Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey
Monterrey, Nuevo León a 3 de Septiembre de 2004.
Lic. Arturo Azuara Flores:
Director de Asesoría Legal del Sistema
Por medio de la presente hago constar que soy autor y titular de la obra titulada “Síntesis de Mecanismos de Cuatro Barras para “N” Puntos de Precisión con Restricciones de Espacio empleando el Algoritmo de Recocido Simulado”, en los sucesivo LA OBRA, en virtud de lo cual autorizo a el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (EL INSTITUTO) para que efectúe la divulgación, publicación, comunicación pública, distribución y reproducción, así como la digitalización de la misma, con fines académicos o propios al objeto de EL INSTITUTO.
El Instituto se compromete a respetar en todo momento mi autoría y a otorgarme el crédito correspondiente en todas las actividades mencionadas anteriormente de la obra.
De la misma manera, desligo de toda responsabilidad a EL INSTITUTO por cualquier violación a los derechos de autor y propiedad intelectual que cometa el suscrito frente a terceros.
José Armando Javier De Valle Galván
Síntesis de Mecanismos de Cuatro Barras para N Puntos de
Precisión con Restricciones de Espacio Empleando el Algoritmo
de Recocido Simulado
Title Síntesis de Mecanismos de Cuatro Barras para N Puntos de Precisión con Restricciones de Espacio Empleando el Algoritmo de Recocido Simulado
Authors de Valle Galván, José A. J.
Affiliation ITESM
Issue Date 01/12/2000
Abstract En esta tesis se desarrolla un método para la síntesis de mecanismos de cuatro barras, Grashof y No-Grashof, generadores de trayectoria, para “N puntos de precisión con varias restricciones adicionales respecto a los métodos clásicos, tales como la longitud de los eslabones
especificando la razón de la longitud máxima del eslabón a la distancia total de la trayectoria deseada, o el espacio de operación especificando su dimensión y forma mediante “n vértices del polígono deseado. El problema de síntesis se transforma en uno de optimización, y para su solución se emplea el algoritmo de Recocido Simulado. De esta manera, la trayectoria deseada se puede especificar mejor al proporcionar más puntos de los cinco permitidos en los métodos clásicos de síntesis de díadas. Aunque los mecanismos obtenidos por esta técnica no cumplen
exactamente con la trayectoria deseada en todos los puntos especificados, se logra un mejor control sobre el
mecanismo solución y de la trayectoria global que genera.
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Dr. Horacio Martínez Alfaro
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Ingeniería y Arquitectura
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Campus Monterrey
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IALos miembros del c´omite de tesis recomendamos que la presente tesis del Ing. Jos´e Armando Javier de Valle Galv´an sea aceptada como requisito parcial para
obtener el grado acad´emico de Maestro en Ciencias con especialidad en:
INGENIER´IA MECANICA´
C´omite de Tesis:
Dr. Horacio Mart´ınez Alfaro Asesor de la tesis
M.C. Octavio E. Herrera Giammattei Sinodal
Dr. Alex El´ıas Z´u˜niga Sinodal
APROBADO
Dr. Federico Viramontes Brown
Director del Programa de Graduados en Ingenier´ıa
A la Santisima Trinidad,
A mis padres, Jos´e Armando Xavier y Mar´ıa Elena.
A mis hermanos, Mar´ıa Elena, Mar´ıa del Rosario, Jos´e Joaqu´ın y Dulce Mar´ıa.
S´ıntesis de Mecanismos de Cuatro Barras para “N”
Puntos de Precisi ´on con Restricciones de Espacio
empleando el Algoritmo de Recocido Simulado.
Jos´e Armando Javier de Valle Galv´an, M. C.
Instituto Tecnol´ogico y de Estudios Superiores de Monterrey, 2000.
Asesor de la tesis: Dr. Horacio Mart´ınez Alfaro.
Reconocimientos.
Agradezco al Dr. Horacio Martinez Alfaro, mi asesor, por el apoyo y dedica-ci´on que me brind´o para la realizadedica-ci´on de esta tesis.
A mis sinodales: Dr. Alex El´ıas Z´u˜niga y M. C. Octavio E. Herrera Giammat-tei, por su apoyo y sugerencias.
Al Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica del ITESM, Campus Monterrey, por su confianza y apoyo para estudiar esta Maestr´ıa en Ciencias.
A mis compa˜neros y amigos de estudio y trabajo: Carlos, Dan, Ricardo, Ma-nuel, Jes´us, Raziel, Angel, Trinidad y Ra´ul. Por todos los momentos compartidos, gracias.
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Instituto Tecnol´ogico y de Estudios Superiores de Monterrey´Indice General
1 Introducci´on. 1
1.1 Antecedentes. . . 1
1.1.1 El Mecanismo de Cuatro Barras. . . 1
1.1.2 Criterio de Grashof. . . 2
1.1.3 Posiciones de bloqueo [10]. . . 4
1.1.4 An´alisis de posici´on. . . 5
1.1.5 Curvas del eslab´on acoplador [10]. . . 8
1.2 Justificaci´on. . . 9
1.3 Hip´otesis. . . 10
1.4 Objetivo General. . . 10
1.5 Metodolog´ıa. . . 10
1.6 Organizaci´on de la Tesis. . . 11
2 S´ıntesis Cl´asica de Mecanismos. 13 2.1 S´ıntesis cinem´atica. . . 13
2.1.1 Puntos de precisi´on. . . 14
2.1.2 Herramientas de s´ıntesis dimensional [13] . . . 15
2.2 Sintesis gr´afica. . . 15
2.2.1 Posiciones l´ımite. . . 15
2.2.2 Generaci´on de trayectorias. . . 17
2.3 S´ıntesis anal´ıtica. . . 25
2.3.1 La forma de d´ıada est´andar. . . 26
2.3.2 Dos puntos de precisi´on. . . 28
2.3.3 Tres puntos de precisi´on. . . 29
2.3.4 Cuatro puntos de precisi´on . . . 32
3 S´ıntesis de Mecanismos mediante Recocido Simulado. 42
3.1 Recocido Simulado. . . 42
3.1.1 Definici´on. . . 42
3.1.2 El proceso f´ısico de recocido. . . 42
3.2 Algoritmo de recocido simulado. . . 44
3.3 Formulaci´on del problema. . . 47
3.3.1 Implementaci ´on. . . 50
4 Resultados. 53 4.1 Introducci´on. . . 53
4.2 Resultados. . . 53
4.2.1 S´ıntesis mediante el Algoritmo de Recocido Simulado. . . 53
4.2.2 Resultados mediante s´ıntesis con d´ıadas para tres puntos de precisi´on. . . 73
4.2.3 Comparaci´on entre los resultados obtenidos por los m´etodos de s´ıntesis de Recocido Simulado y D´ıadas para tres pun-tos de precisi´on. . . 82
4.3 Discusi ´on de Resultados. . . 87
5 Conclusiones y Trabajo Futuro. 89 5.1 Conclusiones. . . 89
5.2 Trabajo Futuro. . . 90
A Programa Fuente. 91 A.1 Archivos de entrada y salida. . . 91
A.2 “N” puntos de precisi´on. . . 94
A.3 Limitando longitud de eslabones. . . 113
A.4 Restricciones en espacio de operaci´on. . . 115
B Programa para S´ıntesis con tres puntos de precisi´on. 119 B.1 Listado. . . 119
´Indice de Tablas
2.1 Intersecciones, condiciones y tipos de mecanismo [6]. . . 17 2.2 Ecuaciones de restricci´on dependiendo de la raz´on de longitud de
los eslabones en la s´ıntesis gr´afica para posiciones l´ımite [11]. . . 17 2.3 N´umero de variables y opciones libres para s´ıntesis de trayectoria
con temporizaci´on y para generaci´on de movimiento [13]. . . 27
´Indice de Figuras
1.1 Mecanismo de cuatro barras. . . 2 1.2 Criterio Grashof: ✁ ,eslab´on m´as corto; ✂, eslab´on m´as largo;✄ y
☎
, eslabones de longitud intermedia. . . 3 1.3 Notaci´on para encontrar el ´angulo del eslab´on de entrada para las
posiciones l´ımite. . . 5 1.4 Notaci´on del Mecanismo de cuatro barras para el an´alisis de
posi-ci´on. . . 6 1.5 Configuraciones abierta y cruzada de un mecanismo de cuatro
ba-rras. . . 8 1.6 Curvas t´ıpicas generadas por el eslab´on acoplador de un
mecanis-mo de cuatro barras . . . 9
2.1 S´ıntesis geom´etrica de un mecanismo de cuatro barras para posi-ciones l´ımite [11]. . . 16 2.2 Dise˜no inicial (a) indicando los par´ametros de dise˜no y (b)
dia-grama del mecanismo generador de trayectoria deseado . . . 18 2.3 Inversi´on para situar ✆✞✝ . . . 19
2.4 Verificaci´on del mecanismo generador de trayectoria sintetizado para tres puntos de precisi´on. . . 20 2.5 Puntos de trayectoria prescritos y rotaciones para el eslab´on de
entrada para tres puntos de precisi´on. . . 21 2.6 Construcci´on gr´afica de la posici´on inicial del eslab´on de entrada
para la generaci´on de trayectorias con temporizaci´on. . . 22 2.7 S´ıntesis para cuatro puntos de precisi´on empleando el dise˜no de
pivote en el polo. . . 23 2.8 Verificaci´on del mecanismo para cuatro puntos de precisi´on. . . . 24 2.9 S´ıntesis para cuatro puntos de precisi´on empleando el m´etodo de
2.10 Representaci´on de las d´ıadas que modelan un mecanismo de cua-tro barras en su primera yk-´esima posici´on. . . 26 2.11 Mecanismo de cuatro barras para la s´ıntesis de generaci´on de
tra-yectorias con dos puntos de precisi´on. . . 28 2.12 Diagrama de mecanismo de cuatro barras resultante modelado por
d´ıadas para los tres puntos de precisi´on. . . 29 2.13 Esquema una d´ıadaWZen tres posiciones para la s´ıntesis de
me-canismo generador de trayectoria especificando pivote fijo. . . 30 2.14 Generaci´on de los c´ırculos de punto central y de punto circular.
El primer punto de precisi´on se ubica en el origen del sistema de coordenadas. . . 32 2.15 C´ırculos de punto central y de punto circular con una opci´on de
posible mecanismo que cumple con los puntos de precisi´on. . . . 33 2.16 Mecanismo de compatibilidad para la s´ıntesis de cuatro puntos de
precisi´on y su soluci´on. . . 35 2.17 Mecanismo de cuatro barras “padre” con sus cognados mostrados
a sus lados. . . 37
3.1 Diagrama de flujo del programa desarrollado para la s´ıntesis de mecanismos empleando el algoritmo de recocido simulado. . . . 51
4.1 Mecanismo sintetizado para 20 puntos de precisi´on. . . 56 4.2 Detalle de las trayectorias prescrita y generada para la s´ıntesis de
20 puntos de precisi´on. . . 56 4.3 Mecanismo sintetizado para 20 puntos de precisi´on restringiendo
la longitud m´axima de los eslabones. . . 58 4.4 Detalle de las trayectorias prescrita y generada. El mecanismo
aproxima uno a uno los puntos prescritos. . . 59 4.5 Mecanismo sintetizado para 20 puntos de precisi´on de trayectoria
circular con restricciones de espacio. . . 61 4.6 Detalle de las trayectorias circulares prescrita y generada por el
mecanismo con restricciones en el espacio de operaci´on. . . 62 4.7 Mecanismo sintetizado para 20 puntos de precisi´on de una
trayec-toria lineal con restricciones de espacio. . . 64 4.8 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generada por el
me-canismo para 20 puntos de precisi´on. . . 65 4.9 Mecanismo sintetizado para 21 puntos de precisi´on de una
4.10 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generada por el me-canismo para 21 puntos de precisi´on restringiendo su espacio de operaci´on. . . 68 4.11 Mecanismo soluci´on propuesto para la s´ıntesis de trayectorias
es-pecificando 3 puntos de precisi´on. . . 69 4.12 Detalle de las trayectorias circulares prescrita y generada por el
mecanismo para 3 puntos de precisi´on. . . 70 4.13 Mecanismo soluci´on propuesto para la s´ıntesis de trayectoria
li-neal especificando 3 puntos de precisi´on. . . 71 4.14 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generada por el
me-canismo para 3 puntos de precisi´on. . . 72 4.15 Mecanismo soluci´on propuesto para la s´ıntesis de trayectoria
li-neal con restricci´on en el espacio de operaci´on especificando 3 puntos de precisi´on. . . 73 4.16 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generada por el
me-canismo para 3 puntos de precisi´on restringiendo el espacio de operaci´on. . . 74 4.17 Diagrama de un mecanismo de cuatro barras mostrando la
nomen-clatura para la s´ıntesis con d´ıadas para tres puntos de precisi´on. . . 74 4.18 Mecanismo de cuatro barras sintetizado para 3 puntos de precisi´on
de la trayectoria circular, especificando los pivotes fijos. . . 77 4.19 Detalle de las trayectorias circulares prescrita y generada por el
mecanismo para 3 puntos de precisi´on especificando los pivotes fijos. . . 78 4.20 Mecanismo de cuatro barras sintetizado para 3 puntos de precisi´on
de la trayectoria lineal, especificando los pivotes fijos. . . 80 4.21 Detalle de las trayectorias prescrita (lineal) y generada por el
me-canismo para 3 puntos de precisi´on especificando los pivotes fijos. 80 4.22 Mecanismo de cuatro barras sintetizado para 3 puntos de precisi´on
de la trayectoria lineal, especificando los pivotes fijos encontrados por el Algoritmo de Recocido Simulado. . . 83 4.23 Detalle de las trayectorias prescrita (lineal) y generada por el
me-canismo para 3 puntos de precisi´on especificando los pivotes fijos encontrados utilizando el algoritmo de recocido simulado. . . 83 4.24 Comparaci´on entre las trayectorias circular prescrita y las
4.25 Comparaci´on entre las trayectorias circular prescrita y las genera-das por los mecanismos s´ıntetizados. Limitando la longitud de los eslabones. . . 85 4.26 Comparaci´on entre las trayectorias circular prescrita y las
gene-radas por los mecanismos s´ıntetizados. Limitando el espacio de operaci´on del mecanismo. . . 86 4.27 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generadas por los
mecanismos generados mediante recocido simulado y mediante d´ıadas. Caso de generaci´on de trayectoria solamente. . . 86 4.28 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generadas por los
Cap´ıtulo 1
Introducci´on.
1.1
Antecedentes.
Un mecanismo es un dispositivo que transforma un movimiento en otro. Si el dis-positivo tambi´en transmite fuerzas sustanciales se denomina m´aquina, y si adem´as estas fuerzas est´an asociadas con la conversi´on de energ´ıa de fluidos se le puede llamar motor [5].
El estudio de los movimientos puede realizarse desde dos puntos de vista: el an´alisis cinem´atico y la s´ıntesis cinem´atica. El an´alisis cinem´atico comprende la determinaci´on del movimiento de un mecanismo o m´aquina dado, mientras que la s´ıntesis cinem´atica es la determinaci´on de mecanismos que cumplan con algunas especificaciones de movimiento, ya sea de desplazamiento, velocidad o acelera-ci´on de manera individual o en conjunto.
Existen m´etodos sistem´aticos para realizar la s´ıntesis de mecanismos a partir de los m´etodos cl´asicos: gr´afico y anal´ıtico, ambos de una manera m´as reciente, auxiliados por computadora. As´ı tambi´en con el desarrollo de las computadoras, se han desarrollado t´ecnicas alternativas como Rectificaci´on de la Soluci´on o la s´ıntesis basada en Optimizaci ´on [2, 3, 4].
1.1.1
El Mecanismo de Cuatro Barras.
eslab´on fijo y cuatro uniones de pivote o revolutas. El eslab´on conectado a la fuen-te de pofuen-tencia se denominaeslab´on de entrada. El segundo eslab´on conectado al eslab´on fijootierra se llamaseguidor. Al ´ultimo eslab´on movil se le denomina acopladoroflotantey es el que une a los eslabones de entrada y salida.
Eslab´on de entrada
Eslab´on fijo
Eslab´on de salida Eslab´on
acoplador
Punto trazador
Trayectoria
✟✡✠
☛ ✠
✟
☛
☞
Figura 1.1: Mecanismo de cuatro barras.
1.1.2
Criterio de Grashof.
El criterio de Grashof [10] es una relaci´on que predice el comportamiento del mecanismo de cuatro barras basado en la longitud de sus eslabones y establece quela suma de los eslabones m´as corto y m´as largo de un mecanismo de cuatro barras no puede ser mayor que la suma de los dos eslabones restantes para que se tenga una rotaci´on relativa continua entre dos eslabones.
Si:
S = Longitud del eslab´on m´as corto. L = Longitud del eslab´on m´as largo. P = Longitud de un eslab´on restante. Q = Longitud del ´ultimo eslab´on restante.
Entonces si: ✌✎✍✑✏✓✒✕✔✖✍✑✗
El mecanismo es Grashofy al menos un eslab´on puede realizar una revoluci´on completa respecto al plano de referencia. Si esta desigualdad no se cumple, eston-ces el mecanismo esno-Grashofy ning´un eslab´on puede realizar una revoluci´on completa respecto al plano de referencia. Los posibles movimientos de un meca-nismo de cuatro barras dependen de la condici´on de Grashof y de la inversi´on del mecanismo seleccionada. Si se definen las inversiones respecto al eslab´on m´as corto, los movimientos del mecanismo son los siguientes [10]:
p
q s
l
Figura 1.2: Criterio Grashof: ✁ ,eslab´on m´as corto; ✂, eslab´on m´as largo; ✄ y
☎
, eslabones de longitud intermedia.
✘
Caso
✌✙✍✑✏✑✚✖✔✛✍✜✗
:
– Al fijar cualquier eslab´on adyacente al m´as corto se obtiene un meca-nismo rotatorio-oscilatorio, en el que el eslab´on m´as corto gira com-pletamente y el otro eslab´on unido a tierra oscila.
– Al fijar el eslab´on opuesto al m´as corto se tiene un mecanismo doble oscilatorio, en el que ambos eslabones unidos a tierra oscilan y sola-mente el acoplador hace revoluciones completas.
✘
Caso
✌✢✍✣✏✥✤✦✔✧✍✣✗
: Todas las inversiones resultan en un mecanismo triple-oscilatorio en el que ning´un eslab´on puede girar completamente.
✘
Caso
✌★✍✩✏✢✪✫✔✬✍✭✗
: Es un caso especial de mecanismos Grashof donde to-das las inversiones son doble-oscilatorio o doble-giratorio pero conpuntos de cambio, dos por revoluci´on del eslab´on de entrada, cuando las l´ıneas cen-trales de todos los eslabones resultan colineales. En estos puntos de cambio el comportamiento del mecanismo se vuelve indeterminado; el mecanismo puede asumir cualquiera de las dos configuraciones o quedar en una condi-ci´on de bloqueo, la cual ocurre cuando los eslabones de entrada y acoplador se alinean.
1.1.3
Posiciones de bloqueo [10].
Los ´angulos del eslab´on de entrada que corresponden a las posiciones de bloqueo de un mecanismono-Grashof, doble oscilatorio, pueden calcularse utilizando tri-gonometr´ıa. Empleando la nomenclatura mostrada en la Figura 1.3. La l´ınea au-xiliarhque une los puntos✮ y✯✱✰ divide el cuadrilatero en dos triangulos,✯✳✲✴✮✳✯✱✰
y✮✳✆✵✯✱✰ . Empleando la ley de los cosenos para expresar el ´angulo de transmisi ´on
✶
en funci´on de la longitud de los eslabones y del ´angulo de entrada✷✸✲ :
✹ ✲ ✪ ✂ ✲ ✝ ✍ ✂ ✲ ✲✻✺✜✼ ✂✽✝✾✂✿✲❁❀❃❂❅❄❆✷✸✲ pero tambi´en: ✹ ✲ ✪ ✂ ✲ ❇ ✍ ✂ ✲ ✰❈✺✜✼ ✂ ❇ ✂✿✰❁❀❉❂❅❄ ✶
Igualando estas dos ecuaciones y simplificando la expresi´on:
❀❃❂❅❄ ✶ ✪ ✂ ✲ ❇ ✍ ✂ ✲ ✰❈✺ ✂ ✲ ✝❊✺ ✂ ✲ ✲ ✼ ✂ ❇ ✂❋✰ ✍ ✂✽✝✾✂●✲ ✂ ❇ ✂✿✰ ❀❉❂❍❄❆✷✸✲ (1.2)
Para encontrar los valores m´aximo y m´ınimo para el ´angulo de entrada✷✸✲ se deriva
la ecuaci´on 1.2 con respecto a✶
y se iguala a cero, donde se obtiene:
✂✽✝
✂✿✰ ✂●✲
✂
✶
✹
✷✸✲
Figura 1.3: Notaci´on para encontrar el ´angulo del eslab´on de entrada para las posiciones l´ımite.
Como las longitudes no pueden ser nulas, la expresi´on s´olo puede ser cero cuan-do ❄❑❏✿▲
✶
es cero o 180◗ ; entonces ❀❉❂❅❄
✶
es ❘❚❙ . Sustituyendo estos valores en la
ecuaci´on 1.2 y resolviendo para✷✸✲ :
✷✸✲❱❯✿❲❳❩❨❩❬✾❭●❳ ✪P❪❍❫
❀❃❀❉❂❅❄
❴
✂
✲
✝
✍
✂
✲
✲ ✺
✂
✲
❇
✺
✂
✲
✰
✼
✂✽✝❵✂●✲
❘
✂
❇
✂✿✰
✂✽✝▼✂●✲❍❛
❖❚✒
✷✸✲ ✒✖❜
(1.4)
Los valores obtenidos de la ecuaci´on 1.4 para ✷✸✲ corresponden a la posici´on del
eslab´on de entrada para tener una posici´on de bloqueo del mecanismo. Solamente uno de los casos ❘ produce un argumento para la funci´on
❪❝❫
❀❉❀❃❂❅❄ entre ❘❚❙ . El
primer ´angulo de bloqueo, que se encuentra en el primer o segundo cuadrante se encuentra con este valor. El segundo ´angulo de bloqueo es el negativo del primero, debido a la simetr´ıa de las dos pos´ıciones de bloqueo respecto al eslab´on fijo.
1.1.4
An´alisis de posici´on.
❞ ❡ ✂❩✝ ✂✿✰ ✂●✲ ✂ ❇ ✷ ❇ ✷✸✲ ✷❉✰ ✷❝✝ ❢ ❢ ✲ ❢ ❇ ❢✱❣ ❢✱❤
Figura 1.4: Notaci´on del Mecanismo de cuatro barras para el an´alisis de posici´on.
✐✾❥❧❦♠✐❵♥♣♦q✐✴r❧♦s✐❱t❚✉✇✈
(1.5) Utilizando notaci´on de n´umeros complejos para los vectores de posici´on, la ecua-ci´on 1.5 se puede escribir como:
✂●✲②①④③✾⑤⑦⑥ ✍ ✂ ❇ ①④③▼⑤⑨⑧ ✺ ✂❩✝✾①④③▼⑤❵⑩ ✺ ✂●✲②①④③▼⑤⑨⑥ ✪P❖ (1.6)
Cualquier posici´on del mecanismo queda definida por el ´angulo del eslab´on de entrada ✷✸✲ . Dado que ✷❝✝ est´a fijo, quedan como incognitas los ´angulos ✷
❇
y ✷❉✰ .
Sustituyendo la identidad de Euler en la ecuaci´on 1.6 para expresarla en sus com-ponentes cartesianas y separando la parte real de la imaginaria se tiene [9]: Parte real: ✂●✲❁❀❉❂❅❄❆✷✸✲ ✍ ✂ ❇ ❀❃❂❅❄❆✷ ❇ ✺ ✂❩✝✡❀❃❂❅❄❆✷❝✝ ✺ ✂✿✰❁❀❉❂❅❄❆✷❉✰ ✪✫❖ (1.7) Parte imaginaria: ✂✿✲❁❄▼❏●▲★✷✸✲ ✍ ✂ ❇ ❄❑❏✿▲◆✷ ❇ ✺ ✂❩✝✡❄▼❏●▲◆✷❝✝ ✺ ✂✿✰❁❄❑❏✿▲◆✷❉✰ ✪❶❖ (1.8)
Resolviendo las ecuaciones 1.7 y 1.8 y empleando las identidades:
se obtiene: ✷ ❇ ✪ ✼ ❪❍❫ ❀ ❷ ❪ ▲❼❻❽ ✺ ✆✞✝❾❘✫❿ ✮ ✲ ✝ ✍ ✆ ✲ ✝ ✺➁➀ ✲ ✲ ➀ ✲ ✺ ✮♣✝ ➂➃ (1.9) ✷❉✰ ✪ ✼ ❪❍❫ ❀ ❷ ❪ ▲ ❻❽ ✺ ✆✞✝❾❘ ❿ ✮ ✲ ✝ ✍ ✆ ✲ ✝ ✺➁➀ ✲ ✝ ➀ ✝ ✺ ✮♣✝ ➂➃ (1.10) donde: ✮✞✝ ✪ ✂✽✝➄❀❉❂❅❄❆✷❝✝ ✺ ✂●✲❆❀❉❂❅❄❆✷✸✲ (1.11) ✆✞✝ ✪ ✂✽✝➄❄❑❏●▲◆✷❝✝ ✺ ✂●✲❆❄❑❏✿▲◆✷✸✲ (1.12) ➀ ✝ ✪ ✂ ✲ ✰ ✺ ✂ ✲ ❇ ✍ ✮ ✲ ✝ ✍ ✆ ✲ ✝ ✼ ✂✿✰ (1.13) ➀ ✲ ✪ ✂ ✲ ✰✻✺ ✂ ✲ ❇ ✺ ✮ ✲ ✝➅✺ ✆ ✲ ✝ ✼ ✂ ❇ (1.14)
Por tanto las coordenadas de las uniones revolutas y del punto trazador del meca-nismo en el sistema coordenado global❞❆❡
quedan determinadas por:
❢ ✲❱➆ ✪ ❢❧➇ ✍ ✂●✲❆❀❃❂❅❄❁✷✸✲ (1.15) ❢ ✲❱➈ ✪ ❢❧➉ ✍ ✂●✲❆❄❑❏●▲◆✷✸✲ (1.16) ❢ ❇ ➆ ✪ ❢❧➇ ✍ ✂●✲❆❀❃❂❅❄❁✷✸✲ ✍ ✂ ❇ ❀❉❂❅❄❆✷ ❇ (1.17) ❢ ❇ ➈ ✪ ❢❧➉ ✍ ✂●✲❆❄❑❏●▲◆✷✸✲ ✍ ✂ ❇ ❄▼❏●▲★✷ ❇ (1.18) ❢ ✰ ➆ ✪ ❢ ❇ ➆ ✺ ✂✿✰➊❀❉❂❅❄❆✷❉✰ (1.19) ❢ ✰ ➈ ✪ ❢ ❇ ➈ ✺ ✂✿✰❁❄▼❏●▲◆✷❉✰ (1.20) ✔ ➇ ✪ ❢❧➇ ✍ ✂●✲❆❀❃❂❅❄❁✷✸✲ ✍➁➋ ❣ ❀❃❂❅❄❆✷ ❇ ✺ ➋ ❤ ❄▼❏●▲◆✷ ❇ (1.21) ✔ ➉ ✪ ❢❧➉ ✍ ✂●✲❆❄❑❏●▲◆✷✸✲ ✍✜➋ ❣ ❄❑❏✿▲◆✷ ❇ ✍➁➋ ❤ ❀❉❂❅❄❆✷ ❇ (1.22)
La soluci´on para los ´angulos✷
❇
y ✷❉✰ tiene cada una dos soluciones dada por
los signos ❘ y como toda ecuaci´on cuadr´atica sus raices pueden ser de tres tipos:
reales y diferentes, reales e iguales o complejos conjugados. Si el discriminante bajo el radical es negativo, la soluci´on es compleja conjugada, fisicamente sig-nifica que los eslabones con las longitudes dadas no se pueden conectar para el valor determinado del ´angulo de entrada✷✸✲ . Salvo esta excepci´on, sus soluciones
generalmente son reales y diferentes, significando que para cada valor del ´angulo de entrada ✷✸✲ existen dos valores para✷
❇
Cada pareja de valores resultantes de la soluci´on negativa y positiva de ✷
❇
y
✷❉✰ se refiere a las inversiones geom´etricas posibles en un mecanismo de cuatro
barras, llamadas configuraci´onabierta, ycruzada.
Figura 1.5: Configuraciones abierta y cruzada de un mecanismo de cuatro barras.
En la Figura 1.5 se muestran las dos inversiones geom´etricas para un meca-nismo Grashof rotatorio oscilatorio. Los t´erminoscruzadoyabiertose refieren a la suposici ´on en la que el eslab´on de entrada, con ✷✸✲ definido como la variable
de control, se encuentra en el primer cuadrante ➌ ❖✭✚
✷✸✲ ✒➎➍
✲➐➏ . Se definecruzado
a un mecanismo Grashof si los dos eslabones adyacentes al m´as corto se cruzan uno con otro yabiertosi no se intersectan en esta posici´on.
1.1.5
Curvas del eslab´on acoplador [10].
El acoplador es el eslab´on m´as interesante de cualquier mecanismo ya que rea-liza movimientos complejos y cualquier punto sobre ´el puede tener trayectorias de alto grado. En general mientras m´as eslabones tenga un mecanismo mayor es el grado de las curvas generadas, entendiendo por grado la potencia m´as elevada de cualquier t´ermino de su ecuaci´on. Una curva de grado npuede tener hasta n
cur-vas del acoplador son cerradas y se pueden clasificar seg´un su forma generalizada (Ver Figura 1.6).
Figura 1.6: Curvas t´ıpicas generadas por el eslab´on acoplador de un mecanismo de cuatro barras
Hay un rango infinito de variaci´on entre esta curvas generalizadas, sin em-bargo algunas caracter´ısticas de inter´es son los “v´ertices” y las “intersecciones” (cusp ycrunodesen ingl´es). Unv´erticees un punto agudo en la trayector´ıa que presenta velocidad instantanea nula. Una intersecci´on crea una trayectoria en forma de ocho y en ese punto la curva tiene dos pendientes o velocidades. Un me-canismo equivalente, en ingl´es “cognate”, se refiere a un mecanismo de geometr´ıa distinta que genera la misma curva del eslab´on acoplador [10].
1.2
Justificaci ´on.
1.3
Hip´otesis.
Se puede sintetizar un mecanismo de cuatro barras que incorpore adem´as del re-quisito de la trayectoria deseada restricciones en su espacio de operaci´on, o en la longitud de sus eslabones, utilizando el algoritmo de Recocido Simulado para obtener una soluci´on de buena aproximaci´on pero que con certeza cumple con los requerimientos del problema.
1.4
Objetivo General.
Desarrollar un m´etodo para la s´ıntesis de mecanismos de cuatro barras, Grashof y No- Grashof, generadores de trayectoria, para “N” puntos de precisi´on con restric-ciones en su espacio de operaci´on, especificando su dimensi ´on y forma. O bien limitando la longitud de sus eslabones, para obtener un mejor dise˜no y/o control sobre la trayectoria generada.
1.5
Metodolog´ıa.
Consiste principalmente en los siguientes puntos:
✘
Revisi ´on de la literatura de s´ıntesis de mecanismos, en part´ıcular de cua-tro barras generadores de trayectoria. Desarrollar y validar un algoritmo computacional para realizar el an´alisis de posici´on del mecanismo eficien-temente.
✘
Revisi ´on de la literatura sobre el m´etodo de optimizaci ´on combinatoria de Recocido Simulado. Determinar los mecanismos de generaci´on de estados, de perturbaci´on, criterios de aceptaci´on y funci´on objetivo para el proble-ma: generar un mecanismo de cuatro barras que cumpla con la trayectoria especificada y que opere en el espacio prescrito.
✘
1.6
Organizaci ´on de la Tesis.
En el Cap´ıtulo 1 se describe al mecanismo de cuatro barras; sus caracter´ısticas escenciales, criterios de movilidad y el m´etodo utilizado para realizar su an´alisis de posici´on.
En el Cap´ıtulo 2 se hace referencia a la teor´ıa cl´asica m´as empleada para la s´ıntesis de mecanismos de cuatro barras, los m´etodos geom´etricos y anal´ıticos empleando d´ıadas; particularmente para la tarea de generaci´on de trayectoria. Con esto se pretende dejar identificadas las ventajas y desventajas que presentan cada uno de ellos.
En el Cap´ıtulo 3 se describe la s´ıntesis de mecanimos empleando el Algoritmo de Recocido Simulado, su teor´ıa, la descripci´on de la funci´on objetivo obtenida y su desarrollo como algoritmo computacional para la resoluci´on del problema propuesto.
En el Cap´ıtulo 4 se presentan resultados del m´etodo propuesto para la s´ıntesis de mecanismos y se comparan con los obtenidos mediante el m´etodo de s´ıntesis em-pleando diadas para tres puntos de precisi´on.
Cap´ıtulo 2
S´ıntesis Cl´asica de Mecanismos.
Este cap´ıtulo tiene como objetivo mostrar la teor´ıa cl´asica para la s´ıntesis de meca-nismos, en particular de cuatro barras generadores de trayectoria ya sea de manera geom´etrica o anal´ıtica, y determinar claramente el problema de s´ıntesis a resolver.
2.1
S´ıntesis cinem ´atica.
La s´ıntesis cinem´atica en general se refiere al dise˜no sistem´atico de mecanismos para una funci´on especifica: generaci´on de funci´on, generaci´on de trayector´ıa
o generaci´on de movimiento. En cada una de estas ´areas de s´ıntesis se pueden distinguir dos etapas: s´ıntesis detipoy s´ıntesisdimensional.
La s´ıntesis detipose refiere a la definici´on del tipo adecuado de mecanismo que satisface mejor el problema. Se busca tener el mejor balance entre funcio-nabilidad y costo, confiabilidad o cualquier otro factor de inter´es. En la s´ıntesis dimensional se busca determinar las dimensiones significativas y la posici´on de inicio de un mecanismo de tipo preconcebido para una tarea especifica y con de-sempe˜no dado.
La tarea degeneraci´on de funci´onse define como la correlaci´on de una fun-ci´on de entradacon unafunci´on de salidaen un mecanismo. El resultado es una computadora mec´anica anal´ogica.
tempori-zaci´on prescrita.
La generaci´on de movimiento requiere que todo un cuerpo sea guiado a trav´es de una secuencia de posiciones determinada. El cuerpo que se guia gene-ralmente es una parte del eslab´on acoplador, del cual nos importa su orientaci´on.
Existen tres m´etodos para especificar el rendimiento deseado de un mecanis-mo:aproximaci´on de primer ordenopuntual,de orden superioryde punto-orden combinada.
En la aproximaci´on puntual se especifican puntos discretos de la funci´on o trayectoria deseada. El mecanismo sintetizado generar´a una funci´on que coinci-dir´a con la funci´on ideal en los puntos de precisi´on, pero generalmente se apartar´a de ella entre dichos puntos. En ocasiones, adem´as se requiere que el mecanis-mo cumpla con velocidad, aceleraci´on, impactos, etc. en una o m´as posiciones. En la aproximaci´on de orden superior se busca controlar adem´as de la posici´on, la pendiente de la funci´on o trayectoria, su curvatura o la raz´on de cambio de la curvatura, por ejemplo.
A la combinaci´on de las dos aproximaciones anteriores se denomina aproxi-maci´on punto-orden o aproximaci´on mediante producto de puntos de precisi´on separados. Esto es cuando se requiere de una cierta velocidad y posici´on en un punto de precisi´on mientras que en otro s´olo es necesaria la posici´on por ejemplo.
2.1.1
Puntos de precisi´on.
Los puntos o posiciones prescritas como lugares sucesivos para el punto o es-lab´on de inter´es en el plano se denominanpuntos de precisi´on oposiciones de precisi´on.
El n´umero de puntos de precisi´on que pueden ser logrados por un mecanismo est´a limitado por el n´umero de ecuaciones disponibles para su soluci´on. Por lo tanto, el n´umero de puntos de precisi´on que se emplean en la s´ıntesis dimensional del mecanismo de cuatro barras generalmente var´ıa entre dos y cinco. Tres es el n´umero m´aximo de puntos de precisi´on con el cu´al se tiene una soluci´on lineal para la s´ıntesis del mecanismo. Es posible la s´ıntesis de generaci´on de funci´on con hasta sietepuntos de precisi´on y la s´ıntesis degeneraci´on de trayector´ıacon hastanuevepuntos de precisi´on, pero requieren en general de m´etodos num´ericos, en lugar de los de forma cerrada que son preferibles, esto por la dificultad que pre-senta su soluci´on conforme aumenta el n´umero de puntos de precisi´on requerido [10, 12].
comportamiento del mecanismo sintetizado entre dichos puntos. Puede ser que el mecanismo no logre pasar por los puntos de precisi´on en el orden requerido o inmovilizarse durante su trayectoria entre ellos.
Una definici´on ´util para cuantificar el desempe˜no del mecanismo es elerror estructural, que se define como la diferencia entre la funci´on generada por el mecanismo sintetizado, y la funci´on especificada para cierto valor de la variable de entrada.
2.1.2
Herramientas de s´ıntesis dimensional [13]
.
Las dos herramientas b´asicas de s´ıntesis dimensional son la construcci´on geom´etricay el c´alculo anal´ıtico (matem´atico). En las siguientes secciones se describen estos dos m´etodos de s´ıntesis para el la tarea degeneraci´on de trayec-toria.
2.2
Sintesis gr´afica.
Los m´etodos des´ıntesis geom´etricosogr´aficosofrecen al dise˜nador un procedi-miento de dise˜no relativamente r´apido y directo. Sin embargo, tienen limitaciones de exactitud a causa del error de dibujo y podr´ıa ser necesario repetir muchas veces la construcci´on geom´etrica para obtener resultados apropiados [13].
2.2.1
Posiciones l´ımite.
Este tipo de sintesis [6, 11] se refiere a los problemas donde se prescriben el ´angulo entre las posiciones l´ımites de un eslab´on lateral de un mecanismo de cuatro barras, utilizando el concepto de la desigualdad del tri´angulo.
Considerando al eslab´on fijo como ❢
✝ , al eslab´on de entrada como
❢
✲ y su
pivote fijo ✮✱➑ , al eslab´on acoplador
❢
❇
y al de salida como ❢
✰ con pivote ✆❧➑ .
El ´angulo de movilidad, ✷ , est´a dado por ➒ ➓❅➔✝ ✆✱➑②➓❅➔➔ ✝ o
➒ ➓➐➔✲ ✆❧➑④➓❅➔➔
✲ . Para evaluar la
movilidad de ❢
✰ se necesitan tres c´ırculos: el C´ıculo I de radio
❢
✲
✍
❢
❇
y el C´ırculo II de radio →
❢
✲
✺
❢
❇
→ con centro en✮✱➑ ; y el C´ırculo III de radio
❢
✰ con
centro en ✆✱➑ . El C´ırculo III representa el lugar del punto ✆ relativo a ✆✱➑ , y los
c´ırculosI yII el lugar de las distancias m´axima y m´ınima posibles entre✆ y✮❧➑
Figura 2.1: S´ıntesis geom´etrica de un mecanismo de cuatro barras para posiciones l´ımite [11].
La clasificaci´on de los mecanismos triple oscilador depende del eslab´on m´as grande. Las clases cero, uno y dos corresponden cuando el eslab´on de mayor longitud es el acoplador, uno lateral y el fijo respectivamente.
Los pasos para la s´ıntesis son los siguientes:
1. Dibujar el circulo III de radio
❢
✰ con centro en ✆✱➑ . Las posiciones l´ımite ➓❅➔
✝ y ➓➐➔➔
✝ se determinan de acuerdo al ´angulo de movilidad
✷ del eslab´on de
salida.
2. Dibujar un circulo de radio →
❢
✲
✺
❢
❇
→ con centro en ➓ ➔➔
✝ y otro c´ırculo de
radio ❢
✲
✍
❢
❇
con centro en ➓ ➔
✝ . Ubicar el pivote
✮✱➑ en la intersecci´on de
los c´ırculos.
Tabla 2.1: Intersecciones, condiciones y tipos de mecanismo [6]. Caso Intersecci´on Condici´on Tipo de Mecanismo
1 Ninguna ❢
✝
✚
❢
✰ Doble rotatorio
1 Ninguna ❢
✝
✤
❢
✰ Rotatorio oscilatorio
2 II y III ❢
✲
✤
❢
❇
Triple oscilador Clase 1
2 II y III ❢
✲
✚
❢
❇
Triple oscilador Clase 0
3 I y III
❢
✝
✚
❢
✲ Triple oscilador Clase 1
3 I y III ❢
✝
✤
❢
✲ Triple oscilador Clase 2
4 I, II y III ❢
✲
✤
❢
❇
Doble oscilador
4 I, II y III ❢
✲
✚
❢
❇
Rotatorio oscilatorio
5 I y/o II tangente a III Mecanismos con puntos de cambio
Tabla 2.2: Ecuaciones de restricci´on dependiendo de la raz´on de longitud de los eslabones en la s´ıntesis gr´afica para posiciones l´ımite [11].
Raz´on Caso Lugar de✮✱➑ Ecuaci´on de restricci´on
❢ ✝❑➣ ❢ ✰ c´ırculo ❢ ❇ ➣ ❢ ✰ ❢ ✲ ✚ ❢ ❇ elipse ❄❑❏●▲◆✷❍➣ ✼ ✚ ❢ ❇ ➣ ❢ ✰ ❢ ✲ ✤ ❢ ❇ hiperbola ❄❑❏●▲◆✷❍➣ ✼ ✤ ❢ ❇ ➣ ❢ ✰ ❢ ✲↔➣ ❢ ✰ ❢ ✲ ✤ ❢ ❇ elipse ❄❑❏●▲◆✷❍➣ ✼ ✚ ❢ ✲↔➣ ❢ ✰ ❢ ✲ ✚ ❢ ❇ hiperbola ❄❑❏●▲◆✷❍➣ ✼ ✤ ❢ ✲↔➣ ❢ ✰
2.2.2
Generaci´on de trayectorias.
Tres posiciones prescritas.
Se desea dise˜nar un mecanismo de cuatro barras de modo que un punto de trayec-toria
✔
en el eslab´on acoplador pase por tres posiciones seleccionadas
✔ ✝ , ✔ ✲ y ✔ ❇ .
Al dise˜nar para tres posiciones prescritas, las posiciones de✮❧➑ y✆✱➑ , que
defi-nen la longitud e orientaci´on del eslab´on fijo, son opciones libres. La longitud del eslab´on de entrada y la distancia entre✮ y
✔
son arbitrarias. El procedimiento es el siguiente [13]:
1. Seleccionar los puntos de trayectoria prescritos,
✔ ✝ , ✔ ✲ y ✔ ❇
, escoger posi-ciones para los pivotes fijos ✮❧➑ y✆✱➑ ,determinando el eslab´on fijo.
Figura 2.2: Dise˜no inicial (a) indicando los par´ametros de dise˜no y (b) diagrama del mecanismo generador de trayectoria deseado
(un c´ırculo). Seleccionar el punto para✔ ✮✞✝ (posici´on de✮ para la posici´on
✝ ).
3. Ya establecida la longitud de✮
✔
, localizar✮✱✲ y✮
❇
. Los puntos✮ ,
✔
y✆ se
encuentran sobre el acoplador y por lo tanto tienen las mismas separaciones entre s´ı en todas las posiciones.
4. La posici´on de ✆ se encuentra medinate una inversi´on cinem´atica fijando
el acoplador en la posici´on 1. El resto del mecanismo, incluido el basti-dor, debe moverse de modo que el mismo movimiento relativo exista entre todos los eslabones de esta inversi´on as´ı como de la posci´on original. Las posiciones relativas de✆✱➑ respecto a la posici´on 1 del acoplador se obtienen
mediante la construcci´on que se muestra en la Figura 2.3 como sigue. Girar
✮❧➑ alrededor de✮♣✝ una distancia angular ➌➙↕➛✲
✺
↕❸✝
➏ , donde ↕➜✲
✪
➒ ✮❧➑④✮✱✲
✔
✲
y ↕❸✝
✪
➒ ✮✱➑✴✮♣✝
✔
✝ , para llegar a ✮ ➔
➑ . Dibujar un arco alrededor de ✮ ➔
➑ con
radio ✮❧➑④✆✱➑ . Trazar un arco alrededor de
✔
✝ con radio
✔
✲✴✆✱➑ . La
intersec-ci´on de estos dos arcos es la posiintersec-ci´on de✆➝➔
➑ . La construcci´on de ✆✞➔➔
➑ sigue el
mismo procedimiento con✮ ➔➔
➑ (girado alrededor de
✮♣✝ desde✮✱➑ una
distan-cia angular ➌✽↕
❇
✺
↕❸✝
➏ ) como centro de un arco con radio
✮✱➑④✆❧➑ y con
✔
❇
como radio de un segundo arco desde el centro ✝ .
Figura 2.3: Inversi´on para situar✆✞✝
5. Trazar bisectrices perpendiculares a las l´ıneas ✆✱➑④✆ ➔➑ y
✆
➔➑
✆
➔➔
➑ . El punto de
intersecci´on sit´ua ✆✞✝ como centro del c´ırculo que pasar´a por las tres
posi-ciones relativas de✆✱➑ : ✆✱➑ ,✆➝➔➑ y ✆➝➔➔ ➑ .
6. Dibujar el mecanismo en las tres posiciones para verificar el dise˜no. Si el di-se˜no no es satisfactorio, se pueden repetir estos pasos escogiendo diferentes posiciones para los pivotes y distinta longitud para el eslab´on de entrada.
Idealmente hay seis conjuntos infinitos de mecanismos de cuatro barras que cumplen con esta generaci´on de trayectoria, ya que la posici´on del pivote ✮❧➑
(coordenadas ❞
y ❡
) y los vectores ✺✾✺➞✺✽➟ ✮✱➑②✆✱➑ y
✺❱✺➞✺✽➟
✮✱➑✴✮♣✝ fueron seleccionados
arbitra-riamente en el plano de referencia fijo. Esto equivale atres conjuntos infinitosde soluciones para cada lado del mecanismo.
Es importante se˜nalar que un peque˜no error en las posiciones de✆✱➑ , ✆ ➔➑ o✆ ➔➔
➑
produce un error amplificado en la posici´on de ✆✞✝ . Conforme las l´ıneas ✆✱➑④✆➝➔➑ y
✆➝➔
➑
✆➝➔➔
Figura 2.4: Verificaci´on del mecanismo generador de trayectoria sintetizado para tres puntos de precisi´on.
Tres posiciones prescritas con temporizaci´on.
Para este caso, las rotacones del eslab´on de entrada est´an prescritas. El ´angulo➠❆✲
en sentido horario corresponde al movimiento del punto
✔
desde
✔
✝ hasta
✔
✲ , y
➠
❇
en sentido horario, de
✔
✝ a
✔
❇
(Ver Figura 2.5). Los pasos para la construcci´on de la Figura 2.6 son los sigientes:
1. Seleccionar el pivote fijo del eslab´on de entrada ➌❩✮✱➑
➏ respecto a los puntos
de precisi´on de la trayectoria prescrita
✔
✝
✔
✲
✔
❇
.
2. Trazar las l´ıneas
✔
✲✴✮❧➑ y
✔
❇
✮❧➑ .
3. Invertir el movimiento (fijando el eslab´on de entrada ✮❧➑④✮ que todav´ıa no
se conoce), girar
✔
✲④✮❧➑✻➠❆✲ grados en sentido antihorario alrededor de ✮✱➑ , y
✔
❇
✮✱➑ ,➠
❇
grados en sentido antihorario alrededor de✮❧➑ , situando
✔
➔
✲ y
✔
➔
❇ .
4. Dibujar las l´ıneas
✔
➔
✲
✔
✝ y
✔
➔
❇
✔
✝ .
5. Situar ✮♣✝ la primer posici´on de✮ en la intersecci´on de las bisectrices
per-pendiculares✄ ➔ ✝✽✲ y
✄ ➔
✝
Figura 2.5: Puntos de trayectoria prescritos y rotaciones para el eslab´on de entrada para tres puntos de precisi´on.
6. Continuar la construcci´on de acuerdo a la secci´on anterior.
La generaci´on de trayectorias con temporizaci´on prescrita implica dos opciones libres (las coordenadas ❞
y ❡
de ✮❧➑ respecto a
✔
✝ ), produciendo idealmente dos
conjuntos infinitosde soluciones.
Cuatro posiciones prescritas.
Se presenta aqui elm´etodo de reducci´on punto-posici ´on[12]. Parte del hecho de poder dibujar un c´ırculo que pase por tres puntos y se escogen los par´ametros de dise˜no de modo que algunas posiciones correspondientes de un punto de dise˜no, por lo regular una uni´on revoluta, coincidan, con lo que se reduce a tres el n´umero de posiciones distintas. Esto se logra situando ya sea el punto de pivote ✆✱➑ o
el punto ✆ en uno de los polos del acoplador. En los siguientes apartados se
desarrollan estos dos dise˜nos en donde se determinan tres posiciones relativas distintas para un punto de un eslab´on y luego se traza un circulo que pase por esos puntos. Con este m´etodo se pueden satisfacer hasta seis puntos de precisi´on.
Dise ˜no 1.Se requiere dise˜nar un mecanismo de cuatro barras tal que un punto
✔
Figura 2.6: Construcci´on gr´afica de la posici´on inicial del eslab´on de entrada para la generaci´on de trayectorias con temporizaci´on.
✔
✝ ,
✔
✲ ,
✔
❇
y
✔
✰ (Ver Figura 2.7). Localizando el pivote fijo✆✱➑ en uno de los polos
del movimiento del acoplador, el procedimiento es el siguiente:
1. Seleccionar dos posiciones que se har´an coincidentes en la inversi´on, por ejemplo las posiciones 1 y 4 para que ✆✱➑ se sit´ue en el polo
✔
✝❩✰ . El polo
se encuentra en la bisectriz perpendicular de la l´ınea
✔
✝
✔
✰ (cualquier punto
c´omodo sobre esta l´ınea es bueno). Esto determina el ´angulo de rotaci´on del eslab´on seguidor➡➢✝❩✰ , desde la posici´on 1 a la 4.
2. Puesto que✆✱➑ esta en el polo
✔
✝❩✰ , se puede girar el acoplador de✆✱➑ desde
la posici´on 1 a la 4. Esto implica que ✮ y✆ , que son puntos del acoplador,
tambi´en deben girar el mismo ´angulo➡❊✝❩✰ alrededor de ✆✱➑ de la posici´on 1
a la 4.
3. Escoger una direcci´on para ✮❧➑②✆✱➑ y trace dos l´ıneas que pasen por ✆✱➑ con
´angulo ❘♣➡❊✝❩✰❉➣
✼ desde
✆✱➑④✮❧➑ . Los puntos ✮♣✝ y ✮❧✰ deben estar sobre estas
l´ıneas equidistantes respecto a✆✱➑ .
4. Seleccionar posiciones para✮✞✝ y✮❧➑ . Esto establece✮❧➑ y las longitudes de
los eslabones fijo y de entrada, as´ı como la distancia ✮
✔
Figura 2.7: S´ıntesis para cuatro puntos de precisi´on empleando el dise˜no depivote en el polo.
5. Localizr✮✱✲ y✮
❇
en el arco alrededor de✮❧➑ con radio ✮✱➑④✮♣✝
✪
✮❧➑✴✮❧✰ , tales
que
✔
✲④✮❧✲ ✪❶✔
❇
✮
❇
✪❶✔
✝❵✮✞✝ .
6. ✆❧➑ y✆ ➔➔➔
➑ est´an situados en
✔
✝❩✰ . Fijar el acoplador (una inversi´on cinem´atica)
y determinar la posici´on relativa de ✆✱➑ para las posiciones 2 y 3 ➌➙✆ ➔ ➑➥➤
✆ ➔➔
➑
➏ ,
construyendo➦➧✮♣✝
✔
✝❵✆➝➔
➑
✪
➦➧✮✱✲
✔
✲④✆✱➑ y➦➨✮✞✝
✔
✝✾✆➝➔➔
➑
✪
➦➧✮
❇
✔
❇
✆✱➑ . El centro
del c´ırculo que pasa por ✆✱➑ , ✆➝➔ ➑ y
✆➝➔➔ ➑ es
✆✞✝. Esto establece las longitudes
de los eslabones acoplador y de salida y finaliza el dise˜no.
7. Dibujar el mecanismo en las cuatro posiciones para verificar el dise˜no (Ver Figura 2.8).
Entre las posiciones 3 y 4, la manivela de entrada gira m´as all´a de✆❧✰ , y luego
gira de regreso a ✆❧✰ , hasta que el punto de trayectoria
✔
finalmente coincide con la posici´on prescrita
✔
✰ . Durante esta rotaci´on hacia adelante y hacia atr´as del
es-lab´on de entrada, el punto
✔
sale de la trayectoria prescrita. Este comportamiento es caracter´ıstico de los dise˜nos que se obtienen por este m´etodo y podr´ıa no ser apropiado en algunas aplicaciones de generadores de trayectoria.
Dise ˜no 2.Se requiere dise˜nar un mecanismo de cuatro barras tal que el punto del acoplador
✔
pase por las posiciones prescritas en orden
✔
✝ ,
✔
✲ ,
✔
❇
y
✔
Lo-Figura 2.8: Verificaci´on del mecanismo para cuatro puntos de precisi´on.
calizando el punto del acoplador ✆ en un polo del acoplador el procedimiento es
el siguiente (Ver Figura 2.9):
1. Localizar arbitrariamente el polo
✔
✝❩✰ en la bisectriz perpendicular de la l´ınea
✔
✝
✔
✰ . Los puntos ✆✞✝ y ✆❧✰ estar´an en el mismo lugar con
✔
✝❩✰ . El ´angulo
✔
✝
✔
✝❩✰
✔
✰ es➡❊✝❩✰ .
2. Puesto que el tri´angulo acoplador✮✱✆
✔
es r´ıgido, el ´angulo ✮✞✝✾✆♣✝
✔
✝ debe
ser igual al ´angulo ✮❧✰↔✆❧✰
✔
✰ . Una vez ubicados✆✞✝ y
✔
✝ , se traza una l´ınea
desde✆♣✝ en una direcci´on arbitraria a fin de establecer un lugar geom´etrico
para✮♣✝ . La distancia✆✞✝✾✮✞✝ es arbitraria tambi´en.
3. Ubicar✮★✰ de modo que el ´angulo✮♣✝✾✆✞✝✾✮❧✰
✪
➡❧❙❉➩ en magnitud y sentido y ✮★✰②✆✞✝
✪
✮✞✝▼✆♣✝ .
4. Escoger el pivote✮✱➑ para el eslab´on de entrada en la bisectriz del ´angulo
✮♣✝✾✆✞✝✾✮★✰ . De este modo, ✮❧➑④✮✞✝
✪
✮✱➑✴✮★✰ . Dibujar la trayectoria del arco
circular de✮ desde✮✞✝ hasta✮★✰ .
5. Situar✮✱✲ de modo que✮❧✲
✔
✲
✪
✮♣✝
✔
✝ , y✮
❇
tal que✮
❇
✔
❇
✪
✮✞✝
✔
[image:45.612.165.454.123.327.2]Figura 2.9: S´ıntesis para cuatro puntos de precisi´on empleando el m´etodo de re-ducci´onpunto-posici ´on.
6. Dado que➦➨✮✞✝✾✆✞✝
✔
✝
✪
➦➧✮✱✲✴✆✱✲
✔
✲
✪
➦➧✮
❇
✆
❇
✔
❇
✪
➦➧✮❧✰②✆★✰
✔
✰ , localizar✆❧✲
y✆
❇
.
7. Dado que ✆♣✝ y ✆★✰ coinciden, se puede trazar un c´ırculo que pase por ✆♣✝ ,
✆★✰ , ✆✱✲ y ✆
❇
. El centro de este c´ırculo es el pivote fijo ✆✱➑ y el radio la
longitud del eslab´on de entrada del mecanismo.
El procedimiento gr´afico es un poco m´as sencillo si el punto acoplador✆ est´a
en el polo que si est´a el pivote ✆✱➑ esta en el polo. La situaci´on de dise˜no podria
determinar cual utilizarse.
2.3
S´ıntesis anal´ıtica.
2.3.1
La forma de d´ıada est´andar.
En general, los mecanismos planos pueden modelarse utilizando vectores para representar los eslabones. Dependiendo del problema de s´ıntesis que se quiera resolver, dichos vectores se pueden combinar de diferentes formas y casi todos se pueden resolver modelando los eslabones como combinaciones de pares de vectores llamados d´ıadas.
Para nuestro caso, el mecanismo de cuatro barras se modela con dos d´ıadas: el lado izquierdo del mecanismo representado por el par de vectores➫ y➭ y el lado
derecho por el par de vectores ➯ y ➲ . Los vectores ➭ y ➲ se consideran unidos
r´ıgidamente al eslab´on acoplador. Los vectores que representan ✺❍➟
✮✱✆ en el eslab´on
acoplador y al eslab´on fijo ✺❵✺➞✺➙➟
✮✱➑②✆❧➑ se determinan en la s´ıntesis del mecanismo.
Figura 2.10: Representaci´on de las d´ıadas que modelan un mecanismo de cuatro barras en su primera yk-´esima posici´on.
La suma de vectores alrededor del circuito que contiene las posiciones primera y k-´esima de una de las d´ıadas que forman el mecanismo se denominala ecuaci´on de la forma est´andar[12]. Si krepresenta la posici´on de precisi´on ynel n´umero total de posiciones de precisi´on, se tiene:
➫✇➳
✍
➭➵➳ ✺✢➸
➳
✍
➸
✝
✺
➭➺✝
✺
➫➻✝
✪❶❖ ➼✭✪
✼ a
Escribiendo la expresi´on en notaci´on de n´umeros complejos: ➾ ①④③▼⑤➢➚❑①④③❵➪↔➶ ✺ ❙✸➹ ✍✑➘ ①④③✾➴❉➶✻➚✴①④③▼➷➬➶ ✺ ❙✸➹ ✪ ✄➮➳✸①④③▼➱✽➶ ➼✭✪ ✼ a ➽ (2.2)
Arreglando la expresi´on sustituyendo➫
✪ ➾ ① ③✾⑤ , ➭ ✪✃➘ ① ③▼➴❃➶ y ❐ ✪ ✄➞➳✸① ③✾➱✽➶ ; donde❐➝➳ ✪ ➸ ➳ ✺✢➸ ✝ . ➫ ➚✴①④③✾➪↔➶ ✺ ❙❉➹ ✍ ➭❺➚✴①④③▼➷➬➶ ✺ ❙❉➹ ✪ ❐✞➳ ➼❒✪ ✼ a ➽ (2.3)
Escribiendo la ecuaci´on de la forma est´andar para la d´ıada derecha:
➯ ➚ ① ③❵➪ ➶ ✺ ❙ ➹ ✍ ➲ ➚ ① ③▼➷ ➶ ✺ ❙ ➹ ✪ ❐✞➳ ➼❒✪ ✼ a ➽ (2.4)
El mecanismo de cuatro barras queda determinado entonces al conocer las dos componentes de cada vector de las d´ıadas empleadas para modelarlo. Por tanto, s´olo hay un n´umero finito de par´ametros a especificar que pueden imponerse en un trabajo de s´ıntesis. El n´umero de ecuaciones resultantes, variables y opciones libres se presentan en la Tabla 2.3.
Tabla 2.3: N´umero de variables y opciones libres para s´ıntesis de trayectoria con temporizaci´on y para generaci´on de movimiento [13].
No. de No. de No. de No. de No. de No. de Posiciones Variables Ecuaciones Variables Opciones Soluciones
(n) Escalares Escalares Prescritas Libres Disponibles
2 8 2 3 3 ➌➙❮
➏
❇
3 12 4 6 2 ➌➙❮
➏
✲
4 16 6 9 1 ➌➙❮
➏
✝
5 20 8 12 0 Finito
Para la s´ıntesis de un mecanismo generador de trayectoria con temporizaci´on prescrita los ´angulos ❰➞➳ del eslab´on de entrada se especifican para definir la
tem-porizaci´on y los ´angulos ↕➛➳ del vector ➭ , los cuales controlan la orientaci´on del
2.3.2
Dos puntos de precisi´on.
El mecanismo se modela con dos d´ıadas, una izquierda ➫➻➭ y una derecha ➯✙➲ .
Cada d´ıada conecta un pivote fijo con el punto trazador en el eslab´on acoplador mediante las uniones✮ o✆ . El procedimiento a seguir se repite para cada una de
[image:49.612.165.454.215.420.2]ellas [12, 10]. Ver Figura 2.11.
Figura 2.11: Mecanismo de cuatro barras para la s´ıntesis de generaci´on de trayec-torias con dos puntos de precisi´on.
Para la d´ıada izquierda, en su ecuaci´on de la forma est´andar (Ecuaci´on 2.3) hay tres opciones libres a escoger; si se prescriben❐✞✲ y❰➞✲ para el caso de generaci´on
de trayectoria, se pueden escoger ➭ y↕➜✲ arbitrariamente obteniendo una soluci´on
lineal para➫ :
➫
✪
❐➝✲
✺
➭✙➌✽① ③▼➷➬⑥
✺
❙
➏
①
③❵➪↔⑥
✺
❙
(2.5)
La longitud y orientaci´on del eslab´on acoplador se determinan en t´erminos de los vectores➭➺✝ y➲➜✝ y el eslab´on fijo en funci´on de las dos d´ıadas expresandose de la
siguiente manera: Ï
✝
✪
➭➺✝
✺
➲➜✝
Ð
✝
✪
➫➻✝
✍
Ï
✝
✺
➯✙✝
(2.6)
como el ´angulo de trasmisi ´on del mecanismo.
2.3.3
Tres puntos de precisi´on.
El sistema de ecuaciones para tres posiciones de una sola d´ıada esta dado por:
➫ ➌✽① ③✾➪ ⑥ ✺
❙
➏
✍
➭★➌✽① ③▼➷ ⑥ ✺
❙
➏
✪
❐✞✲
➫ ➌✽① ③✾➪②⑧
✺
❙
➏
✍
➭★➌✽① ③▼➷➥⑧
✺
❙
➏
✪
❐
❇
(2.7)
El sistema de ecuaciones 2.7 es un juego de ecuaciones complejas, lineales respecto a sus inc´ognitas complejas ➫ y ➭ , los vectores que representan a la
d´ıada en su primera posici´on, con coeficientes conocidos [12].
Figura 2.12: Diagrama de mecanismo de cuatro barras resultante modelado por d´ıadas para los tres puntos de precisi´on.
Para el caso de generaci´on de trayectorias se especifican
✔
✲ ,
✔
❇
, ❰➞✲ y ❰
❇
; ↕➛✲
y ↕
❇
Especificaci´on de pivotes fijos.
Si se desea especificar la posici´on de los pivotes fijos, se pueden escoger las coor-denadas❞
y❡
de los dos pivotes fijos como opciones libres, en vez de escoger los ´angulos de los eslabones.
Tomando como referencia la Figura 2.13, las ecuaciones de s´ıntesis para una d´ıada en tres posiciones separadas por distancias finitas son:
➫
✍
➭
✪
➸
✝
➫Ñ① ③✾➪↔⑥
✍
➭❊① ③▼➷➬⑥
✪
➸
✲
➫Ñ① ③✾➪②⑧
✍
➭❊① ③▼➷➥⑧
✪
➸
❇
[image:51.612.158.472.235.505.2](2.8)
Figura 2.13: Esquema una d´ıadaWZen tres posiciones para la s´ıntesis de meca-nismo generador de trayectoria especificando pivote fijo.
Al escoger las componentes❞
y ❡
de uno de los pivotes fijos como opciones libres, se dejan como incognitas los ´angulos❰➞✲ y❰
❇
como incognitas en el caso de s´ıntesis para generaci´on de movimiento o a los ´angulos ↕➛✲ y↕
❇
coeficientes de las ecuaciones 2.8 es igual a cero. Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò ❙ ❙ ➸ ✝ ① ③❵➪↔⑥ ① ③✾➷➬⑥ ➸ ✲ ① ③❵➪②⑧ ① ③✾➷➥⑧ ➸ ❇ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò ✪P❖ (2.9)
Expandiendo el determinante sobre la columna que contiene las inc´ognitas ↕➛✲ y
↕
❇
, se tiene:
➚ ➸ ❇ ① ③✾➪↔⑥ ✺Ó➸ ✲✴① ③✾➪②⑧❑➹ ✍ ① ③✾➷➬⑥❊➚ ➸ ✝✾① ③❵➪②⑧ ✺Ó➸ ♥ ➹ ✍ ① ③▼➷➥⑧➢➚ ➸ ✲ ✺❺➸ ✝✾① ③✾➪↔⑥✾➹ ✪✫❖ (2.10)
simplificando la expresi´on:
✮ ✍ ✆✵①④③✾➷➬⑥ ✍ ➀ ①④③✾➷➥⑧ ✪✫❖ (2.11) donde: ✮ ✪ ➸ ❇ ① ③✾➪↔⑥ ✺✢➸ ✲✴① ③✾➪②⑧ ✆ ✪ ➸ ✝✾① ③✾➪②⑧ ✺✢➸ ♥ ➀ ✪ ➸ ✲ ✺Ó➸ ✝✾① ③✾➪↔⑥ (2.12)
La ecuaci´on 2.11 expresa la suma de los vectores sobre el lazo cerrado. Para cada ´angulo se obtienen dos soluciones. La soluci´on trivial se presenta cuando↕➛✲
✪ ❰➞✲ y↕ ❇ ✪ ❰ ❇
. La soluci´on buscada es la no trivial dada por:
↕➛✲ ✪ ✼ ❪❍❫❑Ô ➌ ✺ ✮ ➏ ✺ ❪❍❫❑Ô ➌✽✆ ➏ ✺ ❪❍❫▼Ô ➌ ➀ ①④③✾➪↔⑥ ➏ (2.13) ↕ ❇ ✪ ✼ ❪❍❫▼Ô ➌ ✺ ✮ ➏ ✺ ❪❍❫▼Ô ➌ ➀ ➏ ✺ ❪❍❫▼Ô ➌ ➀ ①④③✾➪②⑧ ➏ (2.14)
Una vez conocidos los valores para ↕➛✲ y ↕
❇
, se sustituyen junto con los valores especificados de ❰➞✲ , ❰
❇
,
✔
✝ y
✔
✲ en las ecuaciones 2.8 o 2.7 y se encuentran los
valores para➫ y➭ con lo que se determina la d´ıada para la posici´on de pivote de
tierra especificada. Esto se repite para la d´ıada derecha del mecanismo.
C´ırculos de los puntos centrales y puntos circulares.
Para el problema de s´ıntesis de tres puntos de precisi´on, Loerch [12] descubri´o que si se escoge un valor arbitrario para un par´ametro angular no prescrito al tiempo que se permite que el otro par´ametro angular var´ıe a trav´es de todos los valores posibles, los lugares geom´etricos resultantes de los pivotes fijos Õ (del alem´an
“Mittelpunkt” que significa punto central) y pivotes m´oviles
➼
✝ (de “Kreispunkt”
m´oviles se consideran en su primera posici´on, de ah´ı el sub´ındice 1) y representan el lugar de todas las posibles soluciones para los vectores ➫ , ➭ , ➯ y ➲
[image:53.612.165.453.193.394.2]per-mitiendo localizar su mejor posici´on, ampliando en gran medida los recursos de soluci´on.
Figura 2.14: Generaci´on de los c´ırculos de punto central y de punto circular. El primer punto de precisi´on se ubica en el origen del sistema de coordenadas.
El lugar geom´etrico de los pivotes de tierra se denomina c´ırculo de punto central ´o c´ırculo M y el de los pivotes m´oviles se denomina c´ırculo de punto circular ´oc´ırculoK.
2.3.4
Cuatro puntos de precisi´on
El sistema de ecuaciones para cuatro puntos de precisi´on de una d´ıada es [12]:
➫ ➌✽① ③✾➪↔⑥ ✺
❙
➏
✍
➭★➌✽① ③▼➷➬⑥ ✺
❙
➏
✪
❐✞✲
➫ ➌✽① ③✾➪②⑧
✺
❙
➏
✍
➭★➌✽① ③▼➷➥⑧
✺
❙
➏
✪
❐
❇
➫ ➌✽① ③✾➪②❹
✺
❙
➏
✍
➭★➌✽① ③▼➷➥❹
✺
❙
➏
✪
❐♣✰
(2.15)
Para la soluci´on solamente se tiene una opci´on libre de entre las siete inc´ognitas reales: las coordenadas de ➫ , ➭ y los ´angulos ❰➞✲ , ❰
❇
y❰➮✰ , dado que
✔
✲ ,
✔
❇
,
✔
✰
y los ´angulos↕➜✲ , ↕
❇
Figura 2.15: C´ırculos de punto central y de punto circular con una opci´on de posible mecanismo que cumple con los puntos de precisi´on.
Por lo tanto, s´olo se puede escoger arbitrariamente un ´angulo de rotaci´on o una coordenada de un vector de eslab´on. El sistema de ecuaciones 2.15 contiene tres ´angulos desconocidos, ❰➮Ö o ↕➛Ö en expresiones trascendentales. A´un si se escoge
un ´angulo ❰➮Ö o↕❾Ö como opci´on libre, el sistema de ecuaciones requiere de alguna
t´ecnica de soluci´on de ecuaciones no lineales.
Dada esta dificultad, se recurre con mayor frecuencia a los c´ırculosMyK, que en su forma m´as general se conocen comocurvas de Burmester. Con ellas se han desarrollado var´ıas t´ecnicas como la de superposici ´on de dos casos de tres puntos de precisi´on [12], donde los puntos en las curvasM/Kpara las cuatro posiciones de precisi´on se obtienen de las intersecciones de los c´ırculos de cada uno de los subproblemas de tres puntos de precisi´on.
El sistema de ecuaciones 2.15 es un juego de tres ecuaciones complejas linea-les, no-homog´eneas para las dos variables complejas ➭ y➫ . Reescribiendo las
ecuaciones 2.15 en forma matricial:
×ØÙ
①
③✾➪ ⑥
✺
❙ ①
③✾➷ ⑥
✺
❙
①
③✾➪ ⑧
✺
❙ ①
③✾➷ ⑧
✺
❙
①
③✾➪②❹ ✺
❙ ①
③✾➷➥❹ ✺
❙
ÚÜÛ
ÝßÞ
➫
➭ à
✪ áâ
ã
âä
❐✞✲
❐
❇
❐♣✰
å
âæ
â
ç
(2.16)
variables, una de las ecuaciones debe ser linealmente dependiente de las otras dos. Esto se logra si el rango de la matriz aumentada è , formada al a˜nadir el vector
de par´ametros a la matriz de coeficientes, es igual a 2 (a esta condici´on se le llama condici´on de compatibilidad). Por lo tanto es necesario que el determinante de la matriz aumentada sea igual a cero.
Detè ✪ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò ① ③✾➪↔⑥ ✺ ❙ ① ③▼➷➬⑥ ✺ ❙ ❐➝✲ ① ③✾➪②⑧ ✺ ❙ ① ③▼➷➥⑧ ✺ ❙ ❐ ❇ ① ③✾➪ ❹ ✺ ❙ ① ③▼➷ ❹ ✺ ❙ ❐✞✰ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò ✪✫❖ (2.17)
La ecuaci´on 2.17 es compleja y contiene dos ecuaciones escalares independientes con dos inc´ognitas ❰
❇
y ❰➮✰ por ejemplo. Expandiendo el determinante sobre la
columna que contiene las inc´ognitas se tiene:
é ✲②①④③✾➪↔⑥ ✍ é ❇ ①④③✾➪②⑧ ✍ é ✰↔①④③❵➪②❹ ✍ é ✝ ✪❶❖ (2.18) donde: é ✝ ✪ ✺ é ✲ ✺ é ❇ ✺ é ✰ (2.19) y é
Ö conê=2, 3, 4, son los cofactores de los elementos en la primer columna:
é ✲ ✪ Ò Ò Ò Ò Ò ① ③▼➷➥⑧ ✺ ❙ ❐ ❇ ① ③▼➷➥❹ ✺ ❙ ❐♣✰ Ò Ò Ò Ò Ò é ❇ ✪ ✺ Ò Ò Ò Ò Ò ① ③▼➷ ⑥ ✺ ❙ ❐✞✲ ① ③▼➷➥❹ ✺ ❙ ❐♣✰ Ò Ò Ò Ò Ò é ✰ ✪ Ò Ò Ò Ò Ò ① ③▼➷ ⑥ ✺ ❙ ❐✞✲ ① ③▼➷ ⑧ ✺ ❙ ❐ ❇ Ò Ò Ò Ò Ò (2.20)
La ecuaci´on 2.18 se denominaecuaci´on de compatibilidady puede ser entendida como la ecuaci´on de cierre de circuito para un mecanismo de cuatro barras o mecanismo de compatibilidad, formado por el eslab´on fijoé
✝ , eslabones m´oviles
é
Ö, ê= 2, 3, 4, con rotaciones❰➮Ö, medidas a partir de su posici´on inicial.
![Figura 2.1: S´ıntesis geom´etrica de un mecanismo de cuatro barras para posicionesl´ımite [11].](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/4428586.34493/37.612.166.454.122.330/figura-intesis-etrica-mecanismo-cuatro-barras-posicionesl-imite.webp)
