Dinámica y análisis de vigas : aplicaciones del método de la transformada de Laplace

“Dinámica y análisis de vigas: aplicaciones del método de la transformada de Laplace”

Ramón de Paco Gabarrón

DIRECTORES:

JUAN L.G. GUIRAO Y J.A. VERA

D EPARTAMENTO DE M ^ATEMÁTICA A ^{PLICADA Y} E ^STADÍSTICA

Dinámica y análisis de vigas: aplicaciones del método de la transformada de Laplace.

R AMÓN DE P ACO G ABARRÓN

P ROYECTO F INAL DE C ARRERA .

D ^IRECTORES : J ^UAN L.G. G ^{UIRAO Y} J.A. V ^ERA

C ARTAGENA , 2012

En primer lugar quiero dar las gracias a los profesores Juan Luis García Guirao y Juan Antonio Vera López, directores de este Proyecto Final de Carrera, por su generosa y valiosa ayuda en la elaboración del mismo. Y por supuesto quiero agradecer la ayuda y el apoyo de toda mi familia y demás personas que me han animado.

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

D. Juan Luis García Guirao, Catedrático de Universidad, y D. Juan Antonio Vera López, Profesor Asociado, del Área de Matemática Aplicada en el Departamento de Matemática Aplicada y Estadística de la Universidad Politécnica de Cartagena,

AUTORIZAN:

La presentación del Proyecto Final de Carrera titulado “Dinámica y análisis de vi- gas: aplicaciones del método de la transformada de Laplace”, realizado por D. Ramón de Paco Gabarrón, bajo nuestra dirección y supervisión, en el Departamento de Mate- mática Aplicada y Estadística, y que presenta para su defensa.

En Cartagena, a de de 2012

LOS DIRECTORES DEL PROYECTO FINAL DE CARRERA

Fdo. Juan Luis García Guirao Fdo. Juan Antonio Vera López

1. Ecuaciones diferenciales 1

1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . 1

1.1.1. Nociones básicas: ecuación diferencial, sistemas de ecuaciones diferenciales y soluciones . . . 2

1.1.2. Familias n–paramétricas de soluciones y funciones . . . 3

1.1.3. Problema de Cauchy . . . 4

1.1.4. Relación entre ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuacio- nes diferenciales . . . 5

1.1.5. Ecuaciones en variables separadas . . . 6

1.1.6. Aplicaciones en ingeniería . . . 7

1.1.7. Familia de curvas ortogonales . . . 11

1.1.8. Ecuaciones lineales . . . 12

1.1.9. Ecuaciones exactas . . . 14

1.1.10. Existencia y unicidad de soluciones . . . 16

1.1.11. Análisis cualitativo de las ecuaciones de orden uno: el método de las isoclinas . . . 17

1.2. Ecuaciones y sistemas lineales. Teoría fundamental . . . 17

1.2.1. Existencia y unicidad de soluciones . . . 19

1.2.2. Estructura de las soluciones de un sistema diferencial lineal . . 20

1.2.3. Resolución del sistema no homogéneo a partir de una matriz fundamental . . . 21

1.2.4. Estructura de las soluciones de la ecuación lineal . . . 21

1.2.5. Resolución de la ecuación no homogénea a partir de un sistema fundamental de soluciones . . . 23

1.3. Ecuaciones y sistemas lineales. Resolución y aplicaciones . . . 24

1.3.1. Exponencial de una matriz real . . . 24

1.3.2. Resolución de sistemas diferenciales lineales no homogéneas por el método de los coeficientes indeterminados . . . 31

I

1.3.3. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes

constantes . . . 32

1.3.4. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el método de los coeficientes indeterminados . . . 33

2. Transformada de Laplace 37 2.1. El método de la transformada de Laplace . . . 37

2.2. Definición, propiedades y ejemplos . . . 38

2.3. Cómputo de la inversa de la transformada de Laplace . . . 44

2.4. Teoría de distribuciones: Delta de Dirac . . . 48

3. Vigas arquitectónicas 51 3.1. Teoría de vigas de Euler–Bernoulli . . . 51

3.1.1. Ecuación estática de una viga . . . 52

3.1.2. Viga en voladizo . . . 53

3.1.3. Vigas simplemente soportada . . . 53

3.1.4. Vigas empotradas . . . 54

3.2. Dinámica de vigas: integración vía momento flector . . . 54

3.2.1. Viga apoyada sobre dos puntos . . . 56

3.2.2. Viga empotrada en la pared . . . 58

3.3. Aplicación método transformada de Laplace . . . 60

3.3.1. Viga en voladizo con carga uniforme p₀ . . . 61

3.3.2. Viga empotrada con carga puntual p₀en la mitad de la viga . . . 62

Bibliografía 65

Ecuaciones diferenciales

El objetivo de este capítulo es ofrecer una introducción de los rudimentos de ecua- ciones diferenciales ordinarias que utilizaremos a lo largo de la confección de este tra- bajo.

1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

La teoría de las ecuaciones diferenciales es una de las ramas con mayor aplicación de las matemáticas a otras disciplinas científicas. Por citar algunos casos concretos de aplicaciones se pueden dar en Física las órbitas planetarias, en Química la cinética de las reacciones químicas, en Economía ciertos modelos dinámicos de espacios econó- micos, en Ecología la dinámica de los ecosistemas, en Ingeniería la teoría de fluidos y en Arquitectura el cálculo de estructuras. Pretendemos en este primer contacto con las ecuaciones diferenciales definir con precisión lo que entenderemos por ecuación dife- rencial, sistema de ecuaciones diferenciales y lo que entendemos por soluciones de és- tos. Recalcaremos que las soluciones no tienen por qué ser únicas e introduciremos por ello las familias n–paramétricas de soluciones. Un paso más nos llevará a la definición de problema de Cauchy. En cuanto a las ecuaciones diferenciales de primer orden que presentamos prestaremos atención a las ecuaciones en variables separadas, ecuaciones lineales y exactas, incluyendo la búsqueda de factores integrantes. Somos conscientes de la gran cantidad de métodos existentes, estudiados en libros como [NOR 95, p. 37-87]

o [B 93, Capítulo 1].

Presentaremos varios ejemplos de cada uno de los tipos de ecuaciones que presente- 1

mos. Además de la resolución de ecuaciones dedicaremos una sección a dar un teorema de existencia y de unicidad para las ecuaciones de orden uno, aunque lo enunciaremos en términos de funciones de clase C¹ y no de funciones lipschitzianas. La última sec- ción estará dedicada al estudio cualitativo de soluciones de ecuaciones de orden uno, en particular presentaremos el método de las isoclinas siendo conscientes de que la reso- lución analítica no siempre es posible, sí será el estudio cualitativo de las soluciones.

Como libros de referencia para la confección de este capítulo hemos utilizado [Jim 00, Capítulo 1] , [NOR 95, Capítulos 1-3], [MC 99, Capítulo 19] y [BGo 00, Capítulo 19].

1.1.1. Nociones básicas: ecuación diferencial, sistemas de ecuacio- nes diferenciales y soluciones

Iniciamos esta sección introduciendo lo que es una ecuación diferencial ordinaria que no es más que una expresión del estilo:

f (t, y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 (1.1) donde f : D ⊂ Rⁿ⁺² → R es una función definida en un subconjunto abierto D ⊂ Rⁿ⁺². Una ecuación diferencial se dirá autónoma si f no depende de t, es decir, es una expresión del estilo g(y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0, donde g : D ⊂ Rⁿ⁺¹→ R.

A la variable t le daremos el nombre de variable independiente y con frecuencia utilizaremos x en lugar de t, dependiendo de los fenómenos físicos que modelemos en cada momento. La variable y se llamará variable dependiente. Pondremos a continua- ción ejemplos de ecuaciones diferenciales (no autónomas):

y⁰+ y − x = 0, log(y²) + ty − y³ = 0, y⁰⁰+ 4y⁰− sen(ty) = 0, y ahora ecuaciones diferenciales autónomas:

y⁰+ cos(y) = 0, tan(y⁴) + y − arcsen(y³) = 0,

y⁰ + 4y − e^y = 0.

Seguimos ahora con la noción de solución. Una función real definida en un intervalo abierto I, y : I → R, es solución de la ecuación diferencial (1.1) si es n–veces derivable con derivadas continuas y para todo elemento t ∈ I se verifica

f (t, y(t), y⁰(t), ..., yⁿ(t)) = 0.

Ilustraremos esta definición con la ecuación diferencial ty⁰⁰−y⁰ = 3t², para ella probare- mos que para cada elección de números reales c₁y c₂se tendrá que y(t) = t³+ c₁t²+ c₂ es solución.

Una primera observación que se desprende de este ejemplo es que las soluciones no van a ser únicas, en particular, en nuestro ejemplo hay infinitas soluciones. Otra observación que se debe hacer es que las soluciones deben buscarse en intervalos de definición lo más grandes posibles, es decir lo que se busca son soluciones maximales.

Notemos que la definición de solución de ecuaciones diferenciales no excluye que demos como solución funciones definidas implícitamente. Así podemos decir que para la ecuación diferencial yy⁰+ t = 0, la expresión t²+ y² = c² (c constante) define a y en función de t en el intervalo (−√

c,√

c) siendo y(t) solución de yy⁰+ t = 0.

Seguimos definiendo un sistema de ecuaciones diferenciales como una colección de expresiones como la que sigue:

f₁(t, y₁, y⁰₁, ..., y⁽ⁿ⁾₁ , y₂, y⁰₂, ..., y⁽ⁿ⁾₂ , y_k, y_k⁰, ..., y⁽ⁿ⁾_k ) = 0, f₂(t, y₁, y⁰₁, ..., y⁽ⁿ⁾₁ , y₂, y⁰₂, ..., y⁽ⁿ⁾₂ , y_k, y_k⁰, ..., y⁽ⁿ⁾_k ) = 0,

...

f_s(t, y₁, y⁰₁, ..., y⁽ⁿ⁾₁ , y₂, y⁰₂, ..., y⁽ⁿ⁾₂ , y_k, y_k⁰, ..., y⁽ⁿ⁾_k ) = 0.

Las variables y₁, y₂, ..., y_kreciben el nombre de variables dependientes y t recibe el nombre de variable independiente. Sólo consideraremos sistemas con el mismo número de variables dependientes que de ecuaciones, es decir, sistemas con k = s. La noción de solución es análoga a la introducida anteriormente, es decir, a la función solución se le pide lo mismo que a las soluciones de una ecuación diferencial pero con cada una de las ecuaciones del sistema.

Para clarificar esta definición propondremos verificar que el sistema de ecuaciones diferenciales:

x⁰ = −y, y⁰ = x + t,

tiene por soluciones x(t) = −t + c1cos(t) + c2sen(t), y(t) = 1 + c1sen(t) − c2cos(t) en el intervalo I = R para cada par de números reales c1, c₂.

Acabamos esta sección definiendo el orden de una ecuación diferencial como el más alto grado de las derivadas que aparecen.

1.1.2. Familias n–paramétricas de soluciones y funciones

En esta sección pretendemos mostrar que, en general, las soluciones de una ecua- ción diferencial dependen de n–parámetros, aunque también veremos que se presentarán

bastantes excepciones. Empezamos considerando la ecuación diferencial y⁰ = f (t) para la que es claro que una solución es y(t) = R f (t)dt + c, donde c es cualquier número real y R f (t)dt denota una primitiva fija de la función f (t). Nos planteamos estudiar después la ecuación y⁰⁰ = f (t) cuya solución es y(t) =R

R f (t)dt
dt + c₁t + c₂donde c1 y c2son números reales cualesquiera fijos. Siguiendo con el mismo razonamiento, la solución de y⁽ⁿ⁾ = f (t) dependerá de n–parámetros.

En general, la ecuación diferencial f (t, y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 tiene por soluciones una familia n–paramétrica de funciones, es decir, una familia de funciones del tipo y(t) = f (t, c₁, c₂, ..., c_n) o en forma implícita, g(t, y, c₁, c₂, ..., c_n) = 0.

Aunque lo expuesto hasta aquí es cierto en general (ya lo veremos) conviene poner de manifiesto contraejemplos sencillos a esta regla. En efecto, la ecuación diferencial y² + (y⁰)² = −1 no tiene soluciones, y² + (y⁰)² = 0 tiene como única solución la función y : R → R constantemente igual a 0 y por último (y⁰−y)(y⁰−2y) = 0 tiene por soluciones la familia biparamétrica definida implícitamente por (y−c1e^t)(y−c₂e^2t) = 0.

Parece lógico preguntarse si fijada una familia n–paramétrica de funciones, y(t) = f (t, c₁, c₂, ..., c_n) o g(t, y, c₁, c₂, ..., c_n) = 0, existe una ecuación diferencial cuyas solu- ciones incluyen la familia fijada. En general la respuesta a este problema es afirmativa y para encontrar la ecuación diferencial basta con derivar n–veces la función y(t) ob- teniendo así n + 1 ecuaciones de las que eliminaremos c para obtener una única ecua- ción diferencial. Ilustraremos este procedimiento buscando una ecuación diferencial que contenga como soluciones a la familia uniparamétrica y(t) = c cos(t) + t y otra para la familia biparamétrica z(t) = c₁e^t+ c₂e^2t.

Derivando respecto de t se obtiene y⁰(t) = −c sen(t) + 1, de donde y⁰(t) = −(y(t) − t) sen(t)

cos(t) + 1.

Así que la familia uniparamétrica y(t) = c cos(t) + t satisface la ecuación y⁰ = (t − y)tan(t) + 1. Para obtener la ecuación diferencial de la familia biparamétrica z(t) = c₁e^t + c₂e^2t derivamos dos veces respecto de t y obtenemos z⁰(t) = c₁e^t + 2c₂e^2t, z⁰⁰(t) = c₁e^t + 4c₂e^2t, ahora eliminamos c₁ y c₂ utilizando las tres ecuaciones y se obtiene z⁰⁰(t) − 3z⁰(t) + 2z(t) = 0, por lo que la familia biparamétrica satisface la ecuación diferencial:

z⁰⁰− 3z⁰+ 2z = 0.

1.1.3. Problema de Cauchy

Llegados a este punto se impone una reflexión. Si las ecuaciones diferenciales mo- delan fenómenos físicos de los que queremos estudiar su comportamiento posterior, no parece razonable que sus soluciones sean infinitas como estamos viendo que de hecho

sucede. En realidad nuestro fenómeno físico deberá quedar determinado por una sola de las soluciones desechando las demás, este proceso de elección de la función adecuada se puede realizar con éxito porque podremos medir, en general, el estado inicial del sis- tema (el valor de la función en un valor determinado de t), a esta condición inicial se le llama condición de Cauchy si la variable t es temporal y condición de contorno si la variable x es espacial. Llegamos así a la definición de problema de Cauchy. Entendemos por problema de Cauchy a una expresión del estilo:

f (t, y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0, y(t0) = y0,1, y⁰(t₀) = y_0,2,

...

y(t₀)⁽ⁿ⁻¹⁾= y_0,n.

Una solución del problema de Cauchy es una función definida en un intervalo abierto I, y : I → R, de manera que y(t) es solución de la ecuación diferencial y además y^(k)(t₀) = y_0,kpara cada k ∈ {0, 1, ..., n − 1}. Acabaremos este apartado resolviendo el problema de Cauchy:

ty⁰⁰− y⁰ = 3t², y(1) = 1, y⁰(1) = 1,

sabiendo que la familia biparamétrica y(t) = t³+c₁t²+c₂es una solución de la ecuación diferencial que define el problema de Cauchy.

1.1.4. Relación entre ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuacio- nes diferenciales

Dedicamos este apartado a justificar que una ecuación diferencial de orden n es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de orden 1. En particular demos- traremos que la ecuación (E):

y⁰ = f (t, y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁾) es equivalente al sistema (S):

y₁⁰ = y₂, y₂⁰ = y₃, ...

y⁰_n−1= y_n, f (t, y₁, y₂, ..., y_n−1, y_n⁰) = 0,

en el sentido que si y(t) es solución de la ecuación (E) entonces y(t), y⁰(t),...,y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) son una solución del sistema (S). Recíprocamente, si y1(t), y₂(t),..., y_n(t) son solución del sistema (S) entonces y1(t) es solución de la ecuación (E) e y₂(t), ...,y_n(t) son las de- rivadas sucesivas de y₁(t). Con lo cual, este método nos permite pasar de una ecuación de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden. Como la solución de la ecua- ción depende en general de n parámetros, la solución del sistema también dependerá de n parámetros.

1.1.5. Ecuaciones en variables separadas

Una ecuación diferencial en variables separadas es una ecuación de primer orden de la forma

y⁰ = f (t)g(y)

o cualquier otra ecuación diferencial que pueda reducirse a ella. Ejemplos de estas ecua- ciones son:

y⁰ = e^yt log(t), y⁰ = t

sen(y), y⁰ = e^tarcsen(y), y⁰ = 3t + t²

log(t) y y − 1 y⁰ = g(y).

Hemos querido iniciar el estudio de las ecuaciones de primer orden con las ecuacio- nes en variables separadas porque son las más sencillas de resolver. En efecto, si y(t) es solución entonces y⁰(t) = f (t)g(y(t)) y por lo tanto si g(y(t)) 6= 0 se tiene que

y⁰(t)

g(y(t)) = f (t)

para cada t. Sean ahora G(y) = R ₁

g(y)dy una primitiva de _g(y)¹ y F (t) = R f (t)dt una primitiva de f (t) (en generalR f (t)dt denota una primitiva particular de la función f , mientras queR f (t) representa a todas las primitivas de f (t), es decir, todas aquellas funciones que tienen por derivada a f (t)).

Usando ahora la regla de derivación compuesta se obtiene [G(y(t))]⁰ = G⁰(y(t))y⁰(t) = y⁰(t)

g(y(t)) = f (t)

por lo que G(y(t)) es una primitiva de f (t) y por lo tanto existirá una constante c tal que G(y(t)) = F (t) + c, o lo que es lo mismo, y(t) está definida implícitamente por G(y) = F (t) + c, es decir,

Z 1

g(y)dy = Z

f (t)dt + c es la solución general de la ecuación en variables separadas.

Para fijar ideas, proponemos resolver el problema de Cauchy y⁰ = y cos(t)

1 + 2y², y(0) = 1.

Según lo expuesto, la solución de la ecuación viene dada por la expresión Z 1 + 2y²

y dy = Z

cos(t)dt + c, y haciendo ambas primitivas se obtiene

log(y) + y² = sen(t) + c,

ahora la condición inicial y(0) = 1 fuerza a que c = 1 y por lo tanto la solución del problema viene dada en forma implícita por la ecuación:

log(y) + y² = sen(t) + 1.

1.1.6. Aplicaciones en ingeniería

Empezamos esta sección con la exposición del problema de la catenaria como un paso preliminar al estudio de vigas. Este problema consiste en determinar la forma que toma un cable cuando se suspende de dos puntos y se deja bajo la acción de la gravedad, es el caso pues, de los cables de fluido eléctrico apoyados en dos torres.

Para resolver el problema fijamos un sistema coordenado como muestra la figura, donde hacemos coincidir el origen coordenado con el punto más bajo que toma el cable

y donde el eje x es tangente a la curva que adopta el cable. Para obtener la ecuación de la curva utilizaremos que el cable está en equilibrio entre el punto más bajo y el punto Q = (x, y(x)), la función p(s) nos da densidad lineal de peso del cable. Las fuerzas que actúan en el problema son:

1. la tensión horizontal H en el punto más bajo,

2. la tensión en el punto Q, que es variable y que denotamos por T (x, y).

3. el peso de la porción de cadena entre O y Q(x, y) que denotaremos por P (x, y).

Figura 1.1: Catenaria

Puesto que el sistema está en equilibrio, la suma de las fuerzas horizontales (resp.

verticales) debe ser cero. Así que:

T (x, y) cos(θ) = H y T (x, y) sen(θ) = Z s

0

p(s)ds, donde la integralRs

0 p(s)ds es la integral que nos da el peso del cable entre el punto O y el punto Q(x, y) situado a una distancia s medida sobre la curva y(x). Deducimos ahora de la primera de las dos ecuaciones

T (x, y) sen(θ) = Htan(θ) = Hy⁰(x), por lo tanto

Hy⁰(x) = Z s

0

p(t)dt.

Derivamos la igualdad anterior respecto de la variable x y se obtiene Hy⁰⁰= d

dx Z s

0

p(s)ds = d ds

Z s 0

p(t)dtds

dx = p(s)p

1 + y⁰(x)², lo que indica que la curva y(x) es solución de la ecuación diferencial

Hy⁰⁰= p(s)p

l + (y⁰)².

Resolvemos la anterior ecuación en el caso que la función p(s) sea constante e igual a p, que es el caso comentado de los cables de tendido eléctrico. La ecuación queda como

y⁰⁰ = p H

p1 + (y⁰)²,

y cambiando y⁰por z transformamos la ecuación diferencial anterior por z⁰ = p

H

√ 1 + z²

que es una ecuación en variables separadas con solución (utilícese que z(0) = 0):

log(z +√

1 + z²) = ax.

Despejando z y cambiando de variable se obtiene:

y(x) = H

2p(e^pxH + e^−pxH ).

Representamos para acabar la curva y(x) para los valores H = 10 y p = 3.

Una primera aproximación al problema de la braquistocrona

Esta sección está dedicada a la exposición del problema de la braquistocrona y a ver cómo podemos resolverlo utilizando las ecuaciones diferenciales y la ley de refracción de Snell. No es una resolución formal pero sí una aproximación. En 1606 Jean Ber- noulli planteó encontrar la curva que conecta dos puntos A y B separados horizontal y verticalmente una distancia prefijada (que para mayor comodidad supondremos 1 me- tro en ambas direcciones) de manera que si dejamos caer una bola por la curva bajo la acción de la gravedad tarda tiempo mínimo. Entre otros, Newton, Leibniz, L’Hópital, Jakob Bernoulli y el propio Jean Bernoulli dieron respuesta al problema. Para mayor simplicidad supondremos A = (0, 0) y B = (1, 1) (véase Figura 1.1.6). La solución que daremos no se obtiene realmente mediante una resolución formal ya que utilizamos que una partícula que se deslice por la curva que minimiza el tiempo debe verificar que

sen(α(y)) v(y) = c,

Figura 1.2: Catenaria por el paso particular y(x) = ⁵₃(e^3x10 + e^−3x10 ).

donde v(y) es la velocidad de la partícula cuando se encuentra en el punto (x, y(x)), dicha igualdad se obtiene haciendo un símil con la ley de refracción de la luz de Snell.

Ahora bien, la velocidad v(y) es fácil de calcular utilizando el principio de conservación de la energía, de donde se obtiene

v =p 2gy.

Podemos encontrar ya la ecuación diferencial que satisface la función y(x), en efecto

sen(α(y)) = 1

p1 + tan²(^π₂ − α(y)) = 1 1 + (y⁰(x))², ahora, combinando las ecuaciones anteriores tenemos

y(1 + (y⁰)²) = c

para una constante c. Esta última ecuación se puede reescribir como una ecuación dife- rencial en variables separadas

y⁰ =r c − y y , cuya solución general viene dada por

Z r c − y

y dy = x + c1

para una constante c1. Ahora integramos la ecuación como hemos indicado en el apar- tado de ecuaciones en variables separadas y determinamos la constante c1 para llegar a

la solución

x = c



θ − tan(θ) 1 + tan²(θ)



= c

2(2θ − sen(2θ)) donde

θ = arctan(r c − y y ).

Figura 1.3: Problema de la braquistocrana.

1.1.7. Familia de curvas ortogonales

Dadas dos familias de curvas F y G, se dice que son ortogonales si para cada par de curvas, y(x) de la primera y z(x) de la segunda, se tiene que las intersecciones de ambas son perpendiculares, es decir, los vectores tangentes de ambas curvas en los puntos de intersección son perpendiculares. Con las técnicas desarrolladas en este tema podemos reducir el problema de encontrar una familia de curvas ortogonales a una familia fijada H, a resolver una ecuación diferencial.

Este problema de encontrar familias de curvas ortogonales tiene interés en física.

En efecto, si una corriente fluye por una lámina plana de material conductor, las curvas equipotenciales son las líneas perpendiculares a las líneas de flujo.

Pasamos pues a ver cómo se resuelve el problema, para ello suponemos fijado una familia de curvas, H, definida mediante una ecuación diferencial y⁰ = f (x, y), lo cual quiere decir que la curva de H que pase por un punto (x0, y₀), y : I → R, tendrá en

dicho punto pendiente f (x₀, y₀) y por lo tanto una curva perpendicular que interseque con ella deberá tener pendiente −_{f (x}¹

0,y0). Así que la familia de curvas ortogonales a H debe satisfacer la ecuación diferencial z⁰ = _{f (x,z)}⁻¹ .

1.1.8. Ecuaciones lineales

En esta sección vamos a considerar las ecuaciones lineales de primer orden, es decir, ecuaciones del tipo: a0(t)y⁰ + a₁(t)y = b(t), donde las funciones a₀(t), a₁(t) y b(t) las suponemos continuas y definidas en un intervalo I, adicionalmente suponemos que a₀(t) 6= 0 para todo t ∈ I, con lo cual la ecuación anterior puede reescribirse como:

y⁰ + p(t)y = q(t).

Tanto p(t) como q(t) serán funciones continuas y siguiendo la notación de los sistemas de ecuaciones lineales, diremos que la ecuación es homogénea cuando q(t) ≡ 0 y no homogénea en caso contrario.

Resolución de la ecuación lineal

El objetivo de este apartado es resolver la ecuación y⁰ + p(t)y = q(t), la idea de la resolución es sencilla, consiste en multiplicar la ecuación por una función µ(t) de manera que el miembro izquierdo de la ecuación obtenida sea ahora la derivada de la función µ(t)y(t) (explicaremos que la función µ recibe el nombre de factor integrante).

Después tomaremos primitivas en ambos miembros y dividiremos por µ(t) para obtener y(t).

Calculando, no es difícil llegar a la expresión de µ:

µ(t) = e^{R p(t)dt}.

Ahora tenemos que la ecuación de partida queda equivalente a (µ(t)y(t))⁰ = µ(t)q(t) y por lo tanto, la solución general es:

y(t) = 1 µ(t)

Z

µ(t)q(t)dt + c.

Si ahora consideramos un problema de Cauchy asociado a una ecuación diferencial lineal cabe preguntarse si la solución será única para cada condición inicial dada. La respuesta la da el siguiente teorema.

Teorema 1.1.1. Sea t₀ un punto del intervaloI e y₀ ∈ R. El problema de Cauchy y⁰+ p(t)y = q(t)

y(to) = y₀,

tiene solución única dada por la expresión y(t) = 1

µ(t)

Z t t0

µ(s)q(s)ds + y0

 , donde:

µ(t) = exp

Z t t0

p(s)ds

 .

Conviene hacer notar en este punto que la solución general obtenida es realmente general en el sentido que cualquier solución se escribe según la expresión anterior, la demostración de este hecho se deduce del teorema anterior.

Por último, pasaremos a explicar cómo acortar los cálculos para obtener soluciones generales de la ecuación. A este respecto demostraremos que la solución general de la ecuación no homogénea se puede obtener como la suma de la solución general de la ecuación homogénea y⁰_h + p(t)yh = 0 con una de las soluciones particulares de la no homogénea. La ventaja de resolver de este modo la ecuación lineal no homogénea es que la resolución de la homogénea resulta más sencilla:

y_h(t) = cexp



− Z

p(t)dt

 , quedándonos a expensas de encontrar una solución particular.

Para obtener una solución particular de la ecuación no homogénea utilizaremos el principio de superposición de soluciones: si y1(t), y₂(t),...,y_n(t) son soluciones de y⁰+ p(t)y = q₁(t), y⁰ + p(t)y = q₂(t),..., y⁰ + p(t)y = q_n(t) respectivamente, entonces a₁y₁(t) + a₂y₂(t) + ... + a_ny_n(t) es solución de

y⁰+ p(t)y = a₁q₁(t) + a₂q₂(t) + ... + a_nq_n(t).

Para finalizar el apartado expondremos el método de los coeficientes indeterminados, eficaz en la búsqueda de soluciones de la ecuación lineal para p(t) constante y q(t) de la forma e^αt[Pm(t) cos(βt) + Qm(t) sen(βt)], siendo Pm(t) y Qm(t) polinomios de grado menor o igual que m. El método sugiere buscar las soluciones de la ecuación entre funciones del tipo:

y(t) = e^αt[R_m(t) cos(βt) + S_m(t) sen(βt)],

donde R_m(t) y S_m(t) son polinomios de grado menor o igual que m con coeficientes que hay que determinar usando la ecuación. No obstante, existe una salvedad al método anterior, si q(t) = e^−ptP_m(t), siendo P_m(t) un polinomio de grado menor o igual que m. Buscaremos la solución particular entre funciones de la forma y(t) = tRm(t)e^−pt con Rm(t) un polinomio con coeficientes a determinar.

1.1.9. Ecuaciones exactas

En esta sección vamos a estudiar ecuaciones diferenciales de primer orden del tipo M (t, y) + N (t, y)y⁰ = 0,

siendo M y N funciones continuas definidas en un abierto D de R². Estas ecuaciones se escriben normalmente como:

M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0.

Para este tipo de ecuaciones, si existe una función f : D ⊂ R² → R de clase C¹ tal que ^∂f_∂tf (t, y) = M (t, y), ^∂f_∂y(t, y) = N (t, y) y f (t, y) = c define a y como función implícita de t entonces la función y(t) tal que f (t, y(t)) = c es solución de la ecuación diferencial. En efecto, derivamos en la anterior igualdad para obtener:

d

dtf (t, y(t)) = ∂f

∂t(t, y) + ∂f

∂y(t, y)y⁰(t) = M (t, y(t)) + N (t, y(t))y⁰(t) = 0.

Recíprocamente, si y : K → R es solución de la ecuación diferencial entonces:

0 = M (t, y(t)) + N (t, y(t))y⁰(t) = ∂f

∂t(t, y) +∂f

∂y(t, y)y⁰(t) = ∂f

∂t(t, y) y por lo tanto f (t, y(t)) = cte. Se impone pues, dada una ecuación diferencial de este tipo, buscar una función f : D ⊂ R² → R de clase C¹ tal que ^∂f_∂tf (t, y) = M (t, y),

∂f

∂y(t, y) = N (t, y). Este tipo de ecuaciones diferenciales para las que existe la función f se llaman ecuaciones diferenciales exactas. El siguiente teorema da respuesta a esta cuestión.

Teorema 1.1.2. Supongamos que M (t, y) y N (t, y) son funciones de clase C¹definidas en un abiertoD = I × J donde I y J son intervalos de R. Entonces son equivalentes:

1. La ecuaciónM (t, y) + N (t, y)y⁰ = 0 es exacta, 2. ^∂M_∂y(t, y) = ^∂N_∂t(t, y).

En este caso, fijadost₀ ∈ I e y₀ ∈ J, la solución general de la ecuación exacta viene dada por

f (t, y) :=

Z t t0

M (s, y)ds + Z y

y0

N (t₀, u)du = c.

Si además N (t₀, y₀) 6= 0 entonces el problema de Cauchy M (t, y) + N (t, y)y⁰ = 0, y(t0) = y0, tiene solución única, que está definida implícitamente por la ecuación f (t, y) = 0.

Proponemos la ecuación (3t² + 4ty)dt + (2t²+ 2y)dy = 0 para ilustrar el método de resolución que propone el anterior teorema. La ecuación es exacta, en efecto:

∂(3t²+ 4ty)

∂y = 4t y∂(2t²+ 2y)

∂t = 4t,

si ahora fijamos una condición de Cauchy y(1) = 1, la solución del problema de Cauchy viene dada por

0 = f (t, y) = Z t

1

(3s²+ 4sy)ds + Z y

1

(2 + 2u)du = t³+ 2t²y + y²− 4.

Factores integrantes

Empezamos esta sección haciendo notar que la definición que hemos dado de ecua- ción exacta es ambigua ya que puede ocurrir que exista una función µ : D ⊂ R² → R continua que no se anule en ningún punto y tal que µ(t, y)M (t, y)dt+µ(t, y)N (t, y)dy = 0 sea exacta sin que M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0 lo sea. Y evidentemente se trata de la misma ecuación diferencial, sería pues más correcto hablar de ecuaciones escritas en forma exacta y de ecuaciones escritas en forma no exacta.

Para abordar la resolución de ecuaciones escritas en forma no exacta se introduce la noción de factor integrante que no es más que una función µ : D ⊂ R² → R de clase C¹ que no se anula en ningún punto y tal que

µ(t, y)M (t, y)dt + µ(t, y)N (t, y)dy = 0

está escrita en forma exacta. Como estamos pidiendo a µ que no se anule, las ecuaciones M (t, y)dt+N (t, y)dy = 0 y µ(t, y)M (t, y)dt+µ(t, y)N (t, y)dy = 0 tienen las mismas soluciones. La función µ debe verificar (utilizando el Teorema 1.1.2)

∂(µM )

∂y = ∂(µN )

∂t , o lo que es lo mismo,

µ∂M

∂y + M∂µ

∂y = µ∂N

∂t + N∂µ

∂t, de donde

N∂µ

∂t − M∂µ

∂y = µ ∂M

∂y − ∂N

∂t

 .

No obstante, la ecuación anterior es una ecuación en derivadas parciales, en gene- ral, mucho más difícil de resolver que nuestra ecuación de partida. Así que hallaremos factores integrantes por métodos directos y nos limitaremos a factores integrantes de la forma µ(t, y) = µ(t) o µ(t, y) = µ(y).

1.1.10. Existencia y unicidad de soluciones

Ya comentamos al introducir la noción de problema de Cauchy, la importancia de que este tenga solución única si estamos tratando con ecuaciones diferenciales que mo- delan fenómenos físicos, ya que sin esta unicidad puede que no podamos predecir el comportamiento futuro del sistema. Dejaremos claro en esta sección que la solución no tiene que ser única y ni siquiera tiene por qué existir. No obstante, bajo ciertas condicio- nes sí que existe la solución.

En primer lugar ponemos un par de ejemplos, el primero de ellos, y⁰ = xlog(y)

y⁰(0) = −1,

muestra que un problema de Cauchy no tiene por qué tener solución. A continuación consideramos el problema

y⁰ = 3y²³ y⁰(0) = 0,

que tiene la ecuación diferencial en variables separadas y que podremos resolver como hemos indicado anteriormente obteniendo y(t) = t³ para todo t ∈ R. Obsérvese que la función y(t) = 0 para todo t ∈ R también es solución. En definitiva, este problema de Cauchy no tiene solución única.

Expondremos seguidamente un resultado que garantiza la existencia y unicidad de soluciones.

Teorema 1.1.3. Sea f : D = [t₀− a, t₀+ a] × [y₀ − b, y₀ + b] → R continua y con derivada parcial ^∂f_∂y continua enD, sea M = m´ax{|f (x, y)| : (x, y) ∈ D}. Entonces el problema de Cauchy

y⁰ = f (t, y) y⁰(t₀) = y₀,

tiene solución única definida en[t0− α, t0+ α] donde α = m´ın{a,_M^b }.

Observamos que el resultado anterior admite una formulación más general en térmi- nos de funciones localmente lipschitzianas respecto de la variable y. Por último haremos notar que la existencia de soluciones para problemas de Cauchy (no la unicidad) se de- duce exigiendo únicamente la continuidad de la función f .

1.1.11. Análisis cualitativo de las ecuaciones de orden uno: el méto- do de las isoclinas

Hasta ahora, el estudio que hemos hecho de las ecuaciones de orden uno sólo permite abordar la solución de algunos tipos concretos de ecuaciones, lo cual implica que, en general, no seremos capaces de encontrar soluciones de una ecuación de orden uno elegida al azar.

El método de las isoclinas no nos va a permitir resolver la ecuación diferencial pero sí extraer cierta información cualitativa de las soluciones de una ecuación diferencial y⁰ = f (x, y). En efecto, si y(x) es una solución de y⁰ = f (x, y) y (x₀, y₀) es un punto de la gráfica, entonces la pendiente de la solución en dicho punto es y⁰(x0) = f (x0, y0) que es un valor que conocemos.

Los puntos del plano donde la gráfica tiene pendiente α serán {(x, y) : f (x, y) = a},

que en general representa una curva llamada isoclina para la pendiente a. Dibujando las isoclinas de la ecuación y dándose cuenta de que las curvas de las soluciones que cortan a una isoclina lo hacen con la misma pendiente, podemos hacernos una idea aproximada de la forma de las soluciones.

Atención especial merecen las isoclinas para la pendiente 0 puesto que son las curvas donde se van a localizar los extremos relativos de las funciones soluciones de la ecuación diferencial. Por otro lado, la segunda derivada de una solución habrá de verificar:

y⁰⁰(x) = ∂f

∂x(x, y(x)) + ∂f

∂yy⁰(x),

lo cual nos permite averiguar las zonas de concavidad y convexidad de las curvas solu- ción.

1.2. Ecuaciones y sistemas lineales. Teoría fundamental

Esta sección está dedicada al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales de orden uno y de las ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que uno. Estudiar este tipo de sistemas tiene bastante interés ya que algunos sistemas mecánicos y eléctricos de ingeniería están modelados por ecuaciones y sistemas lineales.

Nos centraremos en el estudio de las soluciones, en particular veremos qué estruc- tura tienen, sin embargo dejaremos para la sección siguiente el problema de calcular las soluciones. Por otro lado, esta parte tiene una conexión fuerte con el álgebra lineal,

al ser las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones de orden arbitra- rio espacios vectoriales finito dimensionales. Las referencias que hemos usado para el desarrollo de la sección son: [NOR 95, pag. 217-219] y [Jim 00, Capítulo 3].

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es un sistema de ecuaciones dife- renciales de la forma

y₁⁰ = a₁₁(x)y₁+ a₁₂(x)y₂+ ... + a_1ny_n+ b₁(x), (1.2) y₂⁰ = a21(x)y1+ a22(x)y2+ ... + a2nyn+ b2(x),

...

y_n⁰ = a_n1(x)y₁+ a_n2(x)y₂+ ... + a_nny_n+ b_n(x),

donde las funciones aij(x) y b_i(x) son continuas para todo 1 ≤ i, j ≤ n en un intervalo I. Este sistema de ecuaciones diferenciales se puede escribir resumidamente como

y⁰ = A(x)y + b(x), (1.3)

donde

A(x) =













a₁₁(x) a₁₂(x) ... a_1n(x) a₂₁(x) a₂₂(x) ... a_2n(x)

... ... ... ...

a_n1(x) a_n2(x) ... a_nn(x)













y b(x) =











 b₁(x) b₂(x) ...

b_n(x)











 .

Hacemos notar que en la ecuación (1.3) y⁰ denota la derivada coordenada a coor- denada, cuando b(x) es el vector 0 el sistema de ecuaciones diferenciales se dice ho- mogéneo y en caso contrario, se dice que el sistema es no homogéneo. Diremos que el sistema (1.2) es de coeficientes constantes si todas las funciones aij(x) son constantes, o equivalentemente si la matriz A(x) es constante.

Una ecuación diferencial lineal de orden n es una expresión de la forma

an(x)yⁿ+ an−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ an−2(x)(x)y⁽ⁿ⁻²⁾+ ... + a1(x)y⁰ + a0(x)y = c(x), (1.4) donde las funciones ai(x), 1 ≤ i ≤ n, y c(x) están definidas en un intervalo I y son continuas. Si la función a_n(x) es tal que a_n(x) 6= 0 para todo x de I, entonces la ecuación (1.4) se puede reescribir como

y⁽ⁿ⁾+ c_n−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ c_n−2(x)y⁽ⁿ⁻²⁾+ ... + c₁(x)y⁰ + c₀(x)y = d(x), (1.5)

siendo las funciones c_i(x), 1 ≤ i ≤ n, y d(x) continuas en el intervalo I. Seguida- mente hacemos notar que la ecuación diferencial anterior se puede reescribir como un sistema diferencial lineal introduciendo las variables y_i = y⁽ⁱ⁻¹⁾, 1 ≤ i ≤ n:











 y₁⁰ y₂⁰ ...

y_n⁰













=













0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

... ... ... ... ...

−c₀(x) −c₁(x) −c₂(x) ... −c_n−1(x)























 y₁ y₂ ...

yn











 +











 0 0 ...

d(x)













Planteamos esta sección de manera que iremos de lo general a lo particular, en con- creto veremos primero las propiedades que satisfacen las soluciones de las expresiones (1.2) y (1.5) para después pasar al cálculo efectivo de dichas soluciones, aunque acla- ramos ya, que no seremos capaces de resolver todos los casos posibles que se pueden plantear a priori.

1.2.1. Existencia y unicidad de soluciones

Empezamos esta sección mostrando que los sistemas de ecuaciones diferenciales homogéneos tienen solución única una vez fijada una condición inicial. El siguiente teorema resume dicha existencia y unicidad de soluciones.

Teorema 1.2.1 (Existencia y unicidad de soluciones). Dado el sistema de ecuaciones diferencialesy⁰ = A(t)y + b(t), siendo cada componente de A y b funciones continuas definidas en un intervaloI. Entonces, el problema de Cauchy

y⁰ = A(t)y + b(t), y(t₀) = y₀,

tiene solución única definida en todo el intervaloI.

Notemos que la solución del problema de Cauchy, y(t), satisface:

y(t) = y₀+ Z t

t0

(A(s)y(s) + β(s))ds. (1.6)

Y recíprocamente, cualquier función y(t) que satisfaga la ecuación integral anterior será solución del problema de Cauchy.

Por otro lado, este teorema de existencia y unicidad de soluciones implica la exis- tencia y unicidad de soluciones para la ecuación lineal de orden n en los términos que damos a continuación:

Teorema 1.2.2 (Existencia y unicidad de soluciones). El problema de Cauchy:

y⁽ⁿ⁾+ a1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ ... + an−1y⁰+ an(t) = b(t) y(t₀) = y_0,1,

y⁰(t₀) = y_0,2, ...

y⁽ⁿ⁻¹⁾(t₀) = y_0,n,

para funciones continuas a₁(t), a₂(t),..., a_n(t) y b(t) definidas en un intervalo I tiene solución única.

1.2.2. Estructura de las soluciones de un sistema diferencial lineal

Empezamos ocupándonos de la estructura de las soluciones del sistema homogéneo

y⁰ = A(t)y (1.7)

en particular demostraremos el resultado que sigue.

Teorema 1.2.3. Las soluciones del sistema lineal homogéneo (1.7) tienen estructura de espacio vectorial sobre R. Además su dimensión es n (n es el número de componentes dey).

Definimos a continuación la noción de matriz fundamental asociada al sistema (1.7) que no es más que una matriz Y (t) cuyas columnas constituyen una base de las solucio- nes de (1.7). Ahora se puede ver sin dificultad que si Y (t) es una matriz fundamental, entonces para cualquier matriz C ∈ M_n(R) invertible, de números reales, se tiene que Y (t)C es una matriz fundamental. Recíprocamente, para cualquier matriz fundamental Z(t), existe una matriz invertible C de números reales tal que Z(t) = Y (t)C. Usando este resultado se puede probar fácilmente la siguiente caracterización.

Teorema 1.2.4. Sea Y ∈ Mn(C(I)) cuyas columnas son solución de (1.7). Entonces son equivalentes:

1. Y (t) es una matriz fundamental, 2. existet₀ ∈ I tal que detY (t₀) 6= 0, 3. para todot ∈ I, detY (t) 6= 0.

1.2.3. Resolución del sistema no homogéneo a partir de una matriz fundamental

Si ahora consideramos el sistema lineal no homogéneo, sus soluciones tienen tam- bién una determinada estructura algebraica tal y como reza el resultado que sigue.

Teorema 1.2.5. El conjunto de soluciones del sistema y⁰ = A(t)y + b(t) tiene estructura de variedad afín de dimensiónn sobre R. Es decir, toda solución y(t) del sistema tiene la forma

y(t) = α₁y₁ + α₂y₂ + ... + α_ny_n+ y_p(t),

donde αi ∈ R para 1 ≤ i ≤ n. Las funciones y1(t), y₂(t),..., y_n(t) son soluciones linealmente independientes de(1.7) e y_pes una solución particular del sistema(1.2).

A la luz de este teorema conviene resaltar en este punto que tenemos ante noso- tros dos problemas de envergadura para encontrar las soluciones de (1.2). El primero de ellos es encontrar una matriz fundamental de (1.7) (este problema, que para el caso unidimensional era muy fácil, será tratado posteriormente aunque no podremos abor- darlo totalmente). El segundo es encontrar una solución particular de (1.2), para ello utilizaremos el principio de superposición de soluciones y el método de variación de las constantes. Este último consiste en buscar una solución particular de (1.2) entre funcio- nes de la forma

y_p(t) = Y (t)(c₁(t), c₂(t), ..., c_n(t))^t, para una adecuada función c(t), la cual veremos que debe satisfacer

c(t) = Z

Y⁻¹b(t)dt.

Con lo cual las soluciones de la ecuación (1.7) serán:

y(t) = Y (t)k + Y (t) Z

Y⁻¹b(t)dt

para cada vector constante k. Por otro lado justificaremos que el problema de Cauchy tendrá por solución:

y(t) = Y (t)Y⁻¹(t₀)y₀+ Y (t) Z t

t0

Y⁻¹(s)b(s)ds. (1.8)

1.2.4. Estructura de las soluciones de la ecuación lineal

Aprovechando la estructura que satisfacen las soluciones de los sistemas lineales y utilizando la relación que existe entre sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones

lineales, según se ha visto en la introducción del desarrollo de los contenido de este tema, vamos a dar un teorema de estructura de las soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de grado n:

y⁽ⁿ⁾+ c_n−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ c_n−2(t)y⁽ⁿ⁻²⁾+ ... + c₁(t)y⁰+ c₀(t)y = 0, (1.9) siendo ci(t), 0 ≤ i ≤ n − 1, y d(t) funciones continuas definidas en un intervalo I.

En primer lugar podemos establecer:

Teorema 1.2.6. Las soluciones de (1.9) forman un espacio vectorial real de dimensión n. El teorema anterior nos permite definir un sistema fundamental de soluciones de (1.9) como una base {y1(t), y2(t), ..., yn(t)} del espacio de soluciones de (1.9). Debido a que cualquier solución de nuestra ecuación lineal homogénea será de la forma:

y(t) = α1(t)y1(t) + α2(t)y2(t) + ... + αn(t)yn(t).

Será importante disponer de alguna herramienta para saber si un conjunto de solucio- nes de (1.9) es un sistema fundamental o no. Para ello introducimos seguidamente la noción dewronskiano.

Definición 1.2.7. Dado un conjunto de funciones z₁(t), z₂(t),..., z_n(t) de clase Cⁿ⁻¹, definimos el wronskiano de dicho conjunto en un puntot como:

W (z₁(t), z₂(t), ..., z_n(t)) =          

z₁(t) z₂(t) ... z_n(t) z₁⁰(t) z₂⁰(t) ... z_n⁰(t)

... ... ... ...

z₁⁽ⁿ⁻¹⁾(t) z⁽ⁿ⁻¹⁾₂ (t) ... z⁽ⁿ⁻¹⁾n (t)           .

La definición de wronskiano nos permite reescribir el Teorema 1.2.6 como sigue:

Teorema 1.2.8. Sean y₁(t), y₂(t),... , y_n(t) soluciones de (1.9). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. y₁(t), y₂(t),... , y_n(t) es un sistema fundamental, 2. existet0 ∈ I tal que W (y1(t0), y2(t0), ..., yn(t0)) 6= 0, 3. para todot ∈ I, W (y₁(t), y₂(t), ..., y_n(t)) 6= 0.

Este resultado tiene un análogo para la ecuación diferencial lineal de orden n:

Teorema 1.2.9. El conjunto de soluciones de 1.2 tiene estructura de variedad afín de dimensiónn sobre el cuerpo de los números reales. Es decir, toda solución y(t) de (1.9) es de la forma

y(t) = α1y1(t) + α2y2(t) + ... + αnyn(t) + yp(t),

dondeα_i ∈ R para 1 ≤ i ≤ n, el conjunto y1(t), y₂(t),... , y_n(t) constituye un sistema fundamental de la ecuación homogénea (1.9) e yp(t) es una solución particular del problema no homogéneo.

1.2.5. Resolución de la ecuación no homogénea a partir de un siste- ma fundamental de soluciones

En este caso, para encontrar la solución particular de la ecuación no homogénea, aplicaremos el método de variación de las constantes buscando una solución particular que sea de la forma

y_p(t) = e₁(t)y₁(t)(t) + e₂(t)y₂(t) + ... + e_n(t)y_n(t).

Veremos además para concluir esta sección, que las funciones e_i(t) verifican:











 e1(t) e₂(t) ...

e_n(t)













= Z













y1(t) y2(t) ... yn(t) y₁⁰(t) y⁰₂(t) ... y_n⁰(t)

... ... ... ...

y₁⁽ⁿ⁻¹⁾(t) y⁽ⁿ⁻¹⁾₂ (t) ... yn⁽ⁿ⁻¹⁾(t)























 0 0 ...

b(t)













dt, (1.10)

donde la integral anterior se entiende que se toma componente a componente. Ilustrare- mos este método aplicándolo a la ecuación

y⁰⁰− 3 ty⁰ + 3

t²y = 2t − 1,

para la que suponemos conocido que {t, t³} es un sistema fundamental de la ecuación homogénea.

Siguiendo las indicaciones generales antes dadas buscamos una solución particular de la forma

y_p(t) = e₁(t)t + e₂(t)t³

donde las funciones e₁y e₂ deben ser elegidas como en (1.10). Por lo tanto:

e₁(t) e₂(t)

!

= −^t₂² +₂^t log(t) +_2t¹

! .

Así que la solución general de la ecuación y⁰⁰− ³_ty⁰ +_t³2y = 2t − 1, es y(t) = c₁t + c₂t³+ t²+ t³log(t),

con c1 y c2 dos números reales arbitrarios.

1.3. Ecuaciones y sistemas lineales. Resolución y apli- caciones

Esta sección tiene tres partes diferenciadas: resolución de sistemas lineales de ecua- ciones diferenciales de orden uno, resolución de ecuaciones lineales de orden n y apli- caciones de dichas ecuaciones y sistemas.

En cuanto a los métodos de resolución presentados, destacamos el no uso de la forma canónica de Jordan para el cálculo de la exponencial de una matriz. La razón de no ha- cerlo es la imposibilidad de introducir estos conceptos en la parte de álgebra lineal. Por otro lado, conviene tener en cuenta que los métodos que se presentan no son operativos para sistemas de más de cuatro ecuaciones debido al tiempo que se tiene que emplear para su resolución. En cuanto a las ecuaciones diferenciales lineales nos ocuparemos de aquéllas que tienen coeficientes constantes, para pasar después al método de los coefi- cientes indeterminados a la hora de buscar soluciones de la ecuación no homogénea con término independiente siendo combinación lineal con coeficientes polinómicos de senos y cosenos, todo ello multiplicado por una exponencial. Este método supondrá una alter- nativa al método de variación de las constantes estudiado con anterioridad. También se estudiará el método de los coeficientes indeterminados en la resolución de sistemas no homogéneos. Una vez estudiadas las ecuaciones lineales de orden n se verá cómo trans- formar un sistema lineal en un ecuación lineal para utilizar los métodos de resolución de éstas y obtener así también las soluciones del sistema lineal. Las fuentes que hemos utilizado para la confección de esta sección son: [B 93], [Jim 00, Capítulo 3] , [Jef 93, Capítulo 5], [NOR 95, Capítulo 7]. Para las aplicaciones a las ciencias experimentales son de interés: [Ada 67, p. 101–112], [BP 96, p. 165–186] y [Sim 93, p. 111–119] .

1.3.1. Exponencial de una matriz real

Haciendo algunas analogías con la exponencial real podemos introducir el concepto de exponencial de una matriz A ∈ Mm(C(I)).

Definición 1.3.1. Dada una matriz A ∈ Mm(C(I)) donde I es un intervalo cualquiera, se define la exponencial de dicha matriz como

exp(A) = e^A:=

∞

X

k=0

A^k k!

Enunciamos las propiedades más importantes de la exponencial:

1. A y e^Aconmutan,

2. la exponencial de la matriz 0 es la matriz identidad I_m, 3. si AB = BA entonces e^AB = e^Ae^B,

4. la matriz e^Aes siempre invertible siendo su inversa e^−A,

5. si P es una matriz invertible y A = P BP⁻¹entonces e^A = P e^BP⁻¹.

La última propiedad tiene una importancia especial para calcular la exponencial de matrices diagonalizables, en efecto, si A es una matriz real diagonalizable de tamaño m × m, existirá una matriz invertible P tal que D = P AP⁻¹es una matriz diagonal:

D =













λ1 0 ... 0 0 λ₂ ... 0 ... ... ... ...

0 0 ... λn













por lo tanto e^A = P⁻¹e^DP . Además el cálculo de la exponencial de D es trivial:

Proposición 1.3.2. Usando la notación de esta sección, se tiene:

e^tD =













e^λ1 0 ... 0 0 e^λ2 ... 0 ... ... ... ...

0 0 ... e^λn











 .

Aplicación de la exponencial a la resolución de sistemas homogéneos

Es el momento de justificar el porqué definir la exponencial de una matriz. En parti- cular es interesante ver cuál es la derivada de la exponencial de una matriz de funciones.

El siguiente resultado, que no demostraremos, explica el comportamiento de la derivada.

Teorema 1.3.3. Sea B(t) una matriz de funciones definidas en un intervalo I ⊂ R. Si B(t) es derivable siendo todas las componentes de B⁰(t) continuas, entonces e^B(t) es derivable con derivadas continuas.

Además, siB(t)B⁰(t) = B⁰(t)B(t) entonces (e^B(t))⁰ = B⁰(t)e^B(t).

Como consecuencia de este teorema obtenemos el siguiente resultado que tiene gran importancia y cuya prueba no ofrece dificultad.

Teorema 1.3.4. Sea A(t) una matriz de funciones definidas en el intervalo I y de tama- ñon × n y sea B(t) una primitiva de A(t). Si B(t)A(t) = A(t)B(t) entonces la matriz e^Bes una matriz fundamental del sistema lineal homogéneoy⁰ = A(t)y.

En particular, si A(t) es constante, entonces e^tA es una matriz fundamental del sistemay⁰ = Ay. Además, y(t) = e^(t−t0)Ay₀ es la solución del problema de Cauchy:

y⁰ = Ay, y(t₀) = y₀.

Es importante pues notar que no siempre el método de la exponencial de una matriz conducirá a encontrar la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales, aunque en el caso de que la matriz sea constante el método será suficiente para resolver el sistema diferencial.

Otra observación es que, aunque la matriz asociada al sistema diferencial lineal sea constante, no siempre es fácil calcular la exponencial, de momento sólo sabemos cal- cularla para matrices diagonalizables. Por ello debemos desarrollar otros métodos para calcular la exponencial que no involucren la matriz de Jordan que es tediosa en general de computar. Para ello desarrollaremos un método basado en el teorema de Cayley–

Hamilton. Antes un ejemplo.

Ejemplo 1.3.5. Resolver el sistema y⁰ = A(t)y, siendo

A(t) = 0 1

−1 0

!

Solución:Empezamos calculando una primitiva de A(t), que será

B(t) = −t 0

t²

2 −t

!

ahora como

A(t)B(t) = B(t)A(t) = t 0

−^3t₂² t

! ,

entonces e^B(t) es una matriz fundamental del sistema. En este caso la exponencial es fácil de calcular. Para ello descomponemos la matriz B(t) como

B(t) = −t 0 0 −t

!

+ 0 0

t²

2 0

!