Soluciones Derivadas. Técnicas de derivación en PAU CyL
1.- a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función ( )f x x 1 en el intervalo
2, 2
. Calcular la función derivada de f x( ) en ese intervalo. (1,25 puntos) (PAU septiembre 2011)Solución
La función es continua en 2, 2 y derivable en 2,1 1, 2 f(1)
Nota: Se escribe la función a trozos ( ) ( 1) si 1 0 ( ) 1 si 2 1
( 1) si 1 0 1 si 1 2
x x x x
f x f x
x x x x
La función f es continua en
2,1
1, 2
por coincidir en cada uno de esos intervalos con funciones polinómicas, que son continuas x y, en particular, en dichos intervalos.Ahora estudiamos la continuidad en el punto de “empalme” de los trozos x1:
1 1
1
1 1
1 1 1
(1) 1 1 0
lim ( ) lim (1 ) 0
( ) (1) ( ) es continua e lim ( ) lim ( 1) 0
Luego lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0
lim
x x
x
x x
x x x
f
f x x
f x f f x
f x x
f x f x f x
n x1
Luego f x( ) es continua en
2, 2
.La función f es derivable en
2,1
1, 2
por coincidir en cada uno de esos intervalos con funciones polinómicas, que son derivables x y, en particular, en dichos intervalos.Ahora estudiamos la derivabilidad en el punto de “empalme” de los trozos x1:
1 1
1 1
Si 2,1 ( ) 1 1 (1 ) lim ( ) lim ( 1) 1
(1 ) (1 )
Si 1, 2 ( ) 1 1 (1 ) lim ( ) lim 1 1
x x
x x
x f x x f f x
f f
x f x x f f x
Por tanto f no es derivable en x 1 f(1) la función presenta un punto "anguloso" en x1.
2.- b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él. (0,5 puntos) (PAU junio 2010G) Solución
( )f x x1 es continua en x1 pero no es derivable en ese punto . Nota: Ver ejercicio anterior. Otro ejemplog x( )3x, continua en , y derivable en
0 En x0 la derivada es .En efecto:
1 2
1 1
3 3
3
3 2
1 1 1
( )
3 3 3
g x x x x
x
3.- Calcular b y c sabiendo que la función
2 si 0
( ) ln ( 1)
si 0
x b x c x
f x x
x x
es derivable en el punto x0.
(2,5 puntos) (PAU junio 2010E) Solución
1
, 1 2
b c . Nota: Si f x( ) es derivable en x0 es continua
0
0
lim
( ) (0)x
x f x f
2
(0) 0 0
2
lim ( ) lim ( )
0 0
1
ˆ 1
L'Hopital
ln ( 1) 0 1 1
lim ( ) lim = lim lim 1
0 1 1
0 0 0 0
Como lim ( ) lim ( ) lim ( )
0 0 0
f b c c
f x x b x c c
x x
x x
f x
x x
x x x x
f x f x f x
x x x
1. c
Si f x( ) es derivable en x0 f(0 ) f(0 ) .
2 2
3 2 2
Si 0 ( ) 2 (0 ) lim ( ) lim (2 )
0 0
1
1 ln ( 1) 1
ln ( 1) 1 ( 1) ln ( 1)
Si 0 ( )
( 1) 1
ˆ L'Hopital ( 1) ln ( 1) 0
(0 ) lim = lim
0
0 0
x f x x b x c x b f f x x b b
x x
x x
x x x x x
x f x
x x x x
x x x
f
x x
x x
2
2 2
1
1 2
1 ln ( 1) ( 1) 1
3 2
1 1 ˆ
L'Hopital
1 ln ( 1) 1 ln ( 1) 0 1 1
lim lim = lim
0 6 2 2
3 2 3 2
0 0 0
b
x x
x
x x
x x x
x
x x x x
x x x
4.- Sea la función f x( ) x2 x 2
b) Demostrar que no es derivable en x2. (0,5 puntos) (PAU junio 2009) Solución
Definimos la función a trozos:
2
2 2
2
2 2
2
2 si 1
( 2) si 2 0
( ) ( ) ( 2) si 1 2
2 si 2 0
2 si 2
x x x
x x x x
f x f x x x x
x x x x
x x x
Estudiamos la derivabilidad en x2:
2
Si ( 1, 2) ( ) ( 2) 2 1 (2 ) lim ( ) lim ( 2 1) 3
2 2
2
Si (2, ) ( ) 2 2 1 (2 ) lim ( ) lim (2 1) 3
2 2
x f x x x x f f x x
x x
x f x x x x f f x x
x x
Como f(2 ) f(2) ( ) no es derivable en f x x2 ( ) presenta punto anguloso en f x x2.
5.- Hallar los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de la función f x( ) x3 es paralela a la recta
de ecuación y3x2. (1 punto) (PAU septiembre 2009)
Solución
A( 1, 1) y B(1 ,1) . Nota: La derivada de la función en esos puntos será igual a la pendiente de la recta tangente a su gráfica, que vale 3, porque es paralela a la recta y3x2. Igualamos la función derivada f x( )3x2 a 3, y resolvemos la ecuación; finalmente calculamos la ordenada de los puntos:
3
2 2
3
1 ( 1) ( 1) 1 ( 1, 1)
( ) 3 3 3 1 1
1 (1) 1 1 (1,1)
x f A
f x x x x
x f B
6.- Dada
2
2 sen ( )
si 0 ( )
2 si 0
x
x
f x x
x x x
, se pide:
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f x( ). (2 puntos) (PAU junio 2008) Solución
( ) es continua f x x y es derivable x 0 . Nota: La función f es continua en (, 0) por ser igual a una polinómica, continua x y en particular en (, 0). La función f es continua en (0,) por ser igual a
2 sen (x )
x , que es un cociente de funciones continuas x y, en
particular en (0,), no anulándose el divisor. Veamos si f es continua en x0:
2
2
0 0
ˆ L'Hopital
2 2
0
0 0 0
0 0 0
(0) 0 0 0
lim ( ) lim ( 2 ) 0
( sen ( ) 0 cos( ) 2
lim ( ) lim = lim 0
0 1
Luego lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0
lim
x x
x
x x x
x x x
f
f x x x
f x
x x x
f x
x
f x f x f x
) f(0)f x( ) continua en x=0.
Luego f x( ) es continua x .
La función f es derivable en (, 0)por ser igual a una polinómica, derivable x y en particular
en (, 0). La función f es derivable en (0,) por ser igual a
2 sen (x )
x , que es un cociente de
Estudiamos la derivabilidad en x0:
2
Si 0 ( ) 2 2 2 (0 ) lim ( ) lim (2 2) 2
0 0
2 2 2 2 2 2
sen ( ) cos ( ) 2 sen ( ) 1 2 cos ( ) sen ( ) Si 0 ( )
2 2
2 (0 ) lim ( ) lim
0 0
x f x x x x f f x x
x x
x x x x x x x x
x f x
x x x
f f x
x x
2 cos ( 2) sen ( 2) 0
2 0
2 2
sen ( ) sen ( )
2 2
lim 2 cos ( ) lim 2 cos ( ) lim 2 1 1
2 2
0 0 0
x x x
x
x x
x x
x x x x x
Como f(0 ) f(0 ) ( ) no es derivable en f x x0 ( ) presenta un punto anguloso en f x x0.
7.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f x( ) x3a x en el punto x0 sea perpendicular a la recta y x 3. (1 punto) (PAU junio 2008)
Solución
1
a . Nota: La recta y x 3 y x 3 tiene pendiente m 1. La recta tangente es perpendicular a esa recta y tiene pendiente perpendicular 1 1 1
1
m
m
. Como f x( )3x2 a, y teniendo en cuenta la interpretación de la derivada: f(0) 1 3 02 a 1 a1.
8.- Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y x3 3x2 x 1, la recta tangente a la misma es paralela a la recta yx7. (1 punto) (PAU septiembre 2007)
Solución
A(0,1) y B(2, 1) . Nota: La derivada de la función en esos puntos será igual a la pendiente de la recta tangente a su gráfica, que vale 1, porque es paralela a la recta y x 7. Igualamos la función derivada
2
3 6 1
y x x a 1, y resolvemos la ecuación; finalmente calculamos la ordenada de los puntos:
2 2 0 (0) 1 A(0,1)
1 3 6 1 1 3 6 0 3 ( 2) 0
2 (2) 1 B(2, 1)
x y
y x x x x x x
x y
9.- Sea f x( )ax3bx2 cxd. Determínense a, b, c y d para que la recta y10 sea tangente a la gráfica de f en el punto (0, 1) , y la recta x y 2 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto (1, 1) .
(1 punto) (PAU junio 2006) Solución
1 , 1 , 0 , 1
a b c d . Nota: En cada punto obtenemos dos relaciones, una dada por la relación funcional entre abscisa y ordenada, y la otra sobre la igualdad de la derivada y la pendiente de la recta tangente en el punto.
2
( ) 3 2
3 2
3 2 2
(0) 1 0 0 0 1 1
P(0, 1) ( ) 1
(0) (0) 0 3 0 2 0 0 0
f a b c d d
f x ax bx
f m a b c c
3 2 2
(1) 1 1 1 1 1 0 1
Q(1, 1)
3 2 1 1
(1) (1) 1 3 1 2 1 1 3 2 1
f a b a b b a b
a a a
f m a b a b
10.- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función
2 2 ( )
1
x f x
x
en el punto x0. (1 punto) (PAU septiembre 2006)
Solución
Recta tangente y 0 ; Recta normal x 0 . Nota: Se calculan la ordenada del punto y la función derivada. Se halla la pendiente de la recta tangente, utilizando la interpretación de la derivada, y se determina la recta tangente con la ecuación punto-pendiente.
2 2
0
0 (0) (0) 0 Punto O(0, 0)
0 1
x y f
2 2 3
2 2
2 ( 1) 2 2
( )
( 1)
x x x x x
f x
x
3 2x 2x
2 2 2 2
2
( 1) ( 1)
x
x x
2 O(0,0)
Recta tangente 2 0 0 0 Recta normal s 0
(0) 0
1
0 1
t
t
t t y x
m f
11.- a) Estúdiese la derivabilidad de
2 2
ln(1 ), 0 ( )
, 0
x x
f x
x x
. (1 punto) (PAU septiembre 2005)
Solución
( ) es derivable xf x . Nota: Se estudia primero la continuidad y después la derivabilidad ( ) es continua xf x . La función f es continua en (, 0)por ser igual a una polinómica, continua x y en particular en (, 0). La función f es continua en (0,) por ser igual a
2
ln(1x ), que es una función compuesta de funciones continuas. Veamos si f es continua en el punto de “empalme” x0:
)
2 (0) 0 0
2
lim ( ) lim ( 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0)
0 0
0 0 0
2
lim ( ) lim ln(1 ) ln1 0
0 0
f
f x x
f x f x f x f
x x
x x x
f x x
x x
La función f es derivable en (, 0) por ser igual a una polinómica, derivable x y en particular en (, 0). La función f es derivable en (0,) por ser igual a ln(1x2), que es una función
compuesta de funciones derivables. Estudiamos la derivabilidad en x0:
2
Si 0 ( ) 2 (0 ) lim ( ) lim (2 ) 0
0 0
1 2 2 0
2
Si 0 ( ) ln(1 ) 2 (0 ) lim ( ) lim 0
2 2 0 0 2 1
1 1 1
x f x x x f f x x
x x
x x
x f x x x f f x
x x
x x x
Como f(0 ) f(0 ) ( ) es derivable en f x x0. Entonces f es derivable x .
12.- Sea f la función dada por f x( ) x2 3 x 2, x. Estúdiese la derivabilidad de f en x0 mediante la definición de derivada. (1 punto) (PAU septiembre 2004)
Solución
La función no es derivable en x0, presentando un punto anguloso . Nota: Se define la función “a trozos” y se estudia la continuidad de f en x0. Si la función es continua en x0, se analiza si es o no es derivable.
2 2
2 2
3( ) 2 si 0 3 2 si 0
( ) ( )
3 2 si 0 3 2 si 0
x x x x x x
f x f x
x x x x x x
Veamos si f es continua en x0:
)
(
( )
2 0
0
2 2
0
lim ( ) lim 3 2 2
lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0) 0
0 0 0
lim ( ) lim 2
0
(0) 3 0 2 2
3 2
x
x
f x x x
f x f x f x f
x
x x x
f x x
f
x x
Entonces ( )f x es continua en x0. Estudio de la derivabilidad en x0:
2
0 0 0 0
( 3)
(0 ) (0) ( ) (0) 3 2 2
(0 ) lim lim lim lim 3
h h h h
h h
f h f f h f h h
f
h h h h
2
0 0 0 0
(0 ) (0) ( ) (0) 3 2 2 ( 3)
(0 ) lim lim lim lim 3
h h h h
f h f f h f h h h h
f
h h h h
