Actividades de refuezo

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(1)

1

1.- Efectúa y simplifica :

3 2 5 2 3 5 2 125 5 5 25 3 3 3 4 3 3 − − + ⋅ ⋅

2.- Realiza la operación siguiente y expresa el resultado de la forma más sencilla posible: 12 3 12 243 7 2 1 3 2 32 2 7 3 1 − + − ⋅ + + + +

3.- Calcula el valor de c, para el cual se verifica:

cn n n n n       + + ∞ → 1 lim 2 2 = 3 1 e

4.- Halla el límite de la sucesión 1 2 3 2...

n n an + + + + =

5.- Efectúa la operación siguiente:

1 2 2 2 2 −       + − − + − + − b x b x b x b x b x b x

6.- Halla el valor de a, para que el resto de la división de x5 +2x3 +ax entre x+ 2 sea3 3 7.- Calcula el resto de la división del polinomio

(

3

)

4 4

1 )

(x x x

p = − − entre el polinomio x− 5 8.- Resuelve, utilizando el método de Gauss, en caso de ser posible, el siguiente sistema:

     = + + − = − + = + + 2 3 2 11 5 3 2 z y x z y x z y x

9.- Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:      = + + − = − + = + + 1 3 5 5 3 3 z y x z y x z y x

Resuélvelo, en caso de ser posible, aplicando el método de Gauss. (Indica las operaciones que realices en las filas de la matriz)

10.-La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma de la de las decenas más el doble de la de las unidades. Si se permutan entre sí la cifra de las centenas y la de las unidades el número disminuye en 297 unidades .Calcula dicho número. (Resuelve el sistema utilizando el método de Gauss)

11.-Resuelve: a)

(

)

(

)

    = + = − 2 1 3 log 2 18 log x y y x

b) 9x −2⋅3x+2 +81=0 c)

x x x x x 4 2

4 + +

(2)

2 12.-Sabemos que

3 4 = α

tg , donde π < 2 3π

α < .Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α .

13.-Resuelve las siguientes ecuaciones y sistemas:

a)

(

)

2 3 2

1

cos =

  

+π

x

b) sen2x⋅cosx=6sen3x

c)    

= −

=       −

1 cos cos

1 2

y x

y x sen

d)

2 1 4 3

cos =−

  

  π

x

e) 6cos2x+6sen2x=5+senx

14.-Consideramos un triángulo ABC tal que a = 6 metros, y b = 3 metros, donde los lados a, b, se oponen a los ángulos A y B, respectivamente. El ángulo A mide el doble que el ángulo B. Resuelve el triángulo, en caso de ser posible.

15.-Expresa tg3α, en función de tgα.

16.-En el triángulo ABC los lados miden 24m, 28 m y 36 m. Calcula la tangente del mayor de los ángulos.

17.-Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada de una calle. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º.Si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Halla la anchura de la calle. ¿A qué altura se alcanza con esa escalera sobre cada una de las fachadas?

18.-Demuestra que

(

)

(

)

(

x y

)

sen

(

x y

)

tgy sen

y x y

x =

− +

+

+ −

− cos

cos

19.-Demuestra que cos

(

x+ y

)

⋅cos

(

xy

)

=cos2 xsen2y.

20.-Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) z4 −81=0

b) z2 −z+1+i=0 c) z5 −32=0 d) z2 −z+1+i=0

21.-Demuestra que para dos números complejos cualesquiera z ,z ´ , se verifica: a) z=z

(3)

3

22.-Si sabemos que u = 2 + 3i , v = 4i , w = -1 – i , calcula: a) u · (v · w)

b) (u + v) · w c) u3

d) u : v e) (u + v)2

Expresa el resultado en forma binómica y en forma polar

23.-Sabemos que el número complejo 315º es raíz sexta de cierto número complejo z. Halla z y

sus raíces sextas .Calcula el área del polígono que forman los afijos de las raíces sextas de z 24.-Sabemos que el número complejo 530º es raíz quinta de cierto número complejo z. Halla z y

sus raíces quintas .Calcula el área del polígono que forman los afijos de las raíces cúbicas de z 25.-Calcula :

a) i39 ⋅

(

−4−4 3i

)

4

b) i41

(

44 3i

)

3 c) 3

1 1

i i

+ −

d)

(

i8 +i5

)

:i 2

e) 3

(

8 5

)

(

)

2 2 :

3i i

i + +

26.-Dado un número complejo z cualquiera, determina el módulo y el argumento de

z

1

27.-Si sabemos que u = 3 +3i , v = 2i , w = 1 – i , calcula: a) u · (v · w)

b) (u + v) · w c) u3

d) u : v e) (u + v)2

Expresa el resultado en forma binómica y en forma polar

28.-Sean ur,vr, vectores unitarios. Demuestra que ur+vr y ur−vr son vectores ortogonales.

29.-Halla y nombra todas las expresiones de la ecuación de la recta que determinan en el plano el punto P = (2,3) y el vector vr= (1,2).

30.-Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r : x -2y + 1 = 0, s: 2x + y – 3 =0 y es paralela a la recta 2x + 5y = 0

31.-Dados los puntos A = (1,1) , B =(3,2) halla el punto simétrico de B con respecto a la recta x –y +5 = 0. Halla el simétrico de B con respecto a A.

(4)

4

33.-Sean las rectas r: x -3y +5 = 0 ; s: 2x -6y + 9 = 0 a) Calcula la distancia entre las rectas r y s

b) Halla la recta t, perpendicular a s por el punto P = (-2, -1)

c) Calcula una recta paralela a la recta t, que diste de ella 7 unidades de longitud

d) ¿Podemos conseguir, con las rectas r, s, t, y la recta del apartado c), un recinto cerrado del plano? ; ¿podemos no conseguirlo?; razona la respuesta y halla, en caso de ser posible el área de dicho recinto.

34.-Sean a b

r r

, , vectores unitarios. Demuestra que a b 2 2 2 cos(a,b) r r r

r

⋅ + = +

35.-Halla la ecuación de la perpendicular a 4x + 3y -12 = 0 que diste 5 unidades de longitud del punto P = (1, 2)

36.-Sea la recta r : 3x +2y -1 = 0

a) Halla el punto simétrico de P =(-1, 1), con respecto a r

b) Halla una recta s paralela a r que pase por el punto (6,0).¿Hay más de una? c) Calcula la distancia de la recta s a la recta r

d) Halla la ecuación de una recta que equidiste de s y de r.

(5)

5 38.- Estudia la posición relativa de las rectas r:

  

+ − =

+ =

t y

t x

2 2 7

y s:

  

+ =

− =

t y

t x

1 2 2

.Halla la distancia del punto A( 8,0) a la recta r

39.- Determina el vértice C para que el triángulo de vértices A (2,0), B(2,-4) y C tenga una superficie de 8 u2 (u de unidades). ¿ Existe un único vértice C en estas condiciones?. Razona la respuesta.

40.- Un triángulo isósceles tiene por base el segmento que une los puntos A(-1,4) y B(3, 0). El otro vértice está situado sobre la recta r : x+y+1=0:

a) Halla las coordenadas de ese vértice y el área del triángulo.

b) Halla la recta s paralela a la recta que contiene al lado AC, y que pasa por el punto B.

Determina el punto de intersección de s con r, y halla el área del cuadrilátero formado

41.- Un trapecio isósceles tiene vértices A(3, 5) , B(7,1) y C( 2, 2).El cuarto vértice es la intersección de la paralela a la recta que une A con B y pasa por el punto C, con el eje OX. Halla el área del trapecio y halla el simétrico del vértice A con respecto a la recta que contiene al vértice C

42.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta x = y y del punto A = (2, -1). ¿Qué figura representan?

43.- Halla, en caso de existir, los puntos de intersección de la circunferencia x2 + y2 = 40 con la parábola que tiene foco F(0, 2 ) y directriz la recta y + 4 = 0

44.-Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos (12,0) y (-12, 0) es 26 u. ¿Qué cónica obtienes? Halla sus elementos

45.- Halla la ecuación reducida de la hipérbola de focos (10, 0 ) y ( -10, 0) y excentricidad 3 5

46.-Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de intersección con los ejes coordenados de la recta x -5y +3 = 0

(6)

6

Determina, a la vista de la gráfica, el dominio de definición, el recorrido, la existencia de asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Justifica, razonando la respuesta, si corresponde a alguna de las funciones siguientes: a) f(x)=x4 −3x3 +2x−5

b) 2 3 4 3 ) ( x x x x

f = + −

c) f(x)=Ln(x2 −4x+3) d) 1 4 ) ( 2 − − = x x x f 48.-Sea 9 4 ) ( 2 2 − + − = x x x x

f .Determina el dominio de definición de f, y halla, en caso de existir, las asíntotas de f.

49.-Calcula: a) 3 3 5 3 4 lim − +∞ →      − − x x x x b) 2 5 1 2 lim 2 3

3 + −

+ −

x x

x x

x

c)  − −  +∞

x x x

xlim 4 5 2

2 d) 1 2 2 3 4 3 1 2 2 lim + +∞ →      + − − + x

x x x

x x e) x x x x 2 3 5 lim 2 2 2 − − + →

(7)

7

51.-Calcula, aplicando la definición de derivada de una función en un punto, la derivada de f(x)= 3x2 +4 en el punto x = 2

52.-Consideramos la función

x Lnx x

f( )= . Halla, en caso de ser posible, la ecuación de la tangente a la curva en el punto de abscisa 1.

53.-La curva f(x)=ax2 +bx+c, que pasa por el punto (2,5), tiene en el punto (3, -1), una tangente paralela a la recta y = 2x -3 . Halla la ecuación de la curva.

54.-a) Estudia la continuidad de la función

8 2 16 ) (

2 + − =

x x x

f en el punto de abcisa x = - 4.

Calcula f

( )

x , y determina ,en caso de ser posible, f′(−4).

b) Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones (aplicando las reglas de derivación):

a)

( )

1 3

3 2

− − =

x x x x f

b) f(x)=Ln(x3 −4x2 −1)

c) f(x)=arctg(3x+2)

d)

(

)

x

e x x x

f( )= 3 +2 3

e)

x e x f

x 1 ) ( =

f) 

  

+

= 3 2

6 cos

)

(x x

f

g)

4 8 )

( 2

− =

x x f

h)

  

  

+ − =

2 5 )

( 3

2

x x x

f

i) 

  

+

= 1

)

(x sen4 x2 f

55.-Aplica las reglas de derivación y escribe la función derivada de las funciones:

1. f(x) =tg 6(2x2+x+1)

2. f(x) =

(

)

3

5 3 x

ex 2 − x+

3. f(x) =

Lnx ex 3+

4. f(x) =

Lnx ex 3+

5. f(x)=

(

)

5 3

5 4 2 3

x

x

6. f(x) = x

e x

·23x+4

7. f(x) = 32x+3·tg(2x –1)

8. f(x) = 4ln5

(

x4 −2x

)

(8)

8

10.f(x)= 6ln3(cos2 x)

11.f(x)= (2x4 –4x)·cos x

12.f(x)=

1 3

3

x x

13.f(x) = 3

1 2 1

   

 

+ −

x x

14.f(x) =

(

x3−2x

) (

2 4x2−1

)

15.f(x) = 3

x x

+ − 1 1

ln

56.-.- Realiza el estudio de las funciones siguientes y representa su gráfica

a)

x x x

f( ) 1

2

= b)

1 )

(

2 =

x x x

f c)

16 4 )

(

2 2

+ + =

x x x f

d) f(x)= x2 −4x+3 e)

1 2 )

( 2

− =

x x

f f)

2 3 )

(

− + =

x x x f

g)

3 5 6 )

(

2

− + − =

x x x x

f h) f(x)= x2 −7 i)

4 8 )

( 2

+ =

x x f

57.- .-Determina el valor de c para que el mínimo de la función f(x) = x2 +2x+csea 8 58.-.- Calcula los valores de a,b,c, sabiendo que la función f(x)=ax2 +bx+cpasa por los puntos (1 ,0) y (0, -2) y presenta un máximo en x = 3/2

59.-Con un alambre de 1 metro de longitud queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo?

60.- Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 metros cuadrados. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 2,5 €, mientras que el metro lineal de tramo vertical cuesta 5 €. Determinar las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo y el precio del marco.

61.- Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

(9)

9

“El producto del número de ordenadores de uno de los tipos por el cuadrado del número de ordenadores del otro tipo”

Determina el número de ordenadores de cada tipo que debemos comprar para que el beneficio sea máximo.

63.- Consideremos un segmento de longitud 8 metros, que se divide en dos partes, que van a servir de base a dos rectángulos. En uno de los rectángulos, la altura mide el doble de la base y en el otro, la altura mide el triple de la base. Determina el punto de división del segmento de modo que la suma de las áreas de los rectángulos sea la menor posible.

64.- Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 2 cm de radio

65.- Un número más el cuadrado de otro suman 48. ¿Cuáles deben ser esos números para que su producto sea máximo?

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