Función de Transferencia y sus Aplicaciones-Edición Única

PUBLICACIÓN DE TRABAJOS DE GRADO

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Función de Transferencia y sus Aplicaciones-Edición Única

Title Función de Transferencia y sus Aplicaciones-Edición Única

Authors José Luis Domínguez Ponce de León

Affiliation Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey

Issue Date 1967-06-01

Item type Tesis

Rights Open Access

Downloaded 19-Jan-2017 00:01:03

ESCUELA DE INGENIERIA

F U N C I O N D E T R A N S F E R E N C I A Y S U S

A P L I C A C I O N E S

T R A B A J O  F I N A LzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA OUF. P R E S E N T A

• J O S -!" L U Í S D O M I N G U E Z R O N C E D E L E O N E N O P C I O N A l .  T I T U L O D E

INGENIERO

_{M E C A N I C O}

ELECTRICISTA

INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY 

ESCUELA DE INGENIERIA 

DEPARTAMENTO DE MECANICA 

PUNCION DE TRANSFERENCIA Y SUS APLICACIONES 

TRABAJO FINAL QUE PRESENTA 

JOSE LUIS DOMINGUEZ PONCE DE LEON 

EN OPCION AL TITULO DE 

INGENIERO MECANICO ELECTRICISTA 

Uno de  l o s  p r i n c i p a l e s problemas  p o r  l o s cua­

l e s  a t r a v i e z a  l a ingeniería  a c t u a l , es  e l de  d e t e r m i n a r 

e l comportamiento de un  s i s t e m a y más aún  s i éste depen­

de de una  g r a n número de  v a r i a b l e s  i n v o l u c r a d a s en su — 

f u n c i o n a m i e n t o . 

A  m e d i d a que ha avanzado  e l tiempo,  l a técnica 

ha  p r o g r e s a d o grandemente y uno de  l o s campos más desa­

r r o l l a d o s  h a  s i d o  e l campo  d e l  c o n t r o l automático. 

Muchos de  l o s  p r o c e s o s  i n d u s t r i a l e s , domésti— 

cos y  r e f e r e n t e s  a l campo de  l a investigación están ínti 

mamente  l i g a d o s con  p r o c e s o s automáticos de  c o n t r o l . 

Es  p o r eso que  a c t u a l m e n t e se  l e ha dado un en 

foque mas  d i r e c t o a  e s t a rama de  l a ingeniería. 

Uno de  l o s temas básicos en  e l  e s t u d i o de un ­

s i s t e m a de  c o n t r o l es  e l  e s t u d i o de  l a función de  t r a n s ­

f e r e n c i a y sus  p r o p i e d a d e s . 

I I 

dos en  l a teoría de  c o n t r o l moderno basándose en  e l con­

cepto matemático de  l a función de  t r a n s f e r e n c i a  p a r a de­

t e r m i n a r ,  p o r  e j e m p l o  l a  e s t a b i l i d a d de un  s i s t e m a . 

En  e s t a ocasión se hará un breve  e s t u d i o de es 

t a función, observando sus  p r o p i e d a d e s y  p o r último se ­

explicarán  a l g u n a s de  l a s  a p l i c a c i o n e s que  t i e n e en  e l ­

CAPITULO PAGINA 

I FUNCION DE TRANSFERENCIA Y SUS APLICACIONES 

1.1. ­ Definición de Punción de Transíerencia 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1.2.- Representación en diagramas de  b l o c l : 4 

1.3. ­  V e n t a j a s de un  s i s t e m a  a b i e r t o con — 

r e s p e c t o  a l  s i s t e m a  r e t r o a l i m e n t a d o 10 

1.4. ­  P r o c e d i m i e n t o de reducción de  d i a g r a ­

mas de  b l o c k 11 

1.5.- Gráficas de  f l u j o de señal 14 

1.6. ­ Fórmula  g e n e r a l de  g a n a n c i a  p a r a grá­

f i c a de  f l u j o de señal 17 

1.7. ­  C r i t e r i o s de  E s t a b i l i d a d 20 

I I APLICACIONES DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA 

2 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1.­  S i s t e m a masa  r e s o r t e 24 

2 . 2 . ­  S i s t e m a masa  r e s o r t e  a m o r t i g u a m i e n t o 27 

2.3. ­ Función de  t r a n s f e r e n c i a de un termom­

metro y  f u e l l e hidráulico 2 8

2.4. ­  s i s t e m a hidráulico de motor y bomba 31 

2 . 5 . ­ Motor de  c o r r i e n t e  d i r e c t a 37 

I V 

CAPITULO PAGINA 

l a d o  p o r  e l campo 37 

"b)­  C o n t r o l a d o  p o r  l a armadura 40 

2.6. ­ Comparación  e n t r e  l a s  o p e r a c i o n e s  d e l 

motor con armadura  c o n t r o l a d a y compo 

c o n t r o l a d o 44 

2.7. ­ Aplicación de  l a función de  t r a n s f e — 

r e n c i a en  l a electrónica 45 

2.8. ­ Aplicación de  l a  r e g l a de Mason a un 

c i r c u i t o de un  t r i o d o 49 

COMENTARIOS 51 

PUNCION DE TRANSFERENCIA Y SUS APLICACIONES 

1.1.­ DEFINICION. 

D e b i d o a que un  s i s t e m a  r e a l puede  e s t a r suje 

to a todos  l o s  t i p o s de  v a r i a n t e s de  e x c i t a c i o n e s ce en 

t r a d a  x ( t ) , se  v u e l v e  i m p r a c t i c o  c a l c u l a r  l a  r e s p u e s t a 

de un  s i s t e m a  p a r a  v a r i a s  e x c i t a c i o n e s  p o s i b l e s . 

Un método  b a s t a n t e útil  p a r a  e s t u d i a r  e l com­

p o r t a m i e n t o  t r a n s i t o r i o de un  s i s t e m a se  o b t i e n e a  p a r ­

t i r de  l o s  c e r o s de función característica.  E s t o  c r i t e 

r i o  p a r a  l a evaluación  d e l comportamiento  t r a n s i t o r i o ­

se  o b t i e n e  c o n s i d e r a n d o  l a s características de una ocua 

ción  g e n e r a l de orden n. 

donde: xzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA =  v a r i a b l e de  e n t r a d a y zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

y =  v a r i a b l e de  s a l i d a . 

Obteniendo  l a  t r a n s f o r m a d a de  L a p l a c e de cada término ­

2 

i g u a l c  c e r o , 

ra , ja­1  Yís) ­ í ^ s +

  a

m _ i

s  + + a

­!s +  a 0)

  z

( s

) 

( sn

 +  on_l S n

­1

 + +  b l S +  bQ) 

I  ( s ) 

Y(s) = S  X ( s )  L  ( s ) 

n 

=  a (s) = 

X ( s )  I n( s ) 

donde , = Función de  t r a n s f e r e n c i a . ­ Ln(S) 

P a r a un  s i s t e m a  l i n e a l ,  l a función de  t r a n s f e ­

r e n c i a está  d e f i n i d a como  l a relación de  l a transíorna­

da de  L a p l a c e de  l a  v a r i a b l e de  s a l i d a a  l a  t r a n s f o r m a d a 

de  l a  v a r i a b l e de  e n t r a d a , con  t o d a s  l a s  c o n d i c i o n e s in:L 

c i a l e s y  c o n s i d e r a d a s  i g u a l a  c e r o . 

Podemos  d e c i r que  l a fttnción de  t r a n s f e r e n c i a 

depende de  t r e s  c o s a s : 

1, ­ De  l a  e n t r a d a  d e l  s i s t e m a , 

2, ­ De  l a  s a l i d a  d e l  s i s t e m a . 

3, ­  D e l  t i p o de  s i s t e m a que se está  a n a l i z a n d o o ­

En  g e n e r a l un elemento  d e l  s i s t e m a de  c o n t r o l 

r e c i b e una señal de  o t r o elemento y  t r a n s m i t e una '^cñal 

de  s a l i d a  a l que  l e  p r e c e d e .  L a  n a t u r a l e z a de  l a señal 

de  s a l i d a depende de  l a señal de  e n t r a d a en  t r e s maneras; 

1, ­ Forma. 

2, ­  F a s e , 

3, ­ ííivel de energía, 

1, ­  L a  f o r m a  i m p l i c a  l a  n a t u r a l e z a física de  l a s  c a n t i d a 

des que  i n t e r v i e n e n ,  e s t o  e s ,  l a señal puede  s e r un  v o l ­

t a j e ,  m i e n t r a s que  l a  s a l i d a puede  s e r una  c o r r i e n t e , ­­

una posición, un  v o l t a j e o  v i c e v e r s a * 

2, ­  L a  f a s e  i n d i c a  e l  e f e c t o de  l a s  c o n s t a n t e s de  t i e m — 

po, integración o diferenciación que pueden  t e n e r  l u g a r 

d e n t r o  d e l elemento de  c o n t r o l , 

3, ­  E l  n i v e l de energía es una medida de  l a  h a b i l i d a d — 

d e l  s i i t e m a de  e f e c t u a r  t r a b a j o ,  e x c l u y e  e l  e f e c t o  u e l ­

cambio en  m a g n i t u d  e n t r e  l a  e n t r a d a y  l a  s a l i d a cuando ­

ambas son  d e l mismo  t i p o . 

La función de  t r a n s f e r e n c i a de un elemento de 

c o n t r o l es una expresión matemática que  i n d i c a  l a s cara£ 

4 

de  l a sefíal do  s a l i d a a  l a señal de  e n t r a d a  d e l oloüiento.  C 

E 

dondezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA í

G = función de  t r a n s f e r e n c i a . 

C = señal de  s a l i d a . 

E « señal de  e n t r a d a . 

Representación enzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA diagramas de block. 

. En  l a  E i g . 1,1 se emplea un diagrama ele  b l o c k 

p a r a  i n d i c a r  l a relación de  l a ec.  a n t e r i o r . 

E  C 

G 

G  ~  ' — 

F i g , 1­1 

Diagrama de  b l o c k  p a r a  l a representación de  l a función ­

de  t r a n s f e r e n c i a de un elemento de  c o n t r o l , 

l a función de  t r a n s f e r e n c i a de un grupo de  e l e 

mentos en  s e r i e es  i g u a l  a l  p r o d u c t o de  l a s  f u n c i o n e s de 

t r a n s f e r e n c i a de cada uno de  e l l o s ,  l a J^ig, 2­2  n u e s t r a 

un diagrama de  b l o c k de una conexión en  s e i r e de elemen­

t o s de un  s i s t e m a de  c o n t r o l . 

E  E.  c 

¿& _u

2  > 2 

^ 3

' ­ _u2  > 

^ 3

_^ 

F i g . 1- 2 .

Diagrama de  b l o c k de una  s e r i e de elementos.­

l a señal de  s a l i d a de cada elemento se puede ­

r e p r e s e n t a r en términos de  l a señal de  e n t r a d a , así: 

E1 = G E 

e 2=  a2*E l 

C =  G 3 E 2 

E l i m i n a n d o E^ y E^ 

­ " 7 " =  G_1G2_G3

S i s t e m a  r e t r o a l i m e n t a d o . 

Podemos  h a b l a r también de una función de  t r a n s 

f e r e n c i a  p a r a un diagrama de  c i c l o  c e r r a d o o con  r o t r o a ­

limentación.  L a  F i g . 1-3  m u e s t r a  e l diagrama. 

13 *  _c

I*

6 

Su expresión se puede  d e d u c i r de  l a  s i g u i e n t e 

manera: 

R = E ¿ BzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 

C =  G ( s ) EzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2

B =  H ( s ) c 3

S u s t i t u y e n d o 3 en 1

R = E +  H ( s ) c 

E = R ­ H(s) c 4

Y  s u s t i t u y e n d o 4 en 2

C = G R ­  H ( s ) c 

C = G R ­ GH(s) c 

G(s) R = c (GH(s) + 1) 

G(s) 

R 1 +  G ( s )  H ( s ) 

donde: G = función de  t r a n s f e r e n c i a . d e  l a z o  d e l a n t e r o 

C =  v a r i a b l e  c o n t r o l a d a , 

E = señal de  e r r o r 

R = señal de  r e f e r e n c i a 

H = función de  t r a n s f e r e n c i a de  l a  t r e t r o a l i ­

mentación 

B = Señal de retroalimentación, 

1. 3 . - VENTAJAS DE UN SISTEivIA CON RESPECTO A OTRO. 

c i a  p a r a  e l caso de  s i s t e m a  a b i e r t o y  s i s t e m a  r e t r o a l i m e n 

tado conviene  a n t e s de  s e g u i r  a d e l a n t e  h a b l a r de  l a s  v e n 

t a j a s y  d e s v e n t a j a s de un  s i s t e m a con  r e s p e c t o a  o t r o . 

P a r a  t a l  e f e c t o  c o n s i d e r a r e m o s  e l caso de re­

troalimentación como  r e t r o a l i m e n t a r i o  u n i t a r i a y  R ( t ) : 

2  ( t ) . Consideremos  l a funciónzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAt

2(s+5) 

G(s) = 

(a+1) (szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ 4 )

Por  l o  t a n t o  p a r a  s i s t e m a  a b i e r t o ; 

R

2(s+5) 

— 

(s+1) (s+4) 

p a r a  e l  s i s t e m a  r e t r o a l i m e n t a d o 

6 ; 

7

t

c

Para  e l  s i s t e m a  a b i e r t o : 

7» ­ 2(s+5) « 

8 

S u s t i t u y e n d o 

4(s t 5)  A B C 

+ + " 

s ( s + l ) (s+4) s s+1 s+4 

La solución en función  d e l tiempo será; 

­ t  ­ 4 t  C ( t ) = A + Be + C e 

A p l i c a n d o  e l teorema  d e l  v a l o r  f i n a l  p a r a observг,r  e l 

comportamiento  d e l  s i s t e m a  a b i e r t o en estado  e s t a b l e , 

e l teorema  d i c e : 

l i m  f ( t ) ­  l i m s  f ( s )  t~*oo s­*0 

En  n u e s t r o caso 

c(t) 

t »»CO 

­  1 Í Q  s_° =  l i a  _{( s}

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4 íS_{l ) ( s}}

+ 4) 

= 5

s  O s  0 

La  r e s p u e s t a  d e l  s i s t e m a ante una  e n t r a d a  R ( t ) =  2 u ( t ) ­

Berá  p o r  l o  t a n t o : 

c ( t ) 

1 + _(8+1) (

B44) 

c =  2 ( s ₊

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 ) H = 4( s + 5) 

s2 + 7 s + 14  s ( s2 + 7s + 14) 

at 

c(t) = A 4zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0T Cos bt + 0R Sen  b t 

Aplicando  e l teorema  d e l valor  f i n a l podemos 

observar  e l estado estable  d e l sistema, así: 

e(t) =  l i a s c =  l i m „  4 ( s +  5₎ 

s£ _+ 7s + 14 

c(t) =  ­ g ­ = 1.43 

La respuesta  d e l sistema retroalimentado ante 

el mismo tipo de señal R(t) = 2u(t) será: 

4

c(t) 

1.43 

guíentes  c o n c l u s i o n e s ; 

¡,­  P a r a  e l  s i s t e m a  a b i e r t o . 

a) ­  V e n t a j a s . 

E s t e  s i s t e m a de  c o n t r o l  e s generalmente fá 

c i l de  c o n s t r u i r  y a que  p o r  r e g l a  g e n e r a l no  p r e s e n t a — 

problema s de  i n e s t a b i l i d a d y  l a acción de  c o n t r o l es  d e ­

b i d a únicamente a  l a señal de  r e f e r e n c i a , 

b) ­  D e s v e n t a j a s , 

La  p r i n c i p a l  d e s v e n t a j a de  e s t e  s i s t e m a  e s 

que no es muy  e x a c t o . 

2,­  P a r a  e l  s i s t e m a  r e t r o a l i m e n t a d o . 

a) ­  V e n t a j a s . 

En  e s t e  t i p o de  s i s t e m a ,  l a  v a r i a b l e  c o n ­

t r o l a d a  e s comparada continuamente con  l a señal de  r e f e ­

r e n c i a ,  m e d i a n t e un  s i s t e m a  d e t e c t o r de error y  l a  d i f e r e n 

c i a  e n t r e  e s t a s  e s  l a que  e j e r c e  l a acción de  c o n t r o l . 

O t r a de sus  v e n t a j a s  e s  l a  p o s i b i l i d a d de  r e p r o 

ducir  f i e l m e n t e  l a  f o r m a de  l a señal de  e n t r a d a así como 

su  s e n s i b i l i d a d  b a j a o  n u l a a  l a s  p e r t u r b a c i o n e s en  e lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA es

tado  e s t a b l e o  s e a , que  e s t o s  s i s t e m a s son muy  e x a c t o s , 

Su  p r i n c i p a l jdeñv©nt«,ja consiste en quo — 

tiene una, gr­aji tendencia a  o s c i l a r , 

1.4.­ PROCEDIMIENTO DE REDUCCION DE DIAGRAMAS DE DLOCK. 

E l diagrama de block de un sistema de  r e t r o a l i 

mentación múltiple está dado en  l a  F i g , 1,4, Da función 

de transferencia de lazo cerrado  d e l sistema, C(s)/R(s) 

se determina por medio de una reducción  d e l diagrama de 

block. 

Das  F i g s . 1,4a, 1.4b, 1.4c y 1.4d muestran  l a 

técnica seguida para  l a reducción. 

Reduciendo  e l lazo intermedio tenemos: 

, Tu 

I s 1

<H2  <

<H2 

F i g . 1,4b. Reducción  d e l diagrama de block  d e l  s i s t e m a ­

Ì

C ~ S - Q

— s 

LA Z O  ^ e ^ o r 

Hi 

Hi  A l 

LA Z O  K / » AVO £ 

1­4a,  S i s t e m a de reducción para, un  s i s t e m a de retroalimentación 

deduciendo  e l lazo menor tenemos 

O H

F i g . 1.43. Reducción del diagrama de block del  s i s t e m a ­

de  l a  Ji g . 1.4b, 

Be esta manera podemos obtener  l a función de ­

transferencia  f i n a l del sistema. 

La  F i g . 1.4d muestra en forma de block  l a fun­

ción de  t r a n s f e r e n c i a  t o t a l . 

R ¿7«zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA £\izyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA <ks ^ 1 4 . c

F i g . ï,4d. Reducción  d e l diagrama de block del sistema ­

14 

C(a) 

= G(s) = 

R(s)  i +G2G3H2 +G3a4H3 + G la2G3a4H . 

1.5.­ GRAFICAS DE EDUJO DE SEÑAL. 

Los diagramas de block pueden usarse convcnien 

temente como un método taquigráfico para resolver proble. 

mas complejos y nos proporcionan una relación de causa a 

efecto entre  l a entrada y  l a  s a l i d a . Sin embargo,  l o s ­

block que  l o s constituyen a menudo contienen funciones de 

transferencia complicadas como para  d e t a l l a r  e l estudio 

del sistema. En consideración a  l o s diagramas de señal 

de punto a punto y  l o s efectos de  l a s variaciones en  l o s 

parámetros en  l o s sistemas tales como ganancia, impedan­

c i a ,  s e n s i b i l i d a d , frecuentemente no se pueden hacer  d i ­

rectamente de  l o s diagramas de block. 

I.J. Masón es capaz de darnos una representación más de­

t a l l a d a de un sistema complejo que  l o s diagramas de ­ ­

block. Para sistemas retroalinentados  l a gráfica de  f l u 

jo de señal no solamente  i l u s t r a  e l paso de señales a — 

c l a r a de  l a  t r a y e c t o r i a de retroalimentación en  e l siste 

na. 

La gráfica del  f l u j o de señal introducida por 

ma. 

Una gráfica de  f l u j o de señalde un sistema es 

una red con puntos llamados nodos, estos nodos están co­

nectados por  t r a y e c t o r i a s llamadas brazc*©*, que tienen — 

direcciones. 

Por ejemplo  l a ecuación 

K₂ =  t_{l 2} X ₁ 

se representó como 

O e> O 

V . V t ₁₂  X2 

nodo brazo nodo 

t ^ : _{función de transmisión.} 

Consideremos  e l siguiente ejemplo, con  l a s si­

guientes condiciones de un sistema: 

*2 "  tl 2x1 + ^2*3  (a) 

x₃ =  t_{2 3}X₂+ _*43X₄  ( b ) 

x4 =  t2 4X2+ *34X3 + *44x4  ( c ) 

x₅ =  t_{2 5}X₂ + _*45X₄  ( d ) 

16 

F i g .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1.5. 

^ i g . 1.5. Construcción  d el diagrama de  f l u j o de señal de 

l a s Ees, (a), (b), (c) y (d). 

(a)  x₂ s  _{^ 1 2}x₁+ _^32x₃ 

(a) y (b)  x2 =

  t_{i 2}x₁+ _^2*3 1  _X

3 ~ ^23x₂ +

"*'43x

> 

(a), (b) y (c)  _{£ 4}X₂ +  t_{3 4}x_3 *  t

4 4x

4 

1.6,­ FORMULA GENERAL BE GANANCIA PARA GRAFICAzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA BE FLUJO 

BE SEÑAL. 

Para resolver  l a relacióei funcional entro  l a s 

v a r i a b l e s ele  e n t r a d ^ y  s a l i d a de un diagrama de señal — 

se derivará una fórmula general de ganancia en función ­

de  l a s componentes del  f l u j o de señal. La fórmula os: 

donde:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA  M : ganancia o función de transferencia 

M^.:  t r a y e c t o r i a  d i r e c t a kaésima entre  l o que ­

consideramos entrada y  s a l i d a . 

&k:  i \ de aquella parte  d e l sistema que no es ­

tocado por M^, 

m n m 

^mr!  _S a n a n c _i a _{producto de  l a s m posibles —} 

combinaciones de r lazos que no se tocan. 

Consideremos un ejemplo para  i l u s t r a r  e l mÓto­

do de Masón. 

E l diagrama de  f l u j o de señal es  e l de  l a  F i g , 

18 

variable de entrada x^ se determina por medio de  l a fór­

mula general de ganancia. 

P i g . 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA.6,­ Plujo de señal. 

Hay tres trayectorias directas entre  l a entra­

da y  l a  s a l i d a y son: 

M_1 "  t_{1 2}t_{2 3}t_{3 4}t_{4 5} 

" *12*24*45 

[_3 "  t₁₂t₂₅ 

Hay cuatro lazos individuales que no se tocan 

11 

21 

t23t32 

*34*43  P3 1 ­ t 

'41 

44 

t₂₄t₄₃t₃₂ 

Unicamp*rt«,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h a y ада jifisit^s c o m b in a c ió n - do lazos 

que se tocan tomados de 2 en 2 y su producto es: 

P_12 "  t_{t 3 *32 *44} 

lío hay combinaciones de lazos tomados de 3 en 

3 ó 4 en 41 etc. 

Pm

3 = Pn 4 " — * = 0

De  l a definición dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA b> tenemos 

^ = 1 " ( t2 3 t3 2 + t3 4 t4 3+ t4 4 + t2 4t4 3t3 í) +  ( t2 3t3 2i i4 4) 

La primera  t r a y e c t o r i a  d i r e c t a esta tocando 

l o s cuatro lazos por  l o tanto =1* 

La segunda trayectoria  d i r e c t a Mg está también 

tocando  l o s 4 lazos por  l o tantozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h g = 1« 

La tercera  t r a y e c t o r i a no se está tocando con 

l o s dos lazos  " k ^ ^ ^ t v  _Po r  1 0 _"tanto 

* 3 = 1 ~ ( t3 4 * 4 3 + t4 4 )

20 

expresión pai*a x^/x^ es: 

M

  X5 "1 2  ^ 3 "¿4 "45^12 "24 "45 ' "12 "23 v "34 "4­3 

x_1 1 ­  t₂₃t_32­t₃₄t_43"t_44"t_24"t₄₃t₃₂+ t₂₃

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

t3 2t44 

x5 _zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA  M 1 ­i  +  M 2 A 2 *  M3 ^ 3 

^ o i ^ t ­ ^ t ^ K + t ^ t ^ t ^ c + t ^ o t ^ í l ­ t ­ ^ t , , ^""'^¿¿I ) 

1.7.­ CRITERIOS DE ESTABILIDAD. 

La mayor  d i f i c u l t a d en  e l uso de  l a transforma 

da de Laplace como mé*to­do para determina  l a respuesta — 

t r a n s i t o r i a de un sistema de control retroalimentcdo es 

l a necesaria determinación de ceros de  l a función carac­

terística. 

Consideremos  e l siguiente diagrama de block 

como  e l de  l a  E i g . 1,7. 

H 

G₁ 

T3 

J G₁ 

w

U₂ 

donde; 1 + G^O^^ ~ 0  Q ­ s _{llamada ^ ecuación ­oca­e.­ctorís} 

t i c a o función característica. 

Para sistemas de primero y segundo orden no — 

existe  d i f i c u l t a d para encontrar  l o s ceros de  l a ecua­ ­

ció*n característica  s i n embargo  l o s ceros de un sistema 

de tercer orden requiere  l a determinación de tros ceros 

de un cúbica y así sucesivamente. 

C r i t e r i o de Estabilidad de Routh. 

E l  c r i t e r i o de fí_outh es

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

 UEW método para doiarmi 

nar  s i  l o s ceros de  l a función característica se encuen­

tran en  l a parte derecha  d e l plano o no., 

Un sistema es estable  s i  l a parte  r e a l do todas 

sus raíces de  l a ecuación característica son negativas, 

Primero escribimos  l a función característica ­

en  l a forma general, 

aos n + a1s n"1 + a2s T l"2 +. . .+ an ­ 1s +  an = 0 

La condición necesaria para que  e l sistema sea, estable ­

22 

1.­ Todos  l o s coeficientes tengan  e lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ¡a i so. o  e i g 

no, 

2*­ Ningún  c o e f i c i e n t e  s e a  c e r o , 

3.­  AQs +A1s^+A2s^+A^S"

,

+A4s*+AjS+Ag = O 

En  s e g u i d a arréglanos  l o s  c o e f i c i e n t e s de  l a ­

ecuación característica cono: 

dondezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA i =

Ao  A2  A₄  A

6 

s5 

A_{1  Á}

3  A₅  0 

s4 

C 

°2  °3  °4 

33  d 

d₂  d3  0 

s2  _e 

6₂  0  0 

s  f  0  0  0 

s°  g1  0  0  0 

A₁A₂  A₁A

6 ­ Ao(0) 

A ₁  C3 

A₁A₄ 

=A, 

A. 

De  i g u a l manera que se obtuvo  e l  v a l o r de C.^, 

y se obtendrá  e l  v a l o r de d^, d^ y d^,  e t c ,; 

de caabios de signo de tos coeficientes en  l a columna — 

del lado izquierdo es igual  a l número de ceros de  l a fun 

ción característica que están localizados a  l a derecha ­

del plano complejo. Por  l o tanto  l a condición  s u f i c i e n ­

te para que  e l sistema sea establo ee que no haya o no ­

se presenten cambios de signo en  l a columna  d e l lado  i z ­

quierdo . 

B l  c r i t e r i o se ilustrará con un ejemploj  l a ~­

función cayácteríetioa de  l a función de transferencia os 

(s+1) (s+2) (s~3) * 0 

En forma polinomial es s ­  4 s¿ _{­ 5s + 6 0, arreglan­}

do  l o s  c o e f i c i e n t e s de  l a eouaoión característica 

s3  +i  ­5  0 

­4  +6  0 

s  «7/2  0  0 

s°  4­6 

Ya que  s i se presentan oambios de signo en  l a 

primera columna  e l sistema no será estable y tendrá 2 — 

24 

CAPITULO II 

APLICACIONES DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA 

Habiendo definido ya  e l concepto de  l a función 

de transferencia y algunas de sus propiedadeszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf dedicaren 

nos nuestra atención  a l estudio de algunas de sus  a p l i c a 

oiones. 

Sistema nasa resorte. 

La  F i g , 2­1 muestra  e l sistema. 

— 

F i g .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2­1. 

Sistema masa resorte con fricción. 

Consideremos que  l a entrada  d e l sistema es  l a 

fuerza aplicada F y  e l desplazamiento de  l a nasa x

c i o n a  e s t a s dos  v a r i a b l e s  o s : 

d2

x dx 

F = M  s — + f +  k x 2­1 

d t¿

  d t 

Tomando  l a  t r a n s f o r m a d a de  L a p l a c e  p a r a ambos 

l a d o s de  l a ecuación  a n t e r i o r y asumiendo  l a s  c o n c l i c i o — 

nes  i n i c i a l e s  i g u a l a cero teñónos: 

F ( s ) =  ( M s2

 + f s +  k ) X ( s ) 2­3 

l a función do  t r a n s f e r e n c i a  d e l  s i s t e m a está dada  p o r : 

X ( s ) 1 

G(s) = = 5 2­3  F ( s )  M s¿

 + f s + k 

L a  r e s p u e s t a  d e l  s i s t e m a en  e l dominio  d e l tiempo se ob­

t i e n e tomando  l a  t r a n s f o r m a d a  i n v e r s a de  X ( s ) , 

Un caso muy  e s p e c i a l  e s  e l de  l a señal ele  e n t r a 

da de un  s i s t e m a  l i n e a l cono una función do  i m p u l s o  u n i ­

t a r i o y*  ( s ) y se definirá a continuación a  p a r t i r de  l a 

función  p u l s o  u n i t a r i o según  l a  F i g , 2­2. 

í  \_

26 

La transíornada do esta función pulso unitario es; 

\ f°°  ­ s t  ^ p ( t ) | * I p(t) e dt 

­ s t 

O 0zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

J

0 du  0 

et  o 

— o  7 

de donde: .  o 

)} (s) =  l i n P(s) =  L i n 1  _¡ T

e _= 1 

T —zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA> 0 T —* 0 0 

o o 

Por  l o tanto  l a transformada de  l a función in­

pulso o's  i g u a l a  l a Unidad; 

Con base en esto de  l a  E c .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 - 3 pódenos  v e r que 

X(s) = G(s) = — 3 2­4 

Iter + f x + k 

ton ando  l a transformada inversa de los dos lados de  l a ­

ecuación tenemos que: 

x(t) = g(t) 2­5 

donde g(t) se  l e denomina respuesta de impulso de un si£3 

L a transí ornada, do  L a p l a c e do  l a  r e s p u e s t a de 

'impulso nos dá  l a función de  t r a n s f e r e n c i a  G ( s ) .  E s t o ­

nos  i n d i c a que teóricanentc una descripción  c o n p l c t a de 

un  s i s t e n a  l i n e a l se puede  o b t e n e r  e x c i t a n d o  e l  s i s t e m a 

con una función  i m p u l s o y  m i d i e n d o  l a  r e s p u e s t a de  s a l i ­

da. 

Prácticamente,  s i n embargo, un  i m p u l s o no pue­

de  s e r generado físicamente, un pulso con un  e s p e s o r  p e ­

queño (menor que  l a  c o n s t a n t e de tiempo  d e l  s i s t e m a ) nos 

puede  d a r una muy buena aproxinación. 

2 . 2 , - SISTEMA MASA­RESORTE­AMORTIGUAMIENT0 .

E s t e caso se  i l u s t r a en  l a  P i g . 2 . 3 . ^1  s i s ­

tema produce un  d e s p l a z a m i e n t o de  l a masa  x ( t ) con  r e f e ­

r e n c i a  x

o ' 

/

P i g . 2 - 3 .  P u e r z a  a p l i c a d a a un  s i s t e m a con masa  r e s o r t e 

28

Aplicando  l a  l e y de Newton, tenemos 

d2

x  dx 

M + c +  k x = P 

d t2  d_* 

2­6 

Aplicando  l a transformada de Laplace 

M s2

X ( s ) + C s X(s) + k X(s) = F(s)  2­7 

La función de transferencia del sistema mecánico sorá: 

X ( 8 ) 

&ÍB) ^ 

1/M 

s2 _{+ (g/M)s + k/M} 

2­8 

y  e l diagrama  t o n a  l a  s i g u i e n t e  f o r m a : 

F ( b ) 1/M 

s^ + (í/M)s + k/M 

X ( s ) 

2 , 3 . - FTOTCION  L E TRANSFERENCIA DE UN TERMOMETRO. 

L a función de  t r a n s f e r e n c i a de un tornónotro • 

como  e l  i l u s t r a d o en  l a Fi¿­, 2­4a puede  s e r  d e r i v a d a de 

l a  s i g u i e n t e manera.  S i  l a  t e m p e r a t u r a  d e l agua en  e l ­

r e c i p i e n t e es 9^ y  l a  t e m p e r a t u r a  i n d i c a d a eszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 9 f  l a  r a ­

zón do  f l u j o de  c a l o r en  e l termómetro a través do sus ­

q = 

0

i ­  e

o  R 

donde R es  l a  r e s i s t e n c i a térmica de  l a  p a r e d  d e l tornó­

n e t r o .  L a  t e m p e r a t u r a  i n d i c a d a se  e l e v a a una razón de 

d6 

d t 

1

(i) 

o­ z

A-1  C 

O  k

o 

P i g . 2­4. Termómetro  s i m p l e , 

donde c es  l a  c a p a c i d a d  d e l termómetro.  P o r  l o  t a n t o , ­

l a función de  t r a n s f e r e n c i a que  r e l a c i o n a  l a  t e m p e r a t u r a 

d e l agua en  e l  r e c i p i e n t e y  l a  t e m p e r a t u r a indicóla  e s : 

G ( s )  = 4 ° _  (s ) = 1

i 

E l  c i r c u i t o  e q u i v a l e n t e elóctrico  e s t a mostrado en  l a — 

30 

Función do  t r a n s f e r e n c i a de un  f u e l l e neumático,­

E l  f u e l l e  f l e x i b l e cono  e l  i l u s t r a d o en  l a ­ ­

F i g . 2­5 es un  a p a r a t o neumático comunmente usado Con­

s i s t e de una cámara vacía con  p a r e d e s metálicas  d e l g a d a s 

Las  s u p e r f i c i e s de  e n t r a d a y  s a l i d a son  l i s a s y  l a s  p a — 

r e d e s  l a t e r a l e s son  c o r r u g a d a s , cono  l o  m u e s t r a  l a  F i g . 

de  a p l a z a m i e n t o de 

Qs a l i d a 

- VYVVVV 

P 

presión de  e n t r a d a 

1

—AAAAAM ^

F i g . 2­5•  F u e l l e neunático 

La acción básica  d e l  f u e l l e está basada en  e l 

r e s o r t e . 

Un  i n c r e m e n t o de  l a presión dentro  d e l  f u c i l o 

r e s u l t a cono un  i n c r e n e n t o en  l a separación  e n t r e  l a  s u ­

p e r f i c i e de  e n t r a d a y  s a l i d a .  L a  f u e r z a que actúa  p a r a 

s e p a r a r  l a s dos  s u p e r f i c i e s  e s : 

F =  P S 

donde A es  e l área de cada una de  l a s dos  s u p e r f i c i o s y 

P es  l a  d i f e r e n c i a l de presión (presión  i n t e r n a menos — 

será: 

? = к X 

donde к es  l a  r i g i d e z  ( d e b i d a a  l a acción de  l o s dos  l a ­

dos  c o r r u g a d o s  d e l  f u e l l e ) y x es  e l  d e s p l a z a m i e n t o de ­

l a  s u p e r f i c i e nóvil a  p a r t i r ds su  r e f e r e n c i a , 

}?«r  l o  t a n t o  l a función de  t r a n s f e r e n c i a ¡jera; 

X 

G(e) = — (B) * 

p к 

2,3.­ SISTEMA HIDRAULICO DE MOJOR Y БОМБА. 

La  E i g , 2~6  i l u s t r a  e l  s i s t e n a de transmisión 

hidráulico de  p o t e n c i a comunmente usado. 

E s t e  s i s t e n a  c o n s i s t e de una bonba do  d c s p l a ­

z a n i e n t o  v a r i a b l e  l a  c u a l  e s t a movida a  v e l o c i d a d  c o n s — 

tante„ Un  c o n t r o l de embolo, que  d e t e r m i n a  l a  c a n t i d a d 

de  a c e i t e bombeado, tambión  c o n t r o l a  l a dirección  d e l — 

f l u j o .  E l  d e s p l a z a m i e n t o  a n g u l a r  d e l motor hidráulico ­

es  p r o p o r c i o n a l  a l volumen  d o l  f l u j o y  e l  a c e i t e ac  d i s p e r 

sión  a l r e d e d o r de  l a s válvulas producen un  e f e c t o do ­ ­

fc¡p 

Cu •>> A"loñ4a  )  Cu •>> A"loñ4a 

()L­vw  l ' u l n a  c i tv­

too "izyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

 be; 

too "i

 be; 

4

too "i

 be; 

4

F i g . 2­6.  S i s t e m a de transmisión hidráulica de  p o t e n c i a . 

F i g . 2­7­ Diagrama  f u n c i o n a l de un  s i s t e m a de transmisión de 

E l  d i a g r a m a  f u n c i o n a l se  n u e s t r a en  l a  F i & v — 

2-1.

P a r a  d e t e r m i n a r  l a función de  t r a n s f e r e n c i a 

determinemoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q  p ( t ) y 9  c ( t ) 

D e f i n i r e m o s  a l g u n a s  v a r i a b l e s : 

^ : volumen de  a c e i t e que  f l u y e a través de  l a bomba, 

; volumen de  a c e i t e que  c i r c u l a a través  d e l motor. 

f l u j o de  a c e i t e de dispersión  a l r e d e d o r  d e l motor, 

:  f l u j o  c o m p r e s i b l e . 

k^\  f l u j o volumétrico de  l a bomba  p o r segundo  p o r des­

p l a z a m i e n t o  a n g u l a r dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 9 

P *  0 :  d e s p l a z a m i e n t o de  l a bomba. 

P 

V :  d e s p l a z a m i e n t o volumétrico  d e l motor. 

w i  v e l o c i d a d  a n g u l a r de  l a  f l e c h a  d e l motor,  c 

1 :  c o e f i c i e n t e de dispersión  t o t a l  ( f t ­ y s e g )  ( l ^ / i t ) 

P^zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA i caída de presión en  l a  c a r g a a través  d e l motor 

I b / p i e 

V= volumen  d e l líquido  b a j o compresion (pie s^) 

k­g: módulo  d e l  a c e i t e  ( l b / p i e ) 

35 

y se  o b s e r v a que 

^ = L  p , 2­12 

dV V dp 

^ ­ = — 2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA-13

^  d t  kB  d t 

S u s t i t u y e n d o  l a s Ees. 2­10 2­13 en  l a Ec. 2­9 se ob­

t i e n e : 

V dp 

P P n czyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1

kB  d t 

C o n s i d e r a n d o que  e l  n o t o r hidráulico es 100%  e f i c i e n t e  l a 

relación  d e l  p a r será: 

P a r =  vQ  P l = J 2­15 

S u s t i t u y e n d o  l a Ec. 2­15 en  l a Ec.  2 ­ K se  o b t i e n e : 

d e L d2

9 V J  d3ü

K

P 9

T) =  V

n — +

 J

  T ~ +

 3 

La transfórmala do  L a p l a c o de  l a  E c . 2­16 es 

K

n  9

n ( s ) = V

m s  e

c ( s ) +

  ­ ^ ­ s 2

9 ( s ) +zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA — —  s3

9  ( s ) 

P o r  l o  t a n t o  l a función de  t r a n s f e r e n c i a  d e l  s i s t e m a — 

será  l a relación  l e  l a  s a l i d azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 6  ( s ), a  l a  e n t r a d a de ­ • 

ep( s ) 

V

 a)

 + , = ,3 + 1 

y  e l diagrama de block será; 

Qp( s )i 

V i 

V J  k^ V  s2  +  L J  +

Generalmente  e l módulo  g l o b a l k^ es  b a s t a n t e grai: "o y — 

l a  E c . 2­18 se  r e d u c e a; 

K 

e

c ( s ) V

37 

2.4,­ MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA. 

Excitación Separada. 

Muchos de  l o s  s e r v o motores son de  t i p o  e x c i ­

tado separadamente.  L a  s a l i d a  d e l  s e r v o  a m p l i f i c a d o r — 

de c.cl. puede  s e r conectp.do  y a  s e a a  l a s  t e r m i n a l e s  d e l 

campo o a  l a s  t o r m i n a l e s o  l a armadura  d e l motor.­ Ilm  e l 

p r i m e r caso se  d i c e que es de  " c o n t r o l de campo", en  e l se_ 

gundo caso  e l motor es de  c o n t r o l de armadura'; 

2.4.1,­ Motor de c.d.  c o n t r o l a d o "por el_.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAcampo. 

E l  d i a g r a m a esquemático  d e l motor con campa 

c o n t r o l a d o se  m u e s t r a en  l a í*ig, 2­8, 

i i~¡ 

-AM' *- a v nm o 

1 / 

CÍ A Tr r ) '

P i g . 2­8. 

Diagrama esquemático  d e l motor de c.d. controlr.de  p o r  e l 

La derivación de  l a función de  t r a n s f e r e n c i a ­

está basada en  l a s  s i g u i e n t e s  c o n s i d e r a c i o n e s : 

a) ­  L a  c o r r i e n t e I en  l a armadura es  c o n s t a n t e , 

b) ­  E l  f l u j o  d e l  e n t r e h i e r r ozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0 es  p r o p o r c i o n a l a 1 

l a  c o r r i e n t e de campo.  I ^ , así i 

0 = k  I f 2­20 

donde k^. es una  c o n s t a n t e , 

c) ­  E l  p a r  d e s a r r o l l a d o  po r  e l  m ot o r  Tm e&  p r o p o r ­

c i o n a l  a l  f l u j o de  e n t r e h i e r r o y a  l a  c o r r i e n ­

te­ de armadura. 

. s i 

donde ; 

T

m ­  k

mzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

f

h \

K

2

"

k = k' IzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2­2 Ib  m  m a 

La ecuación  d e l  c i r c u i t o de campo  e s ; 

d i 

V. = R  I . + L. í­ 2­22 

1 1 1

  d t 

A p l i c a n d o  l a  t r a n s f o r m a d a de  L a p l a c e a  l a Ec. 2 - 2 2 ,

39 

E l  p a r  d e l motor T está  r e l a c i o n a d o con  l a posición de 

l a  f l e c h a  p o r : 

Tn( s ) = (<Tc  s 2

 +  f m s)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA  6m  ( s ) 2­24 

donde J es  e l momento de  i n e r c i a y f es  e l  c o e f i c i e n t e 

L.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAL m 

de fricción  v i s c o s a  d e l motor. 

I g u a l a n d o  l a s  Ecs . 2­21a y 2­24­: 

( J

m * +  f

ms )  e

m( s ) =  K

m  k

fzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Z

f( s ) 2 - 2 5

S u s t i t u y e n d o  l a  c o r r i e n t e  I ^ de  l a Ec. 2­23 en  l a  E c , — 

2­25; 

V f  ( s ) k k 

T  ( s ) =  — ­ — 2­26 

n

  ( Rf + s  Lf) 

Por  l o  t a n t o  l a función de  t r a n s f e r e n c i a será  p a r a  e l  c a 

so de  c o r r i e n t e  c o n t r o l a d a : 

D e s p l a z a m i e n t o de  ¿ w ~ \ v v 

s a l i d a  9

mí s }  k

m  k

f 

V o l t a j e de  e n t r a d a  V . ( s )  s ( J s +f_zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA)  ( R . « +DI > )  a l campo 

2­27 

= S izyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 - 2 8

Vf (s)  Rf  f m S(1 + S  7 n ) d + s  T í ) 

J .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = JzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ./t =  c o n s t a n t e do ticr.po  d e l  n o t o r , 

2" f = /R =  c o n s t a n t e de  t i e n p o  d e l canpo. 

E l  d i a g r a n a de "olock se  n u e s t r a a continuación 

V.(s) 

f 

k

n  k

f 

n 

Vn

V

 "

'f

2.4.2,­  M o t o r de  c o r r i e n t e  d i r e c t a  c o n t r o l a d , ñor  l a 

a m a  d u r a . 

E l  d i a g r a n a esquenático de  e s t e  n o t o r se  n u e s ­

t r a en  l a Fig» 2­9. 

4 + 

i

fVfca. 

_ó ! 

o 

­o 

41 

En  e s t e  t i p o de aplicación,  l a armadura  d e l m£ 

t o r es  e n e r g i z a d a  p o r  l a señal  d e l  a m p l i f i c a d o r ,  m i e n t r a s 

que  l a  c o r r i e n t e de campo permanece  c o n s t a n t e . 

Se harán  l a s  s i g u i e n t e s  c o n s i d e r a c i o n e s en  l a ­

derivación de  l a función de  t r a n s f e r e n c i a  d e l motor,•' 

1) ~  E l  f l u j o de  e n t r e h i e r r o en  p r o p o r c i o n a l a  l a ­

c o r r i e n t e de campo, 

0 =  kf I f 2­29 

2) ­  E l  p a r * desarrollado»  p o r  e l motor es  p r o p o r ­

c i o n a l  a l  f l u j o  d e l  e n t r e h i e r r o y a  l a  c o r r i e n 

te de armadura. 

3 ) ­  L a  f u e r z a  c o n t r a e l e c t r o m o t r i z  d e l  v o l t a j e os ­

p r o p o r c i o n a l a  l a  v e l o c i d a d  d e l motor.' 

e.m.f.  Vb =  kb s  9Q 2­31 

L a ecuación  t r a n s f o r m a d a  d e l  c i r c u i t o do arma­

d u r a e s : 

VzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa( s ) = (Ra + s  La) la( s )  + k b s  0n( s ) _ 2­32b 

r e s o l v i e n d o  p a r a I  l a ecuación  a n t e r i o r nos di 

IzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA„ ( b ) = * 2­33 

J  a 

a _R

 + s 1 

S u s t i t u y e n d o  l a ecuación  a n t e r i o r en  l a Ec. 2­30 nos  d a : 

V ­ k s Q (s) 

V

 > *  k

¿  k

fJ 

f — S 1  2

" 3 4 

n m * 1 R + s L 

a a 

También 

Tn( s ) =  ( J e s + ff f l) 8  9n( s ) 2­35 

Cuando igualamos  l a  E c , 2­34 y  l a  E c , 2­35 

o b t i e n e  l a función de  t r a n s f e r e n c i a  d e l motor con  a r m a — 

d u r a  c o n t r o l a d a . 

L  ( s ) k' k I 

m m 1 í  2_ 3 6 

o 

V

a  ( s )  s ( l ?

a  + s L

a) ( J

ms + f

m) +  k b s k

'  V f 

m 1

 a­37 

V

>

V

Q

)

( l + s S

a )

^

i

donde : 

K

i =  K n

  k

fzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

h =

ote

-4 3

'¡5zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA „ = =  c o n s t a n t e de tiempo de armadura, 

S" n =  ^ m / f

n  =

  c o n s t a n t e de tiempo mecánico  d e l 

motor, 

E l  s i g n i f i c a d o de  l a  E c , 2 - 3 7 se  i l u s t r a mejor 

s i  d i v i d i m o s por  e l  f a c t o r sfí f (1+s  ) 0 + s ) en  e l ­ ^ a m a m  numerador y  e l denominador, 

k.  i 

V

>

 Ü 

2 - 3 8

Se puede  v e r fácilmente que  l a ecuación  a n t e — 

r i o r  e s de  l a  f o r m a : 

em( s ) _  G ( S ) 

Vn  ( s ) 1 +  G ( s ) H ( s ) 

donde; 

H ( s ) = s  kb y 

k. 

G ( a ) = 1

S R

A

a

 V 

E n t o n c e s  e l  d i a g r a m a de  b l o c k  d e l  m o t o r con armadura con 

tado como  l o  i n d i c a  l a  P i g , 2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA­10, 

­ о  IVY) 

(Tub­

P i g . 2­10. 

Motor con armadura  c o n t r o l a d a . 

E l  e f e c t o de  l a  f u e r z a  c o n t r a e l e c t r o m o t r i z  e s ­

t a  r e p r e s e n t a d o  p o r  l a retroalimentación de una señal — 

p r o p o r c i o n a l a  l a  v e l o c i d a d  d e l motor, 

2.5.­zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA  C O M P A R A C I O N ENTRE  L A S  O P E R A C I O N E S DEL  M O T O R О О Н 

A R MzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAaD U Rá Y  C A M P O  C O N T R O L A D O S , 

Hay  t r e s  d i f e r e n c i a s  i m p o r t a n t e s  e n t r o  l o s dos 

t i p o s de  o p e r a c i o n e s  d e l motor, 

a ) ­  L a  i n d u c t a n c i a en  e l  c i r c u i t o de armadura pue­

de  d e s p r e c i a r s e y  l a Ec, 2 - 3 8 se reduce así a una  e c u a — 

ción de segundo orden en  l a operación  d e l  c o n t r o l de  a r ­

madura. En  l a operación  d e l  c o n t r o l de campo,  l a  i n d u a ­

t a n c i a de campo no es  d e s p r e c i a b l e y  l a Ec. 2 - 2 7  c o n t i — 

45 

b) ­ En  l a operación  d e l  c o n t r o l de armadura además 

d e l  a m o r t i g u a m i e n t o debido a  l a  r e s i s t e n c i a de armadura 

R y a  l a fricción de motor f , se  o b s e r v a un  a m o r t i g u a _{a ° m * —•} 

m i e n t o  e q u i v a l e n t e debido  a l  e f e c t o de  l a  f u e r z a  c o n t r a ­

e l e c t r o m o t r i z .  E l  e f e c t o de  e s t a  f u e r z a  s i n embargo no 

aparece en  e l caso de  c o n t r o l de campo, así que  e l amor­

t i g u a m i e n t o  t o t a l debe  v e n i r  d e l motor y de  l a  c a r g a . 

c) ­  E l  a m p l i f i c a d o r empleado  p a r a  e n e r g i z a r  e l  c i r 

c u i t o de armadura debe  s e r capaz de  s u m i n i s t r a r una  g r a n 

c a n t i d a d de  c o r r i e n t e de  i g u a l manera que  p a r a  e n e r g i z a r 

e l  c i r c u i t o  d e l campo. 

2.6.- APLICACION  L E LA FUNCION DE TRANSFERENCIA EN LA 

ELECTRONICA. 

T r i o d o . 

O t r a de  l a s  a p l i c a c i o n e s de  l a función de  t r a n s 

f e r e n c i a  e s t a en  e l campo de  l a electrónica, como un  e — 

jemplo  s e n c i l l o se estudiará  l a obtención de  l a  g a n a n c i a 

de un  t r i o d o cuya representación se  m u e s t r a en  l a  F i g . ­

2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA­11. 

— u. 

­ I r 

3 L 

E i g . 2­11.  T r i o d o con cátodo  a t e r r i z a d o . 

s e n o i d a l y  e n t o n c e s  e l diagrama de  c o r r i e n t e  a l t e r n a  d e l 

t r i o d o quede como  l o  i l u s t r a  l a  F i g . 2­12; en función de 

f a s o r e s . 

1 4

E 

P i g . 2­12. Diagrama de  c o r r i e n t e  a l t e r n a . 

E s t a b l e c i e n d o  l a s  e c u a c i o n e s  d e l  c i r c u i t o tenemos 

^ g =  ( r

p +  E

L +zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

^

 p  2­40 

47 

S u s t i t u y e n d o  e l  v a l o r de en  l a Ec. 2­41 tenemos 

fi. 

La  g a n a n c i a  p a r a  e s t e  c i r c u i t o será: 

/& = ­

­ E _ =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

A\ = _

1 + 

1  ­ i ­ ^ P •  ­ i  ™ L 

1 +

 T ^ 

+ 3 . wL _R, 

2­42 

De  e s t e  r e s u l t a d o podemos  v e r  l a  r e s p u e s t a de  f r e c u e n c i a 

d e l  t r i o d o  h a c i e n d o una gráfica de  c o n t r a w, se ob 

s e r v a que  l a gráfica será  d e l  t i p o de  l a  i g . 2­13. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

M

F i g . 2­'i3.; 

R e s p u e s t a de  f r e c u e n c i a 

a  l a Ec. 2­42. 

2.7.­ Consideramos  e l  c i r c u i t o  a m p l i f i c a d o r con  r e t r o a ­

limentación.  L a  F i g , 2­14a y 2­14b nos  m u e s t r a n  l o s  c i r 

c u i t o s  e q u i v a l e n t e s  p a r a  i l u s t r a r  e l diagrama de  f l u j o ­

de señal. 

ti.

_al 4 

Pig. 2­14a  P i g , 2­14b 

ma se pueden  e s c r i b i r como: 

e g

 =  e _i ­  e _f 

к 

Se escogen cmoo variables e^,  eg,  ef y  e2 y  e l corx­espon 

diente diagrama de  f l u j o de señal se muestra en  l a  P i g . 

2­13. 

En esta gráfica de  f l u j o  l a retroalimentaciÓn 

de e^ a  eg  i n d i c a claramente  e l efecto de  l a señal de 

retroalimentación directamente de  l a  s a l i d a a  l a entrada 

de  l a  r e j i l l a . 

4 9

sistema, aplicaremos  l a s reglas de Masen expuestas en  e l  Capítulo I. 

er t = ­

ek 

Vf*** _ i 

Para encontrar  l a función de transferencia  d e l  c i r c u i t o  tenemos: 

M =

 2 

k 

M »k

A

Las trayectorias descritas entre entrada y  s a l i d a son : 

p  L 

11

-T-Lazos que no se tocan igual a cero, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

KzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA U- k RT 

r_ + R­r 

1 +

Por  l o tanto, 

K k R

1

M2,  M3 = 0 

Lazos  i n d i v i d u a l e s . 

k R, 

P

11 - - i < £

+ \ )

p  i ­

Lazos que no se tocan igual cero, 

uk RT 

= 1

 +

/\ 5

1

P L 

M =  r 

£~

+ 1

COMENTARIOS 

No se ha pretendido de ninguna manera hacer en 

esta ocasión un estudio amplio de  l a fnnción de transfe­

r e n c i a . ^1 campo que abarca este tema es bastante amplio, 

podemos  d e c i r que en cualquier proceso  i n g e n i e r i l , encon 

tramos una función de transferencia. 

E l contenido de este trabajo está basado en  e l 

concepto matemático del fenómeno, y  e l análisis de  l o s 

iistemas tratados se hizo con  e l uso de  l o s diagramas —­

de block. 

Dado que en  l a  r e a l i d a d  l o s sistemas reales de 

control contienen funciones de transferencia de orden — 

a l t o , se ha hecho necesario  i n t r o d u c i r teorías modernas 

que pueden estudiar su comportamiento de una manera más 

exacta y simplificada, 

Jfeatualmente  l a s teorías de control se estudian 

en función de  l a s ecuaciones de estado y en forma matri­

c i a l que nos permiten determinar con mejor precisión  l a s 

A u t m o a t i c  C o n t r o l System, 

B e j a m i n C, Kuo 

Englewood  C l i f f s , N.J. 1962. 

A u t o m a t i c  c o n t r o l  E n g i n e e r i n g 

Franc  i s H, Raven. 

Mc  C r a w ­ H i l l Book Co.,  I n c . 

Time Domain  A n a l y s i s and  D e s i g n of 

C o n t r o l Systems, 

R i c h a r d D.  D o r f , 

A d d i s o n ­ W e s l e y ,  P u b l i s h i n g  C o i ,  I n c . , ',965.­

A u t o m a t i c Feedback  C o n t r o l System  S y n t h e s i s . 

Mc  G ­ r a w ­ H i l l ,  E l e c t r i c a l and  E l e c t r o n i c s 

E n g i n e e r i n g  S e r i e s . 1955. 

C o n t r o lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA System  D e s i g n , 

S t a n l e y M,  T h i n n e s 

V/iley  I n t e r n a t i o n a l  E d i t i o n 

John  W i l e y & Sons,,  I n c . 1964. 

N o n l i n e a r  A u t o m a t i c  C o n t r o l .