EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
VECTORES
1. Hallar un vector unitario ude la misma dirección que el vector v8i6j.Calcular otro vector ortogonal a v y de módulo 5.
2. Normaliza los vectores:
u=(1, 2)
v= (-4,3)
3. Si M(2,1), M´(3,3), M´´(6,2) son los puntos medios de los lados de un triángulo ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de un triángulo?
4. Halla las componentes del vector uque sea perpendicular a v(3,6)y que: a) Su primera componente sea 2.
b) Su módulo es 1.
5 .Calcula (2u3v)(3uv) sabiendo que u 1;v 2;uv2,5
6. Sea B
u(1,2);v(2,1)
a) ¿Es base?b) Clasifica la base
c) Encuentra una base ortonormal a la anterior.
RECTAS
1. De la recta r se sabe que pasa por el punto A (2,1) y un vector director es u (-2,4). Determina su ecuación en todas las formas que conozcas.
2. La ecuación implícita de una recta es 2x-3y+1=0. Escribe la ecuación de esta recta en forma continua, punto-pendiente, explícita, vectorial y paramétrica razonando las respuestas.
3. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (1,-2) y B (3,0). Hallar, también, el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas.
4. La recta 4x-3y=12 es la mediatriz del segmento AB. Halla las coordenadas del punto B, sabiendo que las del punto A son (1,0).
6. Hallar las ecuaciones de todas las rectas que pasen por el punto P (2,-3) y formen un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0.
7. Determinar el valor de a para que las rectas ax+(a-1)y-2(a+2)=0 y 3ax-(3a+1)y-(5a+4)=0 sean:
paralelas
perpendiculares
8. Determinar el valor de m para que las rectas mx+y=12 y 4x-3y=m+1 sean paralelas. Después hallar su distancia.
9. Dados los puntos A (2,1), B (-3,5) y C (4,m), calcular el valor de m para que el triángulo ABC tenga de área 6.
10. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A (1,-2) distan 2 unidades del punto B (3,1).
11. Un rayo de luz r pasa por el punto de coordenadas (1,2) e incide sobre el eje de abscisas formando con éste un ángulo de 135º. Suponiendo que sobre el eje de abscisas se encuentra un espejo, hallar la ecuación del rayo r y del rayo reflejado en el espejo.
12. Dados los puntos A (0,-1) y B (1,2), hallar las coordenadas de todos los puntos P situados sobre la recta x+y=2 tales que las rectas PA y PB sean perpendiculares.
13. Los puntos A (3,-2) y C (7,4) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD, el cual tiene un lado paralelo a la recta 6x-y+2=0. Hallar las coordenadas de los otros dos vértices del rectángulo y las ecuaciones de sus lados.
14. Hallar las coordenadas del simétrico del punto P (0,6) respecto de la recta y=2x-3.
15. Los puntos A (2,-1) y C (3,6) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD. Sabiendo que B está en la recta de ecuación x+4y=0, hallar las coordenadas de los vértices B y D. (Indicación: basta hallar los puntos P sobre la recta tales que PA y PC son perpendiculares).
16. Averiguar si el triángulo de vértices A (2,2), B (4,7), C (9,4) es isósceles.
17. Calcular la distancia de los puntos A (-2,5), B (1,2) y C (1/3,-5/2) a la recta de ecuaciones paramétricas:
t y
t x
r
3 2
4 1 :
19. Un cuadrado tiene un vértice en el punto (0,7) y una de sus diagonales sobre la recta de ecuación 3x-2y-6=0. Hallar el área.
20. Un cuadrado tiene un vértice en el origen y un lado sobre la recta de ecuación x-2y+10=0. Hallar el área del cuadrado y la longitud de la diagonal.
21. Hallar la ecuación de una recta que forma un ángulo de 120º con el semieje de abscisas positivo y que dista 2 unidades del origen.
22. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 3x+4y+2=0 que distan 1 unidad de ella.
23. Hallar las coordenadas de un punto P situado sobre la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas y-2=0, 3y=4x-6.
24. Las rectas de ecuaciones 3x+4y-5=0 y px+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Hallar p.
25. Determinar las longitudes de los lados y los ángulos del triángulo cuyos lados se encuentran sobre las rectas 2x+y=2, 5x+2y=10 y el eje de ordenadas.
26. Calcula las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas: r:24x-7y-2=0
s: 3x+4y-4=0
CÓNICAS
Una cónica es la curva que se obtiene como intersección de una superficie
cónica y un plano
.
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia
es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro.
La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama
radio.
d(P,C)=R
Ecuación de la circunferencia de centro C(a,b) y radio R:
2 2 2
) ( )
(xa yb R
Ecuación reducida:
2 2 2R y x
Ecuación de la recta normal
a la circunferencia de centro C(a,b) en el
punto p(
x0,y0):
)
( 0
0 0
0 x x
a x
b y y
y
Ecuación de la recta tangente
a la circunferencia se centro C(a,b) en el
punto p=(
x0,y0):
)
( 0
0 0
0 x x
b y a x y y
ELIPSE
Llamamos
elipse
al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma
de distancias a dos puntos fijos del plano F y F´(llamados focos), es
constante.
d(P,F)+d(P,F´)=2a
En una elipse se cumple:
2 2 2 c b a Siendo ´´a´´ la longitud del semieje mayor, ´´b´´ la longitud del semieje
menor y ´´c´´ la mitad de la distancia entre los focos.
La ecuación reducida de la elipse es:
1 2 2 2 2 b y a x
Si la elipse tiene centro C (
x0,y0)su ecuación es:
1 ) ( ) ( 2 2 0 2 2
0
b y y a x x
Se define la excentricidad de una elipse como el cociente entre la distancia
focal y el eje mayor.
e=
a c a c 2 2HIPÉRBOLA
Una
hipérbola
es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F´, es constante.
d (P,F)-d(P,F´)=2a
El
eje focal
es la recta que pasa por los focos .El eje focal corta a la
hipérbola en los puntos A, A´, que reciben el nombre de vértices. El
segmento AA´ es el
eje real
de la hipérbola y su longitud es 2a.
El punto medio del segmento
FF´, O, es el centro de la hipérbola
En una hipérbola se cumple:
2 2 2 a b c La ecuación reducida de la hipérbola es:
1 2 2
2 2
b y a x
Si la hipérbola tiene centro C(
x0,y0)su ecuación es:
1 ) (
) (
2 2 0 2
2
0
b y y a
La excentricidad de una hipérbola es e=
a c. Cuanto mayor es la
excentricidad, más se alarga la hipérbola en sentido vertical, de forma que
cuando e=1, la cónica degenera en dos semirrectas.
Si e=
2la hipérbola recibe el nombre de
hipérbola equilátera
y su
ecuación es de la forma
2 2 2a y x
PARÁBOLA
Una
parábola
es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija d llamada
directriz de la parábola.
d(P,F)=d(p,d)
La directriz es la recta
2
p x
La ecuación reducida de la parábola es:
y2 2pxSi el foco se encuentra en el eje de ordenada la directriz es la recta
2
p y
y
la ecuación reducida es:
py x2 2
Si el centro de la parábola es C(
x0,y0)la ecuación de la parábola es
respectivamente:
) ( 2 )
(y y0 2 p xx0
) (
2 )
Ejercicios
1. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (-1,8) B(-3,6) C(-1,4)
2. Comprueba que las siguientes circunferencias son concéntricas, calculando el centro de ambas: 4 4 2 : 0 31 4 2 : 2 2 2 2 y x y x C y y x C
3. Encuentra la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia 0
30 10 6 2
2
y x y
x y que pasa por el punto P(7,-2). Calcular la recta normal y tangente a la circunferencia en el punto P.
4. Estudia la posición relativa de r y C.
R: y=2x+2
C:x2 y22x3y20
5. Encuentra la ecuación de la elipse de focos F(5,0), F´(-5,0) cuyo eje mayor es 14, y calcula las coordenadas de sus vértices.
6.Los vértices de una elipse son A(11,0), A´(-11,0),B(0, 21 , )
B´(0,- 21). Determina la ecuación de la elipse y las coordenadas de sus focos. Calcula la excentricidad de la elipse
7. Halla la ecuación de la hipérbola de focos F, F´ y:
a) F(5,0), F´(-5,0) a=4 b) F( 7,0),F´(-7,0) a=5
8. Halla los focos, los vértices y el centro de la hipérbola: 0
2524 256
72 64
36x2 y2 x y
9. Estudia la posición relativa de la recta y=-x+4 y la hipérbola x2 y2 16
10. Calcula la ecuación de una parábola sabiendo que su foco es F(0,4) y su directriz es la recta d, de ecuación y=-2.
11. Determina la ecuación de la parábola de foco F(5,0) y de directriz x=-5.
12. El vértice de una parábola es V(1,3) y su directriz es la recta y=1.¿Cuál es su ecuación?
a) 2 25 2 25
y x
b)y2 10x
c) 1
16 9
2 2
y x
d) 1
16 9
2 2
y x
14. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a P (1,2) es doble que su distancia a Q(-1,-8)
