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A E N S E Ñ A N Z A Y A P R E N D I Z A J E D E LÁ
L G E B R AL
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A C U L T A D D EI
N G E N I E R Í A,
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V i v i a n a An g é l i c a C O S T A1 M a r í a C r i s t i n a V AC C H I N O2
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2
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D e p a r t a m e n t o d e C i e n c i a s B á s i c a s .F a c u l t a d d e I n g e n i e r í a . U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e L a P l a t a . 1 y 4 7 , L a P l a t a 1 9 0 0 . B u e n o s A i r e s . A r g e n t i n a .
Ár ea t e má ti ca : Innovación en la enseñanza de las Ciencias Básicas en Ingeniería.
Pa l a b ra s cl a v es : Álgebra Lineal, enseñanza, aprendizaje, mejoramiento de la enseñanza,
Área Básica, plan de estudios.
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E S U M E NL
A E N S E Ñ A N Z A Y A P R E N D I Z A J E D EÁ
L G E B R AL
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Ár ea t e má ti ca : Innovación en la enseñanza de las Ciencias Básicas en Ingeniería.
Pa l a b ra s cl a v es : Álgebra Lineal, enseñanza, aprendizaje, mejoramiento de la enseñanza,
Área Básica, Plan de estudios.
R
E S U M E NLos nuevos planes de estudio, implementados a partir del año 2003, han favorecido a aumentar la aprobación, disminuir la repitencia y la deserción en los primeros años de las distintas carreras que se dictan en la Facultad. En este trabajo se describe esencialmente el enfoque con que se enseñan actualmente los contenidos de la asignatura Matemática C (Álgebra Lineal). Se realizan comparaciones cualitativas del proceso de enseñanza y aprendizaje del Álgebra Lineal y un análisis cuantitativo de los porcentajes de aprobados, antes y después del cambio de plan que muestran el mejoramiento obtenido en el desempeño académico de los alumnos. Se proponen mejoras para la asignatura Matemática C, acciones de futuros seguimientos para la misma y un reconocimiento de las virtudes del nuevo plan.
INTRODUCCIÓN
La enseñanza del álgebra lineal reviste ciertas características muy especiales. La enseñanza de objetos como espacios vectoriales, transformaciones lineales, valores y vectores propios, etc. parte de una definición formal, sin que en la mayoría de las veces medie una motivación previa similar a lo que ocurre por ejemplo, en el cálculo. En el cálculo, es frecuente motivar la enseñanza de los conceptos a partir de otros conocimientos físicos o geométricos presentados previamente, pero en el álgebra lineal, la mayor parte de los conceptos se presentan como definiciones formales de objetos cuya existencia no tiene (en la mayoría de los casos) conexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos que motiven la definición presentada.
En el año 1990, dada la problemática que se presentaba del aprendizaje de Álgebra Lineal, se forma el Linear Algebra Curriculum Study Group (LACSG), conformado por: David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay y A. Duane Porter, para mejorar el currículo de Álgebra Lineal. Son ellos quienes recomiendan apartarse de la abstracción y acercarse a un curso más concreto, basado en matrices [2].
Recientemente varios grupos de investigadores están trabajando sobre la didáctica del Algebra Lineal. Entre ellos un grupo francés integrado por Jean Luc Dorier, Aline Robert, Jacqueline Robinet, Marc Rogalski, Michele Artigue, Marlene Alves Dias, Ghislaine Chartier, un grupo canadiense con Anna Sierpinska y Joel Hillel, y en EEUU Guershon Harel, Ed Dubinsky.
En algunas investigaciones en torno a los problemas en el aprendizaje del álgebra lineal se reporta que entre los orígenes de esas dificultades están los diversos lenguajes que se usan para hablar de conceptos como espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices, etc. [4]. El uso de estos lenguajes sin articulación son, muchas veces el origen de algunas de las dificultades para el aprendizaje de los conceptos del álgebra lineal [5]. Entre esos lenguajes están el lenguaje abstracto, el lenguaje algebraico de Rn y el lenguaje geométrico de R2 y R3 [4]. Cada uno de estos tipos de lenguaje desarrolla, en forma correspondiente los tipos de pensamiento necesarios para que un estudiante pueda entender la materia.
En particular, en la Facultad de Ingeniería de la UNLP, en el año 2002 un grupo de profesores, preocupados por lograr un mejoramiento en la enseñanza de la matemática, que se viera reflejada en un mejor rendimiento de los alumnos, comienzan a analizar las dificultades de los alumnos en el proceso de aprendizaje de la Matemática Básica y en particular del Álgebra Lineal. Observaron que a pesar de comenzar el curso de Álgebra con temas como lógica proposicional, tablas de verdad y teoría de conjuntos, el excesivo formalismo, la falta de madurez de los estudiantes y la imposibilidad de usar la intuición geométrica hacían dificultoso el aprendizaje del Álgebra Lineal. El grupo de profesores entiende que es necesario pensar en un cambio. Finalmente a fines del año 2002 se modifican los planes de estudio con el objetivo de integrar las asignaturas de matemática con el resto de las áreas y materias, mejorar el rendimiento de los estudiantes en dichas asignaturas y disminuir la dificultad de los estudiantes en recuperar los conceptos matemáticos en otros contextos. El esquema diseñado se basó en la organización de los contenidos alrededor de ejes conceptuales comunes, en un cambio metodológico y en la redistribución de los recursos existentes a fin de mejorar la calidad de la enseñanza impartida [1]. Se definió así, un trayecto básico de matemática integrado por tres materias consecutivas, dos de Cálculo y la tercera que incluye los contenidos básicos de Álgebra Lineal.
Esta nueva estructura nos lleva a hacer un análisis y seguimiento de las nuevas asignaturas. Utilizamos diferentes medios para hacerlo, entre ellos: encuesta a los alumnos, entrevistas a docentes, análisis de las guías impresas teórico-prácticas, análisis de los contenidos y de la bibliografía utilizada y de los resultados cuantitativos (número de alumnos promocionados, recursantes y número de alumnos que sólo aprobaron trabajos prácticos), etc.
el nuevo plan de estudios son comparados con los datos obtenidos antes del cambio de plan. Esto sirve de base para la elaboración de hipótesis acerca de como se enseña ahora el Álgebra Lineal en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de La Plata, y proponer propuestas de mejoramiento y de seguimiento de la materia.
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE ALGEBRA LINEAL EN LA FACULTAD DE INGENIERÍA - UNLP
Como se enseñaba Álgebra Lineal antes del cambio de plan de estudios
Se hace un análisis de la forma de enseñar el Álgebra antes del cambio de plan de estudios, examinando los temas que se dictaban, en qué contexto se lo hacía, cómo era el rendimiento académico de los alumnos y como estaba organizada la currícula en general (Tabla 1).
Sintéticamente los contenidos de la asignatura Álgebra del plan de estudios de 1988 son: Lógica proposicional - Números complejos – Polinomios - Matrices, sistemas de ecuaciones lineales, matriz inversa, determinantes, rango - Espacios vectoriales - Transformaciones lineales - Autovalores y autovectores de una transformación lineal.
La materia Álgebra, se dictaba en el primer semestre de todas las carreras de Ingeniería en paralelo con Geometría Analítica y Análisis Matemático I. El aprendizaje y rendimiento académico de los alumnos en Álgebra con este plan de estudios no era muy bueno. Algunos alumnos desertaban, otros recursaban la materia varias veces hasta alcanzar su aprobación y los candidatos a aprobar no alcanzaban a completar el programa. Es muy probable que el bajo rendimiento de los alumnos se debía a la ubicación de la materia en el plan de estudio, y que la mayor parte de los conceptos se presentaban como definiciones formales de objetos sin conexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos que motivaran los temas y sumado a que los alumnos que ingresan a la universidad no cuentan con los conocimientos previos para alcanzar el nivel de abstracción que se requiere para el aprendizaje del álgebra lineal. El alumno al cursar en el mismo semestre las asignaturas de Álgebra, Geometría Analítica y Análisis Matemático I, no lograba entender las distintas representaciones (algebraica, abstracta y geométrica) de un mismo objeto, generando esto un problema de aprendizaje. En general los estudiantes no tenían dificultad en resolver sistemas de ecuaciones lineales y en trabajar con las operaciones entre matrices, pero los conceptos de espacios vectoriales, transformaciones lineales e independencia lineal les resultaban muy confusos. No lograban una comprensión conceptual de estos temas y les resultaba imposible aplicarlos a otros contextos. Hay otros factores que seguramente influyeron en el bajo rendimiento de los estudiantes, como las clases numerosas de más de un centenar de alumnos y la metodología de la enseñanza que se aplicaba: clases magistrales dadas por un profesor seguidas de clases prácticas con docentes auxiliares a cargo, donde el alumno trabajaba en forma individual consultando los ejercicios prácticos.
Como se enseña ahora Álgebra Lineal
La Asignatura Matemática C, es del tercer semestre de todas las carreras de Ingeniería. Sintéticamente sus contenidos son: Series numéricas y de funciones - Matrices, sistemas de ecuaciones lineales, matriz inversa, determinante, rango - Espacios vectoriales, bases, dimensión - Transformaciones lineales - Autovalores y autovectores de una transformación lineal - Diagonalización de matrices - Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y sistemas de ecuaciones diferenciales - Álgebra Lineal Numérica: Teoría de errores. Aproximación de raíces de ecuaciones no lineales. Matrices y operaciones relacionadas sobre un computador. Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Jacobi y Gauss-Seidel.
Plan 1988 Plan 2002
Semestre Área matemática Trayecto Matemático Contenidos
1 Algebra Matemática A Diferenciación en una y varias variables.
Análisis Matemático I Geometría Analítica
2 Análisis Matemático II Matemática B
Integración en una y varias variables. Ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden.
3 Análisis Matemático III Matemática C
Series numéricas y funcionales, álgebra lineal, sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Tabla 1: Comparación de los trayectos de Matemática en ambos planes de estudio
Se produjeron los siguientes cambios en la enseñanza de Álgebra, a saber:
• La asignatura Matemática C es del tercer semestre (2do. Año) y se dicta después de dos cursos intensivos de Cálculo en una y varias variables: Esto hace que los alumnos ya posean una metodología de trabajo y sean capaces de relacionar y conectar con conocimientos previos.
• La materia contempla lo analítico y lo numérico como un todo.
• Se incorporaron a la asignatura más temas y aplicaciones.
• Se utiliza como bibliografía los libros de “Álgebra Lineal” de autores como Stanley I. Grossman, David Poole, David C Lay; que siguen las recomendaciones dadas por el grupo Linear Algebra Curriculum Study Group.
• Se utilizan herramientas tecnológicas, como ser la utilización de software matemático, para mejorar la comprensión y visualización de algunos conceptos.
• Se enfatiza en las relaciones que hay entre los conceptos de la misma asignatura como también de asignaturas anteriores.
• La transición hacia la abstracción es suave. Se comienza estudiando R2 y R3 tratando de recuperar conceptos vistos en las materias de cálculo para luego pasar a Rn en detalle y por último, a espacios más generales. Similarmente se tratan las transformaciones lineales y autovalores.
• Se da importancia a la conceptualización, a las aplicaciones del Álgebra Lineal y a las gráficas (rotaciones, proyecciones y reflexiones en R2 y R3).
• Sólo se demuestran los resultados más importantes.
bibliografía y herramientas computacionales en el aula, el docente como guía del aprendizaje y el alumno como constructor de su propio conocimiento. La estrategia de trabajo en el aula es grupal. En el aula ocurren la mayoría de las tareas docentes: se enseña, se experimentan distintas estrategias para lograr un mejor aprendizaje, se unifican criterios entre los integrantes del equipo docente, se evalúa, se corrigen los errores y se rescatan los conceptos aprendidos correctamente.
COMPARACIÓN CUANTITATIVA DE LOS DATOS RELEVADOS Y CAMBIOS PRODUCIDOS ANTE EL CAMBIO DE PLAN
En esta sección se hace un análisis comparativo, del rendimiento académico de los alumnos antes y después del cambio de plan en la asignatura Álgebra. En las Figura 1 y 2, se representa mediante un diagrama de barras el porcentaje de aprobados en la asignatura. Se puede observar que en el año 2002 crece notablemente este número. Es muy probable que este hecho se deba a que a partir de ese año los alumnos que ingresaban a cursar el primer año de todas las carreras de Ingeniería lo hacían (y lo siguen haciendo) luego de haber realizado durante un mes un Curso de Nivelación con aprobación obligatoria, produciendo un mejoramiento en el rendimiento de los alumnos.
Porcentaje de Aprobados Plan anterior
31 29
19 20 23
24 47
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
%
Porcentaje de Aprobados Plan nuevo
54,44%
31,13% 64,96%
44,28% 48,75%
32,88%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
PS 2004 SS 2004 PS2005 SS2005 PS2006 SS2006
Figura 1 Figura 2
En la Figura 3, se grafica el promedio del porcentaje de aprobados, el mínimo y el máximo de estos valores según el plan de estudios, y es notable observar como el porcentaje de aprobados ha aumentado con el plan nuevo. A partir de 2002 con diferencias en los diferentes períodos y comisiones se logra aumentar la cifra de aprobados en un 20% en promedio.
Porcentaje de Aprobados según el Plan
47
64
19 31
46 27
0 20 40 60 80 100
Plan 1988 Plan 2002
Máximo Mínimo Promedio
Figura 3
CONCLUSIONES
De todo lo expuesto, se desprende que el nuevo plan de estudios, la nueva metodología de trabajo en clase, la nueva conformación y equipamiento en las aulas y la mejor relación docente-alumno han posibilitado mejorar el rendimiento académico de los alumnos. Igualmente hay varios puntos en los que se debe trabajar para mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje:
••••
Optimizar la integración de la totalidad de los contenidos de la nueva asignatura.••••
Desarrollar actividades que favorezcan que el alumno relacione aún más cada uno de los temas del Álgebra Lineal con el Álgebra Lineal Numérica••••
Desarrollar talleres con software matemático, para que los alumnos trabajen con la computadora en las clases y se sientan incentivados a usar la tecnología••••
Proponer distintas actividades para los alumnos recursantes, se sientan estimulados a continuar con sus estudios y no desertar.••••
Realizar entrevistas a los docentes de otras asignaturas de años superiores a la misma para obtener información acerca de los temas que necesitan de la materia y cómo los utilizan.••••
Definir indicadores que midan el rendimiento de los alumnos para mejorar la calidad de la enseñanza y aprendizaje y por ende mejorar la implementación del Plan 2002.REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Bucari, N., Abate, S., Melgarejo A.; “Un cambio en la enseñanza de las Matemáticas en las carreras de Ingeniería de la UNLP: propuesta, criterios y alcance”, Anales del IV Congreso Argentino de Enseñanza de la Ingeniería, Buenos Aires. Argentina. 2004.
[2] Carlson D., Johnson C.R., Lay D.C.y Duane Porter A., The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra, en Resources for Teaching Linear Algebra, MAA Notes, volumen 42, Mathematica Association of America, 1997.
[3] Dorier J.L, Teaching Linear Algebra at University, en Li, Ta Tsien (ed.) et al., Proceedings of the international congress of mathematicians, ICM 2002, Pequín, China, 20-28 de agosto de 2002. Vol. III: Invited lectures. Beijing: Higher Education Press. 875-884. 2002. [4] Hillel J., Modes of Description and the Problem of Representation in Linear Algebra. in J-L. Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp 191–207. 2000.
