Clase 04 - 28 Marzo.pdf

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(1)

Sistemas de ejes ortogonales: ejes mutuamente

perpendiculares.

Carácter general: cartesiano, curvilíneos (cilíndrico y

esférico).

otros como: natural o TNB (tangencial, normal,

binomial) y de los ángulos de Euler.

Sistemas de ejes oblicuos: al menos un par de ejes no

forman ángulo recto

(2)

Coordenadas cartesianas

Coordenadas

cilíndricas

(3)

 Coordenadas TNB

análisis de curvas en el espacio

 Coordenadas oblicuas

 Sistema ángulos de Euler

(4)

 Versores bases

 Vector tridimensional tiene proyecciones a lo largo de las direcciones asociadas a los

versores, definidas por el producto punto entre vector y cada versor.

y se describe como

Norma del vector:

i ie A e A e A e A

A  1ˆ12ˆ23ˆ3  ˆ

2 2

2 2

2

2     

(5)

Caso particular es el vector posición asociado a un

punto. Describe el desplazamiento desde el origen del

sistema a dicho punto. Proyección en cada eje está

dado por:

y se describe

Su magnitud (norma)

corresponde a la distancia

entre el origen y el punto

r

i ie r e

r e

r e

r

r  1ˆ12ˆ23ˆ3  ˆ

2 2

2 2

3 2

2 2

1 r r x y z

r

r      

z e

r r

y e

r r

x e

r r

z y x

 

 

 

3 2 1

ˆ ˆ ˆ

  

(6)

Desplazamiento diferencial : variación infinitesimal

de cada una de las componentes.

Volumen diferencial: se ubica en la posición

definida por el vector posición

3 2

1

ˆ

ˆ

ˆ

dy

e

dz

e

e

dx

r

d

dz

dy

dx

V

d

(7)

Diferencial de área: asociar un subíndice

(coordenada que permanece constante) según la

dirección normal al área

dy

dx

A

(8)

Ejercicio 1:

Determinar ángulos

,

y

del vector

en la dirección positiva del sistema de coordenadas y

demostrar que .

Triángulo OAP es recto; con ángulo recto en A, entonces

.

Lo mismo se cumple para los triángulos OBP y OCP:

y .

donde:

k

z

j

y

i

x

r

ˆ

ˆ

ˆ

1

cos

cos

cos

2

2

2

r

x

cos

r

y

cos

r

z

cos

2 2

2

z

y

x

(9)

Entonces: Finalmente: ; cos ; cos ; cos 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1                                     z y x z z y x y z y x

x

 1 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2    

(10)

 Se basa en la geometría del cilindro. Se ubica un cilindro

imaginario con su eje axial concéntrico al eje z de un sistema cartesiano.

‣ Coordenadas que describen punto P:

distancia radial : 0…∞

posición angular : 0…2π

altura : -∞…∞

 Versores base no son fijos ya que

punto P se mueve, y son:

en , las direcciones y se indefinen.

z

z

e

e

e

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

0  

e

ˆ

e

ˆ

(11)

Coordenadas en el orden forman sistema de la

mano derecha. Se coloca mano derecha a través de y se

hace rotar los dedos apuntando en la dirección de ; el

pulgar apunta en la dirección positiva de .

Vector tridimensional tiene proyecciones definidas por los

versores, y están dados por:

se define:

y su norma está dado por:

,

,

z

e

ˆ

e

ˆ

z

e

ˆ

z z

e

A

e

A

e

A

A

ˆ

ˆ

ˆ

2 2

2

z A A

A A

A

A      z

z

A

e

A

e

A

A

e

A

A

ˆ

ˆ

ˆ

 

(12)

 Caso particular es el vector posición que va desde el origen O

al punto P. Versor es perpendicular a , entonces y no hay proyección en eje .

Se describe vector posición

:

y su norma es:

donde

.

Transformación de coordenadas

Se proyecta entonces sobre ejes

del sistema cartesiano , y se tiene

0

ˆ

e

r

e

ˆ

r

z z

e

r

e

r

r

ˆ

(

)

ˆ

2 2

z

r

r

r

z

r

r

;

z

ˆ

 

x

,

y

z

z

y

x

(13)

Transformación inversa (primer cuadrante)

*

Cuidado!! Para el tercer cuadrante, cuociente x/y es también positivo y la transformación anterior no es válida. Para este caso:

 

z

z

x

y

y

x

/

arctan

2 2

 

z

z

x

y

y

x

/

arctan

2 2

(14)

Desplazamiento diferencial de la partícula está

dado por los incrementos diferenciales de debido

a las variaciones en sus coordenadas.

Volumen diferencial

Por ser diferencial, el arco

de los radios y

son del mismo valor =

Diferencial de área:

(superficie cilíndrica)

(superficie plana)

(superficie plana)

r

r

d

z

e

dz

e

d

e

d

r

d

ˆ

ˆ

ˆ

dz

d

d

dV

d

d

 

d

d

dA

dz

d

dA

dz

d

dA

(15)

Ejercicio 1:

 Expresar la velocidad y aceleración de una partícula en coordenadas

cilíndricas.

En coordenadas cartesianas el vector posición es

Y los vectores de velocidad y aceleración están dados por:

En coordenadas cilíndricas tenemos :

(16)

Resolviendo para los versores i y j tenemos:

Finalmente reemplazando en el vector posición tenemos:

Luego:

(17)
(18)

Ejercicio 2:

(19)
(20)
(21)

 Se define una superficie esférica imaginaria de radio ,

concéntrica al origen de un sistema cartesiano.

 Coordenadas:

(r,φ,θ)

: distancia de un punto de la superficie al origen

: ángulo medido en plano XY; ubica el meridiano que contiene el punto

: ángulo medido desde el eje z hasta el punto mismo, a lo largo del meridiano que lo contiene.

donde : 0…∞ ; : 0…2π ; : 0…π

 Versores base:

r

 

e

e

e

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

r

(22)

Proyecciones de un vector

sobre los ejes se definen:

El vector se define

y su norma es:

Un punto en el sistema se define por las

coordenadas .

 

 

 

e

A

A

e

A

A

e

A

A

ˆ

ˆ

ˆ

  

 

e

A

e

A

e

A

A

ˆ

ˆ

ˆ

2 2

2

 

A

A

A

A

(23)

Vector posición se define como

Como es siempre perpendicular a y ,

entonces no hay proyecciones en dichos ejes.

Vector posición queda:

Norma del vector posición:

r

r

r

2

r

e

r

r

ˆ

  

 

e r e e r e e

e r

r  ( ˆ ) ˆ  ( ˆ ) ˆ  ( ˆ ) ˆ

e

ˆ

e

ˆ

(24)

Transformación de coordenadas (de esféricas a

cartesianas).

Proyección vector sobre

plano XY dado por:

luego

r

r

r

r

sin

ˆ

cos

sin

)

sin

(

cos

)

sin

(

r

z

r

y

r

x

(25)

Transformación inversa en primer octante:

 Al igual que en el caso cilíndrico, hay que tener cuidado con la

diferencia angular al calcular en otros octantes (debido a los signos de las coordenadas).

 

2 2

2 2 2

2

cos

/

arctan

z

y

x

z

arc

x

y

z

y

x

r

(26)

 Desplazamiento diferencial de la partícula se define como

 Volumen diferencial: corresponde al

volumen de un paralelepípedo ya que los arcos diferenciales son iguales a las

cuerdas

en la aproximación de 1° orden).

 Diferencial de área (dejando

coordenada constante)

(superficie cilíndrica)

(superficie plana)

(superficie plana)

e r d e

d r e

dr r

d  ˆr  ˆ  sin ˆ

dr

d

d

r

dV

2

sin

 

d

dr

r

dA

d

dr

r

dA

d

d

r

dA

r

sin

sin

(27)

Ejercicio 1:

 Obtener la posición de una partícula en coordenadas esféricas

a partir de las coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas el vector posición es

En coordenadas esféricas tenemos :

cos

sin

)

sin

(

cos

)

sin

(

r

z

r

y

r

x

(28)

Se deben definir los versores i,j,k en función de las coordenadas cilíndricas. Se escribe entonces:

) 3 ( ˆ

cos ˆ

sin ˆ

) 2 ( ˆ sin ˆ

sin cos

ˆ cos cos

ˆ

) 1 ( ˆ cos ˆ

sin sin

ˆ cos sin

ˆ

j i

e

k j

i e

k j

i er

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(29)

De (3) se tiene:

)

4

(

sin

ˆ

ˆ

sin

cos

ˆ

e

j

i

) 5 ( ˆ sin sin cos ˆ cos ˆ sin sin ˆ ˆ cos ˆ sin cos sin ˆ ˆ sin cos sin sin ˆ cos sin ˆ ˆ sin cos cos sin ˆ ˆ cos ˆ cos sin ˆ ˆ sin sin 2 2 k e e j k e e j k e j e k i e j r r r r

                            

(30)

De (2) se despeja j: eˆ  cos cos iˆcos sin ˆjsin kˆ (2) ) 6 ( ˆ cos sin sin ˆ cos ˆ cos sin ˆ ˆ sin ˆ sin cos cos ˆ ˆ sin cos sin cos ˆ sin sin ˆ ˆ sin cos cos cos ˆ ˆ sin ˆ cos cos ˆ ˆ sin cos 2 2 k e e j k e e j k e j e k i e j                                                          

Igualando (5) y (6):

(31)

Reemplazando k en (6): ˆ (6) cos sin sin ˆ cos ˆ cos sin

ˆj e e k

          

                   e e e j e e e e j r r ˆ cos ˆ cos ) sin 1 ( sin ˆ sin sin ˆ ˆ sin ˆ cos cos sin sin ˆ cos ˆ cos sin ˆ 2              

e e e

j sin sin ˆr sin cos ˆ cos ˆ

ˆ

Reemplazando j en (4): (4)

sin ˆ ˆ sin cos ˆ  

e

j i  

                   e e e i e e e e i r r ˆ sin ) 1 (cos ˆ cos cos ˆ cos sin ˆ sin ˆ ˆ cos ˆ cos sin ˆ sin sin sin cos ˆ 2          

e e e

(32)

Entonces reemplazando en el vector posición:

                                             e e r k z e e r k z e e e r j y e e e r j y e e e r i x e e e r i x r r r r r r ˆ ) sin (cos ˆ ) (cos ˆ ˆ sin ˆ cos cos ˆ ˆ ) cos sin (sin ˆ ) sin cos (sin ˆ ) sin (sin ˆ ˆ cos ˆ cos sin ˆ sin sin ) sin sin ( ˆ ˆ ) sin cos (sin ˆ ) cos cos (sin ˆ ) cos (sin ˆ ˆ sin ˆ cos cos ˆ cos sin ) cos sin ( ˆ 2 2 2 2 2 2 2                

                     e e e r r r ˆ ) cos sin sin sin cos sin ( ˆ ) sin cos ... ... sin cos sin cos cos (sin ˆ ) cos sin sin cos

(sin2 2 2 2 2 2 2

(33)

La velocidad y aceleración están dados por:

 Obtener la velocidad y aceleración de la partícula:

dt

e

d

r

e

r

dt

r

d

e

r

r

r r r

ˆ

ˆ

ˆ

De esta manera tenemos:

Como:

e

i

j

k

r

sin

cos

ˆ

sin

sin

ˆ

cos

ˆ

(34)

     

e

r

e

r

e

r

v

e

v

e

v

e

v

v

dt

r

d

r r r

ˆ

sin

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Finalmente:

Para la aceleración tenemos:

 

 

 

 





)

ˆ

ˆ

(

sin

ˆ

cos

ˆ

sin

...

...

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

sin

ˆ

ˆ

ˆ

sin

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

dt

e

d

e

e

r

e

r

dt

e

d

e

r

e

r

dt

e

d

r

e

r

e

r

dt

d

e

r

dt

d

e

r

dt

d

e

r

e

r

e

r

dt

d

dt

v

d

e

a

e

a

e

a

dt

v

d

a

r r r r r r               

(35)

Se resuelve la derivada para los versores del sistema de

coordenadas esférico, definidos en las expresiones (1), (2) y (3) al comienzo del ejercicio, al igual que antes.

Finalmente se obtiene para la aceleración:

 

e

r

dt

d

r

e

r

r

dt

d

r

e

r

r

r

a

r

ˆ

sin

sin

1

...

...

ˆ

cos

sin

1

...

...

ˆ

sin

2 2

2 2

2 2

2

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