Problemas propuestos sobre Transformada de Laplace

(1)

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

Tema 3:

La Transformada de Laplace Contenidos programáticos

3.1- Definiciones preliminares. Definición de Transformada de Laplace. Condición suficiente para su existencia.

3.2- Transformadas de algunas funciones elementales. Propiedades. Primer teorema de traslación. Función escalón unitario. Segundo teorema de traslación.

3.3- La transformada inversa. Teorema de Lerch.

3.4- Transformadas de la derivada, de la integral, de funciones periódicas, multiplicación y división por t. Teorema de Convolución.

3.5- La Función Impulso Unitario o Delta de Dirac. Propiedades. Transformada de la Función Delta de Dirac.

3.6- Aplicación de la Transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales lineales, ecuaciones integrales e integro-diferenciales.

3.7- Aplicación a la solución de problemas de vibraciones mecánicas y eléctricas.

(2)

Problemas propuestos sobre Transformada de Laplace

1.- Usando la definición encuentre la transformada de Laplace de las

siguientes funciones:

a)    ≥ < ≤ − = 1 t si 0 1 t 0 si 3 t 2 ) t (

f R: F(s)=













−

+













+

−

s

2

1 s

s

2

3 s

1 _e

s

b)    ≥ < ≤ = 1 t si t 1 t 0 si 0 ) t (

f R: F(s)=













+

−

s

1

1 s

e

s

2.- Utilice la tabla de Transformadas de Laplace y las propiedades de la misma

para hallar las transformadas de las funciones dadas.

a

)

t

2

+ 5t + 1 R: F(s)= 2/s

3

+ 5/s

2

+ 1/s

b) 3(t + 2 )

3

R:

24 _s

s

36 s

18 )

s

(

F

=

4

+

3

+

2

+

c) t

(

1 +

e

3t

)

2

R:

2 2 2

)

6 s

(

1 )

3 s

(

2 s

1 )

s

(

F

−

+

−

+

=

d)

_e

t

senh

2 t

R:

4 )

1 s

(

2 )

s

(

F

₂

−

=

e) 10 sen5t sen3t R:

(

s

4 )(

s

64 )

s

300

2 2

+

f) cos

2

t R:













+

4 s

s

1

2

1

2

g) sen

3

t R:

9 s

10 s

6

2 4

+

h) 4(t-3)

H

_{(t-3) R:}

2 s 3

s

4 e

−

i)    ≥ < ≤ = 1 t si t 1 t 0 si 0 ) t (

f ₂ R:

e

s 2 3

s

1 s

2 s

2

−













+

j) f(t) = t si 0 ≤ t < 4 R:

_









−

− −

e

4s

(3)

k) t sent

R:

(

₂

)

2

1 s

s

2 +

l) t cos

2

t R:

(

)













+

−

₂

2 2 2

4 s

s

4 s

1

2

1 m) t

e

-4t

cos2t R:

(

)

(

)

[

₂

]

2

4

4 s

4

4 s

+

−

+

n) Cosh(at) sen(at) R:

(

4 4

)

2 2

a

4 s

a

2 s

a

+

o)

U

_(t-

_π)

_{cost R:}

1 s

s

2

s

e

+

−

π −

p)

(

senat

at

cos

at

)

a

2

1

3

−

R:

(

2 2

)

2

a

s

1 +

q) (t -1)

3

e

(t -1)

H

_{(t - 1}

₎

_R:

(

)

4

6

1

s

e

−

r)











≥

<

≤

−

<

≤

−

<

≤

=

4 t

si

0

4 t

3 si

4 t

3 t

2 si

t

3

8

2 t

0 si

t

)

t

(

f

_R:

2

2 3 4

1 4

s

4

s s

s

e

−

e

−

e

−

(4)

3.- Determine la transformada inversa de Laplace

L

{F(s)} de las

funciones:

a)

4

3

s

)

2 s

(

+

R:

1 6

6

2

4

3

3 t

t

+

b)

1 s

4 s

4

2

+

R: cos(

t

/2)

c)

s

6 s

1

2

+

R:

(

)

6

1

6

t

e

−

d)

9 s

1 s

4

2

−

+

R: 4 cosh 3

t

+ 1/3 senh 3

t

e)

₍

₎

3

4 s

1 +

R:

2

4

2 t

t

e

−

f)

8 s

4 s

s

2

+

R:

(

)

2

t

cos t

sen t

e

−

g)

(

s

1 )(

s

3 )

1 +

+

R:

(

)

3

1

2

t t

e

−

e

−

h)

₍

₎₍

₎

5 s

1 s

s

2 2

+

R:

(

)

1

5

(5)

4.- Halle la transformada de Laplace de cada una de las funciones f (t) dadas a

continuación

a)

=

∫

t

0

2

udu

sen

t

)

t

(

f

_R:

(

)

(

₂

)

2 3

2

4 s

s

2 s

8 +

+

b) f (t) = t si

0<

t

< 1

y

f (t+1) = f (t) (función onda dientes de sierra) R:

(

)

2

1

s

e

−

c)







<

=

a

2 t

a

si

0 a

t

0 si

1 )

t

(

f

_R:

(

a

)

1

s

+

e

−

y f (t+2a)= f(t) , a = cte. (tren de impulsos rectangulares)

d)

2

0

t

_{t u}

f ( t )

=

∫

u

e

−

du

R:

)

1 s

(

s

2

3

−

e)

f

(

t

)

=

∫

t

cos

λ

sen

(

t

−

λ

)

d

λ

0

R:

(

s

2

1 )

2

s

+

f)

t

senht

)

t

(

f

=

_R:

_

    

− +

1 s

1 s Ln 2 1

g)

t

sen

)

t

(

f

2

=

_R:













+

₂

s

4

1 Ln

4

1 h)

0

t _u

f ( t )

=

t

∫

u

e

−

du

R:

2 3

)

1 s

(

s

1 s

3 +

+

i)

f(t) = sent∗cos2t

R:

)

4 s

)(

1 s

(

s

2 2

(6)

j)

0

t

s e n w u

f ( t )

d u

u

a

=

∫

R:

1 arctg

w

s

Lna

s

Lna









−



−



,

a

= cte.

k)











≥

<

≤

<

≤

=

5 t

si

0

5 t

2 si

1

2 t

0 si

2 )

t

(

f

_R:

1 (

₂

2s 5s

)

s

e

− −

−

l)







<

−

<

=

2 t

1 si

t

2

1 t

0 si

t

)

t

(

f

_R:













2 s

tgh

s

1

2

y f (t+2) = f (t)

∀

t > 0 (onda triangular)

m)

0

1

t u

f ( t )

(

)d u

u

e

−

=

∫

R:













−

s

1

1 Ln

s

1 n) f (t)= n si

n ≤

t < n+1 con n = 0,1,2,3... (función escalera)

R:

(

1 )

s s

s

e

− −

−

o) f (t)= (t

2

-3t)

H

(t-2) R:

2s

2

₃

1

₂

2 s

s

e

−



_

+

−



_





5.- Obtenga la transformada inversa

L

-1

{F(s)} de las siguientes funciones:

a)

(

s 1

)(

s 3

)

1 ) s ( F + +

=

R:

1 (

3

)

2

t t

e

−

e

−

b)

16 s

)

s

(

G

)

s

(

F

₂

+

=

R:

∫

λ

−

λ

t

0

g

(

)

sen

4 (

t

)

d

4

1 , donde g(t)=

L

-1

{G(s)}

c) F(s)=



     + + 2 s 4 s

Ln

R:

2t 4t

t

e

−

e

−

(7)

6.- Utilice la Transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones: a) y’ + 3y = t , y(0) = -2 R: y(t) = t/3 – 1/9 +1/9

e

-3t

b) y” + 4y =

e

-t

, y(0)=1 , y’(0) = 2 R: y(t) =

e

-t

/5 + 4/5 cos2t + 11/10 sen2t c) x”(t) – x(t) = f(t), x(0)= x’(0) = 0 y f(t) =

R: x(t) = [(2-t) + senh(t-2)] U_(t-2)

d) y” + 4y = 12 cos2x , y(0) = 0, y’(0) = π/2

R: y(t) = π/4 sen2t + 3/2 (1 – cos2t) + 3/2 t sen2t

e) y” + 4y =

δ

(t-2) , y(0) = 0 , y’(0)= 0 R: y= ½ U_{(t-2) sen 2(t-2)}

f) y’(t) – cost = y(u) cos(t-u) du , y(0) = 1 R: y = ½ t2 + t + 1

g) y’ - 2y + y(u) du =

δ

(t-1) , y(0) = 2 R: y= tH_(t-1)

_e

(t-1)₊₂

_e

t_(t+1)

h) y(t) + (t-u) y(u) du = t R: y(t) = sent

i) y’(t) + 1 = 2sent + y(u) du , y(0) = 0 R: y(t) =

e

-t

– cost

j) y” + t y’ – y =0 , y(0) = 0 , y’(0) = 1 R: y(t) = t

k) ty” + (t-1) y’ – y =0 , y(0) = 5 y Lim y(t) = 0 R: y(t) = 5

e

-t

0 si 0≤t≤2 t-2 si t>2

0 t

(8)

7) Se tiene un sistema masa-resorte-amortiguador, en el cual m= ½, k = 17 y β=3. Determinar la ecuación del desplazamiento respecto a la posición de equilibrio si x(0) = 3 y x’(0) =1.

R:

x

(t) =

e

-3t

(3cos5t + 2sen5t)

8) Un cuerpo de masa m= 1 está sujeto a un resorte cuya constante es k=4. No existe amortiguación e inicialmente x(0) = 3 y x’(0) = 0. En el instante t = 2π la masa es golpeada desde arriba con un martillo, lo cual le produce un impulso de 8 unidades. Determinar la ecuación del movimiento de la masa. R:

x(t) = 3 cos2t + 4 sen2t

U

_(t-2

_π

_).

9) Una partícula de masa m=1 está unida a un sistema resorte-amortiguador. La constante del resorte es k=4 y la fuerza de amortiguación es 4 veces la velocidad instantánea. En t=0, cuando la partícula se encuentra en reposo, en el equilibrio, se aplica una fuerza igual a

e

-t

al sistema y en t=1 otra fuerza de muy corta duración que suministra a la masa un impulso de 4 unidades. Obtener la ecuación que dá la posición de la masa para t>1.

R:

x(t) =

e

-t

-

e

-2t

- t

e

-2t

+ 4

H

_(t-1)(t-1)

_e

-2(t-1)

10) En un circuito RCL se tiene que R= 110 Ω, L= 1 h y C= 0,001 f. Una batería proporciona un voltaje E= 90 volt. Originalmente no hay corriente en el circuito ni carga en el condensador. En t=0 se cierra el interruptor y se deja así por 1 seg. En t=1 seg se vuelve a abrir el interruptor. Encuentre la ecuación de la corriente en el circuito.

.

Rta:

i t

( )

=

_



e

−10t

−

e

−100t

−

H

(

t

−

1 )

(

e

−10(t−1)

−

e

−100(t−1)

)



_

11) Un inductor de 3 h está en serie con una resistencia de 30 Ω y una F.E.M = 150sen20t. Si en t=0 la corriente es 0, obtenga la ecuación para i(t).

R:

i(t) = sen20t – 2 cos20t + 2

e

-10t