (1;0) e i = 0 +i = (0;1): La suma y multiplicación de complejos como parejas ordenadas, quedan como sigue:

(a; b) + (c; d) = (a+c; b+d)

y

(a; b) (c; d) = (ac bd; ad+bc):

números complejos son los puntos del plano cartesiano, llamado tam-bién plano complejo.

1.4

Complejos conjugados. Valor absoluto de

complejos

De…nición (1.4.1).–Sea a+bi un número complejo.

i) De…nimos el conjungado dea+bi; denotado por a+bi;como

a+bi=a bi:

ii) De…nimos el valor absoluto o módulo de a+bi; denotado por

ja+bi_j;como la raíz cuadrada del número real a2_+b2_{;es decir,}

ja+bi_j=pa2_+b2_:

1.4. COMPLEJOS CONJUGADOS. VALOR ABSOLUTO DE COMPLEJOS43

Observación: Siz=a+bi;entoncesz z =a2_+b2_{; de donde} se sigue que _jz_j=pz z; y por lo tanto_jz_j2 =z z:

Proposición (1.4.2).–Si z1 y z2 son números complejos, en-tonces:

i) (z1) =z1:

ii) z1+z2=z1+z2:

iii) z1 z2 =z1 z2:

iv) z1 z2=z1 z2:

v) Si z2 6= 0;

z1

z2

= z1

z2

:

De (ii): Sean z1 =a+biyz2=c+di;entonces:

z1+z2 = (a+bi) + (c+di)

= (a+c) + (b+d)i

= (a+c) (b+d)i

= (a+c) + ( b d)i

= (a bi) + (c di) = z1+z2:

De (iii):

z1 z2 = (a+bi) (c+di)

= (ac bd) + (ad+bc)i

= (ac bd) (ad+bc)i

= (ac bd) + (a( d) + ( b)c)i

= (a bi) (c di) = z1 z2:

q.e.d.

Proposición (1.4.3).–Siz1 yz2 son complejos, entonces:

i) _jz1j= 0;si y sólo si, z1 = 0:

ii) _jz1j=jz1j:

iii) _jz1 z2j=jz1j jz2j:

iv) _jz1+z2j jz1j+jz2j:

v) Si z2 6= 0;

z1

z2

= jz1j jz2j

:

vi) _jz1j jz2j jz1 z2j:

1.4. COMPLEJOS CONJUGADOS. VALOR ABSOLUTO DE COMPLEJOS45

De (iii): Puesto que₈z₂C; _jz_j2=z z;entonces

jz1 z2j2 = (z1 z2) (z1 z2)

= (z1 z2) (z1 z2)

= (z1 z1) (z2 z2)

= _jz1j2 jz2j2

= (_jz1j jz2j)2:

por lo tanto _jz1 z2j=jz1j jz2j De (iv):

jz1+z2j2 = (z1+z2) (z1+z2)

= (z1+z2) (z1+z2)

= z1 z1+z2 z2+z1 z2+z2 z1:

O sea que

jz1+z2j2=z1 z1+z2 z2+z1 z2+z2 z1: (1)

Observemos que z1 z2 = z1 z2 = z1 z2 = z2 z1: También observemos que₈z₂C; z+z= 2Rez:Entonces de (1) se tiene que

jz1+z2j2=jz1j2+jz2j2+ 2Re(z1 z2): (2)

Puesto que₈ a; b₂R; a _ja_j=pa2 p_a2_+b2_;entonces

8z₂C;Re z _jz_j:

De donde se sigue, por (2), que

jz1+z2j2 jz1j2+jz2j2+ 2jz1 z2j: Por lo tanto

jz1+z2j2 jz1j2+jz2j2+ 2jz1j jz2j: Como_jz2j=jz2j;entonces

jz1+z2j2 jz1j2+jz2j2+ 2jz1jjz2j: Por lo tanto

En consecuencia

jz1+z2j jz1j+jz2j:

q.e.d.

Ejemplo: Hallar el valor absoluto del complejo

z= (4 + 3i)(1 +i)

1 7i :

Solución:

jz_j = (4 + 3i)(1 +i) 1 7i

= j(4 + 3i)(1 +i)j j1 7i_j

= j4 + 3ijj1 +ij j1 7i_j

= p

25p2 p

50 = 1:

Observación: Sizes un número complejo, conz₆= 0, claro que

z=_jz_j z

jz_j;donde z

jz_j = 1:

1.5

Las raíces cuadradas de un complejo

Naturalmente que encontrar las raíces cuadradas de un número complejo z; es equivalente a resolver la ecuación X2 z= 0:

1.5. LAS RAÍCES CUADRADAS DE UN COMPLEJO 47

que x2 y2+ 2x yi =a+bi; y por igualdad de números complejos tenemos que

x2 y2=a y 2xy =b: (1)

Puesto que

(x2+y2)2= (x2 y2)2+ 4x2y2;

entonces combinando esta ecuación con las ecuaciones (1), obte-nemos

(x2+y2)2 =a2+b2:

Puesto que x2+y2 0, entonces

x2+y2 =pa2_+b2_{: (2)} Comox2 y2 =a, podemos escribir x2 =a+y2, y combinando esta ecuación con la ecuación (2), obtenemos

y2 = p

a2_+b2 _a

2 ;

de donde se sigue que

y=

s_p

a2_+b2 _a

2 :

Análogamente, de x2 y2 =a, podemos escribiry2 =x2 ay combinando esta ecuación nuevamente con la ecuación (2), se tiene que

x2= p

a2_+b2_+a

2 ;

de donde se concluye que

x=

s_p

a2_+b2_+a

2 :

I) Sib >0;las dos raíces de la ecuaciónX2=a+bivienen dadas por:

X =

0 @

s_p

a2_+b2_+a

2 +i

s_p

a2_+b2 _a

2

1 A:

II) Si b <0;las dos raíces de la ecuaciónX2=a+bivienen dadas por:

X =

0 @

s_p

a2_+b2_+a

2 i

s_p

a2_+b2 _a

2

1 A:

III) Si b= 0;la ecuación X2 =a+bi se reduce a X2 =a; cuyas raíces son:

i) Sia 0; X= pa:

ii) Sia <0; X= ip a:

Observación: Es claro de los casos I), II) y III), que las dos raíces cuadradas de un número complejo z ₆= 0; son diferentes una de otra por un cambio de signo, es decir, si x1 es una raíz cuadrada dez, entoncesx2= x1es la otra raíz cuadrada dez: De lo anterior se deduce que las raíces de la ecuación cuadrática

A x2+B x+C = 0;

dondeA; B y C son números complejos, vienen dadas por

X = B W 2A ;

dondeW es una raíz de la ecuación

y2 =B2 4AC:

1.5. LAS RAÍCES CUADRADAS DE UN COMPLEJO 49

1) Encontrar las raíces cuadradas del complejoz= 4 + 3i.

Solución: Basta resolver la ecuaciónx2 = 4 + 3i, en dondea= 4

yb= 3. Comob >0;las raíces vienen dadas por

x=

0 @

s_p

a2_+b2_+a

2 +i

s_p

a2_+b2 _a

2

1 A:

Por lo tanto

x=

0 @

s_p

16 + 9 + 4

2 +i

s_p

16 + 9 4 2

1 A:

En consecuencia

x1=

3 p

2 + 1 p

2i y x2 = 3 p 2 1 p 2i:

Así pues, las raíces cuadradas de z= 4 + 3i son:

3 p

2+ 1 p

2i y

3 p 2 1 p 2i:

2) Resolver la ecuaciónx2 (1 +i)x+ (6 2i) = 0:

Solución: ClaramenteA= 1; B= (1 +i)yC = 6 2i:Por lo tanto, las soluciones de la ecuación dada vienen dadas por

x= (1 +i) W

2 ;

dondeW es una raíz de la ecuacióny2 = 24 + 10i:

Como las raíces de esta última sonW = 1+5iy W = (1+5i);

entoncesx1= 1 + 3i y x2 = 2i son las raíces de

1.6

Forma trigonométrica de un complejo

Dadoz₂C;en la sección anterior resolvimos la ecuación

x2 z= 0:

En esta sección y la que sigue, estableceremos las condiciones para resolver la ecuación más general

xn z= 0:

Seaz=a+ibun número complejo y sear=_jz_j:Siz₆= 0; con-siderando su representación geométrica, sea la medida del ángulo que forman el eje real positivo y el segmento que une el origen del plano complejo con el punto que representa a z; entonces se tiene que a =rcos y b =rsen : En consecuencia z = a+ib puede es-cribirse en la formaz=r(cos +isen ):A se le llama la amplitud o argumento de z;y escribimos = argz. Si z= 0;entoncesr = 0;

y por lo tantoz=r(cos +isen ) para cualquier :

En consecuencia, todo complejoz=a+bipuede expresarse como

z=r(cos +i sen );

donder =_jz_jy = argz; llamada forma trigonométrica dez:

Puesto que₈ m₂Z;

1.6. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO 51

y

sen(2m + ) =sen( );

entonces = argz puede tomar muchos valores, di…riendo cada dos por múltiplos de 2 . Será siempre conveniente elegir de modo que

2 < <2 .

Dadoz=a+bi;cona₆= 0yb₆= 0;para determinar un argumento de zpodemos emplear la función tangente, pues por de…nición

tan( ) = sen( ) cos( );

y las tablas trigonométricas, bajo las siguientes indicaciones:

Primero determinamos el ángulo agudo! (positivo) por

!= tan 1 jbj ja_j;

y luego:

i) Sia >0yb >0;elegimos =! >0 ó =! 2 <0:

iii) Sia >0yb <0;elegimos = 2 ! >0 ó = ! <0:

1.6. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO 53

Ejemplos:

Expresar en forma trigonométrica los siguientes números comple-jos:

1) z= 3 : En este casor= 3 y = :Así que

z= 3(cos +i sen ):

2) z= 7i:En este casor= 7 y = ₂:Así que

z= 7 cos

2 +isen2 :

3) z= 1₂ p₂3i:En este casor = 1 y = 5₃ ó = ₃:Así que

z= cos 5

3 +isen 5

4) z= 8 8p3i:En este caso

r= 16;

Puesto que z=_jz_j z

jz_j;entonces

z = 16 ₁₆8 8 p

3 16 i

= 16 1₂ p₂3i :

Y por el ejemplo (3)

z= 16 cos 5

3 +isen 5

3 :

1.7

Fórmula de De Moivre

Sean

z1 =r1(cos 1+isen 1) y

1.7. FÓRMULA DE DE MOIVRE 55

dos números complejos en forma trigonométrica, entonces:

z1 z2 = [r1(cos 1+isen 1)] [r2(cos 2+isen 2)]

= r1 r2[(cos 1+isen 1) (cos 2+isen 2)]

= r1 r2[(cos 1cos 2 sen 1sen 2) +

+i(cos 1sen 2+ sen 1cos 2)]:

Puesto que

cos 1cos 2 sen 1sen 2= cos( 1+ 2)

y

cos 1sen 2+ sen 1cos 2 = sen( 1+ 2);

entonces

z1 z2 =r1 r2[cos( 1+ 2) +isen( 1+ 2)]: (1)

En consecuencia, el módulo del producto es el producto de los módulos de los factores, y el argumento del producto es la suma de los argumentos de los factores.

Claro que si

z1 = r1(cos 1+isen 1);

z2 = r2(cos 2+isen 2); ..

.

zn = rn(cos n+isen n);

entonces por (1), inductivamente, se tiene que

z1 : : : z2 =r1 : : : rn[cos( 1+: : :+ n) +isen( 1+: : :+ n)]: (2)

Si

es un complejo en forma trigonométrica, entonces por (2)

zn=rn[cos(n ) +isen(n )]: (3)

De (3) se sigue que si_jz_j=r;entonces_jzn_j=rn;y si argz= ;

entonces argzn_{=n :}

Si_jz_j= 1;es decir, si

z= cos +isen

entonces por (3) tenemos que

zn= cos(n ) +isen(n ):

Pero

zn= [cos +isen ]n;

de donde se sigue la importante identidad conocida como fórmula de De Moivre:

[cos +isen ]n= cos(n ) +isen(n ); ₈n₂N:

Consideremos nuevamente los complejos en forma trigonométrica

z1 =r1(cos 1+isen 1)

y

z2=r2(cos 2+isen 2); conz2 6= 0;entonces

z1

z2

= r1(cos 1+isen 1)

r2(cos 2+isen 2)

= r1(cos 1+isen 1)

r2(cos 2+isen 2)

cos 2 isen 2

cos 2 isen 2

= r1

r2

(cos 1cos 2+sen 1sen 2) +i(sen 1cos 2 cos 1sen 2)

cos2

1.7. FÓRMULA DE DE MOIVRE 57

Como se sabe que

cos 1cos 2+ sen 1sen 2= cos( 1 2);

sen 1cos 2 cos 1sen 2 = sen( 1 2) y

cos2 2+ sen2 2= 1; entonces

z1

z2

= r1

r2

[cos( 1 2) +isen( 1 2)]: (4)

En consecuencia, el módulo del cociente es el cociente de los módulos del dividendo y el divisor, y el argumento del cociente es la diferencia de los argumentos del dividendo y el divisor.

Siz= cos +isen ;entoncesz₆= 0;y puesto que

1 = cos 0 +isen0;entonces por (4)

1

cos +isen = cos( ) +isen( ); o sea que,

(cos +isen ) 1 = cos( ) +isen( ):

Como₈n₂N

(cos +isen ) n= (cos +isen ) 1 n;

por la fórmula de De Moivre se tiene que

(cos +isen ) n= cos( n ) +isen( n ):

En consecuencia, la fórmula de De Moivre es válida también para los enteros negativos. Resumiendo tenemos que₈m₂Z

[cos +isen ]m= cos(m ) +isen(m );

1.8

Resolución de la ecuación

x

z

= 0

Veremos enseguida que la ecuación

xn z= 0

donde z₂C; z₆= 0 y n ₂N(n 1);es soluble en el campo de los números complejos y que tiene exactamente n soluciones (o raíces) distintas. Para encontrar las soluciones, la fórmula de De Moivre nos será de gran utilidad.

En lugar de xn _{z = 0; con z 2 C; z 6= 0; podemos escribir}

xn = z: Tanto a z como al valor numérico complejo, si lo hay, de la incógnita x que resuelve la ecuación, los escribimos en forma trigonométrica, digamos

z=r(cos +isen )

y

x=R(cos'+isen'):

Por lo tanto

[R(cos'+isen')]n=r(cos +isen );

o sea,

Rn[cos'+isen']n=r(cos +isen ):

De donde se sigue, aplicando la fórmula de De Moivre al primer miembro de la ecuación, que

Rn[cos (n') +isen(n')] =r(cos +isen ):

En consecuencia, Rn = r y n' = + 2k con k ₂ Z; y por lo tanto

R= pn_{r y '=} + 2k

1.8. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓNXN Z = 0 59

Resumiendo, siz=r(cos +isen ), entonces

x= pn_{r cos} + 2k

n +isen

+ 2k

n (1)

donde k₂Z;es un número complejo que es solución de la ecuación

xn_=z:

Ahora probaremos que el número de soluciones (o raíces) distin-tas, de la ecuación xn = z; es exactamente n; y que se obtienen sustituyendo en la fórmula (1) los valores de k= 0;1; : : : ; n 1;es decir, para cada valor de k = 0;1; : : : ; n 1 que se sustituya en la fórmula (1), se obtiene una solución distinta de las otras y son todas las soluciones.

En efecto: considerando los enteroskyn; por el algoritmo de la división tenemos que

k=nq+` con0 ` < n:

(Así que `es uno de los números 0;1; : : : ; n 1);y entonces

+ 2k

n =

+ 2(nq+`)

n

= + 2nq + 2`

n

= + 2`

n + 2q ;

por lo tanto

cos + 2k

n = cos

+ 2` n

y

sen + 2k

n =sen

+ 2` n :

Lo anterior dice que₈k₂Z;existe`_{2 f}0;1; : : : ; n 1_g tal que

cos + 2k

n +isen

+ 2k

n = cos

+ 2`

n +isen

+ 2` n

xn=r(cos +isen );

y se obtienen al sustituir k= 0;1; : : : ; n 1en la fórmula (1).

Sean ahorak1; k22 f0;1; : : : ; n 1g tales quek16=k2;y sean

xk1 = n p

r cos + 2k1

n +isen

+ 2k1

n

y

xk2 = n p

r cos + 2k2

n +isen

+ 2k2

n :

Sixk1 =xk2;entonces

+ 2k1

n =

+ 2k2

n + 2s cons2Z:

Por lo tanto

2k1 = 2k2 + 2ns ; y …nalmente

k1 k2 =ns:

Esto dice que k1 k2 es un múltiplo de n; lo que no es posible, ya que 0 k1 n 1 y0 k2 n 1;y por lo tanto

(n 1) k1 k2 n 1:

Resumiendo, sik1; k2 2 f0;1; : : : ; n 1gyk16=k2;entonces

xk1 6=xk2:

Así pues, al sustituir cadak = 0;1; : : : ; n 1 en la fórmula (1), se obtiene una solución distinta de las otras, de la ecuación

xn=r(cos +isen );

y son todas las soluciones.

En conclusión, todas las soluciones (o raíces) de la ecuación

1.8. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓNXN Z = 0 61

vienen dadas por

x= pn_{r cos} + 2k

n +isen

+ 2k n ;

sustituyendo k= 0;1; : : : ; n 1:

Observación: Resolver la ecuaciónxn=z es equivalente a en-contrar las raíces n-ésimas del complejo z:

Ejemplo: Resolver la ecuaciónx3= 8i:

Solución: En este caso es claro quer =_j8i_j= 8 y que

= arg 8i=

2;y por lo tanto

8i= 8(cos

2 +isen2):

Así que la ecuación dada puede escribirse como

x3 = 8(cos

2 +isen 2);

y sus soluciones vienen dadas por

x=p38 cos 2 + 2k

3 +isen

2 + 2k

3 ;

sustituyendo k= 0;1;2:

Para k= 0;

x0 = 2 cos

6 +isen6

= 2 p 3 2 + 1 2i !

= p3 +i:

Para k= 1;

x0 = 2 cos

5

6 +isen 5 6 = 2 p 3 2 + 1 2i !

Para k= 2;

x0 = 2 cos

3

2 +isen 3

2 = 2(0 i)

= 2i:

Así pues, las raíces o soluciones de x3 _{= 8ison:}

x0=

p 3 +i; x1=

p 3 +i; x2= 2i:

1.9

Representación geométrica de las raíces

de la ecuación

x

z

= 0

De acuerdo con la sección anterior, si

z=r(cos +isen );

entonces las raíces de la ecuación

xn z= 0

vienen dadas por

x= pn_{r cos} + 2k

n +isen

+ 2k n

sustituyendok= 0;1; : : : ; n 1:De donde se sigue, inmediatamente, que todas las raíces tienen el mismo móduloR= pn_{r;y por lo tanto,}

geométricamente todas estan en la circunferencia de radio R = pn_r

y centro en el origen del plano.

Observemos ahora que la medida del ángulo entre dos raíces con-secutivas, parak=j yk=j+ 1;viene dada por la diferencia de los argumentos de estas raíces, o sea, por

+ 2(j+ 1)

n

+ 2j n =

2

1.10. LAS RAÍCES N–ÉSIMAS DE LA UNIDAD 63

Y como son nraíces, entonces sonnángulos y por lo tanto, la suma de sus medidas es 2 : Así que, geométricamente las raíces parten a la circunferencia de radio R = pn_{r y centro en el origen, en n arcos}

iguales.

Ejemplo: Representamos enseguida las raíces de la ecuación

x3= 8i;resuelta en la sección anterior. Dichas raíces son:

x0 =

p

3 +i; x1=

p

3 +iyx2= 2i:

1.10

Las raíces n–ésimas de la unidad

Encontrar las raíces n–ésimas de la unidad, signi…ca encontrar las raíces o soluciones de la ecuación

xn 1 = 0:

Puesto que

la ecuación anterior la podemos escribir como

xn= cos 0 +isen0:

Y por lo visto anteriormente, sus raíces o soluciones vienen dadas por

x= cos 2k

n +isen

2k n ;

sustituyendo k= 0;1; : : : ; n 1:

Debido a que

cos 2k

n +isen

2k

n = cos k

2

n +isen k

2

n ;

por la fórmula de De Moivre tenemos que

cos 2k

n +isen

2k

n = cos

2

n +isen

2

n

k

:

En consecuencia, las raíces n–ésimas de la unidad, es decir, las raíces de la ecuación

xn 1 = 0

se obtienen al sustituir k= 0;1; : : : ; n 1 en la fórmula

x= cos 2

n +isen

2

n

k

;

y son precisamente

1 =!0; !; !2; : : : ; !n 1;

donde

! = cos 2

n +isen

2

n :

1.10. LAS RAÍCES N–ÉSIMAS DE LA UNIDAD 65

Lo anterior puede emplearse para resolver la ecuación

xm+xm 1+: : :+x+ 1 = 0:

En efecto: inductivamente o por multiplicación directa se com-prueba que

xm+1 1 = (x 1)(xm+xm 1+: : :+x+ 1):

Como1 =!0; !; !2; : : : ; !m son las raíces, distintas entre sí, de la ecuación xm+1 1 = 0; entonces

0 = !k m+1 1 = !k 1 h !k m+: : :+!k+ 1i

para todok= 0;1; : : : ; m:

Sik 1;entonces!k_{6= 1;es decir!}k _{16= 0;por lo tanto}

!k m+ (!k)m 1+: : :+!k+ 1 = 0

para todok= 1;2; : : : ; m:

Resumiendo,

!; !2; : : : ; !m

son raíces de la ecuación

xm+xm 1+: : :+x+ 1 = 0:

Y son todas, pues si hubiera otra diferente de ellas, entonces también lo sería de xm+1 1 = 0;lo que no es posible.

En conclusión, para resolver la ecuación

xm+xm 1+: : :+x+ 1 = 0

basta resolver la ecuación

xm+1 1 = 0;

cuyas raíces son

donde

!= cos 2

m+ 1+isen 2

m+ 1;

y de éstas,

!; !2; : : : ; !m

son las raíces de

xm+xm 1+: : :+x+ 1 = 0:

Ejemplo: Resolver la ecuación x3_+x2_{+x+ 1 = 0:}

Solución: Basta resolver la ecuación

x4 1 = 0;

cuyas raíces vienen dadas por

x= cos2k

4 +isen 2k

4

sustituyendo k= 0;1;2;3:Y son precisamente:

Para k= 0; x0 = 1:

Para k= 1; x1 =!= cos ₂ +isen₂ =i: Para k= 2; x2 =!2= cos +isen = 1: Para k= 3; x3 =!3= cos3₂ +isen3₂ = i:

Así pues, las raíces dex3_+x2_{+x+ 1 = 0 son: i; 1;y i:}

1.11

Notas

1. En los números reales tenemos de…nida una relación de orden

1.12. EJERCICIOS 67

i) ₈x₂R; x x:

ii) Dados x; y₂R;six y yy x;entoncesx=y:

iii) Dados x; y; z₂R;si x y yy z;entoncesx z:

iv) ₈ x; y₂R; x y o y x:

Sin embargo, la relación de orden en los números reales no puede ser extendida a los números complejos. De hecho, no se puede de…nir en los números complejos una relación que cumpla con todas las propiedades antes mencionadas.

2. Six es un número real positivo ynes un número natural, con

n p

x=x1=n denotamos al único número real positivo c tal que

cn =x: Puesto que un número complejo z ₆= 0; tienen raíces

n–ésimas distintas, el símbolo pn_{z = z}1=n _{no representaría a}

un complejo, sino a n posibles complejos. Sin la aclaración anterior podemos tener resultados como el siguente:

3 =p9 =p( 3)( 3) =p 3p 3 = p3i p3i = 3:

Lo que es una contradicción. Por tanto, las leyes de exponen-ciación racional que se tienen en los números reales positivos, no se tienen en los complejos. Siz1yz2 son números complejos y z=z1z2;lo más que podemos a…rmar es que cualquier raíz

n–ésima de z; será el producto de alguna raíz n–ésima de z1 por alguna raízn–ésima de z2:

1.12

EJERCICIOS

1. Seanz; z1; z2; z3 2C:Pruebe que:

1.1 z 0 = 0:

1.2 z= ( 1)z:

1.4 ( z1)z2=z1( z2) = (z1z2): 1.5 ( z1) ( z2) =z1z2:

1.6 z1(z2 z3) =z1z2 z1z3: 1.7 Siz₆= 0;entonces z 1 1=z:

1.8 Siz1 z2 = 0, entoncesz1 = 0 óz2 = 0: 1.9 Siz+z1 =z+z2;entoncesz1=z2: 1.10 Siz z1 =z z2 yz= 06 ;entoncesz1 =z2:

2. Pruebe la proposición (1.2.5).

3. Sean z; z1 2 C con z 6= 0 y z1 6= 0; y sean m; n 2 Z: Pruebe que:

3.1 z n= 1

zn: 3.2 (zz1)

n_=zn_zn 1: 3.3 (zn₎m_=znm_{: 3.4 z}n_zm _=zn+m_: 3.5 (_zz

1)

n₌ zn

zn 1:

4. Escriba el conjugado de los siguientes complejos:

4.1 z= 3 + 2i: 4.2 z= 3 +i:

4.3 z= 1₂ 4₃i: 4.4 z= 8 1₅i:

5. Escriba en forma normal los siguientes números complejos:

5.1 z= (a+ 0i)(c+di): 5.2 z= a+bi_c+0i (c₆= 0):

5.3 z= 3 7i 8 2i: 5.4 z= 5 2i (6 4i)i:

5.5 z= 1+i_{1 i 1+i}2 i: 5.6 z= _(1+i)(2i _i):

5.7 z= 3 2i_5+i: 5.8 z= (2+i)(1 2i)_{3 i} :

5.9 z= 1+i_i +₁ i_i: 5.10 z= (1+i)_{1 i}3:

5.11 z= i

1+i+ i

1+i+_1+ii

: 5.12 z= (4+3i)(2_{7 i} i) + 1₂ +3₂i 3:

1.12. EJERCICIOS 69

6.1 z= 3 + 2i: 6.2 z= 1 3i_1+3i:

6.3 z= 8 + 8p3i: 6.4 z= i+1_i:

7. Calculez z; z+z; z z y z

z si:

7.1 z= 3 + 5i: 7.2 z= _{7 2i}1 i:

7.3 z= 2 7i: 7.4 z= ( 3 2i)( 1 + 2i):

8. Seanz; z1; z2; : : : ; zn2C:Pruebe que:

8.1 zn_{= (z)}n_{;para cadan2N:}

8.2 Siz₆= 0; z 1_{= (z)} 1_:

8.3 Siz₆= 0; z n_{= (z)} n_{;para cadan}

2N:

8.4 z1+z2+: : :+zn=z1+z2+: : :+zn, para cada n2N

9. Siz; z1; z2 2C;pruebe que:

9.1 _jjz1j jz2jj jz1 z2j:

9.2 _jz1+z2j2+jz1 z2j2 = 2jz1j2+ 2jz2j2: 9.3 _j z_j=_jz_j:

9.4 _jz1 z2j=jz2 z1j:

9.5 _jz1 z2j es la longitud del segmento que une los puntos que representan az1 yz2 en el plano complejo.

9.6 _jzn_j=_jz_jn;para cadan₂N:

9.7 Siz₆= 0; z 1 =_jz_j 1:

9.8 Siz₆= 0; _jz n_j=_jz_j n;para cada n₂N:

10. Siz1; z2; : : : ; zn2C, pruebe que:

10.1 _jz1+z2+: : :+znj jz1j+jz2j+: : :+jznj: 10.2 _jz1 z2 : : : znj=jz1j jz2j: : :jznj:

11.1 z=i: 11.2 z= i:

11.3 z= 1 +i 3 + 2i: 11.4 z= 1_i:

11.5 z= 1₂ +p₂3i: 11.6 z= 1pi

2:

11.7 z= (4 3i)(1 2i)_{2 i} : 11.8 z= (1+i)_{(4 3i)}3(3 4i)5 4:

11.9 z= 1 2

p

3 2 i

8

(6 8i)5

( 8 6i)6 : 11.10 z=

(p3 2i)3₍p₃ p_7i)4

( 9+3i)+(2 3i) :

12. Calcule_jz_jsi:

12.1 z= 1_1+xixi conx₂R:

12.2 z=x2 1 + 2xi conx₂R:

13. Si_jz_j= 3;¿cuál es el valor máximo que puede tomar

1 +z+z3 ?

14. Resuelva las siguientes ecuaciones:

14.1 x2 _{6 8i= 0 14.2 x}2 _{i= 0:} 14.3 x2 24 70i= 0: 14.4 2ix2 4 6i= 0:

14.5 x2 ₁ p_{3i= 0: 14.6 x}2₊1 2

p

3 2 i= 0:

15. Pruebe que las soluciones de la ecuaciónAx2+Bx+C = 0 de coe…cientes complejos A; B yC;vienen dadas por:

x= B W 2A ;

dondeW es cualquier solución de la ecuación

y2=B2 4A C:

16. Resuelva las siguientes ecuaciones:

16.1 2x2_{+ 2x 5 = 0:} 16.2 x2+ 2ix 1 = 0:

16.3 x2 (2 + 3i)x 1 + 3i= 0: