2013 T07 Optica

1 Fco Javier Corral 2013-2014 Reflexión

La reflexión es el cambio de dirección que se produce cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectante.

1. Rayo incidente, normal y rayo reflejado están en el mismo plano. 2. Los ángulos de incidencia y de refracción son iguales.

Reflexión especular: los rayos que llegan paralelos a una superficie plana se reflejan paralelamente

Reflexión difusa: si la superficie no es plana, los rayos reflejados no son paralelos.

Refracción

La luz no se mueve a la misma velocidad en todos los medios. El valor máximo corresponde al vacío. Se define el índice de refracción como el cociente:

VACIO MEDIO

MEDIO

v

n 1

v

 

Medio n

Vacío / Aire 1,00

Agua 1,33

Glicerina 1,47

Vidrio 1,52

Diamante 2,41

La refracción es el cambio de velocidad producida en un rayo cuando pasa de un medio a otro de distinto índice de refracción.

1. El rayo incidente, el rayo refractado y la normal están en el mismo plano.

2. La relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción viene dada por la Ley de Snell:

1 2

n seni n senr

La reflexión y la refracción son dos fenómenos que pueden darse a la vez. Cuando un rayo choca con la superficie de separación de dos medios, parte se refleja y parte se refracta.

Reflexión total: Angulo límite

Supongamos que un rayo de luz pasa de un medio a otro de índice de refracción menor, el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia (el rayo se aleja de la normal). Si aumentamos el ángulo de incidencia llegará un momento en el que el ángulo de refracción sea de 90º.

N

i r

N i

r n1

2 Fco Javier Corral 2013-2014 A ese ángulo de incidencia vamos a llamarle ángulo límite. Cualquier rayo que incida con un ángulo mayor se reflejará hacia el medio de partida. Para calcular el ángulo límite aplicamos la ley de Snell

1

2 1

2 n n seni n sen90 i arcsen

n

  

para un ángulo de incidencia superior al ángulo límite solo se produce reflexión.

Prisma óptico

Un prisma óptico es un conjunto de dos caras, no paralelas, que separa dos medios de distinto índice de refracción.

Vamos a calcular el ángulo de desviación del prisma .

Sabemos las características del prisma: el ángulo , el índice de refracción n y suponemos que está en el aire.

Para la refracción en la primera cara: seni₁nsenr₁ con lo que conocemos el valor de r1.

En el triángulo ABC: r₁ i₂ 180  180  i₂   r₁

Para la refracción en la segunda cara: nseni₂ senr₂

En el cuadrado ABCE: 180    i₁ r₂ 180  360      i₁ r₂

 es el ángulo de desviación del prisma; ángulo que forma la dirección del rayo de entrada con la dirección del rayo de salida.

Dispersión de la luz

El índice de refracción depende del medio y de la longitud de onda. Así para el vidrio:

Color



Rojo 640 1,509

Amarillo 590 1,511

Verde 510 1,515

Azul 485 1,517

Violeta 435 1,521

Si a un prisma llega un rayo de luz blanca, los rayos que la componen se refractan de acuerdo con el índice de refracción y se separan. A esa descomposición de la luz blanca le llamamos dispersión.

n1<n2

n2

i

i1



r1

r2

i2

180- 

A C

B D

E

Luz blanca

rojo

3 Fco Javier Corral 2013-2014 Lámina de caras plano paralelas

Aplicando la ley de Snell n seni_{1 1}n senr n seni₂  _{1 2}  i₁i₂ vemos que el rayo emergente de la lámina y el de entrada son paralelos, se produce un desplazamiento lateral.

Llamando n₂₁ al cociente de índices de refracción

2 2 2 21 21 2 21 21

n sen i

sen i

seni n senr cosr 1

n n



    

en el triángulo ABC 21

2 2

21 hn

h h

cosr AC

AC cosr _{n sen i}

   



y en el triángulo ACD tenemos:

21

2 2

21

hn sen(i r) d

sen(i r) d ACsen(i r) d

AC _{n sen i}



      



Dioptrio esférico

Un dioptrio es una superficie de separación entre dos medios de diferente índice de refracción. Vamos a estudiar dos: el esférico y el plano. Vamos a trabajar con rayos paraxiales: rayos próximos a los ejes, con ángulos pequeños de forma que se confundan el arco, el seno y la tangente.

Criterio de signos:

Distancias horizontales: positivas a la derecha del dioptrio, negativas a la izquierda. Distancias verticales: positivas por encima del eje óptico, negativas por debajo.

Ángulos con el eje óptico: Positivos si el camino más corto para hacerlo coincidir con el eje óptico va en sentido antihorario. ¡Ojo, σ1 es negativo!

Ángulos con la normal: son positivos.

Supongamos un rayo paraxial que sale del punto P1 se refracta en el punto A y llega al punto P2. Si aplicamos

la ley de Snell tenemos:

1 2

n seni n senr y al ser rayos paraxiales n i n r₁  ₂ (1)

En el triángulo P1AC:    ₁ (180 i) 180  luego i   ₁

En el triángulo CAP2:   2 r (180  ) 180 luego r   2 h

d i₁

r i-r A

B C

D n₁ n₂ n₁ i₂ r i r  h

P1 ₁ ₂ P2

s1 s2

4 Fco Javier Corral 2013-2014 Si sustituimos estos valores en la expresión (1) tenemos:

1 1 2 2

n (   ) n (   ) (2) Teniendo en cuenta que estamos trabajando en la zona paraxial:

1 1 2 2

1 2

h h h

tg tg tg

s s R

        

Sustituyendo estos valores en la expresión (2):

1 2

1 2

h h h h

n n

R s R s

   

  

   

    o lo que es lo mismo 1 1 2 2

1 1 1 1

n n

R s R s

   

  

   

   

que es la invariante de Abbe, que también se puede escribir como 2 1 2 1

2 1

n n n n

s s R

  

Focos del dioptrio

Todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se refractan y pasan por el mismo punto, al que vamos a llamar foco imagen F2. La

distancia desde el vértice hasta ese punto es la distancia focal f2.

Para calcular la distancia focal aplicamos la ecuación del dioptrio con

1

s   y s₂ f₂

2 1 2 1 2

2

2 2 1

n n n n n

f R

f R n n



   

 

Todos los rayos que pasan por un punto al que vamos a llamar foco objeto salen paralelos al eje óptico. A ese punto le vamos a llamar foco objeto F1 y f1 a la distancia focal objeto. Para calcular la

distancia focal aplicamos la ecuación del dioptrio con s₂   y

1 1 s f

2 1 2 1 1

1

1 2 1

n n n n n

f R

f R n n



    

 

La suma de las distancias focales es:

1 2

1 2

2 1 2 1

n n

f f R R R

n n n n

    

 

El cociente de las distancias focales es:

1 1

2 2

f n

f  n

Si la ecuación del dioptrio la dividimos entre el segundo miembro obtenemos una nueva ecuación del dioptrio, más sencilla:

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 2 1 1 2 1 2 1

n n n n n R n R f f

1 1

s s R s (n n ) s (n n ) s s



       

 

que es la ecuación de Gauss (¡…!) del dioptrio esférico. f2

F2

5 Fco Javier Corral 2013-2014 Formación de imágenes en un dioptrio

Los rayos paralelos al eje óptico pasan por el foco 2. Los rayos que pasan por el centro de curvatura no se desvían.

Los rayos que pasan por el foco 1 salen paralelos al eje óptico.

El punto de corte de las tres líneas determina el final de la imagen que comienza en el eje óptico.

La imagen es real si los rayos se cortan y virtual si se cortan las prolongaciones hacia atrás. Aumento de un dioptrio

El aumento de un dioptrio es la relación entre los tamaños de la imagen y del objeto. Si aplicamos la ley de Snell, tenemos: n seni n senr1  2 y como estamos en la zona paraxial: seni i tgi  y senr r tgr 

con lo que n tg i n tgr1  2 ; 1 1 2 2

1 2

y y

n n

s  s y el aumento del

dioptrio es: 2 1 2

1 2 1

y n s

A

y n s

 

Lentes

Una lente es un medio transparente limitado por dos dioptrios de los que, al menos uno, es esférico. Vamos a trabajar solo con lentes delgadas; en las que la anchura es despreciable frente al radio de curvatura.

Las lentes son de dos tipos:

Lentes convergentes: son más gruesas en el centro que en los extremos y pueden ser biconvexa (R1>0 y R2<0) planoconvexa (R1>0 y R2=) y

menisco convergente (R1>0, R2>0, R2>R1)

Lentes divergentes: son más gruesas en los extremos y pueden ser biconcava (R1<0 y R2>0) planoconcava (R1= y R2<0) y menisco

divergente (R1>0, R2>0, R1>R2)

Para deducir la fórmula de las lentes sólo hay que tener en cuenta que se trata de dos dioptrios en el aire:

Dioptrio 1: n1=1; n2=n; R=R1

y al sustituir en la ecuación del dioptrio:

1 1

n 1 n 1

s s R

   

Dioptrio 2: n1=n; n2=1; R=R2

y al sustituir en la ecuación del dioptrio:

2 2

1 1 1 n

s s R

  

 y1

y2

F2

C F1

y1

y2

i

r

s2

6 Fco Javier Corral 2013-2014 Si sumamos las dos expresiones, para eliminar s’ tenemos:

2 1 1 2

1 1 1 1

(n 1)

s s R R

 

     

  (3)

Todos los rayos que vienen paralelos al eje óptico se refractan pasando por el foco. La distancia focal de la lente se calcula a partir de (3) teniendo en cuenta que:

1

2 2 2 1 2

s 1 1 1

(n 1)

s f f R R

   

    

 _{ } (4)

Comparando las expresiones (3) y (4) obtenemos la ecuación de las lentes:

2 1 2

1 1 1

s s  f

Aumento de una lente

Tenemos dos triángulos semejantes A1B1O y A2B2O. Definimos el

aumento de una lente como la relación de tamaño entre la imagen y2 y el objeto y1.

2 2

1 1

y s

A

y s

 

Se define la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal expresada en metros. La unidad es la dioptría que es la potencia de una lente que tiene una distancia focal de 1m.

2 1 P

f

 P>0 CONV; P<0 DIV

La potencia de una lente convergente es positiva y la de una divergente es negativa.

Formación de imágenes en las lentes

Para formar imágenes, al igual que en el dioptrio esférico hay que tener en cuenta: 1. Rayo que llega paralelo al eje óptico sale por el foco

2. Rayo que pasa por el centro óptico (centro de la lente) no se desvía

3. La imagen se forma desde el eje óptico hasta el punto de corte de los dos anteriores.

Lentes convergentes.

Dependiendo de la posición del objeto tenemos cinco posibilidades:

y

y

s

s

O

A2

A1

B2

7 Fco Javier Corral 2013-2014

Si el objeto está la imagen se forma y la imagen es

antes de 2F entre F y 2F menor, real e invertida

en 2F en 2F igual, real e invertida

entre F y 2F entre 2F y



en F no hay imagen no hay imagen

entre F y la lente entre y F mayor, virtual y derecha

Lentes divergentes.

Sólo hay una posibilidad de formación de imagen que siempre es menor, virtual y derecha, independientemente de donde se encuentre el objeto.

Espejos

Vamos a considerar un espejo como un dioptrio esférico en el que el índice de refracción n

2 es igual y de

sentido contrario al n

1. El rayo llega, se refleja y vuelve por el primer medio pero en sentido contrario.

En la ecuación del dioptrio esférico: 2 1 2 1

2 1

n n n n

s s R



  si n₂  n₁, tenemos:

1 1 1 1

2 1

n n n n

s s R

  

  o bien

2 1

1 1 2

s s R que es la fórmula de los espejos. ¡Cuidado con los signos de los radios!

Los espejos cóncavos tienen radio negativo y los convexos tienen radio positivo.

De la fórmula de los espejos podemos deducir inmediatamente que la distancia focal es la mitad del radio. F

F

2F 2F F

F

2F 2F F

8 Fco Javier Corral 2013-2014 Formación de imágenes en los espejos

1. Los rayos paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco.

2. Los rayos que pasan por el foco se reflejan y salen paralelos al eje óptico. 3. Los rayos que pasan por el centro no se desvían.

Espejos cóncavos. Se pueden dar cinco posibilidades, dependiendo de la posición del objeto.

Espejos convexos

Sólo hay una posibilidad de formación de imagen. Independientemente de dónde esté el objeto, la imagen siempre es menor, derecha y virtual.

Aumento de un espejo

Se obtiene a partir del aumento de un dioptrio, sin más que hacer la sustitución n₂ n₁

2 1 2 2

1 2 1 1

y n s s

A

y n s s

   

C F

F C

F

C C F

F

9 Fco Javier Corral 2013-2014 Instrumentos ópticos

El ojo

El ojo humano es una esfera de unos 25 mm de diámetro. En él se distinguen las siguientes partes:

Esclerótica: membrana blanca, opaca y resistente. Termina en la córnea por la parte anterior.

Coroides: Recubre la parte interior del ojo excepto la cornea.

Retina: membrana situada en el fondo del ojo llena de células nerviosas en la que se proyectan las imágenes. En la retina hay dos tipos de células: conos y bastones. Los bastones detectan la intensidad de luz y los conos los colores.

Hay tres tipos de conos en función del color al que son sensibles: rojo, verde y azul. Cualquier color se forma por combinación de esos tres. La mácula es la zona en la que hay mayor concentración de conos.

Cristalino: Lente biconvexa elástica. Está sujeto al globo ocular por los músculos ciliares que permiten modificar el radio de curvatura.

El conjunto pupila/iris selecciona la cantidad de luz que entra en el ojo. Un ojo normal tiene el punto próximo a 25 cm y el punto lejano en el infinito. Defectos de la visión

Miopía.

Se debe a un alargamiento del ojo. Se ven bien los objetos cercanos pero la imagen de objetos lejanos se forma por delante de la retina por lo que se ven borrosos. Se corrige con lentes divergentes.

Hipermetropía.

Es lo contrario de la miopía. Se ven bien los objetos lejanos pero no los cercanos porque la imagen se forma por detrás de la retina. Se corrige con lentes convergentes.

Astigmatismo.

La cornea normal tiene forma esférica. Si la córnea tiene forma elipsoidal se produce el astigmatismo y los rayos paralelos no coinciden en el mismo foco. Se pone de manifiesto porque dificulta la visión clara y simultánea de dos rectas perpendiculares, de los radios de una bicicleta. Se corrige con lentes cilíndricas.

Presbicia.

También se llama vista cansada y suele aparecer a partir de los 40-45 años. Se debe a la pérdida de flexibilidad de los músculos ciliares o del cristalino. Consiste en un alejamiento del punto próximo. Los que

Esclerótica Coroides

Retina

Cristalino

Musc Ciliares Córnea

Iris

10 Fco Javier Corral 2013-2014 lo padecen ven bien de lejos pero mal de cerca, necesitan alejar el texto que van a leer para verlo con claridad. Este defecto se corrige con lentes convergentes (o bien con cristales bifocales o progresivos). Cataratas.

Al aumentar la edad el cristalino pierde transparencia y los objetos se ven como si estuvieran colocados detrás de un velo o de una película acuosa. Suele aparecer a partir de los 60 años y no admite corrección. Sólo admite cirugía en la que se limpia el cristalino o bien se sustituye por uno sintético.

Daltonismo.

Es un defecto genético de la vista que impide distinguir ciertos colores; generalmente el rojo y el verde (se presenta en el 8% de los hombres y en el 1% de las mujeres). Menos frecuente es la confusión entre el azul y el amarillo. Se debe a la deficiencia de conos en la retina.

Aquí tienes una muestra del test de Ishihara para detectar el daltonismo. Si no ves los números… ¡preocúpate!

La lupa: Microscopio simple

La lupa es un instrumento óptico formado por una lente convergente que se utiliza para ver un objeto cercano, ampliado y derecho. El objeto se coloca entre el foco y la lente y la imagen obtenida es virtual. El aumento máximo de la lupa es 20.

Telescopio

Instrumento óptico diseñado para ver objetos muy lejanos con un tamaño aparente mayor. Como los objetos están muy alejados, los rayos que proceden de él llegan paralelos. Está formado por dos lentes convergentes: objetivo y ocular, de forma que sus focos coinciden.

F

FOb FOb

FOc

OBJETIVO OCULAR

11 Fco Javier Corral 2013-2014 Microscopio compuesto

Instrumento óptico diseñado para ver cuerpos pequeños, formado por dos lentes convergentes. El objetivo tiene una distancia focal menor que la del ocular.

La imagen final, invertida y mayor puede ser hasta 2000 veces el tamaño del objeto.

Espectro electromagnético

El espectro electromagnético es el conjunto de todas las posibles radiaciones electromagnéticas ordenadas por frecuencia o por longitud de onda. La frecuencia y la longitud de onda son inversas.

Ondas de radio

Comprenden las ondas de radio, FM y televisión. Microondas

Se utilizan para calentar cuerpos que contienen agua (microondas doméstico) y en comunicaciones dada su facilidad para atravesar la atmósfera (WiFi y Bluetooth).

Infrarrojo

Se utilizan en aparatos de visión nocturna, mandos a distancia de electrodomésticos y conexiones sin cables entre periféricos de ordenador.

Visible

Conjunto de radiaciones que detecta el ojo humano. Las longitudes de onda van desde 380 nm (violeta) hasta 780 nm (rojo).

Ultravioleta

Se trata de una radiación con mucha energía, es capaz de romper enlaces en moléculas. La mayor parte de la radiación UV emitida por el Sol es absorbida por la capa de ozono.

FOb FOb

FOc

OBJETIVO OCULAR

FOc

102

Frecuencia

104 ₁₀6 ₁₀8 ₁₀10 ₁₀12 ₁₀14 ₁₀16 ₁₀18 ₁₀20 ₁₀22 ₁₀24

V UV IR

Micro ondas Ondas de radio

UHF VHF SW MW LW

380nm 780nm

Energía 

Radiaciones ionizantes Radiaciones no ionizantes

12 Fco Javier Corral 2013-2014 Radiación X

Atraviesa la mayor parte de las sustancias por lo que son útiles en medicina y en cristalografía para determinar la posición de los átomos en las estructuras cristalinas.

Radiación 

Se genera en reacciones nucleares y es muy peligrosa para las células por lo que se utilizan, junto con rayos X de alta energía, en el tratamiento de algunas lesiones cancerígenas (radioterapia).

Teoría corpuscular (Newton 1704)

La luz está formada por partículas (corpúsculos) que son lanzados a gran velocidad por los cuerpos emisores de luz y que se mueven en línea recta. Estas partículas tienen un tamaño muy pequeño y se mueven sin rozamiento. Relaciona la intensidad luminosa con el número de corpúsculos emitidos.

Explica la reflexión como un choque entre una partícula pequeña con una superficie de gran masa: la velocidad en vertical se invierte pero se mantiene en horizontal, con lo que los ángulos de incidencia y de refracción son iguales.

En el caso de la refracción supone que la velocidad en un medio más denso que el aire es superior a la del vacío ya que los corpúsculos son atraídos por el medio más denso.

La velocidad en horizontal se mantiene pero aumenta en vertical con lo que la velocidad de propagación en un medio con mayor índice de refracción es superior a la del vacío.

Teoría ondulatoria (Huygens 1690)

La luz es una perturbación ondulatoria, similar al sonido, que se propaga por el medio. Como en esa época las ondas necesitan un medio para propagarse, se inventa un medio de elasticidad perfecta, llamado éter, en el que se propaga la luz. La teoría fue abandonada hasta que en 1800 Young observó la difracción de la luz y se midió la velocidad de propagación de la luz en distintos medios.

Teoría electromagnética (Maxwell 1865)

Supone que la luz es una onda electromagnética de alta frecuencia. Una onda electromagnética es una perturbación simultánea de un campo eléctrico y uno magnético que no necesita un medio material para

propagarse. La velocidad de propagación de estas ondas en un medio es _v 1 _{3·10 ms}8 1 