FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL pdf

(1)

M

ATEMÁTICA PARA INGENIEROS

F

ORMACIÓN POR COMPETENCIAS

(2)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

En nuestra capital, los espacios para estacionamiento son escasos y la demanda cada vez mayor, pudiéndose encontrar estacionamientos de hasta S/ 15 la hora. De acuerdo a un estudio de Mapcity, los distritos de San Isidro, La Molina y Barranco tienen el costo más elevado (entre S/10 y S/15 por hora como máximo). El costo tiende a bajar cuando nos alejamos hacía las zonas industriales o residenciales.

Costos por estacionamiento

2

SITUACIÓN MOTIVADORA

¿Es posible emplear

funciones reales de

variable real para para modelar el costo por estacionamiento?

(3)

3

LOGROS DE APRENDIZAJE

 Analiza funciones reales de una variable real a partir de sus elementos y características.

(4)

La gráfica de una función 𝒇 es el conjunto de todos los puntos 𝑥; 𝑓(𝑥) en un sistema de coordenadas rectangulares, donde 𝑥 ∈ Dom(𝑓).

𝑓(1)

x

𝑓 (2)

𝑓 (𝑥)

(𝑥; 𝑓 (𝑥))

1

2 𝑥

En la gráfica de 𝑓 podemos observar el domino y rango de la función 𝑓.

Dominio

Rango

Se identifica en el eje X

Se identifica en el eje Y

4

Gráfica de una función

(5)

5

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución:

Ejemplo 1. La siguiente figura muestra la gráfica de una función 𝑓. Determine

a) El dominio y el rango de 𝑓. b) El valor de 𝑓 𝑓 𝑓 0 +𝑓 −𝜋

2 +𝑓(2).

(6)

6

Resolución:

Ejemplo 2. En cada caso determine el dominio y el rango de la función cuyas gráficas se muestran a continuación

–2 2 1

2 4

4 ₆

3,5 –2 2

1 2 4

4 ₆ 3,5

1.5

𝑿 𝑿

(7)

7

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 3. La siguiente figura muestra la gráfica de una función 𝑓. Determine:

a) El dominio y el rango de 𝑓

b) El valor de 𝑓 𝑓 −2 + 𝑓(2)

(8)

8

Paso 1.

a) A partir de la gráfica, se observa que:

𝑑𝑜𝑚 𝑓 = −4; 2 ∪ 3; 6 y 𝑟𝑎𝑛(𝑓) = −2; 6

Paso 2.

b) Como 𝑓 −2 = 0, entonces 𝑓 𝑓 −2 = 𝑓 0 = −2. Además, 𝑓 2 = 2. De

donde 𝑓 𝑓 −2 + 𝑓 2 = −2 + 2 = 0.

Paso 3.

c) 𝑓 𝑥 = 0 si y solo si 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 4. Por lo tanto, el conjunto

solución es −4; −2; 4 .

(9)

9

Reconocimiento del gráfico de una función

𝑥2_{+ 𝑦}2_{= 4}

y = x2

-1 1 3 5

-6 -4 -2 0 2 4 6

La gráfica de una ecuación en el plano

XY

es la gráfica

de una función

𝑦 = 𝑓(𝑥)

si cualquier recta vertical que

intersecta a la grafica

lo hace en tan

solo un punto

.

Si representa

una función

No representa

una función

𝑿

(10)

10

Dominio explícito de una función

A veces, el dominio de una función se indica explícitamente.

Por ejemplo, la función 𝑓 dada por

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 < 0,

tiene por dominio el conjunto de todos los números reales negativos.

(11)

11

Por ejemplo, la función 𝑓 dada por

𝑓 𝑥 = 𝑥

no tiene el dominio explícitamente indicado. Sin embargo, tiene un dominio implícito.

Observe que si 𝑥 es negativo, es decir 𝑥 < 0, entonces el resultado

𝑥 es no es número real. Para que 𝑥 sea un número real, se debe restringir el dominio a los números no negativos, es decir, 𝑥 ≥ 0. Por tanto Dom 𝑓 = [0, +∞ .

Si la expresión que define una función 𝑓 se da, pero el dominio no se indica explícitamente, entonces se dice que el dominio es implícito. El dominio implícito es el mayor conjunto de números reales para el cual la función esta defina y el valor 𝑓(𝑥) es un número real.

(12)

Dirección de Estudios Generales Matemática para Ingenieros

12

Resolución:

Ejemplo 4. Determine el dominio de la función en cada caso

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥−2

3−𝑥2 b)𝑓 𝑥 =

𝑥−1

𝑥+1 c)

(13)

13

Resolución:

Ejemplo 5. Determine el dominio de la función en cada caso a) 𝑓 𝑥 = _𝑥𝑥₂2_−6𝑥−25 b)𝑓 𝑥 = log 𝑥2_𝑥−1+𝑥−6

a)

Paso 1. Establecer las restricciones para la variable 𝑥 de manera que la función

𝑓 quede bien definida:

𝑥2 − 25 ≥ 0 ∧ 𝑥2 − 6𝑥 ≠ 0

Paso 2. Resolver lo anterior

𝑥 > 5 ∨ 𝑥 < −5 ∧ 𝑥 𝑥 − 6 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ∈ −∞; −5 ∪ 5; +∞ − 6

Paso 3. El dominio de la función 𝑓 es

(14)

14

b)

Paso1. Establecer las restricciones para la variable 𝑥 de manera que la función 𝑓 quede bien definida:

𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥 − 1 > 0

Paso2. Resolver la inecuación racional ( mediante análisis de signos)

𝑥 + 3 𝑥 − 2

𝑥 − 1 > 0

⇒ 𝑥 ∈ −3; 1 ∪ 2; +∞

Paso3. El dominio de la función 𝑓 es

(15)

15

Monotonía de una función

Sea

𝒇

una función y

𝐼

un intervalo abierto tal que

𝐼 ⊂ 𝐷𝑜𝑚 𝑓

.

Decimos que

𝑓

es

1. creciente

en

I,

si

f

(

x

₁

) <

f

(

x

₂

)

para todo

𝒙

_𝟏

, 𝒙

_𝟐

∈ 𝐼

con

𝒙

_𝟏

< 𝒙

_𝟐

,

2 . decreciente

en

I

, si

f

(

x

₁

) >

f

(

x

₂

)

para todo

𝒙

_𝟏

, 𝒙

_𝟐

∈ 𝐼

con

𝒙

_𝟏

< 𝒙

_𝟐

,

3. constante

en

I

, si

f

(

x

₁

) =

f

(

x

₂

).

para todo

𝒙

_𝟏

, 𝒙

_𝟐

∈ 𝐼

.

𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒇(𝒙_𝟐)

𝒇(𝒙_𝟏)

𝑿 𝒀

𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒇(𝒙_𝟏)

𝒇(𝒙_𝟐)

𝑿 𝒀

𝒇 𝒙_𝟏 = 𝒇 𝒙_𝟐

(16)

Sea 𝐼 un intervalo abierto. Decimos que 𝐼 es un intervalo de monotonía de 𝒇 si 𝑓 es creciente, decreciente o constante en 𝐼.

16

Intervalo de monotonía de una función (OBSERVACION)

x

a

_b

c

_d

A

B

D

C

Creciente en el intervalo: 𝑎; 𝑏

Constante en el intervalo: 𝑏; 𝑐

Decreciente en el intervalo: 𝑐; 𝑑

Si 𝑓 es una función cuya gráfica se muestra debajo

entonces 𝑓 es

Los intervalos de monotonía son

abiertos

(17)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Modelamiento de

Funciones Reales de

(18)

18

Estrategia para el modelamiento con funciones

Traducción

matemática

correspondencia de la Determina la regla de función

Determinación del

dominio

Leer y entender el problema

Definir la variable

Respuesta

1

2

3

4

(19)

Resolución:

Ejemplo 6. Se va a fabricar una caja de base cuadrada y sin tapa, con una hoja cuadrada de estaño, cortando cuadrados de 3 pulgadas de cada esquina y doblando los lados. Determine el volumen de la caja como una función de la longitud del lado del cuadrado.

Paso1. Leer y entender el problema

Hoja cuadrada de estaño

Se cortan cuadrados de cada esquina

(20)

Paso 2: Definir la variable. Como el problema pide el tamaño de la hoja cuadrada de estaño, nuestra variable será la longitud del lado del cuadrado

𝒙 ∶Longitud del lado del cuadrado _𝑥

𝑥

Paso 3: Traducir el problema al lenguaje matemático. Como el problema pide el tamaño de la hoja cuadrada de estaño, nuestra variable será la longitud del lado del cuadrado

20

(21)

Los cuadrados de las esquinas tienen 3 pulgadas de lado

3 3 3

3

3 3 3

3

En consecuencia el lado del cuadrado interior

tiene lado de longitud: 𝑥 − 6

𝑥 – 6 𝑥 – 6

Al formar la caja, la altura de la misma es de 3 pulgadas y la base resulta ser el cuadrado de longitud 𝑥 – 6.

3

𝑥 – 6

21

(22)

Recordando que el volumen de una caja

rectangular (paralelepípedo rectángulo) es iguala

al producto de sus tres dimensiones, tenemos 3

3

x – 6

Volumen = (Largo) ×(ancho)×(altura)

Paso 4: Determinar el dominio. Para que se puedan restar 3 pulgadas de cada lado entonces el lado del cuadrado x tiene que ser mayor que 6, es decir

Paso 5: Redactar la respuesta. El volumen de la caja es

𝑉 𝑥 = 3 𝑥 − 6 2; dom 𝑉 =]6; +∞[

22

(23)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

(24)

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4

Traslaciones Reflexiones Ampliaciones / _{Contracciones}

(25)

(

)

y



f x



c

(

)

y



f x



c

Traslación derecha:

Traslación izquierda:

25

Traslaciones

( 2)

y  f x 

( 2)

y  f x 

Traslación horizontal:

Sea c > 0. La traslación horizontal de la gráfica de 𝒚 = 𝒇 𝒙 , en 𝑐

unidades a la derecha o izquierda, se representa de la siguiente manera. 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4

y



f x

( )

(26)

26

( )

y



f x



c

( )

y



f x



c

Traslación hacia arriba:

Traslación hacia abajo:

Traslación vertical:

Sea c > 0. La traslación vertical de la gráfica de 𝒚 = 𝒇 𝒙 , en 𝑐

unidades hacia arriba o abajo, se representa de la siguiente manera.

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4

( ) 2 y  f x 

( ) 2 y  f x 

y



f x

( )

(27)

Resolución:

(28)

Resolución:

(29)

Reflexiones

29

Reflexión respecto al eje X:

Sea 𝑓 una función, la gráfica de la función dado por

𝒚 = −𝒇(𝒙),

es la reflexión de la gráfica de 𝑓

respecto el eje X .

Reflexión respecto al eje Y: Sea 𝑓 una función, la gráfica de la función dado por

𝒚 = 𝒇(−𝒙),

es la reflexión de la gráfica de 𝑓

respecto el eje Y .

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4

( )

y



f x

( )

y



f x

𝑿 𝒀 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4

( )

y



f x

( )

y



f x

𝒀

(30)

Resolución:

(31)

Ampliaciones y contracciones vertical

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4

Este par es (0; 0) Hacemos: (0; 2x0)

31

𝒚 = 𝒄𝒇(𝒙),

es:

• una ampliación vertical de la gráfica de 𝑓 si 𝒄 > 𝟏,

• una contracción vertical de la grafica de 𝑓 si 𝟎 < 𝒄 < 𝟏.

( ) y  f x

2 ( )

y  f x

𝑿 𝒀 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4

Este par es (1; 1) Hacemos: (1; 0,5x1)

Este par es (0; 0) Hacemos: (0; 0,5x0) Este par es (2; 2)

Hacemos: (2; 0,5x2)

𝑿 𝒀

0.5 ( )

y  f x

(32)

Resolución:

(33)

Ampliaciones y contracciones horizontal

33

𝒚 = 𝒇(𝒄𝒙)

es:

• una ampliación horizontal de la gráfica de 𝑓 si 𝟎 < 𝒄 < 𝟏, • una contracción horizontal de la grafica de 𝑓 si 𝒄 > 𝟏.

(2 )

y  f x

( ) y  f x

( ) y  f x (1 2 )

y  f x

Este par es (1; 1) Hacemos: (2x1; 1)

Este par es (2; 4) Hacemos: (2x2; 4)

Este par es (1; 1) Hacemos: (1/2x1; 1)

Este par es (2; 4) Hacemos: (1/2x1; 4 )

𝑿 𝑿

(34)

(35)

35

(36)

36

Paso 2. Graficar 2𝑓 𝑥 − 2 , para ello

ampliar verticalmente la gráfica

(37)

37

Paso 3. Graficar la función

(38)

38

F

ORM

AC

IO

N

BA

SI

CA

CINCO COSAS QUE DEBEMOS RECORDAR

1. Si a medida que los valores de 𝑥 aumentan (o disminuyen) y

los valores de 𝑓(𝑥) disminuyen (o aumentan) se dice que la función 𝑓 es decreciente.

2. Si a medida que los valores de 𝑥 aumentan (o disminuyen) y

los valores de 𝑓(𝑥) aumentan (o disminuyen) se dice que la función 𝑓 es creciente.

3. Cuando se modela la regla de correspondencia de una

función siempre debe indicarse el dominio.

4. Si al argumento de una función se le suma (o resta ) una

cantidad 𝑎 positiva su gráfica se traslada horizontalmente 𝑎 unidades a la izquierda (o derecha).

5. Si 𝑓(𝑥) es la regla de correspondencia entonces−𝑓(𝑥)

(39)

39

F

ORM

AC

IO

N

BA

SI

CA

Tome su tiempo para reflexionar antes de responder las siguientes preguntas:

Sobre el modelado de funciones

1. ¿Se te presentó alguna dificultad para modelar la regla de

correspondencia de funciones?

2. ¿Qué acciones tomaste para superar estas dificultades? 3. Finalmente, ¿crees que tú que superaste las dificultades?

Sobre las transformaciones de funciones

¿Se te presentó alguna dificultad para transformar la regla de correspondencia de funciones reales de variable real?

1. ¿Qué acciones tomaste para superar estas dificultades? 2. Finalmente, ¿crees que tú que superaste las dificultades?

(40)

En el panorama del caso “costos por estacionamiento”, presentado al inicio de la semana, y sabiendo que en un estacionamiento particular se cobra S/ 4.00 por hora o fracción,

Actividad

40

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN

I. Determine en forma detallada la regla de correspondencia de la función que modela el costo por estacionamiento en términos del tiempo.