51 MATEMATICAS I

(1)

B1

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

II. Utiliza la información de las imágenes para resolver los siguientes problemas.

1. Si el dije que tiene 40% de descuento tiene un costo de $1250 ¿cuánto se pagará por él?

(2)

B1

3. El Sr. Carmona quiere comprar el televisor RCA de la publicidad. a) Calcula el costo del televisor si tiene 20% de descuento. b) ¿Cuál es el costo del televisor si se compra a 12 meses? c) ¿Cuál es el interés por la compra a crédito?

d) Si se paga con una tarjeta Master Card y se atrasa en tres pagos, ¿cuánto más pagará el Sr. Carmona con respecto al precio a crédito?

e) ¿Y con respecto al precio de lista?

4. De acuerdo con el Anexo Estadístico del INEGI: a) ¿Cuántas mujeres vivían en Estados Unidos en 2000? b) ¿Cuántos hombres en Japón?

c) ¿Cuántas mujeres en África?

d) ¿Qué porcentaje del total de la población vivía en Canadá?

Se tratará el tema del porcentaje con más detalle en el siguiente bloque.

Consideremos un segmento de la recta numérica y dibujemos un triángulo rectángulo, de lado una unidad con un vértice en el número 0 y un cateto1 sobre dicho segmento. Ahora, con centro en 0 y radio en la hipotenusa del triángulo, trazamos un arco hasta el segmento de recta y marcamos el punto de corte; ¿cuál es la longitud desde 0 a este punto?

Al aplicar el teorema de Pitágoras a este triángulo tenemos que:

1 Recuerda que en un triángulo rectángulo el lado mayor recibe el nombre de hipotenusa y los lados

menores catetos.

(3)

B1

Actividad

OP2_{= + =}_{1 1 2}2 2 _{donde la longitud es un número tal que elevado al cuadrado}

su resultado sea 2, es decir, OP= 2

Éste es un número irracional, no puede representarse como un número racional pues no existe ninguna fracción simple cuya expresión decimal sea igual a 2.

Todos estos números, junto con los enteros negativos que analizaremos más adelante, forman el conjunto de los números reales.

Problemas aritméticos y jerarquía de operaciones.

Realiza las operaciones necesarias y simplifica el resultado en cada problema

1. En la clase de Matemáticas, el maestro preguntó: “cuánto es la mitad de dos más uno. Caro respondió que 1.5; Rosa dijo que el resultado es 2. ¿Quién tiene razón? Justifica tu respuesta.

2. El señor Suárez compró un terreno trapezoidal como el que se muestra en la figura y lo quiere cercar y empastar para trazar ahí un campo de futbol. Si el metro lineal de malla para cercarlo cuesta $60 y la semilla de pasto para cubrir un metro cuadrado cuesta $1.5, ¿cuánto tendrá que pagar el Sr. Suárez?

3. Luisa aprovecha las ofertas de fin de temporada de una boutique y compra una blusa que cuesta $250 pero que tiene 25% de descuento; un pantalón de $475 con 30% de descuento y unos zapatos tenis de $1250 que tienen 60% de descuento.

(4)

B1

4. Realiza las operaciones necesarias y simplifica el resultado. ( ) ( )

( )( ) ( ) 2 5 6 64

3 4

3 27 9

3 _- ₊ 4 3 ₌

5. Observa la siguiente gráfica que representa la distancia recorrida por un automovilista que fue de compras a un pueblo vecino, con relación al tiempo.

a) ¿Qué distancia recorrió durante la primera hora? b) ¿Y durante la segunda?

c) ¿A qué distancia de su casa estaba el lugar donde realizó sus compras? d) ¿Cuánto tiempo empleó para hacerlo?

e) ¿Qué hizo el automovilista durante la última hora y media?

f) ¿Cuál fue su rapidez durante la primera hora?, ¿y durante la segunda? g) ¿Con qué rapidez volvió a su casa?

Las operaciones aritméticas las utilizamos para resolver un cierto tipo de problemas relacionados con los números, es decir, problemas aritméticos.

Un problema aritmético es una situación real o imaginaria planteada en forma verbal o escrita que se resuelve mediante la realización de algunas de las operaciones básicas.

(5)

B1

situación planteada y así establecer el orden en que se realicen las operaciones.

Analicemos el problema 1 de la actividad anterior. ¿Cuánto es la mitad de dos más uno?

Las respuestas dadas por Caro y Rosa tienen cierta lógica.

Caro la entendió así:

(2 1) _. 2+ =1 5

pero Rosa lo entendió así:

2

2+ =1 2

De acuerdo con la jerarquía de operaciones, Rosa está en lo correcto pues la división tiene prioridad sobre la suma.

En general, el orden de las operaciones es el siguiente:

Si aparecen operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación, el orden en que deben realizarse es:

• Potenciación y radicación, en el orden que aparezcan • Multiplicación y división, en el orden que aparezcan • Al final, las sumas y las restas

En muchas ocasiones es necesario colocar las operaciones dentro de símbolos de agrupación: ( ), [ ], o { }.

Si aparecen símbolos de agrupación anidados (uno dentro de otro), primero se realizan las operaciones dentro de éstos respetando el orden indicado y empezando por el símbolo más interno.

Así, el costo del cercado y del empastado del problema 2 es

60 150 90 200 80 1 5 200 150 75

2 60 520 1 5

35

( + + + )+ . ( + )( ) ( ) . (

  

  

= +

00 75 2 31 200 1 5 13125 31 200 19687 5

)( )

, . ( ) , .

   

   

= + = + =50,887.500

(primero las operaciones dentro de los paréntesis, después las operaciones dentro de los corchetes, y al final, la suma).

La solución del problema 4 es:

( ) ( )

( )( )

( ) _{( )( )} ( ) ( )( )

( )( ) 2 5 6 64

3 4

3 27

9 8 5

6 8 3 4

81 3 9

3 _- ₊ 4 3 ₌ _- ₊

(6)

B1

Actividad

= -40 48+ = - + 12

243

9 40 4 27

(después las multiplicaciones y las divisiones) 40 4 27 63- + =

(al final, las sumas y las restas)

Ejemplo

Resuelve las operaciones indicadas. 8 + 2{16 – 4[18 – 3(2 + 3)]}

8 + 2{16 – 4[18 – 3(2 + 3)]} = 8 + 2{16 – 4[18 – 3(5)]} = 8 + 2{16 – 4[18 – 15]} = 8 + 2{16 – 4[3]} = 8 + 2{16 – 12} = 8 + 2{4} = 8 + 8 = 16

1. 5 3 12 8₊

(

_-

)

₌ 5. 25 3 2 2 5 2 5 3−

{

+ _ −

(

−

)

_

}

=

2. 18 3 4 2_-

( )

_- ₌ 6. 12 5 3 4 18 3 12 7+

{

+ _ −

(

−

)

_

}

=

3. 6 5 20 2 3 4+ _ −

(

+

)

_{ =} 7.

{

9 3 18 2 10 6

+



−

(

−

)



}

+

5 20 3 12 2 10 8

{

−



−

(

−

)



}

=

(7)

B1

Un modelo matemático es la representación de un fenómeno o suceso mediante un esquema, una ecuación o fórmula, una expresión algebraica o un diagrama.

La fórmula que utilizas para calcular el perímetro de un cuadrado (P = 4l), la superficie de un círculo (A = πr2_{) o un trapecio (}

A= +(B b h)

2 ), o el volumen de un cilindro (V = πr2_{h), así como la fórmula para calcular la rapidez} constante o promedio de un móvil ( v=d_t ) son ejemplos de modelos matemáticos. El esquema para resolver el problema 2 de la actividad anterior,

60 150 90 200 80 1 5 200 150 75 2

( + + + )+ . ( + )( )

  

  

, también representa un modelo

matemático.

Otro tipo de modelo matemático importante es el de las gráficas; por ejemplo, la gráfica del problema 5 de la segunda actividad nos permite describir lo que hizo un automovilista durante 6 horas. En la primera hora recorrió 50 km y en la segunda,150 de tal manera que el conductor se alejó 200 km del punto de partida. Estuvo detenido (realizó sus compras) durante _{2 12}h y después regresó al punto de partida.

Desde que salió hasta que se detuvo condujo con una rapidez media de 100 km/h y regresó a su casa con una rapidez media de 133 13 km/h.

(8)

B1

El lenguaje algebraico es el lenguaje que utiliza letras, números y signos para expresar situaciones del lenguaje común en lenguaje matemático.

En el lenguaje algebraico, las literales representan valores numéricos y por lo tanto se operan como tales y tienen todas las propiedades de los números. Las fórmulas que se utilizan en Geometría o Física son ejemplos de lenguaje algebraico, una especie de traducción de lenguaje común a lenguaje matemático. Así pues, en la fórmula del perímetro de un cuadrado:

P = 4L

entendemos: “el perímetro de un cuadrado es el cuádruple de su lado”; o en el caso del área de un triángulo,

A₌bxh 2

entendemos: “el área de un triángulo es la mitad del producto de su base y su altura”.

El lenguaje algebraico se basa en la represetación de expresiones comunes por medio de expresiones algebraicas.

Una expresión algebraica2_{es la combinación de números y letras} relacionadas mediante las operaciones aritméticas básicas.

Las literales que aparecen en ellas se llaman variables y representan números reales en general.

En el planteamiento de modelos para la resolución de problemas algebraicos 2Más adelante se hará un análisis más profundo de las características generales de las expresiones

(9)

B1

es necesario conocer la equivalencia entre el lenguaje verbal cotidiano y el lenguaje algebraico. Para esto, considera el siguiente listado de palabras con su respectivo significado algebraico, el cual es indispensable aprender para su posterior aplicación, especialmente en el planteamiento de problemas verbales.

Operación Operador

Suma, más, adición, agregar, aumentar, añadir + Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar -Múltiplo de, del, veces, producto, por, factor •, ()(), /, ¸

Dividir, cociente, razón, es a / ¸

Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a =

Enunciado Expresión _algebraica

Un número cualquiera x

Antecesor de un número cualquiera x-1

Sucesor de un número cualquiera x + 1

Cuadrado de un número cualquiera x2

Cubo de un número cualquiera x3

Doble de un número, duplo, dos veces, número par,

múltiplo de 2 2x

Triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3 3x

Cuádruplo de un número 4x

Quíntuplo 5x

Mitad de un número, un medio de 1

2x o 2 x

Tercera parte de un número, un tercio de 1

3x o 3 x

Número impar cualquiera 2x+1 o 2x - 1

Semi-suma de dos números x y+

2

Semi-diferencia de dos números x y

(10)

B1

Actividad

Números consecutivos cualesquiera x, x+1, x+2,...

Números pares consecutivos 2x, 2x+2, 2x+4,....

Números impares consecutivos 2x+1, 2x+3, 2x+5, …

Número cualquiera de dos dígitos 10x + y

Simétrico de un número cualquiera -x

Inverso multiplicativo (recíproco) de un número

diferente de cero cualquiera 1_x, x¹0

La suma de dos números es igual al doble de su diferencia

x + y = 2(x - y)

Es importante resaltar que en la expresión algebraica x, el coeficiente y el exponente son 1, por lo cual no se ponen; es decir:

x=1x1

1. Completa la siguiente tabla al colocar la expresión algebraica que corresponda al enunciado.

Un número aumentado en 5 unidades Un número disminuido en 10 unidades La suma de dos números consecutivos El producto de 3 números cualesquiera

La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera La semidiferencia de dos números cualesquiera El cuadrado del doble de un número

El cociente del cuadrado de un número La mitad del triple de un número

El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera La raíz cuadrada del cociente de dos números

(11)

B1

2. Expresa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas.

5a x + 9 (x + y)3

a b+

1 3xy 1 4

(

a b+

)

x y x y

+ −

2x – 5

Las fórmulas mencionadas anteriormente, además de representar modelos matemáticos, forman un caso particular de ecuaciones donde la variable a calcular aparece explícitamente en función de una expresión algebraica que, a su vez, depende de las demás variables relacionadas. Es decir, en la fórmula del perímetro de un cuadrado:

P = 4L

la fórmula indica que el valor del perímetro depende del valor de la longitud de su lado; o bien, la fórmula de la velocidad:

v d t =

indica que ésta depende de la distancia recorrida (d) y del tiempo utilizado para ello.

(12)

B1

Cuando asignamos valores particulares a las variables de una expresión algebraica, obtenemos su valor numérico:

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al reemplazar o sustituir en ellas las variables presentes por valores numéricos previamente determinados.

Ejemplo

Completa la siguiente tabla determinando el valor numérico de las expresiones indicadas.

Expresión Valor de las variables Sustituciones y operaciones Resultado

2(a + b) a = 2, b = 6 2(2+6) = 2(8) = 16 16

3a 2b c

+ a = 3, b = 3_{c = 5} 3 3 2 3

5

9 6 5

15 5 3

( )+ ( )_{= + =} ₌ 3

5x 3y 2z a b +

-a =5, b = 2 x= 2, y = -2 z = - 3

5 2 3 2 2 3 5 2

10 6 6 3

10 3 313 ( )+ - - -( ) ( )

- = - + = =

31 3

- +b b - ac a

2 ₄

2

a = 4, b = -12

c = -16 - - + - - - _{= +} +

= + = + =

( ) ( ) ( )( ) ( )

12 12 4 4 16

2 4

12 144 256 8 12 400 8 12 20 8 32 8 2 ==4 4

vt+at2

2

v = 20, a = -4 t = 5

20 5 4 5

2 100

4 25

2 100 50 50 2

( )+ -( )( ) = + -( )( = - =

50

Completa las siguientes tablas con los valores de la expresión algebraica dada. 1. Verónica fue de vacaciones al rancho de su tío, quien va a parcelar parte de su

terreno para el cultivo de diversas hortalizas y quiere saber cuántos metros de tela ciclónica debe comprar. Verónica hizo la siguiente tabla para ayudar a su tío a calcular la longitud de la tela. Completa la tabla y responde lo que se te pide.

(13)

B1

Hortaliza a b Perímetro P = 2a + 2b (m) Área A = ab (m2₎

Lechuga 25 30 2(25) + 2(30) = 50 + 60 = 110 (25)(30) = 750

Pepino 30 40

Zanahoria 25 25 Cilantro 40 30 Perejil 40 20

Tomate 50 40

Chile 55 45

a) ¿Cuánta tela debe comprar?______________________________________________ b) ¿Para cuál hortaliza utilizará más tela?_____________________________________ c) ¿Cuál hortaliza ocupará mayor superficie?___________________________________

2. Calcula el perímetro y el área de los trapecios cuyas medidas son las indicadas.

Trapecio a b c d h Perímetro a + b + c + d Área a b+ h 2

1. 8 12 6 6 4 8 + 12 + 6 + 6 = 32 8 12

2 4 20

24 10 4 40

+ ₌ ₌ _{( )}₌

2. 6 8 5 7 5

3. 10 7 4 6 3

4. 8 16 7 7 4

5. 11 5 6 6 4

6. 6 7 3 8 3

7. 15 10 6 7 5

8. 10 2 5 5 3

9. 20 10 8 8 5

10. 10 4 5 5 4

3. Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables indicados.

x y z 2x+3y x y

z

2₊ 2 ₂

5 x+z _y

 

 _ (x+y+z)2

1. 4 3 8 2(4) + 3(3) =

8+9 =17 42 32

8 16 9 8 25 8 +

= + = 2 4 8

5 8 8 5 16 5 ( )                 +

= + = (4 – 3 + 8)

2_{= (9)}2_{= 81}

(14)

B1

4. 3 8 4

5. 8 4 3

6. 4 8 3

7. 5 3 2

8. 3 2 5

9. 5 8 1

10. 5 0 3

1. El número 195 se ha obtenido al multiplicar dos números impares consecutivos. ¿Qué par de números se ha multiplicado?

2. La suma de los cuadrados de los 5 primeros enteros positivos es 55. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 4 primeros enteros positivos?

3. La suma de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos es 2,870. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 19 primeros enteros positivos?

4. ¿Cuál será el cociente de dividir el número que resulta del producto 27 x 31 x 35 x 39 x 43 entre el que resulta del producto 43 x 39 x 35 x 31 x 3?

5. A Dani le dijeron que multiplicara un número por 5 y, por error, lo que hizo fue dividirlo por 5. La respuesta que dio fue 5. ¿Qué respuesta debería haber dado si hubiera hecho lo que le dijeron?

6. Al repartir cierta cantidad de caramelos entre 18 niños, a cada uno le tocaron 12. Si hubiera habido 6 niños menos, ¿cuántos caramelos habría recibido cada uno? 7. ¿Cuál es el mayor número que, siendo menor de 2468, es divisor de 2468? 8. En un test de 50 cuestiones, se puntúa 5 puntos por cada respuesta correcta, 2

puntos por cada respuesta en blanco y 0 puntos por cada respuesta errónea. Si Eva contestó 40 cuestiones de las cuales 18 eran correctas, ¿cuál fue su puntuación? 9. Si multiplicáramos los 9 primeros números naturales, ¿cuál sería la última cifra del

resultado?

10. Si multiplicáramos todos los números enteros desde el 23211 al 23219, ¿cuál sería la última cifra del resultado?

(15)

B1

Autoevaluación

1. Es un número primo:

a) 21 b) 33 c) 43 d) 65 e) 77

2. No es un número primo:

a) 17 b) 23 c) 79 d) 77 e) 29

3. Es un número no divisible por 3:

a) 122 b) 123 c) 369 d) 174 e) 255

4. Es un número divisible por 3:

a) 134 b) 321 c) 458 d) 784 e) 146

5. Representa la factorización de 210:

a) 2×3×5×7 b) 22×3×5 c) 32×5×7 d) 3×52×7 e) 2×3×5×11 6. El máximo común divisor de 36, 80 y 120 es:

a) 8 b) 9 c) 4 d) 12 e) 36

7. El mínimo común múltiplo de 45, 120 y 150 es:

a) 1800 b) 3600 c) 1500 d) 1200 e) 36580

8. La representación decimal de 25

36 es:

a) 0.785 b) 1.44 c) 0.694 e) 1 44. d) 1.694 9. La fracción simple equivalente a 72

288es:

a) 1/6 b) 1/4 c) 4 d) 2 e)1/2

10. Es la fracción mixta de 125

11

a) ₁₀₁₁₂₅ b) _{99 25} c) ₁₂₇₁₁ d) _{4 711} e) ₁₁₄₁₁ 11. Una fracción mayor a 6

7es:

a) 1/2 b) 1/4 c) 9/12 d) 12/13 e) 16/22

12. El 24% de 4000 es:

a) 1200 b) 960 c) 720 d) 480 e) 1800

13. Una camisa tiene un precio de venta de $240 pero por fin de temporada tiene un 25% de descuento. El precio que se paga es:

a) 300 b) c) 200 d) 180 e) 120

4. 3 8 4

5. 8 4 3

6. 4 8 3

7. 5 3 2

8. 3 2 5

9. 5 8 1

10. 5 0 3

1. El número 195 se ha obtenido al multiplicar dos números impares consecutivos. ¿Qué par de números se ha multiplicado?

2. La suma de los cuadrados de los 5 primeros enteros positivos es 55. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 4 primeros enteros positivos?

3. La suma de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos es 2,870. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 19 primeros enteros positivos?

4. ¿Cuál será el cociente de dividir el número que resulta del producto 27 x 31 x 35 x 39 x 43 entre el que resulta del producto 43 x 39 x 35 x 31 x 3?

5. A Dani le dijeron que multiplicara un número por 5 y, por error, lo que hizo fue dividirlo por 5. La respuesta que dio fue 5. ¿Qué respuesta debería haber dado si hubiera hecho lo que le dijeron?

6. Al repartir cierta cantidad de caramelos entre 18 niños, a cada uno le tocaron 12. Si hubiera habido 6 niños menos, ¿cuántos caramelos habría recibido cada uno? 7. ¿Cuál es el mayor número que, siendo menor de 2468, es divisor de 2468? 8. En un test de 50 cuestiones, se puntúa 5 puntos por cada respuesta correcta, 2

puntos por cada respuesta en blanco y 0 puntos por cada respuesta errónea. Si Eva contestó 40 cuestiones de las cuales 18 eran correctas, ¿cuál fue su puntuación? 9. Si multiplicáramos los 9 primeros números naturales, ¿cuál sería la última cifra del

resultado?

(16)

B1

14. Representa a un número irracional:

a) 13 b) 36 c) 9 d) 1 e) 64

15. El resultado de 3 2 5 64 4

3 2 4 2

4 3 3

3

( ) ( )( )

( )

+

-+ es

a) 60 b) 59 c) 58 d) 57 e) 56

16. El resultado de es 12 2 4 16 3 8 5+

{

_ − ( − )_

}

a) 48 b) 68 c) 212 d) 552 e) 60

17. La expresión algebraica determinada por el enunciado “el cociente de la suma de dos números y su diferencia” es:

a) (a b a b+ )( - ) b) a b a b

-+

c) a b a b

+

-d) ab a b

-e) a b ab +

18. El significado de la expresión 3x2 _{+5 es:}

a) El triple del cuadrado de un número aumentado en 5 unidades

b) El cuadrado del triple de un número aumentado en 5 unidades

c) El triple de la suma del cuadrado de un número aumentado en 5 unidades

d) El triple de la suma de un número aumentado en cinco unidades

e) Ninguna de las anteriores

19. El valor numérico de la expresión b b ac a

+ 2-₄

2 cuando a = 3, b = 10 y c = 3 es

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

20. El valor numérico de la expresión vt+gt2

2 cuando v = 20, g = 10, t = 8 es:

a) 160 b) 480 c) 320 d) 240 e) 640

Rubén, un estudiante mexicano que vive en Singapur, se estaba preparando para viajar al mundial de Sudáfrica y permanecer ahí durante tres meses como participante en un intercambio estudiantil. Necesitó cambiar dólares de Singapur (SGD) a rands de Sudáfrica (ZAR).

a) Rubén encontró que el tipo de cambio entre los dólares de Singapur y los rands de Sudáfrica era: 1 SGD = 4.2 ZAR.

(17)

B1

Rubén cambió 3,000 dólares de Singapur a rands sudafricanos a este tipo de cambio. ¿Cuánto dinero en rands sudafricanos recibió?

Respuesta:... b) Al regresar a Singapur después de 3 meses, Rubén tenía 3,900 ZAR. Los cambió de nuevo a dólares de Singapur y se dio cuenta de que había un nuevo tipo de cambio: 1 SGD = 4.0 ZAR. ¿Cuánto dinero en dólares de Singapur recibió Rubén?

Respuesta:... c) Durante estos 3 meses, el tipo de cambio pasó de 4.2 a 4.0 ZAR por SGD. ¿Resultó a favor de Rubén que el tipo de cambio actual fuera de 4.0 ZAR en lugar de 4.2 ZAR cuando cambió sus rands sudafricanos a dólares de Singapur? Explica tu respuesta. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Escala de Rango

Nombre del alumno:

Escala de valoración:

0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendió la situación

Resolvió las operaciones necesarias del problema a) Resolvió las operaciones necesarias del problema b) Resolvió las operaciones necesarias del problema c) Explicó la respuesta del problema c)

Presentación de las soluciones

TOTAL:

Cal=Total×10=

18

Observaciones:

(18)

BL

OQUE

2

Saberes

Conocimientos

Habilidades

Actitudes y valores

SUGERENCIA DE EVIDENCIAS

DE

APRENDIZAJE

UNIDAD DE

COMPETENCI

A

• Identifica formas distintas de representación y operaciones con números reales.

• Identifica los elementos de los subconjuntos de números reales.

• Ubica en la recta numérica: números reales y sus simétricos, su valor absoluto y relaciones de orden.

• Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas.

• Identifica formas distintas de comparación y relación entre números reales, tales como: razones, tasas, proporciones y variaciones. • Comprende el significado de razón, tasa y

proporción.

• Interpreta la propiedad fundamental de las proporciones.

• Reconoce variaciones directas e inversas, así como modelos de variación proporcional directa e inversa.

(19)

BL

OQUE

2

Saberes

Conocimientos

Habilidades

Actitudes y valores

SUGERENCIA DE EVIDENCIAS

DE

APRENDIZAJE

UNIDAD DE

COMPETENCI

A

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.

Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

• Opera diferentes representaciones de números reales.

• Usa las tecnologías de la información y la comunicación como herramienta de apoyo en su trabajo.

• Emplea expresiones numéricas para representar relaciones entre magnitudes constantes.

• Utiliza expresiones algebraicas para representar relaciones entre magnitudes espaciales variables. • Asigna significados a las expresiones en

función de las situaciones aritméticas o algebraicas que representan.

• Realiza operaciones con números reales, utilizando las propiedades fundamentales. • Construye hipótesis y diseña o aplica modelos

aritméticos y/o algebraicos con números reales.

• Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas en la resolución de problemas tipo.

• Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones.

• Aplica la propiedad fundamental de las proporciones.

• Utiliza modelos de variación proporcional directa o inversa.

• Utiliza los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos que involucren a las razones, proporciones y tasas.

• Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

• Promueve el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.

• Valora la importancia de los números reales para expresar todo tipo de magnitudes (variables, constantes, discretas o continuas). • Aprecia la utilidad de los modelos

(20)

B2

En este bloque analizaremos la estructura final de los números reales así como la utilidad de las propiedades de las operaciones con éstos en diversas situaciones cotidianas, tanto dentro de la escuela como fuera de ella.

1. El primer día de invierno el termómetro marcó 14º C mientras que el segundo día marcó -6º C. ¿Cuál fue la diferencia de temperaturas entre el primer y el segundo día de invierno?

2. Toño tenía 52 canicas el lunes antes de empezar a jugar. Ese día perdió 14, el martes ganó 22, el miércoles perdió 35 y el jueves ganó 13. ¿Con cuántas canicas terminó?, ¿ganó o perdió?

3. Roberto tiene 2/5 de la edad de su abuelo, quien tiene 75 años. ¿Cuántos años tiene Roberto?

4. Esteban compró 3/4 kg de tortilla, 1/2 kg de carne y 1/5 kg de jamón. ¿Cuántos kg de mercancía compró Esteban?

5. Para hacer 2 litros de limonada, Rosa utiliza 8 limones. ¿Cuántos limones necesita para hacer 15 litros de limonada con la misma concentración de limón?

Números negativos

En un pedazo de cartulina blanca traza un segmento de recta de 10 cm de largo y coloca sobre él marcas a 1 cm de distancia una de otra. Coloca el número cero en el punto inicial del segmento, como se ilustra en la siguiente figura.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910

Coloca un espejo de más de 10 cm de largo en la marca del cero. Observarás una ima

-gen como ésta:

INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

(21)

B2

Utiliza magnitudes y números reales

1. ¿Qué características tienen los números reflejados en el espejo, además de estar invertidos?

2. ¿Cuántas unidades hay entre el 3 y el 0? ¿Y entre el 3 reflejado en el espejo y el 0?

3. ¿Cómo le llamarías a los números reflejados en el espejo?

Como vimos en el bloque anterior, el conjunto de números reales está formado por el conjunto de números racionales (que contienen a los naturales) y el conjunto de números irracionales.

Analizaremos ahora las características del conjunto de números negativos.

Números negativos

En esta actividad, los números reflejados en el espejo representan los simétricos de los números naturales que ya conoces y se les llama números negativos.

Si trazamos una sola recta de 20 cm y marcamos en la mitad el número 0, a la derecha los números 1 al 10, y a la izquierda los números reflejados tendremos una recta como la siguiente:

01 2 3 45 678 910

12

34

56

78

910

Para evitar ver los números al revés, a los números reflejados les anteponemos el signo (

-

) formando así los números negativos; a los números naturales, que ya conoces, les llamaremos ahora números positivos.

(22)

B2

Al conjunto de números negativos, cero y números positivos se le llama conjunto de números enteros.

Algunas veces a los números positivos se les antepone el signo (+), pero no es necesario, pues si un número no tiene signo, se entiende que es positivo.

Gráficamente, el signo de un número representa el lugar que ocupa en la recta numérica. Los negativos están a la izquierda del cero y los positivos a la derecha.

Además, no solamente los números enteros pueden ser positivos o negativos, también las fracciones y los decimales, como indica la siguiente figura:

Obviamente, el conjunto de números enteros es infinito aunque el esquema anterior sólo muestre unos pocos números.

Así pues, la estructura de los números reales es la siguiente:

Actividad

El conjunto de números se simboliza con una letra:

(23)

B2

Propiedades de las operaciones con Números Reales.

Aurylú fue al supermercado y compró los siguientes artículos: una lata de atún de

$6.45, un paquete de galletas de $5.50, 3 libros para colorear de $17.20 cada uno, dos paquetes de jabones de $20.00 que estaban al dos por uno, y un adorno para su sala que costaba $120, pero con 80% de descuento por liquidación. En el pasillo de botanas observó que había bolsas de cacahuates que costaban $5.00 y $6.00 y decidió comprar 5 bolsas de $6.00. Al llegar a la caja agregó un refresco de $5.50. Al pagar, la cajera pasó primero el paquete de galletas, después la lata de atún y los dos paquetes jabones, pero el segundo no se marcó; el libro, el cual pasó 3 veces, los cacahuates y después el refresco y el adorno, mismo que pasó dos veces por lo que la cajera tuvo que cancelar. Cuando la cajera iba a pasar los cacahuates, Aurylú le preguntó cuánto era lo que debía, pues pensó que probablemente no le alcanzaría para todo.

a) ¿Cuánto pagó por el adorno? b) ¿Cuánto tenía que pagar? c) ¿Cuánto pagó en total?

d) ¿Variaría el pago total si la cajera hubiese pasado primero el adorno o los libros?¿Por qué?

e) ¿Cuántos adornos pudo haber comprado con el costo de uno solo sin descuento? f) ¿Hubiese pagado más si hubiera comprado 6 bolsas de cacahuates de $5.00? ¿Por

qué?

g) ¿Se habría alterado el total si la cajera hubiera pasado todos los artículos en vez de hacer la suma parcial y después el resto de los artículos?

Dentro de este conjunto de números, tenemos dos operaciones básicas llamadas suma y multiplicación (o producto), las cuales tienen propiedades tan obvias, que pasan desapercibidas cuando las utilizamos. Estas propiedades las analizaremos a continuación.

Propiedades de las operaciones con números reales

El caso de Aurylú nos permite analizar algunas de las propiedades de la suma y del producto de números reales.

OPERACIONES CON

NÚMEROS REALES

(24)

B2

Si sumamos lo que cuesta la lata de atún y el paquete de galletas, obtenemos:

$6.45 + $5.50 = $11.95

De igual manera, si calculamos lo que cuestan los tres libros para colorear, obtenemos:

($ 17.20)(3) = $51.60

O si calculamos el precio del adorno, el cual es 0.20($120.00) = $24.00

Todos estos resultados son, claramente, números reales. Esto nos permite hablar de la:

Propiedad de cerradura: la suma y el producto de dos números reales son números reales; en símbolos: si a, b 

_R

entonces a + b y ab 

_R

Por otra parte, si sólo hubiera comprado la lata de atún y el paquete de galletas habría pagado la cantidad de:

lata de atún paquete de galletas

$6.45 + $5.50 = $11.95

O bien:

paquete de galletas lata de atún

$ 5.50 + $ 6.45 = $ 11.95

Es decir, el orden en que se realice la suma no altera el resultado.

De la misma manera, si Aurylú hubiera comprado 6 bolsas de cacahuates de

$5.00 en vez de las 5 bolsas de $6.00, el costo no se hubiera alterado, pues:

(5)($ 6.00) = $ 30.00 (6)($ 5.00) = $ 30.00

Estos resultados nos conducen a la siguiente propiedad:

Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no afecta la suma, y el orden de los factores no altera el producto. En símbolos:

Si a, b 

_R

, entonces a + b = b + a y ab = ba

algunos simbolos matemáticos son:

:pertenece I: tal que

$:existe

":para todo

(25)

B2

Una propiedad importante es la asociativa, la cual queda ilustrada cuando la cajera realiza la suma parcial de artículos y luego le suma el precio del resto de ellos. Entonces, tenemos:

Propiedad asociativa. El orden en que se agrupen tres o más números reales para sumarse o multiplicarse no altera el resultado. En símbolos:

Si a, b, c 

_R

, entonces

(a + b) + c = a +(b + c) = a + b + c y (ab)c = a(bc) = abc

Otra propiedad de los números reales es la existencia de números llamados elementos neutros. En el caso de la suma, como los jabones estaban al dos por uno, al pasarlos por la caja registradora ocurrió un proceso como éste:

Precio de un paquete oferta = Precio de un solo paquete $ 20.00 + $0.00 = $ 20.00

Por otra parte, si sólo hubiera deseado un paquete de jabones independiente de la oferta, igualmente hubiera pagado

($ 20.00)(1 paquete) = $ 20.00

de lo anterior, podemos observar que al sumar 0 a un número, o bien al multiplicarlo por 1, el resultado no se altera. Tenemos entonces:

Propiedad del elemento neutro. En el conjunto de números reales existe el número 0 (llamado elemento neutro de la suma) que al sumarse con cualquier número real, su resultado es dicho número real; y existe el número 1 (llamado elemento neutro multiplicativo) que al multiplicarlo por cualquier número real, da como resultado ese mismo número real. En símbolos:

∃ ∈ 0

_R

, tal que _" a 

_R

, a + 0 = a y ∃ ∈ 1

_R

, tal que _" a 

_R

, a(1) = a

Cuando la cajera pasó dos veces el adorno, tuvo que cancelar uno de ellos y realizar el siguiente proceso:

Precio de

un adorno Precio de un adorno (anotado de más)

Precio de un adorno (corregido)

= Precio de un adorno

$24.00 + $ 24.00 - $ 24.00 =$ 24.00

(26)

B2

Por otra parte, como el costo neto del adorno representa 1/5 parte del precio de lista, Aurylú podría haber comprado 5 adornos con una cantidad igual al precio de lista.

Estos resultados nos llevan a la siguiente propiedad.

Propiedad del elemento inverso. En el conjunto de números reales, para todo número a, existe otro número -a (llamado inverso aditivo o simétrico), tal que sumados entre sí, se obtendrá el elemento neutro aditivo (0); y para todo número real a, distinto de cero, existe otro número real (1/a, llamado inverso multiplicativo o recíproco) que multiplicados entre sí dan como resultado el elemento neutro multiplicativo (1). En símbolos:

_" a 

_R

, $ -a

_R

, tal que a + (-a) = 0 y _" a 

_R

, a ¹0, ∃ ∈1

a

R

; tal que a( )a 1 ₌₁

Finalmente, tenemos una propiedad que relaciona ambas operaciones. Si Aurylú compra 2 paquetes de galletas y 3 refrescos, el costo de esos artículos puede calcularse como:

$5.50(2 paqs de galletas + 3 refrescos) = $5.50(5) = $27.50, o bien,

$5.50(2 paqs de galletas) + $5.50(3 refrescos) = $11.00 + $ 16.50 = $27.50

Si llamamos “a” al precio del artículo, “b” a los paquetes de galletas y “c” al precio de un refresco, obtenemos

c(a + b) = ca + cb

y como la multiplicación es conmutativa, entonces:

(a + b)c = ac + bc

es decir, obtenemos la propiedad distributiva de la suma respecto al producto.

(27)

B2

Propiedad disociativa. En una suma, cualquier sumando puede expresarse como la suma de otros dos o más sumandos y la suma no se altera; es decir, si a + b = c y b = d + e entonces:

a + b = a +d + e = c

Análogamente, en un producto, cualquier factor puede expresarse como el producto de otros dos factores y dicho producto no se altera; es decir, si ab = c y b = ef, entonces ab = aef = c

Por ejemplo, sabemos que 8 + 12 = 20, pero 12 = 9 + 3, entonces:

8 + 12 = 8 + 9 + 3 = 20, es decir, la suma no se alteró

O bien, 8×12 =96, pero 12 = 4×3 entonces 8×12 = 8×4×3 = 96

Para el caso del producto, esta propiedad interviene en la factorización.

Además de las propiedades de las operaciones, existen reglas generales para las diferentes operaciones con números reales.

Reglas para la suma de números reales

Regla 1. Para sumar un conjunto de números del mismo signo (todos positivos o todos negativos), se suman sus valores numéricos y se respeta el signo de cada uno de ellos. Si los sumandos son negativos, se coloca primero el signo y después el resultado numérico.

(28)

B2

Regla 3. Para sumar un conjunto de números positivos y negativos, se asocian los números positivos y se suman; se asocian los números negativos y se suman; al final se restan los valores obtenidos respetando la regla 2 anterior.

Reglas para el producto y división de números reales

(29)

B2

1. El producto de 2 números reales del mismo signo es un número positivo. (+)(+) = (+)

( - )( - ) = (+)

2. El producto de 2 números reales de signos contrarios es un número negativo. (+)( - ) = ( - )

( - )(+) = ( - )

De éstas se deducen las siguientes:

3. El producto de un conjunto par de números negativos es positivo.

4. El producto de un conjunto impar de números negativos es negativo.

Además, un resultado importante es:

5. El producto de cero por cualquier número real es cero.

(0)(r) = 0

(r)(0) = 0

Las reglas de la división de números reales son similares a las de la multiplicación.

1. El cociente de dos números del mismo signo es positivo. ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ + = +

-- = +

16₄ 4

9 3 3

= − − =

11₄₄ _{11 4}111 1₄

6 24

6 1 6 4

1 4

= =

-- = -- =

( ) ( )

(30)

B2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + - = -+ =

243 8

20

4 5

- =

-- -

₃₀5 5 1_{5 6} ₆1

24 36 12 2 12 3 2 3 -( ) - ( ) -- - ( ) ( ) -= = = =

3. El cociente de una cantidad n, distinta de cero, entre sí misma es 1. n

n=1, n≠0

5 5 8 8 20 20 1 5 6 5 6 =− − = = =

4. El cociente de una cantidad n, distinta de cero, entre 1 es esa misma cantidad. n n 1= 4 1 4 12

1 12 1 1

5 8

= , - =- , =

5. El cociente de cero por cualquier número n distinto de cero es cero.

_,

n n

0 ₌₀ _!₀ 0 5 0 7 0 8 9 0 = - = =

6. El cociente de cualquier número y cero no se puede realizar, no está definido.

n

0 no se puede realizar

5₀,-_{0 0}9,15 no se puede realizar

Las reglas para la multiplicación de números reales son el fundamento para las reglas de potenciación de números reales:

1. Todo número positivo elevado a cualquier exponente es positivo. (+)n_{= (+) (}₄₎3_{= 64 (2)}8_{= 256}

2. Todo número negativo elevado a exponente par es positivo. ( - )n_{= (+), n par (}_-3)4₌_{(-3)(-3)(-3)(-3) = 81}

3. Todo número negativo elevado a exponente impar es negativo. ( - )n_{= ( - ), n impar}_(-2)5_{= (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = -32}

Además, la potenciación satisface ciertas reglas llamadas leyes de los exponentes.

(31)

B2

Regla Ejemplo

1 _{( )( )}_{a a}n m ₌_an m+ _{( )( )}_{2 2}3 4 ₌₂7₌₁₂₈

2 _{( )}_an m₌_anm ( )( )3 32 4 = =38 6561

3 _{( )}_abn₌_{a b}n n

[

_{( )( )}_{3 5}

]

2₌_{( )( ) ( )( )}_{3 5}2 2 ₌ _{9 25 225}₌

4 a b a b n _n n  

 _ = 2₅3 2₅33 ₁₂₅8    _ = = 5 a a a n m n m

= − 5

5 5 5 3 2 = 7 7 7 4 4 0 = 2 2 2 6 9 3 = −

6 a0=1 7₇4₄_{= =}1 70

7 _a

a

n n

− ₌ 1 ₂ 1

2

3 3

− ₌

Ejemplos

1. Utiliza las propiedades de los exponentes para simplificar las siguientes expresiones:

a) ( )( )

( )( ) 2 3 2 3

6 4

5 2 b)

2592

648 c) 1350₅₀₀

Solución:

a) Al aplicar las propiedades de los exponentes, observamos que al dividir potencias de la misma base, los exponentes se restan; al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, y por lo tanto:

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 3

2 3 2 3 2 3 2 9 18

6 4

5 2

6 5 4 2 1 2

= - - = = =

b) Al descomponer el numerador y el denominador en factores primos tenemos: 2592 648 2 3 2 3 5 4 3 4 =( )( ) ( )( )

Y al aplicar las propiedades de los exponentes tenemos: 2592

648

2 3

2 3 2 3 4 1 4

5 4

3 4

2 0

=( )( )= = =

( )( ) ( )( ) ( )( )

Observa que se aplicó la propiedad de los exponentes a0₌₁

Esto es una aplicación de la propiedad de los números reales que indica que toda

cantidad dividida entre sí misma ( 3

3 4

4 ) es la unidad.

(32)

B2

c) Al descomponer el numerador y el denominador en factores primos tenemos:

1350 500

2 5 2 5

4

2 3

= ( )( )

( )( )

Y al aplicar propiedades de los exponentes tenemos:

1350 500

2 5

2 5 2 5

5 2 4

2 3

1 1

= ( )( ) = - =

( )( ) ( )( )

Observa que ahora se aplicó la propiedad a a

n n

- ₌ 1

Si analizamos los ejemplos anteriores notamos que al dividir potencias de la misma base, restamos el exponente menor del exponente mayor; si el exponente mayor está en el numerador, la base queda en el numerador; y si el exponente mayor está en el denominador, la base también queda en el denominador. Además, observamos que si los exponentes de la misma base son iguales, se eliminan las potencias.

Ejemplo:

( )( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) 2 3 5

2 3 5

2 5 2 5

5 2

25 8

5 8 6

8 8 4

5 6

8 4

2 3

= = = Puesto que el exponente de 3 es el mismo en el numerador y en el denominador, dichas potencias se eliminan; como el exponente de 2 es mayor en el denominador, la potencia de

2 resultante queda en el denominador; y como el exponente de 5 es mayor en el numerador, la potencia de 5 resultante queda en el numerador.

Por sus características, las operaciones con números racionales tienen su propio apartado.

Suma y resta de números racionales

Para sumar o restar dos o más fracciones debe observarse primero los denominadores de cada una de ellas. Si son iguales, solamente se suman o restan los numeradores.

(33)

B2

Si los denominadores son distintos, entonces hay que expresar las fracciones en términos de un denominador común. Para esto hay que calcular el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores. Si el denominador mayor es divisible entre los otros denominadores, éste es el Mínimo Común Múltiplo y por lo tanto, el común denominador.

(34)

B2

Para sumar o restar un número entero con un número racional, se multiplica el número entero por el denominador del número racional y al resultado se le suma o resta el numerador, y se conserva el denominador de l número racional.

2 8

3 6 8

3 14

3 4 23

+ = + = =

Multiplicación y división de números racionales

Para multiplicar números racionales primero se multiplican los signos y después los números. El numerador del resultado es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores.

Si es posible se simplifica el resultado.

En ocasiones, el producto de dos o más fracciones arroja valores altos del numerador, del denominador o de ambos, y la simplificación se puede complicar. Por lo anterior, te sugerimos que en vez de realizar directamente el producto, primero factorices el numerador y el denominador, y canceles factores comunes; así sólo multiplicas los factores que no se cancelan, como se muestra en el siguiente esquema:

(35)

B2

La división de racionales se puede interpretar como el producto del numerador por el recíproco del denominador, es decir:

a b

c d

a b

d c

ad bc

÷ = × =

Otra forma es colocar la primera fracción como numerador y la segunda como denominador; el numerador de la fracción cociente es el producto de los extremos y el denominador es el producto de los medios. Algunos profesores le llaman la “regla del sándwich”.

Ya sea al convertir la división en producto o al utilizar la “regla del sándwich” es recomendable factorizar antes de realizar las operaciones:

72 35

48 45

72 35

45 48

12 3 2 9 5 7 5 12 2 2

27 14

÷ = × =( )( )( )( )( )= =

( )( )( )( )( ) 111314

Para dividir un número racional por un número entero, se convierte el número entero a fracción aparente, luego se aplica el proceso correspondiente:

( )3 4 7

3 1

4 7

3 1

7 4

21 4 5 14

¸ = ¸ = ´ = =

7

5 2

7 5

2 1

7 5

2 1

7 2 5

14

5 24 5

÷ = ÷ = 

 __ _=( )( )= =

Fracciones complejas

Uno de los procesos más importantes dentro del manejo de números racionales es la simplificación de fracciones complejas.

(36)

B2

Son fracciones complejas los siguientes casos:

3 5 2 4

8 3 1 3 8

3 4 5 8 3 5 1 4 2 3 3 3 1 + ₌ + = + +    _= + ( ) _, -( ) , , 22 1 5 -=

Para simplificar una fracción compleja primero se simplifica el numerador, luego el denominador y al final se realiza la división de fracciones a través de la “regla del sándwich”.

Ejemplos

Simplifica las siguientes fracciones complejas.

a) 3 5 2 b) 4

8 3 1 3 8

+

( )

-( ) c) 3 4 5 8 3 5 1 4 2 3 + +  

 _ d)

3 3 1 2 1 5 3 1 4 1 + + + -) e 55 4 2 1 1 3 − − Solución

a) Al simplificar primero el numerador tenemos:

3 5 2 4

3 10 4

13 4 3 14

+ ( )_{= + =} ₌

b) Al simplificar el numerador y el denominador tenemos:

8 3 1 3 8

5 1 24 5 25 5 5 5 1 5 -( ) ( )( ) + = + = = =

c) Realizamos primero la suma en el numerador y, respetando jerarquía de operaciones, primero la suma y luego el producto en el denominador; finalmente, aplicamos la“regla del sándwich” y simplificamos:

3 4 5 8 3 5 1 4 2 3

3 2 5 1 8 3 5

1 3 2 4 12 + +     = + +    ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )    = + +     = _    = 6 5 8 3 5 3 8 12 11 8 3 5 11 12 11 8 3 11( ) (( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 5 12

11 5 12 8 3 11

11 5 4 3 4 2 3 11

= = =55

2=2 12

d) Primero convertimos el numerador de la fracción compleja en fracción aparente y se agrega la unidad como denominador. En el denominador de la fracción compleja empezamos a simplificar con la operación más simple hasta terminar por convertir los enteros a fracción aparente mediante la “regla del sándwich” tantas

(37)

B2

3 3 1 2 1 5 3 1 3 1 1 9 5 3 1 3 5 9 3 1 32 9 27 32 + = + = + = =

-e) Simplificamos el numerador y el denominador como en el ejemplo anterior; se comienza por la operación más simple tanto en el numerador como en el denominador: 3 1 4 1 5 4 2 1 1 3 3 1 1 21 5 4 2 1 2 3 3 5 21 4 6 2 68 21 4 3 68 21 1 68 21 + + -= + -= + - = - = =

Realiza las siguientes operaciones con fracciones:

1. 5

3 1 2

7 6

+ - = 9. 5

6 3 8

1 7

+ - = 17. ₁₈65÷4₃+1₉ 

 =

2. 3

4 1 2

1 3

- + = 10. 7

3 5 8 1 6 - + = 18. 8 7 7 8 3 4 ( - =)

3. 7

4 6 7

9 14

+ - = 11. 6 35 14 9 15 8  

 __ __ _= 19. 7

8 5 16 7 24 −    _÷ =

4. 3

4 5 9

5 6

+ - = 12. 7

24 9 16

32 21

× × = _20. 7

6 11 9 27 4 −    _× =

5. 4

3 3 14

5 7

- - = 13. 24₃₅×49₃₂÷ =21 _21.5 6 1 3 4 5 1 3 +  −   _=

6. 7

6 3 16

1 12

- - = 14. ₁₆25÷75₂₄×32₅₅= 22. 1

8 3 16 1 2 1 8 + ÷ +   _=

7. 7

12 4 15

17 18

+ - = 15. 40₃₅×16₄₂×15₇ = _23. 3₄ 1₃ 2₃ 1₂

3 8 5 6 3 2 1 6 − _ + _ + ÷ −   _=

8. 2

9 11 15

13 24

- + = 16. 3

5 5 6 1 8 +  

(38)

B2

Las operaciones con números irracionales están representadas por las operaciones con radicales, que a su vez, se sustentan en las leyes de los radicales. 1 2 3 4 1 . . ( ) . . a a

a a a

ab a b

a b a b n m_n n m

n n m

n n n

n n n = = = = = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

36 36 6

8 8 2 16

144 9 16 9 16 3 4 12

27 6 1 2 4 3 3 4 ₄ = = =

( )

= = = = = = 44 27 64 3 4 48

6 8 2

3 3

3

= = o bien = =

Como podemos ver en los ejemplos, en la regla 2 se puede elevar la base al exponente y después obtener la raíz enésima; o bien, primero obtener la raíz enésima y después elevar al exponente dado. Además, en la regla 4 podemos obtener la raíz del numerador y del denominador por separado; o bien, realizar primero la división y al final obtener la raíz.

Leyes de radicales

Además de las leyes de los radicales, es necesario considerar las siguientes situaciones:

La raíz enésima de cualquier número positivo es positiva.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = = = = = n 32

5 ₃₂ 15 ₂5 15 ₂55 ₂1 ₂

La raíz enésima par de un número negativo no existe.

(-),

n _{n par no existe}

-9, -16 -7294 , 6 _{no existen}

La raíz enésima impar de un número negativo es negativa.

(-) - ,

n _{= +}n

− = − = −

− = − = − = − = − = −

n impar

8 8 2

243 243 3 3 3 3

3 3

5 5 5 5 55 1

OPERACIONES CON NÚMEROS

IRRACIONALES

-9no existe en

R

porque no hay un número en el conjunto de números reales que multiplicado por sí mismo de por resultado -9, pues, (3)(3)= 9

(39)

B2

En una expresión con radicales no deben aparecer radicales en el denominador de una fracción.

Ejemplos

Utiliza las leyes de los exponentes para simplificar los siguientes radicales:

a) ₅₇₆ b) 31728 _c)

80 d) 3-108

e) _{24 3 54}₊ ₋ ₁₅₀ f) 4

3 g)

3 8 5

h) 6 7 2+

Solución:

a) Al factorizar el radicando tenemos que:

576 2 288 2 144 2 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1

576 = (2)6₍₃₎2

por lo tanto, 576₌ _{( ) ( )}2 36 2

Aplicando las leyes de los radicales tenemos:

576 2 3

2 3

6 2

6 2 22

= = =

( ) ( )

regla 3

reegla 2

=

= =

( ) ( ) ( )( )

2 3

8 3 24

3

Otra forma: al factorizar 576 = (16)(36) 576 2

288 2 144 2 72 2 36

por lo que

576 16 36 16 36 4 6 24

= =

( )( ) ( )( )

24₌₁₆

(40)

B2

b) Si se factoriza el radicando tenemos que:

1728 2

864 2

432 2

216 2

108 2

54 2 27

26 _{= 64}

es decir:

1728 64 27 64 27 4 3 12 3 ₌3_{( )( )}₌3 3 ₌_{( )( )}₌

c) Al factorizar encontramos que 80 = 16(5) donde:

80= ( )( )16 5 = 16 5 4 5=

d) Si factorizamos tenemos que

108 = (27)(4) por lo que:

108 27 4 27 4 3 4 3 ₌3_{( )( )}₌3 3 ₌ 3

e) Simplificando cada uno de los sumandos tenemos:

24 2 12 2 6

4 54 2

27 3 9

6 150 2

75 3 25

6

24 3 54 150

4 6 3 9 6 25 6

2 6 3 3 6 5 6

2 6 9 6 5 6 6 6

+ − = + − = + − = + − =

( ) ( ) ( )

( )

f) Puesto que no debe haber radicales en el denominador de una fracción, debe eliminarse el radical de ahí. El proceso para hacerlo consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un radical que anule el del denominador. En este caso, el radical por el que se debe multiplicar es ₃ . Así:

4 3

3 3

4 3 3

2

= =

( )

=



(41)

B2

numerador y el denominador por un radical que anule el del denominador. Simplificando el radical tenemos:

3 8

3 2

5 =5 3

Por lo cual el radical por el que hay que multiplicar es 5₂2 _{. Entonces:}

3 8

3 2

2 2

3 4 2

5 5 3

2 5

5 5 5

5

=  = =

h) Puesto que el denominador contiene una suma, debemos multiplicar el denominador y el numerador por su conjugado, es decir, por 7 2- . Así:

6 7+2=

6 7+2g

7-2 7-2=

6( 7-2) 7 -4

=6( 7-2) 7-4 =

6( 7-2) 3

2

( )

==2( 7-2)

= 2 7-4

Observamos que si en el denominador aparece un radical de la forma n_am _debemos multiplicar por un radical de la forma n_an m- ; y si aparece un binomio de la forma

a b+ o a b- debemos multiplicar por su binomio conjugado, es decir, por

a b- o a b+

La existencia de los números negativos nos permite analizar el concepto de valor absoluto.

El valor absoluto de un número representa la distancia que existe entre el cero y dicho número, el cual siempre es positivo. En símbolos:

x

=

<

>









- ,

,

(42)

B2

Así pues:

- = - - =3 ( )3 3 5 5= − = − −   =

4 5

Fracciones ordenadas

Durante el pasado invierno se tomó la temperatura diaria por una semana en la ciudad de Toluca. El lunes se registraron 5 grados bajo cero; el martes, 2 grados sobre cero; el miércoles, 0 grados; el jueves 4 bajo cero; el viernes, 3 sobre cero; el sábado, 5 sobre cero y el domingo, 8 sobre cero. ¿Cómo ordenarías los días del más frío al más cálido?

Observa los números representados en los recuadros recta numérica y coloca los signos > o < según corresponda

¿Cómo ordenaste los números positivos? ¿Y los negativos?

¿Cómo ordenas un positivo y un negativo?

Orden de los números reales

Los números reales cumplen ciertas reglas. De la actividad que acabas de hacer y observando la recta numérica, tenemos que:

1. Todos los números negativos son menores que cero

2. Todos los números positivos son mayores que cero

3. Cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo

4. De 2 números positivos es mayor el que está más alejado del cero

5. De 2 números negativos es mayor el que está más cerca del cero

6. En general, entre dos números distintos, es mayor el que se ubique a la derecha

(43)

B2

Como todo tema de estudio, necesitamos un vocabulario mínimo para facilitar la comprensión y la comunicación.

Razón. Es la comparación de dos cantidades por medio de una diferencia o un cociente.

Si la comparación es por medio de una diferencia se le llama razón aritmética; si es por cociente, razón geométrica.

Por ejemplo, si tu edad es de 14 años y la de tu papá es de 42 años, la razón aritmética entre la edad de tu papá y la tuya es:

r = 42 – 14 = 28

Mientras que la razón geométrica es:

r=42=

14 3

Lo anterior significa que por una parte la diferencia de edades entre tu papá y tú es de 28 años; o bien, que la edad de tu papá es el triple de la tuya.

En este bloque sólo trabajaremos las razones geométricas y nos referiremos a ellas como razón.

Se denota una razón como:

a

b 0 a b:

y debe leerse “a es a b”

Los elementos de una razón son:

antecedente

consecuente

a b

(44)

B2

El que se compara (a) se le llama antecedente y con el que se compara (b), consecuente.

Utilizamos las razones para resolver problemas relacionados con variaciones directas y variaciones inversas.

Proporciones directas e inversas

Considera las siguientes situaciones y resuelve los problemas planteados en ellas.

1. Un albañil utiliza 9 latas de arena para preparar 2 bultos de mezcla. a) ¿Cuántas latas de arena necesita para preparar 5 bultos? b) ¿Cuántos bultos puede preparar con 36 latas de arena?

c) ¿Cuántos bultos de mezcla puede preparar con 3 latas de arena?

d) ¿Qué ocurre con el número de bultos de mezcla que pueden prepararse cuando aumentan las latas de arena?

e) ¿Y cuando disminuyen?

2. Después de una inundación en una población costera, se reunieron 120 refugiados en un albergue donde había alimentos para 25 días. Si llegan 30 refugiados más. a) ¿Para cuántos días alcanzarán los alimentos?

b) ¿Para cuántos días alcanzarán los alimentos si abandonan el albergue 40

refugiados?

c) ¿Qué ocurre con los alimentos si aumenta la población dentro del albergue? d) ¿Y si disminuye la población dentro del albergue?

3. Dos trabajadores pintan una barda en 14 días trabajando 6 horas diarias.

a) ¿En cuanto tiempo terminarán de pintar la barda cinco trabajadores trabajando

8 horas diarias?

b) ¿En cuanto tiempo terminará un solo trabajador laborando10 horas diarias? c) ¿Qué ocurre con el tiempo si aumenta el número de trabajadores?

d) ¿Y si disminuye?

(45)

B2

En los ejercicios de la actividad anterior trabajaste problemas relacionados con variaciones directas, variaciones inversas y variaciones compuestas.

Dos magnitudes varían de manera directamente proporcional si al aumentar o disminuir la primera, la segunda también aumenta o disminuye en la misma proporción; y de manera inversamente proporcional si al aumentar o disminuir la primera, la segunda disminuye o aumenta.

Así, la cantidad de bultos de mezcla que pueden prepararse aumenta si se eleva el número de latas de arena; o disminuye si se reduce el número de latas de arena. Es decir, la cantidad de mezcla elaborada es directamente proporcional a la cantidad de arena.

Por otra parte, si el número de refugiados aumenta, el número de días que duran los alimentos disminuye y viceversa. Esto significa que el número de días que duran los alimentos varía de manera inversamente proporcional al número de refugiados.

El concepto fundamental presente en las variaciones directa e inversamente proporcionales es el de proporción.

Una proporción es la igualdad entre dos razones.

Se denota como: _a

b c d =

y se lee: “a es a b como c es a d”.

Los elementos de una proporción son:

a b

c d =

extremos

medios

VARIACIONES DIRECTA

E INVERSAMENTE

(46)

B2

Y a cualquiera de los elementos de una proporción se le llama cuarta proporcional.

Por ejemplo, si se utilizan 9 latas de arena para 2 bultos de mezcla, se utilizarán

36 latas para 8 bultos, es decir:

9 2

36 8

=

“9 latas es a 2 bultos como 36 latas es a 8 bultos”, donde 9, 2, 36, 8 son cuartas proporcionales.

Regla de

3

Regla de tres. Es la manera de plantear una proporción y nos permite resolver situaciones donde sea necesario calcular una cuarta proporcional cuando se conocen las otras tres.

Una regla de tres puede ser directa, inversa o compuesta, según la variación (directa, inversa o compuesta).

Una regla de tres la planteamos de la siguiente manera:

Colocamos el antecedente y el consecuente de la primera razón; debajo de ellos, el antecedente y el consecuente de la segunda razón, respectivamente (uno de éstos es la incógnita); es decir, la regla de tres la establecemos de la siguiente forma:

a --- b c --- x

A partir de ahí, la proporción la establecemos de la siguiente manera:

Si es directa:

a c

b x

=

y si es inversa:

a c

x b

=

Para resolver la regla de tres, ya sea directa o inversa, utilizamos la: