unidad 1 funciones elementales

(1)

UNIDAD Nº 1 FUNCIONES ELEMENTALES.

1. Concepto de función.

2. Propiedades.

3. Funciones elementales. (Polinómicas, racionales, irracionales, trozos, valor absoluto)

4. Transformaciones elementales.

5. Composición de funciones.

6. Función Inversa.

1. CONCEPTO DE FUNCIÓN.

Definición: Una función es una correspondencia numérica entre dos conjuntos, tal que, a cada elemento del

conjunto inicial le corresponde a lo sumo una imagen (una o ninguna).

1

0

3

1

2 )

(

1 0 · 2

1 1 2

fórmula o criterio



 



 













  

x

f

IR

 

y

x















1

211

1

A “x” se le llama variable independiente y a “y” variable dependiente

x

f

(

)



No es una función porque por ejemplo a 4 le hace corresponder dos imágenes 2 y -2. Para ser función se tendría que definir como

f

(

x

)





x

Gráfica: Se denomina gráfica de una función al conjunto de puntos formado por los elementos del conjunto

inicial y sus imágenes:





x

,

f

 

x



/

x



Domf

 

x



. Y lo representamos en el plano.

Ejemplo:

f

(

x

)



2 x



1

Hacemos una pequeña tabla de valores

x 1 2 0 -1 -2

y 3 5 1 -1 -3

Punto (1,3) (2,5) (0,1) (-1,-1) (-2,-3)

2. PROPIEDADES.

A. Dominio: Es el conjunto de los elementos del conjunto inicial que tienen imagen. Dom f(x). Gráficamente es

lanzar rectas paralelas al eje y (valores que toma x)

B. Recorrido: Es el conjunto de los elemento del conjunto final que son imagen de algún punto del dominio.

Gráficamente es lanzar rectas paralelas al eje x (valores que toma y)

 

x

IR

 

a

b

Domf





,

  

x

M



f

Rec







,

(2)

C. Acotación: Una función f(x) está acotada superiormente si hay algún valor que es mayor o igual que cualquier

valor de las imágenes, es acotada inferiormente si hay algún valor que es menor o igual que cualquier valor de las imágenes.

f(x) está acotada



Está acotada inferiormente y superiormente

Para ver la acotación nos fijamos en el recorrido. Si el recorrido tiene





no está acotada inferiormente, y si tiene





no está acotada superiormente. Si no está ninguno de los dos la función estará acotada.

D. Punto de corte con los ejes:

Eje OX: Igualamos la función a 0 y resolvemos f(x)=0. Si las soluciones son a, b, c…. Los puntos de corte son

(a,0), (b,0), (c,0), …. Puede tener de ninguno a infinitos puntos de corte.

Eje OY: Calculamos f(0)  f(0)=M  El punto es (0,M). Tiene uno o ninguno.

E. Monotonía:

Creciente: si

 



0 



a

b

a

f

b

f

es creciente Decreciente: si

 



0 



a

b

a

f

b

f

es decreciente

Máximo relativo: La función pasa de ser creciente a decreciente. Mínimo relativo: La función pasa de ser decreciente a creciente.

Creciente en:







,

a

   



b

,

c



d

,







Decreciente en

   

a

,

b



c

,

d



Máximo relativos en



a

,

N

 

y

c

,

M



Mínimo relativos en

   

b

,

Ñ

y

d

,

Ñ

F. Curvatura:

Convexa Cóncava Punto de inflexión: Cambia de cóncava a convexa

(3)

G. Signo de la función: Cuando la función está por encima del eje X se dice que es positiva(+), y cuando está

por debajo es negativa (-).

Es positiva en





1 ,

0 

y



1 ,





Es negativa en y







,



1 

 

0 ,

1

H. Asíntotas: Decimos que una función presenta una asíntota cuando se acerca a una recta (casi se solapan)

pero sin llegar a tocarla.

Tiene una asíntota vertical en x=-a

Tiene una asíntota horizontal en y=b Tiene una asíntota oblicua y=ax+b

I. Continuidad: Una función es continua cuando se puede trazar sin levantar el lápiz del papel (en mi caso la

tiza de la pizarra). Si se levanta se dice que es discontinua.

Continua

Discontinua en a. Evitable por punto desplazado

Discontinua en a. Es inevitable de salto infinito.

Discontinua en a. Es inevitable de salto finito.

(4)

3. FUNCIONES ELEMENTALES.

A. FUNCIONES POLINÓMICAS

 

x

a

x

a

₁

x

a

₀

f



_n n







. El dominio de una función polinómica es IR.

A1. Grado cero. Función constante f(x)=c.

Su representación gráfica es una recta paralela al eje OX por el punto c.

x 1 2 0 -1 -2

f(x) c c c c c

A2. Grado uno. Función lineal f(x)=mx+n.

Su representación gráfica es una recta. Con dos valores se puede representar.

m se llama pendiente (nos va a indicar la inclinación) y n se llama ordenada en el origen (nos indica el valor de la

función en 0).

1

3 



x

y

x 0 3

f(x) -1 0

Cálculo de la pendiente a partir de dos puntos: Si la recta pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).

 

a

b

a

f

b

f

x

y

m









y=5x-1 La pendiente m=5 Si una función lineal pasa por los puntos (2,9) y (3,14) su pendiente será

5

1

5

2

3

9

14 _

_





m

Ecuación punto-pendiente:

Si tenemos en una función lineal la pendiente m y un punto (a,f(a)) la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente será:

y



f

 

a



m



x



a



¿Cuál es la función lineal que pasa por los puntos (1,1) y (2,0)?

1

2

1

0 







(5)

A3. Grado dos. Función cuadrática f(x)=ax2_{+bx+c. Parábola.}

Pasos:

1.

Si a>0 la gráfica será convexa.



. Si a<0 la gráfica será cóncava



2.

Hallamos el vértice























 





a

b

f

a

b

V

2 ,

2

3.

Puntos de corte con el eje OX.

ax2_+bx+c=0

(si no tiene puntos de corte se le dan dos valores)

Ejemplo:

y



x

2



6 x



8

a=1>0 la gráfica será convexa.



.

)

1 ,

3 (

1

8

3

·

6

3 )

3 (

3

1

·

2

6

2





























V

f

a

b

)

0 ,

2 (

2 )

0 ,

4 (

4

0

8

6

2













x

A4.Función polinómica de grado mayor que dos.

Pasos:

1.Puntos de corte con el eje OX. 2. Darle unos

cuantos valores entre los puntos de corte 3.Dibujar

aproximadamen te

Ej.:

f

 

x



x

4



10 x

2



9

1

2

36

100

10

0

9

10

2 4













z

x

3 x

y

x





1 



(-3,0), (-1,0), (1,0) y (3,0)

x -4 -2 0 2 4

f(x) 105 -15 9 -15 105

B. FUNCIONES RACIONALES

 

_{ }

x

Q

x

P

x

f



. Dominio de una función racional es IR-{raíces del denominador} Normalmente tiene una asíntota vertical en cada raíz del denominador.

 

4

3

2

3

_

_





x

f

Por Ruffini las raíces del denominador son -1, 2 y -2. Dom f(x)=IR-{-2,-1,2}

Hipérbolas: Tienen por ecuación

 

b

ax

c

x

f



(6)

Ejemplos:

y=1/x y=-1/x y=1/(x+a) y=1/(x-a)

C. FUNCIONES IRRACIONALES.

 

_x

n

_algo

f



. Dominio depende de lo que hay dentro de la raíz y del valor de n. Si n es par Dominio de la función son los valores para los que el algo≥0

Si n es impar el dominio de la función es el dominio del algo













4

0 )

(

x

2

x

2

f

Dom

f(x)





-



,-

2  



2 ,







3

1 )

(







x

f

el domino será el de

3

1 



x

(x+3=0 x=-3) Dom f(x)=IR-{-3}

x

y





y





x

D. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.

Dominio depende de la definición de la función en cada trozo, normalmente el dominio será la unión de cada trozo de definición.

Para representarlo se representará todas las funciones (algunas nos olvidaremos de los trozos de definición) y nos quedaremos con el trozo dónde esté definida. Siempre se deben dar los valores de la función en los límites de cada trozo.

 























1 x

si

x

-1

2 x

1 si

x

1

2 x

si

x

f

3

2

Dom f(x)=IR-{2}

1-x 1+x 2x-3 x y x y x y

(7)

E. VALOR ABSOLUTO.

Dominio depende de la definición de la función y será el dominio de la función.

El valor absoluto es poner siempre el número con signo positivo, por lo tanto hay que convertir la función en positiva.

Pasos a seguir:

1. Se pinta la función sin tener en cuenta el valor absoluto. 2. Lo negativo se convierte en positiva (se refleja arriba) Ejemplo:

f

(

x

)



x

2



6 x



8

a=1>0 la gráfica será convexa.



.

)

1 ,

3 (

1

8

3

·

6

3 )

3 (

3

1

·

2

6

2





























V

f

a

b

)

0 ,

2 (

2 )

0 ,

4 (

4

0

8

6

2













x

4.-TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

Queremos encontrar la gráfica de una función a partir de otra parecida

GRAFICA DE

y



f

 

x



k

a partir de la

y



f

 

x

 Si le sumamos un número la gráfica se desplaza k unidades hacia arriba  Si le restamos un número la gráfica se desplaza k unidades hacia abajo.

 

x

f

y



y



f

 

x



3

Se desplaza 3 unidades arriba

 



2 

f

x

y

Se desplaza 2 unidades abajo

GRAFICA DE

y



f



x



a



a partir de la

y



f

 

x

(8)

 

x

f

y



y



f



x



3 

Se desplaza 3 unidades a la izquierda

 

2 



f

x

y

Se desplaza 2 unidades a la derecha

GRAFICA DE

y



f

 



x

a partir de la

y



f

 

x

Cambia de signo la x, por lo tanto cambia el eje de las x y se produce un giro respecto al eje y.

GRAFICA DE

y





f

 

x

a partir de la

y



f

 

x

Cambia de signo la y, por lo tanto cambia el eje de las y y se produce un giro respecto al eje x.

7. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Definición: Dadas dos funciones

f

y

g

se llama función compuesta de

f

y

g



g



f



, a la función que transforma

x

en

g



f

 

x



(primero se aplica

f

y al resultado obtenido se aplica

g

)

 



f

x



g

x



g

 



f

x





f

 

x





g



f

 

x



(9)

Ejemplos:

x

f

(

)



;

g

 

x



x

2



5 x



g



f

 

4 

g



f

 

4 



g

 

4 

g

 

2 

2



5

·

2 

4 

10 

14 

f



g

 

4 

f



g

 

4 



f



4

2



5

·

4





f



16 

20   



f

36 

6 

g



f

 

x



g



f

 

x





g

   

x



x

2



5

· x



x



5 x

(en g sustituimos x por

x

)



f



g

 

x



f



g

 

x





f



x

2



5 x





x

2



5 x

(en f sustituimos x por

x

2



5 x

) Con estos ejemplos nos damos cuenta que la operación composición NO es conmutativa.

8. FUNCIÓN INVERSA

Definición: Se llama función inversa de

f

a otra función (que se designa por

f

1) que cumple la siguiente condición: Si

 

a

,

b

es un punto de la gráfica de

f

, entonces

 

b

,

a

es un punto de la gráfica de

f

1. Es decir una función y su inversa cambian sus coordenadas “x” por las “y” y viceversa.

Para ser inversas de debe verificar que:





 



f



 

x

f







1 1

Nota:

f

1debe ser también una función, por lo tanto en

f

para cada valor que tome y le ha corresponder un único valor de x. Esta propiedad se llama inyectividad. Si no ocurre esto debemos partir la función en trozos y obtener en cada uno de ellos su inversa. (las separamos en trozos dónde sea creciente, y en trozos dónde sea decreciente)

Dominio (f)= Recorrido (f -1₎ _{Recorrido (f)= Dominio (f} -1₎

Ejemplo:

 

x



x

3



6 f

; y

g

 

x



3

x



6

¿son inversas una de la otra?



 



 





 





f

g

 

x

f



g

 

x



f



x

 

x



x

g

x

f

g

x

f

g





























6

3 3

3

3 3

3



 Son inversas

OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN INVERSA.

GRÁFICAMENTE: Hay que cambiar el eje de las x por el de las y. Se puede hacer a través de la bisectriz del

primer cuadrante (recta y=x), doblando por esa línea y ver a dónde se traslada, o mediante el método casero de calcarla por la parte de atrás de la hoja y situar los ejes correctamente.

ANALÍTICAMENTE:

1er_{Paso: Cambiamos la x por la y}

 

6

3

_



x

f



y



x

3



6



x



y

3



6

2o_{Paso: Despeamos la y.} ₃

6 y

x







y



3

x



6



f

1

 

x



3

x



6

Ejemplo:

y



x

2 (no es inyectiva, la separamos en dos trozos, uno para

x



0

, y otro para

x



0

)

x

y

x



2







aquí aparecen ya la solución para cada trozo (raíz positiva es la inversa en el trozo dónde

0 