Práctica 4: Optimización libre y con restricciones de igualdad

Matemática para Economistas

Curso 6

Práctica 4: Optimización libre y con restricciones de igualdad

Ejercicio 1 Obtenga y clasifique los extremos de las funciones siguientes: a. _{F , ,}

(

_{x y z}

)

_=x2_+y2_+z2_{− ⋅ + − ⋅x y x 2 z}

b. _{F ,}

( )

_{x y =x}4_+y4 c. _{F ,}

( )

_{x y = − −x}4 _y4 d. _{F ,}

( )

_{x y =x}4_−y4

e. _{F , 6}

(

_{x y}

)

_{=x y}3_⋅ 2_{⋅ − −}

(

_{x y}

)

f. _{F , 2}

(

_{x y}

)

_=x4_+y4_{− ⋅x}2_{+ ⋅ ⋅ − ⋅4 x y 2 y}2

g. F , ,

(

)

2 2 2 4

y z

x y z x

x y z

= + + +

⋅

(

x>0, 0, 0y> z>

)

h. _{F ,}

( )

_{x y =}

(

_x2_+y2

)

_⋅e−(x2+y2)

i.

( )

2 2

1 F ,

1

x y x y

x y

+ − =

+ +

j. F ,

( )

x y =sen

( )

x ⋅sen

( )

y ⋅sen

(

x y+

)

,

(

0≤ ≤x π, 0≤ ≤y π

)

La relación _{tg(2⋅α) 2 tg( ) 1 tg ( )= ⋅ α}

(

₋ 2 _α

)

_{puede ser útil.}

k.

(

)

2 3

(

)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

F x x x, , =x x x⋅ ⋅ ⋅ −1 x − ⋅ − ⋅2 x 3 x ,

(

x₁>0, 0, 0x₂ > x₃>

)

Respuestas:

a. P_min = −

(

2 3 , 1 3, 1−

)

y F(P )_min = −4 3. b. P_min =

(

0, 0

)

y F(P ) 0_min = .

c. P_max =

(

0, 0

)

y F(P ) 0_max = .

d. El punto P=

(

0, 0, 0

)

no es máximo ni mínimo de la función, es un punto de ensilladura.

e. P₁=

(

0, 0

)

y P₂ =

(

3, 2

)

, siendo el segundo punto un máximo.

f. P_min =

(

2 , - 2

)

y P_min = −

(

2 , 2

)

, F P

(

_min

)

= −8 . En el punto P (0,0)= no hay extremo.

h. P_min =

(

0, 0

)

y F(P ) 0_min = . En los puntos de la circunferencia _x2_+y2_{=1 hay} máximo no estricto.

i. P_max=

(

1, -1

)

y F(P )_max = 3.

j. Pmax=

(

π 3 , π 3

)

, F P

(

max

)

= ⋅3 3 8 y Pmin =

(

2⋅π 3 , 2⋅π 3

)

, F(P )min = − ⋅

(

3 3 8

)

. k. x₁ =x₂=x₃=1 7 y F_max=

( )

1 7 7

Ejercicio 2 Encuentre la distancia mínima de la parábola _{y x=} 2 _{a la recta y x= −5} utilizando la distancia pitagórica.

Respuesta: La distancia mínima es igual a 2 19 8⋅

(

)

y se alcanza entre los puntos

(

x y1, 1

) (

= 1 2 , 1 4

)

y

(

x y2, 2

) (

= 23 8 , 17 8−

)

.

Ejercicio 3 El área de un paralelepípedo se determina a partir de la función

(

)

A , ,x y z = ⋅ + ⋅ + ⋅x y x z y z, en tanto el volumen del mismo por la función

(

)

V , ,x y z = ⋅ ⋅x y z, siendo , ,x y z>0. Las variables , ,x y z representan las longitudes de los lados del cubo con respecto al origen de coordenadas. Asuma que el volumen del cubo es fijo e igual a 125. Determine el paralelepípedo de área mínima correspondiente al volumen especificado.

Respuesta: P_min =

(

5, 5, 5

)

y F P

(

_min

)

=75.

Ejercicio 4 Halle los extremos relativos condicionados de las siguientes funciones: a. F , ,

(

x y z

)

= − ⋅ + ⋅x 2 y 2 z, sobre: _C=

{

(

_{x y z, ,}

)

_∈\3_{: x}2_+y2_+z2 ₌₉

}

b. F ,

( )

x y = − ⋅ − ⋅6 4 x 3 y, _C=

{

( )

_{x y, ∈\}2_{: x}2_+y2₌₁

}

c. F , ,

(

x y z

)

₌x y zα_⋅ β _⋅ γ_,

₍

_{α β γ, , >0}

₎

_C=

{

(

_{x y z, ,}

)

_∈\3_{: x y z c+ + =}

}

(a) Clasifique los puntos e indique el valor de la función en los mismos.

Ejercicio 5 Hallar la distancia mínima del origen de coordenadas al plano ⋅ + ⋅ + ⋅ + =0

a x b y c z d

Respuesta: P_{min 2} a d_{2 2} , ₂ b d_{2 2}, ₂ c d_{2 2}

a b c a b c a b c

− ⋅ − ⋅ − ⋅

 

= _{ + + + + + +} _ y _min

2 2 2

dis d

a b c

=

+ + .

Ejercicio 6 Encuentre los extremos de la función _{f :}\2→\ _{definida por:}

( )

(

)

2 2

(a) Verifique que el problema cumple las condiciones para la existencia del multiplicador de Lagrange (diferenciabilidad de las funciones y calificación de restricciones).

(b) Realice un gráfico e interprete geométricamente el resultado.

Respuesta: El punto P=

(

0, 0

)

con λ=1 2 es un mínimo relativo condicionado.

Ejercicio 7 Encuentra los extremos condicionados de los problemas siguientes: a. f ,

( )

x y = −y

(

x−1

)

4 sobre el conjunto _C=

{

( )

_{x y, ∈\}2_{: y+}

(

_x−1

)

3 ₌₀

}

(a.1) Muestre que los puntos

(

x y, ,λ

)

=

(

1 4 , 27 64 , 1

)

y

(

x y, ,λ

)

=

(

1, 0, 1

)

son puntos críticos: el primero es un máximo mientras el segundo no es máximo ni mínimo restringido.

b. _{f ,}

( )

_{x y = x}2_+y2 _{sobre C=}

{

( )

_{x y, ∈\}2_:

(

_x−1

)

3_−y2 ₌₀

}

(b.1) Pruebe que el punto

( )

x y, =

(

1,0

)

es un mínimo restringido pero no existe el multiplicador de Lagrange. ¿Qué hipótesis del teorema de existencia del multiplicador falla?

c. f

( )

x =x sobre _C=

{

(

_{x y,}

)

_∈\2_{: x}2_+y2 ₌₁

}

Ejercicio 8 Halle y clasifique los extremos de la función _{f :\}2 _{→\ definida por:}

(

)

f , x y = ⋅x y,

sobre el conjunto: _C=

{

( )

_{x y, ∈\}2_:

( ) ( )

_{x a} 2_{+ y b} 2 ₌₁

}

_{, donde: a>0 yb>0.}

(a) Suponga, ahora, a=b=1, interprete los resultados gráficamente en términos de los gradientes de las funciones del problema.

Respuestas:

El problema posee cuatro puntos críticos: Para

2

a b

λ= ⋅ : P1 ,

2 2

a b

 

= _ _ y P2 ,

2 2

a b

− −

 

= _ _. Los dos son máximos relativos condicionados.

Para

2

a b

λ= − ⋅ : P₃ ,

2 2

a b

−

 

= _ _ y P4 ,

2 2

a −b

 

= _ _. Ambos son mínimos relativos condicionados.

Ejercicio 10 Sea _A∈\2 2× _{simétrica y x∈\}2_{. Pruebe que los valores máximo y} mínimo de la función F

(

_{x x1}, ₂

)

_{=x A x}T_{⋅ ⋅ sobre la región C=}

{

_x∈\2_{: x x}T_{⋅ =1}

}

_son

iguales a los autovalores máximo y mínimo de la matriz A, respectivamente. Ejercicio 11 Encuentre y clasifique los extremos de la función:

(

)

1

(

₂

)

2 0

J ,a b =

∫

a x⋅ + ⋅b x ⋅dx

s.a: a b+ =1 Respuesta:

En el punto

(

a b,

)

=

(

5 2 , 3 2−

)

la función alcanza un mínimo.

Ejercicio 12 Demuestre la siguiente desigualdad:

2 2

n

n n

x +y _{≥ }x y+  

  ,x y≥0y n≥1

(Sugerencia: buscar el mínimo de la función f ,

( )

_{x y =}

(

_xn_+yn

)

2 _{con la condición}

cte

x y+ = )

Ejercicio 13 Pruebe que para ∀x y, ∈(0, 1) , siendo x y+ =1y para _x*_{, y}* _{fijos en} valores de dicho intervalo, se verifica que:

* * 1

y

x _y

x

x y

 

 _{ ⋅ ≥}

 

 

 _{  }

Ejercicio 14 Demuestre que la media geométrica no supera a la media aritmética: 1

1 1

n n n

i i

i i

x x

n

= =

  _≤

 



∏



∑

,

en el conjunto U=

{

_x∈\n:_{x 0≥}

}

_{y n∈`.}

Aplicaciones económicas

Ejercicio 1 (Maximización de la utilidad) Un agente consume dos tipos de bienes, x₁ y 2

x , y su función de utilidad es u

(

x x₁, ₂

) ( ) ( )

= x₁ α⋅ x₂ β, siendo α y β constantes positivas. El consumidor dispone de un ingreso monetario igual a m y desea obtener la mayor utilidad posible del consumo de ambos bienes dado aquel nivel de renta. Los precios de los bienes 1 y 2 son p₁ y p₂, respectivamente.

(a) Plantee el problema que resuelve el agente y, a partir de las condiciones de primer orden, obtenga las funciones de demanda (marshallianas).

Respuestas:

(a) ₁

(

₁

)

1

, m

x m p

p

α α β

= ⋅

+

(

)

2 2

2

, m

x m p

p

β α β

= ⋅

+

(

1 2

)

1

1 2

, ,

m p p

m p p

α β

α β

α β α β

λ =_ + _ − − ⋅_  _{ }⋅ _

  _{   }

Ejercicio 2 (Minimización del gasto) Considere ahora que el consumidor del problema anterior desea obtener el gasto mínimo que le reporta un cierto nivel de utilidad u. (a) Plantee el problema que resuelve el agente y, a partir de las condiciones de primer

orden, obtenga las funciones de demanda (hicksianas). (b) Verifique las condiciones de suficiencia para un mínimo.

Ejercicio 3 Considere el siguiente problema que enfrenta un consumidor representativo:

(

)

1 2

2

1 2

, Max

x x a x⋅ + ⋅b x , a b, 0>

s.a: p x1⋅ +1 p x2⋅ 2=m,

donde x₁ ,x₂ indican las cantidades consumidas de cada uno de los bienes, m es la renta monetaria del agente y p₁ ,p₂ son los precios del bien 1 y 2, respectivamente. (a) A partir de las condiciones de primer orden obtenga las funciones de demanda. (b) Verifique las condiciones de suficiencia para un máximo.

Ejercicio 4 (Maximización de beneficios) Una firma produce cierto bien utilizando la función de producción _y=f

(

_{K L,}

)

_{= ⋅A K}1 4_⋅L1 2_{, donde L y K indican,} respectivamente, las cantidades de trabajo y capital empleadas para producir. Por cada unidad de trabajo utilizado la firma debe pagar un salario igual a w en tanto que por cada unidad de capital una renta igual a r. Se supone que la firma elige las cantidades de trabajo y capital tal que el beneficio sea máximo, es decir:

(

)

,

Max f ,

L K p⋅ K L − ⋅ − ⋅w L r K

(a) Encuentre las funciones de demanda de factores (o puntos críticos de la función). (b) Verifique que se cumplen las condiciones de segundo orden para un máximo.

, Min

K L w L r K⋅ + ⋅

s.a: y A L= ⋅ ⋅ K

(a) Encuentre su punto crítico y el valor del multiplicador en el óptimo sobre el cuadrante L>0 ,K >0.

Respuesta:

(a) _{L A=} −1_⋅

(

_{r w y}

)

_{⋅ , K A=} −1_⋅

(

_{w r y}

)

_{⋅ , µ= ⋅2 A}−1_{⋅ w r⋅ ,}

(

)

1

C w r y A, , , ₌A− _{⋅ ⋅}2 w r y_{⋅ ⋅}

Ejercicio 6 (Consumo y ahorro intertemporal) Considere una economía de un consumidor, un bien y dos períodos. El agente debe encontrar, al inicio del primer período, las cantidades que consumirá en el período corriente y futuro dada su restricción de presupuesto. Las cantidades consumidas en el primer período se denotan por c₁ mientras por c₂ las cantidades del segundo. El consumo de c₁

unidades le reporta una utilidad en el período corriente igual a u

( )

c₁ =ln

( )

c₁ , en tanto el consumo de c₂ unidades le proporciona una utilidad de u

( )

c₂ =ln

( )

c₂ en el período futuro. La utilidad total en el período corriente es la suma de la utilidad por el consumo en el primer período más la utilidad del segundo período (pero descontada a cierta tasa ρ >0). Es decir, la utilidad total al inicio del primer período es:

(

1 2

)

( )

1

( )

2

1

U , ln ln

1

c c c c

ρ

= + ⋅

+

Por otro lado, el consumidor recibe un ingreso igual a y unidades del bien de consumo en ambos períodos. Además, suponemos que en el primer período el consumidor puede prestar o tomar prestadas b₁ unidades. En el segundo período, en caso que en el primero se haya endeudado, debe devolver las cantidades iniciales tomadas en préstamo más un interés dado por r b⋅ ₁ (r es la tasa de interés). En el primer período su restricción de presupuesto es entonces:

1 1

y b+ =c , mientras en el segundo:

2 1 1

y c= + + ⋅b r b

La primera restricción nos dice que el ingreso más las cantidades tomadas en préstamo en el primer período deben ser igual a las cantidades consumidas. La segunda que el ingreso del segundo período debe ser igual a las cantidades consumidas en el período más la suma de las cantidades tomadas en préstamo y los intereses correspondientes. Despejando b₁ de la segunda restricción y reemplazándola en la primera obtenemos una restricción de presupuesto agregada:

2 1

1 1

y c

y c

r r

+ = +

Entonces el problema consiste en:

( )

₍

₎

( )

1, 2 1 2

1

Max ln ln

1

c c c + +ρ ⋅ c

s.a: 2

1 1 1 y c y c r r + = + + +

(a) A partir de las condiciones de primer orden obtenga las funciones de demanda de bienes de consumo (para cada período) y ahorro. Interprete las funciones halladas y realice un gráfico (en el plano

(

c c1, 2

)

) para interpretar el problema.

(b) Verifique las condiciones de segundo orden. Respuestas: (a) 1 1 2 1 y c y r ρ ρ  +    =_{ }⋅_ + _ +  + 

  , 2

1 2 1 y r c y r ρ  +    =_{ }⋅_ + _ +  + 

  , 1

1 1 1 2 y b r ρ ρ +   =_ − _⋅ + +  

Ejercicio 7 Considere el siguiente problema de maximización intertemporal que resuelve un consumidor representativo al inicio del período 1:

1 2 1

1 1 1 2 , , 1 1 Max 1 1

c c b

c δ c δ

β

δ δ

− ₋ − ₋

+ ⋅

− − , δ ≥0, 0<β ≤1

s.a: 1 0 1 1 0

2 1 2 1

y r b c b b y r b c b

+ ⋅ = + − 

 + ⋅ = − 

Donde y₁ e y₂ representan el ingreso en los períodos 1 y 2, respectivamente. El consumo en el período 1 y 2 se denotan por c1 y c2, respectivamente. Los activos ó pasivos del agente son bonos, b₀ y b₁, con madurez de un período. El stock inicial de bonos, b₀, se encuentra dado. El subíndice indica el stock de bonos elegidos en el período t para llevar al período t+1. La tasa de interés que rinden los bonos se denota por r y se asume que es la misma en ambos períodos. El parámetro β es un factor de descuento intertemporal y δ un coeficiente que determina la concavidad de la función de utilidad.

(a) A partir de las condiciones de primer orden obtenga las funciones de demanda de bienes de consumo para cada período y el ahorro del primer período.

Respuesta:

(

)

2

(

)

1 1 1 0

1

1 1

1 1

y

c y r b

r r σ σ β −   = ⋅_ + + + ⋅ _ + + ⋅ +  , 2

2 1 1 0

(1 ) _{(1 )}

1 (1 ) 1

y r

c y r b

r r σ σ σ σ β β − ⋅ +   = ⋅_ + + + ⋅ _

+ ⋅ +  + , donde σ ≡1δ.

( )

( )

( )

1 2 3 1 2

2

1 2 3

, , , ,Max ln ln ln

c c c b b c + ⋅β c +β ⋅ c , (0<β ≤1)

s.a:

(

)

1 1 1

2 1 2 2 1

3 1 2 3

y c b

y r b c b b

y r b c

 = +

 + ⋅ = + − 

 + + ⋅ = 

(a) Obtenga las funciones de demanda de consumo y ahorro para cada uno de los períodos.

(b) Verifique si se cumplen las condiciones de segundo orden para un máximo.

Ejercicio 9 (Consumo, oferta de trabajo y ahorro intertemporal) Halle la demanda de bienes de consumo y oferta de trabajo para los períodos t=1 ,2 en el siguiente problema con un agente representativo:

( )

(

)

( )

(

)

1, , , , 2 1 2 1 1 1 2 2

Max ln ln ln ln

c c l l b c + ⋅γ L l− + ⋅β c + ⋅ ⋅β γ L l−

(

)

1 1 1 1

2 2 1 2

s.a:

1

w l c b

w l r b c

⋅ = + 

 _{⋅ + + ⋅ =}

 , 0<β ≤1, γ >0

El salario se denota con la letra w, L representa la dotación de tiempo disponible y l la oferta de trabajo.

Respuestas:

2

1 1

1

(1 ) (1 ) 1

w

c w L

r

β γ  

= ⋅_ + _⋅

+ ⋅ +  + 

2

1 1

1

(1 ) (1 ) 1

w

l L w L

w r

γ

β γ  

= − ⋅_ + _⋅

+ ⋅ + ⋅  + 

1 2

1 _{1 1 1}

w w L

b

r

ρ β

   

=_ − _{ }⋅ _

+ + +

   

2

2 1

(1 )

(1 ) (1 ) 1

r w

c w L

r

β

β γ

⋅ + _{ }

= ⋅_ + _⋅

+ ⋅ +  + 

2

2 1

2 (1 )

(1 ) (1 ) 1

r w

l L w L

w r

γ β

β γ

⋅ ⋅ + _{ }

= − ⋅_ + _⋅

+ ⋅ + ⋅  + 

Ejercicio 10 (Consumo y ahorro intertemporal con horizonte infinito) Considere el siguiente problema de maximización de la utilidad en un horizonte de tiempo infinito:

{ } ₁

( )

1

1

Max ln

t t

t

t

c ∞_{= t} β c

∞ −

=

⋅

s.a:

(

)

1 1

0

1, 2, ..., dado

lim 1 0

t t t t

T T

T

y r b c b b t T

b

b r

− −

− →∞

 + ⋅ = + − = → ∞

 

 _{⋅ + =}



(a) Obtenga la demanda de consumo para cada uno de los períodos. (Sugerencia: “sume” las restricciones de presupuesto de cada uno de los períodos hasta obtener una restricción de presupuesto agregada).

Respuesta:

(

)

1 1

c = −β ⋅W

(

) (

)

2 1 1

c = −β ⋅ + ⋅ ⋅r β W

(

) (

)

2 2

3 1 1

c = −β ⋅ +r ⋅β ⋅W

"

1 1

(1 ) (1 )t t t

c _{= −}β _{⋅ +}r − _⋅β − _⋅W_,

donde: (1 ) 0 _{1 (1 )}2 .... (1 ) 0 (1 )

y y y

W r b y r b r

r r r

≡ + ⋅ + + + + = + ⋅ + + ⋅

+ +

Ejercicio 11 (Impuestos óptimos) El gobierno está analizando los efectos sobre el bienestar de la población de una política que consiste en la introducción de impuestos sobre las cantidades consumidas. La función de utilidad del grupo de consumidores que se verán afectados depende del consumo de tres bienes. Su expresión viene dada por:

(

)

( )

1/2

( )

( )

3/4

1 2 3 1 2 3

u x x x, , = ⋅2 x + 4 3 ⋅ x +x

En tanto la expresión de la restricción presupuestaria es:

1 1 2 2 3

p x⋅ +p x⋅ +x =m

Los precios de los dos primeros bienes, p₁ y p₂, y la renta, m, están expresados en términos del precio del tercer bien.

(a) Plantee el problema que resuelven los consumidores y verifique que las funciones de demanda “marshallianas” de los bienes 1 y 2 vienen dadas por:

( )

( )

2

1 1 1 1

x p = p y x p2

( )

2 =1

( )

p2 4

Conociendo la función de utilidad de los agentes, el gobierno estudia la posibilidad de imponer impuestos de suma fija sobre los bienes 1 y 2 de manera que la pérdida de bienestar que sufran los consumidores sea mínima. Con este objetivo el gobierno plantea el siguiente problema para resolver:

(

)

1, 2 1 1 2 2

Max v p , p , m

τ τ +τ +τ

(

)

(

)

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

donde: v

(

p₁+τ₁, p₂+τ₂, m

)

≡u

(

x p₁

(

₁+τ₁,p₂+τ₂,m x p

)

, ₂

(

₁+τ₁,p₂+τ₂,m

)

)

,

( )

( )

2

1 1 1 1

x p = p y x p₂

( )

₂ =1

( )

p₂ 4,

es decir, el gobierno maximiza la utilidad indirecta (o minimiza la pérdida de utilidad) de los consumidores sujeta a la restricción de obtener un cierto nivel de recaudación R.

(b) A partir de las condiciones de primer orden del problema muestre que la regla para determinar los impuestos óptimos viene dada por:

(

)

(

)

1 1 1

2 2 2

2 0 /

0 4 /

p p

θ τ τ

θ τ τ

 + 

   

= ⋅  

   

+

 

      (1)

(

)

(

)

1 2 2 4

1 1 2 2

1 1

R

p p

τ τ

τ τ

= ⋅ + ⋅

+ + , (2)

donde θ ≡−(1+µ) µ, siendo µ el multiplicador de Lagrange vinculado al problema del gobierno. Asuma que el gobierno desea obtener un nivel de recaudación igual a 5/16 (unidades del bien 3) y que los precios iniciales (sin impuestos) son p1 =1y p2 =1.

Despejando τ1 y τ2 a partir de (1), teniendo en cuenta el valor de los precios

iniciales y la recaudación, y reemplazando en (2) resulta:

(

) (

1₂

) (

3 1₄

)

3

5 1

16 4 256

µ µ

µ

µ µ

 − ⋅ − 

= + ⋅ _⋅ + _⋅ 

 

  (3)

Numéricamente se puede obtener un valor aproximado para el multiplicador: 78

, 2 − ≅

µ .

(c) Dado este valor de µ calcule los impuestos óptimos.

(d) ¿Qué relación encuentra entre el nivel de impuestos y la elasticidad precio de demanda de ambos bienes?

Respuesta:

(c) Impuestos óptimos: τ₁≅0, 47 y τ₂ ≅0,19.

• Este tipo de impuestos de suma fija, que minimizan la pérdida de bienestar que

sufre el consumidor, reciben el nombre de impuestos de Ramsey debido a la contribución de F. P. Ramsey [1927].

Ejercicio 12 (Extracción de tendencias) Dada la sucesión

{ }

{

}

1

3

1, 5, 2 t

T t

y =

=

= , determine

otra sucesión

{ }

g_{t t}T₌=₁3 tal que (suponga λ=400):

{ } ₁

( )

(

) (

)

1 ₂

2

1 1

1 2

Min _T t t

T T

t t t t t

g _{= t} c λ _t g g g g

−

+ −

= =

 

+ ⋅ _ − − − _

s.a: y_t =g c_t+ _t

Grafique la serie original y la encontrada en el plano

(

t y, _t

)

. Respuesta:

1 743

2,17 343

g = ≅ , ₂ 915 2,67 343

g = ≅ y ₃ 1086 3,17 343

g = ≅

• Este algoritmo para extraer la tendencia y los ciclos de una serie temporal se conoce en

Economía como filtro de Hodrick y Prescott (1982). Es también utilizado por los actuarios para ajustar las tablas de mortalidad y se lo conoce como método de Whittaker (1923)-Henderson.

Ejercicio 13 (Problema de mínimos cuadrados ordinarios) Considere la función

( )

2

(

)

2

1

J , i i

i

a b y a b x

=

=

∑

− − ⋅ y los puntos ( , ) (0,1)x y1 1 = y ( , ) (1,1)x y2 2 = . Determine a y

b tal que la función alcance un mínimo. Interprete geométricamente.

Ejercicio 141 _{(Problema de equilibrio general) Sea una economía de intercambio puro} (no hay producción) donde hay sólo dos agentes (i=1, 2) y dos bienes (j=1, 2). Cada agente posee una dotación inicial de bienes; ω_ij denota la cantidad inicial del bien j que posee el agente i. Las dotaciones son las siguientes:

(

ω ω_1,1, _1,2

)

=

(

78,0

)

(

ω ω_2,1, _{2 ,2}

)

=

(

0,164

)

Las preferencias de los agentes 1 y 2 se representan, respectivamente, a través de las funciones de utilidad:

(

)

= ⋅ + ⋅ + ⋅

1 1,1 1,2 1,1 1,2 1,1 1,2

U x ,x x x 2 x 5 x

(

)

= ⋅ + ⋅ + ⋅

2 2,1 2,2 2,1 2,2 2,1 2,2

U x ,x x x 4 x 2 x

(a) Plantee el problema que resuelven los agentes y obtenga las funciones de demanda de cada uno de los bienes para los dos consumidores.

(b) Determine las funciones de demanda de mercado. (c) Obtenga el precio (relativo) de equilibrio.

(d) Calcule las cantidades demandadas al precio de equilibrio.

(e) Analice justificando la respuesta: “luego del intercambio, el individuo 2 se encuentra peor que en la situación inicial”.

Respuestas

(a) 2 1,1 1 73 2 d p x p

= + 2

2,1 1 84 1 d p x p = ⋅ − 1 1,2 2 83 ₁ 2 d p x p

= ⋅ − 1

2,2 2 80 d p x p = +

(b) 2

1 1 71 85 2 d p x p

= ⋅ + 1

2 2 85 79 2 d p x p = ⋅ + (c) * 1 2 2 p p   =    

(d) _x1,1d ₌37_,

1,2d 82

x = , _x2,1d ₌41 _y

2,2 82

d

x =

Ejercicio 15 (Equilibrio general con dinero) Suponga que en la economía anterior se introduce el dinero. En este caso los consumidores sólo disponen de un ingreso monetario: igual a 100 unidades monetarias (u.m) el del primer agente y a 80 u.m el del segundo. Las cantidades ofrecidas de los bienes en el mercado son las mismas que en el problema anterior.

(a) Obtenga las funciones de demanda de cada uno de los bienes. (b) Determine las funciones de demanda de mercado.

(c) Obtenga el precio (absoluto) de equilibrio.

(d) Calcule las cantidades demandadas al precio de equilibrio. Respuestas: (a) 2 1,1 1 50 5 2 d p x p +

= − 2

2,1 1 40 2 1 d p x p + ⋅ = − 1 1,2 2 100 5 1 2 d p x p + ⋅ = − ⋅ 1 2,2 2 40 2 d p x p + = −

(b) 2

1

1

90 3 7

2

d p

x

p

+ ⋅

= − 1

2 2 180 7 3 2 d p x p + ⋅ = − ⋅

(c) * 1

9 8

p = , * 2

9 16

p =

(d) _1,1 382 42, 4 9

d

x = = , _1,2 836 92,8 9

d

x = = , _2,1 320 35, 5 9

d

x = = y _2,2 640 71,1 9

d

x = =

Ejercicio 16 Considere ahora la siguiente economía con dos agentes, dos bienes y un período:

1,1 1,2

(ω ω, ) (1,0)= 2,1 2,2

1

1,1 1,2 1,1 1,2

u(x ,x ) (₌ x ) (α_⋅ x )−α _{, 0< <α 1} 1

2,1 2,2 2,1 2,2

u(x ,x ) (₌ x ) (β_⋅ x )−β_{, 0< <β 1}

(a) Plantee el problema que resuelven los agentes y obtenga las funciones de demanda de cada uno de los bienes.

(b) Determine las funciones de demanda de mercado. (c) Obtenga el precio (relativo) de equilibrio.

(d) Calcule las cantidades demandadas al precio de equilibrio.

(e) Muestre que luego del intercambio el bienestar de ambos agentes mejora.

Ejercicio 17 (Selección de cartera de inversión óptima) Un agente dispone de cierta cantidad de dinero con el fin de invertir en tres activos financieros: x₀, x₁ y x₂. El primer activo es un activo libre de riesgo (su rendimiento se conoce con certeza) mientras los dos restantes son activos riesgosos (sus rendimientos son variables aleatorias). Denotemos por µ₀ el rendimiento del activo libre de riesgo y por r₁ y r₂

los rendimientos asociados a cada uno de los activos riesgosos. De la distribución de probabilidades de los activos riesgosos se conocen los momentos de primer y segundo orden: los rendimientos esperados de los activos, µ₁≡E( )r₁ y µ₂ ≡E( )r₂ , y

las varianzas y covarianza, 2 2

1 E (r1 1)

σ ≡ _ −µ _, 2 2 2 E (r2 2)

σ ≡ _ −µ _ y

(

) (

)

σ_1,2 ≡E_ r₁−µ₁ ⋅ r₂−µ_{2 }. Si el agente invierte las cantidades x₀, x₁ y x₂ en cada uno de los activos el rendimiento esperado de la cartera, R≡µ₀⋅ + ⋅ + ⋅x₀ r x_{1 1} r x_{2 2}, es

( )

=µ₀⋅ +₀ µ₁⋅ +₁ µ₂⋅ ₂

E R x x x mientras su varianza, 2 _{E( E( ))}2

R R r

σ ≡ − , viene dada por

2 2 2 2 2

1 1 2 1,2 1 2 2 2

R x x x x

σ =σ ⋅ + ⋅σ ⋅ ⋅ +σ ⋅ . Finalmente, la suma de los valores invertidos en cada activo debe ser igual a la cantidad de dinero a invertir; en términos de proporciones podemos escribir: x₀+x₁+x₂ =1.

Suponga que el agente desea encontrar las proporciones x0, x1 y x2 tal que la varianza de la cartera sea mínima (asumir el mínimo riesgo posible) sujeta a un rendimiento esperado determinado y a la restricción de presupuesto. Es decir:

0 1 2

2 2 2 2

1 1 1,2 1 2 2 2

, ,

Min 2

x x x σ ⋅x + ⋅σ ⋅ ⋅ +x x σ ⋅x

s.a: 0 0 1 1 2 2

0 1 2 1

x x x R

x x x

µ µ µ

 ⋅ + ⋅ + ⋅ =

 _{+ + =}



(a) Determine las cantidades óptimas invertidas en cada activo. Respuestas:

2

1 2 2 1,2

*

1 2 2 2 2

1 2 2 1 2 1,2 2 1

x µ σ µ σ R

µ σ µ µ σ µ σ

⋅ − ⋅

= ⋅

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

2

2 1 1 1,2

*

2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 1,2 2 1

x µ σ µ σ R

µ σ µ µ σ µ σ

⋅ − ⋅

= ⋅

Ejercicio 18 (Asignación de un bien público) Un bien público es un bien cuyo servicio de consumo por parte de un agente no excluye la posibilidad que otros agentes también lo consuman (ej: alumbrado público). Suponga que la utilidad depende del consumo de dos bienes, un bien privado x y un bien público g. En la economía existen dos tipos de consumidores cuyas funciones de utilidad son:

(

)

1 1 1

u x G, =x + ⋅a G (a>0) u₂

(

x G₂,

)

=x₂+ ⋅b G (b>0), donde G g≡ ₁+g₂. Note que, al ser g un bien público, la utilidad de cada consumidor depende también de la demanda que realice del bien el otro consumidor. El problema se puede resolver de dos formas, dependiendo de cómo se decida que se suministre el bien.

(i) Problema descentralizado: cada consumidor maximiza su utilidad sujeta a una restricción de presupuesto (en la elección también se encuentra el bien público).

Consumidor 1 Consumidor 2

(

)

1, 1 1 1 1 1 2

Max u , e

g x x G =x + ⋅a g +g 2, 2 2

(

2

)

2 1 2

Max u , e

g x x G =x + ⋅b g +g

s.a: w1= x1+g1 s.a: w2 = x2+g2,

donde w₁ yw₂ denotan, respectivamente, la renta de cada uno de los consumidores (los precios de los bienes se asumen unitarios). Por las características de los bienes públicos, cuando cada uno de los consumidores elige su cesta de consumo óptima debe formarse una expectativa sobre lo que cree que aportará el otro del bien público (estas son: _ge

1 y

e g₂).

(a) Muestre que las funciones de demanda del bien público para cada uno de los agentes vienen dadas por:

2

1 2

4

e

a

g = −g y _g b _ge

1 2 2 = ₄ −

(b) Muestre que si el consumidor 1 valora más el consumo del bien público que el consumidor 2, es decir a b> , entonces el segundo consumidor no demanda ninguna unidad del bien público, *

2 0

g = , en tanto el primer consumidor demanda

* 2

1 4

g =a .

(ii) Problema centralizado: teniendo en cuenta las funciones de utilidad de los agentes un “planificador benevolente” decide en forma agregada cuál es la cantidad óptima del bien público que se debe suministrar.

(

)

(

)

1, ,2 1 2 1 2

Max U , ,

x x G x x G =x +x + + ⋅a b G

s.a: w1+w2 =x1+x2+G

(c) Muestre que la cantidad óptima del bien público es _G* ₌

(

(

_{a b+}

)

₂

)

2_.

Respuesta:

(d)

2 2

* * *

1 2 1 2 1 2

U u u

2 4 2

a b a a b

w w  +  w w ⋅

= + +_{ } > + = + + +

 

Ejercicio 19 (Extracción de señales) Suponga que deseamos estimar una variable aleatoria ε_t pero solamente podemos observar la variable aleatoria y_t. Esta última variable está compuesta por la suma de la componente εt (variable “oculta”) más otra

variable aleatoria η_t (“ruido”):

t t t

y = +ε η ,

donde se asume que los siguientes momentos de las distribuciones son conocidos por el observador: E

( )

ε_t =0, E

( )

η_t =0, E

(

ε η_t⋅ _t

)

=0, _E

( )

2 2

t ε

ε =σ y _E

( )

2 2

t η

η =σ . El problema consiste determinar la predicción óptima de ε_t (que llamaremos *

t

ε ) condicionada a la observación de y_t. La predicción lineal óptima de ε_t es de la forma

*

t a b yt

ε

= + ⋅ , siendo a y b dos constantes a estimar. El criterio que utilizamos para determinarlas es el siguiente:

(

_*

)

2 ,

Min E _{t t}

a b ε ε−

s.a: y_t = +ε η_{t t}

(a) Determine la predicción óptima de εt.

(b) Una aplicación del problema anterior es la siguiente [Sargent, 1987]: para determinar su oferta de trabajo un trabajador debe estimar el salario real, w; sin embargo solo observa el salario nominal que le ofrecen, W . Si suponemos que conoce la distribución de probabilidades del índice del nivel de precios de la economía, P, y del salario real entonces el problema, equivalente al anterior, se puede escribir como: _N

(

)

_N

t _{t t} t

t t t

y _w

W W P P

η ε=

= − +

.

Respuesta: a=0, b ₂ ε2 ₂

ε η

σ

σ σ

=

+ y

2 *

2 2

t ε yt

ε η

σ ε

σ σ

= ⋅

+ .

Ejercicio 20 Determine la predicción óptima de ε_t si E

( )

ε_t =µ mientras los restantes momentos son los mismos.

Respuesta:

2 2

*

2 2 2 2

t yt

η ε

ε η ε η

σ σ

ε µ

σ σ σ σ

= ⋅ + ⋅

+ +

M con probabilidad π_M (π_B+π_M =1). En la economía existen dos activos contingentes. El primer activo, b_1,B, tiene un retorno en el segundo período igual a 1 si el estado B se realiza e igual a 0 en caso contrario (si el estado M se realiza). Un segundo activo ,b_1,M, paga 1 si el estado M se realiza y 0 en caso contrario. Los precios de estos activos en el período 1 son p_B y p_M, respectivamente. El problema puede plantearse de la siguiente manera:

( )

( )

(

)

1 2 , 2 , 1 , 1 ,

1 2, 2,

, , , ,

Max u u u

B M B M

B B M M

c c c

b b

c + ⋅β π_ ⋅ c +π c _, con: u

( )

c =lnc

s.a:

1 1 1, 1,

2, 1, 2,

2, 1, 2,

1 1

B B M M

B B B

M M M

y c p b p b

y b c

y b c

= + ⋅ + ⋅



 _{+ ⋅ =}



 _{+ ⋅ =}



Note que al existir incertidumbre con respecto al ingreso del segundo período la utilidad en éste período es esperada. La primera restricción indica que el ingreso del primer período se puede destinar a consumo y la compra (venta) de los dos activos contingentes de la economía. El último par de restricciones especifican cuál puede ser el nivel de consumo en el segundo período dependiendo del estado de la naturaleza que se realice.

(a) Determine la demanda de consumo óptima.

(b) Suponga

(

p p_{B M}

) (

= π π_{B M}

)

, es decir, los precios de los activos reflejan la probabilidad de ocurrencia de los estados contra los que aseguran. Determine, entonces, cómo puede ser el consumo en el período 2 cuando los precios de los activos son actuarialmente justos.

Respuesta:

1 ₁

W c

β

=

+ , W ≡

(

y1+p yB⋅ 2 ,B+pM⋅y2,M

)

(

)

2,B ₁ B

B

c W

p

β π β

⋅

= ⋅

+ ⋅ , 2,M

(

₁

)

M

M

c W

p

β π β

⋅

= ⋅

+ ⋅ ,

Ejercicio 22 (Selección de cartera) Suponga un agente que posee una riqueza W para invertir en dos activos: un activo sin riesgo cuyo rendimiento bruto es R₀ y un activo riesgoso cuyo rendimiento depende del estado de la naturaleza que se realice. En el estado B su rendimiento es R_B y en el estado M igual a R_M. El objetivo del agente es determinar la proporción de cada uno de los activos en la cartera, α, tal que maximizan la utilidad esperada del consumo:

( )

( )

, ,

Max u u

B M B B M M

c c α π ⋅ c +π c , u

( )

c =lnc y πB+πM =1

s.a:

(

)

(

)

0

0 1

1

B B

M M

c R R W

c R R W

α α

α α

 = ⋅ + − ⋅ ⋅

  



= ⋅ + − ⋅ ⋅

  

(a) Determine la cartera de inversión óptima si la probabilidad del estado B, π_B, es igual a 0,7 .

Respuesta: α=0,65

Ejercicio 23 (Especulación óptima [Muth, 1961]) Considere un agente que especula con el precio de un commodity con el objetivo de obtener ganancias de capital. El beneficio de especulación entre los períodos t y t+1 a ser realizado viene dado por:

(

1

)

t It pt pt

π = ⋅ + −

donde I_t es la demanda especulativa de inventarios a fines del período t, p_t el precio de compra del bien en t y p_t+₁ el precio del período siguiente (desconocido desde t). Suponga que la utilidad del beneficio es una función u_t =φ π

( )

_t . Considere una aproximación de segundo orden alrededor de πt =0:

( )

( )

( )

( )

2 u_t ≅φ 0 +φ′ 0 ⋅ +π_t 1 2 ⋅φ′′ 0 ⋅π_t

Se supone además que pt+1 es una variable aleatoria cuya esperanza es

(

)

1 E 1

e

t t

p+ = p+ t , mientras que la varianza del error de pronóstico es

(

)

2

2

,1 E 1 e 1

t pt pt t

σ = _ + − + _. El problema consiste en determinar la demanda por inventarios óptima, It; es decir, aquella que maximiza el valor esperado de la

utilidad:

( )

( )

( )

( )

2

Max u 0 0 1 2 0

t t t t

I ≅φ +φ′ ⋅ +π ⋅φ′′ ⋅π

Determine la demanda óptima de inventarios y estudie cómo cambia frente a variaciones en el precio esperado para el próximo período.

Respuesta:

( )

(

)

( )

(

)

1

2 2

,1 1

0 0

e

t t

t _e

t t t

p p

I

p p

φ

φ σ

+

+

′ ⋅ −

=

 

′′ ⋅_ + − _