Crecimiento Neoclásico
Irán Apolinar Peredo Cortes
30 de diciembre de 2012
1. Fundamentos del Crecimiento Neoclásico
S
abemos que la teoría Macroeconómica para su estudio se desarrolla en un contexto de equilibrio general, es hasta cierto puto verosímil pensar que existe un equilibrio general en la economía, sin embargo antes de pensar en una concepción de equilibrio a gran escala tendríamos que pensar en la posibilidad de la existencia de agregados económicos. La agregación económica como veremos a continuación solo se cumplirá bajo ciertos casos, donde la forma funcional de la función de demanda toma formas especícas y es entonces como podemos asegurar la existencia de una agregación como tal. Lo anterior de forma intrínseca establece las bases para probar la existencia de un agente representativo desde los hogares hasta las empresas, probar la existencia de estos es crucial para empezar a hablar de teoría Macroeconómica, como veremos más adelante fue gracias a los trabajos de Gorman (1959)1 comopodemos hablar de una Macroeconomía como tal y solo bajo ciertos supuestos.
Para empezar a contextualizar en torno a una fundamentación de la teoría del crecimiento económico modelos como el de Solow predice la existencia de una tasa de ahorro constante, seria mejor desde el punto de vista analítico expresar las prefe-rencias de los individuos desde la base de la teoría del equilibrio competitivo y que sea a través de estas que se deriven las decisiones de consumo de los agentes. Es ne-cesario poder establecer el modelo de equilibrio competitivo como marco contextual de la teoría del crecimiento económico de manera que las variables derivadas del modelo surjan como producto de un proceso optimizador de los agentes económicos, además de poder establecer análisis de bienestar a través de el óptimo de Pareto.
1.1. Supuestos de partida
Supondremos que la unidad de medida de los agentes económicos es el número de hogares los cuales viven durante periodos innitos a través de un sistema de dinastías. Podemos representar a los hogares como H , el cual es un set contable formado por H = {1,2, ..., M} con M = ∞, sin perdida de generalidad podemos
establecer queM es nito, entoncesH será nito, en muchos modelos este supuesto
es aceptable, a excepción de los modelos de generaciones translapadas.
Como base de análisis de la teoría del equilibrio general asumiremos que se cum-ple los axiomas de transitividad, comcum-pletitud y reexividad y que estas preferencias pueden ser modeladas a través de una función de utilidad, en particular supondremos que los hogares tienen una función de utilidad del tipo:
Ui(Ci(t))
Se asume que la función de utilidad Ui : R+ → R es creciente y cóncava y (Ci(t))
es el consumo por hogar en el momento t, ademas a partir de ahora supondremos
que el dominio de la función esR+ en lugar deR, ya que no son permitidos niveles
no negativos de consumo. La función de utilidad captura la utilidad derivada del consumo en el momento t. La función de utilidad tiene dos fuertes supuestos, uno
de ellos versa en que los hogares no obtienen benecios de las utilidades de otros hogares, es decir, no existen externalidades en el consumo. El segundo supuesto establece los niveles de utilidad en cada momentot son independientes, es decir la
función es separable entre periodos.Por ultimo se asume que cada hogar descuenta la utilidad de forma exponencial, ignorando incertidumbre tenemos que:
∞
∑
t=0
βitUi(Ct(t))
Donde βi ∈ (0,1) es el factor de descuento del hogar i. Nosotros diremos que la
solución {x(t)}T
t=0( posiblemente con T = ∞ ) de un problema de optimización
dinámica es dinámicamente consistente si se cumple que{x(t)}Tt=0 optimiza el
pro-blema ∀t ∈ [0, T]. Hasta el momento suponemos que la secuencia {C(t)}T
t=0 carece
de incertidumbre, en un contexto con incertidumbre podemos interpretar Ui(·)
co-mo una función de utilidad Bernoulli y representada coco-mo la siguiente función de utilidad Von Neumann-Morgenstern.
E0i
∞
∑
t=0
βitUi(Ct(t))
donde Ei
0 es el operados de esperanza matemática con la información en el
diferentes niveles de dotaciones iniciales {e(t)}T
t=0 y diferentes tasas de salario por
unidad de trabajo efectivo{ω(t)}Tt=0, Desafortunadamente este nivel de generalidad
es un problema no tratable, es por eso que asumimos la existencia de un agente representativo. Si es verdad que sería posible la construcción de un modelo de cierto interés de este tipo, también es cierto que el objetivo de la teoría del crecimiento es dar respuesta a las razones fundamentales del crecimiento económico en diferentes regiones del mundo, establecer un modelo general que brinde un fuerte podre expli-cativo es el objetivo de toda abstracción teórica, ademas de aislar las variables que son irrelevantes para dar dicha explicación con el n de simplicar sin perdida de generalidad dicho modelo.
1.2. Agente representativo
Cuando admitimos la existencia de un hogar representativo dimos la posibilidad que este pueda ser agregado, es decir, es posible conocer el consumo agregado, el ahorro y las decisiones entre trabajo y ocio (estando endógenas en el modelo) sujeto una restricción presupuestaria. Ademas de esto, es posible entender el problema de maximización de la utilidad como un problema de un hogar y no como la agregación de muchos hogares heterogéneos.
Vt=
∞
∑
t=0
βtU(Ct(t))
El funcional anterior representa la función de utilidad del agente representativo, para este caso es posible obtener resultados positivos como normativos. Introducir el supuesto de hogar representativo tiene algunos costos, de igual forma es bien sabido que no todos los modelos con heterogeneidad de hogares pueden ser representados como un problema de agente representativo.
Para ilustrar esto consideremos una economía de intercambio puro con un nú-mero nito de mercancías, en este tipo de modelos es importante analizar el exceso de demanda z(p), donde p es un vector de precios. Una economía admite agente
representativo si la función de exceso de demandaz(p)puede ser modelada a partir
del problema de maximización del consumidor.
Teorema 1.1. (Teorema Debreu-Mantel-Sonnenschein)
Denominemos ϵ > 0 como un escalar y N < ∞ como un entero positivo.
Consi-deremos un set de precios Pϵ =
{
p∈RN
+ :pj/pj′ ≥ϵ ∀j, j′
}
y cualquier función continua z:Pϵ →RN+ que satisface la ley de Walras y es homogénea de grado
0.En-tonces existe una economía de intercambio con N mercancías y H < ∞ hogares
Demostración. Véase Debreu (1974)
El teorema establece que la función de exceso de demanda es resultado de la conducta optimizadora de los hogares no restringe la forma de las demandas, en particular z(p) no necesariamente posee un jacobiano semi-denido negativo o
sa-tisface el axioma débil de preferencia revelada(que son condiciones necesarias que deben cumplir las funciones de demanda generadas por los hogares individuales). Esto implica que es imposible derivar la función de exceso de demandaz(p)a partir
del problema de maximización de los hogares. Lo anterior pone ciertos límites para el uso de agentes representativos.
Una vez analizado lo anterior pasamos a demostrar que no es del todo una idea fuera se sí la utilización de agente representativo como mecanismo para encontrar funciones agregadas de demanda. Consideremos una economía con un número nito de mercancíasj ∈N, con na función de demanda walrasianaxi(p, ω)cuya demanda
agregada esta dada por ∫i∈H xi(p, ω)di y denominemos a la función de utilidad
indirectavi(p, ωi)como una utilidad ordinal en función de un vector de preciosp y
del ingreso del hogarωi, dicha función es homogénea de grado 0 en p y ω i.
Teorema 1.2. (Teorema de Agregación de Gorman)
Consideremos una economía con un número nito de mercancías y un set de hogares
H supóngase que las preferencias del hogari∈H pueden ser representadas por un
función de utilidad indirecta de la forma
vi(p, ωi) = ai(p) +b(p)ωi (1)
después las preferencias agregadas pueden ser representadas mediante un hogar re-presentativo por la función de utilidad indirecta
v(p, ω) = ∫
i∈H
a(p)di+b(p)ω (2)
donde a(p)≡∫i∈H ai(p)di y y≡∫ i∈H y
idi es el ingreso agregado.
Demostración. Dada la identidad de Roy para al bienj:
xij(pj, ω) =−
∂vi(p,ωi) ∂pj ∂vi(p,ωi)
∂ωi
=−∂a
i(p)
∂pj
· 1
b(p) − ∂b(p)
∂pj
· 1
b(p) ·ω
i
Agregando las funciones de demanda obtenemos
∫
i∈H
xij(pj, ω) = −
∫
1∈H
−∂ai(p)
∂pj
di· 1 b(p) −
∂b(p) ∂pj ·
1 b(p) ·
∫
1∈H
ωidi
Usando la identidad de Roy v(p, ω) en el enunciado del problema se puede
obser-var que x(p, ω) es la demanda walrasiana correspondiente a la función de utilidad
indirecta v(p, ω) completando la prueba,
El teorema explica que cuando las preferencias tienen forma cuasilineal nosotros podemos representar el agregado como resultado del comportamiento optimizador de los agentes. A este tipo de preferencias se le conoce como preferencias de Gorman, es de destacar que en vez de suma este teorema utiliza la integral sobre el set H
para permitir que el conjunto de hogares sea un continuo. El teorema de agregación de Gorman permite demostrar la existencia de un hogar representativo normativo. Recordaremos que en un óptimo de Pareto ningún agente puede mejorar su situación sin empeorar la otro agente a través del siguiente teorema.
Teorema 1.3. (Existencia de un hogar representativo normativo)
Considere una economía con un número nito de mercancías N <∞ y supóngase
que las preferencias para cada hogar i ∈ H toma una forma Gorman vi(p, ωi) =
ai(p) +b(p)ωi.
(1) Después cualquier asignación que maximice la utilidad de un hogar represen-tativo v(p, ω) = ∑i∈H ai(p) +b(p)ω,con ω=∑
i∈H ωi, es óptimo de Pareto.
(2) Más aun, si ai(p) = ai para toda p y para toda i ∈ H , después cualquier
asignación de Pareto maximiza la utilidad del hogar representativo.
Demostración. Desarrollaremos la solución para una economía de intercambio puro, suponga que en la economía existe un vector de dotaciones inicialese= [e1.e2, ..., eN],
nosotros podemos interpretar la asignación de Pareto como una asignación:
m´ax
{pj}Nj,{ωi}i∈H
∑
i∈H
aivi(p, ωi) = ∑
i∈H
ai(ai(p) +b(p)ωi)
Sujeto a:
−
( ∑
i∈H
∂ai(p) ∂pj
+∂b(p) ∂pj
ω )
=b(p)ej paraj = 1, ..., N
N
∑
j=1
pjej =ω,
pj ≥0 ∀j,
donde{ai}
i∈H son pesos Pareto no negativos con
∑
i∈H a
i = 1. La primera
restric-ción usa la identidad de Roy para expresar el total de la demanda del bien j y este
ingreso total de la economía a el valor de las dotaciones, la tercera restricción esta-blece el principio de no negatividad de los los precios. Compararemos el problema anterior con el siguiente problema
m´ax∑
i∈H
ai(p) +b(p)ω
sujeto al mismo set de restricciones, la diferencia entre ambos problemas es que a los hogares se le ha asignado el mismo peso. Denominemos a (p∗, ω∗) a la solución del
segundo problema, por denición es una solución del primer problema con ai = a
por lo que es Pareto óptima que establece la primera parte del teorema.
Ahora para la segunda parte, supongamos queai(p) =ai para toda p y para toda
i ∈ H . Obtengamos una contradicción, denominemos ω ∈ R|H| y suponemos que (p∗∗a , ω∗∗a ) es una solución del primer problema para los mismos pesos {ai}i∈H y
supongamos que no es una solución del segundo problema. Denominemos
aM = m´ax
i∈H a i
y
HM ={i∈H |ai =aM}
es el set de familias dado el peso máximo de Pareto. Sea (p∗, ω∗) la solución del
segundo problema tal que
ωi = 0 ∀i∈H (3)
Tenga en cuenta que esta solución existe ya que la función objetivo y el conjunto de restricciones en el segundo problema depende sólo del vector[ω1, ..., ω|H|]tal queω =
∑
i∈H ω
i. Ahora bien por denición (p∗∗
a , ω∗∗a ) esta en el conjunto de restricciones
del segundo problema y no es la solución, tenemos que:
∑
i∈H
ai +b(p∗)ω∗ > ∑
i∈H
ai+b(p∗∗a )ωa∗∗
b(p∗)ω∗ > b(p∗∗a )ω∗∗a
La hipótesis de que se trata de una solución al primer problema también implica
que ∑
i∈H
aiai+∑
i∈H
aib(p∗∗a )(ωa∗∗)i ≥ ∑
i∈H
aiai+∑
i∈H
aib(p∗)(ω∗)i ∑
i∈H
aib(p∗∗a )(ωa∗∗)i ≥ ∑
i∈H
aib(p∗)(ω∗)i (4)
Entonces se puede ver que la solución (p∗∗, ω∗∗) es una asignación Pareto óptima,
elección (p∗, ω∗)en (3) la ecuación (4) implica:
aMb(p∗∗a )∑
i∈H
(ω∗∗a )i ≥aMb(p∗)∑
i∈H
(ω∗)i
b(p∗∗a )(ωa∗∗)≥b(p∗)(ω∗)
lo que contradice la ecuación (4), y establece que, en los supuestos indicados, cual-quier asignación Pareto óptima maximiza la utilidad del hogar representativo.
Una ves demostrado lo anterior pasamos a desarrollar la segunda parte de la existencia de un agente representativo y esto se da en el lado de la producción. Es bien sabido que la producción en una economía puede ser representada a través de un set de posibilidades de producción agregado que puede ser representada como la función de producción de una empresa representativa.
Teorema 1.4. (Teorema de la Empresa representativa)
Considere una economía competitiva con producción conN ∈N∪{+∞}mercancias
y un set contable F de empresas, cada una cuenta con un set de posibilidades de producción convexo Yf ⊂RN+. Denominemosp ∈RN+ es el vector de precios de esta
economía y denotamos al set de máximos benecios netos de la empresa comof ∈F
dado que Yˆf(p) ⊂ Yf (para cualquier yˆf ∈ Yˆf(p), tenemos pyˆf ≥ pyf para todo
yf ∈ Yf). Después existe una empresa representativa con un set de posibilidades
de producción Y ⊂ RN y un set de maximos benecios netos Yˆ(p) para cualquier
p∈Rn,yˆ∈Yˆ(p)si y solo si y(p) =ˆ ∑
f∈Fyˆf para algúnyˆf ∈Yˆf para cadaf ∈F.
Demostración. Véase Acemoglu (2007)2
El teorema implica que dado el supuesto que no hay externalidades y todos los factores tienen un precio competitivo nuestro enfoque acerca de el set de posibilida-des de producción agregada o la rma representativa no tiene perdida de generalidad. La diferencia entre la empresa representativa y el hogar representativo en la cantidad de restricción para el ultimo, que existan problemas para probar la existencia de un hogar representativo es debido a que el efecto ingreso(ante cambios en los precios relativos) afecta a los hogares, las preferencias de Gorman ignoran este efecto.
Naturalmente, el hecho de que podemos representar a la producción de una economía por una empresa representativa no signica que la heterogeneidad entre las empresas es poco interesante o poco importante. Por el contrario, muchos de los modelos Crecimiento endógeno contarán con las diferencias de productividad entre las empresas como una parte crucial del proceso de equilibrio, y los intentos de las empresas individuales para aumentar su productividad en relación a los demás a menudo ser un motor del crecimiento económico.
2. El modelo de Crecimiento Neoclásico
Iniciamos ahora con el estudio del crecimiento Neoclásico, nuestro punto de par-tida es el modelo básico de Ramsey-Cass-Koopmans, la gran diferencia de este mo-delos con otros como el de Solow radica en la endogenización de la tasa de ahorro a través de la introducción de supuestos optimizadores de los agentes (planteamiento Microeconómico), es a partir de este como podemos analizar política scal, impo-sición, ciclos económicos y política monetaria. En esta sección desarrollaremos el modelo en tiempo continuo donde aremos uso de la optimización dinámica a través del Principio del Máximo, más adelante extenderemos el modelo a tiempo discreto utilizando el Principio de Optimialidad de Bellman deterministico.
2.1. El Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans (RCK)
El modelo de RCK es un modelo dinámico de equilibrio general competitivo originalmente planteado por Frank Plumpton Ramsey en 19283, una conclusión
im-portante es que la tasa de ahorro no es constante, ademas es una función del stock de capital percápitak.
Preferencias Tecnológicas y Demográcas
Consideremos un horizonte nito en tiempo continuo. Asumimos que los hogares en la economía tiene una función de utilidad instantánea
u[c(t)]
Donde la utilidad depende del consumo en el momentot, de igual forma establecemos
los siguientes supuestos.
SUPUESTO 1. u(c) es estrictamente cóncava, creciente y dos veces diferenciable y
satisface las condiciones de Inada
l´ım
c→0u
′(c) = ∞ l´ım
c→∞u
′(c) = 0
Más explícitamente, asumimos la existencia de un hogar representativo. La población crece a una tasan, es decir:
L(t) =ent dado que L(0) = 1
3Ramsey F.P. (1928), A Mathematical Theory of Saving, Economic Journal, Vol. 38, No 152,
dondeL(t)es la población total en la economía en el momentot, la función objetivo
a maximizar esta descrita por
U(0)≡ ∫ ∞
0
e−(ρ−n)tu[c(t)]dt (5)
Donde c(t) ≡ C(t)/L(t) es el consumo percápita en el momento t. ρ es la tasa
subjetiva de descuento y ρ−n es la tasa efectiva de descuento.
SUPUESTO 2. La tasa subjetiva de descuento es estrictamente mayor al crecimiento poblacional.
ρ > n
Este supuesto garantiza la estabilidad del sistema ademas de establecer que, el des-cuento a la utilidad es nito. Asumimos ademas que no hay progreso tecnológico y la función de producción agregada esta dada por:
Y(t) = F[K(t), L(t)]
La función de producción tiene las mismas propiedades que el modelo de Solow, en terminos percápita
y(t)≡ Y(t)
L(t) =f(k(t))
donde k(t) ≡ K(t)/L(t). Los mercados son competitivo en todos los putos en el
tiempo. La tasa de renta del capital y la tasa de salario esta dada como sigue
R(t) =FK[K(t), L(t)] =f′(k(t)) (6)
w(t) = FL[K(t), L(t)] =f(k(t))−k(t)f′(k(t)) (7)
Cada hogar posee una cantidad de activos A,la acumulación de activos de capital esta dada por:
˙
A(t) = r(t)A(t) +w(t)L(t)−c(t)L(t)
Donde r(t) es la tasa de rendimiento libre de riesgo del activo, c(t) es el consumo
percápita yw(t)L(t)es el ingreso corriente de los hogares. Si el activo percápita esta
dado pora(t)≡ A(t)/L(t), implica que
˙
a= (r(t)−n)a(t) +w(t)−c(t) (8)
Dado que es una economía sin incertidumbre y no existen bonos asumimos que la cantidad de activos percápita es igual al stock de capital percápita.
Más aun, sin incertidumbre y si la tasa de depreciaciónδ la tasa libre de riesgo esta
dada por
r(t) = R(t)−δ (9)
Por ultimo la condición prohibidora de juegos de Ponzi implica
l´ım
t→∞a(t)e
−∫t
0(r(s)−n)ds ≥0 (10)
La cual elimina todo tipo de comportamiento piramidal, en otras palabras la de-sigualdad implica que la riqueza del individuo en su valor presente tiene que ser asintóticamente no negativa. Por otra parte la condición de transversalidad puede ser denida de forma análoga a la condición no-ponzi, es decir la condición de trans-versalidad impide que un individuo pueda tener asintoticamente riqueza positiva.
l´ım
t→∞a(t)e
−∫t
0(r(s)−n)ds = 0 (11)
Equilibrio Competitivo
Denición 1.1 Un Equilibrio competitivo en una economía RCK consiste en se-cuencias de consumo, stock de capital, tasas de salario y tasas de renta de capital,
[C(t), K(t), w(r), R(t)]∞t=1 tal que el hogar representativo maximice su utilidad dado
un stock de capital inicialK(0)y una secuencia de precios[w(r), R(t)]∞t=1y mercados
completados.
Observamos que en equilibrio necesitamos encontrar la secuencia de cantidades reales y precios asociados. Este es un punto importante a tener en cuenta en los mo-delos de dinámicos cuando se habla de equilibrio, esto se reere a la ruta completa de cantidades y precios. En algunos modelos se centrará en el equilibrio de estado estacionario sin embargo el equilibrio siempre se reere a la ruta completa. En tér-minos percápita y más estrictamente un equilibrio competitivo en una economía a la RCK se dene como
Denición 1.2 Un equilibrio competitivo en una economía de RCK consiste en una secuencia de consumo percápita, ratio capital-trabajo tasas de salario y de renta de capital[c(t), k(t), w(r), R(t)]∞t=1que maximiza la utilidad del hogar representativo
descrito por la ecuación (1.5) sujeto a (1.8) y (1.10) dado un ratio inicial de capital trabajok(0), precios de los factores[w(r), R(t)]∞t=1 expresados en (1.6) y (1.7) y una
El problema de optimización de los hogares puede denirse como
U(0)≡ ∫ ∞
0
e−(ρ−n)tu[c(t)]dt
Sujeto a:
˙
a= (r(t)−n)a(t) +w(t)−c(t)
l´ım
t→∞a(t)e
−∫t
0(r(s)−n)ds ≥0
Utilizando el principio del máximo, la ecuación de Hamilton para el problema ante-rior se dene como
ˆ
H(a, c, µ) =u(c(t)) +µ(t)[(r(t)−n)a(t) +w(t)−c(t)]
con la variable de estadoa, la variable de controlcy la variable de co-estado µ. Las
condiciones de primer orden están denidas como
ˆ
Hc(a, c, µ) =u′(c(t))−µ(t) = 0
ˆ
Ha(a, c, µ) =µ(t)(r(t)−n) = −µ˙ + (ρ−n)µ(t)
˙
a= (r(t)−n)a(t) +w(t)−c(t) l´ım
t→∞e
(−(ρ−n)t)µ(t)a(t) = 0
podemos reescribir la segunda condición de primer orden como
˙ µ(t)
µ(t) =−(r(t)−ρ) (12)
después de la primera condición tenemos
u′(c(t)) = µ(t) (13)
Ahora diferenciamos la ecuación anterior respecto al tiempo y dividamos ambas por
µ(t) obtenemos
u′′(c(t))c(t) u′(c(t)) ·
˙ c(t) c(t) =
˙ µ(t)
µ(t) (14)
Sustituyendo (1.12) obtenemos la Ecuación de Euler para nuestro problema de opi-mización
˙ c(t) c(t) =
1 εu(c(t))·
(r(t)−ρ) (15)
donde
εu(c(t)) =−
u′′(c(t))c(t)
Esta es la Elasticidad de la utilidad marginalu′(c(t)), de igual manera es el inverso
de la elasticidad intertemporal de sustitución la cual regula la disposición de los individuos a sustituir una variable en el tiempo, en este caso, el consumo. La solución de la ecuación (12) está dada por:
µ(t) =µ(0)e−∫0t(r(s)−ρ)ds
=u′(c(0))e−∫0t(r(s)−ρ)ds
Sustituyendo ahora esta ecuación en la condición de transversalidad tenemos:
l´ım
t→∞e
(−(ρ−n)t)a(t)u′(c(0))e−∫0t(r(s)−ρ)ds = 0
l´ım
t→∞a(t)e
−∫t
0(r(s)−n)ds = 0
Esta es la versión "Market Value"de la condición de transversalidad, en ocasiones es mejor trabajar con esta denición.
˙
y(t) = b(t)y(t) (17)
La solución está dada por
y(t) =y(0)e∫0tb(s)ds (18)
Para este caso la trayectoria del consumo está dada por
c(t) =c(0)e
∫t 0
r(s)−ρ
εuc(s) (19)
Deniendo a εuc(s)como θ constante tenemos
c(t) =c(0)e[(r¯(t)θ−ρ)t] (20)
donde
¯
r(t) = 1 t
∫ t
0
r(s)ds (21)
luego entonces ¯r(t) puede denirse como la tasa promedio de crecimiento entre 0 y t. Más aun, la restricción presupuestaria de ciclo vital esta dada por:
∫ ∞
0
c(t)e−(¯r(t)−n)tdt≥a(0) + ∫ ∞
0
w(t)e−(¯r(t)−n)tdt (22)
Sustituyendoc(t)en la restricción tenemos que
c(0) = ∫ ∞
0
exp {
−
[
(1−θ)¯r(t) θ −
ρ θ +n
] t
} dt·
[ a(0) +
∫ ∞
0
w(t)e−(¯r(t)−n)tdt ]
Crecimiento Óptimo
El modelo de crecimiento óptimo se basa en cumplir con el primer teorema del bienestar, es decir, con un optimo de Pareto a través de la maximización de la utilidad. EL problema formal es:
m´ax
[k(t),c(t)]∞t=1
∫ ∞
0
exp(−(ρ−n)t)u[c(t)]dt
s.a. k(t) =˙ f(k(t))−(n+δ)k(t)−c(t) (24)
LA ecuación de Hamilton está dado por:
ˆ
H(k(t), c(t), µ(t)) = u(c(t)) +µ(t)[f(k(t))−(n+δ)k(t)−c(t)] (25)
ˆ
Hc(k(t), c(t), µ(t)) =0 =u′[c(t)]−µ(t)
ˆ
Hk(k(t), c(t), µ(t)) =−µ(t) + (ρ˙ +n)µ(t) =µ[f′(k(t))−(n+δ)]
l´ım
t→∞
{
k(t) exp [
−
∫ t
0
(f′(k(s))−(n+δ)ds) ]}
= 0
La ecuación de Euler está dada por:
˙ c(t) c(t) =
1 εu(c(t))
[f′(k(t))−(ρ+δ)] (26)
Estado Estacionario
En el estado Estacionario el consumo-percápita permanece constante
˙
c(t) = 0
Luego entonces existe un k∗|f′(k∗) = ρ+δ. Para este nivel k∗ < koro∗ ya que los
individuos no maximizan si consumo en el estado estacionario. Dado k∗ el nivel de
consumo en el estado estacionario esta dado por4
c∗(t) =f′(k∗(t))−(n+δ)k∗(t)
Los multiplicadores del modelo de Ramsey (estática comparativa) podemos encon-trarlos solo modicando un poco la funciónf(k)
Proposición 1. Consideremos el modelo de Crecimiento neoclásico descrito ante-riormente y suponemos que f′(k) = αfˆ(k) denota el nivel de estado estacionario.
Los cambios en k∗ y c∗ ante cambios en los parámetros están dados por
∂k∗(α, ρ, n, δ) ∂α >0
∂k∗(α, ρ, n, δ) ∂ρ <0 ∂k∗(α, ρ, n, δ)
∂n = 0
∂k∗(α, ρ, n, δ) ∂δ <0 ∂c∗(α, ρ, n, δ)
∂α >0
∂c∗(α, ρ, n, δ) ∂ρ <0 ∂c∗(α, ρ, n, δ)
∂n <0
∂c∗(α, ρ, n, δ) ∂δ <0
Transición Dinámica
Ahora analizaremos el comportamiento del sistema. Identicamos a c˙ = 0 y
a k˙ = 0 por tanto f′(k) = δ+rho (una linea recta en k = k∗) y dado que k˙ = 0 f(k)−c−(n+δ)k = 0es una curva en el plano[k(t), c(t)]. Nótece que el determinante
del Jacobiano del sistema
|J|=
∂k˙ ∂k
∂k˙ ∂c ∂c˙ ∂k
∂c˙ ∂c
=cf′′0(k) −1
εu 0
<0
Encontramos un punto de Silla, esto garantiza la estabilidad del sistema.
Ejemplo 1: Consideremos una forma funcional para la función de utilidad CRRA, es decir u(c(t)) = (c1−θ −1)/1−θ, el progreso técnico es aumentador del
trabajo F(K, AL) =Kα(AL)1−α, suponemos también que el progreso técnico crece
a una tasa x es decir A(t) = A(0) expxt. En términos percápita la función de
pro-ducción esta dada porf(k) = kα(t), luego entoncesr =αkα−1−δ. Dado lo anterior
la ecuación de Euler puede ser expresada como
˙ c c =
αkα−1−δ−ρ−θx
θ
Luego la tasa de crecimiento dek está dada por ˙
k k =k
α−1−(
δ+x+n+ c k
)
Ahora deniendo z ≡c/k y χ≡kα−1, esto implica que χ/χ˙ = (α−1) ˙k/k :
˙ χ
Figura 1: Diagrama de fase del Modelo de Crecimiento Neoclásico, se muestra que solo desde el punto c′′0 es posible llegar al sendero silla, de igual manera se aprecia
˙ z z = ˙ c c− ˙ k k por tanto ˙ z z = 1
δ((α−θ)χ−(1−θ)δ+θn)− ρ
θz (27)
Tantoχ/χ˙ yz/z˙ , junto con la condición inicialχ(0)y la condición de transversalidad
determina la dinámica del sistema.
Ritmo de Convergencia
Para analizar el Ritmo de convergencia del modelo, es decir la velocidad con que se aproxima al estado estacionario aproximaremos las ecuaciones no lineales que forman el sistema de Ramsey, ecuaciones (24) y (26) mediante una serie de taylor de primero orden al rededor dek =k∗ y c=c∗
˙ c≈ ∂c˙
∂k(k−k
∗) + ∂c˙
∂c(c−c
∗)
˙ k ≈ ∂
˙ k ∂k(k−k
∗) + ∂k˙
∂c(c−c
∗)
Sea ˜c= (c−c∗) y ˜k= (k−k∗)
˙˜ c≈ ∂c˙
∂k ˜ k+∂c˙
∂c˜c ˙˜
k≈ ∂k˙ ∂k ˜ k+∂k˙
∂c˜c
Evaluando en el óptimo tenemos que
˙˜ c≈f
′(k∗)c∗
θ ˜ k
˙˜
k≈[f′(k∗)−(n+x)˜k−˜c]
≈[(ρ+θx)−(n+x)]˜k−c˜
≈βk˜−˜c En ausencia de δ
˙˜ c ˜ c ≈
f′(k∗)c∗ θ ˜ k ˜ c ˙˜ k ˜
k ≈β− ˜ c ˜ k
Las ecuaciones anteriores implican que las tasas de crecimiento de ˜c y ˜k dependen
del ratio entrec˜y ˜k (exclusivamente). Sea λ≡c/˜˙˜ c:
˜ c ˜ k =
f′(k∗)c∗ θ
Figura 2: Diagrama de fase del modelo linealizado, muestra que solo la senda formada por el segmento AA¯ converge a un equilibrio E, el segmento BB¯ por el contrario
diverge
En el equilibrio sea c˙˜ ˜
c =
˙˜ k k :
λ=β− f
′′(k∗)c∗
θ 1 λ
λ2−βλ+ f
′′(k∗)c∗
θ = 0
La solución está dada por:
λ = β± [
β2−4f′′(k∗)c∗ θ
]1 2
2
λ debe ser negativo, de lo contrario ˜c y ˜k están creciendo y alejandoce de c∗ y k∗.
Siλ es negativa se asegura la estabilidad del sistema
Velocidad de Ajuste
Usando la función de producción Cobb-Douglas, f′′(k∗) =α(α−1)k∗(α−2), por
tanto c∗ =k∗α−(n+x)k∗:
λ= 1 2
( β−
{
β2−4
θα(α−1)k
∗α−2[k∗α−(n+x)k∗]
}1 2
)
Dado que f′(k) =ρ+θx (en ausencia de δ), implica que αk∗α−1 = ρ+θx, o bien
k∗ = [(ρ+θx)/α]1/(α−1). Lo anterior implica que
λ= 1 2
( β−
{
β2− 4 θ
1−α
α (ρ+θx)[(ρ+θx)−α(n+x)] }1
2
)
(28)
Supongamos que α = 1/3, ρ = 4 %, n = 2 %, g = 1 % y θ = 1 Lo anterior implica
que en la senda de crecimiento sostenido la tasa de interés debe ser del 5 %, la tasa
