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2−f actor✱ ② ♣♦st❡r✐♦r♠❡♥t❡ ❢✉s✐♦♥❛ ❧♦s ❝✐❝❧♦s ❞❡ ❞♦s ❡♥ ❞♦s ❤❛st❛ q✉❡ ❛❧ ✜♥❛❧ q✉❡❞❛
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❊♥ ❡❧ ❈❛♣ít✉❧♦ ✷ s❡ ❞❛rá ✉♥ ❡s❜♦③♦ ❞❡❧ ❛❧❣♦r✐t♠♦ ♣❛r❛ s♦❧✉❝✐♦♥❛r ❡❧ ♣r♦❜❧❡♠❛ ❞❡❧ ❝✐❝❧♦ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥♦ ❡♥ ❣rá✜❝❛s4−conexas ♣❧❛♥❛r❡s✳ ❊♥ ❧❛ s❡❣✉♥❞❛ ♣❛rt❡ s❡ ❡①♣❧✐❝❛rá
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❋✐♥❛❧♠❡♥t❡ ❡♥ ❡❧ ❈❛♣ít✉❧♦ ✸ s❡ ♣r❡s❡♥t❛rá ✉♥ ❛❧❣♦r✐t♠♦ ♣❛r❛ ❣❡♥❡r❛r ❧♦s ❝✐❝❧♦s ❞❡❧
2−f actor✱ ② s❡ ♠♦str❛rá q✉❡ ♥♦ s✐❡♠♣r❡ s❡ ♣✉❡❞❡ s♦❧✉❝✐♦♥❛r ❡❧ ♣r♦❜❧❡♠❛ ❞❡❧ ❝✐❝❧♦
❈❛♣ít✉❧♦ ✶
Pr❡❧✐♠✐♥❛r❡s
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♣❧❛♥❛r❡s✳ ❊♥ ❧❛ s❡❣✉♥❞❛ ♣❛rt❡ s❡ ❞❡✜♥❡ ❡❧ ♦❜❥❡t♦ ❞❡ ❡st✉❞✐♦ q✉❡ s♦♥ ❧♦s ✈♦①só❧✐❞♦s ② ❧♦ ♥❡❝❡s❛r✐♦ ♣❛r❛ ❡♥t❡♥❞❡r ❡❧ r❡s✉❧t❛❞♦ ❞❡ ❙❛❣♦❧s ❛❝❡r❝❛ ❞❡ ❧❛ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❝✐❞❛❞ ❞❡ ❧❛ ❣rá✜❝❛ ❞❡ ❛❞②❛❝❡♥❝✐❛s ❞❡ ✉♥ ✈♦①só❧✐❞♦✱ ❝✉❛♥❞♦ ést❛ ❡s ♣❧❛♥❛r✳
✶✳✶✳ ●rá✜❝❛s
❆ ❝♦♥t✐♥✉❛❝✐ó♥ s❡ ❞❛rá♥ ❛❧❣✉♥❛s ❞❡✜♥✐❝✐♦♥❡s ❜ás✐❝❛s ❞❡ t❡♦rí❛ ❞❡ ❣rá✜❝❛s q✉❡ s❡ ♥❡❝❡s✐t❛rá♥ ❛ tr❛✈és ❞❡ t♦❞♦ ❡❧ ❞♦❝✉♠❡♥t♦✳
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳✶✳ ❯♥❛ ❣rá✜❝❛ G ❡s ✉♥❛ ♣❛r❡❥❛ ❞❡ ❝♦♥❥✉♥t♦s G = (V, E)✱ t❛❧ q✉❡
E ⊆V ×V✳ ▲♦s ❡❧❡♠❡♥t♦s ❞❡V s♦♥ ❧♦s ✈ért✐❝❡s ❞❡ ❧❛ ❣rá✜❝❛G ② ❧♦s ❡❧❡♠❡♥t♦s ❞❡ E
s♦♥ s✉s ❛r✐st❛s✳
❯♥❛ ♠❛♥❡r❛ ✉s✉❛❧ ❞❡ r❡♣r❡s❡♥t❛r ✉♥❛ ❣rá✜❝❛ ❡s ❞✐❜✉❥❛♥❞♦ ✉♥ ♣✉♥t♦ ♣♦r ❝❛❞❛ ✈ért✐❝❡ ② ✉♥✐❡♥❞♦ ❞♦s ❞❡ ❡st♦s ♣✉♥t♦s ♣♦r ✉♥❛ ❧í♥❡❛ s✐ ❧♦s ❞♦s ✈ért✐❝❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡s ❢♦r♠❛♥ ✉♥❛ ❛r✐st❛✳ ❊st❛ r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐ó♥ s❡ ✉s❛rá ❡♥ t♦❞♦ ❡❧ ❞♦❝✉♠❡♥t♦✳
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳✷✳ ❯♥❛ ❣rá✜❝❛ ❡s k −regular s✐ t♦❞♦s ❧♦s ✈ért✐❝❡s t✐❡♥❡♥ ❡❧ ♠✐s♠♦
❣r❛❞♦k✱ ❡s ❞❡❝✐r✱ ❞❡ ❝❛❞❛ ✈ért✐❝❡ s❛❧❡♥ k ❛r✐st❛s✳
❊❧ s✐❣✉✐❡♥t❡ ❝♦♥❝❡♣t♦ ❡s ✐♠♣♦rt❛♥t❡ ♣♦rq✉❡ ❝❛♣t✉r❛ ❧❛ ✐❞❡❛ ❞❡ ❞❡s♣❧❛③❛rs❡ ❛ tr❛✈és ❞❡ ✉♥❛ ❣rá✜❝❛ ♣♦r s✉s ❛r✐st❛s✳
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳✸✳ ❯♥ ❝❛♠✐♥♦ ❡s ✉♥❛ ❣rá✜❝❛ ♥♦ ✈❛❝í❛ P = (V, E) ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❛ V =
{x0, x1, . . . , xk}② E ={x0x1, x1x2, . . . , xk−1xk} ❞♦♥❞❡ ❧♦s xi s♦♥ t♦❞♦s ❞✐st✐♥t♦s✳
❈✉❛♥❞♦ ❡♥ ✉♥ ❝❛♠✐♥♦ s✉ ✈ért✐❝❡ ✐♥✐❝✐❛❧ ② ❡❧ ✜♥❛❧ s♦♥ ❡❧ ♠✐s♠♦ s❡ t✐❡♥❡ ❡❧ s✐❣✉✐❡♥t❡ ❝♦♥❝❡♣t♦✳
✷ Pr❡❧✐♠✐♥❛r❡s
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳✹✳ ❙✐ P =x0. . . xk−1 ❡s ✉♥ ❝❛♠✐♥♦ ② k ≥ 3✱ ❡♥t♦♥❝❡s ❧❛ ❣rá✜❝❛ C =
P +xk−1x0 s❡ ❧❧❛♠❛ ❝✐❝❧♦✳
▲❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ♣r♦♣✐❡❞❛❞ ❡s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❡♥ ❧❛s ❣rá✜❝❛s✱ ② ❛ ♠❡♥♦s q✉❡ s❡ ❞✐❣❛ ❧♦ ❝♦♥tr❛r✐♦ t♦❞❛s ❧❛s ❣rá✜❝❛s s❡ ❛s✉♠✐rá♥ ❝♦♥❡①❛s✳
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳✺✳ ❯♥❛ ❣rá✜❝❛ G ♥♦ ✈❛❝í❛ ❡s ❝♦♥❡①❛ s✐ ♣❛r❛ t♦❞♦ ♣❛r ❞❡ ✈ért✐❝❡s v ② w❡①✐st❡ ✉♥ ❝❛♠✐♥♦ P ❡♥ Gq✉❡ ❧♦s ✉♥❡✳
❆ ♣❡s❛r q✉❡ ✉♥❛ ❣rá✜❝❛ s❡❛ ❝♦♥❡①❛✱ ❤❛② ❞✐❢❡r❡♥t❡s ♥✐✈❡❧❡s ❞❡ ❝♦♥❡①✐❞❛❞ q✉❡ s❡ ❡s♣❡❝✐✜❝❛♥ ❡♥ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ❞❡✜♥✐❝✐ó♥✳
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳✻✳ ❯♥❛ ❣rá✜❝❛ G = (V, E) s❡ ❞✐❝❡ q✉❡ ❡s k −conexa ❝♦♥ k ∈ N s✐
|V|> k ② G−X ❡s ❝♦♥❡①❛ ♣❛r❛ ❝❛❞❛ ❝♦♥❥✉♥t♦X ⊆V ❝♦♥ |X|< k✳
❊♥ ❧❛ ❞❡✜♥✐❝✐ó♥ ❛♥t❡r✐♦r G−X s❡ ♦❜t✐❡♥❡ ❜♦rr❛♥❞♦ t♦❞♦s ❧♦s ✈ért✐❝❡s ❡♥ X ② ❧❛s
❛r✐st❛s ✐♥❝✐❞❡♥t❡s ❛ ❡st♦s ✈ért✐❝❡s✳
❆ ♠❡♥✉❞♦ s❡ ❡stá ✐♥t❡r❡s❛❞♦ ❡♥ ❞✐❜✉❥❛r ❧❛ ❣rá✜❝❛ ❧♦ ♠❛s ❧❡❣✐❜❧❡ ♣♦s✐❜❧❡✱ ❡st♦ s❡ ♣✉❡❞❡ ❤❛❝❡r ✐♥t❡♥t❛♥❞♦ ❞✐s♠✐♥✉✐r ❡❧ ♥ú♠❡r♦ ❞❡ ❝r✉❝❡s q✉❡ t✐❡♥❡♥ s✉s ❛r✐st❛s✳ ▲❛s ❣rá✜❝❛s q✉❡ ❡stá♥ ❞✐❜✉❥❛❞❛s s✐♥ q✉❡ s✉s ❛r✐st❛s s❡ ✐♥t❡rs❡q✉❡♥ ♦❜❡❞❡❝❡♥ ❛ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ❞❡✜♥✐❝✐ó♥✳ ❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳✼✳ ❯♥❛ ❣rá✜❝❛ ♣❧❛♥❛ G❡s ✉♥ ♣❛r G= (V, E)❞❡ ❝♦♥❥✉♥t♦s ✜♥✐t♦s ❝♦♥
❧❛s s✐❣✉✐❡♥t❡s ♣r♦♣✐❡❞❛❞❡s✿ ✶✳ V ⊆R2❀
✷✳ ❝❛❞❛ ❛r✐st❛ ❡s ✉♥ ❛r❝♦ ❡♥tr❡ ❞♦s ✈ért✐❝❡s❀
✸✳ ❞✐❢❡r❡♥t❡s ❛r✐st❛s t✐❡♥❡♥ ❞✐❢❡r❡♥t❡s ❝♦♥❥✉♥t♦s ❞❡ ♣✉♥t♦s ✜♥❛❧❡s❀
✹✳ ❡❧ ✐♥t❡r✐♦r ❞❡ ✉♥❛ ❛r✐st❛ ♥♦ ❝♦♥t✐❡♥❡ ✈ért✐❝❡s ♥✐ ♣✉♥t♦s ❞❡ ❝✉❛❧q✉✐❡r ♦tr❛ ❛r✐st❛✳ ❆❧❣✉♥❛s ❣rá✜❝❛s ❛ ♣❡s❛r q✉❡ s✉ ❞✐❜✉❥♦ ♥♦ s❡ ✈❡❛ ♣❧❛♥♦ ♣♦❞rí❛♥ ❞✐❜✉❥❛rs❡ ♣❧❛♥❛s r❡✉❜✐✲ ❝❛♥❞♦ s✉s ✈ért✐❝❡s ② r❡s♣❡t❛♥❞♦ ❧❛s ❛❞②❛❝❡♥❝✐❛s ❞❡ ❧❛s ❛r✐st❛s✱ ❢♦r♠❛❧♠❡♥t❡✿
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳✽✳ ❯♥❛ ❣rá✜❝❛ ♣❧❛♥❛r ❡s ✉♥❛ q✉❡ ♣✉❡❞❡ s❡r ❡♠❜❡❜✐❞❛ ❡♥ ❡❧ ♣❧❛♥♦✱ ❡s ❞❡❝✐r✱ ❡s ✐s♦♠♦r❢❛ ❛ ✉♥❛ ❣rá✜❝❛ ♣❧❛♥❛✳
▲❛s ❣rá✜❝❛s✱ ❞❡♣❡♥❞✐❡♥❞♦ ❞❡ s✉ ❡str✉❝t✉r❛ ♣✉❡❞❡♥ t❡♥❡r ✈❛r✐❛s ♣r♦♣✐❡❞❛❞❡s✱ ✉♥❛ q✉❡ ♥♦s ✐♥t❡r❡s❛ ♣♦r s❡r ❝❡♥tr❛❧ ❡♥ ❡❧ ❞❡s❛rr♦❧❧♦ ❞❡ ❡st❡ tr❛❜❛❥♦ ❡s ❡❧ ❝♦♥❝❡♣t♦ ❞❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❝✐❞❛❞✳
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳✾✳ ❙❡ ❞✐❝❡ q✉❡ ✉♥❛ ❣rá✜❝❛ G ❡s ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥❛ s✐ ❡①✐st❡ ✉♥ ❝✐❝❧♦ C ❡♥ Gq✉❡ ❝♦♥t✐❡♥❡ ❛ t♦❞♦s ❧♦s ✈ért✐❝❡s ❞❡ G ❡①❛❝t❛♠❡♥t❡ ✉♥❛ ✈❡③✳
▲❛ ♣r❡❣✉♥t❛ ♥❛t✉r❛❧ ❞❛❞❛ ✉♥❛ ❣rá✜❝❛ G✱ ❡s ❡❧ ♣r♦❜❧❡♠❛ ❞❡ ❞❡❝✐s✐ó♥ ❛❝❡r❝❛ ❞❡
s✐ ❡s ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥❛✳ ❙❡ s❛❜❡ q✉❡ ❡❧ ♣r♦❜❧❡♠❛ ❡stá ❡♥ ❧❛ ❝❧❛s❡ ❞❡ ♣r♦❜❧❡♠❛s q✉❡ s♦♥
N P −Completos ✐♥❝❧✉s♦ ♣❛r❛ ❣rá✜❝❛s ♣❧❛♥❛s 3−conexas ❬✶❪✳ ❊❧ s✐❣✉✐❡♥t❡ ❚❡♦r❡♠❛
Pr❡❧✐♠✐♥❛r❡s ✸
❋✐❣✉r❛ ✶✳✶✿ ●rá✜❝❛ 4−conexa♣❧❛♥❛r
❋✐❣✉r❛ ✶✳✷✿ ●rá✜❝❛ 4−regular ♣❡r♦ 2−conexa
❚❡♦r❡♠❛ ✶✳✶✳✶✵✳ ❬❚✉tt❡✱ ✶✾✺✻❪ ❚♦❞❛ ❣rá✜❝❛ ♣❧❛♥❛r ✹✲❝♦♥❡①❛ ❡s ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥❛✳ ❊♥ ❧❛ ❋✐❣✉r❛ ✶✳✶ s❡ ♠✉❡str❛ ✉♥❛ ❣rá✜❝❛4−conexa♣❧❛♥❛r ❝♦♥ ✉♥ ❝✐❝❧♦ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥♦
r❡s❛❧t❛❞♦✳ ❊st❛ ❣rá✜❝❛ t❛♠❜✐é♥ ❡s4−regular✳
▲♦s ❝♦♥❝❡♣t♦s ❞❡ 4−regularidad ② 4−conexidad ♥♦ s♦♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❡s ❝♦♠♦ s❡ ✈❡
❡♥ ❧❛ ❋✐❣✉r❛ ✶✳✷✳
✶✳✷✳ ❱♦①✲só❧✐❞♦s
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❦✲❝❛❞❡♥❛ ❈ ❡♥ ❧❛ (k−1)−cadenaq✉❡ ❧❛ ❡♥✈✉❡❧✈❡ ❡①t❡r✐♦r♠❡♥t❡✱ ❞❡ ♠❛♥❡r❛ ❢♦r♠❛❧✿
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✷✳✸✳ ❊❧ ♦♣❡r❛❞♦r ❢r♦♥t❡r❛∂ ❛♣❧✐❝❛❞♦ s♦❜r❡ ✉♥❛k−cadena C s❡ ❞❡✜♥❡✿ ∂(C) :={x|x es un(k−1)−simplejo∧ |Sx(C)| es impar}
❞♦♥❞❡✿ Sx(C) :={y|y ∈C∧x⊆y}
❊s ❞❡❝✐r✱ s✐ s❡ ❛♣❧✐❝❛ ❡❧ ♦♣❡r❛❞♦r ❛ ✉♥❛ 3−cadena✱ s❡ ♦❜t✐❡♥❡♥ ❧❛s ❝❛r❛s q✉❡ ❡stá♥
❝♦♥t❡♥✐❞❛s ❡♥ ✉♥ só❧♦ ✈♦①❡❧✱ ❝❧❛r❛♠❡♥t❡ ❧❛s ❝❛r❛s ✐♥t❡r♥❛s ❡stá♥ ❝♦♥t❡♥✐❞❛s ❡♥ ❞♦s ✈♦①❡❧❡s✱ ❡♥ ❧❛ ❋✐❣✉r❛ ✶✳✸ s❡ ❡①♣❧✐❝❛ ❝ó♠♦ ❛❝tú❛ ❡❧ ♦♣❡r❛❞♦r ❢r♦♥t❡r❛ ❡♥ ❡❧ ❝❛s♦ ❞❡ ✉♥❛
1−cadena ② ✉♥❛ 2−cadena✳
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✷✳✹✳ ❯♥❛ s✉♣❡r✜❝✐❡ ❡s ✉♥❛2−variedad ❝♦♥❡①❛ ② ❝♦♠♣❛❝t❛ ❝♦♥ ❢r♦♥t❡r❛
✈❛❝í❛✳
❈♦♥ ❡st❛s ❞❡✜♥✐❝✐♦♥❡s ♣r❡❧✐♠✐♥❛r❡s ②❛ ❡st❛♠♦s ❧✐st♦s ♣❛r❛ ❞❡✜♥✐r ❡❧ ♦❜❥❡t♦ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡♥ ❡st❛ t❡s✐s✳
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✷✳✺✳ ❯♥ ✈♦①só❧✐❞♦ V ❡s ✉♥❛ 3 −cadena ❝♦♥❡①❛ ❝✉②❛ ❢r♦♥t❡r❛ ❡s ✉♥❛
s✉♣❡r✜❝✐❡✳
■♥t✉✐t✐✈❛♠❡♥t❡ ❧♦s ✈♦①só❧✐❞♦s s♦♥ ❧❛s3−cadenasq✉❡ ❢♦r♠❛♥ ✉♥ s♦❧♦ só❧✐❞♦ ② ❛❞❡♠ás
❧♦ ❢♦r♠❛♥ ❛❧ ♣❡❣❛rs❡ só❧♦ ♣♦r ❧❛s ❝❛r❛s✱ ❡♥ ❧❛ ✜❣✉r❛ ✶✳✹ ❧❛s3−cadenas ❛✮✱ ❜✮✱ ❝✮ ② ❞✮
s♦♥ ✈♦①só❧✐❞♦s ♠✐❡♥tr❛s ❧❛s 3−cadenas ❡✮✱ ❢✮ ② ❣✮ ♥♦ ❧♦ s♦♥❀ ❧❛ ❡✮ ② ❧❛ ❢✮ ♣♦rq✉❡ s✉
Pr❡❧✐♠✐♥❛r❡s ✺
❋✐❣✉r❛ ✶✳✸✿ ❖♣❡r❛❞♦r ❋r♦♥t❡r❛
✻ Pr❡❧✐♠✐♥❛r❡s
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❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✶✳✷✳✻✳ ❉❛❞❛ ✉♥❛3−cadenaC ❧❛ ❣rá✜❝❛ ❞❡ ❛❞②❛❝❡♥❝✐❛ ❞❡ ❝❛r❛s ❞❡C ❡s ❧❛ ❣rá✜❝❛ ❞❡♥♦t❛❞❛ ♣♦rτC q✉❡ t✐❡♥❡ ❝♦♠♦ ✈ért✐❝❡s ❡❧ ❝♦♥❥✉♥t♦ ❞❡ 2−simplejos ❡♥∂(C)✱
② ❞♦s ✈ért✐❝❡s F1 ② F2 s❡ ✉♥❡♥ ♣♦r ♠❡❞✐♦ ❞❡ ✉♥❛ ❛r✐st❛ s✐ ② só❧♦ s✐ F1 ② F2 t✐❡♥❡♥ só❧♦
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✈❡❝✐♥♦ ❞❡ ❝✉❛tr♦ 2−simplejos ❞✐st✐♥t♦s✱ ✉♥♦ ♣♦r ❝❛❞❛ ✉♥❛ ❞❡ s✉s ❛r✐st❛s✳ ▲♦ q✉❡ ♥♦
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❝♦♥s✉❧t❛r ❡♥ ❬✸❪✳
❚❡♦r❡♠❛ ✶✳✷✳✼✳ ❬❙❛❣♦❧s✱ ✶✾✾✼❪ ❙❡❛ V ✉♥ ✈♦①só❧✐❞♦✱ ❡♥t♦♥❝❡s τV ❡s 4−conexa✳
❉❡ ❡st❛ ♠❛♥❡r❛✱ s✐ s❡ t✐❡♥❡ q✉❡τV ❡s ♣❧❛♥❛r✱ ♣♦r ❧♦s ❚❡♦r❡♠❛s ✶✳✶✳✶✵ ② ✶✳✷✳✼ s❡ t✐❡♥❡
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❈♦r♦❧❛r✐♦ ✶✳✷✳✽✳ ❬❙❛❣♦❧s✱ ✶✾✾✼❪ ❙❡❛ V ✉♥ ✈♦①só❧✐❞♦ t❛❧ q✉❡ τV ❡s ♣❧❛♥❛r✱ ❡♥t♦♥❝❡s τV
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❝♦♥tr❛r✐♦ ❛ ❧❛s ♠❛♥❡❝✐❧❧❛s ❞❡❧ r❡❧♦❥ ② f = (s, r) ❧❛ ❛r✐st❛ q✉❡ ❧♦s ✉♥❡✳ ❚❛♠❜✐é♥✱ Pxy ❡s
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❋✐❣✉r❛ ✷✳✶✳
❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✷✳✶✳✷✳ ❯♥❛ ❣rá✜❝❛ ♣❧❛♥❛ 2−conexa G ❡s ✐♥t❡r♥❛♠❡♥t❡ 4−conexa ❝♦♥
r❡s♣❡❝t♦ ❛(s, t, e) s✐ Gs❛t✐s❢❛❝❡ ❧❛s s✐❣✉✐❡♥t❡s ❝♦♥❞✐❝✐♦♥❡s✿
✶✳ ❙✐{x, y}❡s ✉♥ ♣❛r s❡♣❛r❛❞♦r✱ ❡♥t♦♥❝❡s✿ ✐✮ ❈❛❞❛ ❝♦♠♣♦♥❡♥t❡ ❞❡G−{x, y}❝♦♥t✐❡♥❡ ❛❧ ♠❡♥♦s ✉♥ ✈ért✐❝❡ ❞❡Z ② ✐✐✮ ❝❛❞❛ ✉♥♦ ❞❡ ❧♦s tr❡s ❝❛♠✐♥♦sPsa✱Pbt ②Pts ❝♦♥t✐❡♥❡
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❉❡ ❡st❛ ♠❛♥❡r❛ ✉♥ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦ ❡♥ ✉♥ ✈♦①só❧✐❞♦ ❡s ✉♥ ✈ért✐❝❡ ❞❡ ❧❛ ❣rá✜❝❛ ❞❡ ❛❞②❛✲ ❝❡♥❝✐❛s ❞❡ ❝❛r❛s✱ ♣❡r♦ ❝♦♥t✐❡♥❡ ❧❛ ✐♥❢♦r♠❛❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ ❞✐r❡❝❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ ❝❛r❛ q✉❡ ❧❡ ♣r❡❝❡❞❡ ② ❧❛ ❝❛r❛ q✉❡ ❧❡ s✉❝❡❞❡ ❡♥ ❡❧ ♦r❞❡♥ ✐♥❞✉❝✐❞♦ ♣♦r ❡❧ ❝✐❝❧♦C✳ ❊♥ ❧❛ ❋✐❣✉r❛ ✸✳✸ s❡ ♠✉❡str❛
❝♦♠♦ ❡❥❡♠♣❧♦ ❡❧ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦1−1
23✳
❊s ❞❡❝✐r✱ ♣r✐♠❡r♦ s❡ ❤❛❝❡ ❡❧ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦ ❡♥ ❧❛ ❞✐r❡❝❝✐ó♥ 1−1 ②❛ q✉❡ ❧❛ ❝❛r❛ ❛♥t❡r✐♦r
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❉❡✜♥✐❝✐ó♥ ✸✳✶✳✷✳ ❯♥❛ ❛❝❝✐ó♥ s♦❜r❡ ✉♥ ✈♦①só❧✐❞♦ ❡s ✉♥❛ ❢✉♥❝✐ó♥ q✉❡ ❡♥✈í❛ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s ❡♥ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s✱ ❤❛② tr❡s ❛❝❝✐♦♥❡s A✱ B✱ C ❞❡✜♥✐❞❛s ❞❡ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ♠❛♥❡r❛ s♦❜r❡ ✉♥
♠♦✈✐♠✐❡♥t♦ abc✿ A(abc) = ba−1
c B(abc) = cab−1
C(abc) =c−1
ab
❊st❛s tr❡s ❛❝❝✐♦♥❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥ ❛ ❧♦ s✐❣✉✐❡♥t❡✿ ✉♥❛ ❞❡ ❡❧❧❛s ❡s s❡❣✉✐r ❡♥ ❡❧ ♠✐s♠♦ ♣❧❛♥♦ ✭A✮✱ ♦tr❛ ❡s ❤❛❝❡r ✉♥ ❣✐r♦ ❝ó♥❝❛✈♦ ✭B✮ ② ❧❛ ú❧t✐♠❛ ❡s ❤❛❝❡r ✉♥ ❣✐r♦ ❝♦♥✈❡①♦ ✭C✮✱
✶✽ ❘❡❝♦♥✜❣✉r❛❝✐♦♥❡s ▲♦❝❛❧❡s
❋✐❣✉r❛ ✸✳✹✿ ❆❝❝✐♦♥❡s A✱B✱C A(1−1
23) = 213
B(1−1
23) = 31−1
2−1
C(1−1
23) = 3−1
1−1
2✳
❆❞✐❝✐♦♥❛❧♠❡♥t❡ ❡♥ ❡❧ ✈♦①só❧✐❞♦ ❞❡ ❧❛ ❋✐❣✉r❛ ✸✳✶ s❡ t✐❡♥❡ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ s✉❝❡s✐ó♥ ❞❡ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s ❡♥ ❧❛s ❝❛r❛sx1✱ ✳✳✳✱ x5✿
Mx1 = 231
Mx2 = 1
−1
23
Mx3 = 21
−1
3
Mx4 = 3
−1
21
Mx5 = 1
−1
3−1
2
q✉❡ s❡ r❡❧❛❝✐♦♥❛♥ ♣♦r ♠❡❞✐♦ ❞❡ ❧❛s s✐❣✉✐❡♥t❡s ❛❝❝✐♦♥❡s✿
C(Mx1) =Mx2
A(Mx2) =Mx3
C(Mx3) =Mx4
C(Mx4) =Mx5
❆sí✱ ❡♥ ❣❡♥❡r❛❧ s✐ s❡ ❡♠♣✐❡③❛ ❝♦♥ ✉♥ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦abc ② s❡ ❛♣❧✐❝❛ ✉♥❛ ❞❡ ❧❛s ❛❝❝✐♦♥❡s✱
s❡ ♦❜t✐❡♥❡ ♦tr♦ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦ q✉❡ ❞❡♣❡♥❞❡ ❞❡ ❧❛ ❛❝❝✐ó♥✳ ❉❡ ❡st❛ ♠❛♥❡r❛✱ s❡ tr❛♥s✐t❛ ♣♦r t♦❞❛s ❧❛s ❝❛r❛s ❞❡❧ ❝✐❝❧♦C ② ❡❧ s✉❝❡s♦r ❞❡ ✉♥❛ ❝❛r❛ ❡s ❧❛ ❛♣❧✐❝❛❝✐ó♥ ❞❡ ✉♥❛ ❞❡t❡r♠✐♥❛❞❛
❛❝❝✐ó♥ ❛ ❧❛ ❝❛r❛✱ ♣♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ❧♦s ❝✐❝❧♦s s❡ ♣✉❡❞❡♥ ✈❡r ❝♦♠♦ ✉♥❛ s✉❝❡❝✐ó♥ ❞❡ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s ♦ ✉♥❛ s✉❝❡s✐ó♥ ❞❡ ❛❝❝✐♦♥❡s✱ ❛♠❜❛s r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐♦♥❡s t✐❡♥❡♥ ❧❛ ♠✐s♠❛ ✐♥❢♦r♠❛❝✐ó♥✳
P✉❡❞❡ s✉❝❡❞❡r q✉❡ ❛❧ ❛♣❧✐❝❛r ✉♥❛ s✉❝❡s✐ó♥ ❞❡ ❛❝❝✐♦♥❡s s❡ ❢♦r♠❡ ✉♥ ❝✐❝❧♦ q✉❡ ❛ú♥ ♥♦ ❡s ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥♦✱ ❡♥ ❡s❡ ❝❛s♦ ♣❛r❛ ❝♦♥str✉✐r ❡❧ s✐❣✉✐❡♥t❡ ❝✐❝❧♦ s❡ s❡❧❡❝❝✐♦♥❛ ✉♥❛ ❝❛r❛ q✉❡ ②❛ ❡sté ❡♥ ❡❧ ❝✐❝❧♦ ❛♥t❡r✐♦r ② ❡♥ ✉♥❛ ❝❛r❛ ❛❞②❛❝❡♥t❡✱ q✉❡ ❛ú♥ ♥♦ t❡♥❣❛ ❞❡✜♥✐❞♦ ✉♥ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦ ② s❡ ❞✐❜✉❥❛ ❡❧ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦ r❡✢❡❥❛❞♦ ❛ ❧❛ ❝❛r❛ q✉❡ s✐ ❧♦ t✐❡♥❡✱ ✈❡r ❋✐❣✉r❛ ✸✳✺✳
❘❡❝♦♥✜❣✉r❛❝✐♦♥❡s ▲♦❝❛❧❡s ✶✾
❋✐❣✉r❛ ✸✳✺✿ ❈♦♠♣❧❡t❛r ❧♦s ❝✐❝❧♦s r❡st❛♥t❡s
❋✐❣✉r❛ ✸✳✻✿ P♦s✐❜❧❡s ❢♦r♠❛s ❞❡ ❧❛ ❤❡✉ríst✐❝❛ ❡♥tr❡ ❞♦s ✈ért✐❝❡s
❤❡✉ríst✐❝❛ ♣✉❡❞❡ ✉♥✐r ❞♦s ✈ért✐❝❡s ❡♥ ❧❛ ❣rá✜❝❛ ❞❡ ❛❞②❛❝❡♥❝✐❛ ❞❡ ❝❛r❛s✳ ❊♥ ❧❛ ♣r✐♠❡r❛ ② ❝✉❛rt❛ ♠❛♥❡r❛s ❝♦♠♦ ❤❛② ❞♦s ❝❡r♦s ② ❞♦s tr❡s r❡s♣❡❝t✐✈❛♠❡♥t❡ ❡st♦ s✐❣♥✐✜❝❛ q✉❡ ♥♦ s❡ ❝❛♠❜✐ó ❞❡ ✉♥❛ ❝❛r❛ ❝♦❧♦r❡❛❞❛ ❛ ✉♥❛ ♥♦ ❝♦❧♦r❡❛❞❛✱ ❡s ❞❡❝✐r✱ ❡s ✉♥ ❛❝❝✐ó♥A q✉❡ ❡s ♣❧❛♥❛
② ✈❡♠♦s q✉❡ s❡ ❝♦♠♣♦rt❛ ❝♦♠♦ s❡ ✈❡ ❡♥ ❧❛ ❋✐❣✉r❛ ✸✳✹✳ ❊♥ ❧❛ s❡❣✉♥❞❛ ② t❡r❝❡r❛ ♠❛♥❡r❛s ❞❡ ✉♥✐r ❞♦s ✈ért✐❝❡s ❤❛② ✉♥ ❝❡r♦ ② ✉♥ tr❡s✱ ❡st♦ s✐❣♥✐✜❝❛ q✉❡ ❤❛② ✉♥ ❝❛♠❜✐♦ ❞❡ ✉♥❛ ❝❛r❛ ❝♦❧♦r❡❛❞❛ ❛ ✉♥❛ ♥♦ ❝♦❧♦r❡❛❞❛✱ ② ♣♦r ❡st♦ ♣✉❡❞❡ s❡r ❝✉❛❧q✉✐❡r❛ ❞❡ ❧❛s ❛❝❝✐♦♥❡s B
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✸✳✹ s❡ ♣✉❡❞❡ ✈❡r q✉❡ t✐❡♥❡ ❡❧ ♠✐s♠♦ ♣❛tró♥ ❞❡ ❡st❛s ❛❝❝✐♦♥❡s✳ ❈♦♥ ❡st❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝✐❛ t❡♥❡♠♦s ❡❧ s✐❣✉✐❡♥t❡ r❡s✉❧t❛❞♦✳
Pr♦♣♦s✐❝✐ó♥ ✸✳✶✳✸✳ ▲❛s ❛❝❝✐♦♥❡s A✱ B✱ C ❣❡♥❡r❛♥ ❡❧ 2 − f actor ❞❡ ❧❛ ❤❡✉ríst✐❝❛
❞✐r❡❝t❛♠❡♥t❡ s♦❜r❡ ❡❧ ✈♦①só❧✐❞♦ V✳
❈♦♥ ❡st❛s ❛❝❝✐♦♥❡s ② ❡st♦s ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s ♣♦❞❡♠♦s ❢♦r♠❛r ✉♥❛ ❣rá✜❝❛ ❞✐r✐❣✐❞❛ G✱ ❞♦♥❞❡ ❧♦s ✈ért✐❝❡s s♦♥ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s ② ❧❛s ❛r✐st❛s s♦♥ ❛❝❝✐♦♥❡s✳ ❊♥ t♦t❛❧ ❤❛②6×4×2 = 48
✈ért✐❝❡s ❡♥ G q✉❡ s♦♥ ❧♦s ✈❛❧♦r❡s ❞✐st✐♥t♦s q✉❡ ♣✉❡❞❡♥ t♦♠❛r ❧♦s ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s abc✱
✷✵ ❘❡❝♦♥✜❣✉r❛❝✐♦♥❡s ▲♦❝❛❧❡s
❋✐❣✉r❛ ✸✳✼✿ ❉✐❣rá✜❝❛ ❞❡ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s ② ❛❝❝✐♦♥❡s
❛r✐st❛s✳ ❙✐ ❞❡✜♥✐♠♦s ❛❧❣✉♥ ✈ért✐❝❡ ❝♦♠♦ ❡st❛❞♦ ✐♥✐❝✐❛❧ ② ♦tr♦s ❝♦♠♦ ❡st❛❞♦s ✜♥❛❧❡s✱ ❡st❛ ❞✐❣rá✜❝❛ r❡s✉❧t❛ s❡r ✉♥ ❛✉tó♠❛t❛ ✜♥✐t♦ ❝♦♥ ❛❧❢❛❜❡t♦{A, B, C}② ❛sí ♣♦❞❡♠♦s ❝♦♥str✉✐r ❧❛ ❡①♣r❡s✐ó♥ r❡❣✉❧❛r ❛s♦❝✐❛❞❛ ❛ ést❡✳
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❋✐❣✉r❛ ✸✳✽✿ Pr♦♣♦s✐❝✐ó♥ ✸✳✷✳✶
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❝♦rr❡s♣♦♥❞❛ ❛ ✉♥ r❡❝♦rr✐❞♦ ❡♥ ✉♥ ✈♦①só❧✐❞♦ s❡ ✐♠♣♦♥❡♥ r❡str✐❝❝✐♦♥❡s ❛ ❧❛ ❝❛❞❡♥❛ ❞❡ ❛❝❝✐♦♥❡s✱ ❡s ❞❡❝✐r✱ ❝❛❞❛ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦ t✐❡♥❡ ❛s♦❝✐❛❞♦s ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s ♣r♦❤✐❜✐❞♦s q✉❡ s✐ s❡ ❤❛❝❡♥ ✈✐♦❧❛rí❛♥ ❛❧❣✉♥❛ ❞❡ ❧❛s r❡❣❧❛s ❞❡ ❧❛ ❤❡✉ríst✐❝❛ ♦ ❞❡❧ ✈♦①só❧✐❞♦✳ P❛r❛ ❡st♦ s❡ t❡♥❞rí❛ q✉❡ ❛❝t✉❛❧✐③❛r ❡st❛ ❧✐st❛ ❞❡ ♠♦✈✐♠✐❡♥t♦s ♣r♦❤✐❜✐❞♦s ❧✉❡❣♦ ❞❡ ❝❛❞❛ ❛❝❝✐ó♥✳ ❊st❡ ♣r♦❝❡s♦ ❡s ❧♦❝❛❧ ②❛ q✉❡ ❧♦s ❛rr❡❣❧♦s s❡ ❤❛❝❡♥ ❡♥ ❝❛❞❛ ✈♦①❡❧✱ ② s❡ ♣✉❡❞❡♥ ❡s❝❛♣❛r ❛❧❣✉♥♦s ❝❛s♦s ♣❛t♦❧ó❣✐❝♦s q✉❡ ♥♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥ ❛ ✉♥ ✈♦①só❧✐❞♦✱ ❛❞❡♠ás✱ ❡s ❧❡♥t♦ ② ❛❧ ♠✐s♠♦ t✐❡♠♣♦ ♦❝✉♣❛ ♠✉❝❤♦ ❡s♣❛❝✐♦ ❡♥ ♠❡♠♦r✐❛✳ ❙❡ ♣r♦❣r❛♠ó✱ ♣❡r♦ ❝❛❞❛ ♥✉❡✈❛ ✐t❡r❛❝❝✐ó♥ t❛r❞❛❜❛ ♠✉❝❤♦✱ ❛sí q✉❡ s❡ ❞❡❝✐❞✐ó ❛♣❧✐❝❛r ♦tr❛ ♠❡t♦❞♦❧♦❣í❛ ♣❛r❛ ❡♥❝♦♥tr❛r ❧♦s ❝✐❝❧♦s✳
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