Documento soluciones examen UD1, IntGrav, y UD2, IntEM, Fís2ºBB

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OPCIÓN A

1.

a) ¿Por qué las interacciones electrostática y gravitatoria son conservativas mientras que la interacción magnética no lo es? ¿Cómo se puede definir la energía potencial en un campo conservativo? (CE 2.3 – 2.4)

Las interacciones electrostática y gravitatoria son conservativas porque el trabajo que realizan las fuerzas de dichos campos entre dos puntos no dependen del camino seguido, sino de los puntos inicial y final. También se puede decir que son conservativos porque el trabajo que realizan dichas fuerzas a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo. Además y por ese motivo se pueden definir las correspondientes energías potenciales electrostática y gravitatoria.

Por el contrario, el trabajo que realiza la interacción magnética sí depende del camino seguido entre dos puntos, o dicho de otra forma el trabajo que realizan dichas fuerzas a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo y, en consecuencia, no se puede definir una energía potencial magnética.

La energía potencial en un campo de fuerzas conservativo se puede definir como una función escalar, Ep(x,y,z), tal que

WAB

Γ= WAB(campo) = WCAB= −ΔEpAB= Ep(A) − Ep(B) WCAB= −ΔEpAB

Esto implica que es posible hallar WABΓ, puesto que solamente depende de A y B, puntos inicial y final, WCAB.

La energía potencial representa un campo escalar, magnitud escalar en cada punto, que se relaciona con el campo vectorial conservativo.

El signo “–” da idea de magnitud en potencia (potencial) que se consume para producir trabajo.

De la expresión se puede extraer que sólo se puede conocer ΔEpAB, no Ep(A) ni Ep(B), salvo elección de origen de Ep. Si se elige como origen de energía potencial el infinito, la energía potencial gravitatoria de una masa en el punto P es el trabajo que realizan las fuerzas del campo cuando dicha masa se desplaza desde el punto hasta el infinito:

WC∞P = −ΔEp∞P = −Ep(P) + Ep(∞); como Ep(∞) = 0 ⇒ WC∞P = −E

p(P) ⇒ Ep(P) = WCP∞

b) Dos cargas puntuales q1 = 2 µC y q2 = – 2 µC están situadas en los puntos A (– 3 ,0) m y B (3,0) m respectivamente.

Calcula el vector intensidad de campo electrostático en el punto C(0, 4) m debido a estas dos cargas. ¿Qué energía potencial notará una tercera carga de – 5 µC situada en el punto C? (CE 2.1 – 2.2)

ko = 9,0 · 109 N·m2·C-2

Estrategia de resolución. Para hallar el vector intensidad de campo electrostático neto en el punto solicitado obtendremos los producidos por cada una de las cargas por separado, para finalmente sumarlos vectorialmente (principio de superposición). Antes de proceder debemos escribir las magnitudes en las unidades adecuadas, en el SI:

* Cargas:

- Q1= q1= 2 μC = 2 · 10−6 C;

- Q2= q2= −2 μC = −2 · 10−6 C;

- q = −5 μC = −5 · 10−6 C.

El vector intensidad de campo electrostático:

E

⃗⃗ total(C) = ∑ E⃗⃗⃗ (C) =i

n

i=1

E1

⃗⃗⃗⃗ (C) + E⃗⃗⃗⃗ (C) = ∑ k2 Qi ri2 u⃗⃗⃗⃗⃗ =ri

n

i=1

kQ1

r12 u⃗⃗⃗⃗⃗ + kr1

Q2 r22 u⃗⃗⃗⃗⃗ r2

Donde:

r1

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = AC1C ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,4) − (−3,0) = 3 i + 4 j m → r1= √25 m = 5 m → u⃗⃗⃗⃗⃗ =r1

3 5i +

4 5 j

r2

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = BC2C ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,4) − (3,0) = −3 i + 4 j m → r2= 5 m → u⃗⃗⃗⃗⃗ = −r2

3 5i +

4 5 j

E1

⃗⃗⃗⃗ (C) = kQ1

r1C2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 9 · 10r1C 9 N · m2· C−2

2 · 10−6 C (5 m)2 (

3 5i +

4

5 j ) = 432 i + 576 j N · C −1

E2

⃗⃗⃗⃗ (C) = kQ2

r2C2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 9 · 10r2C

9 N · m2· C−2−2 · 10−6 C

(5 m)2 (−

3 5i +

4

5 j ) = 432 i − 576 j N · C −1

𝐄⃗ 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥(𝐂) = 𝟖𝟔𝟒 𝐢 𝐍 · 𝐂−𝟏

El vector intensidad de campo electrostático total en el punto C nos indica la fuerza que ejerce el campo sobre la unidad de carga positiva supuesta situada en dicho punto C, es decir, un culombio positivo situado en C experimenta una fuerza de

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Para hallar la energía potencial que notará una carga q situada en el punto C podemos hacer uso del potencial electrostático debido a las dos cargas en dicho punto, Ep(C) = q · V(C) recordando el potencial lo obtendremos sumando los potenciales producidos por

cada carga puntual por separado, Vi(P) = k qi

riC.

Luego:

V1(C) = kq1

r1C= 9 · 10

9 N · m2· C−22 · 10−6 C

5 m = 3,6 · 10

3 V

V2(C) = k q2 r2C

= 9 · 109 N · m2· C−2−2 · 10

−6 C

5 m = −3,6 · 10

3 V

V(C) = V1(C) + V2(C) = 0 V

Ep(C) = q · V(C) = −5 · 10−6 C · 0 V = 0 J

La energía potencial que notará la carga es de 𝟎 𝐉.

2.

a) Explica razonadamente de qué factores depende la fuerza por unidad de longitud que se ejercen mutuamente dos corrientes eléctricas eléctricos rectilíneos, paralelos e indefinidos o infinitos. Define la unidad de intensidad de corriente eléctrica en el Sistema Internacional a partir de la fuerza citada. (CE 2.13 – 2.14)

Para explicar razonadamente de qué factores depende la fuerza por unidad de longitud que se ejercen mutuamente dos corrientes eléctricas rectilíneas, paralelas e indefinidas o infinitas sería conveniente primero deducir o recordar cómo

es la expresión matemática de dicha fuerza.

Consideremos dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos separados una distancia d, por los que circulan dos corrientes eléctricas, I1 e I2, del mismo sentido.

El campo magnético sobre I2, B⃗⃗ 1, debido a I1 es: |B⃗⃗ 1| =2 π dμ I1.

Luego sobre un segmento de longitud l del conductor 2 aparece una fuerza magnética, F⃗ 21, tal que F⃗ 21 = I2 l ∧ B⃗⃗ 1 de carácter atractivo.

De la misma forma el conductor 2 produce un campo magnético sobre I1, B⃗⃗ 2, |B⃗⃗ 2| = μ I2

2 π d, de tal modo que

aparece una fuerza sobre un segmento de longitud l del conductor 1 debida al campo magnético producido por el conductor 2, F⃗ 12, tal que

F

12= I1 l ∧ B⃗⃗ 21.

De este modo

F

21= −F⃗ 12⇒ |F⃗ 21| = |F⃗ 12| = I2· l · |B⃗⃗ 1| · sen 90o= I 2· l ·

μ I1 2 π d=

μ · I1· I2· l 2 · π · d

Y la fuerza atractiva, en este caso, por unidad de longitud que se ejercen mutuamente los dos conductores:

|F⃗ | =|F⃗ 21|

l =

μ · I1· I2 2 · π · d

Teniendo en cuenta esta expresión podemos concluir que la fuerza por unidad de longitud que se ejercen mutuamente los dos conductores depende de la intensidad que circula por ellos, I1 e I2, de la distancia d que los separa y del medio que hay entre ellos

explicitado por la permeabilidad magnética µ.

La unidad de intensidad de corriente eléctrica en el Sistema Internacional, el amperio, es la intensidad de corriente eléctrica que, circulando por dos conductores rectilíneos y paralelos de longitud indefinida y sección despreciable, puestos en el vacío a una distancia de un metro, produce en cada conductor una fuerza de 2 · 10-7 N por cada metro de longitud.

A partir de la expresión |F⃗ | =|F⃗⃗ 21|

l =

μ·I1·I2

2·π·d y sustituyendo I1 e I2 por un amperio (1 A), la permeabilidad magnética del vacío μ0 =

4π·10-7 N A-2 y la distancia d de un metro (1 m) podemos llegar a que la fuerza por unidad de longitud es de 2 · 10-7 N·m-1:

|F⃗ | =|F⃗ 21|

l =

μ · I1· I2 2 · π · d =

4π · 10−7 N · A−2 · 1 A · 1 A

2 · π · 1 m = 2 · 10−7 N · m−1

b) Un protón penetra en el seno de un campo magnético uniforme con una velocidad perpendicular al campo. El protón describe una trayectoria circular con un periodo de 2·10-8 s y 0,03 m de radio. i) Dibuja el esquema correspondiente y

calcula el valor de su velocidad y del campo magnético. ii) Si introdujéramos en el campo un electrón con la misma velocidad, dibuje su trayectoria y determine el valor de su radio. (2.8 – 2.10)

e = 1,6 · 10-19 C; m

e = 9,1·10-31 kg; mp = 1,7·10-27 kg

i) Estrategia de resolución. Para dibujar la trayectoria que seguirá la carga en el campo magnético, deduciendo y hallando el radio de la misma, habrá que aplicar el principio fundamental de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , así como la expresión de la fuerza de Lorentz,

Fm

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Un dibujo de la trayectoria que seguirá la partícula positiva (protón) tras penetrar en el campo magnético lo podemos observar a la derecha:

Para determinar la velocidad que lleva el protón debemos hacer uso de los conocimientos cinemáticos del movimiento circular uniforme, T =2·π·R

v , y en consecuencia v = 2·π·R

T :

v =2 · π · R

T =

2 · π · 0,03 m

2 · 10−8 s = 9,4 · 106 m · s−1

Esto quiere decir que la velocidad a la que se mueve el protón es de 𝟒, 𝟕 · 𝟏𝟎𝟔 𝐦 · 𝐬−𝟏.

Para hallar el campo magnético podemos primero deducir el radio de la trayectoria, sabiendo

que describirá un movimiento circular uniforme, a partir del segundo principio de la dinámica aplicado a la fuerza de Lorentz que se ejerce sobre la carga, considerándola como fuerza centrípeta:

∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ F⃗⃗⃗⃗⃗ = m · a⃗ ⇒ Q v⃗ ∧ Bm ⃗⃗ = m · a⃗ ⇒ |Q| |v⃗ | |B⃗⃗ | sen θ = m · ac= m · |v⃗ |2

R

|Q| · |B⃗⃗ | = m ·|v⃗ | R

R = m · |v⃗ | |Q| · |B⃗⃗ |

Ahora podemos hallar el campo magnético:

|B⃗⃗ | =m · |v⃗ | |Q| · R

|B⃗⃗ | =1,7 · 10−27· 9,4 · 106 m · s−1

1,6 · 10−19· 0,03 m = 3,3 T

Por tanto, el campo magnético en el que se encuentra el protón es de 3,3 T perpendicular a su velocidad.

ii) Estrategia de resolución. Si introdujéramos en el campo un electrón con la misma velocidad, su trayectoria tendría menor radio (al tener menor masa) y estaría recorrida en sentido contrario a la del protón (al tener carga de signo contrario), mientras que el valor de su radio se podría determinar a través de la expresión deducida anteriormente, R = m·|v⃗⃗ |

|Q|·|B⃗⃗ |.

El dibujo se puede observar en la figura de la derecha: Ahora hallamos el radio:

R = m · |v⃗ | |Q| · |B⃗⃗ |=

9,1 · 10−31 kg · 9,4 · 106 m · s−1

1,6 · 10−19 C · 3,3 T = 1,6 · 10−5 m

Es decir, el electrón describirá una trayectoria circular de radio 𝟏, 𝟔 · 𝟏𝟎−𝟓 𝐦 (0,016 mm).

3.

a) Un selector de velocidades es una región en la que existen un campo eléctrico y otro magnético cruzados. Un electrón atraviesa en línea recta un selector de velocidades. Discute la relación, ayudándote de esquemas, entre los vectores

v

⃗ , B⃗⃗ y E⃗⃗ , si: (i) El electrón mantiene fija su velocidad. (ii) El electrón sigue un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. (CE 2.8 – 2.10)

i) Para que el electrón atraviese el selector en línea recta y manteniendo fija su velocidad la aceleración que nota debe ser nula y, por tanto según el principio fundamental de la dinámica, la fuerza resultante sobre él también será cero. De este modo:

∑ F⃗ = m · a⃗

FE

⃗⃗⃗⃗ + F⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ m

Q E⃗⃗ + Q v⃗ ∧ B⃗⃗ = 0⃗

E⃗⃗ + v⃗ ∧ B⃗⃗ = 0⃗

E

⃗⃗ = − v⃗ ∧ B⃗⃗

F ⃗ m

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Esto quiere decir que el campo eléctrico cruzado con el campo magnético debe ser perpendicular tanto a la velocidad de la carga como al campo magnético, de tal modo que este dirigido en sentido contrario al producto vectorial de la velocidad por el vector inducción magnética.

Se puede observar a la derecha una imagen en la que se puede ver un ejemplo de selector de velocidades que cumple la condición impuesta. Aunque se trata de una carga positiva, como se ha podido ver en la expresión E⃗⃗ = − v⃗ ∧ B⃗⃗ , la relación entre esos tres vectores no depende del signo de la carga.

ii) Para que el electrón siga con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado la aceleración que notaría debería ser constante y de tipo tangencial, es decir, la aceleración centrípeta o normal debería ser nula. Esto conlleva que la fuerza magnética, que es la que produce la desviación de la carga al

imprimir una aceleración centrípeta, debe quedar anulada al igual que antes. Sin embargo debe quedar cierta componente del campo eléctrico que produzca la aceleración tangencial. Con estas condiciones podemos entender que el campo electrostático debe poseer una componente perpendicular a la velocidad y al vector inducción magnética que dé lugar a una fuerza eléctrica que contrarreste a la fuerza magnética del mismo modo que en el apartado anterior, E⃗⃗ = − v⃗ ∧ B⃗⃗ , mientras que además debe tener una componente de la misma dirección de la velocidad (y de sentido contrario al tratarse de un electrón) que origine la fuerza que acelere la carga (aceleración tangencial).

De este modo:

∑ F⃗ = m · a⃗

FE

⃗⃗⃗⃗ + F⃗⃗⃗⃗⃗ = m · a⃗ m

FE

⃗⃗⃗⃗ + F⃗⃗⃗⃗⃗ = m · (a⃗ m t+ a⃗ c) ⇒ { FE ⃗⃗⃗⃗

∥= m · a⃗ t FE

⃗⃗⃗⃗

⊥+ F⃗⃗⃗⃗⃗ = m · a⃗ m c= 0⃗

Así, para la componente del campo eléctrico paralela o de la misma dirección que la velocidad:

FE ⃗⃗⃗⃗

∥= m · a⃗ t

Q · E⃗⃗ = m · a⃗ t

E

⃗⃗ =m · a⃗ t Q

Mientras que para la componente del campo electrostático perpendicular a la velocidad y al vector inducción magnética:

Q E⃗⃗ + Q v⃗ ∧ B⃗⃗ = 0⃗

E⃗⃗ + v⃗ ∧ B⃗⃗ = 0⃗

E

⃗⃗ = − v⃗ ∧ B⃗⃗

En consecuencia, para que el electrón mantenga la trayectoria rectilínea con movimiento uniformemente acelerado el campo electrostático combinado con el campo magnético debe ser:

E

⃗⃗ = E⃗⃗ ∥+ E⃗⃗ ⊥= m · a⃗ t

Q + (− v⃗ ∧ B⃗⃗ )

E

⃗⃗ =m · a⃗ t

Q − v⃗ ∧ B⃗⃗

Donde m es la masa del electrón, v⃗ es su velocidad y Q es su carga, mientras que a⃗ t es la aceleración que notará el electrón en su

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

b) Considera una carga puntal de 5 · 10-6 C localizada en el vacío. Determina: i) Los puntos de la línea que la une a otra

carga de – 2,5 · 10-6 C en los que el potencial eléctrico es nulo teniendo en cuenta que están separadas 3 m. ii) El trabajo

necesario para transportar una carga puntual de – 2 · 10-6 C desde el infinito hasta una distancia de 0,50 m de la carga

original, indicando razonadamente el significado del signo del trabajo obtenido. (CE 2.3 – 2.4) K = 9·109 N m2 C-2

i) Estrategia de resolución. Para determinar los puntos de la línea que une las dos cargas, Q1 = 5 · 10-6 C y Q2 = – 2,5 · 10-6 C, en los

que el potencial eléctrico es nulo teniendo en cuenta que están separadas 3 m, deberemos tener en cuenta que la suma de los

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potenciales debidos a cada una de ellas debe ser cero, V(P) = V1(P) + V2(P), así como la expresión del potencial electrostático

debido a una carga puntual Q en un punto que se encuentra a una distancia r de ella, V(P) = kQ r.

De este modo:

V(P) = V1(P) + V2(P) = 0

V(P) = kQ1 r1 + k

Q2 r2 = 0

kQ1 r1 = −k

Q2 r2

Q1 r1 = −

Q2 r2

Junto a esta expresión debemos encontrar otra que relacione a las distancias r1 y r2 y que tiene que ver con las condiciones en las

que se hayan las cargas.

Habrá dos puntos de la línea que une la cargas en los que el potencial se podrá anular, situándose ambos más próximos a la carga de menor valor absoluto, tanto entre las dos cargas, r1+ r2= 3 m, como fuera de ese segmento, r1= r2+ 3 m.

Con estas condiciones y la anterior podremos obtener las distancias de las cargas a los puntos solicitados resolviendo el correspondiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El primero de ellos:

Q1 r1

= −Q2 r2 r1+ r2= 3 m

} ⇒

5 · 10−6 C r1

= −−2,5 · 10

−6 C

r2 r1+ r2= 3 m

} ⇒ {rr1= 2 m

2= 1 m

Es decir, entre las dos cargas a un metro de la más pequeña en valor absoluto y a dos metros de la mayor.

El primero de ellos:

Q1 r1 = −

Q2 r2 r1+ r2= 3 m

} ⇒

5 · 10−6 C r1

= −−2,5 · 10

−6 C

r2 r1= r2+ 3 m

} ⇒ {rr1= 6 m

2= 3 m

Es decir, fuera del segmento que une las dos cargas a tres metros de la más pequeña en valor absoluto y a seis metros de la mayor.

ii) Estrategia de resolución. Para hallar el trabajo necesario para transportar una carga puntual de – 2 · 10-6 C desde el infinito hasta

una distancia de 0,50 m de la carga original obtendremos el trabajo realizado por la fuerza conservativa a partir de la variación de la energía potencial y de la diferencia de potencial entre el infinito y el punto en cuestión, WC∞P = −ΔEp∞P = −Q · ∆V∞P.

Esto quiere decir que debemos hallar el potencial en el punto P, V(P) = kQ

r, puesto que el potencial en el infinito es cero.

Así, teniendo en cuenta que r = 0,50 m:

V(P) = kQ

r = 9 · 10

9 N · m2· C−25 · 10−6 C

0,50 m = 9 · 10

4 V

Por tanto:

WC∞P = −ΔEp∞P = −Q · ∆V∞P

WC∞P = −Q · [V(P) − V(∞)]

WC∞P = −Q · V(P) = −(−2 · 10−6 C) · 9 · 104 V = 0,18 J

En consecuencia el trabajo que se realiza (lo realizan las fuerzas del campo al ser positivo) es de 0,18 J.

4.

a) Describe y dibuja cómo es el campo magnético y las líneas de fuerza generados por un hilo rectilíneo e infinito por el que circula una corriente de intensidad I en un punto situado a una distancia d de dicho hilo. (CE 2.9 – 2.12)

En la figura adjunta a la derecha se representa de distintas formas una corriente rectilínea de intensidad constante, I, y el campo magnético que produce en un punto situado a una distancia R (d) de ella.

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- El módulo (que se podría obtener a partir de la ley de Ampère) es |B⃗⃗ (P)| =2·π·dμ·I , donde I es la intensidad de corriente, d es la distancia al punto y µ es la permeabilidad magnética del medio.

- La dirección es perpendicular a la corriente y a la distancia al punto en el que se determina el campo magnético.

- El sentido viene dado por la regla de Maxwell (sacacorchos) o de la mano derecha con el sentido de la corriente.

Las líneas de campo o de fuerza son circunferencias concéntricas centradas en el conductor y situadas en planos perpendiculares a él, como se puede ver también en el dibujo correspondiente de la izquierda.

b) Nuestra profesora particular nos está explicando eso que se denomina inducción electromagnética (por supuesto lo hace mucho mejor que nuestro triste profesor). Para ilustrar la explicación utiliza una bobina circular de 6,0 cm de diámetro, con 750 espiras y un imán de neodimio que es capaz de producir un campo magnético máximo de 0,40 T perpendicular al plano de las espiras. Para que aprendamos mejor los conceptos nos pide que hallemos el flujo máximo que atraviesa la bobina y la fuerza electromotriz que se inducirá en la misma bobina cuando alejamos el imán reduciéndose el campo hasta 0,10 T en 0,05 s. Para comprobar que lo tenemos todo muy claro nos solicita también que dibujemos un esquema en el que se observe el sentido de la corriente inducida. (CE 2.16 – 2.17 – 2.18)

Estrategia de resolución. Obtendremos la fuerza electromotriz inducida a partir de la ley de Lenz-Faraday, εind= −Ndϕm

dt , teniendo

en cuenta que aumenta el flujo magnético que atraviesa la bobina al pasar la intensidad del campo magnético desde 0,40 T, valor máximo, hasta el valor de 0,10 T. La aparición de la fuerza electromotriz se debe a que se reducirán las líneas de campo que atraviesan dicha bobina y, por tanto, el flujo magnético, generándose un campo magnético, una fuerza electromotriz y una corriente eléctrica inducida que se opondrá a esa variación, disminución. De este modo la fuerza electromotriz media se podrá calcular a partir de εind = −NΔϕΔtm.

Para ello recordemos la expresión del flujo magnético: ϕm= B⃗⃗ · S⃗ = |B⃗⃗ | · |S⃗ | · cos θ.

Teniendo en cuenta que sólo cambia el campo magnético, que la superficie es un círculo, |S⃗ | = π · R2= π · (D 2)

2

, donde D = 6,0 cm = 0,060 m y que  = 0º (dirección y sentido del campo magnético igual a la dirección y sentido del vector superficie de la bobina, campo magnético perpendicular al plano de las espiras), la variación de flujo será:

Δϕm= Δ|B⃗⃗ | · |S⃗ | = Δ|B⃗⃗ | · π · ( D 2)

2

Mientras que el flujo magnético máximo corresponderá a la situación en la que el campo magnético es máximo, es decir, 0,40 T. Así:

ϕm= B⃗⃗ · S⃗ = |B⃗⃗ | · |S⃗ | · cos θ

ϕm= |B⃗⃗ | · π · (D 2)

2 · cos θ

ϕm= 0,40 T · π · (0,06 m

2 )

2

· cos 0o= 1,1 · 10−3 Wb

De este modo, el flujo magnético máximo es de 𝟏, 𝟏 · 𝟏𝟎−𝟑 𝐖𝐛.

Teniendo en cuenta que Δt = 0,05 s podemos hallar la fuerza electromotriz media:

εinducida= −NΔϕm

Δt = −

N · Δ|B⃗⃗ | · π · (D2)2

Δt = −

750 · (0,10 T − 0,40 T) · π · (0,060 m2 ) 2

0,04 s = 12,7 V

Por tanto, la fuerza electromotriz media inducida en la bobina es de 12,7 V.

El sentido de la corriente inducida se puede determinar desde dos perspectivas:

- la primera a partir del signo positivo de la fuerza electromotriz inducida, que nos indica que la polaridad de la fem y el sentido de la corriente inducida daría lugar a un campo magnético del mismo sentido del vector superficie (y del campo magnético original) que hemos tomado, es decir, como se ve en el dibujo, sentido horario para que produzca un campo magnético del mismo sentido; - la segunda perspectiva de razonamiento se refiere a que el sentido de la corriente debe ser tal que se oponga a la variación del flujo magnético que atraviesa la superficie de la bobina, en este caso se produce una disminución del flujo entrante (reducción de líneas de campo magnético que entran

en el papel) y, por tanto, la corriente inducida será tal que genere un campo magnético cuyo sentido y cuyo flujo sea contrario al que está disminuyendo, es decir, que entre en el papel y según la regla de la mano derecha, de sentido horario, según el dibujo, dedo

I

B ⃗⃗

B

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gordo hacia dentro indicando el sentido del campo magnético y restantes dedos en sentido horario indicando el sentido de la corriente inducida.

OPCIÓN B

1.

a) Describe y haz un dibujo de la fuerza que ejerce un campo magnético B⃗⃗ sobre un conductor rectilíneo de longitud l situado perpendicularmente al vector inducción magnética por el que circula una corriente I. A partir de esta fuerza deduce la expresión de la fuerza por unidad de longitud que se ejercen mutuamente dos conductores rectilíneos, paralelos e infinitos. (CE 2.13 – 2.14)

La fuerza que ejerce un campo magnético B⃗⃗ sobre un conductor rectilíneo de longitud l situado perpendicularmente al vector inducción magnética por el que circula una corriente I se obtiene a partir de la expresión F⃗ = I l ∧ B⃗⃗ , que nos indica que esta fuerza tiene:

- Un módulo igual a:

F

⃗ = I l ∧ B⃗⃗ ⇒ |F⃗ | = |I l ∧ B⃗⃗ | = I · |l | · |B⃗⃗ | · sen 90o= I · |l | · |B⃗⃗ | |F⃗ | = I · |l | · |B⃗⃗ |

- Una dirección de la fuerza que es perpendicular tanto al hilo como al campo magnético, es decir, es perpendicular al plano que contiene a ambos vectores.

- Un sentido que vendrá dado por la regla de Maxwell, de la mano derecha o del sacacorchos llevando el vector l sobre el vector B⃗⃗ . Lo podemos ver en el dibujo de la derecha:

A partir de la fuerza que un campo magnético ejerce sobre un hilo rectilíneo, F⃗ = I l ∧ B⃗⃗ , se puede deducir la fuerza por unidad de longitud que se ejercen mutuamente dos corrientes eléctricas rectilíneas, paralelas

e indefinidas o infinitas, |F⃗⃗ 21l |=μ·I1·I2

2·π·d.

Consideremos dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos separados una distancia d, por los que circulan dos corrientes eléctricas, I1 e I2, del mismo sentido.

El campo magnético sobre I2, B⃗⃗ 1, debido a I1 es: |B⃗⃗ 1| = μ I1

2 π d.

Luego sobre un segmento de longitud l del conductor 2 aparece una fuerza magnética, F⃗ 21, tal que F⃗ 21= I2 l ∧ B⃗⃗ 1 de carácter atractivo.

De la misma forma el conductor 2 produce un campo magnético sobre I1, B⃗⃗ 2, |B⃗⃗ 2| = μ I2

2 π d, de tal modo que aparece una fuerza sobre

un segmento de longitud l del conductor 1 debida al campo magnético producido por el conductor 2, F⃗ 12, tal que F⃗ 12= I1 l ∧ B⃗⃗ 21.

De este modo

F

21= −F12⇒ |F21| = |F12| = I2· l · |B⃗⃗ 1| · sen 90o= I 2· l ·

μ I1 2 π d=

μ · I1· I2· l 2 · π · d

Y la fuerza atractiva, en este caso, por unidad de longitud que se ejercen mutuamente los dos conductores:

|F⃗ | =|F⃗ 21|

l =

μ · I1· I2 2 · π · d

b) Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos separados 0,2 m transportan corrientes de 10 y 4 A, respectivamente, en sentidos opuestos. i) Dibuja en un esquema el campo magnético producido por cada uno de los conductores en un punto del plano definido por ellos y situado a 0,1 m a la derecha del segundo y calcula la intensidad del campo total. ii) Determina la fuerza que un electrón notará en el punto indicado cuando se mueve paralelamente a los dos hilos en el sentido de la primera corriente a 2,5 · 105 m·s-1. (2.9 – 2.12)

e = 1,6 · 10-19 C; μ

0 = 4π·10-7 N A-2

i) Estrategia de resolución. Para dibujar en un esquema el campo magnético producido por cada uno de los conductores en un punto del plano definido por ellos y situado a 0,1 m a la derecha del segundo y calcular la intensidad

del campo total, recordaremos primero cómo es el campo magnético debido a un hilo rectilíneo e infinito (o indefinido).

En la figura adjunta a la derecha se representa de distintas formas una corriente rectilínea de intensidad constante, I, y el campo magnético que produce en un punto situado a una distancia R (d) de ella.

Ese vector inducción magnética se puede describir a partir de sus características vectoriales: - El módulo (que se podría obtener a partir de la ley de Ampère) es |B⃗⃗ (P)| = μ·I

2·π·d, donde I es

la intensidad de corriente, d es la distancia al punto y µ es la permeabilidad magnética del medio.

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De este modo, el vector inducción magnética producido por ambos conductores lo podemos observar en los esquemas, en los que hemos elegido un sistema de referencia (eje X en verde, eje Y en azul y eje Z en rojo) en el que los dos hilos se hayan en el plano YZ con sus direcciones en el eje OY:

Para calcular el campo total haciendo uso del principio de superposición, B⃗⃗ total(P) = ∑ni=1B⃗⃗⃗ (P) =i B⃗⃗⃗⃗ (P) + B1 ⃗⃗⃗⃗ (P)2 , debemos tener en cuenta que el campo debido al primer

hilo está dirigido en el sentido positivo del eje OX (i ) y que el hilo se encuentra a r1 =

0,3 m del punto; mientras que el debido al segundo hilo tiene sentido negativo del eje OX (−i ) a r2 = 0,1 m de dicho punto.

Así:

- Primer hilo:

B

⃗⃗ 1= μ I1 2 π r1

i =4π · 10

−7 N · A−2· 10 A

2 π · 0,3 m i = 6,7 · 10

−6 i T

- Segundo hilo:

B

⃗⃗ 2= μ I2

2 π r2(−i ) =

4π · 10−7 N · A−2· 4 A

2 π · 0,1 m (−i ) = −8 · 10

−6 i T

Por tanto, el campo neto es:

B

⃗⃗ total(P) = ∑ B⃗⃗⃗ (P) =i

n

i=1

B1

⃗⃗⃗⃗ (P) + B⃗⃗⃗⃗ (P)2

B

⃗⃗ total(P) = 6,7 · 10−6 i T + (−8 · 10−6 i T) = −1,3 · 10−6 i T

De este modo, el vector inducción magnética total en el punto indicado es

𝐁

⃗⃗ = −𝟏, 𝟑 · 𝟏𝟎−𝟔 𝐢 𝐓 (en color violeta en la figura).

ii) Para hallar la fuerza que un electrón notará en el punto indicado cuando se mueve paralelamente a los dos hilos en el sentido de la primera corriente a 2,5 · 105 m·s-1 (2,5 · 105 j m · s−1 según nuestro sistema de referencia), debemos

aplicar la ley de Lorentz, F⃗⃗⃗⃗⃗ = Q v⃗ ∧ Bm ⃗⃗ .

De este modo:

Fm

⃗⃗⃗⃗⃗ = Q v⃗ ∧ B⃗⃗ = −1,6 · 10−19 C · 2,5 · 105 j m · s−1∧ −1,3 · 10−6 i T

Fm

⃗⃗⃗⃗⃗ = −5,2 · 10−20 k⃗ N

Por tanto, la fuerza magnética que nota el electrón es −𝟓, 𝟐 · 𝟏𝟎−𝟐𝟎 𝐤 𝐍.

2.

a) Una carga eléctrica puntual con valor Q se encuentra en el vacío. i) Si el potencial aumenta al alejarnos de la carga, indica razonadamente el signo de la misma. ii) Explica qué le sucederá a la energía potencial una carga positiva que se acerca a la carga Q y dibuja cómo será la fuerza que note. (CE 2.3 – 2.4)

Para contestar a las cuestiones que se plantean deberíamos recordar los conceptos y las expresiones del potencial y la energía potencial electrostática debidos a una carga puntual.

i) El potencial electrostático en un punto P es la energía potencial electrostática de la unidad de carga positiva supuesta situada en dicho punto. Matemáticamente se podría obtener a partir de la siguiente expresión V(P) =EP(P)

QP o V(P) =

EP(P)

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Para una carga puntual Q en un punto separado una distancia r de ella sería V(P) = kQ r.

De este modo, si el potencial aumenta cuando nos alejamos de la carga Q solamente puede suponer que dicha carga es negativa para que a medida que la distancia es mayor el valor absoluto de kQ

r sea cada vez menor y con la carga negativa el resultado es menor.

ii) La energía potencial electrostática en un punto P es el trabajo que realizan las fuerzas del campo cuando una carga se desplaza desde el punto hasta el infinito, Ep(P) = WCP∞.

Podemos escribir esta energía en función del potencial: Ep(P) = QP· V(P).

También la podemos escribir en función de los valores de las cargas puntuales y de la distancia que las separa: Ep(P) = kQ·QP

r .

En consecuencia podemos afirmar que la energía potencial de una carga positiva que se acerca a la carga Q (negativa) disminuye. Para explicarlo podemos recordar que la carga positiva es atraída por la carga negativa, acercándose espontáneamente (trabajo de las fuerzas del campo positivo) y reduciéndose la energía potencial (WCAB= −∆EpAB).

Si nos fijamos en la relación con el potencial también podemos ver que puesto que este se reduce al acercarnos a la carga Q negativa también lo hace la energía potencial de la caga positiva, Ep(P) = QP· V(P).

Del mismo modo lo podemos ver con la expresión Ep(P) = k

Q·QP

r , de modo que al disminuir r la

energía potencial disminuye teniendo en cuenta que es negativa debido a la carga Q.

La fuerza que nota la carga QP es atractiva y la podemos observar en el esquema de la derecha:

b) Un alternador elemental está formado por una bobina de 2000 espiras de sección circular de 10 cm de radio, inicialmente contenida en un plano horizontal, que gira con una frecuencia de 50 Hz en torno a uno de sus diámetros en el seno de un campo magnético uniforme vertical de 0,4 T. Halla el flujo que atraviesa la bobina y deduce y calcula el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en la bobina. (2.16 – 2.17 – 2.18)

Estrategia de resolución. Para hallar el flujo que atraviesa la bobina haremos uso de la expresión correspondiente, ϕm= ∫ B⃗⃗ · S⃗ ,

teniendo en cuenta que la superficie de la bobina se determinará a partir del área de un círculo, A = π · R2, conociendo el radio R = 10 cm = 0,10 m, y que el campo es inicialmente perpendicular al plano de la bobina, θo= 0, girando con una frecuencia de 50 Hz

y una velocidad angular correspondiente de ω = 2π · f = 2π · 50 Hz = 100 π rad · s−1.

De este modo:

ϕm= ∫ B⃗⃗ · S⃗ = |B⃗⃗ | · |S⃗ | · cos θ

ϕm= |B⃗⃗ | · π · R2· cos ωt

ϕm= 0,40 T · π · (0,10 m)2· cos(100 π · t)

ϕm= 0,40 T · π · (0,10 m)2· cos(100 π · t) = 0,0126 · cos(100 π · t) (SI)

𝛟𝐦= 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟔 · 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟎𝟎 𝛑 · 𝐭) (𝐒𝐈)

Como ya hemos deducido en las clases, la fuerza electromotriz inducida en una espira que gira en el seno de un campo magnético uniforme inicialmente perpendicular a la misma es aplicando la ley de Lenz-Faraday, εind= −Ndϕm

dt :

εind= −Nd

dt(|B⃗⃗ | · |S⃗ | · cos ωt)

εind= −N · |B⃗⃗ | · |S⃗ | · (−sen ωt) · ω

εind= N · |B⃗⃗ | · |S⃗ | · ω · sen ωt = εo· sen ωt

La fuerza electromotriz máxima es εo= N · |B⃗⃗ | · |S⃗ | · ω.

Continuamos teniendo en cuenta que la bobina tiene espiras circulares y su superficie es |S⃗ | = π · R2, donde R = 10 cm = 0,10 m:

εo= N · |B⃗⃗ | · |S⃗ | · ω = N · |B⃗⃗ | · π · R2· ω = 2000 · 0,40 T · π · (0,10 m)2· 100π rad s−1= 7,9 · 103 V

Es decir, la fuerza electromotriz máxima que se induce en la bobina es de 𝟕, 𝟗 · 𝟏𝟎𝟑 V.

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3.

a) Explica apoyándote en dibujos una de las tres experiencias de Faraday – Henry. ¿Cómo es la corriente inducida en una espira circular de una de esas experiencias cuando: (i) se le acerca un imán por su polo sur; (ii) se interrumpe la corriente que circula por otra espira circular próxima a la primera? (CE 2.16 – 2.17 – 2.18)

(1) Cuando un imán se acerca a una espira circular por su polo sur se produce un aumento de las líneas de campo (flujo) magnético saliente en la espira circular, por tanto, según la ley de Lenz, la fuerza electromotriz y la corriente inducidas se opondrán a dicho aumento, produciendo un campo y flujo magnéticos entrantes, es decir, otro polo sur. En el dibujo de la derecha se puede observar este efecto.

(2) Cuando se interrumpe la corriente que circula por otra espira circular próxima a la primera se produce una disminución del flujo magnético en esta última, induciéndose en ella una fuerza electromotriz y una intensidad de corriente del mismo sentido que la que se interrumpe, y que, en consecuencia, se opone a esa disminución, generando un flujo magnético y unas líneas de campo del sentido de las que desaparecen. En el dibujo de la izquierda se puede observar este efecto.

Las leyes que explican este fenómeno son la ley de Faraday y la ley de Lenz. La primera dice que la fuerza electromotriz

inducida, ε, que da lugar a una corriente inducida en un circuito, es igual a la rapidez con que varía el flujo magnético a través de la superficie que delimita el circuito (variación del flujo magnético respecto al tiempo).

El enunciado de la ley de Lenz dice que el sentido de la corriente eléctrica inducida es tal que se opone siempre a la causa que la ha producido, es decir, a la variación de flujo magnético que la ha originado.

Faraday descubre que en todas las experiencias donde aparecen corrientes eléctricas inducidas tiene lugar una variación del flujo magnético en el tiempo. Es decir, el origen de la fuerza electromotriz inducida en la espira es la variación del flujo magnético que la atraviesa en el tiempo.

b) Una carga q1 = 8 · 10-9 C está fija en el origen de coordenadas, mientras que otra carga, q2 = – 10-9 C, se halla, también

fija, en el punto (3,0) m. Determina: (i) El potencial eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto A (4,0) m; (ii) el trabajo realizado por el campo para desplazar una carga puntual q = – 2 · 10-9 C desde A (4,0) m hasta el infinito. ¿Qué

significado físico tiene el signo del trabajo? (CE 2.3 – 2.4) K = 9 · 109 N m2 C-2

i) Estrategia de resolución. Par hallar el potencial eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto A (4,0) m aplicaremos el principio de superposición o de adición de los potenciales, V(A) = V1(A) + V2(A), recordando que el potencial debido a una carga puntual Q

en un punto situado a una distancia r dela carga es V = kQ r.

De este modo en el punto A(4, 0) m:

r⃗⃗⃗ = r1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1A1A ⃗⃗⃗⃗⃗ = (4,0)m − (0, 0)m = 4 i m r1A= 4 m r2

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2A2A ⃗⃗⃗⃗⃗ = (4,0)m − (3, 0)m = i m r2A= 1 m

V(A) = ∑ Vi(A) = V1(A) + V2(A) = kq1 r1A n

i=1

+ kq2

r2A= 9 · 10

9 N · m2· C−2·8 · 10−9 C

4 m + 9 · 10

9 N · m2· C−2·−1 · 10−9 C 1 m

V(A) = 18 V + (−9) V = 9 V

Por tanto, el potencial electrostático debido a las dos cargas en el punto A es de 9 V.

ii) Estrategia de resolución. Para determinar el trabajo realizado por el campo para trasladar una tercera carga q = – 2 · 10-9 C desde

A (4,0) m hasta el infinito lo vamos a relacionar con la variación de la energía potencial electrostática entre los citados puntos:

WcA∞= −∆EpA∞= − (Ep(∞) − Ep(A)) = Ep(A)

Utilizaremos también la relación entre la energía potencial y el potencial eléctricos, Ep(A) = q · V(A), y de este modo:

WcA∞= q · V(A)

WcA∞= −2 · 10−9· 9 V = −1,8 · 10−8 J

En consecuencia, el trabajo que realizarán las fuerzas del campo cuando se desplaza la carga es −𝟏, 𝟖 · 𝟏𝟎−𝟖 𝐉.

El signo negativo del trabajo realizado por las fuerzas del campo electrostático, −1,8 · 10−8 J, nos indica que el campo no producirá

(11)

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4.

a) Magnemite es un Pokémon de carácter inorgánico. Su cuerpo está construido de materiales superconductores de campos magnéticos así como almacenes de energía. Si genera un campo magnético B⃗⃗ perpendicular a las velocidades de un electrón y un protón, determina la relación entre los radios de las órbitas que describen ambas partículas sabiendo que mp= 2000 me y ve= 100 vp. Para obtener la relación solicitada, deduce primero el radio de la trayectoria que

describirán ambas partículas en el seno del campo magnético. (CE 2.8 – 2.10)

Si una carga Q (q) penetra en un campo magnético uniforme, B⃗⃗ , con una velocidad, v⃗ , perpendicular al campo describirá un movimiento circular uniforme. Esto se debe a que la fuerza magnética, F⃗ = Q v⃗ ∧ B⃗⃗ , es perpendicular en todo momento a v⃗ y se encuentra dirigida hacia un punto, el centro de la circunferencia de radio R que describe la carga. Así, haciendo uso del principio

fundamental de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , y del concepto de aceleración normal o centrípeta, |a⃗ n| = |v⃗⃗ |2

R :

∑ F⃗ = m · a⃗

F

⃗ = Q v⃗ ∧ B⃗⃗ = m · a⃗ n

|Q| |v⃗ | |B⃗⃗ | sen θ = m · an= m ·|v⃗ | 2

R

|Q| · |v⃗ | · |B⃗⃗ | = m ·|v⃗ |2 R

R = m · |v⃗ | |Q| · |B⃗⃗ |

R = m · |v⃗ | |q| · |B⃗⃗ |

Los radios de las trayectorias que seguirán el protón y el electrón en el seno del mismo campo magnético B⃗⃗ serán respectivamente:

Rp=

mp· |v⃗ p| |qp| · |B⃗⃗ |

Re=

me· |v⃗ e| |qe| · |B⃗⃗ |

Para determinar la relación dividiremos ambas expresiones, recordando que mp= 2000 me y ve= 100 vp, y que |qp| = |qe|:

Rp=

mp· |v⃗ p| |qp| · |B⃗⃗ |

Re=

me· |v⃗ e| |qe| · |B⃗⃗ |}

⇒Rp Re

=

mp· |v⃗ p| |qp| · |B⃗⃗ | me· |v⃗ e| |qe| · |B⃗⃗ |

=2000 · me· |v⃗ p| me· 100 · |v⃗ p| = 20

Por tanto, el radio de giro del protón resulta ser 20 veces mayor que el radio de giro del electrón, Rp = 20·Re.

b) Una partícula con carga – 2 · 10-6 C y masa 10-4 kg se encuentra en reposo en el origen de coordenadas. Se aplica un

campo eléctrico uniforme de 600 N C-1 en sentido positivo del eje OX. Realiza un esquema de la situación. La carga se

desplaza 2 m hacia un punto P. Determina: i) La diferencia de potencial entre el origen de coordenadas y el punto P. ii) La velocidad de la partícula en el punto P. Considera despreciable la fuerza gravitatoria. (CE 2.1 – 2.2)

i) Estrategia de resolución. Para hallar la diferencia de potencial entre el origen de coordenadas y el punto P podemos utilizar dos estrategias.

La primera a partir de la relación directa entre el campo y el potencial electrostáticos para un campo uniforme (intensidad igual en todos sus puntos) y unidimensional E⃗⃗ = Exi :

∆VAB= V(B) − V(A) = −Ex(xB− xA)

De esta manera, teniendo en cuenta que Ex = 600 N·C-1, xA = xO = 0 (origen de coordenadas) y xB = xP = – 2 m (la carga negativa se

desplazará en el sentido negativo del eje X hacia el punto P al notar una fuerza dirigida en esa dirección y sentido positivo del eje X, F⃗ = q · E⃗⃗ ):

∆VOP= −E

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Departamento de Física y Química Teniendo en cuenta que la carga negativa se desplaza por acción del campo, hay que recordar que se moverá hacia los potenciales crecientes y, por ello, la diferencia de potencial es positiva e igual a 1200 V.

La segunda estrategia consistiría en utilizar la relación entre el trabajo que realizan las fuerzas del campo y la diferencia de potencial a través de la energía potencial electrostática, WcOP= −∆EpOP= −q · ΔVOP, recordando que el trabajo de una fuerza constante como

la que se aplica en este caso es WcOP= F⃗ E· Δr OP.

Así:

WcOP = −q · ΔVOP

F

E· Δr OP= −q · ΔV OP

q · E⃗⃗ · Δr OP= −q · ΔVOP

E

⃗⃗ · Δr OP= −ΔV OP

ΔVOP= −E⃗⃗ · Δr

OP= −Ex· (xP− xO)

ii) Estrategia de resolución. Para determinar la velocidad de la partícula en el punto P considerando despreciable la fuerza gravitatoria, podemos utilizar razonamientos dinámicos, principio fundamental de la dinámica ∑ F⃗ = m · a⃗ , lo que sería lo más conveniente en este caso puesto que nos dan el vector intensidad de campo electrostático y la consecuente fuerza electrostática, F⃗ E= q · E⃗⃗ .

O bien, podemos utilizar razonamientos energéticos, principio generalizado de conservación de la energía mecánica WNC= ΔEm. Con razonamientos dinámicos, hallaremos la velocidad a partir de la aceleración ya que tendremos un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado porque la fuerza que actúa es constante (aceleración constante) y la carga está inicialmente en reposo (trayectoria recta):

∑ F⃗ = m · a⃗

F

E= m · a⃗

q · E⃗⃗ = m · a⃗

a⃗ =q · E⃗⃗ m

Puesto que todo ello transcurre en el eje X:

a𝑥=q · E𝑥 m

Así la velocidad en un MRUA se relaciona con el desplazamiento, vxP2 − v

ox2 = 2 · a𝑥· Δx:

vxP2 − vox2 = 2 · a𝑥· Δx

vxP2 = 2 ·q · Ex

m · (xP− xO)

v𝑥𝑃= √2 · q · Ex

m · (xP− xO)

vxP= √2 ·−2 · 10

−6 C · 600 N · C−1

10−4 kg · (−2 m − 0) = 6,9 m · s−1

Así que la velocidad adquirida por la carga es de 𝟔, 𝟗 𝐦 · 𝐬−𝟏.

Con razonamientos energéticos, WNC= ΔEm, teniendo en cuenta que solamente actúan fuerzas conservativas y WNC= 0:

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ΔEcOP+ ΔEpoP= 0

ΔEcOP = −ΔEpoP

E𝑐(P) − E𝑐(O) = −q · ΔVoP

E𝑐(P) = −q · ΔVoP

1 2m · 𝑣𝑥𝑃

2 = −q · ΔV

oP

vxP= √2 ·−q · ΔVo P

m

vxP = √2 ·−(−2 · 10

−6 C) · 1200 𝑉

Figure

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