C ´ALCULO ELEMENTAL PROBLEMAS
Valor absoluto
1.- Resolver las ecuaciones siguientes:
(i)|2x−6|=x.
(ii) |x+ 8|=|3x−4|.
2.- Resolver la inecuaci´on |2x−3| ≤4.
Funciones y sus gr´aficas
3.- Dada f(x) = 2x2−x, hallarf(−1), f(0), f(2), f(x+h) y f(x+h)−f(x)
h dondex, h∈R
y h6= 0.
4.- Dada f(x) =
½
xsenx si x <2,
3x2 + 1 si x≥2, hallar f
¡
−1 2
¢
, f¡π 2
¢
y f(2).
5.- Hallar los dominios de las funciones siguientes:
(i)f(x) = 2x−1.
(ii) f(x) = 2x−1,x6= 3.
(iii) f(x) = (2x−x+31)(x+3).
(iv) f(x) =√x+ 2.
(v) f(x) = 4 5−cosx.
6.- Si f(x) = 3x+ 5 y g(x) =√x, hallar las funciones f◦g y g◦f.
7.- Expresar cada una de las funciones siguientes como composici´on de dos:
(i)f(x) = (x2+ 5x+ 1)5.
(ii) f(x) = cos3x.
(iii) f(x) = senx3.
(iv) f(x) =√5x2−x.
8.- Representar gr´aficamente:
(ii) y=−√x.
9.- Averiguar si son iguales las funciones f y g en los casos siguientes:
(i)f(x) = 2x2+x
x ,g(x) = 2x+ 1.
(ii) f(x) = 2x2+x
x ; g(x) = 2x+ 1, x6= 0.
10.- Decidir si las funciones siguientes son pares, impares o ni pares ni impares:
(i)f(x) = 1 3x3−4.
(ii) f(x) =x3+x.
(iii) f(x) =|x|.
Funciones inversas
11.- Hallar f−1 en los casos siguientes:
(i)f(x) = 2x−3.
(ii) f(x) =x2−5, x≥0.
12.- Hallar cuales de los tres pares de funciones siguientes est´an formados por funciones inversas la una de la otra:
(i)f(x) = 5x+ 3, g(x) = x−3 5 .
(ii) f(x) = 4
5x+ 4, g(x) = 5 4x+ 3.
(iii) f(x) =x2, x <0; g(x) =√x, x >0.
L´ımites de funciones
13.- Probar usando la definici´on que:
(i) l´ım
x→2(2x+ 1) = 5.
(ii) l´ım
x→2
x2−2x+2
x−4 =−1.
(iii) @l´ım
x→0 1 x.
14.- Averiguar usando la definici´on si
(i) l´ım
x→1(2x−5) =−3.
(ii) l´ım
x→2(x
(iii) l´ım
x→2
2x2−3x−2
x−2 = 6.
Propiedades de los l´ımites
15.- Calcular los l´ımites siguientes:
(i) l´ım
x→2(2x
5−9x3+ 3x2 −11).
(ii) l´ım
x→−1
x3−3x+7
5x2+9x+6.
(iii) l´ım
x→−2
3
√
x2−3x−2.
(iv) l´ım
x→2
x2+x−6
x−2 .
(v) l´ım
x→4
√
x−2 x−4 .
(vi) l´ım
x→1
1
x−1
x−1.
(vii) l´ım
x→1
³
x2−3x+2
x2+x−2 ´2
.
(viii) l´ım
x→0
¡1
x −x12 ¢
.
16.- Calcular l´ım
x→0f(x) en los casos siguientes:
(i)f(x) =
½
x si x <0, x+ 5 si x >0.
(ii) f(x) =
½
x2+ 1 si x <0, x+ 1 si x >0.
17.- Calcular l´ım
x→3f(x) dondef(x) =
2(x+ 1) si x <3,
4 si x= 3, x2−1 si x >3.
Continuidad
18.- Comprobar si las funciones siguientes son continuas en x= 1:
(i)f(x) = x2+2x−3
x−1 .
(ii) f(x) =
½ x2+2x−3
x−1 six6= 1,
6 six= 1.
(iii) f(x) =
½ x2+2x−3
x−1 si x6= 1,
(iv) f(x) =
½ x+3
x−1 si x6= 1,
4 si x= 1.
(v) f(x) = 7x3+ 3x2−2.
(vi) f(x) = 2 senx−tag x.
19.- Hallar los intervalos en los que las funciones siguientes son continuas:
(i)f(x) = x2−1
x2−4.
(ii) f(x) =|x2−4|.
(iii) f(x) = cosecx.
(iv) f(x) = sen1 x.
(v) f(x) =
½
xsen 1
x six6= 0,
0 six= 0.
(vi) f(x) =
½
3−x si −2≤x <2, x−2 si 2≤x <5.
(vii) f(x) =
½
2−x si −2≤x <2, x−2 si 2≤x <5.
20.- Probar que las ecuaciones siguientes tienen al menos una ra´ız en los intervalos que se indican:
(i)x4−2√3 x= 1 en [−1,1].
(ii) cosx−senx=x en£0,π 2
¤
.
21.- Estudiar la continuidad de las funciones siguientes:
(i)f(x) =x3−7x+ 3.
(ii) f(x) = 3x x2−x.
(iii) f(x) =√x+ 3 x.
(iv) f(x) = 1
x − x+13 .
(v) f(x) =
½
2x−3 si x≤1, x2 −2 si x >1.
(vi) f(x) = 3 tag x−5 senxcosx.
22.- Hallar el valor que se debe asignar a las funciones siguientes en x= 2 para que sean continuas en dicho punto:
(i)f(x) = x2−x−2
(ii) f(x) = senπx x−2 .
(iii) f(x) =
½
15−x2 si x <2,
2x+ 5 si x >2.
23.- Determinar si las funciones siguientes son continuas o no en los intervalos que se indican:
(i)f(x) = 1
x en [−3,0) y en [1,2].
(ii) f(x) =
½
x2 si 0 ≤x <2,
3x+ 1 si 2≤x <5.
(iii) f(x) =xsenx en (0, π).
24.- Seanf(x) =
½
x six6= 0,
2 six= 0, yg(x) =
½
3x six6= 0,
−2 six= 0. Probar quef+ges continua
enx= 0 aunque f y g son discontinuas en ese punto.
25.- Hallar dos funcionesf yg tales quef sea discontinua enx= 1, perof g sea continua en ese punto.
26.- Probar que la funci´on f(x) =
½
x+ 1 si x≤2,
x2 si x >2, es continua por la izquierda en 2,
pero no por la derecha.
27.- Hallar las constantes a y b para que las funciones siguientes sean continuas:
(i)f(x) =
x2+ax+ 1 si x <5,
8 si x= 5,
bx+ 3 si x >5.
(ii) f(x) =
½ √
x−a
x−1 si x >0, x6= 1, b si x= 1.
Tangentes
28.- Hallar la f´ormula de la pendiente de la tangente a la gr´afica de f(x) = x2 y usarla
para calcular esta pendiente en el punto (4,16).
29.- Derivar usando la definici´on la funci´onf(x) =√x.
30.- Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la gr´afica de f(x) = 1
x en el punto
de abscisa 2.
T´ecnicas de derivaci´on
32.- Derivar las funciones siguientes:
(i)f(x) = (3x2−1)(2x3+ 7).
(ii) f(x) = 4x−7 3−x2.
(iii) f(x) =x2senx.
(iv) f(x) = cos√xx.
(v) f(x) = secxtag x.
(vi) f(x) = senx 1−cosx.
33.- ¿Para qu´e valores de A y B la funci´on y =Axcosx+Bxsenx satisface la relaci´on
y00+y =−3 cosx?
La regla de la cadena
34.- Derivar las funciones siguientes:
(i)f(x) = p4 x
1−3x.
(ii) f(x) = sen(3x2+ 5x−7).
(iii) f(x) = cosx2 + 5¡3 x + 4
¢6
.
(iv) f(x) = cos4(3x+ 1)2.
(v) f(x) = tag 7x (1−4x)5.
(vi) f(x) =√secx3.
(vii) f(x) = sen(2 cosx).
(viii)f(x) = √ 1 cosx2.
(ix) f(x) = p3 x2+ 2√x.
(x) f(x) = log(5x2+ 2x+ 1).
(xi) f(x) = senx+√logx.
(xii) f(x) =ex2+x
.
(xiii)f(x) =e−3xsenx.
(xv) f(x) = (x+ 1)2x.
(xvi) f(x) = xr con r∈R.
(xvii) f(x) = ¡e√x−x¢2.
(xviii) f(x) = log logx.
(xix) f(x) = xlog√x.
(xx) f(x) = (senx)√x.
(xxi) f(x) = arc tag √x.
(xxii) f(x) = arc sen(1−x).
35.- Hallar las abcisas de los puntos de la gr´afica de la funci´on f(x) = x√1−3x con tangente horizontal.
36.- Dada una funci´on f tal que f0(x) = 1
x, derivar las funciones siguientes:
(i)g(x) = f(x2).
(ii) g(x) = f¡1 x
¢
.
(iii) g(x) =f
³
2 3√x
´
.
(iv) g(x) =f¡2x+1 1−x
¢
.
37.- Seaf una funci´on tal que f(2) =−3 y f0(x) =√x2+ 5. Si g(x) =x2f¡ x x−1
¢
, hallar
g0(2).
Derivaci´on impl´ıcita
38.- Hallar y0 en los casos siguientes:
(i)x2y+ 2y3 = 3x+ 2y.
(ii) sen(x2+y) = y2(3x+ 1).
(iii) 1 x +
1 y = 1
39.- Hallar y00 en los casos siguientes:
(i)x2+y2 = 10.
Valores extremos de una funci´on continua
40.- Hallar los valores cr´ıticos de las funciones siguientes:
(i)f(x) = 4x3−5x2−8x+ 20.
(ii) f(x) = x2
x−2.
(iii) f(x) = 12x1/2−2x3/2.
(iv) f(x) =|x+ 1| con x∈[−5,5].
41.- Hallar los extremos absolutos de las funciones siguientes:
(i)f(x) =x4−2x2+ 3 con x∈[−1,2].
(ii) f(x) =x2/3(5−2x) con x∈[−1,2].
(iii) f(x) = 1
2(sen2x+ cosx) + 2 senx−x con x∈
£
0,π 2
¤
.
42.- Se construye una caja de base cuadrada tal que la longitud del lado de la base m´as la altura es 10 cm. Hallar el volumen m´aximo de esta caja.
43.- Hallar dos n´umeros no negativos tales que la suma de uno m´as el doble del otro sea 12 y su producto sea m´aximo.
44.- Demostrar que el rect´angulo de per´ımetro fijo y ´area m´axima es el cuadrado.
45.- Dadas las constantes a1, a2, . . . , an, hallar el valor de x que hace m´ınima la suma S(x) = (a1−x)2+ (a2−x)2+· · ·+ (an−x)2.
46.- Explicar por qu´e la funci´onf(x) = 8 senx+
27
cosx debe alcanzar un m´ınimo en el intervalo
¡
0,π 2
¢
. Demostrar que si alcanza el m´ınimo en x=θ, entonces tag θ = 2 3.
El teorema del valor medio
47.- Probar que:
(i)|senx−seny| ≤ |x−y| para todos x, y ∈R.
(ii) |tag x−tag y| ≥ |x−y|para todos x, y ∈¡−π 2,π2
¢
.
48.- Demostrar que dado x∈ R, existe c entre 0 y x tal que cosx−1 =−xsenc. Como aplicaci´on calcular l´ım
x→0 cosx−1
x .
49.- Sean f(x) = 1 + 1
50.- Dado a >0, probar que la ecuaci´onx3+ax−1 = 0 tiene exactamente una soluci´on
real.
Crecimiento
51.- Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes as´ı co-mo sus puntos cr´ıticos determinando si son m´axico-mos, m´ınico-mos o ni m´axico-mos ni m´ınico-mos:
(i)f(x) =x3+ 3x2+ 1.
(ii) f(x) = x−1 x2+3.
(iii) f(x) =√x2+ 1.
(iv) f(x) =x2/3(2x−5).
(v) f(x) = 2 cosx−x.
(vi) f(x) = tag2x con x∈£−π 4,π4
¤
.
52.- Hallar a, b y c para que la funci´onf(x) =ax2+bx+c tenga un m´aximo relativo en
(5,12) y su gr´afica corte al eje OY en (0,3).
Convexidad
53.- Estudiar convexidad, concavidad y puntos de inflexi´on de las funciones siguientes:
(i)f(x) =x3+ 3x+ 1.
(ii) f(x) = x2
2√2 + senx con x∈
£
0,π 2
¤
.
(iii) f(x) = 2x+ 1 + 18 x.
(iv) f(x) = x2−3x
x+1 .
(v) f(x) = x4/3(x−27).
(vi) f(x) =−1
4sen 2x+ cosx con x∈[0, π].
L´ımites infinitos y as´ıntotas
54.- Calcular los l´ımites siguientes:
(i) l´ım
x→+∞
3x3−5x+9
5x3+2x2−7.
(ii) l´ım
x→−∞
95x3+57x+30
(iii) l´ım
x→+∞
3x2−2x
x−1 .
(iv) l´ım
x→2−
3x−5 x−2 .
(v) l´ım
x→2+
3x−5 x−2.
(vi) l´ım
x→3+
x2−4x+3
x2−6x+9.
(vii) l´ım
x→0+
x2−x+1
x−senx.
(viii) l´ım
x→+∞
¡
xsen 1 x
¢
.
55.- Hallar las as´ıntotas de las gr´aficas de las funciones siguientes:
(i)f(x) = 3x+5 7−x .
(ii) f(x) =x2+ 2 x.
(iii) f(x) = x3+1
x3+8.
(iv) f(x) = 8
x−1 + x+427 .
Dibujo de curvas
56.- Dibujar la gr´afica de las funciones siguientes:
(i)f(x) = x2−x−2
x−3 .
(ii) f(x) = 2 + 7 3(x−2) −
10 3(x+1).
(iii) f(x) = cosx 1−2 senx.
(iv) f(x) = 1 x2+12.
(v) f(x) = x2/3(x−7).
(vi) f(x) = √ x x2+1.
(vii) f(x) = logx x .
(viii)f(x) =xe−x.
(ix) f(x) =e−x2
.
(x) f(x) = log x2
Optimizaci´on
57.- Hay que cercar una zona rectangular dentro de un terreno en forma de tri´angulo rect´angulo con catetos de 4 y 12 metros. Los lados del rect´angulo deben estar sobre los catetos. Hallar el ´area m´axima que puede tener dicha zona.
58.- Maximizar el volumen de una caja hecha cortando cuatro cuadrados iguales en las esquinas de una l´amina met´alica de 24 cent´ımetros de ancho y 45 de largo.
59.- Hallar las dimensiones de un rect´angulo de 64 metros cuadrados de ´area para que el per´ımetro sea m´ınimo.
60.- Dada una esfera de radio R, hallar el radio r y la alturah del cilindro circular recto con mayor ´area lateral que se puede inscribir en la esfera.
61.- Dos ciudades A y B distantes 12 kil´ometros est´an situadas a 5 y 3 kil´ometros, res-pectivamente, de una autopista larga y recta. Se pretende construir una carretera desde
A a la autopista y luego hasta B. Hallar la longitud m´ınima de la carretera que cumple con esos requerimientos.
Regla de L’Hˆopital
62.- Calcular los l´ımite siguientes:
(i) l´ım
x→0
1−cos3x
sen2x .
(ii) l´ım
x→0 x−senx
x3 .
(iii) l´ım
x→+∞xtag
1 x.
(iv) l´ım
x→π2−
a+secx
b+tagx con a, b∈R.
(v) l´ım
x→0+ ¡1
x − sen1x
¢
.
(vi) l´ım
x→0
(1−cosx) sen 4x x3cosx .
(vii) l´ım
x→+∞x
1/x.
(viii) l´ım
x→+∞
¡
1 + k x
¢x
con k ∈R.
(ix) l´ım
x→0(e
Integraci´on inmediata
63.- Calcular las primitivas siguientes:
(i)R secxtag x dx.
(ii) R(x5−3x2−7)dx.
(iii) R 7 2x−5dx.
(iv) R senx 3+2 cosxdx.
(v) R 35−xdx.
(vi) R cotag (1−2x)dx.
(vii) R e5xdx.
(viii)R xe1−x2
dx.
(ix) R 2x+1 x−5 dx.
(x) R √dx 4−x2.
(xi) R dx x2−4x+10.
(xii) R 2x+5 x2+4x+5dx.
(xiii)R tag3ax dx.
El ´area como l´ımite de una suma
64.- Hallar el ´area bajo la curva y= 4x3+ 2x en el intervalo [1,2].
Las sumas de Riemann y la integral definida
65.- CalcularR−124x dx.
El teorema fundamental del C´alculo, integraci´on por cambio de variable
66.- Hallar la derivada de:
(i)F(x) =R7x(2t−3)dt.
(ii) F(x) =R√x2−3x
67.- Calcular:
(i)R−124x dx.
(ii) R−22|x|dx.
68.- Calcular las primitivas siguientes:
(i)R x√2x+ 1dx.
(ii) R dx
3
√
x+√x.
(iii) R √4−x2dx.
(iv) R √x2+ 9dx.
El teorema del valor medio del c´alculo integral
69.- Hallar un valor de c como en el enunciado del teorema del valor medio del c´alculo integral para f(x) = senx en [0, π].
´
Area comprendida entre dos curvas
70.- Hallar el ´area de la regi´on limitada por:
(i) las curvas y=x3 ey =x2−x en [0,1].
(ii) la curva y=x2−4x y el ejeOX.
(iii) la recta y= 3x y la curva y=x3+ 2x2.
(iv) la curvax= 4y−y2 y la recta x= 2y−3.
(v) la curva y= senx y el ejeOX en [0,2π].
(vi) las curvas y =x4−3x2 e y= 6x2.
(vii) las curvas y= 2x3+x2 −x−1 e y=x3 + 2x2+ 5x−1.
(viii) las curvas y=|4x−1| e y=x2−5 y las rectas x= 0 yx= 4.
(ix) el eje OY y la curva x=y3−3y2−4y+ 12.
71.- Demostrar que el ´area de la regi´on definida por las desigualdadesx2+y2 ≤8,x≥y
Vol´umenes
72.- Hallar el volumen del s´olido de revoluci´on que se forma girando:
(i) la regi´on bajo la curva y=x2+ 1 en [0,2] alrededor del eje OX.
(ii) la regi´on limitada por la par´abola y =x2 y la recta y= x alrededor del eje OX, del
eje OY y de la recta y= 2.
(iii) la regi´on limitada por la curva y=x3 +x2 + 1 y las rectasx = 1 y x= 3 alrededor
del eje OY.
(iv) la regi´on limitada por las rectas y=x, y= 2x y x= 1 alrededor del eje OX.
(v) la regi´on bajo la curva y=x3+x2 en [0, π] alrededor del eje OX.
(vi) la regi´on limitada por las curvasy =x2 e y=x3 alrededor del eje OX.
(vii) la regi´on bajo la curva y=√senx en [0, π] alrededor del eje OX.
(viii) la regi´on bajo la recta y= 2x en [0,1] alrededor del eje OY.
(ix) la regi´on limitada por la par´abolay= 1−x2, el ejeOY y el ejeOX positivo alrededor
del eje OY.
(x) la regi´on limitada por las curvas y =x3 e y = 12−x2 y la recta x = 1 alrededor de
la rectax=−1.
Longitudes y ´areas
73.- Hallar la longitud de los arcos de curva siguientes:
(i)y =x3/2 en [0,4].
(ii) x= 1
3y3+ 4y1 desde y= 1 hasta y= 3.
74.- Hallar el ´area de la superficie de revoluci´on engendrada al girar alrededor del ejeOX
el arco de curva y=x3 en [0,1].
Integraci´on por partes
75.- Calcular las primitivas siguientes:
(i)R xexdx.
(iii) R x2e−xdx.
(iv) R e2xsenx dx.
(v) R arc senx dx.
(vi) R xcos2x dx.
76.- Se sabe que f(0) = 3 y que R0π(f(x) +f00(x)) senx dx= 0. Hallar f(π).
El m´etodo de las fracciones simples
77.- Calcular las primitivas siguientes:
(i)R x2−6x+3
(x−2)3 dx.
(ii) R x4+2x3−4x2+x−3
x2−x−2 dx.
(iii) R −3x3−x
(x2+1)2 dx.
(iv) R 5x2+21x+4
(x+1)2(x−3)dx.
(v) R x2+4x−23
(x2+4)(x+3)dx.
(vi) R dx x2/3−x5/3.
(vii) R dx 3 cosx−4 senx.
(viii)R ex
2e2x−5ex−3dx.
(ix) R sec2x
4+tagxdx.
(x) R senx−cosx senx+cosxdx.
(xi) R dx secx−tagx.
(xii) R dx
x(3−logx)(1−logx).
Integrales impropias
78.- Demostrar que la integral R1+∞dx
xp converge si p >1 y diverge en caso contrario.
79.- Estudiar si las integrales impropias siguientes convergen o divergen, calcul´andolas cuando converjan:
(i)R0+∞xe−2xdx.
(iii) R01 dx (x−1)2/3.
(iv) Rπ/2π secx dx.
(v) R03 dx x−2.
(vi) R1+∞ e−√x √
x dx.
(vii) R2+∞ dx xlogx.
(viii)R−∞0 2x x2+1dx.
(ix) R−∞0 √dx 2−x.
(x) R−∞+∞xe−|x|dx.
(xi) R01logx dx.
(xii) Re+∞ dx xlog2x.
80.- Razonar si es correcto o no el c´alculo siguiente:
Z 1
−1 dx x2 =
·
−1
x
¸1
−1
=−[1−(−1)] =−2.
81.- CalcularR02f(x)dx dondef(x) =
( 1
4
√
x3 si 0≤x≤1,
1
4
√
(2−x)3 si 1< x < 2.
Sucesiones y l´ımites
82.- Hallar el l´ımite de las sucesiones convergentes siguientes:
(i)an= 100n .
(ii) an = 2n
2+5n−7
n3 .
(iii) an = 3n
4+n−1
5n4+2n2+1.
(iv) an= n
2
1−en.
(v) an= logn2n.
(vi) an= n
√ logn.
83.- Demostrar que las sucesiones siguientes no tienen l´ımite:
(ii) an = n
5+n3+2
7n4+n2+3.
(iii) an = cosnπ.
84.- Demostrar que las sucesiones siguientes convergen y calcular sus l´ımites:
(i)an= n
√
n.
(ii) an = n! nn.
85.- Probar que la sucesi´on an= 1·23··45····6···(2n(2n)−1) es convergente.
86.- Probar la convergencia de las sucesiones siguientes, bien demostrando que son cre-cientes y acotadas superiormente, o viendo que son decrecre-cientes y acotadas inferiormente:
(i)an= logn+1 n .
(ii) an = 4n+5n .
(iii) an = n
√
n.
Series
87.- Probar que las series siguientes son convergentes y calcular su suma:
(i) P∞
k=1 1 2k.
(ii) P∞
k=1 1 k2+k.
88.- Probar que la serie P∞
k=1
(−1)k no es convergente.
El criterio de la integral, p-series
89.- Estudiar si las series siguientes son o no convergentes:
(i) P∞
k=1 1 k.
(ii) P∞
k=1 k ek/5.
(iii) P∞
k=1 1
√
k3.
(iv) P∞
k=1
³
1 ek − √1k
´
(v) P∞
k=1 logk
k2 .
(vi) P∞
k=1
¡
2 + 3 k
¢k
.
(vii) P∞
k=1 k k2+1.
(viii) P∞
k=1 k2
√
k3+2.
(ix) P∞
k=2 1 klog2k.
(x) P∞
k=1
arc tagk k2+1 .
Criterios de comparaci´on
90.- Estudiar si las series siguientes son o no convergentes:
(i) P∞
k=1 1 3k+1.
(ii) P∞
k=1 1
√
k−5.
(iii) P∞
k=1 1 k!.
(iv) P∞
k=1 1 2k−5.
(v) P∞
k=1 3k+2
√
k(3k−5).
Criterios del cociente y de la ra´ız
91.- Hallar el car´acter de las series siguientes:
(i) P∞
k=1 2k
k!.
(ii) P∞
k=1 kk
k!.
(iii) P∞
(iv) P∞
k=1 k! 1·4·7···(3k+1).
(v) P∞
k=1 k5
10k.
Series alternadas, convergencia condicional y absoluta
92.- Hallar el car´acter de las series siguientes:
(i) P∞
k=1 (−1)k
k .
(ii) P∞
k=1
(−1)k+1logk
k .
(iii) P∞
k=1
(−1)k+1
arc tagk.
(iv) P∞
k=1 senk
2k .
(v) P∞
k=1
(−1)k+1k2
k3+1 .
(vi) P∞
k=1
(−1)k+1k
2k .
(vii) P∞
k=1
(−1)k+1k!
kk .
Series de potencias
93.- Demostrar que la serie P∞
k=0 xk
k! es convergente para todox∈R.
94.- Demostrar que la serie P∞
k=0
k!xk converge solo para x= 0.
95.- Hallar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las series de potencias siguientes:
(i) P∞
k=1 (2x)k
k .
(ii) P∞
k=1 xk
k.
(iii) P∞
k=1
¡k+1
k
¢k2
(iv) P∞
k=0 (x+1)k
3k .
(v) P∞
k=1
k!(x−1)k
5k .
(vi) P∞
k=1 (k!)2xk
kk .
Series de Taylor y Maclaurin
96.- Obtener el desarrollo en serie de Maclaurin de f(x) = cosx.
97.- Hallar el polinomio de Maclaurin de grado 5 de f(x) = ex y usarlo para aproximar e. Utilizar el teorema de Taylor para hallar la precisi´on de esta aproximaci´on.
98.- Hallar la serie de Taylor de f(x) = logx enc= 1 y demostrar que f est´a definida en puntos para los que dicha serie no converge.
99.- Sea f(x) =
½
e−1/x2
si x6= 0,
0 si x= 0. Probar que el desarrollo en serie de Maclaurin
re-presenta af solo en x= 0.
100.- Hallar el n´umero de t´erminos del desarrollo de Maclaurin de f(x) = ex que se
