2.1 Funciones polinomiales. - UNIDAD 9 utilicemos las funciones algebraicas.

(1)

UNIDAD 9: UTILICEMOS LAS FUNCIONES

ALGEBRAICAS.

Funciones algebraicas

.

2.1 Funciones polinomiales

.

Estudiaremos las funciones siguientes: constante, lineal, cuadrática y cúbica.



Función constante

. Las funciones constante son de la forma

f(x)

=

k

, siendo

k

una constante; es decir, un número. Son funciones constante:

f(x)

=

5

,

f(x)

=

-4

,

y

=

25

. La gráfica de estas funciones es una línea recta horizontal.

f(x)

=

3 y

= -

2 

Función lineal

. Esta función tiene la forma

y

=

m

X

+

b

. Son funciones lineales:

y

= 2

X

+ 3,

y

= 5

X

– 4,

y

= –3

X

+ 5. La gráfica de una función lineal es UNA LINEA RECTA NO HORIZONTAL.

4

3

2

1 -1

-2

-3

El gráfico muestra 4 líneas rectas.

Tanto el dominio como el rango son los reales.

La función lineal es de grado uno, ya que la variable independiente está elevada a la unidad.

y

=

m

X

+

b

equivale a

y

=

m

X

1₊

_b

Estas funciones se conocen también como de grado cero, pues se considera a la variable

independiente elevada a la cero. Para el caso se tiene que

y

= 25, equivale a

y

= 25

X

º . Considerado esto, el dominio son todos los reales; pero el rango sólo es la constante

k

.

Estas funciones no son crecientes ni decrecientes. Una función es creciente si al aumentar

X

, aumenta

(2)



Significado de

b

en la función lineal

. Observa cada una de las rectas siguientes:

y

=

X

+ 2

y

=

X

y

=

X

– 1

y

=

X

+ 1

y

=

X

– 2

Las funciones de las rectas anteriores son:

y

=

X

+ 2

y

=

X

+ 1

y

=

X

y

=

X

– 1

y

=

X

– 2



Significado de

m

en la función lineal

.

y

= -3

X

+ 1

y

= 3

X

+ 1

y

= 2

X

+ 1

y

= -2

X

+ 1

y

= -

X

+ 1

y

=

X

+ 1

2

1 –1

–2

Podemos observar que el valor de

b

coincide con el punto en el que la recta corta al eje

y

.

Precisamente

b

es donde la recta intercepta al eje

y

. A

b

se le conoce también como

intercepto

. En el intercepto,

X

= 0.

Las ecuaciones de las rectas de la derecha son:

y

=

X

+ 1

y

= 2

X

+ 1

y

= 3

X

+ 1

y

= -3

X

+ 1

y

= -2

X

+ 1

(3)

Podemos observar que todas las rectas tienen el mismo intercepto, pero el valor de

m

es distinto. Efectivamente,

m

es la pendiente de la recta. Observa que la pendiente puede ser negativa. Cuando

m

es positiva, el ángulo de inclinación es menor de 90º. Cuando es negativa, está entre 90º y 180º.



Gráfica de una función lineal.

Para graficar una línea recta bastan 2 puntos. Si se desea, uno de ellos puede ser el intercepto. Para calcular el otro, se le da cualquier valor a

X

.

Ejemplo

. Graficar las rectas

y

= 2

X

+ 3 y

y

= -3

X

– 2. Determinar si son crecientes o no lo son.

Para

y

= 2

X

+ 3 el intercepto es (0, 3) Encontremos otro punto dándole a

X

el valor de 1. Obtenemos el punto (1, 5)

Para

y

= -3

X

– 2 el intercepto es (0, –2) Encontremos otro punto dándole a

X

el valor de 1. Obtenemos el punto (1, –5)

1

2



La pendiente de una recta en grados

. 5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

y

= 2

X

+ 3

y

= -3

X

– 2

La recta

y

= 2

X

+ 3 es creciente: al aumentar

X

aumenta

y

. En cambio la recta

y

= -3

X

– 2 es decreciente: al aumentar

X

, disminuye

y

. Veamos dos puntos:

para

X

= 1,

y

= -5; para

X

= 2,

y

= -8.

(4)

El ángulo que una recta forma con el eje

X

se puede calcular mediante la función tangente inversa. Esto es así debido a que la pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con el eje

X

.

Para el caso de

y

= 2

X

+ 4, la pendiente 2 es la tangente del ángulo que forma esta recta con el eje

X

. Veamos esto gráficamente.

y

= 2

X

+ 4



Actividad 2

. Utilizando papel milimetrado, trazar las rectas siguientes: 1.

y

= 2

X

+ 3

2.

y

= 2

X

+ 5 3.

y

= 2

X

+ 8 4.

y

= 2

X

+ 2 5.

y

= 3

X

+ 2 6.

y

= 4

X

+ 2 7.

y

= -

X

– 2

8.

y

= -2

X

– 2 9.

y

= -3

X

– 2



discusión 2

. 1. Utilizando papel milimetrado, grafiquen en un mismo plano las rectas

y

= 1.5

X

+ 2 y

y

= -2.5

X

+ 10 y encuentren el punto en el cual chocan.

2. Se sabe que las rectas

y

= 2

X

+ 3 y

y

= 2

X

+ 5 nunca se cortan. Discutan y traten de encontrar la explicación de tal fenómeno.



Funciones cuadráticas

.

Estas funciones son de segundo grado: la variable independiente está al cuadrado. La gráfica de estas funciones se conocen como parábolas. Estas pueden abrirse hacia arriba o hacia abajo.

Vértice 4

-2 β

Se tiene que: Tanβ = opuesto/adyacente = 4/2 =

2

(Hemos tomado 2 y no –2)

En la recta

y

=

2 X

+ 4,

2

es la pendiente.

Se tiene que: β = Tan-1_{(2) = 63.4}º

_,

_{este es el ángulo que forma la recta}

con el eje

X

.

(5)

Abierta hacia arriba Abierta hacia abajo

Una parábola está abierta hacia arriba si el coeficiente de

X

2_{es positivo; de lo contrario se abre}

hacia abajo.

El dominio de una parábola son los reales; pero el rango tiene siempre una restricción. Esto se debe a que una parábola parte de un punto hacia el +

∞

o el –

∞

. Esto significa que el rango será

[

k

, +

∞

[

o

]

-

∞,

k

]

Aquí k es la componente en

y

del vértice.

El vértice de una parábola puede estar sobre el eje

y

o en cualquier otro punto en el plano. Las parábolas de la forma

y

= a

X

2_{+ k, tienen el vértice en}

_y

_{= k. Si k = 0, la parábola está en el}

origen.

Las funciones de la forma

y

= a

X

2_{+ b}

_X

_{+ c, tienen el vértice en cualquier punto del plano. Si}

se trata de un trinomio cuadrado perfecto, el vértice está sobre el eje

X

.



Gráfica de una parábola

.

Para graficar una parábola, debemos calcular su vértice, los puntos donde corta al eje

X

(si lo corta) y el punto donde corta al eje

y

.

Recuerda que... si hacemos

X

= 0, encontramos el punto o puntos donde la curva corta a

y

; y si hacemos

y

= 0, encontramos el punto o puntos donde la curva corta a

X. Ejemplos

. Encontrar el rango y la gráfica de: 1.

y

= 4 –

X

2₂_.

_y

₌

_X

2_{+ 2}

3.

y

= -

X

2_{+ 8}

_X

_{– 12}₄_.

_y

₌

_X

2_{– 4}

_X

_{+ 4}



Solución

.



y

= 4 –

X

2_{La parábola se abre hacia abajo, y tiene su vértice en}

_y

_{= 4. Se concluye que}

corta al eje

X

. ¿Dónde? Donde

y

= 0,

y

= 4 –

X

2__{4 –}

_X

2_{= 0}

_ _–

_X

2_{= – 4}_

_X

2_{= 4}_

_X

_{= ±}₄_

_X

_{= ± 2}

F

Observa que aquí tomamos las 2 raíces: 2 y –2. La parábola corta a

X

en 2 y –2. El gráfico es el siguiente:

-2 2

4

Del gráfico se concluye que el rango es

]

-

∞

, 4

]

Como el rango son los valores que puede tomar la

y

, puede calcularse despejando

X

. Al despejarla de

y

= 4 –

X

2_{, obtenemos:}

_X

_{= 4 –}

_y

_{. Se aprecia que}

_y

tiene que ser menor o igual a 4.

(6)



y

=

X

2_{+ 2 Esta parábola se abre hacia arriba, y tiene su vértice en}

_y

_{= 2. Se concluye que}

NO corta al eje

X

. El gráfico es:

Recta tangente



y

= -

X

2_{+ 8}

_X

_{– 12 Esta parábola se abre hacia abajo. Al aplicar la fórmula general}

obtenemos que sus raíces son: 2 y 6. Estos son los valores que hacen cero la ecuación; es decir, son los valores donde la curva corta al eje

X

.

El gráfico es el siguiente:

Esta parábola corta al eje

y

en

y

= –12. A esto se llega al hacer

X

= 0 en

y

= -

X

2_{+ 8}

_X

_{– 12.}

El punto (0, -12) no aparece en la gráfica por falta de espacio. 2

Del gráfico se concluye que el rango es

[

2, +

∞

[

Esto se aprecia al despejar

X

de

y

=

X

2_{+ 2:}

X

=

√

y

– 2 Aquí

y

debe de ser 2 o mayor que 2.

Además, de -

∞

a cero, la función es decreciente; de cero en adelante es creciente. Observemos que el vértice marca el cambio. En general, si una recta tangente a la curva tiene pendiente positiva, la función es creciente; de lo contrario es decreciente.

2 6

La parábola, abriéndose hacia abajo, corta al eje

X

en 2 y 6. Significa que el vértice tiene como coordenada en

X

el punto medio de 2 y 6, que es 4. Al sustituir 4 en la función, se obtiene:

y

= -

X

2_{+ 8}

_X

_{– 12 = -(4)}2_{+ 8(4) – 12 = 4}

El vértice está en (4, 4)

2 4 6

4

Aquí puede apreciarse que el rango es:

]

-∞

, 4

]

En este caso NO puede despejarse

X

de

y

= -

X

2_{+ 8}

_X

_{– 12. Es decir que por ese}

método no se puede calcular el rango.

(7)



y

=

X

2_{– 4}

_X

_{+ 4 Esta función es un}

trinomio cuadrado perfecto. La raíz es 3. Significa que sólo en

X

= 3 corta al eje

X

. Allí mismo tiene su vértice. Además, al hacer

X

= 0, obtenemos

y

= 4. La curva pasa por (0, 4)

El gráfico es una parábola que se abre hacia arriba.

En el gráfico puede apreciarse que el rango es:

[

0, +

∞

[



Actividad 3

. Para cada función

determinar el rango, gráfico, intervalos donde es creciente o decreciente. 1.

y

=

X

2_{– 1}₂_.

_y

= 1 –

X

2₃_.

_y

₌

_X

2_{– 9}₄_.

_y

_{= 9 –}

_X

2₅_.

_y

₌

_X

2_{+ 3}

6.

y

= –

X

2_{– 3}₇_.

_y

₌

_X

2_{– 2}

_X

_{– 8}₈_.

_y

_{= –}

_X

2_{+ 2}

_X

_{+ 8}₉_.

_y

₌

_X

2_{– 4}

_X

_{– 5}

10.

y

= –

X

2_{+ 4}

_X

_{+ 5}



discusión 3

. Determinar el rango y el gráfico, destacando los puntos donde corta al eje

X

la función

y

=

X

2_{– 3.}



Funciones cúbicas

.

Estas funciones son de tercer grado: la variable independiente está al cubo. En estas funciones, el rango y el dominio son los reales.

No ahondaremos en este tipo de funciones. Sin embargo, sus gráficos pueden tener las formas siguientes:

    

El gráfico



puede ser

y

=

X

3_{; en tal caso, el gráfico}

_

_sería

_y

_{= –}

_X

3_{. El gráfico}

_

_no

pasa por el origen. Corresponde a una cúbica de la forma

y

=

X

3_{– k. El gráfico}



_{corta al eje}

3 4

(8)

X

en 2 puntos. El gráfico



corta al eje

X

en 3 puntos. Estos 2 últimos gráficos corresponden a funciones que incluyen

X

o

X

2_.



discusión 4

. Utilizando papel milimetrado trazar las gráficas siguientes:

1. y = X3 _{– 5}_X2 _{+ 7}_X_{– 3. Utiliza la siguiente tabla de valores:}

X

–1 0 1 2 3 4

y

=

X

3 _{– 5}

_X

2 _{+ 7}

_X

_{– 3}

2. y = X3 _{– 6}_X2 _{+ 11}_X_{– 6. Utiliza la siguiente tabla de valores:}

X

–0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y

=

X

3 _{– 6}

_X

2 _{+ 11}

_X

– 6

2.2 Función raíz cuadrada

.

La función raíz cuadrada ya se estudió en Funciones reales y de variable real, en la página 76. Allí se estudió Dos clases de funciones con dominio restringido.

2.3 Función de proporcionalidad inversa

.

La función de proporcionalidad inversa también se estudió en Funciones reales y de

variable real. Esta es una función con dominio restringido. Es cuando la variable

independiente aparece en el denominador. Como el denominador no puede tomar el valor de cero, aparecen las asíntotas.

Las funciones de proporcionalidad inversa tienen la forma

y

= k/

X

. Siendo k una constante. Son funciones de proporcionalidad inversa:

y

= 5/

X

y

= 4/(

X

– 2)

y

= k/

(

X

+ 3)

y

= k/(2 –

X

)

(9)

Soluciones

.

Actividad 1

.

1. D =

[

0,

+

∞

[

R =

[

3,

+

∞

[

2. D =

[

0,

+

∞

[

R =

[

5,

+

∞

[

3. D =

[

0,

+

∞

[

R =

[

-2,

+

∞

[

4 D =

[

0,

+

∞

[

R =

[

-4,

+

∞

[

5. D =

[

0,

+

∞

[

R =

[

-5,

+

∞

[

6. D =

]-

∞

, 0

]

R =

[

3,

+

∞

[

7. D =

[

3,

+

∞

[

R =

[

0,

+

∞

[

8.

[

2,

+

∞

[

R =

[

0,

+

∞

[

9. D =

]

-

∞

, 4

]

R =

[

0,

+

∞

[

10 .

D =

]

-

∞

,

-

4

]

R =

[

0,

+

∞

[

11

.

D =

[

0,

+

∞

[

R =

]

-

∞

, 2

]

12. D =

[

0,

+

∞

[

R =

]

-

∞

,

-

2

]

13. D =

]

-

∞

,

-

3

]

+

[

2,

+

∞

[

R =

[

0,

+

∞

[

14

.

D =

]

-

∞

,

-

4

]

+

[

2,

+

∞

[

R =

[

0,

+

∞

[

15. D =

ℜ

excepto 3 y –3 R =

ℜ

excepto

]

-1, 0

]

(ver gráfico)

16 .

D =

ℜ

excepto 3 y –3 R =

ℜ

excepto

[

0, 1

[

La gráfica es la anterior invertida 17. D =

ℜ

excepto -3 y 2 R =

ℜ

excepto

[

0, 0.96

[

Las raíces de la cuadrática son –3 y 2. Entre ellos el punto medio es –0.5: aquí tiene su vértice la parábola; es decir que aquí arranca. Para este valor,

y

vale 0.96. La parábola corta al eje

y

en 1. (ver gráfico) 18. D =

ℜ

excepto -3 y 2 R =

ℜ

excepto

]

-0.96, 0

]

Las raíces de la cuadrática son –3 y 2. Entre ellos el punto medio es –0.5: aquí tiene su vértice la parábola; es decir que aquí arranca. Para este valor,

y

vale -0.96. La parábola corta al eje

y

en -1. El gráfico es el anterior invertido. 19. D =

ℜ

excepto -5 y 3 R =

ℜ

excepto

]

-0.9375, 0

]

Las raíces de la cuadrática son –5 y 3. Entre ellos el punto medio es – 1: aquí tiene su vértice la parábola y se abre hacia abajo. Para este valor,

y

vale -0.9375. La parábola corta al eje

y

en -1. 20. D =

ℜ

excepto -5 y 3 R =

ℜ

excepto

]

0 , 0.9375

]

La parábola y se abre hacia arriba. Para este valor,

X

= -1,

y

vale 0.9375. La parábola corta al eje

y

en 1. El gráfico es el anterior invertido.

Gráfico

15

El eje y es cortado en -1

discusión

1

. Dominio =

ℜ

excepto –2, 0, 2 y 3

discusión

2

.

1. Chocan en el punto (2, 5)

2. Nunca se cortan porque tienen igual pendiente (2). Es decir que son paralelas.

Actividad 3

.

X

= -3

X

= 3

Gráfico

17

(10)

1. Rango =

[

-1, +

∞

[

Decreciente hasta 0, luego es creciente. La parábola tiene el vértice en

y

= -1. Corta al eje

X

en –1 y 1. 2. R =

]

-

∞

, 1

]

Creciente hasta 0, luego es decreciente. La parábola tiene el vértice en

y

= 1. Corta al eje

X

en –1 y 1. 3. R =

[

-9, +

∞

[

y

= -9. Corta al eje

X

en –3 y 3. 4. R =

]

-

∞

, 9

]

y

= 9. Corta al eje

X

en –3 y 3. 5. R =

[

3, +

∞

[

y

= 3. No corta al eje

X

6. R =

]

-

∞

, -3

]

y

= -3. No corta al eje

X

. 7. R =

[

-9, +

∞

[

Decreciente hasta

X

= 1, luego es creciente. La parábola tiene el vértice en el punto (1, -9) Corta al eje

X

en –2 y 4. Al eje

y

lo corta en -8

8. R =

]

-

∞

, 9

]

Creciente hasta

X

= 1, luego es decreciente. La parábola tiene el vértice en el punto (1, 9) Corta al eje

X

en –2 y 4. Al eje

y

lo corta en 8. 9. R =

[

-9, +

∞

[

Decreciente hasta

X

en –1 y 5. Al eje

y

lo corta en –5. 10. R =

]

-

∞

, 9

]

Creciente hasta

X

= 2, luego es decreciente. La parábola tiene el vértice en el punto (2, 9) Corta al eje

X

en –1 y 5. Al eje

y

lo corta en 5.

discusión

3

.

R =

[

-3, +

∞

[

Decreciente hasta

X

en –

√

3 y

√

3.

discusión

4

.

1. Resulta una gráfica que corta a

y

en –3 y al eje

X

en 1 y 3.

2. Resulta una gráfica que corta a

y

en –6 y al eje

X

en 1, 2 y 3.

discusión

5

.

1 2 3

-3

1

(11)