Sistemas de ejes ortogonales: ejes mutuamente
perpendiculares.
Carácter general: cartesiano, curvilíneos (cilíndrico y
esférico).
otros como: natural o TNB (tangencial, normal,
binomial) y de los ángulos de Euler.
Sistemas de ejes oblicuos: al menos un par de ejes no
forman ángulo recto
Coordenadas cartesianas
Coordenadas
cilíndricas
Coordenadas TNB
análisis de curvas en el espacio
Coordenadas oblicuas
Sistema ángulos de Euler
Versores bases
Vector tridimensional tiene proyecciones a lo largo de las direcciones asociadas a los
versores, definidas por el producto punto entre vector y cada versor.
y se describe como
Norma del vector:
i ie A e A e A e A
A 1ˆ1 2ˆ2 3ˆ3 ˆ
2 2
2 2
2
2
Caso particular es el vector posición asociado a un
punto. Describe el desplazamiento desde el origen del
sistema a dicho punto. Proyección en cada eje está
dado por:
y se describe
Su magnitud (norma)
corresponde a la distancia
entre el origen y el punto
r
i ie r e
r e
r e
r
r 1ˆ1 2ˆ2 3ˆ3 ˆ
2 2
2 2
3 2
2 2
1 r r x y z
r
r
z e
r r
y e
r r
x e
r r
z y x
3 2 1
ˆ ˆ ˆ
Desplazamiento diferencial : variación infinitesimal
de cada una de las componentes.
Volumen diferencial: se ubica en la posición
definida por el vector posición
3 2
1
ˆ
ˆ
ˆ
dy
e
dz
e
e
dx
r
d
dz
dy
dx
V
d
Diferencial de área: asociar un subíndice
(coordenada que permanece constante) según la
dirección normal al área
dy
dx
A
Ejercicio 1:
Determinar ángulos
,
y
del vector
en la dirección positiva del sistema de coordenadas y
demostrar que .
Triángulo OAP es recto; con ángulo recto en A, entonces
.
Lo mismo se cumple para los triángulos OBP y OCP:
y .
donde:
k
z
j
y
i
x
r
ˆ
ˆ
ˆ
1
cos
cos
cos
2
2
2
r
x
cos
r
y
cos
r
z
cos
2 2
2
z
y
x
Entonces: Finalmente: ; cos ; cos ; cos 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 z y x z z y x y z y x
x
1 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
Se basa en la geometría del cilindro. Se ubica un cilindro
imaginario con su eje axial concéntrico al eje z de un sistema cartesiano.
‣ Coordenadas que describen punto P:
distancia radial : 0…∞
posición angular : 0…2π
altura : -∞…∞
Versores base no son fijos ya que
punto P se mueve, y son:
en , las direcciones y se indefinen.
z
z
e
e
e
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
0
e
ˆ
e
ˆ
Coordenadas en el orden forman sistema de la
mano derecha. Se coloca mano derecha a través de y se
hace rotar los dedos apuntando en la dirección de ; el
pulgar apunta en la dirección positiva de .
Vector tridimensional tiene proyecciones definidas por los
versores, y están dados por:
se define:
y su norma está dado por:
,
,
z
e
ˆ
e
ˆ
z
e
ˆ
z z
e
A
e
A
e
A
A
ˆ
ˆ
ˆ
2 2
2
z A A
A A
A
A z
z
A
e
A
e
A
A
e
A
A
ˆ
ˆ
ˆ
Caso particular es el vector posición que va desde el origen O
al punto P. Versor es perpendicular a , entonces y no hay proyección en eje .
Se describe vector posición
:
y su norma es:
donde
.
Transformación de coordenadas
Se proyecta entonces sobre ejes
del sistema cartesiano , y se tiene
0
ˆ
e
r
e
ˆ
r
z z
e
r
e
r
r
ˆ
(
)
ˆ
2 2
z
r
r
r
z
r
r
;
z
ˆ
x
,
y
z
z
y
x
Transformación inversa (primer cuadrante)
*
Cuidado!! Para el tercer cuadrante, cuociente x/y es también positivo y la transformación anterior no es válida. Para este caso:
z
z
x
y
y
x
/
arctan
2 2
z
z
x
y
y
x
/
arctan
2 2
Desplazamiento diferencial de la partícula está
dado por los incrementos diferenciales de debido
a las variaciones en sus coordenadas.
Volumen diferencial
Por ser diferencial, el arco
de los radios y
son del mismo valor =
Diferencial de área:
(superficie cilíndrica)
(superficie plana)
(superficie plana)
r
r
d
z
e
dz
e
d
e
d
r
d
ˆ
ˆ
ˆ
dz
d
d
dV
d
d
d
d
dA
dz
d
dA
dz
d
dA
Ejercicio 1:
Expresar la velocidad y aceleración de una partícula en coordenadas
cilíndricas.
En coordenadas cartesianas el vector posición es
Y los vectores de velocidad y aceleración están dados por:
En coordenadas cilíndricas tenemos :
Resolviendo para los versores i y j tenemos:
Finalmente reemplazando en el vector posición tenemos:
Luego:
Ejercicio 2:
Se define una superficie esférica imaginaria de radio ,
concéntrica al origen de un sistema cartesiano.
Coordenadas:
(r,φ,θ)
: distancia de un punto de la superficie al origen
: ángulo medido en plano XY; ubica el meridiano que contiene el punto
: ángulo medido desde el eje z hasta el punto mismo, a lo largo del meridiano que lo contiene.
donde : 0…∞ ; : 0…2π ; : 0…π
Versores base:
r
e
e
e
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
r
Proyecciones de un vector
sobre los ejes se definen:
El vector se define
y su norma es:
Un punto en el sistema se define por las
coordenadas .
e
A
A
e
A
A
e
A
A
ˆ
ˆ
ˆ
e
A
e
A
e
A
A
ˆ
ˆ
ˆ
2 2
2
A
A
A
A
Vector posición se define como
Como es siempre perpendicular a y ,
entonces no hay proyecciones en dichos ejes.
Vector posición queda:
Norma del vector posición:
r
r
r
2
r
e
r
r
ˆ
e r e e r e e
e r
r ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ
e
ˆ
e
ˆ
Transformación de coordenadas (de esféricas a
cartesianas).
Proyección vector sobre
plano XY dado por:
luego
r
r
r
r
sin
ˆ
cos
sin
)
sin
(
cos
)
sin
(
r
z
r
y
r
x
Transformación inversa en primer octante:
Al igual que en el caso cilíndrico, hay que tener cuidado con la
diferencia angular al calcular en otros octantes (debido a los signos de las coordenadas).
2 2
2 2 2
2
cos
/
arctan
z
y
x
z
arc
x
y
z
y
x
r
Desplazamiento diferencial de la partícula se define como
Volumen diferencial: corresponde al
volumen de un paralelepípedo ya que los arcos diferenciales son iguales a las
cuerdas
en la aproximación de 1° orden). Diferencial de área (dejando
coordenada constante)
(superficie cilíndrica)
(superficie plana)
(superficie plana)
e r d ed r e
dr r
d ˆr ˆ sin ˆ
dr
d
d
r
dV
2sin
d
dr
r
dA
d
dr
r
dA
d
d
r
dA
r
sin
sin
Ejercicio 1:
Obtener la posición de una partícula en coordenadas esféricas
a partir de las coordenadas cartesianas
En coordenadas cartesianas el vector posición es
En coordenadas esféricas tenemos :
cos
sin
)
sin
(
cos
)
sin
(
r
z
r
y
r
x
Se deben definir los versores i,j,k en función de las coordenadas cilíndricas. Se escribe entonces:
) 3 ( ˆ
cos ˆ
sin ˆ
) 2 ( ˆ sin ˆ
sin cos
ˆ cos cos
ˆ
) 1 ( ˆ cos ˆ
sin sin
ˆ cos sin
ˆ
j i
e
k j
i e
k j
i er
De (3) se tiene:
)
4
(
sin
ˆ
ˆ
sin
cos
ˆ
e
j
i
) 5 ( ˆ sin sin cos ˆ cos ˆ sin sin ˆ ˆ cos ˆ sin cos sin ˆ ˆ sin cos sin sin ˆ cos sin ˆ ˆ sin cos cos sin ˆ ˆ cos ˆ cos sin ˆ ˆ sin sin 2 2 k e e j k e e j k e j e k i e j r r r r
De (2) se despeja j: eˆ cos cos iˆcos sin ˆjsin kˆ (2) ) 6 ( ˆ cos sin sin ˆ cos ˆ cos sin ˆ ˆ sin ˆ sin cos cos ˆ ˆ sin cos sin cos ˆ sin sin ˆ ˆ sin cos cos cos ˆ ˆ sin ˆ cos cos ˆ ˆ sin cos 2 2 k e e j k e e j k e j e k i e j
Igualando (5) y (6):
Reemplazando k en (6): ˆ (6) cos sin sin ˆ cos ˆ cos sin
ˆj e e k
e e e j e e e e j r r ˆ cos ˆ cos ) sin 1 ( sin ˆ sin sin ˆ ˆ sin ˆ cos cos sin sin ˆ cos ˆ cos sin ˆ 2 e e e
j sin sin ˆr sin cos ˆ cos ˆ
ˆ
Reemplazando j en (4): (4)
sin ˆ ˆ sin cos ˆ
e
j i
e e e i e e e e i r r ˆ sin ) 1 (cos ˆ cos cos ˆ cos sin ˆ sin ˆ ˆ cos ˆ cos sin ˆ sin sin sin cos ˆ 2
e e eEntonces reemplazando en el vector posición:
e e r k z e e r k z e e e r j y e e e r j y e e e r i x e e e r i x r r r r r r ˆ ) sin (cos ˆ ) (cos ˆ ˆ sin ˆ cos cos ˆ ˆ ) cos sin (sin ˆ ) sin cos (sin ˆ ) sin (sin ˆ ˆ cos ˆ cos sin ˆ sin sin ) sin sin ( ˆ ˆ ) sin cos (sin ˆ ) cos cos (sin ˆ ) cos (sin ˆ ˆ sin ˆ cos cos ˆ cos sin ) cos sin ( ˆ 2 2 2 2 2 2 2
e e e r r r ˆ ) cos sin sin sin cos sin ( ˆ ) sin cos ... ... sin cos sin cos cos (sin ˆ ) cos sin sin cos(sin2 2 2 2 2 2 2
La velocidad y aceleración están dados por:
Obtener la velocidad y aceleración de la partícula:
dt
e
d
r
e
r
dt
r
d
e
r
r
r r rˆ
ˆ
ˆ
De esta manera tenemos:
Como:
e
i
j
k
r
sin
cos
ˆ
sin
sin
ˆ
cos
ˆ
e
r
e
r
e
r
v
e
v
e
v
e
v
v
dt
r
d
r r rˆ
sin
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Finalmente:Para la aceleración tenemos:
)
ˆ
ˆ
(
sin
ˆ
cos
ˆ
sin
...
...
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
sin
ˆ
ˆ
ˆ
sin
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
dt
e
d
e
e
r
e
r
dt
e
d
e
r
e
r
dt
e
d
r
e
r
e
r
dt
d
e
r
dt
d
e
r
dt
d
e
r
e
r
e
r
dt
d
dt
v
d
e
a
e
a
e
a
dt
v
d
a
r r r r r r
Se resuelve la derivada para los versores del sistema de
coordenadas esférico, definidos en las expresiones (1), (2) y (3) al comienzo del ejercicio, al igual que antes.
Finalmente se obtiene para la aceleración:
e
r
dt
d
r
e
r
r
dt
d
r
e
r
r
r
a
rˆ
sin
sin
1
...
...
ˆ
cos
sin
1
...
...
ˆ
sin
2 2
2 2
2 2
2
