EJERCICIOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

Universidad Carlos III de Madrid

Departamento de Ingeniería Mecánica.

EJERCICIOS DE TEORÍA DE

MÁQUINAS Y MECANISMOS

Índice general

1. INTRODUCCIÓN A LA TMM 4

1.1. Número de Grados de libertad . . . 4

2. RESISTENCIAS PASIVAS 9 3. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MÁQUINAS 15 3.1. Cálculo del CIR . . . 15

3.2. Análisis de velocidades y aceleraciones . . . 19

4. ANÁLISIS DINÁMICO DE MÁQUINAS 24 5. ENGRANAJES 29 5.1. Engranajes: parámetros, diseño y montaje . . . 29

5.2. Trenes de engranajes . . . 31

6. EJERCICIOS DE EXÁMENES 33 6.1. problema de cinemática . . . 33

6.2. Problema de cinemática (Septiembre 2003) . . . 40

6.3. Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) . . . 41

6.4. Problema de dinámica completo . . . 51

6.5. Problema de engranajes (Junio 2000) . . . 64

6.6. Problema de engranajes (Septiembre 2002) . . . 69

6.7. Problema de engranajes (Junio 2003) . . . 72

6.8. Problema de engranajes (Septiembre 2003) . . . 76

6.9. Problema de engranajes (Febrero 2004) . . . 81

7. CUESTIONES DE TEORÍA 86 7.1. Introducción a la teoría de máquinas y mecanismos . . . 86

7.2. Resistencias Pasivas y principios de lubricación . . . 87

ÍNDICE GENERAL 3

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN A LA TMM

1.1. Número de Grados de libertad

1. En la gura 1.1 se representa un mecanismo con muelle complejo. Su mecanismo simplicado equivalente se presenta en la gura 1.2, donde el resorte se ha reemplazado por dos eslabones binarios y la junta de horquilla por un pasador y una corredera:

a) Determine el número de grados de libertad del mecanismo mostrado en la gura 1.1

b) resolver el ejercicio anterior para el caso en el que se sustituye el muelle por dos barras binarias (ver gura 1.2)

Figura 1.1: Mecanismo. Figura 1.2: Mecanismo esquematizado.

1.1 Número de Grados de libertad 5

2. Determinar la movilidad o número de grados de libertad de los meca-nismos presentados en las siguientes guras:

Figura 1.3: Mecanismo. Figura 1.4: Mecanismo.

Figura 1.5: Mecanismo. Figura 1.6: Mecanismo.

1.1 Número de Grados de libertad 6

3. Determinar la movilidad o número de grados de libertad de los meca-nismos representados en las siguientes guras:

Figura 1.8: Mecanismo. Figura 1.9: Mecanismo.

Figura 1.10: Mecanismo. Figura 1.11: Mecanismo.

1.1 Número de Grados de libertad 7

4. Determinar la movilidad o número de grados de libertad de los meca-nismos representados en las siguientes guras:

Figura 1.13: Mecanismo.

1.1 Número de Grados de libertad 8

5. Determinar la movilidad o número de grados de libertad del mecanismo presentado en la gura 1.15:

Capítulo 2

RESISTENCIAS PASIVAS

1. Sea un par plano elemental superior, que consisten en el contacto entre un palpador circular y una guía rectilínea (ver gura 2.2).

a) Identicar las componentes de rozamiento máximo para las siguien-tes condiciones:

Vdes.rel2−1 = 5m/s

Carga vertical= 5000N ω2 = 0,1rad/s

δ (material templado) = 0,01mm De estudios en el laboratorio se obtiene que la elipse de contacto (real) tiene una longitud

de 1 mm. Figura 2.1: Coeciente de rozamiento al des-lizamiento.

Figura 2.2: Par elemental palpador-guía.

10

b) Perpendicularmente al plano existe un carga de P Newtons que se aplica a una distancia de 0.1 m del punto de contacto. Calcular el valor máximo de P para evitar que el eslabón 2 pivote sobre el punto de contacto.

Solución:

a) Identicar las componentes de rozamiento máximo. 1) Rozamiento al deslizamiento: Froz desli = µ·N

De la gura 2.3 se obtiene el valor del coeciente de rozamiento al deslizamiento: Vm´ax = 5m/s ⇒ µ = f (V) ⇒ µ= 0,35

Figura 2.3: Determinación del coeciente de

rozamiento al deslizamiento. _{Figura 2.4: El vector normal N se equilibra} con el peso del seguidor de contacto.

Y de la gura 2.4 se observa que, para que el contacto esté en equilibrio, el vector normal, que se encuentra en la dirección vertical debe tener el mismo módulo que el peso, por lo tanto:

N = 5000Newtons

La componente de rozamiento al deslizamiento se resuelve como: Módulo: Froz desli = 0,35·5000 = 1750N.

dirección: tangente al contacto (dirección de deslizamiento: horizontal)

sentido: el vector se opone al movimiento, por lo tanto hacia la izquierda.

2) Rozamiento por rodadura: Φrodadura = δ ·N

de los datos del enunciadoδ (material templado) = 0,01 mm

y del apartado anterior N = 5000Newtons _{se obtiene el par de}

11

Módulo: Φrodadura = 0,01·5000 = 50N ·mm.

dirección: la de rodadura (perpendicular al plano de trabajo). sentido: el vector se opone al movimiento, por lo tanto sen-tido horario.

3) Resistencia al pivotamiento: ( Ley de Hertz) : Φpivotamiento =

0,093·µ·l·N

de los datos del enunciado y del primer apartado anterior µ = 0,35 _{se obtiene el par de resistencia al pivotamiento:}

Φpivotamiento = 0,093·µ·l·N = 0,093·0,35·1·5000

Módulo: Φpivotamiento = 162,75 N ·mm.

dirección: la de pivotamiento.

sentido: el vector se opone al movimiento de pivotamiento. b) Calcular el valor máximo de P para evitar que el eslabón 2 pivote

sobre el punto de contacto.

El valor máximo de resistencia al pivotamiento es el calculado en el apartado anterior Φpivotamiento = 162,75 N ·m

Figura 2.5: Contacto palpador-guía, aplica-ción de una fuerza P.

Φ =P ·d

Φm´ax =Pm´ax·d= Φpivotamiento

Pm´ax =

Φpivotamiento

d =

162,75Nmm 100mm

El valor de la fuerza P máxima para evitar el pivotamiento es

12

2. Sea una polea de radio r=0.3 m. Obtener el grosor de los siguientes órganos deformables :

Tipo c m−1

cables métálicos 58 cuerdas de cáñamo 26 cuerdas de cáñamo 18

de manera que el coeciente de rigidez en cada uno de ellos sea de 0.1 Solución:

De la gura teórica 2.6

K = c· _2·d2_r = 0,1

d =

q

2·r·K c

 



cmetal ccanamo˜ cca˜namo usada d : grosor de la cuerda

r = 0,3m

Figura 2.6:

d1 =

r

2·r·K cmetal

=

r

2·0,3·0,1 cmetal = r 0,06 cmetal = r 0,06

58 = 0,032m

d2 =

r

2·r·K ccanamo˜

=

r

2·0,3·0,1 ccanamo˜

=

r

0,06 ccanamo˜

=

r

0,06

26 = 0,048m

d3 =

s

2·r·K ccanamo˜

usada

=

s

2·0,3·0,1 ccanamo˜

usada

=

s

0,06 cca˜namo

usada

=

r

0,06

18 = 0,058m

3. Se dispone de un par elemental, que consiste en un eje de radio 0.05 m y su correspondiente porta-ejes. En un ensayo de arrancada se observa que, para un peso en el eje de P=5000[N], en el instante de inicio de deslizamiento del eje sobre el porta-ejes, el ángulo que forma la normal con la vertical es de ϕ = 5o_.

a) Calcular el par de arrancada

b) Calcular el radio del círculo de rozamiento

13

Figura 2.7: Contacto eje-portaejes.

Solución:

a) Calcular el par de arranque

Para poner en movimiento el eje utilizamos un par M2. El punto de

apoyo A entre el eje y el porta-ejes se desplaza hacia la derecha. El equilibrio se producirá cuando lo estén las fuerzas P _y R12 con

el par M2.

Figura 2.8: Representación del círculo de ro-zamiento.

P =R12 = 5000N

M2 =P ·r = 5000·r

14

Para resolver este apartado es necesario solucionar antes el siguiente apartado.

b) Calcular el radio del círculo de rozamiento

Aplicando trigonometría al triángulo OABd _{en la gura 2.8:}

r = R·senϕ = 0,05·sen(5)

r = 4,36·10−3m

y con ello damos solución al apartado anterior:

M2 = 5000·4,36·10−3

M2 = 21,79Nm

c) Calcular el coeciente de rozamiento eje-portaeje.

Se considera que el ángulo ϕ _{es muy pequeño, por lo tanto, puede}

realizarse la siguiente aproximación:

r = R·senϕ ≈ R·tgϕ = R·µ

de manera que el coeciente de rozamiento se obtiene de la ecuación anterior, despejando:

µ= r

R =

4,36·10−3

0,05

Capítulo 3

ANÁLISIS CINEMÁTICO DE

MÁQUINAS

3.1. Cálculo del CIR

1. Halla todos los centros instantáneos de rotación relativos del mecanismo de bombeo mostrado en la gura:

Figura 3.1: Mecanismo.

3.1 Cálculo del CIR 16

2. Determinar todos los centros instantáneos de rotación relativos de la gura:

Figura 3.2: Mecanismo.

3. Determina todos los centros instantáneos de rotación relativos:

3.1 Cálculo del CIR 17

4. Determinar todos los centros instantáneos de rotación relativos del me-canismo mostrado en la gura:

Figura 3.4: Mecanismo.

5. Determinar todos los centros instantáneos de rotación relativos del me-canismo representado en la gura suponiendo rodadura pura entre los eslabones 1 y 4.

3.1 Cálculo del CIR 18

6. Determinar todos los centros instantáneos de rotación relativos

3.2 Análisis de velocidades y aceleraciones 19

3.2. Análisis de velocidades y aceleraciones

1. El miembro AB = 110 mm_{forma parte de un mecanismo articulado en}

el que se conoce la velocidad de A y la velocidad angular del miembro. Calcular, aplicando métodos grácos, la velocidad del punto B.

Figura 3.7: MiembroAB = 110 mm

2. La velocidad del punto A del miembro de la gura 3.8 es conocida. Se sabe también cual es la velocidad relativa del punto B respecto a A. Explicar cómo se determinaría la velocidad de B y de otro punto cualquiera C.

3.2 Análisis de velocidades y aceleraciones 20

3. Dibujar el cinema de velocidades del mecanismo de la gura 3.9. DATOS:

O2O4 = 280 mm BC = 125 mm AB = 250 mm O4C = 100 mm

O2A= 75 mm CD = 120 mm O4B = 100 mm

Figura 3.9: Mecanismo.

4. Dibujar el cinema de velocidades del mecanismo de la gura 3.10 con los siguientes datos:

O2O5 = 300; AB = 250; CD = 180; ϕ2 = 45grados

O2A = 220; BC = 380; BD = 540; CO5 = 250; ω2 = 70rad/s

3.2 Análisis de velocidades y aceleraciones 21

5. En el mecanismo de la gura 3.11: ω1 = 2

rad/s, Longitud de todas las barras = 30 mm,O2A y O2C inclinadas a 45o.

Calcular:

a) La posición de los centros instantáneos de rotación de los elementosAB yCD. b) La velocidad del punto C.

c) La aceleración del punto C.

Figura 3.11: Mecanismo.

6. El mecanismo de la gura, es una biela de colisa que mueve la herramienta de corte en una limadora. El elemento 3 tiene un movi-miento de vaivén guiado en dirección x_{. El} elemento 1 se mueve con velocidad angular constanteω en torno a su centroO1.

DATOS:

O2A= 2 m O3A= 5 m AB = 3 m

ω2 = 10 rd/s

a) Calcular la velocidad del punto A per-teneciente al elemento 2.

b) Calcular la velocidad del punto B per-teneciente al elemento 4.

c) Calcular la aceleración angular del ele-mento 3.

3.2 Análisis de velocidades y aceleraciones 22

7. En el mecanismo de la gura 3.13: R = 50 mm, AB = 40 _mm, ω = 10 _rad/s, α = 20 rad/s2_{, BC = 100 mm.}

a) Calcular la velocidad vC

b) Calcular la aceleración aC

Figura 3.13: Mecanismo.

8. En el mecanismo de la gura 3.14 el elemento 2 gira en torno al puntoO2.

a) Calcular la posición del centro instan-táneo de rotación del elemento 3 b) Construir el cinema de velocidades del

elemento 3 y representar de forma aproximada en el cinema de velocidad del punto E.

c) Calcular la velocidad de deslizamiento en el punto de contacto B

d) Construir el cinema de aceleraciones del elemento 3.

ω2 = 2 rad/s R2 = 2 m V4 = 2 m/s

α2 = 4 rad/s2 R3 = 4 m a4 = 4 m/s2

O2A=R2/2

3.2 Análisis de velocidades y aceleraciones 23

9. En el mecanismo de la gura 3.15, la barra ABC es un único sólido rígido. Se conoce la velocidad VA cuyo módulo es 17 m/s y

la aceleración del punto B cuyo módulo es 15 m/s2_{. La escala del dibujo es}

aproxima-damente 1:1000

a) Cuantos grados de libertad tiene el me-canismo? Justica tu respuesta.

b) Determinar las posiciones de los cen-tros instantáneos de rotación de todos los elementos del mecanismo.

c) Determinar la velocidad del punto F.

Capítulo 4

ANÁLISIS DINÁMICO DE

MÁQUINAS

1. Hallar la fuerza reducida en A debido a −→F1. ¾Que fuerza −→E habría que

aplicar en el punto A para que todo el mecanismo se mantenga en equi-librio?

Figura 4.1:

25

2. Hallar la fuerza reducida del mecanismo en C debido a −F→A. Calcular

la fuerza equilibrante en el punto C para mantener el mecanismo en el equilibrio.

Figura 4.2:

3. En el mecanismo representado en la gura 4.3, se conocen los siguientes datos:O2O4 = 12cm,α2 = 60o,

−→

FB = (70)Newtony forma 315ocon la

horizontal,O2A= 8cm α3 = 30 o,−→FD = (80)Newtony forma 120o con

la horizontal, AC = 6 cm_, Od4CD = 135 o, AB = AC/2, CD = 4 cm,

ω2 = 10 rad/seg. Hallar la fuerza reducida y la equilibrante en el punto

A.

26

4. Reducir la fuerza −→P _{al punto A, aplicando métodos grácos.}

Figura 4.4:

5. Calcular la masa reducida en el punto A MA del mecanismo de la gura.

DATOS: AB = BO4 = 86 cm O2A = 50cm

ω2 = 10rd/s IG2 = 0,015Kgm2 m2 = 0,1Kg

ω3 = −3rd/s IG3 = 0,020Kgm2 m3 = 0,15Kg

ω4 = 3rd/s IG4 = 0,020Kgm2 m4 = 0,15Kg

Como criterio de signos, se ha considerado positivo el sentido antihora-rio.

27

6. Calcular la resultante de los esfuerzos de inercia del eslabón de la gura 4.6.

Datos:

AB = 50 cm AG = 20 cm θ = 30o ω = 6 rad/seg

α = 50 rad/seg2 _{Peso de la biela=20 Kg I}

G = 5 Kgm2 aA = 50 m/seg2

Figura 4.6: Eslabón biela.

7. En el mecanismo del cuadrilátero articulado, calcular las acciones entre barras y reacciones en la bancada, así como el par acelerador MO₂ en el

árbol de la manivela 2. DATOS:

O2A= 0,5 m AB = 0,7 m O4B = 0,6 m

O2G2 = 0,2 m AG3 = 0,4 m O4G4 = 0,35 m

m2 = 0,5 Kg m3 = 0,7 Kg m4 = 0,6 Kg

IG2 = 0,010 Kgm2 IG3 = 0,030 Kgm2 IG4 = 0,018 Kgm2

Me = −100 Nm θ = 45o ω2 = 10 rad/seg (constante)

28

8. En el mecanismo motor representado en la gura 4.8, calcular las accio-nes entre barras y reaccioaccio-nes en la bancada, así como el par acelerador

MO2 a aplicar en el eje de la manivela 2.

DATOS:

O2A= 0,20 m AB = 0,75 m O2G2 = 0,07 m G3B = 0,40 m

d = 0,05 m m2 = 0,8 Kg m3 = 3 Kg m4 = 2 Kg

IG3 = 0,15 Kgm2 θ2 = 45o ω2 = 10 rad/seg (constante)

Figura 4.8: Mecanismo motor.

9. Una masa puntualm3 = 1Kg colocada en el punto B,

gira con una velocidad angularω = 10 rad/seg cons-tante alrededor del eje joO3O. Este eje atraviesa una

corredera (eslabón 4) de masam4 = 1,2Kg.

Despre-ciando cualquier otra masa del mecanismo, hallar las reacciones en la bancada y las fuerzas internas entre las barras.

DATOS:

θ2 = 45o, θ3 = 300o, CO3 = 15 cm, AB = 3 cm.

Capítulo 5

ENGRANAJES

5.1. Engranajes: parámetros, diseño y montaje

1. Sea un engranaje formado por dos ruedas dentadas de Z1 = 19 y Z2 =

59 _{dientes respectivamente, fabricadas con módulo 4, y con ángulo de}

presión de referencia normalizado 20 grados. Determinar los parámetros característicos de cada rueda y del engranaje.

Solución:

Altura de cabeza hc1 = hc2 = 4mm

Altura de pie hf1 = hf2 = 5mm

Altura total h1 = h2 = 9mm

Radio primitivo r1 = 38mm r2 = 118mm

Radio de cabeza ra1 = 42mm ra2 = 122mm

Radio de pie rf1 = 33mm rf2 = 113mm

Radio base rb1 = 35,7mm rb2 = 110,88mm

Paso angular pa1 = 18,94o pa2 = 6,1o

paso p1 = p2 = 12,56mm

espesor del diente e1 = e2 = 6,28mm

Relación de transmisión i = 0,32

2. Un engranaje cilíndrico recto con módulo m = 4_{, tiene una relación de}

transmisión i = 2/3 con un número de dientes z1 = 20 en el piñón.

Tras un cierto periodo de funcionamiento, se observa rotura y desgaste prematuro en una de las ruedas, por lo cual se debe rediseñar el conjunto respetando la misma distancia entre ejes, pero aumentando el módulo

5.1 Engranajes: parámetros, diseño y montaje 30

a m = 5_{. Se pide calcular los números de dientes de las dos ruedas una}

vez rediseñado el engrane con m = 5

Solución:

m = 5_{, distancia entre ejes} O1O2 = 100, i = 2/3, z1 = 16, z2 = 24

3. Dada una rueda dentada de módulo m = 5 y número de dientesZ = 40

tallada con un ángulo de presión normalizado de 20o_{, se pide determinar}

el espesor del diente en la circunferencia exterior. Solución: SE = 3,81mm

4. Determinar el espesor de un diente (m = 5,z = 10) en el radio de cabeza

si se talla de manera que se evite la penetración utilizando herramientas de talla normalizadas.

Solución: sa = 2,09mm

5. Un engranaje cilíndrico recto está formado por dos ruedas dentadas de

Z1 = 9 y Z2 = 13 dientes, construidas con módulo 3. Calcular el ángulo

de presión, α0_{, así como la distancia entre centros de ejes y los radios}

primitivos en un montaje correcto.

Solución α0 = 24o501100, distancia entre ejes a0 = 33,967mm, radios

primitivos r0₁ = 13,896mm r0₂ = 20,072mm

6. Entre dos ruedas paralelas situadas a 41,648 mm se pretende calcular una transmisión mediante un engranaje cilíndrico-recto constituído por dos ruedas de Z1 = 8 y Z2 = 12 dientes respectivamente, y de módulo

m = 4_{. Determinar los desplazamientos que hay que efectuar en la talla}

de ambas ruedas.

Solución: X1 = 0,345mm X2 = 0,118mm

7. Un engranaje formado por dos ruedas dentadas cilíndrico-rectas de mó-dulo m = 5 _{y relación de transmisión} i = 1/3_{, se ha intentado montar}

a cero, comprobándose que no funciona correctamente.

Para evitarlo, se han separado progresivamente los ejes, y en un análisis de vibraciones se observó que el nivel mínimo de las mismas se conseguía para una distancia de separación de 1,1008 mm de la posición a cero. en esta nueva posición, el ángulo de presión resultó ser de 22o400_{. Calcular:}

5.2 Trenes de engranajes 31

b) Desplazamiento del tallado de las ruedas c) Radios de cabeza

d) Coeciente de engrane Solución:

a) Z1 = 6 Z2 = 18

b) X1 = 0,4388mm X2 = −0,2194mm

c) ra1 = 22,194mm ra2 = 48,903mm

d) coeciente de engrane ²= 1,284

8. Se tiene un engranaje cilíndrico-recto formado por dos ruedas deZ1 = 16

y Z2 = 30 dientes respectivamente, construidas con módulo m = 4. Si

ω1 = 3000 rpm, se pide calcular:

a) Radios de las circunferencias primitivas, básicas y de cabeza

b) distancias de los centros de las ruedas al primer punto de contacto

E2. (Nota: Resulta conveniente calcular primero los ángulos β =

CE2O2;γ = E2cO2;δ = CO2E2)

c) Velocidades lineales de ambas ruedas en el punto E2

d) Grado de deslizamiento en el punto E2.

Solución:

a) primitivos:r1 = 32mm r2 = 60mm, radios básicos:rb1 = 30,05mm

rb2 = 56,04mm, radios de cabeza: ra1 = 36mm ra2 = 64mm

b) β = 60o4703700,γ = 110o,δ = 8o1202300, O1E2 = 30,07mm O2E2 =

ra2 = 64mm

c) v1 = 9446,8 mm/s v2 = 10723,3s mm/s

d) grado de deslizamiento D = 4729,4 mm/s

5.2. Trenes de engranajes

1. Diseñar un tren de engranajes con relación de transmisión µ = 40

2. Diseñar un tren de engranajes con relación de transmisión µ = 58₁

5.2 Trenes de engranajes 32

4. Diseñar un tren de engranajes con relación de transmisión µ = 281₂

5. Diseñar un tren de engranajes con relación de transmisión µ = 135₁₂₇

6. Diseñar un tren de engranajes paralelos para conseguir una relación de transmisión igual a i = 184₁₇₉

7. Diseñar un tren de engranajes paralelos para conseguir una relación de transmisión igual a i = 2228₄₁₈₉

Capítulo 6

EJERCICIOS DE EXÁMENES

6.1. problema de cinemática

En el mecanismo representado en la gura se conoce la velocidad y acele-ración del eslabón de salida 6. Se pide:

1. Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneos de rotación absolutos del mecanismo.

2. Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones. 3. Calcular las velocidades angulares de los eslabones 2, 4 y 5.

4. Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones. 5. Calcular las aceleraciones angulares de los eslabones 2, 4 y 5.

DATOS:

O2C = 4

√

2 cm AB = 36,6 cm O5A = 3

√

2 cm AC = 30,4 cm

Solución:

1.- Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneos de rotación absolutos del mecanismo.

(a) Cálculo del número de grados de libertad Aplicamos la fórmula de Grübler (Gruebler) G= 3·(n−1)−2·f1 −f2

donde n= 6; f1 = 7; f2 = 0

G = 3·(6−1)−2·7−0 = 15−14

G = 1 _{es un mecanismo DESMODRÓMICO}

6.1 problema de cinemática 34

Figura 6.1: Mecanismo.

(b) Cálculo de los CIR absolutos Determinamos los CIR inmediatos

I45, I23, I34(∞), I46

I15, I12, I16(∞)

El resto de los CIR absolutos se calculan aplicando el teorema de Ken-nedy.

Los centros instantáneos aparecen en la siguiente gura

6.1 problema de cinemática 35

I14

½

I15 I54

I16 I64 I13

½

I14 I43

I12 I23

Figura 6.2: Centros instantáneos de rotación del mecanismo.

B ∈ elto6 ⇒ −V→B = V→−6 (cinema ob = 700₁₀₀ = 7cm)

A ∈ elto4 −V→A =

−→

VB +

−−→

VAB (

B ∈ elto 4 ⇒ −→VB4 = −→VB6

−−→

VAB dir ⊥ AB

A ∈ elto5

( ¯

¯ ¯−VA→

¯ ¯

¯ = ω5 ·O5A

6.1 problema de cinemática 36

C ∈ elto4 _{homología entre el cinema y el mecanismo.}

ac AC =

ab

AB ⇒ ac = ab· AC

AB = 5,6·

30,4

36,6 = 4,7cm

ab medido del cinema ab = 5,6cm

También puede calcularse sabiendo que:

El punto c4 se encuentra en el cinema del eslabón 4 (segmento ab

).

La velocidad del punto C perteneciente al estabón 4 es perpendicu-lar al segmento I14C .

C ∈ elto 3 (corredera)

−→

VC3 =

−→

VC4 +

−−−→

VC3C4 ⇒      −→

VC4 ( ya calculado en el cinema)

−−−→

VC3C4 mov de la corredera ⇒ dir de deslizamiento ¡°°AB¢

C ∈ elto 2 (manivela) ⇒

( ¯_¯ ¯−→VC2

¯ ¯

¯ = ω2 ·O2C

dir ⊥O2C , sentido coherente con −→ω2

El cinema de velocidades de cada uno de los eslabones se representa a continuación.

Cinema del eslabón 2: segmento oc2 .

Cinema del eslabón 3: punto c3 ≡ c2

Cinema del eslabón 4: segmento ab

Cinema del eslabón 5: segmento oa

Cinema del eslabón 6: punto b_.

3.- Calcular las velocidades angulares de los eslabones 2, 4 y 5.

ω2 = _O2CVC2 = 620_4·√cm/s_2cm = 109,6 rad/seg (sentido horario)

ω4 = V_ABAB = 560_36,cm/s_6cm = 15,3 rad/seg (sentido horario)

ω5 = _O5AVA = 225_3·√cm/s_2cm = 53,0 rad/seg (sentido antihorario)

6.1 problema de cinemática 37

Figura 6.3: Cinema de velocidades.

DATOS: |−→a6| = 250m/s2 = 25000cm/s2

B ∈ elto6 ⇒ −a→B = −→a6 (cinema o0b0 = 25000₅₀₀₀ = 5,0cm)

A∈ elto4 −a→A = −a→B +−−→aAB (

B ∈ elto 4 ⇒ −→aB4 = −→aB6

−−→

aAB = −−→anAB +

−−→

at AB

−−→

aAB = −−→anAB +

−−→ at AB            ¯ ¯ ¯−−→an_AB

¯ ¯

¯ = ω₄2 ·AB = (15,3)2 ·36,6 = 8567,7cm/s2 dir °°AB , sentido de A a B

¯ ¯ ¯−−→at

AB ¯ ¯

¯ = α4 ·AB

dir ⊥AB, sentido coherente con−→α4

6.1 problema de cinemática 38

−→

aA = −a→n_A +

−→ at A            ¯ ¯ ¯−a→n

A ¯ ¯ ¯ = ω2

5 ·O5A = (53)2 ·3·

√

2 = 11917,57cm/s2

dir °°O5A , sentido de A a O5

¯ ¯ ¯−−→at

AB ¯ ¯

¯ = α5 ·O5A

dir ⊥O5A, sentido coherente con−→α5

C ∈ elto4 porhomologaentreelcinemayelmecanismo :

a0_c0

AC = a0_b0

AB ⇒ a0c0 = a0b0 · AC

AB = 2,7·

30,4

36,6 = 2,24cm

a0_b0 _{medido del cinema a}0_b0 _{= 2,7cm}

C ∈ elto 3 (corredera)

−→

aC3 = −→aC4 +−−−→aC3C4 + −→acor          −→

aC4 medida en el cinema

−−−→

aC3C4 ⇒ movimiento de la corredera ⇒ dir k AB

−→

acor = 2· ³

− →

ω4 ×

−−−→ VC3C4 ´ −→ acor (

acor = 2·(15,3rad/s)·(480cm/s) = 14688cm/s2 dir ⊥−−−→VC3C4 sentido hacia la izquierda

C ∈ elto2 (manivela) ⇒ −→

aC3 ≡ −→aC2 = −→an_C2 +−→at_C2            ¯ ¯ ¯−→an

C2 ¯ ¯ ¯ = ω2

2 ·O2C = (109,6)2 ·4·

√

2 = 67951,0cm/s2

dir °°O2C , sentido de C a O2

¯ ¯ ¯−→at

C2 ¯ ¯

¯ = α2 ·O2C

dir ⊥O2C, sentido coherente con−→α2(desconocida)

El cinema de cada uno de los eslabones se representa a continuación:

Cinema del eslabón 2: segmento o0_c0 2 .

Cinema del eslabón 3: punto c0 3 ≡c02

Cinema del eslabón 4: segmento a0_b0

Cinema del eslabón 5: segmento o0_a0

Cinema del eslabón 6: punto b0

6.1 problema de cinemática 39

Figura 6.4: Cinema de aceleraciones.

α2 =

at C₂

O2C =

3500cm/s

4·√2cm = 318,7 rad/s

2 _{(sentido antihorario)}

α4 = a t AB

AB =

10500cm/s

36,6cm = 286,88 rad/s2 (sentido antihorario) α5 = a

t A

O5A =

5500cm/s

3·√2cm = 1296,4 rad/s

6.2 Problema de cinemática (Septiembre 2003) 40

6.2. Problema de cinemática (Septiembre 2003)

Dado el mecanismo de la gura en la conguración señalada, obtener: 1. El número de grados de libertad del mecanismo.

2. Los centros instantáneos de rotación absolutos de los elementos del me-canismo.

3. Cinema de velocidades de cada uno de los elementos del mecanismo. 4. Velocidad angular de los eslabones 4 y 5.

5. Cinema de aceleraciones de cada uno de los elementos del mecanismo. 6. Aceleración angular de los eslabones 4 y 5.

Los datos geométricos del mecanismo son:

O2O4 = 9 cm O2A = 19 cm O4B = 10 cm

O4A = 24 cm BC = 36 cm

Los datos cinemáticos son:

ω2 = 30 rad/s, sentido horario y constante.

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 41

6.3. Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004)

ω3 = 0,5rd/s (horario)

α3 = 0,1rd/s2(antihorario)

Se asume que el efecto de la inercia de las barras 3 y 4 sobre el estado de fuerzas del mecanismo es despreciable. El resto de datos dinámicos son:

m2 = 5Kg

IG2 = 24Kg cm2

Se pide:

1.- Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneos de rotación absolutos del mecanismo.

2.- Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones. 3.-Remarque el cinema del eslabón 3 (AO3P). Calcular la velocidad angular del

eslabón 2.

4.- Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones. 5.- Remarque el cinema del eslabón 3 (AO3P). Calcular la aceleración

angular del eslabón 2.

6.- Calcula las fuerzas y momentos de inercia de los eslabones. Calcule la F necesaria a aplicar en el punto A (según gura) para conseguir que el mecanismo esté en equilibrio (no considerar los pesos).

Solución:

1.- Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneos de rotación absolutos del mecanismo.

(a) Cálculo del número de grados de libertad

Aplicamos el criterio de Grübler (Gruebler) G= 3·(n−1)−2·f1 −f2

Donde n = 4; f1 = 4; f2 = 0

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 42

G= 1 _{es un mecanismo DESMODRÓMICO.}

(b) Cálculo de los CIR absolutos

Determinamos los CIR inmediatos I13, I34, I24(∞), I12

El CIR absoluto que quedaI14se calcula aplicando el teorema de Kennedy.

I14

½

I12 I24(∞)

I13 I34

Figura 6.6: CIR absolutos

2.- Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones DATOS: ω3 = 0,5rd/s (horario)

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 43

• P ∈ elto3 ⇒ MANIV ELA ¯

¯ ¯−→VP3

¯ ¯

¯ = ω3 ·O3P = (0,5rad/s)·(63mm × 2) = 63mm/s

dir. ⊥ O3P y sentido acorde con −→ω3

(cinema op3 = 63mm/s₁ = 63mm)

• P ∈ elto4

−→

VP3 =

−→

VP4 (cinema p3 ≡ p4 )

• P ∈ elto2

     −→

VP2 = −→VP4(conocida) +−−−→VP2P4(dir.desliz)

MANIV ELA

( ¯ ¯ ¯−→VP2

¯ ¯

¯ = ω2 ·O2P (desconocida)

dir. ⊥ O2P y sentido acorde con −→ω2

El cinema del eslabón 2 viene representado por el segmentoop2

El cinema del eslabón 4 viene representado por el segmentoop3

El cinema de la corredera 4 viene representado por el puntop4

3.- Remarque el cinema del eslabón 3 (AO3P). Calcular la velocidad

an-gular del eslabón 2.

Necesitamos calcular el punto homólogo del mecanismo A en el cinema (a). Para ello aplicamos la propiedad de homología:

oa O3A =

op3 O3P

oa

18mm×2 = 6363mmmm×2

oa = 18mm

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 44

El cinema del eslabón 3 aparece re-marcado en verde.

DATOS:

α3 = 0,1rd/s2(antihorario)

• P ∈ elto3 ⇒ MANIV ELA

−→

aP3 = −→anP3 +

−→ at P3                    −→

an_P3      ¯ ¯ ¯−→an_P3

¯ ¯

¯ = ω₃2 ·O3P = (0,5rad/s)2 ·(63mm × 2) =

= 31,5mm/s2

dir. °° O3P y sentido hacia O3

−→ at P3      ¯ ¯ ¯−→at

P3

¯ ¯

¯ = α3 ·O3P =

¡

0,1rad/s2¢_{·(63mm × 2) =}

= 12,6mm/s2

dir. ⊥O3P y sentido acorde con −→α3

(escala del cinema : 2 mm → 1 mm/s2 _{obtenemos p}0 3)

• P ∈ elto4

−→

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 45

• P ∈ elto2 ⇒ MANIV ELA

−→

aP2 =

−→

an_P2 +−→at_P2                −→ an P2      ¯ ¯ ¯−→an

P2

¯ ¯ ¯ = ω2

2 ·O2P = (0,6rad/s)2 ·(43mm × 2)

= 30,96mm/s2

dir. °° O2P y sentido hacia O2

−→

at P2

( ¯_¯ ¯−→at_P2

¯ ¯

¯ = α2 ·O2P (desconocida)

dir. ⊥O3P y sentido acorde con −→α3

por otra parte :

−→

aP4 = −→aP2 +−−−→aP4P2 +−→acor

−−−→

aP4P2 lleva la dir de deslizamiento

−→

acor = −→ω2 ∧

−−−→

VP4P2

        

|−→acor| = ω2 ·VP4P2(cinema) = 0,60rad/s·28mm/s

= 33,6mm/s2

dir. ⊥ −−−→VP4P2 y sentido acorde con la regla de

la mano derecha

−→

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 46

El cinema del eslabón 2 viene representado por el segmento o0_p0 2

El cinema del eslabón 4 viene representado por el segmento o0_p0 3

El cinema de la corredera 4 viene representado por el punto p0 4

5.- Remarque el cinema del eslabón 3 (AO3P). Calcular la aceleración

angular del eslabón 2.

Necesitamos calcular el punto homólogo del mecanismo A en el cinema (a'). Para ello aplicamos la propiedad de homología:

o0_a0

O3A = o0_p0

3 O3P

o0_a0

18mm×2 = 6368mmmm×2

o0_a0 _{= 19,43mm}

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 47

α2 = a

t P2

O2P

= 11,5mm/s

43mm×2 = 0,13 rad/s

2 _{(sentido antihorario)}

6.- Calcula las fuerzas y momentos de inercia de los eslabones. Calcule la F necesaria a aplicar en el punto A (según gura) para conseguir que el mecanismo esté en equilibrio (no considerar los pesos).

Cálculo de las fuerzas y momentos de inercia:

− →

Fi = −mi · −→aGi

−→

Mi = −IG0 · −→αi

En el caso de los eslabones 3 y 4, el enunciado nos indica que son despre-ciables. Para el cálculo de la fuerza de inercia del eslabón 2, será necesario obtener, previamente la aceleración de su centro de gravedad. Para ello, apli-camos la homología con el cinema de aceleraciones del eslabón 2.

o0_g0

2 O2G2 =

o0_p0

2 O2P

o0_g0

2

20mm×2 = 4362mmmm×2

o0_g0

2 = 30,23mm → −→aG2 = 15,12mm/s2

entonces

¯ ¯ ¯−F→2

¯ ¯

¯ = m2 · |−→aG2| = 5Kg ·15,12mm/s2 = 75·10−3N

misma dir. que −→aG2 y sentido contrario

¯ ¯ ¯−→M2

¯ ¯

¯ = IG20· |−→α2| = 24Kg·cm2 ·0,13rd/s2 = 3,12Kg·cm2/s2

misma dir. que −→α2 y sentido contrario (antihorario)

Calcular la F en el punto A para conseguir el equilibrio:

Para eliminar el momento en el mecanismo, desplazamos la fuerza de inercia una distancia tal que se consiga el efecto de M.

h2 =

¯ ¯ ¯−→M2

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯−F→2

¯ ¯ ¯

= 3,12Kg·cm2/s2

75·10−1_Kg·cm/s2 = 4,16mm

A la hora de marcarla en el dibujo, hay que tener en cuenta que el meca-nismo está a escala 1:2

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 48

La escala de fuerzas en el dibujo es 1 cm : 2.10−3 _N

Este apartado puede resolverse de diferentes maneras:

1.- Resultado gráco: principio de superposición. Equilibro cada uno de los eslabones.

Eslabón 2: fuerzas que actúan −→Fi2,−→R12,−→R42, el equilibrio se da cuando:

P−→

F = 0 ⇒ −→Fi2 +

−→

R12 +

−→

R42 = 0 Los tres vectores deben formar un

triángulo._P−→

M = 0 _{Los tres vectores deben converger en un punto.}

Por otro lado, conocemos la dirección del vector −→R42, que es perpendicular

a la dirección de deslizamiento

¯ ¯ ¯−→Fi2

¯ ¯

¯ = 75,10−3_N

¯ ¯ ¯−→R12

¯ ¯

¯ = 18,10−3N ¯

¯ ¯−→R42

¯ ¯

¯ = 64,10−3_N

Eslabón 4: fuerzas que actúan−→R34,−→R24

³

= −−→R42

´

, el equilibrio se da cuan-do:

X_−→

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 49

P−→

M = 0 _{Se cumple, puesto que los dos vectores pasan por el punto P.}

¯ ¯ ¯−→R24

¯ ¯

¯= 64,10−3_N

¯ ¯ ¯−→R34

¯ ¯

¯= 64,10−3_N

Eslabón 3: fuerzas que actúan −→Fen,

−→

R13,

−→

R43

³

= −−→R34

´

, el equilibrio se da cuando:

P−→

F = 0 ⇒ −→Fen +

−→

R13 +

−→

R43 = 0 Los tres vectores deben formar un

triángulo._P−→

M = 0 _{Los tres vectores deben converger en un punto.}

Por otro lado, conocemos la dirección del vector −→Fen, que es perpendicular

6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 50

¯ ¯ ¯−→Fen

¯ ¯

¯ = 54,10−3_N

¯ ¯ ¯−→R13

¯ ¯

¯ = 56,10−3_N

¯ ¯ ¯−→R43

¯ ¯

¯ = 18,10−3_N

2.- Resultado analítico: principio de los trabajos virtuales.

−→

Fi2 ·−→VG2 +−−→Mi2 · −→ω2 +−→Fen·−VA→= 0

¯ ¯ ¯−→Fi2

¯ ¯ ¯·

¯ ¯ ¯−→VG2

¯ ¯

¯·cos(110) +

¯ ¯ ¯−−→Mi2

¯ ¯

¯· |−→ω2| ·cos(180) +

¯ ¯ ¯−→Fen

¯ ¯ ¯·

¯ ¯ ¯−V→A

¯ ¯

¯cos(0) = 0 (75·10−3_{N)·(26,5·10}−3_{m/s)·cos(110)+}

+ (3,12·10−4_{Nm)·(0,6rd/s)·cos(180)+}

+

¯ ¯ ¯−→Fen

¯ ¯

¯·(18·10−3_{m/s) cos(0) = 0}

¯ ¯ ¯−→Fen

¯ ¯

¯ = 48,2·10−3_N

6.4 Problema de dinámica completo 51

6.4. Problema de dinámica completo

El mecanismo de la gura es un cuadrilátero articulado. Calcular las accio-nes en las barras y reaccioaccio-nes en la bancada, así como el par aceleradorMa2,

necesario aplicar en la manivela de entrada (2), para equilibrar el sistema.

Figura 6.7: Análisis completo, cuadrilátero articulado.

Los datos del mecanismo son los siguientes:

velocidad angular de la manivela de entrada (2): ω2 = 10 rd/s antihorario

y constante.

O2A = 0,5 m O2G2 = 0,2 m m2 = 0,5 Kg IG2 = 0,0625 Kg m2 AB = 0,7 m AG3 = 0,4 m m3 = 0,7 Kg IG3 = 0,172 Kg m2 BO4 = 0,6 m O4G4 = 0,35 m m4 = 0,6 Kg IG4 = 0,108 Kg m2

6.4 Problema de dinámica completo 52

Análisis cinemático. Cálculo de velocidades Eslabón 2: MANIVELA_¯

¯ ¯−V→A

¯ ¯

¯ = ω2 ·O2A= (10 rd/s)·0,5 m = 5m/s

dir. ⊥ O2A, sentido ω2 (antihorario)

Eslabón 3: BIELA

−→

VB =

−→

VA +

−−→

VBA dir. −−→VBA ⊥BA

Eslabón 4: MANIVELA

dir. −VB→⊥ O4B

Figura 6.8: Cinema de velocidades.

de los datos recogidos del cinema de velocidades se obtiene que:

¯ ¯ ¯−−→VBA

¯ ¯

¯ = ω3 ·BA ⇒ ω3 =

¯ ¯ ¯−−→VBA

¯ ¯ ¯

BA =

8,3m/s

0,7m = 11,86rd/s (horario) ¯

¯ ¯−V→B

¯ ¯

¯ = ω4 ·O4B ⇒ ω4 =

¯ ¯ ¯−V→B

¯ ¯ ¯

O4B

= 11,5m/s

6.4 Problema de dinámica completo 53

Análisis cinemático. Cálculo de aceleraciones Eslabón 2: MANIVELA

−→

aA =

−→

an_A+ −a→_At , ω2 = cte ⇒ α2 = 0

¯ ¯ ¯−a→n_A

¯ ¯

¯ = ω₂2 ·O2A = (10 rd/s)2 ·0,5 m = 50m/s2

dir || O2A, sentido de A a O2

Eslabón 3: BIELA

−→

aB = −a→A+−−→aBA =

= −aA→+−−→an_BA +−−→at_BA        ¯ ¯ ¯−−→an_BA

¯ ¯

¯ = ω₃2 ·BA = (11,86 rd/s)2 ·0,5 m = 70,33m/s2 dir || BA, sentido de B a A

dir −−→at

BA ⊥ BA

(6.1) Eslabón 4: MANIVELA

−→

aB =

−→

an_B+−a→t_B        ¯ ¯ ¯−a→n_B

¯ ¯

¯ = ω₄2 ·BO4 = (19,17 rd/s)2 ·0,6 m = 220,49m/s2

dir || BO4, sentido de B a O4

dir −a→t

B ⊥ BO4

(6.2) de los datos recogidos del cinema de aceleraciones se obtiene que:

¯ ¯ ¯−−→at_BA

¯ ¯

¯ = α3 ·BA ⇒ α3 =

¯ ¯ ¯−−→at_BA

¯ ¯ ¯

BA =

500m/s2

0,7m = 714,28rd/s

2 _(horario)

¯ ¯ ¯−a→t_B

¯ ¯

¯ = α4 ·O4B ⇒ α4 =

¯ ¯ ¯−a→t

B ¯ ¯ ¯ O4B

= 400m/s

2

0,6m = 666,66rd/s

2 _(horario)

Análisis cinemático. Cálculo de las aceleraciones de los centros de gravedad

6.4 Problema de dinámica completo 54

Figura 6.9: Cinema de aceleraciones.

Una vez obtenido el cinema de aceleraciones de la gura 6.9, los valores de aceleración de cualquier punto del mecanismo se obtienen utilizando la propiedad de homología entre el cinema de aceleraciones y el mecanismo.

Eslabón 2:

o0_g0 2

O2G2

= o0a0

O2A

⇒ o0_g0

2 = o0a0·

O2G2

O2A

⇒ o0_g0

2 = 1cm·

0,2m

0,5m = 0,4cm

|−→aG2|= 20 m/s2

Eslabón 3:

a0_g0 3

AG3

= a0b0

AB ⇒ a

0_g0

3 = a0b0·

AG3

AB ⇒ a

0_g0

3 = 10cm·

0,4m

0,7m = 5,7cm

|−→aG3| = 225 m/s2

Eslabón 4:

o0_g0 4

O4G4

= o0b0

O4B

⇒ o0_g0

4 = o0b0·

O4G4

O4A

⇒ o0_g0

4 = 9cm·

0,35m

0,6m = 5,3cm

|−→aG4| = 265 m/s2

6.4 Problema de dinámica completo 55

Figura 6.10: Obtención de las aceleraciones de los centros de gravedad de cada eslabón.

Análisis dinámico. Cálculo de los esfuerzos de inercia

Las fuerzas y momentos de inercia se calculan aplicando las siguientes expresiones, para cada eslabón k:

−→

Fik = −mk· −→aGk

−−→

Mik = −IGk · −

→

αk

Estas fórmulas se aplican a cada eslabón. Eslabón 2:

|−→Fi2|= m2 · |−→aG2| = 0,5Kg·20m/s2 = 10 N

|−−→Mi2| = IG2 · |−α→2| = 0,0625Kgm2 ·0rad/s2 = 0 Nm

Eslabón 3:

|−→Fi3| = m3 · |−→aG3| = 0,7Kg·225m/s2 = 157,5 N

|−−→Mi3| = IG3 · |−→α3| = 0,172Kgm2 ·714,28rad/s2 = 122,85 Nm

Eslabón 4:

|−→Fi4| = m4 · |−→aG4| = 0,6Kg ·265m/s2 = 159 N

|−−→Mi4| = IG4 · |−→α4| = 0,108Kgm2 ·666,66rad/s2 = 72 Nm

La dirección y el sentido de cada uno de los vectores se representan en la siguiente gura 6.11:

Para hacer más sencillo el análisis dinámico del mecanismo, sustituimos los esfuerzos de inercia por la fuerza de inercia equivalente−→F_ik0 _{, cuyo módulo,}

dirección y sentido coincide con el de la fuerza de inercia, pero se encuentra desplazada (en la dirección perpendicular a la línea de acción de la fuerza de inercia) una distancia hk tal que:

6.4 Problema de dinámica completo 56

Figura 6.11: Obtención de los esfuerzos de inercia.

Eslabón 2:

h2 = Mi2

Fi2

= 0Nm

10N = 0 m (6.3)

Eslabón 3:

h3 =

Mi3

Fi3

= 122,85Nm

157,5N = 0,78 m (6.4)

Eslabón 4:

h4 =

Mi4

Fi4 =

72Nm

159N = 0,45 m (6.5)

Resultando el problema que se presenta en la gura:

Una vez conseguida toda la información de la dinámica del sistema, se obtienen las reacciones entre los eslabones, incluido la bancada, aplicando el principio de superposición.

Análisis dinámico. Aplicación del principio de superposición

Se resolverán 3 problemas diferentes correspondientes a las tres fuerzas de inercia equivalentes obtenidas.

Primer problema

Consideramos exclusivamente los efectos producidos por la fuerza de iner-cia equivalente aplicada en el eslabón 2.

6.4 Problema de dinámica completo 57

Figura 6.12: Obtención de la fuerza de inercia equivalente.

Figura 6.13: Problema 1.

Eslabón 4: Fuerzas que actúan ⇒ −→R14, −→R34

Eslabón 3: Fuerzas que actúan ⇒ −→R43,

−→

R23

Observando los resultados obtenidos hasta ahora, y sabiendo que −→R34 =

6.4 Problema de dinámica completo 58

X

F = 0 ⇒ −→R14 =−

−→

R34

P

M = 0 ⇒ _{las direcciones de las dos}

reacciones deben estar alineadas con el esla-bón.

Figura 6.14: Equilibrio en el eslabón 4.

X

F = 0 ⇒ −→R43 =−

−→

R23

P

M = 0 ⇒ las dirección de las dos reac-ciones deben estar alineadas con el eslabón.

Figura 6.15: Equilibrio en el eslabón 3. vectores iguales en módulo y dirección, pero con direcciones diferentes, es el vector nulo, por lo tanto:

−→

R34 = 0

−→

R14 = 0

−→

R23 = 0

6.4 Problema de dinámica completo 59

X

F = 0 ⇒ −→R12 =−

−→

Fi2

P

M = 0 ⇒ las dirección de las dos reac-ciones deben estar alineadas con el eslabón. Esto se cumple.

Figura 6.16: Equilibrio en el eslabón 2.

Segundo problema

Consideramos exclusivamente los efectos producidos por la fuerza de iner-cia equivalente aplicada en el eslabón 3.

Figura 6.17: Problema 2.

Equilibramos eslabón a eslabón.

Eslabón 4: Fuerzas que actúan ⇒ −→R14, −→R34

Eslabón 3: Fuerzas que actúan ⇒ −→R43 = −

−→

R34,

−→

R23,

−→

Fi3

P

F = 0 ⇒ los tres vectores deben cerrar un triángulo.

P

M = 0 ⇒ _{las dirección de los tres vectores deben conuir en un}

6.4 Problema de dinámica completo 60

X

F = 0 ⇒ −→R14 =−

−→

R34

P

M = 0 ⇒ _{las direcciones de las dos}

reacciones deben estar alineadas con el esla-bón.

Figura 6.18: Equilibrio en el eslabón 4.

Eslabón 2: Fuerzas que actúan ⇒ −→R12,

−→

R32 = −

−→

R32

Tercer problema

Consideramos exclusivamente los efectos producidos por la fuerza de iner-cia equivalente aplicada en el eslabón 4.

Equilibramos eslabón a eslabón.

Eslabón 4: Fuerzas que actúan ⇒ −→R14, −→R34, −→Fi4

P

F = 0 ⇒ _{los tres vectores deben cerrar un triángulo.}

P

M = 0 ⇒ _{las dirección de los tres vectores deben conuir en un}

punto.

Como no tenemos suciente información debemos pasar al siguiente es-labón.

Eslabón 3: Fuerzas que actúan ⇒ −→R43, −→R23

Eslabón 4:

−→

R34 = −

−→

R43 nos da una de las direcciones necesarias, que junto con la de

la fuerza de inercia −→F4i, nos permitirán calcular el punto de conuencia.

6.4 Problema de dinámica completo 61

Figura 6.19: Equilibrio en el eslabón 3.

X

F = 0 ⇒ −→R12 =−

−→

R32

P

M = 0 ⇒ ⇒

−−−−−−→

M

³_−→

R32

´

+−−→Ma2 = 0

Ma2 =R32·d2 = 580N ·0,42m= 253,6 Nm

Figura 6.20: Equilibrio en el eslabón 2.

−→

R43 = −−→R34 (464N)

−→

6.4 Problema de dinámica completo 62

Figura 6.21: Problema 3.

X

F = 0 ⇒ −→R43 =−

−→

R23

P

M = 0 ⇒ _{las direcciones de las dos}

reacciones deben estar alineadas con el esla-bón.

Figura 6.22: Equilibrio en el eslabón 3.

Eslabón 2: Fuerzas que actúan ⇒ −→R12,

−→

R32 = −

−→

R32

Resolución completa al problema de dinámica

6.4 Problema de dinámica completo 63

Figura 6.23: Equilibrio en el eslabón 4.

X

F = 0 ⇒ −→R12=−

−→

R32 (464N)

P

M = 0 ⇒ ⇒

−−−−−−→

M

³_−→

R32

´

+−−→Ma2 = 0

Ma2 =R32·d2 = 564N ·0,45m= 253,8 Nm

Figura 6.24: Equilibrio en el eslabón 2.

−→

R14 =

−→

RI₁₄(0N) +−→RII₁₄ +−−→RIII₁₄

−→

R34 =

−→

RI₃₄(0N) +−→RII₃₄ +−−→RIII₃₄

−→

R23 =

−→

RI₂₃(0N) +−→RII₂₃ +−−→RIII₂₃

−→

R12 =

−→

RI₁₂ +−→RII₁₂ +−−→RIII₁₂

−−→

M2a =

−−→

6.5 Problema de engranajes (Junio 2000) 64

Estos resultados se obtiene grácamente, excepto en el caso del para ace-lerador, cuyas direcciones son perpendiculares al plano de trabajo y tienen la misma dirección, por lo que sus módulos se suman.

M2a = 0Nm+ 253,6Nm+ 253,8Nm = 507,4 sentido antihorario.

Figura 6.25: Suma de reac-cionesR12.

Figura 6.26: Obtención de R23.

Figura 6.27: Obtención de R34.

6.5. Problema de engranajes (Junio 2000)

Se quiere diseñar un tren de engranajes ordinario compuesto recurrente formado por dos pares de ruedas dentadas externas cilíndrico rectas, para lo cual se dispone de los siguientes datos:

Razón de velocidades de una de las parejas (considerándola como la rela-ción de velocidades entre el eje de de salida y el de entrada del engrane): 1319 / 237.

Distancia entre centros: 184 mm.

Sabiendo que todas las ruedas de que se dispone tienen el mismo módulo, y que oscilan entre 14 y 98 dientes, se pide:

1. Para la pareja cuya razón de velocidades se indica:

6.5 Problema de engranajes (Junio 2000) 65

b) Paso, espesor, hueco, adendo, dedendo, juego en cabeza, diámetro primitivo y diámetro de base para cada rueda (considerando que el ángulo de presión es de 20o_).

c) A la vista de los datos obtenidos en el apartado 1.2, ¾se puede asegurar que en ninguna de las ruedas se producirá el fenómeno de penetración? d) Indicar el error (absoluto y relativo) cometido en la relación de

trans-misión de esta pareja. 2. Para la otra pareja:

a) ¾Cuál es la máxima relación de transmisión entera que se puede ob-tener?

b) Para esa relación de transmisión, obtener el número de dientes de cada rueda, indicando cuál de ellas es el piñón y cuál la rueda.

c) Para cada rueda, obtener el paso, espesor, hueco, adendo, dedendo, juego en cabeza, diámetro primitivo y diámetro de base (considerando que el ángulo de presión es de 20o_).

3. Indicar la disposición más razonable para ambos pares de ruedas.

4. Si el tren se transforma en uno epicicloidal recurrente en el que la rueda directamente montada sobre el eje de entrada se ja al marco, y conside-rando ahora como velocidad angular de entrada la asociada al soporte en el que van montados los satélites:

a) Calcular la velocidad de salida cuando el soporte gira a 100 rpm. b) Obtener la relación analítica entre la relación de transmisión de un

tren ordinario compuesto recurrente de dos pares de ruedas dentadas externas de número de dientes a, b, c y d, y la del tren epicicloidal recurrente homólogo.

Figura 6.28: Esquema del tren ordinario compuesto recurrente formado por dos pares de ruedas dentadas externas.

6.5 Problema de engranajes (Junio 2000) 66

solución:

1.a Dado que 1319 es un número primo mayor que 98, descomponemos la relación de transmisión en fracciones continuas, obteniendo:

5 1 1 3 3 10

1319 237 134 103 31 10 1

134 103 31 10 1 0

Las reducidas sucesivas son: a) 5

b) 6 c) 11 / 2

d) 39 / 7 ← _{La reducida más alta construible es 39 / 7 = 78 / 14}

e) 128 / 23 f ) 1319 / 237

Se tomará para esa pareja una rueda de 14 dientes (piñón) y una de 78 (rueda).

Sabiendo que la distancia entre centros es la indicada:

Rpion+Rrueda = 184 mm m· Zpion

2 +m·

Zrueda

2 = 184 mm

m = 4 mm

1.2 Todas las dimensiones están dadas en mm.

Paso

(p) sor (s)Espe- co (e)Hue- do (ha)Aden- Deden-do (hf)

Juego en

cabe-za (c)

Diámetro primitivo (2 * r)

Diáme-tro base (2 * rb)

Rueda 12.57 6.28 6.28 4 5 1 312 239.18

6.5 Problema de engranajes (Junio 2000) 67

1.c.

r - ha rb * cos 20o _{r - ha ≥ rb * cos 20}o _{¾PENETRACIÓN?}

Rueda 152 137.75 SI NO

Piñón 24 24.72 NO SI (aunque despreciable)

1.d.

Error absoluto :

¯ ¯ ¯

¯1319₂₃₇ − ₁₄8 ¯ ¯ ¯

¯ = 0,0060 Error relativo : Error absoluto₁₃₁₉

237

= 0,11 %

2.a.

Dado que la distancia entre centros debe ser la misma para ambos pares de ruedas y que todas ellas tienen el mismo módulo:

m·Z1 2 +

m·Z2 2 =

m·Z3 2 +

m·Z4 2

Z1 +Z2 = Z3 +Z4 (1)

La relación de transmisión tendrá la siguiente expresión:

Z3

Z4 = n (2)

donde n es un número entero entre 1 y 7 ¡98 14).

(Designamos con los subíndices 3 y 4 las ruedas de la pareja desconocida, aunque aún no sabemos si es la 1a _{o la 2}a_).

Por tanto: