Olimpiada Mexicana de Matem´
aticas.
Guanajuato.
Combinatoria
Combinaciones y repeticiones.
1. Encuentra la cantidad de formas de elegir un par {a, b} de enteros del conjunto{1, ...,50} de tal forma que:
• |a−b|= 5
• |a−b| ≤5
2. Hay 12 estudiantes en una fiesta. Cinco de ellos son mujeres. Determina de cu´antas formas se pueden acomodar estos 12 alumnos en fila si
• No hay restricciones.
• Las cinco mujeres est´an juntas.
• No hay 2 mujeres juntas.
• Entre el hombreA y el hombre B no hay ning´un otro hombre pero hay exactamente 3 mujeres.
3. M hombres yN mujeres deben ser acomododados en una fila, d´ondeM
yN son enteros positivos. Encuentra la forma de hacer esto si
• No hay restricciones.
• No hay dos hombres adyacentes yM ≤N+ 1.
• LasN mujeres forman un s´olo bloque.
• El hombreAy la mujerB deber estar juntos.
4. Determina cuantas palabras de cinco letras se pueden formar usando las letrasA, B, C, D, E, F, G, H, I si
• las letras en cada palabra deben ser distintas.
• Las letras en cada palabra deben ser distinas y adem´asA, B, C, E, F
5. Encuentra la cantidad de formas de acomodar las 26 letras del alfabeto en una fila de tal manera que entre la letraxy la letray haya exactamente 5 letras. (No consideres las letras ˜n, ch y ll.).
6. Encuentra la cantidad de enteros nones entre 3000 y 8000 que no tengan cifras repetidas.
7. Encuentra cu´anto vale en t´erminos denla expresi´on 1•1! +...+n•n!. 8. Encuentra la cantidad de divisores positivos que tienen en com´un 1040 y
2030.
9. Para cada uno de los siguientes n´umerosnencuentra la cantidad de divi-sores positivos denque son m´ultiplos de 3:
• 210
• 630
• 151200
10. Encuentra cu´antos divisores tiene el n´umero 1002010
11. Demuestra que para todo entero positivonla cantidad de divisores den2
es impar.
12. En un grupo de 15 estudiantes, 5 de ellos son mujeres.
• Se quiere formar un grupo de 9 de esos estudiantes con la condici´on de que contenga 3 mujeres. Determina cu´antas formas hay de lograr esto.
• Se quiere formar un comite de 9 posiciones distinas con la condici´on de que contenga 3 mujeres. Determina cu´antas formas hay de lograr esto.
13. Diez sillas se han puesto en fila. 7 estudiantes deben sentarse en siete de esas sillas de tal forma que no haya dos estudiantes que compartan una silla. Determina de cu´antas formas pueden hacer esto si no hay dos sillas vac´ıas juntas.
14. 8 cajas est´an puestas en fila. Determina de cuantas formas pueden aco-modarse 5 pelotas distintas en las cajas de tal manera que una caja pueda contener a lo m´as una pelota y no hay dos cajas vac´ıas juntas.
15. Un grupo de 20 estudiantes tiene 3 muchachas A, B y C y 4 muchachos
16. Determina de cuantas formas pueden acomodarse en fila 7 hombres y 2 mujeres si las dos mujeres deben separarse por exactamente dos hombres. 17. Encuentra la cantidad de n´umeros den+mcifras conncifras 1 ymcifras
0 tales que no haya dos cifras 1 adyacentes y tal quen≤m+ 1.
18. Un conjunto de p lineas verticales intersecta a un conjunto de q l´ıneas horizontales. Determina cu´antos rect´angulos se forman por las lineas de los conjuntos y que tengan sus v´ertices en los puntos de intersecci´on. 19. Una caja contiene 7 pelotas blancas id´enticas y 5 pelotas negras id´enticas.
Se sacan una por una al azar y sin reemplazo hasta que la caja se encuentre vac´ıa. Encuentra la cantidad de formas de extraer las bolas de tal forma que la sexta bola sacada sea blanca y que antes de eso se hayan sacado exactamente 3 pelotas negras.
20. En la siguiente figura comienzas en el puntoO y debes llegar al puntoP, pero s´olo es v´alido moverse hacia la derecha o hacia arriba. Determina cuantas formas hay de hacer lo que se pide en cada uno de los casos siguientes:
O
A B
C
P
• Las rutas deben pasar por el puntoA.
• Las rutas deben pasar por el segmentoAB.
• Las rutas deben pasar por el puntoAy el punto C.
• Las rutas no pueden pasar por el segmentoAB.
21. En el plano cartesiano considera el siguiente conjunto de puntos:
A={(a, b)|0≤a≤9,0≤b≤5, a, b∈Z}
• La cantidad de rect´angulos con v´ertices enAy lados paralelos a los ejes.
• La cantidad de cuadrados con v´ertices enA(los lados no necesaria-mente son paralelos a los ejes).
22. 15 puntosP1, ..., P15 se dibujan en el plano de tal forma queP1, ..., P5 son
colineales y no hay otros conjunto de tres puntos fuera de esos 5 puntos que sean colineales.
• Encuentra la cantidad de rectas que pasan por al menos 2 de los puntos.
• La cantidad de tri´angulos cuyos v´ertices son 3 de esos 15 puntos.
23. Encuentra la cantidad de n´umeros de 6 cifras tales que cada cifra utilizada se use al menos 2 veces. (La primera cifra puede ser 0).
24. Considera el siguiente conjunto:
A={(a, b)|a, b∈Z,|a|+|b| ≤2}
• Encuentra|A|(La cantidad de elementos deA).
• El n´umero de l´ıneas rectas que pasan por al menos dos de los puntos enA.
• El n´umero de tri´angulos cuyos v´ertices est´an enA.
25. Considera un n-´agono P regular de n lados. Encuentra la cantidad de tri´angulos cuyos 3 v´ertices sean v´ertices deP tales que no haya entre sus v´ertices dos que sean adyacentes enP.
26. Utilizando los n´umeros 1, ...,5 se pueden formar 120 n´umeros de 5 cifras en las que las cifras sean todas distintas. Estos n´umeros de 5 cifras se acomodan de menor a mayor. Determina:
• El n´umero que ocupa la posici´on 100.
• La posici´on del n´umero 35421.
27. Sean n, r1, ..., rn enteros positivos. Se tienen n s´ımbolos a1, ..., an. Sea
M el conjunto cuyos elementos son ri s´ımbolos del tipo ai. Determina cuantos subconjuntos distintos tieneM.
28. Se tienen n letras a1, ..., an distintas. Determina cu´antas palabras de r letras hay tales que utilicen el s´ımbolo a1 s´olo una vez y el resto tantas
veces como se quiera.
• Encuentra la m´axima cantidad de n´umeros de 5 cifras que se pueden escribir tales que no haya dos equivalentes.
• Encuentra la cantidad de n´umeros de 5 cifras que no son equivalentes entre si s´ı las cifras 5,7,9 pueden aparecer a lo m´as una vez. 30. Encuentra la cantidad de soluciones en enteros de la siguiente ecuacion:
x1+x2+x3+x4+x5+x6= 60 en los siguientes casos:
• xi ≥i−1, i= 1, ...,6.
• x1≥2, x2≥5,7≥x3≥2, x4≥4, x5≥3, x6≥2.
31. Encuentra la cantidad de cuartetos (a, b, c, d) de enteros no negativos tales quea+b+c+d <2010.
32. Encuentra la cantidad de soluciones en enteros no negativos de la ecuaci´on 5a+b+c+d= 14.
33. Encuentra la cantidad de soluciones en enteros no negativos a la ecuacio´on 3x+ 5y+z+w.
34. Si pes un n´umero primo yn∈Ndetermina la cantidad de soluciones en
enteros no negativos a la ecuaci´on
(x1+...+xn)(y1+...+yn) =p
35. SeaA={1, ..., n} dondenes un entero positivo.
• Dado un enterokenAdetermina cual es la cantidad de subconjuntos enAtales quekes el elemento m´as grande.
• Utiliza el inciso anterior para demostrar que 1 + 2 +...+ 2n−1= 2n 36. Seanp, renteros positivos. Encuentra la cantidad de soluciones en enteros
de la ecuacion xy
x+y =p
r.
37. Sea S ={1, ...,1992}. Determina cuantos subconjuntos hay de S de tres elementos cuya suma sea m´ultiplo de 3.
