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MATEMÁTICAS II
Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje
Con la colaboración de :
Juan Carlos Recéndiz Medina Cuauhtémoc Jiménez Olivares
Víctor Morales Hernández Georgina Castillo de Hoyos
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MATEMÁTICAS II
Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje
Con la colaboración de: Juan Carlos Recéndiz Medina Cuauhtémoc Jiménez Olivares Víctor Morales Hernández Georgina Castillo de Hoyos
Coordinación de Educación Media Superior a Distancia Martha Elena Fuentes Torres
Departamento de Diseño de Material Didáctico y Capacitación: Antonio Cadena Magaña
Revisión y asesoría académica a cargo de: Víctor Manuel Mora González
Diseño Gráfi co: Rebeca García Peña
Mildred Ximena Uribe Castañón
Corrección de estilo: Antonio Cadena Magaña
©Secretaría de Educación Pública. México, 2007.
Subsecretaría de Educación Media Superior Dirección General del Bachillerato
Educación Media Superior a Distancia
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ÍNDICE
4
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
LAS LEYES DE SENOS
Y COSENOS
POLÍGONOS Y
CIRCUNFERENCIA
LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
7
30
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¿Qué voy a aprender?
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La asignatura de Matemáticas II, tiene como propósito introducirte en el estudio de la Geometría y la Trigonometría; su estudio te ayudará a visualizar y analizar geométri-camente los problemas que se presentan en tu entorno, así como hacerte hábil en la construcción de modelos matemáticos para su estudio y posible solución.
Desde el punto de vista práctico, el estudio de la Geometría y la Trigonometría te proporciona herramientas útiles para estudiar diversas situaciones o fenómenos desde una o ambas perspectivas, según la información disponible y la conveniencia de tales representaciones. De esta forma, su inclusión en el segundo semestre del plan de estudios del bachillerato general, posibilita que apliques dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la asignatura de Física I y en el estudio del la Geome-tría Analítica del tercer semestre, así como del Cálculo Diferencial e Integral, del V y VI semestres.
Por otra parte, además de que los conocimientos que obtengas al estudiar Matemá-ticas 2 te servirán para emprender el estudio de otras asignaturas, también te servirá para resolver problemas parecidos a los que afrontan los Ingenieros civiles cuando tienen que diseñar puentes o carreteras, o a los que tienen frente a sí los Arquitectos cuando quieren conjugar belleza con funcionalidad al diseñar casas o edifi cios. Los Geógrafos, por su parte, se benefi cian de estos conocimientos cuando estudian los diversos accidentes geográfi cos y sus implicaciones; los marinos logran calcular con exactitud el rumbo mediante la aplicación de conocimientos trigonométricos, etc.
La Asignatura de Matemáticas II comprende cuatro Unidades que van de lo más sim-ple a lo relativamente comsim-plejo.
En la primera Unidad: Ángulos y triángulos, revisarás los aspectos básicos de estos dos temas y sus aplicaciones más simples, además de servirte como punto de partida para el estudio de las siguientes Unidades.
La Unidad 2: Polígonos y Circunferencia te llevará por el estudio de las propiedades de estas fi guras geométricas para identifi car con exactitud todos sus elementos distin-tivos.
En la Unidad 3: Funciones trigonométricas, estudiarás los conceptos básicos de las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo conocidas como fun-ciones trigonométricas, utilizando tanto el circulo unitario como las coordenadas cartesianas rectangulares; con ello sentarás las bases necesarias para el abordaje de diversos fenómenos físicos.
Por útlimo, en la Unidad 4 titulada Las leyes de senos y cosenos, verás la defi nición
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de cada una de ellas y su aplicación para determinar diversos elementos de triángulos que no poseen ningún ángulo recto y que de manera genérica se describen como triángulos oblicuángulos.
Se abordarán así, problemas del medio circundante (económicos, sociales, ambienta-les, demográfi cos, etc.) y de diferentes campos del saber, que propicien el desarrollo del pensamiento crítico y refl exivo (en el ámbito matemático y en el contexto social) así como una actuación comprometida del alumno.
Resumiendo, los contenidos a revisar en este programa serán los siguientes: Unidad I. Ángulos y triángulos
Unidad II. Polígonos y circunferencia Unidad III. Las funciones trigonométricas Unidad IV. Las Leyes de Senos y Cosenos
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UNIDAD
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ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
Objetivo de la unidad: Resolverás problemas geométricos de tipo teórico o práctico de distintos ámbitos, mediante la apli-cación de técnicas de medición de ángulos en el plano y su clasificación, así como las correspondientes a la medición de triángulos utilizando razonamientos analógicos y deductivos para recuperar los conceptos de semejanza y congruencia, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.
Iniciamos el estudio de la asignatura de Matemáticas II ¡Recibe la más cordial bienvenida!
A lo largo de este curso aprenderás temas y adquirirás habilidades que te servirán para crecer como persona y también para tu preparación posterior. Por supuesto que es necesaria tu dedicación y empeño desarrollando todas las actividades de aprendizaje y siguiendo atentamente las indicaciones de tu Asesor. Te sugeri-mos conseguir un cuaderno de cuadrícula para resolver todos los ejercicios y un juego de geometría para efectuar los trazos necesarios.
¿Qué estudiaremos en esta Unidad? Como el título nos lo indica, veremos dos grandes temas: los ángulos y los triángulos.
Dentro del tema ángulos recordarás –o aprenderás, si es el caso- qué es un ángulo, cuáles tipos hay, cómo se miden y pasarás de la teoría a la práctica al construir ángulos y medirlos con el auxilio de un transportador. Mención aparte merecen los ángulos que se forman por dos rectas paralelas y una secante que se estudian en la parte fi nal de este apartado; su estudio será de mucha utilidad en temas o asignaturas posteriores.
En el tema triángulos, se revisará su defi nición y clasifi cación; cuáles son las rec-tas notables que existen en ellos y cómo se determinan; asimismo, verás como se calculan sus perímetros y áreas, y cómo se determinan los ángulos interiores o exteriores de cualquier tipo de triángulo. Como temas especiales aprenderás qué es la congruencia y la semejanza de los triángulos y aplicarás el célebre Teorema de Pitágoras en la resolución de diversos problemas.
Para guiar tu estudio de los contenidos de la Unidad te sugerimos orientarte por las siguientes preguntas:
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¿Qué condición debe cumplirse para afi rmar que dos ángulos son complementarios? ¿Cómo se clasifi can los triángulos?
¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo? ¿Cuánto vale la suma de sus ángulos exteriores?
¿Bajo qué condiciones dos triángulos son congruentes? ¿Cuándo son semejantes dos triángulos?
¿Cuál es el enunciado del Teorema de Pitágoras? ¿Para qué tipos de triángulos funcio-na este teorema?
¿En qué puedes apoyarte para aprender lo más y mejor posible sobre los temas de esta unidad? En cualquier libro que tengas a tu alcance y que trate sobre Geometría Plana y Trigonometría. Si te es posible, te recomendamos la consulta de los siguientes textos que además de ser actualizados, desarrollan todos los temas del curso:
• García, Miguel y Manuel Rodríguez. Matemáticas 2, Bachillerato. México. ST Editorial. 2005
• Ruiz Basto, Joaquín. Matemáticas II, Bachillerato General. México. Publicaciones Cultural, 2005
• Ortiz Campos, Francisco. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría. México. Publicaciones Cultural, 2005
Artículos de la Enciclopedia Encarta
Si cuentas con este software en tu centro de servicios, consulta los siguientes artículos que te servirán para profundizar en los temas de la Unidad:
Ángulo Área
Cuadrado (geometría) Curvas
Demostración matemática Equivalencia
Euclides (matemático) Geometría
Triángulo (fi gura) Trigonometría
Sitios web recomendados
http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm
Un sitio muy interesante donde encontrarás información de los polígonos, cuerpos Geometría del espacio
Geometría plana Ortocentro Polígono Proporción Semejanza Simetría
René Descartes Teorema de Pitágoras
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con volumen, biografías y fi chas de trabajo.
http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm que contiene un tutorial de Geometría plana elemental.
http://platea.pntic.mec.es/%7eablanco/gi/index.htm es un sitio en el que puedes inte-ractuar manipulando las fi guras y observando cómo se ubican los diferentes elementos, rectas notables de triángulos construcción, etc. Te lo recomendamos ampliamente.
http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-triangulos.htm Formularios, ta-blas y constantes matemáticas.
Programas de televisión educativa
De la serie de programas de televisión educativa para apoyar la Asignatura de Mate-máticas 2 te recomendamos observar los siguientes para profundizar en los contenidos que revisarás:
Programa 1.- Área, volumen y unidades de medición
Este programa te ayudará a entender algunos de los conceptos básicos y aplicaciones de la Geometría y del Sistema Métrico Decimal.
Programa 2.- Longitud y generación de curvas
Los contenidos de este programa tienen como propósito que aprendas a identifi car los tipos básicos de curvas, a conocer los métodos de medición de curvas y sus aplicacio-nes así como el surgimiento de la geometría fractal.
Programa 7.- La recta.
El programa de televisión educativa “La recta” te ayudará a conocer las formas para medir la pendiente de una recta y la función de los triángulos dentro de la medición de una recta. Te invitamos a observarlo con atención en tu Centro de Servicios
Programa 8.- “Clasifi cación del triángulo”
El triángulo tiene múltiples y varios usos en la vida cotidiana. Para conocer más de este tema te invitamos a observar el programa de televisión educativa “Clasifi cación del triángulo”
Programa 9.- “Medición de ángulos y lados del triángulo”
10 10 10
¿Cómo aprendo?
Iniciamos el estudio de los temas de esta primera Unidad haciéndote las reco-mendaciones siguientes:
• Consigue un cuaderno de cuadrícula y un juego de geometría (escuadras, compás y transportador) para que realices todos los trazos que se piden en las actividades. Esto te será de mucha utilidad para lograr aprendizajes efectivos. • Consulta a tu Asesor para resolver las dudas que puedan surgirte y en un ambiente cordial y de respeto, trabaja con tus compañeros las actividades que te sean asignadas. La fi nalidad es que el grupo se vuelva una comunidad de aprendizaje.
1.1. ÁNGULOS EN EL PLANO
Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos relacionados con ángulos en el plano, mediante la identificación, clasificación y medición de los mismos.
1.1.1. Defi nición de ángulo
Investiga en la bibliografía a tu alcance la defi nición de ángulo y anótala en las líneas siguientes. Acompaña la defi nición con un esquema que muestre los ele-mentos de un ángulo y la forma de nombrarlos.
Un ángulo es: _______________________________________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Esquema de un ángulo, sus elementos y su notación
Tomando como referencia los puntos, traza los ángulos que se solicitan:
C
B
A
P
R
Q U
S
T
11 11
¿Cómo aprendo?
1.1.2. Clasifi cación de los ángulos
Los ángulos se pueden clasifi car de diferentes formas, especialmente tanto por sus medidas como por la posición de sus lados. En los cuadros siguientes he-mos anotado los nombres. Investiga la descripción y anótala en el cuadro corres-pondiente. No olvides dibujar un ejemplo de cada uno de ellos.
Completa el cuadro siguiente, en el que concentrarás información sobre la cla-sifi cación de los ángulos por la posición de sus lados:
Clasifi cación de los ángulos por la posición de sus lados Clasifi cación de los ángulos pos sus medidas
Llano
Agudo
Obtuso
De una vuelta
Recto
Cóncavo
Convexo
Tipo de ángulo Descripción Ejemplo
Tipo de ángulo Descripción Ejemplo
Adyacentes
12 12 12
¿Cómo aprendo?
Una clasifi cación especial incluye a los ángulos complementarios y suplemen-tarios. Investiga y completa el cuadro siguiente:
1.1.3. Medición de ángulos en el sistema sexagesimal
Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo que resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el ángulo recto mide 90º.
Con la ayuda del transportador y las escuadras construye en el espacio siguiente ángulos de 25º, 135º, 45º, 123º, 180º, 90º, 190º, 0º, 270º, 330º, 360º. Anota, de acuerdo a las clasifi caciones revisadas en el tema anterior, de qué tipo es cada uno de ellos.
Tipo de ángulo Descripción Ejemplo
Suplementarios
13 13
¿Cómo aprendo?
Comparte con tus compañeros y Asesor, tus razones para clasifi car a los ángu-los en la forma que lo hiciste. A partir de lo discutido en la sesión, corrige tu ejercicio si es necesario. Si te es posible conectarte a Internet, visita la dirección http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulos1.htm que presenta una página interactiva para dibujar ángulos de cualquier medida.
1.1.4 Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante
Al ser cortadas dos rectas paralelas por una secante se forman ángulos con características especiales de igualdad. Revisa detenidamente la fi gura que pre-sentamos a continuación y anota a los ángulos en la clasifi cación que les co-rresponde:
1 2
4 3
7 6 5
8
Ángulos correspondientes iguales:
<___ = <____ ; <____ = <____; <____ = <____; <____ =<____
Ángulos alternos internos iguales: <___ = <____ ; <____ = <____
14 14 14
¿Cómo aprendo?
1.2 TRIÁNGULOS
Objetivo temático: Resolverás problemas de triángulos de tipo teórico y prácticos aplicando los conceptos, técnicas y procedimientos relativos a los triángulos y sus propiedades geométricas, la semejanza y congruencia y el Teorema de Pitágoras.
1.2.1 Defi nición y clasifi cación de los triángulos
Desarrolla las actividades de aprendizaje que se te indican:
Busca en libros de Matemáticas o en la Enciclopedia Encarta la defi nición de triángulo. Anótalas en tu cuaderno y en el espacio siguiente. Comparte tus ha-llazgos con tus compañeros y con tu Asesor, traten de llegar a una defi nición que todos comprendan.
Un triángulo es: ____________________________________________________ ____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
• Clasifi cación de los triángulos
Los triángulos se clasifi can tanto por la longitud de sus lados como por su ampli-tud. Llena los cuadros siguientes buscando la información que sea necesaria:
Clasifi cación de los triángulos por la longitud de sus lados
Tipo de triángulo Descripción Dibujo de ejemplo
Equilátero
Isósceles
15 15
¿Cómo aprendo?
Clasifi cación de los triángulos por la amplitud de sus ángulos
Tipo de triángulo Descripción Dibujo de ejemplo
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
16 16 16
¿Cómo aprendo?
• Rectas notables en el triángulo
Busca información sobre las descripciones de los puntos y rectas notables de los triángulos y anota lo que encuentres en las líneas siguientes:
Baricentro: _________________________________________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Circuncentro
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Ortocentro
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Incentro
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Recta de Euler
17 17
¿Cómo aprendo?
Altura
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Mediana
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Mediatriz
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Bisectriz de un ángulo
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
18 18 18
¿Cómo aprendo?
Con ayuda de las escuadras y el compás, en los triángulos siguientes traza las mediatrices. e indica el nombre del punto en el que se cruzan tales rectas. Pide ayuda a tu Asesor en caso de tener dudas
Con ayuda de las escuadras y el compás, en los triángulos siguientes traza las al-turas e indica el nombre del punto en el que se cruzan las medianas. Pide ayuda a tu Asesor en caso de tener dudas
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¿Cómo aprendo?
Mis observaciones sobre la posición relativa del baricentro, ortocentro, circun-centro e incircun-centro en la Recta de Euler
Siguiendo con el proceso y a manera de resumen, haz los trazos necesarios para ubicar el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro para cada uno de los triángulos. Une los puntos mediante una recta (recta de Euler) y observa con atención la posición que tiene cada punto respecto de los demás. Anota tus observaciones y discútelas con tus compañeros y tu Asesor.
Ángulos interiores y exteriores en los triángulos
Actividad especial: en tu cuaderno, en una hoja blanca o trozo de cartulina dibuja tres triángulos de formas y medidas diferentes cada uno. Una vez que hayas concluido recorta las fi guras y para fi nalizar corta las tres esquinas de cada triángulo, únelos por los vértices y determina cuántos grados suman juntos los tres ángulos. Haz tus observaciones en el cuadro siguiente.
20 20 20
¿Cómo aprendo?
Indaga en la bibliografía a tu alcance o en la Enciclopedia Encarta cuánto suman los tres ángulos interiores de un triángulo. Anota los resultados de tu investiga-ción:
Los ángulos interiores de un triángulo suman: _____________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Para la siguiente actividad dibuja dos triángulos más diferentes en tamaño y for-ma al que mostramos. Al igual que en éste, prolonga los lados aproxifor-madamen- aproximadamen-te 1.5 cm marcando los ángulos exaproximadamen-teriores y midiéndolos con el transportador. Anota tus observaciones en cada caso.
Para este triángulo, la suma de los ángulos exteriores es igual a: _____ + _____ +_____ =
Ahora haz los dos dibujos de triángulos solicitados y efectúa la suma de los ángulos exteriores para cada uno de ellos.
<A=
21 21
¿Cómo aprendo?
• Perímetros y áreas de los triángulos
Posiblemente recuerdes que el perímetro de una fi gura plana equivale a la suma de las longitudes de sus lados. En consecuencia si se quiere obtener el perímetro de un triángulo debemos sumar las longitudes de sus tres lados.
Si nombramos con las letras a, b y c a los lados de un triángulo ¿Cuál será la fórmula para obtener su perímetro? Escríbela enseguida:
P =
¿Recuerdas la característica esencial de un triángulo equilátero? ¡Por supuesto! Sus tres lados y ángulos son ________________. Por lo que para este tipo de triángulo, la fórmula del perímetro se puede simplifi car. Anota a continuación cuál sería esta fórmula:
P =
Para calcular el área de un triángulo se utiliza la fórmula bien conocida:
A =
Siendo:
A = área del triángulo
b = longitud de la base del triángulo. h = longitud de la altura del triángulo
Apliquemos ahora estas fórmulas para resolver los problemas que se proponen a continuación:
a) Observa la fi gura y determina su perímetro y su área
A
5 cm 5 cm
4 cm
6 cm B C
bh
22 22 22
¿Cómo aprendo?
El perímetro se calcula P = _____ + _____ + _____ = ______ cm
y aplicando la fórmula para calcular el área, tendremos:
b) Se tiene el triángulo equilátero cuyos lados miden 6 cm y su altura tiene un valor de aproximadamente 5.2 cm. Dibuja la fi gura correspondiente y mina su perímetro y su área.
• Congruencia de triángulos
Investiga sobre el tema de congruencia y desarrolla lo que se pide a continua-ción:
Complementa la siguiente descripción:
Dos triángulos son congruentes cuando:
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ El primer criterio de igualdad entre triángulos afi rma que si dos lados de un triángulo y el ángulo que forman son iguales respectivamente a los de un segun-do triángulo, ambos son congruentes o iguales. Observa las fi guras siguientes y complementa lo que falta:
M
N
O
O
P
R
A=( )( )
2 cm
2
2
= =
El lado MN es ______ al lado ______ El lado ___ es igual al lado ________ El ángulo ____ es _____ al <S
En conclusión, el MNO es ________ _ o __________ al triángulo PQR
23 23
¿Cómo aprendo?
¿Cuáles lados son iguales?
_____ = _____ _____ = _____ _____ = _____
El tercer criterio afi rma que si dos triángulos tienen un lado y dos ángulos igua-les, entonces son triángulos congruentes o iguales. Dibuja dos triángulos que cumplan con este criterio.
• Semejanza de triángulos
Completa el enunciado siguiente:
Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos __________ y sus lados correspondientes ____________________.
A B
C
D
E
F
24 24 24
¿Cómo aprendo?
¿Los triángulos son semejantes? ¿Por qué?
• Teorema de Pitágoras
Anota el enunciado del teorema de Pitágoras y su expresión matemática:
En la siguiente fi gura, hemos dibujado cuadrados tomando como base las di-mensiones de cada uno de los catetos y la hipotenusa. Tu tarea será dividir cada uno de los cuadrados en pequeños cuadros de aproximadamente 1cm x 1 cm. Suma el total de cuadritos que aportan los dos catetos y compáralos con los cua-dritos que aporta la hipotenusa. Escribe un pequeño comentario sobre lo que aprecias y relaciónalo con la expresión del teorema de Pitágoras.
Los triángulos que se muestran son semejantes. Mide los ángulos, los lados y anota lo que hace falta para completar las expresiones que demuestran la seme-janza entre ellos.
<A = <___ <___ =<___ <___ = <___
A
B
C
A’
B’
C’
A B A’B’
B C
B’C’ = _____ = = _____ =
= _____ = A C
25 25
¿Cómo aprendo?
Mis observaciones: ___________________________________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
Utilizando la expresión matemática del teorema de Pitágoras y haciendo los despejes necesarios, completa la tabla siguiente:
Espacio para cálculos:
Medida del cateto A Medida del cateto B Medida de la hipotenusa 3 4
2 6
5 8 1 2
26 26 26
¿Qué he aprendido?
A) B) C)
D) E)
Elige la opción que conteste correctamente las siguientes cuestiones.
1. Abertura formada por dos semi-rectas con un mismo origen llamado vértice. A) Paralelas
B) Plano C) Ángulo D) Triángulo E) Perpendiculares
2. ¿Qué nombre recibe la unidad de medida que sirve para calcular la abertura de un ángulo? A) Centímetro
B) Grado C) Metro D) Milímetro E) Kilómetro
3. Otra unidad de medida que puede tener un ángulo es... A) el radian
B) la longitud C) el peso D) la masa E) el radio
4. ¿Cómo se escribe en notación matemática 25 grados 12 minutos y 6 segundos? A) 25° 6’ 12”
B) 25° 12’ 6” C) 25° 12.6” D) 25° 6.12” E) 25° 12’ 60”
5. ¿Cuál de las siguientes fi guras corresponde a un ángulo de 90°?
6. ¿Cuál de las siguientes fi guras representa el ángulo que mide 180°?
A) B) C)
27 27
¿Qué he aprendido?
7. El ángulo que es menor a 90° o a un cuarto de vuelta, se denomina... A) llano.
B) recto. C) agudo. D) obtuso. E) cóncavo.
8. ¿Cómo se llama el ángulo que mide 90°? A) Recto
B) Agudo C) Obtuso D) Cóncavo E) Llano
9. El ángulo que es mayor a 90°, pero menor a 180°, se conoce como: A) llano.
B) obtuso. C) recto. D) cóncavo. E) agudo.
10. Ángulo que mide 180°. A) agudo
B) recto C) obtuso D) cóncavo E) llano
11. Nombre que recibe el ángulo que es mayor a 180° pero menor a 360°. A) Obtuso
B) Cóncavo C) Llano D) Agudo E) Recto
12. Si el valor de< es de 35º, ¿cuál es el valor del ángulo >?
28 28 28
¿Qué he aprendido?
13. Si el valor de es de 125º, ¿cuál es el valor del ángulo ß?
A) 180° B) 150° C) 100° D) 55° E) 25°
14. Si el valor de es de 220º, ¿cuál es el valor del ángulo ß?
A) 50º B) 100º C) 140º D) 270° E) 360°
15. ¿Qué nombre recibe la fi gura geométrica determinada por tres rectas, que se cortan en tres puntos diferentes?
A) Cuadrado B) Triángulo C) Rectángulo D) Rombo E) Trapecio
16. ¿Qué nombre recibe el triángulo cuyos tres lados son desiguales? A) Equiángulo
B) Equilátero C) Acutángulo D) Isósceles E) Escaleno
17. ¿Qué nombre recibe el triángulo que tiene dos lados iguales? A) Isósceles
B) Acutángulo C) Equilátero D) Rectángulo E) Obtusángulo
18. Triángulo que tiene sus tres lados iguales. A) Escaleno
B) Equilátero C) Rectángulo D) Obtusángulo E) Isósceles
ß
29 29
¿Qué he aprendido?
19. Triángulo que tiene un ángulo recto. A) Equilátero
B) Acutángulo C) Escaleno D) Equiángulo E) Rectángulo
20. ¿Qué nombre recibe el triángulo que tiene tres ángulos agudos? A) Acutángulo
B) Isósceles C) Rectángulo D) Equiángulo E) Obtusángulo
21. Triángulo que tiene un ángulo obtuso. A) Rectángulo
B) Acutángulo C) Isósceles D) Escaleno E) Obtusángulo
22. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta AB que bisecta el ángulo A y llega hasta el lado opuesto de la recta”, se defi ne como...
23. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta que parte del vértice C y que es perpendicular al lado”, se defi ne como...
C
B
A
D A) mediana.
B) mediatriz. C) bisectriz. D) altura. E) media.
C
A
D B
30 30 30
¿Qué he aprendido?
24. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta que parte del vértice C hasta el punto medio del lado”, se defi ne como...
A) altura. B) bisectriz. C) mediatriz. D) mediana. E) media.
25. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta que parte del punto medio del lado en forma perpendicular” se defi ne como...
A) mediatriz. B) mediana. C) altura. D) bisectriz. E) media.
26. ¿Qué triángulos son congruentes de acuerdo al postulado l • a • l ?
A) II - IV B) I - III C) I - II D) III - IV E) I – IV
27. ¿Qué triángulos son congruentes de acuerdo al postulado a • l • a?
A) I - II B) II – I V C) II - III D) I - III E) I – IV
A B
C
D
A B
C
D E
(I) (II)
(III) (IV) 60°
60°
60° 60°
4
4
4 4
10
10
10 10
(I)
(II)
(III) (IV)
40° 85° 75° 35°
75° 35°
31 31
¿Qué he aprendido?
28. ¿Qué triángulos son congruentes de acuerdo al postulado l • l • l?
A) II - IV B) II - III C) I - III D) I - IV E) I – II
29. Apoyándote en el concepto de semejanza de triángulos, encuentra el valor de las incóg-nitas “x” y “y”.
A) x = 28.8 y = 23.5 B) x = 45 y = 14.4 C) x = 28.8 y = 40 D) x = 20 y = 27 E) x = 27 y = 20
30. Apoyándote en el concepto de semejanza de triángulos, encuentra el valor de las incóg-nitas.
A) x = 6 y = 2 B) x = 2 y = 128 C) x = 48 y = 2 D) x = 128 y = 2 E) x = 2 y = 48
(I) (II) (III) (IV)
4 3
5
5 4
3
2 3
4
6
4
8
A B
C 18
X 24 30
R
y Q
P
36
16
C
B 6
A
C
P Q
R 16 y
32 32 32
Quiero saber más
El triángulo de Penrose y el trabajo artístico de M. C. Escher
¿Te gustan las ilusiones ópticas? Observa atentamente la fi gura que se cono-ce como triángulo de Penrose ¿Qué observas? ¿Cómo podrías describirlo? ¿Es posible construirlo realmente?
33 33
Quiero saber más
Penrose defi ne al tribar como una fi gura triangular en tres dimensiones imposible porque su existencia está basada en uniones de sus lados formadas por elementos corrientes pero incorrectos. Aunque cada uno de los ángulos que forman este trián-gulo parece correcto, los tres son rectos y suman 270º. Escher marca el absurdo de la imagen mediante una corriente de agua que sube hasta una cascada desde la cual cae en un perpetuum mobile (movimiento perpetuo).
2 Les parapluies de Verone 1 Bats and Angels
3 Lobachevskian space
1
34 34
¿Qué voy a aprender?
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UNIDAD
2
POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA
Objetivo de la unidad: El estudiante resolverá proble-mas relacionados con polígonos y circunferencia, de tipo teórico o prácticos en distintos ámbitos, mediante la aplicación y el análisis de teoremas, recta, triángulos y ángulos, en un ambiente escolar que favorezca el de-sarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.
¿Alguna vez te has preguntado qué conocimientos requieren los arquitectos, ingenieros ci-viles, carpinteros e ingenieros mecánicos para diseñar y construir casas, puentes, carreteras, muebles o automóviles? En esta unidad conocerás los elementos básicos que ellos utilizan en el diseño de maquinaria, interiores de casas-habitación, equipo, herramienta y para la construcción de muebles, edifi cios, puentes y jardines. Asimismo, si es de tu agrado el arte de pintar, con el estudio de los temas de esta unidad tendrás las bases para plasmar con mayor facilidad todas las ideas que vengan a tu imaginación.
¿Sabías que existen mediciones que al hombre le resultan imposibles hacer de manera di-recta como el caso de determinar las distancias astronómicas? ¿Cómo pueden, entonces, los astrónomos determinar tales distancias? ¿En qué se basan? ¿Cuáles conocimientos aplican? Sorprendentemente, te darás cuenta de que los cálculos astronómicos tienen su fundamento en los temas que aborda la presente Unidad.
En el primer tema de la unidad distinguirás entre polígonos y poligonales, entre polígonos regulares e irregulares; clasifi carás a los polígonos regulares de acuerdo a su número de lados. De ellos conocerás, además, sus elementos básicos: el radio, el apotema y las diago-nales que pueden ser trazadas desde cualquiera de sus vértices. Estudiarás, más adelante, la forma de determinar los ángulos interiores y exteriores de cualquier polígono, tema que se verá reforzado al revisar la triangulación de polígonos. Para fi nalizar estudiarás los métodos que se utilizan para calcular correctamente perímetros y áreas de polígonos.
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¿Qué voy a aprender?
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encuentra escondido en los misterios de la ciencia.
Es necesario que trabajes en equipo en la realización de las actividades e investiga-ciones que se te sugieren para que se compartan cada una de las experiencias y se enriquezca la experiencia en el aula, propiciando que tanto tú como tus compañeros expresen sus opiniones tal como las perciben.
Para obtener aprendizajes sólidos al estudiar los temas de esta unidad te sugerimos volver a repasar la clasifi cación de los ángulos, especialmente la que corresponde a los ángulos complementarios y suplementarios ya que te serán de gran utilidad para resolver problemas relacionados con la suma de ángulos interiores y exteriores en los polígonos. Otro contenido relevante para abordar los temas de esta Unidad es el teorema de Pitágoras, por lo que se sugiere que lo vuelvas a practicar. Emplea tu ima-ginación y creatividad para que desarrolles tus talentos y logres ver esta unidad como aquella que te permitirá darle una aplicación en tu entorno, haciendo cuanto puedas a través del uso de tu juego de geometría en el trazo de polígonos y circunferencias.
El problema al que te puedes enfrentar es el no saber distinguir el vértice dados tres puntos en los polígonos y la circunferencia. También deberás saber sustituir y despejar para que evites cometer algún error de operación.
Una de las maneras que te permiten comprobar tus resultados en la geometría plana, es el de hacer los trazos y dibujar cada una de las fi guras haciendo uso de tu transpor-tador, escuadras y compás, esto te permitirá ubicar los datos e imaginar previamente la posible solución comprobando así los cálculos que realizarás.
Bibliografía
Como ya se señaló en la presentación del Cuadernillo, no se exige un texto en particu-lar para el desarrollo de las actividades de aprendizaje, sin embargo los que citaremos a continuación te pueden ser de mucha utilidad por su actualidad y apego al Programa de estudios.
• García, Miguel y Manuel Rodríguez. Matemáticas 2, Bachillerato. México. ST Editorial. 2005
• Ruiz Basto, Joaquín. Matemáticas II, Bachillerato General. México. Publicaciones Cultural, 2005
• Ortiz Campos, Francisco. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría. México. Publicaciones Cultural, 2005
36 36
¿Qué voy a aprender?
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Artículos de la Enciclopedia Encarta
Si cuentas con este software en tu centro de servicios, consulta los siguientes artículos que te servirán para profundizar en los temas de la Unidad:
polígono poliedro prisma
circunferencia círculo
navegación círculo máximo radián
sistema de coordenadas astronómicas Stonehenge
Grado (matemáticas)
Sitios web recomendados
http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm Un sitio muy interesante donde encon-trarás información de los polígonos, cuerpos con volumen, biografías y fi chas de tra-bajo.
http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm que contiene un tutorial de Geometría plana elemental.
http://platea.pntic.mec.es/%7eablanco/gi/index.htm es un sitio en el que puedes inte-ractuar manipulando las fi guras y observando cómo se ubican los diferentes elementos, rectas notables de triángulos construcción, etc. Te lo recomendamos ampliamente.
http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-triangulos.htm Formularios, ta-blas y constantes matemáticas.
Programas de televisión educativa
Programa 1.- Área, volumen y unidades de medición
Este programa te ayudará a entender algunos de los conceptos básicos y aplicaciones de la Geometría y del Sistema Métrico Decimal.
Programa 2.- Longitud y generación de curvas
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¿Qué voy a aprender?
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tipos básicos de curvas, a conocer los métodos de medición de curvas y sus aplicaciones así como el surgimiento de la geometría fractal.
Programa 3.- Medición del área de una curva
Este programa te ayudará a identifi car las diferencias del área plana y el área espacial; te ayudará a comprender la importancia de utilizar el geoplano en la medición de áreas y algunas aplicaciones de la medición de áreas.
Programa 4.- Curva y circunferencia
En este programa se te proporcionarán elementos para conocer las propiedades del círculo y de la circunferencia, las maneras de calcular el área de un círculo y la longitud de una circunferencia, así como algunas aplicaciones prácticas de estos conocimientos.
Programa 5.- Cálculo de áreas y volúmenes
Al observar este programa podrás conocer más de cerca los procedimientos matemáticos del cál-culo de áreas y volúmenes, el fundamento matemático del teorema de Arquímedes y de las apor-taciones del matemático Cavalieri.
Programa 6.- Construcción y uso de poliedros.
Con la observación del programa de televisión educativa “Construcción y uso de poliedros” pro-fundizarás en los conocimientos de la geometría del espacio y en el uso de los poliedros en la vida cotidiana.
Programa 7.- La recta.
38 38 38
¿Cómo aprendo?
2.1 POLÍGONOS
Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos de polígonos que involucren los diferentes tipos de polígonos, así como el cálculo de sus ángulos, áreas y perímetros.
2.1.1 Defi nición
1.- Observa cada una de las fi guras con atención, fíjate en aquellas caracterís-ticas en las que coinciden y trata de asociarlas con el concepto que las agrupa (poligonal o polígonos). Partiendo de tus observaciones escribe una defi nición con tus propias palabras. Posteriormente investiga en la bibliografía que tengas a tu alcance y discute en grupo tus conclusiones en un ambiente cooperativo para llegar a una defi nición común.
¿Qué es una poligonal? _______________________________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
¿Qué es un polígono? ________________________________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Poligonal
39 39
¿Cómo aprendo?
n Nombre REGULAR IREGULAR
3 TRIÁNGULO
4 CUADRILATERO
5 PENTÁGONO
6 HEXÁGONO
7 HEPTÁGONO
8 OCTÁGONO
9 ENÉAGONO
10 DECÁGONO
11 ENDECÁCONO
12 DODECÁGONO
2.1.2 Clasifi cación de los polígonos
1.- Lee con atención la información siguiente:
2.- Partiendo de la información que acabas de revisar, escribe con tus palabras qué es un:
a) POLIGONO REGULAR: ____________________________________________ ___________________________________________________________________
40 40 40
¿Cómo aprendo?
b) POLIGONO IRREGULAR ___________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
3.- Comenta con tu Asesor y tus compañeros tus descripciones y traten de llegar a una idea común.
4.- Revisa con atención la información siguiente:
Los polígonos se clasifi can según sus ángulos en:
a) Cóncavos
b) Convexos
5.- Responde:
¿Cuál es el criterio para clasifi car a un polígono como cóncavo o convexo? ___________________________________________________________________ ____________
___________________________________________________________________ ____________
___________________________________________________________________ ____________
6.- Lee con atención:
41 41
¿Cómo aprendo?
b) Equiláteros. Aquellos en los que todos sus lados son iguales, sean regulares o irregulares, por ejemplo:
Elementos de los polígonos
7.- Investiga a qué se le llama radio y a qué se le llama apotema de un polígono. Anota las defi niciones que encontraste:
Radio:
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Apotema:
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
8.- Para cada uno de los siguientes polígonos dibuja tanto el radio como la apo-tema. Marca con rojo la apotema y con azul el radio.
9.- Para cada uno de los polígonos que te presentamos:
42 42 42
¿Cómo aprendo?
11.- Concentra tus resultados en la tabla siguiente
b) Aplicando la fórmula correspondiente, calcula el total de diagonales y para el resultado numérico con lo que obtuviste en el inciso (a). (Recuerda que en la fórmula n signifi ca el número de lados que tiene el polígono)
Cálculo del total de diagonales (n-3)
Pentágono Hexágono Octágono
2.1.3 Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono
10.- Utilizando escuadras y transportador, marca y mide los ángulos interiores y exteriores de cada polígono.
Pentágono
Hexágono
Octágono
Suma de los ángulos exteriores Suma de los
ángulos interiores
Medida del ángulo exterior Medida del
43 43
¿Cómo aprendo?
12.- Ahora aplica las fórmulas correspondientes y calcula la suma de los ángu-los interiores y la suma de ángu-los ánguángu-los exteriores para cada polígono. Compara estos resultados con los que obtuviste en la actividad anterior y comenta con tu Asesor y tus compañeros tus observaciones acerca de las coincidencias y las diferencias.
Mis comentarios:
2.1.4 Triangulación de polígonos
1.- Investiga en libros y describe con tus palabras en qué consiste la triangula-ción de polígonos y cuál es su utilidad.
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
2.- En los siguientes polígonos traza la triangulación y determina la suma de los ángulos interiores.
Polígono
Pentágono
Hexágono
Octágono
Suma de los ángulos
exteriores Medida del
ángulo exterior Suma de los
ángulos interiores Medida del
ángulo interior
S = (n – 2)180° S = n • e (n - 2) 180°
n
360°
n
44 44 44
¿Cómo aprendo?
Polígono Fórmula para calcular el área Ejemplo
Triángulo
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Cualquier polígono regular
3.- ¿Coincide la suma de los ángulos interiores con lo que calculaste anterior-mente? Anota tus comentarios al respecto y compártelos con tus compañeros y tu Asesor.
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
2.1.5 Cálculo de perímetros y áreas de polígonos.
Investiga en los libros a tu alcance y desarrolla lo que se pide:
1. En términos generales ¿Cómo se determina el perímetro de un polígono?
2. ¿Qué datos son necesarios para calcular el área de un polígono? ¿Qué fórmu-las se aplican?
45 45
¿Cómo aprendo?
2.2 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos y prácticos de la circunferencia y círculo aplicando las propiedades y teorías de los ángulos en la circunferencia, mediante la obtención de perímetro y áreas del círculo y la circunferencia.
2.2.1 Defi nición y elementos de la circunferencia y del círculo
1. Observa atentamente el diagrama que se presenta a continuación y escribe los nombres de cada uno de los elementos de la circunferencia. Si desconoces alguno investiga en libros o en la Enciclopedia Encarta. Comparte tus respuestas con tus compañeros y con tu Asesor.
MN : _______________ PQ : _______________ ST: ____________________
UW: _______________ OR: _______________ O:_____________________
2. Refuerza lo que acabas de aprender resolviendo el crucigrama que te propo-nemos a continuación:
M N
R
P
S T
U V W
O Q
1 3
4 5
6
7
46 46 46
¿Cómo aprendo?
Horizontales
1. Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
6. Cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasan-do por el centro.
7. Recta que toca un solo punto de la circunferencia.
Verticales
2. Punto interior del que equidistan todos los puntos de la curva
3. Todo segmento que une un punto cualquiera de la circunferencia con el centro.
4. Segmento de recta que une dos puntos no consecutivos de la circunferencia. 5. Recta que corta en dos puntos a la circunferencia.
2.2.2 Rectas tangentes a un círculo
¿Cuántos puntos del círculo toca una recta tangente?
1.- En los siguientes círculos dibuja una, dos y tres rectas tangentes, respectiva-mente:
2.2.3 Ángulos en un círculo
1.- Investiga sobre el tema de ángulos en un círculo y completa el cuadro siguiente:
Ángulo Diagrama de ejemplo Fórmula para calcular su medida
Central
Inscrito
47 47
¿Cómo aprendo?
2.- Revisa las siguientes fi guras donde se muestran algunos ángulos con sus fórmulas. Colorea con rojo los arcos y con azul los ángulos correspondientes.
2.2.4 Perímetros y áreas
1.- Investiga el signifi cado de los términos siguientes y utilizando tus palabras describe cada uno de ellos en tu cuaderno de notas o en el espacio que hemos destinado en esta página. Te sugerimos dibujar los diagramas que consideres necesarios para complementar la información.
• Circunferencia
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
• Círculo
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
• Pi (π)
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
• Diámetro
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
<B =<C =90°
A B
C B A
C D
A B O
<AOB=AB <ABC=AC
2 <O=
AC+BD 2
C
D A B O
<O=CD - AB 2
A B C
48 48 48
¿Cómo aprendo?
• Radio
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ • Área del círculo
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
• Perímetro de la circunferencia
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
• Anota a continuación las fórmulas para calcular el perímetro y el área de un círculo. Asimismo, copia algún ejemplo de cómo se aplica cada fórmula colo-cando el dibujo o diagrama que ilustre la solución.
Perímetro de un círculo
Fórmula Ejemplo resuelto con diagrama
Área de un círculo
49 49
¿Qué he aprendido?
Instrucción: Relaciona lo que se pide y elige la opción correcta.
1. Relaciona las fi guras con los números romanos.
I. Polígonos
II. No - polígonos
A) I a b c d - II e f g h B) I a c e f - II b d g h C) I a c f h - II b d e g D) I b d g h - II a c e f E) I b d f h - II a c e g
2. Los polígonos ________ son los que tienen ángulos y lados iguales y los ______________ son los de lados y ángulos desiguales.
A) irregulares... regulares B) regulares ... irregulares C) cerrados ... abiertos D) abiertos ... cerrados E) irregulares ... cerrados
3. Relaciona la columna de la izquierda con los polígonos de la derecha.
a) Pentágono. b) Trapecio. c) Rombo. d) Hexágono. e) Rectángulo. f) Octágono. g) Trapezoide. h) Cuadrado. I. Regulares
II. Irregulares
50 50 50
¿Qué he aprendido?
4. Relaciona las fi guras con su nombre:
a b c
I. Pemtágono II. Heptágono III. Hexágono IV. Octágono V. Cuadrilátero
5. Indica el valor del ángulo interior y exterior de un triángulo regular.
A) 120° y 60° B) 135° y 45° C) 30° y 150° D) 45° y 135° E) 60° y 120° a b c d
e f g h
6. Indica el valor del ángulo interior y exterior de un octágono regular.
A) 108° y 72° B) 120° y 60° C) 135° y 45° D) 45° y 135° E) 72° y 108°
7. Observa los siguientes polígonos y suma sus ángulos internos. Relaciona tu respues-ta con las cifras que aparecen con números romanos.
I. 1080° II. 900° III. 720° IV. 540° V. 360° VI. 180°
e
i
a b c
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¿Qué he aprendido?
8. Observa las siguientes fi guras geométricas e indica en cuáles se puede trazar sólo una diago-nal partiendo de un único vértice.
9. Indica el número de diagonales que se pueden trazar y de triángulos que se pueden formar en un heptágono regular, partiendo de un mismo vértice.
A) 5 y 4 B) 5 y 6 C) 4 y 5 D) 3 y 4 E) 4 y 4
10. Observa las siguientes fi guras geométricas y de acuerdo al orden en que aparecen, indica el número de triángulos que se forman al trazar sus diagonales desde un vértice.
A) 3, 5, 4, 2, 2 B) 3, 4, 5, 2, 1 C) 3, 6, 4, 2, 2 D) 3, 4, 7, 2, 1 E) 3, 4, 6, 2, 0
11. Curva cerrada y plana donde todos sus puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.
A) Círculo B) Radio
C) Circunferencia D) Cuerda E) Secante
a b c d e f g h
52 52 52
¿Qué he aprendido?
12. A la superfi cie plana limitada por la circunferencia se le llama... A) radio.
B) círculo. C) cuerda. D) secante. E) tangente.
13. Es el segmento de recta que va del centro a un punto de la circunferencia. A) Diámetro
B) Cuerda C) Tangente D) Círculo E) Radio
14. Es el segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia pasando por el centro del círculo.
A) Radio B) Cuerda C) Secante D) Diámetro E) Tangente
15. Es el segmento de recta que NO intersecta el centro y cuyos extremos son puntos de la circunferencia.
A) Cuerda B) Secante C) Tangente D) Radio E) Diámetro
16. Recta que corta en dos cualesquiera de sus puntos a la circunferencia. A) Tangente
B) Radio C) Cuerda D) Secante E) Diámetro
17. Recta que toca a la circunferencia en un solo punto. A) Radio
53 53
¿Qué he aprendido?
18. Segmento de curva marcado o delimitado por dos puntos de la circunferencia. A) Arco
B) Radio C) Diámetro D) Secante E) Tangente
19. Ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios. A) semi-inscrito
B) exterior C) interior D) inscrito E) central
20. Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y todos sus lados son secantes. A) exterior
B) inscrito C) interior D) adyacente E) ex-inscrito
21. Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia en donde uno de sus lados es una tangente y el otro una secante.
A) central B) interior C) ex-inscrito D) semi-inscrito E) exterior
22. El ángulo adyacente a un ángulo inscrito se conoce como... A) interior.
B) semi-inscrito. C) ex-inscrito. D) central. E) exterior.
23. Ángulo cuyo vértice es un punto que está dentro de la circunferencia. A) interior
54 54 54
¿Qué he aprendido?
24. ¿Cuál es el valor del ángulo central AOB, si el arco vale 120°? A) 30°
B) 60° C) 110° D) 120° E) 240°
25. ¿Cuál es el valor del ángulo inscrito ABC, si el arco vale 110°. A) 250°
B) 110° C) 90° D) 55° E) 20°
26. ¿Cuál es el valor del ángulo semi-inscrito ABC, si el arco vale 60°? A) 15°
B) 30° C) 60° D) 120° E) 300°
27. ¿Cuál es el valor del ángulo exterior BCD, si el arco vale 40° y el arco vale 110°? A) 75°
B) 55° C) 40° D) 35° E) 20°
28. ¿Cuál es el valor del ángulo interno DBC, si el arco vale 30° y el arco vale 120°? A) 75°
B) 60° C) 45° D) 30° E) 15°
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Quiero saber más
30. Calcula el valor del arco , si el ángulo BAE vale 80° y el arco tiene un valor de 10°. A) 10°
B) 80° C) 85° D) 150° E) 170°
31. Calcula el valor del arco si el segmento de recta es paralela a , el arco vale 15° y el ángulo EDF vale 25°.
A) 65° B) 35° C) 20° D) 15° E) 5°
Instrucción: Desarrolla lo que se pide.
32. Determina para cada uno de los casos siguientes la medida de cada ángulo interior:
A) Pentágono B) Hexágono C) Octágono
33. Determina el número total de diagonales que se pueden trazar en los siguientes polígonos partiendo de un solo vértice:
A) Decágono B) Hexágono C) Heptágono
34. Determina el número de lados que tiene un polígono regular o irregular cuyos ángulos inte-riores suman:
A) 6840º B) 4140º C) 1980º
B
A
E C
D
E
B
F D
56 56 56
¿Qué he aprendido?
35. Calcular el perímetro de los siguientes polígonos de acuerdo a los datos mostrados:
A) Hexágono de 22 cm de lado y 19 cm de apotema.
B) Cuadrado inscrito en una circunferencia de 6cm de radio.
C) Trapecio de 40 y 80 cm de base, respectivamente y una altura de 10 cm.
36. El Sr. Juan desea colocar mosaico para el piso de su baño, si cada mosaico mide 25cm x 25cm,
37. En la fi gura, asocie un término del lado izquierdo con los nombres del lado derecho:
a. Radio
b. Angulo central c. Semicírculo d. Arco menor e. Arco mayor f. Cuerda g. Diámetro h. Secante i. Tangente
j. Poligono inscrito k. Poligono circunscrito l. Circulo inscrito m. Circulo circunscrito n. Angulo semi-inscrito p. Angulo Exterior q. Angulo inscrito
1. FH 2. EF
3. circulo O en ABCD 4. Cuadrilatero EFGH 5. < GCH
6. FEG arc 7. OE 8. < EOF 9. IJ 10. arc EF 11. BC 12. < FGH 13. arc FGH
14. cuadrilatero ABCD
15. Circulo O alrededor de EFGH 16. < FEA
7m
Sala-comedor Baño Dormitorio
4m
8m
5m 5m
1m
F B
I
E G
O A
J C H
57 57
¿Qué he aprendido?
38. De la siguiente fi gura geométrica se sabe que el área ABCD es de 64 cm2, calcula el perímetro de la fi gura geométrica ABCD así como el área de las partes sombreadas.
A) 8 cm y 24 cm2
B) 16 cm y 24 cm2
C) 16 cm y 32 cm2
D) 32 cm y 24 cm2
E) 32 cm y 32 cm2
39. Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 2 cm y su apotema 1.73 cm.
A) P = 8 cm A = 6.92 cm2
B) P = 12 cm A = 20.76 cm2
C) P = 8 cm A = 20.76 cm2
D) P =12 cm A = 10.38 cm2
E) P = 8 cm A = 10.38 cm2
40. A continuación aparece una moneda antigua de diez pesos, calcula el área de la corona circular donde se lee $10, Diez Pesos, 1998.
A) .45 cm2
B) 1.01 cm2
C) 1.41 cm2
D) 2.90 cm2
E) 3.18 cm2
A B
C D
3 cm 3 cm
3 cm x
x
1.8 cm
2.7 cm
$10 1998
1=2 cm
58 58 58
Quiero saber más
Según consta por documentos históricos, existieron al-gunos pensadores griegos que destacaron en diversas ramas del saber. Entre los matemáticos más distinguidos se cuenta a Herón de Alejandría a quien se le debe, entre otras cosas, la invención de la máquina de vapor y de una fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de su perímetro. En la nota siguiente te mostramos algunos datos de su biografía.
Herón de Alejandría (s. I ó II d.C.) es considerado el inventor de la máquina de vapor. A partir del siglo XVIII muchas máquinas empezaron a funcionar gracias a la energía que se obtiene del vapor de agua, sin embargo, diecisiete siglos antes, Herón de Alejandría ya había utilizado las posibilidades energéticas del vapor. Su “máquina de vapor” era una esfera hueca a la que se adaptaban dos tubos curvos. Cuando hervía el agua en el interior de la esfera, ésta giraba a gran velocidad como resultado de la ley de acción y reacción, que no fue formulada como tal hasta muchos siglos más tarde. A pesar de la trascendencia del invento, durante siglos a nadie se le ocurrió darle más utilidad que la construcción de unos cuantos juguetes.
Por otra parte, en su tratado denominado Métrica demostró la fórmula que lleva su nombre:
Área del triángulo = s (s - a) (s - b) (s - c)
Donde: a,b,c son las medidas de los lados del triángulo, s es el semiperimetro s=(a+b+c)/2
La fórmula, que constituye el principal mérito matemático de Herón, es fácil de demostrar con ayuda de trigonometría.
En nuestros días, la fama de Herón se debe, sobre todo, a sus deliciosos tratados sobre autómatas griegos y juguetes hidráulicos, como la paradójica «fuente de Herón» donde un chorro de agua parece desafi ar la ley de la gravedad, pues brota más alta que su venero.
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¿Qué voy a aprender?
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UNIDAD
3
LAS FUNCIONES
TRIGONOMÈTRICAS
Objetivo de la unidad : Resolverás problemas de fun-ciones trigonométricas teóricos o prácticos de distintos ámbitos, mediante la aplicación y el análisis crítico y reflexivo de sus propiedades, que permita la resolución de triángulos rectángulos, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.
En la primera Unidad tuviste oportunidad de familiarizarte con los triángulos y sus características. Partiendo de tales conocimientos podrás abordar con mayor facilidad los temas que se presentarán en esta Unidad que se intitula “Las Funciones Trigono-métricas”. En ella aprenderás a resolver con el auxilio de la trigonometría, problemas que se presentan en una diversidad de aplicaciones de la vida cotidiana o del trabajo especializado, como es el caso de los ingenieros de la construcción al diseñar es-tructuras, los topógrafos cuando efectúan el trazo de carreteras en terrenos difíciles de transitar y para calcular distancias entre objetos de manera indirecta, es decir, sin necesidad de medir en el lugar con algún instrumento sino a través de un calculo matemático. También es útil para el diseño de estructuras que van desde un puente hasta el diseño de automóviles.
Los temas a tratar en esta tercera unidad son dos:
• Funciones trigonométricas para ángulos agudos y
• Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud.
En el primer tema aprenderás a realizar conversiones de ángulos expresados en gra-dos sexagesimales a radianes y viceversa; posteriormente estudiarás las razones trigo-nométricas como una propiedad de los triángulos rectángulos; conocido lo anterior, mediante cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, podrás obte-ner las funciones recíprocas y por medio de la geometría, y el teorema de Pitágoras, calcularas los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º, 45º y 60º, lo cual te ayudará a resolver problemas de triángulos rectángulos. Este tipo de problemas tienen la fi nalidad de que aprendas a calcular distancias o longitudes de ríos, cables, etc., y alturas de edifi cios, árboles, personas, etc. con el auxilio de cálcu-los matemáticos y sin necesidad de mediciones de campo.
