TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO

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TEMA 5:

VECTORES EN EL ESPACIO

1º VECTORES FIJOS Y LIBRES EN EL ESPACIO. 1º-1 Vectores fijos en el espacio.

- Definición. Vector fijo.

Un vector fijo AB es un segmento orientado con origen en el punto A y extremo en el punto B. Dicho vector queda determinado por:

a) Módulo: Es la longitud del segmento AB y se designa AB . b) Dirección: Coincide con la de la recta que pasa por A y B. c) Sentido: Es el dado por el recorrido de A hacia B.

- Definición. Vector nulo.

Es aquel en el que coincide su origen y su extremo. Por tanto, todos los vectores nulos tienen por módulo 0.

1º-2 Equipolencia de vectores.

- Dos vectores fijos no nulos AB y CD son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Se dice entonces que AB y CD son equipolentes entre sí.

- La relación de equipolencia divide el conjunto de vectores fijos del espacio en subconjuntos de vectores equipolentes (igual módulo, dirección y sentido).

1º-3 Vectores libres. El espacio vectorial V3. - Definición. Vector libre.

Cada uno de los subconjuntos en los que queda dividido el conjunto de los vectores fijos del espacio mediante la relación de equipolencia, da lugar a un vector libre. Los vectores libres se designan mediante letras minúsculas.

- Se define el módulo, dirección y sentido de un vector libre no nulo al módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de sus representantes.

- El conjunto de los vectores libres del espacio se designa mediante V3. - Suma de vectores libres.

Los vectores libres se pueden sumar de dos maneras, una de ellas es la regla del paralelogramo.

- La suma de vectores libres verifica las siguientes propiedades: P1 Asociativa: (u+v)+w=u+(v+w)

P2 Conmutativa: u+v=v+u

P3 Existencia de un vector nulo: u+0=u P4 Existencia de un vector opuesto: u+(-u)=0 - Producto de un número real por un vector libre.

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ii) Dirección: La del vector a.

iii) Sentido: El mismo que a, si k es positivo, y el opuesto que a, si k es negativo. - El conjunto de los vectores libres del espacio V3 con las operaciones de suma de

vectores y producto de un número real por un vector, junto con sus propiedades, tiene estructura de espacio vectorial.

2º DEPENDENCIA LINEAL. BASES DE V3 Y COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE

UNA BASE.

2º-1 Combinación lineal de vectores.

Un vector v de V3 es combinación lineal de los vectores u1, u2, u3 de V3 si existen números reales a1, a2, a3 tales que: v=a1.u1+a2.u2+a3.u3.

Un vector v de V3 es combinación lineal de los vectores u1, u2 si________________ ____________________________________________________________________ Un vector v de V3 es combinación lineal del vector u si________________________ ____________________________________________________________________ 2º-2 Dependencia e independencia lineal de vectores.

Un conjunto de vectores de V3, u1, u2, u3 es linealmente dependiente si al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los restantes.

- Resultado 1: Tres vectores no nulos son linealmente independientes si no se encuentran en el mismo plano, esto es, si no son coplanarios.

2º-3 Bases de V3. Coordenadas.

- Para tener una base B en V3, sólo necesitamos 3 vectores



u₁,u₂,u₃



linealmente independientes. Además, se verifica que dado v de V3 se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base, es decir: v=a1.u1+a2.u2+a3.u3. Las coordenadas del vector v respecto de la base B son (a1, a2, a3) y son únicas.

- Resultado 2: Un conjunto de más de tres vectores en V3 son siempre linealmente dependientes.

- Resultado 3: Una forma práctica de determinar la dependencia lineal de un grupo de vectores a partir de sus coordenadas respecto de una base de V3, es formar con ellos una matriz. El rango de esta matriz da el número de vectores linealmente independientes.

En caso de tres vectores, estos serán independientes si el determinante formado por sus coordenadas es distinto de cero.

- Ejercicio 1. Dados los vectores v=(-12, -1, -5), u1=(1,-1,0), u2=(5,0,1) y u3=(1,1,-2). Responde:

a) ¿Forman u1, u2 y u3 una base en V3?

b) Expresa el vector v como combinación lineal de la base anterior.

c) ¿Qué solución tiene la ecuación u₁u₂u₃0? Justifica la respuesta.

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- Ejercicio 2. Determina si los vectores u1=(3,3,2), u2=(1,1,-1) y u3=(2,2,3), dados por sus coordenadas en una base de V3 son linealmente independientes.

- Ejercicio 3. Dados los vectores u1=(2,1,0); u2=(3,-1,0); u3=(1,1,1), dados por sus coordenadas en una base de V3. Responde:

a) Comprueba que a su vez constituyen otra base de V3, que llamaremos B. b) Expresa respecto de B al vector v=(3,1,7).

3º PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.

3º-1 Definición

- Definición. Producto escalar.

El producto escalar de dos vectores u y v se designa por u.v y es igual a

 

u v v

u v

u.  . .cos , , siendo (u,v) el ángulo que forman u y v

- Como consecuencia de la definición se tiene que el producto escalar de dos vectores es un número.

- V3 con el producto escalar es un espacio vectorial Euclídeo. - Definición. Vectores ortogonales.

Diremos que los vectores u y v son ortogonales si son perpendiculares, es decir, si u.v=___

3º-2 Propiedades del producto escalar.

P1 u.u u20 P3 k.(u.v)=(ku).v=u.(kv)

P2 u.v=v.u (conmutativa) P4 u(v+w)=uv+uw (distributiva) - Definición. Base ortogonal.

Diremos que la base



u1,u2,u3



de V3 es ortogonal si u1.u2=u1.u3=u2.u3=0.

- Definición. Base ortonormal.

Diremos que la base



u1,u2,u3



de V3 es ortonormal si es ortogonal y los vectores

que la forman son unitarios. 4º EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO

4º-1 Conocimientos previos: El Plano Afín Euclídeo.

Los vectores libres del plano, V2, junto con el producto escolar, dan lugar al plano vectorial euclídeo. Si además, consideramos los puntos del plano, P2, podemos establecer una relación entre puntos y vectores libres, dando lugar al Plano Afín Euclídeo, en el que podemos considerar sistemas de referencia.

- Ejercicio 4. Responde:

a) Respecto de la base

 

i, j , halla las coordenadas del vector w.

b) Respecto del sistema de referencia



O,i, j



, halla las coordenadas del punto C y las del punto medio del segmento AB.

c) Expresa los vectores de la base canónica respecto de la base

 

u,v y a la inversa.

d) Respecto de la base

 

u,v halla las coordenadas del vector w

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4º-2 Expresión analítica del producto escalar - Resultado 5 Dado el vector u, se tiene que:

a)

u u

v tiene módulo 1. b)

u u k

w . tiene módulo k

c) v y w tienen la misma dirección que u

- Resultado 6 Dada la base B



u₁,u₂,u₃



ortonormal del espacio y v y w dos vectores tales que

v=xu1+yu2+zu3 y w=x’u1+y’u2+z’u3 , se tiene que: i) v.w=x.x’+y.y’+z.z’

ii) u  x2y2z2 y v x'2y'2z'2 iii)

2 2 2 2 2 2

' ' ' .

' . ' . ' . )

, cos(

z y x z y x

z z y y x x v

u

  



  

NOTA1: Para aquel alumno interesado, la demostración del resultado anterior y de otros resultados y teoremas, así como la interpretación geométrica del producto escalar, se encuentran en las páginas 128 y 129 del libro.

NOTA2: El resultado 6 nos facilita los cálculos si trabajamos con una base ortonormal, por ello, en adelante, daremos por supuesto que la base de partida, respecto de la cual se dan las coordenadas de los vectores, es ortonormal.

- Ejercicio 5. Dados los vectores u1=(0,0,1), u2=(-1,1,0) y u3=(1/2,1/2,0). Responde: a) Comprueba que forman una base ortogonal.

b) Da una base ortonormal a partir de la base ortogonal anterior. c) Da un vector con la misma dirección que u2 de módulo 5.

- Ejercicio 6. Halla b para que los vectores u y v sean perpendiculares entre sí: u=(6,0,-7) v=(b,1+b,3)

- Ejercicio 7. Dados los vectores a=(2,-3,0), b=(1,2,4) y c=(0,-5,-2). Calcula: a) (2a+4c).(c-b) b) (c-a)2+(b-a)2 c) (a,b) d) (b,c) 4º-3 El Espacio Afín Euclídeo.

Los vectores libres del espacio, V3, junto con el producto escolar, dan lugar al espacio vectorial euclídeo. Si además, consideramos los puntos del espacio, P3, podemos establecer una relación entre puntos y vectores libres, dando lugar al Espacio Afín Euclídeo, en el que podemos considerar sistemas de referencia.

En adelante, por comodidad, consideraremos el sistema de referencia canónico



O,i,j,k



. Así, las coordenadas de un punto P del espacio vienen dadas por las coordenadas del vector posición OP, es decir, si OP=xi+yj+zk, sus coordenadas serán (x,y,z).

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- Ejercicio 8. Dados los puntos: A(2,3,5), B(-2,3,-4), C(2,-5,7), D(-3,-4,-6). Reponde:

a) Represéntalos en el espacio.

b) Halla las coordenadas del punto medio del segmento AB.

- Ejercicio 9. Además de coordenadas de puntos en el espacio ¿qué más pueden representar las coordenadas anteriores?

- Definición. Se llaman cosenos directores de un vector u a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base.

- Ejercicio 10.

a) Halla el ángulo que forman las fuerzas f1=(2,3,4) N y f2=(1,5,2) N

b) Calcula el trabajo que realiza la fuerza f1+f2 al desplazar un objeto entre dos puntos unidos por el vector d=(2,3,6)

- Ejercicio 11. Sean los vectores u=(2,0,4) y v=(m,0,3) . Responde:

a) Calcula m para que el ángulo que formen los vectores u y v sea 60º.

b) Para este valor de m, halla u.v, u, v y los ángulos que forman u y v con los vectores de la base.

- Ejercicio 12. Dados los vectores u=(2,-3,0) y v=(-1,0,0). Calcula el ángulo que forman los vectores u y v.

5º PRODUCTO VECTORIAL.

5º-1 Definición de producto vectorial. Definición. Producto vectorial.

Dados los vectores u y v de V3, el producto vectorial de u por v (uxv o uv) es otro vector que se obtiene del siguiente modo:

i) Módulo: u.vsen

 

u,v

ii) Dirección: Perpendicular a la de los vectores u y v.

iii) Sentido: El que resulta de aplicar la regla del sacacorchos o de la mano derecha. - Ejercicio 13. Calcula los siguientes productos vectoriales: ixj, jxk, kxi, jxi, kxj, ixk. 5º-2 Propiedades del producto vectorial.

P1 uvvu

P2

 

k.u vk.



uv



u

 

k.v

P3 Distributiva: u(vw)uvuw

P4 xy0 con x,y distinto de 0 entonces x e y son linealmente dependientes. 5º-3 Expresión analítica del producto vectorial.

Dados los vectores u=(x,y,z) y v=(x’,y’,z’), se tiene que la expresión analítica del

producto vectorial de dichos vectores viene dada por k

y x

y x j x z

x z i z y

z y v u

' ' ' ' '

'  



 .

Aunque matemáticamente no es muy riguroso, pues no tiene sentido mezclar en un determinante escalares con vectores, como regla nemotécnica, también se tiene que:

z y x

k j i

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- Ejercicio 14. Calcula el producto vectorial de los vectores u=(3,-1,2) y v=(4,2,5) y comprueba que es perpendicular a u y a v.

5º-4 Interpretación geométrica del producto vectorial

- Resultado 7: El área del paralelogramo definido por dos vectores es el módulo del producto vectorial de los mismos.

- Resultado 8: El área del triángulo definido por dos vectores es:

- Ejercicio 15. Dados los vectores u=(2,-3,5) y v=(3,1,0). a) Represéntalos.

b) Trata de imaginarte el paralelogramo al que dan lugar. c) Halla el área del paralelogramo anterior.

- Ejercicio 16. Dados los puntos A(1,0,-1), C(-7,1,5) y D(3,2,1) son vértices de un paralelogramo ABCD. Responde:

a) Calcula las coordenadas de B.

b) Halla el área de dicho paralelogramo. Ejercicios pag 115 (Todos)

- Ejercicio 17. Halla un vector z de módulo 1 y que sea ortogonal a los vectores x=(1,2,1) e y=(0,1,1).

- Ejercicio 18. Justifica si es verdadera o falsa la afirmación siguiente. Si la consideras falsa, pon un ejemplo ilustrativo.

“Si a, b, c son tres vectores no nulos que cumplen axb=axc, entonces b=c”.

- Ejercicio 19. ¿Forman los vectores (1,1,1); (2,1,-1) y (1,0,5) una base de V3?

- Ejercicio 20. Si u, v, w son linealmente independientes, ¿forman los vectores u+v, u+w y v+w una base de V3_?

Ayuda: Si u, v y w son linealmente independiente entonces x.u+y.v+zw=0 sólo para x=y=z=0.

- Ejercicio 21. Sean los vectores u=(-1,2,3), v=(2,5,-2), x=(4,1,3) y z=(4,1,-8). ¿Se puede expresar x como combinación lineal de u y v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; ni no es así, explica por qué.

- Ejercicio 22. ¿Qué vectores de R3 son perpendiculares a v=(0,1,-1) tienen longitud 2 y forman con w( 2,1,1)un ángulo de

3 

radianes?

- Ejercicio 23. Encuentra los vectores unitarios de V3 que son perpendiculares a v=(1,0,1) y forman un ángulo de 60º con _

  

   

2 1 , 2

2 , 2 1

w

- Ejercicio 24. Dados los vectores v1=(2,1,-1) y v2=(1,-1,1). Responde: a) ¿Son linealmente independientes?

b) Escribe la relación que deben verficar las coordenadas de un vector v=(a,b,c) para que sea combinación lineal de v1 y v2.

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- Ejercicio 26. Demuestra que si u y v son vectores del mismo módulo, los vectores u+v y v-u son ortogonales.

- Ejercicio 27. Responde:

a) ¿Puede haber dos vectores u y v tales que u.v= -3, u 1,v2?

b) ¿Qué se puede decir del ángulo de dos vectores que verfican

y x y

x.  . ?Justifica la respuesta.

c) Dados los vectores a, b y c tales que a 3, b 1, c 4 y a+b+c=0, calcula la siguiente suma de productos escalares: a.b+b.c+a.c

6º PRODUCTO MIXTO.

6º-1 Definición de producto mixto

El producto mixto de tres vectores libres del espacio V3, u, v y w es un número real que se designa por



u,v,w



y que se obtiene del siguiente modo:



u,v,w



u.



vw



.

6º-2 Expresión analítica del producto mixto

Dados los vectores libres a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) y c=(c1,c2,c3), se verifica que





3 2 1

, ,

c c c

b b b

a a a

c b

a 

- Ejercicio 28. Dados los vectores u=(2,3,4), v=(0,2,1) y w=(3,2,1), halla



u,v,w



6º-4 Interpretación geométrica del producto mixto.

El valor absoluto del producto mixto de tres vectores u, v y w es igual al volumen del paralelepípedo cuyas aristas quedan determinadas por los vectores u, v y w.

Además, se tiene, que un sexto del volumen del paralelepípedo es el del tetraedro definido por dichos vectores. Observa esa relación en la página 117 del libro.

- Ejercicio 29. Dado el paralelepípedo determinado por los vectores: u=(3,0,-2), v=(1,1,3) y w=(-1,3,2). Responde:

a) Representa los 3 vectores y dibuja el paralelepípedo. b) Halla el volumen del paralelepípedo.

- Ejercicio 30. Dado el paralelepípedo cuyas aristas quedan definidas por los vectores u=(2,-3,1), v=(1,4,0) y w=(-3,1,4).