Teoria de matrces (nuevo)

(1)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

Tema : Matrices Página 1

Ap

un

tes

Ap

un

tes

Apuntes

Matrices

* Definición y tipos

* Operaciones con matrices

* Matriz inversa

* Rango de una matriz

* Propiedades

* EJERCICIOS RESUELTOS

Prof. Ximo Beneyto

(2)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

A lo largo del tema tomaremos como cuerpo (K, +,

A

), el cuerpo de los números reales (

ú

, +,

A

), a los números que forman la matriz les llamaremos "entradas" o simplemente "elementos de la

matriz", en nuestro caso serán números reales.

NOTACIÓN

Al conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, con elementos reales le llamamos M_mxn (

ú

) o simplemente M_mxn.

Las matrices vienen representadas habitualmente por letras mayúsculas A, B, C, etc. y cuando hacemos mención a sus elementos, notaremos A = ( a_ij) i = 1,2,..m ; j = 1,2,..,n. Donde "i" indica el número de la fila y "j" número de la columna que ocupa el elemento..

Al producto indicado ("x") del número de filas por el número de columnas le llamamos

DIMENSIONES o TAMAÑO de la matriz, y al elemento de la misma que ocupa la posición: fila "i" columna "j" lo representamos por aij.

A es una matriz: 4x3 ( Se lee cuatro por tres ) y alguno de sus elementos son:

Definición:

(3)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

a11=2 a₂₃= 6

a₄₂= 0

* Los elementos de una matriz de la forma a_ii se dice que forman la DIAGONAL

PRINCIPAL de la matriz. En el ejemplo anterior, la diagonal principal sería la formada por los números, 2, 4 y 2.

* Dos matrices de las mismas dimensiones se llaman EQUIDIMENSIONALES.

* Dos matrices EQUIDIMENSIONALES, A y B, son IGUALES si tienen los mismos elementos y dispuestos en la misma posición en ambas matrices.

* Asociado a toda matriz cuadrada tenemos su DETERMINANTE obtenido mediante reglas y propiedades que veremos más adelante, notaremos, det(A) ó

*

A

*

(No de be

confundirse esta notación con el valor absoluto, sobre todo en matrices cuadradas de orden 1). Nota: Supondremos que el lector sabe obtener el determinante de cualquier matriz cuadrada, así como sus propiedades elementales, para una mayor agilidad del tema.

TIPOS DE MATRICES

* Veamos a continuación algunos de los tipos más usuales de matrices*_.

1.-MATRIZ FILA

También se le llama VECTOR FILA, y es una matriz 1 x n.

*_{Las siguientes definiciones contienen conceptos que se verán más adelante (suma de matrices,} producto, determinante, etc), pero se han puesto aquí para un mejor agrupamiento en la clasificación.

2.-MATRIZ COLUMNA

(4)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

3.-MATRIZ NULA

Llamamos

matriz nula

mxn, a una matriz cuyos elementos son todos ceros, la

representamos por O

mxn

.

4.- MATRIZ OPUESTA

Llamamos matriz

opuesta

de una matriz A y notamos

- A

, a la matriz que obtenemos

cambiando de signo todos los elementos de A. Si A = ( a

ij

) Y

(5)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

5.- MATRIZ TRASPUESTA

Llamamos matriz

traspuesta

de una matriz A y notamos

A

t

_{, a la matriz que}

obtenemos cambiando filas por columnas en la matriz A. Si A = ( a

ij

) Y

A

t

_{= ( a}

ji

)

Propiedades de la trasposición de matrices:

i) (A

t

₎

t

_{= A}

ii) ( A + B)

t

_{= A}

t

_{+ B}

t

iii) ( A

AAAA

B )

t

_{= B}

t

_AAAA

_A

t

_{( Si el producto A}

_AAAA

_{B está definido )}

iv) (a

_AAAA

A)

t

_{= a}

_AAAA

_A

t

_{, a}

_0ú

Observa que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal quedan invariables

6.- MATRIZ CUADRADA

Llamamos matriz

cuadrada

, a una matriz que tiene el mismo número

de filas que columnas. Al número de filas o columnas de una matriz

cuadrada se le llama

ORDEN

de la matriz.

(6)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

6.1 MATRIZ SIMÉTRICA

Una matriz cuadrada A 0 M

n

es

una matriz simétrica

si es igual

que su matriz traspuesta, es decir:

A 0 M

n

es SIMÉTRICA ] A

t

= A

6.2 MATRIZ ANTISIMÉTRICA

Una matriz cuadrada A

0 M

n

es

antisimétrica

si es igual que su matriz

opuesta, es decir:

A 0 M

n

es ANTISIMÉTRICA ] A

t

= - A

Recordemos que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal permanecen invariables, así, la diagonal principal de cualquier matriz antisimétrica deberá estar formada por ceros.

Propiedad: Toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz SIMÉTRICA y otra matriz ANTISIMÉTRICA de forma única ( A = ½( A+At _{) + ½( A - A}t₎₎

6.3 MATRIZ TRIANGULAR

Una matriz cuadrada A 0 M

n

es

triangular inferior

si todos los elementos

de la misma situados por

encima

de la diagonal principal son ceros.

Una matriz cuadrada A 0 M

n

es

triangular superior

si todos los elementos

(7)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

6.4 MATRIZ DIAGONAL

Una matriz cuadrada A 0 M

n

es

diagonal

, si todos sus elementos son

nulos excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal.

6.5 MATRIZ UNIDAD

Llamamos matriz

unidad de orden n

y notamos I

n

, a la matriz diagonal,

cuya diagonal principal está formada por

unos, y el resto de elementos

(8)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

6.6 MATRIZ REGULAR

Una matriz cuadrada A 0 M

n

, es

regular

, si su determinante es distinto de

cero.

A 0 M

n

es regular si det(A) … 0.

[Las matrices regulares tienen gran importancia en el estudio matricial y sus

aplicaciones, al ser las únicas que admiten matriz inversa

]

6.7 MATRIZ SINGULAR

Una matriz cuadrada A 0 M

n

, es

singular

, si su determinante es cero.

(9)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

6.8 MATRIZ INVERSA

Dada una

matriz regular

A 0 M

n

( det(A) … 0 ), llamamos matriz

inversa

de

A y notamos

A

-1

_{a la}

_{única matriz}

_{de M}

n

, que cumple:

A

AAAA

A

-1

_{= A}

-1

_AAAA

_{A = I}

n

Propiedades de la inversión de matrices:

i) ( A

-1

₎

-1

_{= A}

ii) ( A

AAAA

B )

-1

_{= B}

-1

_AAAA

_A

-1

iii) ( I

n

)

-1

= I

n

iv) ( A

t

₎

-1

_{= ( A}

-1

₎

-t

v)

(

8

8 A)

-1

=

8

-1

A

-1, siendo

8

un número real no nulo.

NOTA: El cálculo de la matriz inversa se verá más adelante.

6.9 MATRIZ ORTOGONAL

(10)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

6.10 MATRICES SEMEJANTES

Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A, B, decimos que A y B son SEMEJANTES, si existe una matriz regular P /

B = P-1

_AAAA

_A

_AAAA

_P.

Propiedades: Si A y B son matrices SEMEJANTES

Y

i) Tienen el mismo determinante.

ii) Tienen el mismo rango.

iii) Tienen el mismo polinomio característico.

6.11 MATRIZ ADJUNTA

(11)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

En particular, empleando esta matriz, podemos definir la matriz inversa A-1_{= adj(A}t_{)/det(A), como}

veremos más adelante.

OPERACIONES CON MATRICES

A lo largo de este punto, vamos a DEFINIR las operaciones en el conjunto de las matrices

de "m" filas y "n" columnas, M

mxn

, con elementos en el cuerpo (ú, +, A).

1. SUMA DE MATRICES

Sean A = ( aij )

0

Mmxn y B = ( bi j )

0

Mmxn, definimos la SUMA DE

MATRICES A + B, a la matriz

A+B = ( aij + bij )

0

Mmxn.

(12)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

PROPIEDADES:

1. ASOCIATIVA ( A + B ) + C = A + ( B + C ).

œ

A, B, C

0

Mmxn

2. CONMUTATIVA A + B = B + A

_œ

A, B

₀

M_mxn

3. ELEMENTO NEUTRO

œ

A

0

Mmxn

›

O

0

Mmxn / A + O = O + A = A.

( ¡¡ Pues claro !! la matriz nula de M_mxn.)

4. ELEMENTO SIMÉTRICO

œ

A

0

Mmxn

›

(-A)

0

Mmxn / A + (-A) = (-A) + A = O

( Si, si, la matriz opuesta )

Cumpliendo estas cuatro propiedades de la ley de composición interna (Suma de matrices), el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de GRUPO ABELIANO.

( M_mxn, + ) GRUPO ABELIANO ( o Grupo Conmutativo )

PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ

Sea A = ( aij )

0

Mmxn y k

0 ú

Definimos el PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ k

A

A k

A

A = ( k

A

a

ij)

0

Mmxn

Es decir, el producto de un número real por una matriz (en este orden), se efectúa multiplicando por dicho número todos los elementos de la matriz.

( Nota: Observa que hemos definido k

A

A y no A

A

k, con lo cual, un producto tipo

A

( k

A

v ) debemos expresarlo como k

A

(A

A

v) )

PROPIEDADES

(13)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

2. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA EN

ú

RESPECTO DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR

UNA MATRIZ

( a + b )

A

A = a

A

A + b

A

œ

A

0

M

mxn y

œ

a , b

0 ú

3. ASOCIATIVA MIXTA a

A

( b

A

A ) = ( a

A

b )

A

œ

A

0

M

mxn y

œ

a , b

0 ú

4. NEUTRALIDAD 1

A

A = A

œ

A

0

M_mxn y 1

0 ú

Por consiguiente, si consideramos las propiedades de la ley de composición interna (SUMA DE MATRICES) junto con las de la ley de composición externa ( PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ ) obtenemos que el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura

de ESPACIO VECTORIAL REAL.

(14)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, aunque se puedan multiplicar A

A

B y B

A

A, el resultado no siempre es el mismo.

En particular, cuando tomamos el producto de matrices sobre M_n, es decir, matrices

CUADRADAS, todas las matrices se pueden multiplicar entre sí, cumpliéndose las propiedades:

I. PROPIEDAD ASOCIATIVA (A

AAAA

B)

AAAA

C = A

AAAA

(B

AAAA

C)

œ

A, B, C

0

M 3. PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices cualesquiera A, B no siempre se pueden multiplicar, debemos imponer unas condiciones dimensionales para que el producto de las mismas sea factible.

Dos matrices: A

0

Mmxn , A = ( aij ) y B

0

Mnxp , B = ( bjk ) , se pueden multiplicar en este orden ,si la matriz A tiene el mismo número de columnas que filas tiene B

(15)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

II. ELEMENTO NEUTRO

œ

A

0

Mn,

›

I

0

Mn / A

AAAA

I = I

AAAA

A = A

Y

I. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA RESPECTO DEL PRODUCTO DE MATRICES

(A+B)

A

C = A

A

C+B

A

C

œ

A, B, C

0

Mn

II. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO DE MATRICES RESPECTO DE LA SUMA

A

(B + C) = A

A

B + A

A

C

œ

A, B, C

0

Mn

Que junto con las propiedades que ya conocemos de la SUMA DE MATRICES, nos proporcionan que ( M_n, + ,

AAAA

) tiene estructura de ANILLO UNITARIO y no CONMUTATIVO.

[ No debes confundir el producto (

A

) de Matrices con el producto por un número real (

A

), a pesar de que se utilice el mismo símbolo].

POTENCIA n.SIMA DE UNA MATRIZ

Como aplicación del producto de matrices, dada una matriz cuadrada, A, podemos hallar potencias sucesivas de la misma multiplicando por sí misma esta matriz tantas veces como indique el exponente, así:

A2_{= A}

_A

_{A, A}3_{= A}

_A

_{A = A}2

_A

_{A, etc.}

(16)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

MATRIZ INVERSA

Dada una matriz regular ( det(A)

… 0 ), A

0

0 M

n

, decimos que A es una matriz

INVERTIBLE ( o que tiene matriz inversa), si existe una matriz A

-1

₀

_M

n

, :

/ A

AAAA

A

-1

_{= A}

-1

_AAAA

_{A = I}

n

.

Para obtener la matriz A

-1

_{, hay varios procedimientos ( Método de Gauss,}

Lange-Gale, etc. ), en este apartado , vamos a obtener la matriz inversa tal como

definimos en la introducción.

Inversa = Adjunta de la traspuesta dividida por el determinante.

(17)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

(18)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

Ejemplo : Dadas las matrices A, B, C

0

M_n ,todas ellas regulares, hallar la matriz X

0

M_n / A

A

X

A

B

A

C-1_{= B}

_A

Paso a paso : A

A

X

A

B

A

C-1_{= B}

_A

_A ( Multiplicamos por A-1_{(izquierda) )} _A-1

_A

_X

_A

_B

_A

_C-1_{= A}-1

_A

_B

_A

( Ordenamos ) X

A

B

A

C-1_{= A}-1

_A

_B

_A

_A ( Multiplicamos por C (derecha) ) X

A

B

A

C-1

_A

_{C = A}-1

_A

_B

_A

_C

( Ordenamos ) X

A

B = A-1

_A

_B

_A

_C ( Multiplicamos por B-1_{(derecha) )} _X

_A

_B

_A

_B-1_{= A}-1

_A

_B

_A

_C

_A

_B-1

( Ordenamos ) X = A-1

_A

_B

_A

_C

_A

_B-1 SOLUCIÓN : X = A-1

_A

_B

_A

_C

_A

_B-1

A primera vista, da la impresión de poderse simplificar aún más el resultado, pero, al no poder colocar las matrices en el orden deseado para multiplicarlas, debido a la no conmutatividad

del producto de matrices, hemos de dejarlo así.

(19)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

RANGO DE UNA MATRIZ

Llamamos

rango

de una matriz dada A

0

0 0 M

mxn

, al número de vectores fila/columna

linealmente independientes que forman parte de la matriz. Notaremos el RANGO

de una matriz A:

Rang(A), Rg(A), R(A). En lo sucesivo emplearemos Rang(A).

Propiedades:

i. El RANGO de una matriz no varía si a una fila/columna le sumamos otra u

otras filas/columnas multiplicadas por constantes.

ii. El RANGO de una matriz no varía si cambiamos sus filas por sus columnas

( Rango (A) = Rango (A

t

_{) )}

iii. El RANGO de una matriz es el ORDEN DEL MAYOR MENOR no nulo de

la matriz A.

(20)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

MÉTODOS DE CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

1) Método del PIVOTE

2) Método de MENORES ORLADOS

1) MÉTODO DEL PIVOTE 1) MÉTODO DEL PIVOTE 1) MÉTODO DEL PIVOTE 1) MÉTODO DEL PIVOTE

Utilizando las propiedades mencionadas más arriba, el método del pivote consiste en ir efectuando transformaciones elementales en las filas de la matriz mediante combinaciones lineales entre ellas para conseguir una matriz más sencilla del mismo rango.

De forma práctica, haremos ceros los elementos de la matriz situados por debajo de la diagonal principal, pivotando sobre los elementos a₁₁ , a_22, así sucesivamente.

El Rango de la matriz será el número de filas con algún elemento no nulo una vez finalizado e interpretado el proceso.

No hay prácticamente limitaciones al establecimiento de combinaciones lineales entre filas/columnas, salvo multiplicar o dividir por cero, aunque tomaremos el mismo consejo del cálculo de determinantes :

(21)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

(22)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

2) MÉTODO DE MENORES ORLADOS

Se apoya este método en ir buscando progresivamente el número de filas linealmente independientes que forman parte de la matriz de una forma ordenada y a la vez eficaz.

Recordemos que un MENOR de una matriz A

0

M_n, es un determinante que se construye a partir de los elementos de la matriz, suprimiendo filas y columnas en ésta. El ORDEN de un MENOR, es el número de filas/columnas que tiene. Si un MENOR es distinto de cero, entonces las filas que forman parte del mismo son Linealmente Independientes.

(23)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

Puesto que hemos definido el rango de A como el ORDEN del mayor MENOR NO NULO de la matriz A, vamos a organizar la búsqueda de un MENOR que marque el RANGO de la matriz. ¡¡¡ Claro !!!, sin indicar un camino de búsqueda, localizar el mayor MENOR distinto de cero, nos puede llevar a un interminable "paseo" entre los menores de la matriz, hasta conseguir el mayor de ellos no nulo. Pensemos en una matriz 3x6, por ejemplo, en la que habría que analizar 20 MENORES de orden 3.

MÉTODO DE MENORES ORLADOS (M.M.O.) 1. Si la MATRIZ es CUADRADA

Hallar su DETERMINANTE y :

1.1 Si el determinante es distinto de cero

Y

El orden de la matriz es el RANGO de la misma.

1.2 Si el determinante vale cero

Y

Empezar el proceso de orlación.

2. Si la matriz no es cuadrada ( Proceso de ORLACIÓN )

2.1 Seleccionar un MENOR de ORDEN 2, no nulo ( Si no es posible, el rango será 1 ó 0 )

2.2 Efectuar mediante ORLACIÓN, todos los MENORES de orden 3. 2.2.1 Si todos son NULOS

Y

El RANGO será 2

2.2.2 Si alguno es NO NULO

Y

El RANGO será mayor o igual que tres. 2.3 Efectuar mediante ORLACIÓN del MENOR de orden 3, no nulo, todos los MENORES de orden 4.

(24)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

Y así sucesivamente.

Para matrices de grandes dimensiones ésta técnica puede resultar un poco engorrosa y tal vez sea conveniente emplear el método del PIVOTE, aunque en cualquier discusión del rango de una matriz en la que intervengan parámetros, es, con mucho, la forma más rigurosa y eficaz, al hacer depender el RANGO de la matriz de los MENORES ORLADOS exclusivamente.

Como la matriz es cuadrada, tal como sugerimos, hallamos su determinante: det(A) = a3 - 3a + 2. Veamos qué valores lo anulan.

a3 - 3a + 2 = 0, aplicando la regla de Ruffini nos da : a = 1 ( raíz doble ) a = -2 ( raíz simple )

Obviamente si a

…

1, -2

Y

det(A)

…

0 y, por tanto Rang(A) = 3

(25)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

Sustituyendo en la matriz nos queda:

Si a = -2.

Sustituyendo en la matriz:

[ No habiendo necesidad de calcular el determinante de orden 3 ] Y ordenando la solución, tenemos:

Si a = 1

Y

Rang(A) = 1

Si a = -2

Y

Rang(A) = 2

Si a

…

1, -2

Y

Rang(A) = 3

CONEXIÓN MATRICES/ESPACIO VECTORIAL

1.1 Análisis de la dependencia lineal de un Sistema de Vectores.

Sea ( Rn_{(R), +,}

_A

_{) , y} _{un Sistema de vectores, sean}

(26)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

ejemplo, son, puesto que según tomemos un MENOR u otro tendremos unos vectores u otros. Obviamente, la matriz con las componentes se puede considerar por filas o columnas, pues el rango es el mismo.

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Sea A una matriz cuadrada de orden n, A

0

M_n, idempotente (A2_{= A), demostrar que la}

matriz B = 2A - I, siendo I la matriz unidad de orden n, I

0

M_n , es inversa de sí misma.

Si A es una matriz IDEMPOTENTE

Y

A

0

Mn y A2 = A.

Para probar que la matriz B es INVERSA de sí misma, recordemos que la matriz inversa de una matriz dada es la única matriz que multiplicada por derecha ó izquierda por la matriz nos da la matriz unidad.

Hallemos B

A

B.

(27)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

Tema : Qüestións Resoltes de Matrius Pàgina 27

Y

B es la matriz Inversa de sí misma.

[ Observa que : B

A

B = I

Y

det (B

A

B) = det I

Y

det B

A

det B = 1

Y

det B = ±1 y, por tanto, B es Regular ]

2.- Se llama Traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de la diagonal principal. Sean A, B M3, probar que : traza ( A+B ) = traza (A) + traza (B)

traza ( A

AAAA

B) = traza ( B

AAAA

A )

[ Nota : Es un ejercicio particularizado a n = 3 pues la propiedad se cumple en Mn ]

Sean A, B

0

M3, recordemos que la traza de una matriz es la SUMA de los elementos situados en la DIAGONAL PRINCIPAL.

y

traza de A = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ ; traza de B = b₁₁ + b₂₂ + b₃₃

A+B = => traza de A+B = a

11 + b11 + a22 + b22 + a33 + b33

Y

traza ( A+B ) = traza(A) + traza (B).

Y

(28)

X.B.

APUNTS

MATRIUS

Y

traza ( B

AAAA

A ) = b₁₁a₁₁+b₁₂a₂₁+b₁₃a₃₁+b₂₁a₁₂+b₂₂a₂₂+b₂₃a₃₂+b₃₁a₁₃+b₃₂a₂₃+b₃₃a₃₃

traza ( B

A

A ) = traza ( A

A

B )

3.- Probar que si A y B Mn son matrices invertibles

Y

A

B también lo es y (A

A

B)-1 = B-1

A

A-1

Si A

0

Mn es INVERTIBLE A-1 / A-1

A

A = A

A

A-1 = In (I) Si B

0

Mn es INVERTIBLE B-1 / B-1

A

B = B

A

B-1 = In (II) Sea la matriz B-1

_A

_A-1_{cuya existencia garantizan (I) y (II)}

<<<<

(A

A

B)

A

(B-1

_A

_A-1_{) = ( Propiedad Asociativa) = A}

_A

_{( B}

_A

_B-1₎

_A

_A-1_{= A}

_A

_I

_A

_A-1 = A

A

A-1_{= I.}

<<<<

(B-1

_A

_A-1₎

_A

_(A

_A

_{B) = ( Propiedad Asociativa) = B}-1

_A

_{( A}-1

_A

_{A )}

_A

_{B = B}-1

_A

_I

_A

_B = B-1

_A

_{B = I.}

Por consiguiente, B-1

_A

_A-1_{es la matriz inversa de A}

_A

_B

_Y

_{( A}

_A

_{B )}-1_{= B}-1

_A

_A-1

4.-Probar que si A Mn , es regular, y A

A

B = A

A

C

Y

B = C.

Recordemos que A

0

M_n es regular si

›

A-1_{( ó det(A)}

_…

_{0 )} Si A

A

B = A

A

C

(29)

XB

APUNTS

MATRIUS

Tema : Qüestións Resoltes de Matrius Pàgina 29

5.- Hallar el conjunto de matrices CUADRADAS que conmutan con

Sabemos que, en general, el producto de dos matrices NO es CONMUTATIVO. Veamos que condiciones hemos de exigir a una matriz A

0

M2 para que conmute con la matriz

anteriormente dada.

Sea pues :

<<<<

Si las matrices conmutan entonces ambos resultados deben ser iguales :

<<<<

Por tanto, el conjunto de matrices solicitado es :