119 UNIDAD 8: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Definición

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Texto completo

(1)

UNIDAD 8: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición

Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, entonces la integral

∞ −

0 st

e f(t) dt =

∞ →

b

lim

b

st

e

0

f(t) dt

se llama transformada de Laplace de f, siempre que el límite exista.

Simbólicamente la transformada de Laplace de f se denota por L{f(t)} y como el resultado depende de s, escribiremos.

L {f(t)} = F (s)

Ejemplo

Calcular L{1}

Respuesta

L{1} =

∞ −

0 st

e (1)dt =

∞ →

b lim

b st

e

0

dt =

∞ →

b lim

0 b

s est

− =

∞ →

b lim

s s s

e sb 1 1

= +

− − , s > 0.

Salvo consideraciones matemáticas que en este caso no veremos, L es un operador lineal

L{αf(t) + βg(t)} =

0

e-st[αf(t) + βg(t)]dt = α

0

e-st f(t)dt + β

0

e-st g(t)dt = αL(f(t))+ βL(g(t))

∴ L{αf(t) + βg(t)} = αL{f(t)} + βL{g(t)}

Condiciones suficientes para la existencia del L{f(t)}

La integral que define la transformada de Laplace no converge necesariamente.

Ejemplos

L

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

t 1

, L

{ }

et2 no existen

Las condiciones que garantizan la existencia de L{f(t)} son: que f sea continua, parte por parte, para t ≥ 0 y que sea de orden exponencial para t > T.

f es continua, parte por parte, para t ≥ 0, si en cualquier intervalo 0 ≤ a ≤ t ≤ b, existe a lo sumo un número finito de puntos tk, con k = 1,2,…,n, (tk-1 < tk), en los que f tiene

discontinuidades finitas y es continua en cada intervalo abierto tk-1 < t < tk.

(2)

Ejemplos

f(t) = t, f(t) = e-t, f(t) = 2 cos(t) son de orden exponencial para t > 0, pues, | t | ≤ et, |e-t| ≤ et, |2 cos t| ≤ 2 et, t > 0

Teorema

Sea f(t) continua parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial para t > T ; entonces L{f(t)} existe para s > c.

Demostración

L{f(t)} =

0

e-st f(t)dt =

t

0

e-st f(t)dt +

t

e-st f(t)dt = I1 + I2

I1 existe, ya que puede escribirse como una suma de integrales sobre intervalos en los cuales f es

continua.

I2 existe ya que: | I2 | ≤

t

e-st |f(t)| dt ≤ M

t

e-st ect dt = M

t

e-(s – c)t dt = -M

∞ →

blim s c

e s ct

−( ) b

t

|

=

M c s e s ct

− −( )

, s > c.

Nota

Las condiciones del teorema son suficientes pero no necesarios para la existencia de la transformada de Laplace, por ejemplo f(t) = t – ½ no es continua, parte por parte, para t ≥ 0; pero su transformada de Laplace existe.

Ejemplos

1) L{1} =

s

1 , s > 0

2) L{ t } =

0 e

-st

t dt =

∞ →

b lim

b

0 e

-st

t dt =

∞ →

b

lim ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− −

) 1 (

2 st

s

e st b

0 |

=

∞ →

b

lim 2 ( 1) ( 02 1)

s sb

s

e sb − − −

− − −

= 12

s , s > 0

3) L{eat} =

0 e

-st

eat dt =

∞ →

b lim

b

0 e

-(s-a)t

dt

=

∞ →

b lim

b t a s

a s e

0 ) (

)

( ⎥

⎤ ⎢

⎣ ⎡

− −

− −

=

∞ →

b lim

a s e s ab

− −( )

= a s

1

si s > a.

Ejercicios propuestos:

Determinar las siguientes transformadas de Laplace.

1) L{e-3t } 2) L{sen 2t}

(3)

5) L{t2 e-2t} 6) L{f (t)}, para f (t) = ⎩ ⎨ ⎧

≥ < ≤

3 ,

2

3 0

, 0

t

t

Respuestas

1) Como L{eat} = a s

1

, si s > a

∴ L{e-3t} = 3 1

+

s , si s > -3

2) L{sen 2t} =

∞ →

b lim

b

0 e

-st

sen 2t dt = 4 2 2 +

s , s > 0

3) L{3t – 5 sen 2t}= 3L(t) – 5L(sen 2t } = 3 ⋅ 12

s - 5 ⋅ 4

2 2 +

s = ( 4)

12 7

2 2

2

+ + −

s s

s

, s > 0

4) L{t e-2t} =

∞ →

b lim

b

0 e

-st

te-2t dt = 2 ) 2 (

1

+

s , s > -2

5) L{t2 e-2t} =

∞ →

b lim

b

0 e

-st

te-2t dt = 3 ) 2 (

1

+

s , s > -2

6) L{f(t)} =

0 e

-st

f(t) dt =

3

0 e

-st

f(t)dt +

3 e

-st

f(t)dt

∞ →

b lim 2

b

3 e

-st

dt =

∞ →

b lim

s e st

2

b

3 = blim→∞ ⎥

⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ −

− −

s e s

e sb 2 3s 2

= s e 3s 2 −

(4)

Lista de transformadas de Laplace

N° f(t) F (s) = L ( f (t))

1 1

s 1

, s > 0

2 t 12

s , s > 0

3 tn , n = 0, 1, 2,…. n+!1

s n

, s > 0

4 eat

a s

1

, s > a

5 sen (at) 2 2

a s

a

+ , s > 0

6 cos (at) 2 2

a s

s

+ , s > 0

7 sen h (at) 2 2

a s

a

− , s > | a |

8 cos h (at) 2 2

a s

s

− , s > | a |

9 eat sen ( bt ) 2 2

)

(s a b

b

+

− , s > a

10 eat cos ( bt ) 2 2

)

(s a b

a s

+ −

, s > a

11 t sen ( at ) 2 2 2

) (

2 a s

as

+ , s > 0

12 t cos ( at ) 2 2 2

2 2

)

(s a

a s

+ −

(5)

Ejercicio:

Calcular: L

{

3−5e2t +4sent−7cos3t

}

La transformada inversa

Si L{f(t)} = F(s), entonces f (t) = L-1{F(s)} es la transformada inversa de Laplace de F(s).

Nota: La transformada inversa de Laplace, de una función F(s) puede no ser única.

Ejemplos de transformadas inversas

1) 1 = L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

s 1

2) tn = L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

+1 n s

n

, n ∈ IN

3) eat = L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

a s

1

4) sen(at) = L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ 2 2

a s

a

5) cos(at) = L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ 2 2

a s

s

6) senh(at) = L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

− 2 2

a s

a

7) cosh(at) = L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

− 2 2

a s

s

L-1 también es un operador lineal

L-1{α F(s) + βG(s)} = αL-1{F(s)} + βL-1{G(s)}

Ejemplos

1) L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

5 1

s = 4! 1

L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

5 ! 4

s = 24 1

t4.

2) L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ +

7 5 3

2 s

s

= 3L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+7 2 s

s +

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+

7 7

7 5

2 1

s

L = 3 cos t sen 7t

7 5

7 +

Nota

El uso de las fracciones parciales es muy importante en la búsqueda de transformadas inversas de Laplace.

Ejercicios

1) L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ + + + − =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ + −

4 2

1 )

4 )( 2 )( 1 (

1 1

s C s

B s

A L s

s

s = L

-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ + + −

− 4

10 / 1 2 6 / 1 1 15 / 1

s s

(6)

= 15 1 L-1 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − 4 1 10 1 2 1 6 1 1

1 1 1

s L s

L

s = 15e

t

- 6 1

e-2t + 10 1 e-4t 2) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − + + + − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + + + + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + − − − 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1 ) 2 ( 4 / 1 ) 2 ( 16 / 1 8 / 1 16 / 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 s s s s L s E s D s C s B s A L s s s L = -⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − − 2 2 8 1 2 1 16 1 1 8 1 1 16

1 1 1

2 1 1 s L s L s L s

L = - t e 2t t2e 2t

8 1 16 1 8 1 16

1 + +

Nota

si f (t) = tn-1 e-at , F (s) = n a s n ) ( )! 1 ( + −

3) L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − − 4 ) 4 ( 2 3 2 3 2 1 2 3 s E Ds s C s B s A L s s s

= L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − − + − + 4 4 / 3 8 / 1 2 / 1 4 / 3 8 / 1 2 3 2 s s s s = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − 3 1 2 1 1 2 4 1 1 4 3 1 8 1 s L s L s

L =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − − − 4 2 8 3 4 8 1 2 1 2 1 s L s s L

= t t t sen2t

8 3 2 cos 8 1 4 1 4 3 8

1− − 2 − −

Observación

Si f(t) es continua parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial para t > T, entonces

∞ →

s

lim L {f (t)} = 0

Ejemplo

F(s) = s2 no es la transformada de Laplace de ninguna función continua parte por parte, de orden exponencial, ya que F(s) →∞ cuando s →∞ . Luego L-1 {F(s)} no existe.

Propiedades operacionales de la transformada de Laplace

1) Teorema de traslación 1

si L{f} = F(s), cuando s > so, entonces para cualquier constante a ∈ IR, se tiene:

L{eat f (t)} = F (s – a) , s > so + a. Demostración:

L {eat f(t)} =

0 e

-st

eat f(t) dt =

0 e

-(s-a)t

(7)

Ejemplo

Como L {cosh , 8

8 }

8 2 >

= s

s s

t entonces

L { e-3t cosh , 8 3

8 ) 3 (

3 }

8 2 > −

− +

+

= s

s s

t

Recíproco del teorema

eat f(t) = L-1 {F (s – a)}

Ejemplo

L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ + =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ +

2 ) 3 ( 11

6 2

1 2

s s L

s s

s

= L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ + − + +

+ =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ +

+ −

2 ) 3 (

3 2

) 3 (

3 2

) 3 (

3 3

2 2

1 2

s s

s L

s s

=

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ + −

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ +

+ −

2 ) 3 (

1 3

2 ) 3 (

3

2 1

2 1

s L s

s

L = e-3t cos t e tsen 2t

2 3

2 − −3

Definición: La función escalón unitaria o función de Heaviside

(De gran aplicación en ingeniería en fuerzas externas o voltajes a un circuito que pueden desconectarse)

U (t – a) =

⎩ ⎨ ⎧

≥ < ≤

a t

a t

, 1

0 , 0

Ejemplos

1) U (t) = U (t – 0) = { 1 , t ≥ 0 2) U (t – 2) =

⎩ ⎨ ⎧

≥ < ≤

2 ,

1

2 0

, 0

t t

3)f (t) = sen t U (t - 2π) , t ≥ 0 f (t) =

⎩ ⎨ ⎧

≥ < ≤

π π 2 ,

2 0

, 0

t sent

t U(t - 2π) =

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≥ < ≤

π π

2 ,

1

2 0

, 0

t t

4)f (t) = (t – 2)3 U(t – 2) f (t) =

⎩ ⎨ ⎧

≥ −

< ≤

2 , ) 2 (

2 0

, 0

3 t

t

t U(t - 2) =

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≥ < ≤

2 ,

1

2 0

, 0

t t

2) Teorema de traslación 2

Si a > 0, entonces

L { f (t – a) U (t – a)} = e-as L (f {t}) = e-as F (s)

Ejemplos

1) L {(t – 2)3 U (t – 2)} = e-2s L (t3) = e-2s 34! s = 4

6 s e

-2s

(8)

3) L {f (t)}, f (t) = 2 – 3 U (t – 2) + U (t – 3)

L {f (t)} = L (2) – 3 L (U (t – 2)) + L (U (t – 3)) = s 2

- 3 s e−2s

+ s e−3s

4) L {sen t U (t - 2π)} = L {sen (t - 2π) U (t - 2π)}, pues sen es periódica = e-2πs L (sen t) =

1 2

2

+

s e πs

Teorema de traslación 2 recíproco

Si a > 0 y f(t) = L-1 (F(s)), entonces f (t – a) U (t – a) = L-1 (e-as F(s))

Ejemplo

L-1

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+

9 2

2

s e

s π

a =

2

π

y f (x) = L-1 ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+9 1 2

s = 3

1

sen 3t

= ( /2)

9 3 3

1 2

1 −π

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+

t U s

L =

3 1

sen 3 (t - 2

π

) U ( t - 2

π

) = 3 1

(cos 3 t) U ( t - 2

π

)

Nota

{

f(t)U(t c)

}

e L

{

f(t c)

}

L − = −sc +

3) Derivada de una transformada

Si L (f (t)) = F(s), entonces L (tn f (t)) = (- 1)n F(n) (s), n ∈ IN; F(n) (s) = n n

ds s F d ( )

Demostración (para n = 1)

Sea F(s) =

est

0 f(t) dt derivando en ambos lados

F’ (s) = ds

d

est

0 f(t) dt = ds

( )

e f t dt d st

) ( 0

− ∞

= te st f(t)dt

0

− ∞

= - L ( t f (t))

Nota:

ds d

dt t s G

b

a ( , )

= s t dt

s G b

a ∂ ( , )

(regla de Leibniz)

Ejemplos

1) L (t sen t) = - ds

d

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+1 1 2

s = 2 2

) 1 (

2

+

s s

; s > 0

2) L (t2 sen t) = (- 1)2 2 2

ds d

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+1 1 2

s = 2 3

2

) 1 (

2 6

+ −

s s

, s > 0

3) L-1 ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ 2 2

) 1 (

2

s s

(9)

4) L-1 ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

3 2

2

) 1 (

2 6

s s

= t2 sen t

Nota:

L-1 (F(n) (s)) = (- 1)n⋅ tn f (t)

Convolución

Si dos funciones f y g son continuas, parte por parte, para t ≥ 0, entonces su convolución, denotada por fg , está definida por:

fg =

t

0 f(τ) g ( t - τ ) dτ

Ejemplo

La convolución de f (t) = et y g (t) = sen t es

(

)

( ( ) cos() )

2 1 2

) cos( ) ( ( 2 )

cos( ) ( 2 )

( )

(

0 0

t t

t t

t

e t t

sen t

t sen e

t t

sen e d t sen e t sen

e = − + = − − +

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− + − =

=

τ τ τ τ τ τ

Nota:

La convolución, con frecuencia, es útil para resolver ecuaciones integrales donde la función desconocida a ser determinada está bajo el signo de la integral. Por otra parte, la convolución nos entrega un método para determinar transformadas inversas de ciertas funciones.

4) Teorema de la convolución

Sean f(t) y g(t) continuas parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial. Entonces

L {f ∗ g} = L {f(t)} L {g(t)} = F(s) G(s)

Ejemplo

L

{

te sen td

}

0 ( τ) τ

τ

= L {et} L {sen t} =

) 1 )( 1 (

1 1

1 1 1

2

2 + = − +

s s s

s

Observación:

f ∗ g = L-1 {F(s) ⋅ G(s)}

Ejemplo

L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ ⋅ − =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ −

4 1 1 1 )

4 )( 1 (

1 1

s s L s

s

L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

−1 1

s = e

t

= f (t) L-1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

+4 1

s = e

-4t

= g (t)

t t

t x t t

t

t t

t

e e e

e d e e d e e d

t g f s

s

L 4

0 5 4

0 5 4

0

) ( 4

0 1

5 1 5 1 5

1 )

( ) ( )

4 )( 1 (

1 − − − − −

= = = = =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+

τ τ τ

τ

τ

τ τ

(10)

(También se puede hacer por fracciones parciales)

5) Transformada de una función periódica

Sea f función periódica, con período T, T > 0 entonces f (t + T) = f (t), ∀ t ≥ 0

Teorema

Sea f(t) continua parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial. Si f (t) es periódica de período T, entonces: L (f (t)) =

T sT

e 0

1 1

e-st f(t) dt

Demostración :

Sea a)

⎪⎩ ⎪ ⎨

⎧ < <

=

tervalo in

del fuera

T t t

f t fT

, 0

0 .... ... ), ( )

(

b)

{

}

+∞ −

=

0

) ( )

(t e f t dt f

L st T

T

c) fT (t) = fT (t)+ fT (t - T) U (t – T) + fT (t – 2T) U (t – 2T) + ...

L{f} = L{fT} + L{fT (t - T) U (t – T)} + ...

L{f} = L{fT} + L{fT}e-sT + ...

L{f} = ( )

[

1 2 ...

]

0

+ +

+ − −

sT s T

T st

e e dt t f

e = sT

T st

e dt t f

e

− ⋅

( ) 1 1

0

Serie geométrica con razón r = e-sT , con suma (1/1 - r)

Ejemplo

Hallar la transformada de Laplace de la función periódica cuyo gráfico es : f(t)

1

t 1 2 3 4

Respuesta

f(t) =

⎩ ⎨ ⎧

< ≤

< ≤

2 1

, 0

1 0 ,

t t t

, fuera del intervalo f (t + 2) = f (t), T = 2 (período)

L (f (t)) =

2

0 2 1

1 s

e e

-st

f (t) dt = ⎢⎣⎡ + ⋅ ⎥⎦

− −

1

0

2

1 2

1 1

odt e

tdt e e

st st

s

=

1

0 2 2

1 1

1

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎡ −

+ − −

− −

s e s

e e

st st

s =

) 1 (

) 1 ( 1

2

2 s

s

e s

e s

− −

− + −

6) Transformada de una derivada

Si f(t), f’(t), ….. , f(n-1) (t) son continuas para t ≥ 0 y de orden exponencial y si fn (t) es continua parte por parte para todo t ≥ 0, entonces:

(11)

en donde F(s) = L {f (t)}

Nota

a) L {f’} = s L (f) – f (0)

b) L {f”} = s2 L (f) – s f (0) – f ’(0)

c) L {f’’’} = s3 L (f) – s2 f (0) – s f’(0) – f”(0)

d) L {fIV} = s4 L (f) – s3 f(0) – s2 f ’(0) – s f”(0) – f ’’’(0)

Demostración de a):

L {f’}=

+∞ −

0

) ( ' t dt f e st

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ =

=

− −

+∞ →

− +∞ →

b st b

st b

b st b

dt t f e s t f e

dt t f e

0 0 0

) ( ' 1

! ) ( ' lim

) ( ' lim

) (

) ( '

t f v s e du

dt t f dv e

u

st st

= −

=

= =

− −

[

]

) 0 ( } {

} { ) 0 ( )

(

lim 0

f f sL

f sL f

e b f e sb b

− =

+ −

= −

+∞

, pues |f (b)| Meαb

, -s + α < 0, α < s

Ejemplo

Sea f (t) = t cos (at)

f’ (t) = cos (at) – at sen (at)

f” (t) = a sen (at) – a sen (at) – a2t cos (at) = - 2a sen (at) – a2 t cos (at)

∴ L{f”} = L { - 2a sen at – a2 t cos at} = - 2a L { sen at} – a2 L { t cos at}

= 2a 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

) (

) 3

( )

( (

a s

a s a a

s a s a a s

a

+ + −

= +

− −

+

Por otra parte

L {f”} = s2 L (f) – sf (0) – f’(0) = s2 L (t cos at) – s ⋅ 0 – 1

= s2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

) (

) 3

( 1

) (

) (

a s

a s a a

s a s

+ + −

= − +

Aplicación de la transformada de Laplace a ecuaciones diferenciales

Consideremos las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. y(n) (t) + a1 y(n-1) (t) +---+ an y(t) = F(t)

con las condiciones iniciales y(0) = A0 , y’(0) = A1 , ---, y(n-1) (0) = An-1

Procedimiento

Se aplica la transformación de Laplace a cada lado de la ecuación diferencial y se utilizan las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones iniciales, obteniéndose una ecuación algebraica en “s”. Aplicando la transformación inversa se logra la solución de la ecuación diferencial.

(12)

Ejercicios propuestos de aplicación de la transformada de Laplace en lasolución de Ec. Dif.

1) Resolver y” (t) + y’ (t) + y (t) = t, y (0) = 0, y’ (0) = 1

2) Resolver y” + y = 16 cos t, y(0) = 0, y’ (0) = 0

3) Resolver y” + 2y’ + 5y = 0, y(0) = 3, y’ (0) = -7

4) Resolver y” – 3y’ + 2y = 12 e4t, y(0) = 1, y’ (0) = 0

5) Determinar la ecuación del movimiento de un resorte con constante k = 16, al cual está sujeta una masa de 1 libra y existe una fuerza externa f(t)

f(t) =

⎩ ⎨ ⎧

= ≥

= <

1 ) 0 ( ' ,

0

0 ) 0 ( 0

, 4 cos

x t

x t

t

π π

Indicación: f(t) = cos 4t – cos 4t U (t - π)

6) Resolver y” + 2y’ + y = f (t) donde f(t) = U( t – 1) – 2U(t-2) + U(t-3) ∧ y(0) = 0, y’ (0) = 0 7) Resolver la siguiente ecuación integral.

f(t) = 3t2 – e-t -

t f τ et−τdτ

0 ( )

8) La corriente en un circuito con una resistencia R, una inductancia L y una capacitancia C, está regida (según las leyes de Kirchoff) por la ecuación integro-diferencial.

=

+

+ ti d E t

C Ri dt di L

0 ( ) ( )

1 τ τ

, donde E(t) es la tensión suministrada

Determinar la corriente i(t) si L = 0,1H, R = 20 Ω, C = 10-3F, i(0) = 0 y E(t) es la tensión aplicada como se muestra la figura.

E(t)

120

t 1

Desarrollo de algunos ejercicios propuestos

1) Resolver y” (t) + y’ (t) + y (t) = t , y (0) = 0 , y’ (0) = 1

Respuesta

L (y” (t) + y’ (t) + y (t)) = L (t)

L (y” (t)) + L (y’ (t)) + L (y (t)) = L (t)

(13)

L (y) [s2 + s + 1] - 1 = 12 s

L (y) [s2 + s + 1] = 1 + 12 s

L (y) [s2 + s + 1] = 2 2

1 s s +

L (y) =

) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + = + + + s s s s s s s s s s s

L (y) =

) 1 ( 1 1 1 2 2

2 + + + + +

s s s s s

L (y) =

1 1 1 2 0 1 2 1 1

2 + +

+ + + + + + = = = − = s s D s C s B s A s s

L (y) =

1 1 1 1 1 2 2

2 + + + − + + +

s s s s s s s

L (y) =

4 3 2 1 1 1 4 3 2 1 1 2 2 2 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ + s

s s

s s

L (y) =

4 3 2 1 2 / 1 1 1 4 3 2 1 2 / 1 2 2 2 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ + s

s s s s

y =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − − 4 3 2 1 2 / 1 1 1 4 3 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 1 2 1 s s L s L s L s L

y = e sen t t e t

t t 2 3 cos 1 2 3 3

1 −22

+ − +

y (t) = 1

2 3 cos 2 3 3 3

2 + −

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − t t t sen e t

2) Resolver y” + y = 16 cos t y(0) = 0 , y’ (0) = 0

Respuesta

L (y”) + L (y) = 16L (cos t)

s2 L (y) – s y(0) – y’ (0) + L (y) = 16 1 2 + s

s

L (y) [s2 + 1] = 1 16

2 + s

s

L (y) = 2 2

(14)

y = 8 L-1 ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ 2 2

) 1 (

2

s s

y (t) = 8 t sen t

3) Resolver y” + 2y’ + 5y = 0 , y(0) = 3 , y’ (0) = - 7

Respuesta

L (y”) + 2L(y’) + 5 L (y) = 0

s2 L(y) – s y (0) - y’(0) + 2s L (y) – 2y (0) + 5 L (y) = 0 L (y) [s2 + 2s + 5] - 3s + 7 – 6 = 0

L(y) [s2 + 2s + 5] = 3s – 1

L(y) =

5 2

1 3

2 + +

s s

s

y (t) = L-1 ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

− + =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ +

− −

2 2 1

2

2 ) 1 (

4 ) 1 ( 3 5

2 1 3

s s L s

s s

= L-1 ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ + − + +

+

2 2 2

2

2 ) 1 (

4 2

) 1 (

) 1 ( 3

s s

s

= 3 L-1 ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ + −

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

+ −

2 2 1

2 2

2 ) 1 (

2 2

4 2 ) 1 (

) 1 (

s L s

s

= 3 e-t cos (2t) – 2 e-t sen (2t)

y(t) = e-t (3 cos 2t – 2 sen 2t ) = e-t (3 cos 2 t – 2 sen 2t )

4) Resolver y” – 3y’ + 2y = 12 e4t, y (0) = 1 , y’ (0) = 0

Respuesta

L (y”) – 3 L (y’) + 2 L (y) = 12 (e4t)

s2 L (y) – s y (0) – y’ (0) – 3 s L (y) + 3y (0) + 2 L (y) = 12 L (e4t)

L (y) [s2 – 3s + 2] - s + 3 = 12 4 1

s

L (y) [s2 – 3s + 2] = 4 12

s + s – 3

L (y) [s2 – 3s + 2] =

4 ) 4 )( 3 ( 12

− − − +

s s s

L (y) =

) 1 )( 2 )( 4 (

24 7 )

2 3 )( 4 (

12 7

12 2

2 2

− − −

+ − =

+ − −

+ − +

s s s

s s s

s s

s s

L (y) =

4 2

1 )

4 )( 2 )( 1 (

24 7 2

− + − + − = − − −

+ −

s C s

B s

A s

s s

s s

s2 - 7s + 24 = A (s-2) (1-4) + B(s-1) (s-4) + C (s-1) (s-2)

(15)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −

, 0

, 2

1 )

(t t0 a

a

δ

Si s = 2, 4 – 14 + 24 = B ⋅ 1 ⋅ (- 2), 14 = - 2B, B = - 7 Si s = 4, 16 – 28 + 24 = C ⋅ 3 ⋅ 2, 12 = 6C, C = 2

4 2 2 7 1 6 ) 4 )( 2 )( 1 (

24 7 2

− + − − − = − − −

+ −

s s

s s

s s

s s

∴ L (y) =

4 2 2 7 1 6

− + − −

s s

s

y(t) = 6 L-1 ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− −

4 1 2

2 1 7

1

1 1 1

s L s

L s

y(t) = 6 et – 7 e2t + 2 e4t

La función delta de Dirac

Cuando en un sistema mecánico actúa una fuerza externa, de gran magnitud, pero lo hace durante un tiempo muy corto, tenemos una fuerza de impulso. Por ejemplo, una descarga eléctrica sobre un objeto, un golpe violento a un objeto. Este tipo de fuerza puede ser modelada por la siguiente función:

Función impulso unitario

a t t o a t t

a t t a t

+ ≥ −

+ < < −

0 0

0 0

,

1/2a

2a

t0 -a t0 t0 + a

Esta función se llama impulso unitario, pues se cumple que

+∞

∞ −

=

− ) 1

(t t0 dt a

δ

Ejemplos:

1) Sea:

a = ½

Su gráfica es la siguiente:

⎩ ⎨ ⎧

≥ ∨ ≤

< < =

2 / 3 2

/ 1 ,

0

2 / 3 2

/ 1 ... ... , 1 ) 1 ( 2 / 1

t t

t t

(16)

1/2a = 1

a a

1/2 1 3/2

2) Sea:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≥ ≤

< < =

4 5 4

3 ,

0

4 5 4

3 ,

2 ) 1 (

4 / 1

t o t

t t

δ , a = ¼. Su gráfica es la siguiente:

1/2a = 2

3/4 1 5/4

Definición: Función delta de Dirac

Llamaremos función delta de Dirac a la expresión ( ) lim ( 0)

0

0 t t

t

t a

a

= −

→ δ

δ

Que se puede caracterizar mediante las dos propiedades siguientes:

a)

⎩ ⎨ ⎧

≠ = ∞ = −

0 0 0

, 0

, )

(

t t

t t t

t

δ b)

( − 0) =1

+∞

∞ −

dt t t

δ

Transformada de la función impulso unitario:

L{δa(t – t0)} = ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎛ − −

sa e e e

sa sa st

2

0

Transformada de la función delta de Dirac

L{δ(t – t0)}=

0 lim

a L {δa(t – t0)}=

0

st e

Ejercicio resueltos de la función delta de Dirac:

Resolver la ecuación diferencial y “ + y = δ(t - 2π), sujeto a: a) y(0) = 1, y’(0) = 0

b) y(0) = 0, y’(0) = 0

Respuesta:

a) Aplicando la transformada a la ecuación se tiene

(17)

L {y}=

1

1 2

2

2 + + +

s e s

s πs

, luego y(t) =

⎩ ⎨ ⎧

≥ +

< ≤

π π

2 ),

( ) cos(

2 0

), cos(

t t sen t

t t

b) L {y}= 1 2

2

+

s e πs

, luego y(t) = sen(t - 2π)U(t-2π) =

⎩ ⎨ ⎧

≥ < ≤

π π

2 ),

(

2 0

, 0

t t sen

t

Propiedades de la función delta

1) Si f(t) es una función continua en t = t0, entonces

(tt0)f(t)dt = f(t0)

+∞

∞ −

δ (propiedad

selectora). En efecto:

(tt0)f(t)dt =

(tt0)f(t0)dt = f(t0)

(tt0)dt = f(t0) +∞

∞ − +∞

∞ − +∞

∞ −

δ δ

δ

2) Si f(t) = e-st, entonces − − = − =

+∞

∞ −

0

)

( 0

st st

e dt e t t

δ L{δ(t – t0)}

3) L{eatδ(t – t0)}= 0

) (a st e

4) Si t0 = 0, entonces L{δ(t)} = 1.

5)

− ⎩

⎨ ⎧

> < =

1

1 0 )

(

a t

a t dt

a t

δ =U(ta) ∴δ(ta)=U'(ta)

6) L{t δ(t – 1)} = e-s

7) L{te-tδ(t + 1)} = 0 pues δ(t + 1) = 0, ∀ t≥0

-1 0

______________________________________________________________________________

Ejemplo 1: Evaluar

=

+∞

∞ −

dt t

e t )

2 (

2 π

δ I.

Como t0 = π/2, f(t) = 2

t

e− , luego f(t0) = f(π/2) = 4 2

π

e , por lo tanto I = 4

2

π

e

Ejemplo 2: Evaluar

− =

∞ −

du t u t

) ( 0

δ I.

Como δ(u – t0) = 0, si u < t0, luego I = 0, para t < t0. Si t > t0, entonces

( − 0) =1

+∞

∞ −

du t u

δ , luego

I = U(t-t0). Por lo tanto U’(t – t0) = δ(t – t0). Ejemplo 3: L{e-3tδ(t – π)}= e−π(s+3)

Ejemplo 4: L{etδ(t – 2)}= e−2(s−1)

Ejemplo 5: Resolver y ''+y =4δ(t−2π), tal que a) y (0) = 1, y’(0) = 0

(18)

Respuesta

a) s2L

{ }

ys+L

{ }

y =4e−2πs

{ }

1 4

1 2

2

2 + + +

= −

s e s

s y L

s π

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ + +

= − −

1 4 1 )

( 2

2

2 1

s e s

s L t y

s π

⎩ ⎨ ⎧

> +

< ≤ =

− −

+ =

π π

π π

2 ,

4 cos

2 0

, cos )

(

) 2 ( ) 2 ( 4 cos ) (

t sent t

t t

t y

t U t

sen t

t y

b)

{ }

1 4

2 2

+ = −

s e y L

s π

⎩ ⎨ ⎧

> < ≤ =

− −

=

π π π π

2 ,

4

2 0

, 0 ) (

) 2 ( ) 2 ( 4 ) (

t sent

t t

y

t U t

sen t

Figure

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