OPCIÓN A
1.
a) Explica cómo se pudo observar la interferencia de la luz y en qué consistió el experimento de Young. Elige tres tipos de ondas del espectro electromagnético, escríbelas en orden creciente de su longitud de onda e indica una aplicación de cada una de ellas. (CE 3.7 – 3.15 – 3.17 – 3.19)En 1801 el físico y médico británico Thomas Young demuestra y explica cómo la luz sufre interferencias.
Para ello necesitó que las fuentes o focos de luz cumpliesen la denominada condición de coherencia. Esto quiere decir que para que se produzca interferencia observable entre luces procedentes de dos focos distintos, estas deben ser coherentes, es decir, deben tener la misma longitud de onda y una diferencia de fase constante. Esta condición muestra la dificultad de observación de las interferencias luminosas.
El experimento de Young de la doble rendija consistió en la consecución de dos focos coherentes haciendo pasar la luz por dos rendijas estrechas (de pequeño grosor respecto a la longitud de onda , para dar lugar al fenómeno de la difracción)
separadas una distancia determinada. De este modo, observó un patrón de franjas luminosas y oscuras o patrón de interferencia. Las condiciones del experimento fueron las siguientes:
La distancia entre las pantallas era muy grande respecto a la distancia entre las rendijas.
Los ángulos de máximos, , son muy pequeños, de tal modo que el patrón se situaba próximo al centro de la pantalla.
El espectro electromagnético es una clasificación de las ondas electromagnéticas según su frecuencia o su longitud de onda (conjunto de todas las radiaciones de diferente frecuencia en que puede descomponerse la radiación electromagnética).
En orden creciente de longitud de onda tenemos:
Rayos gamma () (10-10 m > > 10-14 m) con aplicaciones en Astrofísica, medicina ....
Rayos X (10-9 m > > 6 · 10-12 m) con aplicaciones en medicina, investigación, cristalografía, Astrofísica ...
Ultravioleta (UV) (3,8 · 10-7 m > > 10-9 m) con aplicaciones en esterilización, bronceado, ...
Luz visible (7,8 · 10-7 m > > 3,8 · 10-7 m) con aplicaciones en todo lo referente a la visión.
Infrarrojos (IR) (10-3 m > > 7,8 · 10-7 m) con aplicaciones en Astronomía, estudios del suelo, medicina, industria, mandos a
distancia, visión nocturna,...
Microondas (0,3 m > > 10-3 m) con aplicaciones en detección, cocina, comunicación, radioastronomía,...
Espectro de radiofrecuencia u ondas de radio ( > 0,3 m) con aplicaciones en la transmisión de señales de radio y televisión. b) Un objeto de 20 mm de altura se sitúa a 25 cm a la izquierda de una lente de 20 cm de distancia focal. Dibuja un esquema con las posiciones del objeto, la lente y la imagen. Calcula la posición, aumento y características de la imagen. (CE 4.2)
Estrategia de resolución. Para determinar la posición, el aumento y las características de la imagen haremos uso de las ecuaciones de las lentes (teniendo en cuenta el criterio de signos que nos indica que so es positivo si el objeto está delante de la superficie, en el
lado incidencia, y negativo en caso contrario; si es positivo si la imagen es real, se forma detrás de la superficie, en el lado de
transmisión, y negativo en caso contrario; f es positiva si la focal imagen se encuentra en el lado de transmisión, detrás de la lente, y negativa en caso contrario):
1 so+
1 si=
1 f
m =h′
h = −
si so
Teniendo en cuenta que: so= 25 cm f = 20 cm h = 20 mm
1 25 cm+
1 si
= 1
+20 cm⇒ si= ( 1 +20 cm−
1 25 cm)
−1
= 100 cm
Además de obtener la posición de la imagen, 𝐬𝐢= 𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐦, el signo positivo indica que la imagen es real. Hallemos el aumento lateral de la imagen:
𝑚 =h′
h = −
si
so = − 100 cm
25 cm = −4
Además de determinar el aumento lateral de la imagen 𝐦 = −𝟒, observamos que es negativo, imagen invertida, y su valor absoluto es mayor que 1, aumentada.
Ahora construimos la imagen gráficamente (utilizamos una animación por ordenador):
Departamento de Física y Química
Ahora con un dibujo aproximado mediante el procesador de textos. Recordemos cómo se realiza la formación de imágenes en lentes delgadas con el diagrama de rayos:
Rayo 1: parte superior objeto y paralelo eje óptico se refracta y pasa por el foco imagen, Fi.
Rayo 2: parte superior objeto y pasa por centro óptico, O no sufre desviación.
Rayo 3: parte superior objeto y pasa por el foco objeto, Fo se refracta y sale paralelo al eje óptico.
2.
a) Explica en qué consiste un eclipse de Luna y por qué se produce. ¿En qué ley se basa este fenómeno? Enuncia la ley de la reciprocidad o de reversibilidad en la que se basa la Óptica Geométrica. (CE 4.1)Un eclipse de Luna consiste en la interposición de la Tierra entre el Sol y la Luna de tal modo que nuestro planeta impide la llegada de luz a nuestro satélite y, por tanto, impide que lo veamos. El eclipse
es fruto de la conjunción o alineamiento de los tres astros con la Tierra entre los otros dos, lo que provoca que la Luna entre en la zona de sombra que produce nuestro planeta en el espacio respecto de la luz que le llega del Sol.
Durante un eclipse lunar, la Tierra impide que la luz del Sol llegue hasta
la Luna. Eso quiere decir que la luna llena desaparece por completo, a medida que la sombra de la Tierra la cubre. La Luna también puede parecer de un color rojizo, debido a que la atmósfera terrestre absorbe
los demás colores mientras se dobla algo de luz solar hacia la luna.
Este fenómeno se basa en la ley de la propagación rectilínea de la luz (en medios homogéneos e isótropos), establecida en la Antigüedad y con base experimental en la formación de sombras. La formación de sombras depende del foco. Para un foco puntual la sombra se forma por la prolongación de rectas desde el foco pasando por los puntos de la silueta del objeto. Para un foco extenso (como es el Sol) se producen zonas de sombra y de penumbra (prolongaciones rectas desde cada extremo del foco al extremo opuesto del objeto).
La ley de reciprocidad o de reversibilidad nos indica que las trayectorias de la luz a través de
distintos medios son reversibles (trayectoria por reflexión o refracción en O de F a P será la misma que desde P a F a través del mismo O).
b) Una señora optometrista se encuentra en su laboratorio fabricando una lámina de caras planas y paralelas de 10 cm de espesor con el material del que está hecho un anillo (diamante, n = 2,4) que le dejó en herencia su abuela. Para comprobar ciertas leyes de la Física, ilumina la lámina con un rayo de luz monocromática amarilla del sodio, = 589
Rayo3
Imagen Objeto
Rayo1
Rayo2
Fi
Fo
nm, que incide en la cara superior con un ángulo de 35º. En esta experiencia calcula el desplazamiento lateral experimentado por el citado rayo y mide el número de longitudes de onda que quedan dentro del diamante. (CE 3.8 – 3.9)
Estrategia de resolución. El desplazamiento lateral del rayo emergente respecto al rayo incidente se averigua a partir de la ley de Snell y de consideraciones geométricas, teniendo en cuenta que:
î = 35o, n
1 = 1, n2 = 2,4, e = 10 cm:
naire· sen î = nvidrio· sen r̂ ⇒ r̂ = arcsen (
naire· sen î
nvidrio
) = 13,8o
cos r̂ = espesor distancia=
e l
sen (î − r̂) =despl. lateral distancia =
d l
𝐝 =𝐞 · 𝐬𝐞𝐧 (𝐢̂ − 𝐫̂)
𝐜𝐨𝐬 𝐫̂ =
𝟏𝟎 𝐜𝐦 · 𝐬𝐞𝐧(𝟑𝟓𝐨− 𝟏𝟑, 𝟖𝐨)
𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟑, 𝟖𝐨 = 𝟑, 𝟕 𝐜𝐦
El desplazamiento lateral del rayo es de 3,7 cm.
Para determinar el número de longitudes de onda que quedan dentro del diamante deberíamos hallar primero la longitud de onda dentro de la lámina para después compararla con la longitud que recorre el rayo en la misma. Recordaremos que la frecuencia no cambia al pasar del vacío o el aire al diamante, y que la frecuencia y la longitud de onda se relacionan a través de la velocidad de propagación de la onda, v = λ · f, y por tanto, a partir del índice de refracción del vidrio, n =c
v. Así que:
fdiamante = faire⇒vdiamante λvidrio =
c
λaire⇒ λdiamante= λaire
ndiamante =
589 nm
2,4 = 245 nm = 2,45 · 10
−7 m
La distancia o longitud, l, que recorre la luz en el interior de la lámina:
cos r̂ = espesor distancia=
e l → l =
e cos r̂=
10 cm
cos 13,8o= 10,3 cm = 0,103 m
Ahora ya podemos comparar ambas longitudes y hallar el número de longitudes de onda, N, que recorre la luz dentro del diamante:
N = l λ=
0,103 m
2,45 · 10−7 m= 4,2 · 105
O también:
N = l λ=
e cos r̂ λaire ndiamante
=e · ndiamante λaire· cos r̂
= 0,10 m · 2,4
5,89 · 10−7 m · cos 13,8o= 4,2 · 105
De este modo, dentro de la lámina la luz recorre una distancia igual a 4,2 · 105 veces la longitud de onda de la misma en su
interior.
naire = 1; 1nm = 10-9 m.
3.
a) Escribe una función de un movimiento ondulatorio armónico, extrayendo de ella las variables que determinan la doble periodicidad de este tipo de ondas. ¿Cómo se relacionan esas variables? (CE 3.4)La expresión de una función del movimiento ondulatorio armónico en función de la posición de los puntos por los que pasa la onda, x, y del tiempo que transcurre, t, podría ser
Ψ(x, t) = A sen (ω t ± k x + φ)
Donde Ψ es la magnitud que determina la perturbación, A es su valor máximo, ω es la frecuencia angular o pulsación que está relacionada con la periodicidad temporal (periodo, T =2π
ω), k es el número de onda que está relacionado con la periodicidad espacial
(longitud de onda, λ =2π
k), y φ es la fase inicial del movimiento.
e
r̂ î
Departamento de Física y Química
Además de la periodicidad temporal (repetición de los valores de la perturbación que pasa por un punto cada cierto tiempo), los movimientos ondulatorios armónicos presentan la denominada periodicidad espacial. Esto quiere decir que los valores de la perturbación o los estados de perturbación se repiten cada cierta distancia en cada instante de tiempo.
La magnitud que determina o mide esta periodicidad se denomina longitud de onda (λ). Se define como la distancia que en un instante determinado separa a dos puntos consecutivos del medio que se encuentran en el mismo estado de perturbación. Al tratarse de una distancia en el Sistema Internacional se mide en metros.
La magnitud que determina o mide la periodicidad temporal es el periodo (T) y se relaciona con la longitud de onda de un movimiento ondulatorio armónico a través de la velocidad de propagación o velocidad de fase del mismo (v). La relación matemática es la siguiente: v =λ
T.
b) Un cuerpo de 80 g, unido al extremo de un resorte horizontal, describe un movimiento armónico simple de amplitud 5,0 cm. Escribe la ecuación de movimiento del cuerpo sabiendo que su energía cinética máxima es de 2,5·10-3 J y que
en el instante t = 0 el cuerpo pasa por su posición de equilibrio en el sentido negativo del sistema de referencia. ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando pasa por la posición x = – 0,020 m? (CE 3.1)
Estrategia de resolución. La ecuación del movimiento de un cuerpo unido al extremo de un resorte corresponde a un movimiento armónico simple, que se escribe en general como:
x(t) = A cos(ω t + φ) x(t) = A sen(ω t + φ) De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener A, y φ:
- La frecuencia angular, , se obtiene a partir de la energía cinética máxima (Ecmáx = 2,5 · 10-3 J), de la masa del cuerpo (m = 80 g
= 0,080 kg) y de la amplitud del movimiento (A = 5,0 cm = 0,050 m):
Ecmáx=
1 2 k · A
2=1
2 m · ω
2· A2→ ω = √2 · Ecmáx
m · A2 = √
2 · 2,5 · 10−3 J
0,080 kg · (0,050 m)2= 5,0 rad · s−1
- La amplitud es A = 0,050 m.
- La constante de fase, φ, se obtiene a partir de las condiciones iniciales. Nos indican que en el instante t = 0 el cuerpo pasa por su posición de equilibrio, es decir, que para t = 0, x = 0. Por tanto:
- para la función seno: x(t) = A sen(ωt + φ)
x(0) = 0 = A sen φ ⇒ sen φ = 0 ⇒ φ = { 0 π rad - para la función coseno: x(t) = A cos(ωt + φ)
x(0) = 0 = A cos φ ⇒ cos φ = 0 ⇒ φ = { π 2 rad 3π
2 rad ó − π 2 rad Así la ecuación del movimiento se puede expresar como:
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝟓 𝐭 +𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝟓 𝐭 +𝟑𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐬𝐞𝐧(𝟓 𝐭) (𝐒𝐈)
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐬𝐞𝐧(𝟓 𝐭 + 𝛑) (𝐒𝐈)
También podríamos llegar a las mismas conclusiones a partir de las gráficas de la elongación en función del tiempo o del conocimiento de la circunferencia del movimiento circular uniforme que se relaciona con el movimiento armónico simple.
Para hallar la velocidad del objeto cuando pasa por la posición x = – 0,020 m, haremos uso de la relación de esta magnitud con la posición del objeto que oscila:
𝐯(𝐱) = 𝛚 √𝐀𝟐− 𝐱𝟐= 𝟓 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏· √(𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐦)𝟐− (𝟎, 𝟎𝟐𝟎 𝐦)𝟐= ±𝟎, 𝟐𝟑 𝐦 · 𝐬−𝟏
Luego el objeto cuando pasa por la posición x = – 0,020 m puede llevar dos velocidades, una de “ida”, en el sentido positivo o hacia la “derecha” de +0,23 m·s-1; y otra de “vuelta”, en el sentido negativo o hacia la izquierda de – 0,23 m·s-1.
4.
a) Preparando este examen recordé nostálgicamente aquellos años en los que solía utilizar a los X-Men para proponer problemas de Física. Es más miré uno de aquellos ejercicios que decía: “…Lobezno suele utilizar sus garras de adamantium y un espejo para afeitarse, ¿pero este chico se afeita? ...”. ¡Perdón, me estoy emocionando y tengo que ir al grano! Señala las diferencias entre los espejos cóncavos y los espejos convexos, así como al menos un uso de cada uno de ellos. ¿Cómo se puede conseguir una imagen aumentada mediante un espejo? (CE 4.2)con las características de las imágenes que forman. Los espejos convexos producen siempre imágenes virtuales, derechas y reducidas, mientras que los espejos cóncavos forman distintos tipos de imágenes en función de la posición del objeto respecto del espejo de diferentes características: virtual, derecha y aumentada cuando el objeto se sitúa entre la focal y el vértice (no se forma imagen cuando se coloca en la focal); real, invertida y aumentada cuando el objeto se coloca entre la focal y el centro de curvatura (imagen igual de tamaño que el objeto cuando se sitúa en el centro de curvatura); real, invertida y reducida cuando el objeto se sitúa más allá del centro de curvatura del espejo.
Los usos que podemos dar a los espejos convexos están relacionados con la visión de grandes ángulos en esquinas para el tráfico que circula por cruces de calles, en supermercados para poder observar lo que sucede en los pasillos.
En cuanto a los espejos cóncavos su utilidad hace referencia a la posibilidad de aumentar las imágenes que producen, como por ejemplo los espejos que se usan en los cuartos de baño.
A la vista de lo comentado con anterioridad para conseguir imágenes aumentadas se necesita un espejo cóncavo con el objeto situado el objeto se sitúa entre la focal y el vértice y cuando se coloca entre la focal y el centro de curvatura.
b) Los teléfonos móviles que no usamos mucho hoy en día … funcionan con frecuencias de 824 a 894 MHz. Escribe la función de uno de estos movimientos ondulatorios armónicos que llegan a nuestros dispositivos (f = 850 MHz) sabiendo que en el instante inicial (t = 0) y en la posición inicial (x = 0) la perturbación es máxima (Bo = 4,5 · 10-6 T) y que se
propaga en el sentido negativo del eje OX. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que la diferencia de fase en un punto por el que pasa la onda sea π rad? (CE 3.3)
Estrategia de resolución. La expresión de la función del movimiento ondulatorio que son emitidas por las antenas de telefonía móvil sería:
Ψ(x, t) = A sen (ω t + k x + φ) Ψ(x, t) = A cos (ω t + k x + φ)
Hemos escrito + porque nos indican que el sentido de propagación del movimiento ondulatorio es el negativo del eje OX. La amplitud es A = Bo = 4,5 · 10-6 T.
La frecuencia angular es = 2·f; para la frecuencia f de 850 MHz = 8,50 · 108 Hz; así:
ω = 2π · f = 2π · 8,50 · 108 Hz = 1,70 π · 109 rad · s−1
El número de onda k se puede hallar a partir de la velocidad de propagación c = 3,00 · 108 m·s-1. Teniendo en cuenta que v =ω k:
k =ω v =
1,70 π · 109 rad · s−1
3,00 · 108 m · s−1 = 5,67 π m−1
La fase inicial se obtiene considerando que el valor de la perturbación para x = 0 y t = 0 es máximo e igual a A = Bo = 4,5 · 10-6
T:
Ψ(0,0) = A cos φ = A → cos φ = 1 → φ = 0 Ψ(0,0) = A sen φ = A → sen φ = 1 → φ =π
2 rad La función de la onda es:
𝚿(𝐱, 𝐭) = 𝟒, 𝟓 · 𝟏𝟎−𝟔 𝐜𝐨𝐬 (𝟏, 𝟕𝟎 𝛑 · 𝟏𝟎𝟗 𝐭 + 𝟓, 𝟔𝟕 𝛑 𝐱) (𝐒𝐈)
𝚿(𝐱, 𝐭) = 𝟒, 𝟓 · 𝟏𝟎−𝟔 𝐬𝐞𝐧 (𝟏, 𝟕𝟎 𝛑 · 𝟏𝟎𝟗 𝐭 + 𝟓, 𝟔𝟕 𝛑 𝐱 +𝛑
𝟐) (𝐒𝐈)
El tiempo debe transcurrir para que la diferencia de fase en un punto por el que pasa la onda sea π rad lo podemos hallar de dos modos.
El primero hace referencia al hecho de que la diferencia de fase está directamente relacionada con la periodicidad espacial (longitud de onda) y la periodicidad temporal (periodo). De este modo podemos recordar que una diferencia de fase, = 2·π rad corresponde a una longitud de onda, λ, en un instante determinado, y un periodo, T, en un punto determinado. Es lógico pensar que si la diferencia de fase es π rad el tiempo que transcurre en un punto debe ser la mitad del periodo:
π rad · T
2π rad= T 2=
1 f 2 =
1 2 · f=
1
2 · 8,50 · 108 Hz= 5,88 · 10−10 s
Luego el tiempo solicitado que debe transcurrir para que la diferencia de fase en un punto por el que pasa la onda indicada (850 MHz) sea π rad es 𝟓, 𝟖𝟖 · 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝐬.
El segundo procedimiento para obtener el tiempo solicitado consiste en relacionar la diferencia de fase, , en un punto x por el que pasa la onda con el intervalo de tiempo que le corresponde, t:
∆φ = (ω t2+ k x + φ) − (ω t1+ k x + φ) = ω t2− ω t1= ω · (t2− t1) = ω · ∆t →
∆t =∆φ
ω =
π rad
1,70 π · 109 rad · s−1= 5,88 · 10−10 s
Departamento de Física y Química
OPCIÓN B
1.
a) Explica por qué se pueden polarizar la ondas electromagnéticas e indica dos aplicaciones de este fenómeno. Escribe en orden decreciente de frecuencia las ondas de radio, los rayos ultravioleta, las microondas y los rayos X y comenta una aplicación de cada uno de estos movimientos ondulatorios. (CE 3.7 – 3.15 – 3.17 – 3.19)La polarización de las ondas electromagnéticas, en general, y de la luz en particular se produce porque este tipo de ondas son ondas transversales y, por tanto, se pueden polarizar o seleccionar una de las direcciones de perturbación perpendiculares a la dirección de propagación.
Entre las aplicaciones de la polarización de la luz más comunes podemos encontrar las siguientes: - Gafas polarizadas para reducir la intensidad de luz que llega a los ojos.
- Sustancias ópticamente activas: cálculo de la concentración de una disolución que contienen este tipo de sustancias. - Fotoelasticidad: detección de zonas de máximo esfuerzo.
En orden decreciente de frecuencia tenemos:
Rayos X con aplicaciones en medicina, investigación, cristalografía, Astrofísica ... Ultravioleta (UV) con aplicaciones en esterilización, bronceado, ...
Microondas con aplicaciones en detección, cocina, comunicación, radioastronomía,...
Espectro de radiofrecuencia u ondas de radio ( > 0,3 m) con aplicaciones en la transmisión de señales de radio y televisión. b) Un cuerpo de 500 g sujeto a un resorte de masa despreciable y constante elástica 250 N·m-1, se abandona a 5,0 cm de
la posición de equilibrio. Escribe la ecuación del movimiento del cuerpo y determina su energía cinética cuando transita por la posición x = 2,5 cm. (CE 3.1)
Estrategia de resolución. La ecuación del movimiento de un cuerpo unido al extremo de un resorte corresponde a un movimiento armónico simple, que se escribe en general como:
x(t) = A cos(ω t + φ) x(t) = A sen(ω t + φ) De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener A, y φ:
- La frecuencia angular, , se obtiene a partir de la masa del cuerpo, m = 500 g = 0,500 kg, y de la constante elástica del resorte, k
= 250 N·m-1, ω = √k m:
ω = √k
m= √
250 N · m−1
0,500 kg = 22,4 rad · s
−1
- La amplitud es A = 5,0 cm = 0,050 m.
- La constante de fase, φ, se obtiene a partir de las condiciones iniciales. Nos indican que se abandona a 5,0 cm de la posición de equilibrio, y ese momento los consideraremos el instante t = 0, es decir, que para t = 0, x = A = 0,050 m. Por tanto:
* para la función seno: x(t) = A sen(ωt + φ)
x(0) = A = A sen φ ⇒ sen φ = 1 ⇒ φ =π 2 rad * para la función coseno: x(t) = A cos(ωt + φ)
x(0) = A = A cos φ ⇒ cos φ = 1 ⇒ φ = 0 Así la ecuación del movimiento se puede expresar como:
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐬𝐞𝐧 (𝟐𝟐, 𝟒 𝐭 +𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝟐, 𝟒 𝐭) (𝐒𝐈)
También podríamos llegar a las mismas conclusiones a partir de las gráficas de la elongación en función del tiempo o del conocimiento de la circunferencia del movimiento circular uniforme que se relaciona con el movimiento armónico simple.
Podemos representar gráficamente la ecuación del movimiento:
A
-A
T/2
T x
La energía cinética cuando transita por la posición x = 2,5 cm = 0,025 m, la obtendremos a partir de la relación de esta magnitud con la posición, Ec(x) =1
2 k · (A
2− x2):
𝐄𝐜(𝐱) =
𝟏 𝟐 𝐤 · (𝐀
𝟐− 𝐱𝟐) =𝟏
𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝐍 · 𝐦
−𝟏· ((𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐦)𝟐− (𝟎, 𝟎𝟐𝟓 𝐦)𝟐) = 𝟎, 𝟐𝟑 𝐉
2.
a) Un objeto se sitúa a la izquierda de una lente delgada convergente. Determina razonadamente y con la ayuda del trazado de rayos la posición y características de la imagen que se forma en los siguientes casos: (i) s =3·f2; (ii) s = f 2;
(iii) s = 3·f. (CE 4.2)
Para determinar razonadamente las características de la imagen que se forma haremos uso de las expresiones que permiten obtener la posición y el aumento de la imagen (esta vez haremos uso del criterio de signos DIN):
1 s′−
1 s=
1 f′
m =y
′
y = s′
s Hay que tener en cuenta que se trata de una lente convergente y que f’ > 0. (i) Para s =3·f
2 = − 3·f′
2 , la posición de la imagen s’ será:
1 s′−
1 s=
1 f′⇒
1 s′−
1
−3 · f2 ′ =1
f′⇒ s′= (
1 f′−
2 3 · f′)
−1
= 3 · f′
Como 3 · f′> 0 la imagen es real.
El aumento:
m =s′ s =
3 · f′
−3 · 𝑓2 ′ = −2
Por tanto, la imagen es invertida y aumentada.
Comprobaremos estos resultados con el trazado de los rayos, construcción gráfica de la imagen (usaremos una animación de ordenador):
-0,05 -0,03 -0,01 0,01 0,03 0,05
0,00 0,06 0,13 0,19 0,25 0,31 0,38 0,44 0,50 0,57
x
(
m
)
Departamento de Física y Química
(ii) Para s =·f
2= − f′
2, la posición de la imagen s’ será:
1 s′−
1 s =
1 f′⇒
1 s′−
1
−f2′ = 1
f′⇒ s′= (
1 f′−
2 f′)
−1
= −f′
Como −f′< 0 la imagen es virtual.
El aumento:
m =s′ s =
−f′
−𝑓2′ = +2
Por tanto, la imagen es derecha y aumentada.
Comprobaremos estos resultados con el trazado de los rayos, construcción gráfica de la imagen (usaremos una animación de ordenador):
(iii) Para s = 3 · f = −3 · f′, la posición de la imagen s’ será:
1 s′−
1 s =
1 f′⇒
1 s′−
1 −3 · f′=
1
f′⇒ s′= (
1 f′−
1 3 · f′)
−1
=3 · f
′
2 Como 3·f′
2 > 0 la imagen es real.
El aumento:
m =s′ s =
3 · f′
2 −3 · f′ = −
1 2 Por tanto, la imagen es invertida y reducida.
b) El alumnado de segundo de bachillerato diseña, con la ayuda de su magnífico y creativo profesor, un experimento para determinar la longitud de onda de un movimiento ondulatorio en un líquido. Para ello los alumnos y las alumnas utilizan un láser rojo de helio – neón, cuya longitud de onda en el aire es 633 nm, y lo hacen pasar a través de una lámina de caras planas y paralelas de 10 cm de espesor. En la experiencia se mide el ángulo de incidencia (55º) y el de refracción en la primera cara (38º). También se mide el desplazamiento lateral del rayo al atravesar la lámina. ¿Cuáles son los resultados obtenidos? (CE 3.8 – 3.9)
Estrategia de resolución. Para determinar la longitud de onda del líquido debemos hallar primero el índice de refracción mediante la ley de Snell, naire· sen î = nlíquido· sen r̂, para después aplicar la relación entre las longitudes de onda en el aire y en el vidrio con
sus respectivos índices de refracción, λlíquido= λaire· naire nlíquido:
naire· sen î = nlíquido· sen r̂ → nlíquido=
naire· sen î sen r̂ =
1 · sen 55o
sen 38o = 1,33
λlíquido= λaire· naire
nlíquido= 633 nm · 1
1,33= 476 nm
De este modo, la longitud de onda del láser en el interior del líquido es 476 nm.
El desplazamiento lateral del rayo emergente respecto al rayo incidente se averigua a partir de la ley de Snell y de consideraciones
geométricas, teniendo en cuenta que: î = 55o; r̂ = 38o, n
1= naire= 1; n2= nlíquido= 1,33; e = 10 cm:
cos r̂ = espesor distancia=
e l
sen (î − r̂) =despl. lateral distancia =
d l
𝐝 =𝐞 · 𝐬𝐞𝐧 (𝐢̂ − 𝐫̂)
𝐜𝐨𝐬 𝐫̂ =
𝟏𝟎 𝐜𝐦 · 𝐬𝐞𝐧(𝟓𝟓𝐨− 𝟑𝟖𝐨)
𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟖𝐨 = 𝟑, 𝟕 𝐜𝐦
El desplazamiento lateral del rayo es de 3,7 cm.
naire = 1,00; 1nm = 10-9 m.
3.
a) Explica en qué consiste un eclipse de Sol y por qué se produce. ¿En qué ley se basa este fenómeno? Elige otra de las leyes en las que se basa la Óptica Geométrica y coméntala. (CE 4.1)Un eclipse de Sol consiste en la interposición de la Luna entre el Sol y la Tierra de tal modo que nuestro satélite impide la llegada de luz a nuestro planeta y, por tanto, impide que veamos el Sol. El eclipse es fruto de la conjunción o alineamiento de los tres astros con la Luna entre los otros dos, lo que provoca que la Luna proyecte su sombra en nuestro planeta en el espacio respecto de la luz que le llega del Sol.
Esto significa que durante el día, la Luna se mueve por delante del Sol y se pone oscuro. ¿No es extraño que se ponga todo oscuro en pleno día?
Este fenómeno se basa en la ley de la propagación rectilínea de la luz (en medios homogéneos e isótropos), establecida en la Antigüedad y con base experimental en la formación de sombras.
La formación de sombras depende del foco. Para un foco puntual la sombra se forma por la prolongación de rectas desde el foco pasando por los puntos de la silueta del objeto. Para un foco extenso (como es el Sol) se producen zonas de sombra y de penumbra (prolongaciones rectas desde cada extremo del foco al extremo opuesto del objeto).
Otra ley relacionada con la óptica geométrica puede ser la ley de reciprocidad o de reversibilidad que nos indica que las trayectorias de la luz a través de distintos medios son reversibles (trayectoria por reflexión o refracción en O de F a P será la misma que desde P a F a través del mismo O).
b) La ecuación de una onda en una cuerda tensa es:
y(x, t) = 4,0 · 10−3cos(5πx − 30πt) (SI)
Calcula su longitud de onda, su período, su velocidad de propagación y la velocidad máxima del punto situado en x = 0,50 m. Escribe la ecuación de la onda que se producirá cuando esta onda interfiera con otra igual que se propaga en sentido contrario. (CE 3.3)
Departamento de Física y Química
Las magnitudes solicitadas (la longitud de onda y la velocidad de propagación) las obtendremos de las magnitudes que se encuentran en la fase del movimiento ondulatorio: frecuencia angular, ω = 30π rad · s−1, y número de onda, k = 5π m−1.
De este modo:
𝛌 =𝟐𝛑
𝐤 =
𝟐𝛑
𝟓𝛑 𝐦−𝟏= 𝟎, 𝟒𝟎 𝐦
𝐯 =𝛚
𝐤 =
𝟑𝟎𝛑 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏
𝟓𝛑 𝐦−𝟏 = 𝟔, 𝟎 𝐦 · 𝐬−𝟏
Para hallar la velocidad máxima de la perturbación en el punto x = 0,50 m podemos hacer dos cosas. La primera puede ser derivar la función o ecuación de la onda y extraer de ahí la velocidad máxima solicitada. La segunda es hacer uso del valor de la velocidad máxima de los puntos por los que pasa una onda armónica, que describen un movimiento armónico simple cuya velocidad máxima es vmáx = A · ω.
Así, derivando:
vP(x, t) =
dy(x, t)
dt =
d
dt[4,0 · 10−3cos(5πx − 30πt)] = 4,0 · 10−3· [−sen (5πx − 30πt)] · 30π (SI)
vP(x, t) = −0,12π sen (5πx − 30πt) (SI)
Solamente nos resta extraer el valor máximo (positivo o módulo de la velocidad) que será igual en x = 0,50 m y en cualquier otro punto:
𝐯𝐏𝐦á𝐱(𝐱 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝐦; 𝐭) = 𝐯𝐏𝐦á𝐱(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟏𝟐𝛑 𝐦 · 𝐬−𝟏= 𝟎, 𝟑𝟖 𝐦 · 𝐬−𝟏
O también:
𝐯𝐩𝐦á𝐱= 𝐀 · 𝛚 = 𝟒, 𝟎 · 𝟏𝟎−𝟑 𝐦 · 𝟑𝟎𝛑 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏= 𝟎, 𝟏𝟐𝛑 𝐦 · 𝐬−𝟏= 𝟎, 𝟑𝟖 𝐦 · 𝐬−𝟏
La ecuación de la onda que se producirá cuando esta onda, y(x, t) = 4,0 · 10−3cos(5πx − 30πt) (SI), interfiera con otra igual que
se propaga en sentido contrario, y(x, t) = 4,0 · 10−3cos(5πx + 30πt) (SI), la podemos hallar sumando las funciones que
determinan esos movimientos ondulatorios o recordando la expresión de los movimientos ondulatorios resultantes de ese tipo de interferencia (onda estacionaria).
Así:
y1(x, t) = 4,0 · 10−3cos(5πx − 30πt)
y2(x, t) = 4,0 · 10−3cos(5πx + 30πt)
} y = y1+ y2= 4,0 · 10−3cos(5πx − 30πt) + 4,0 · 10−3cos(5πx + 30πt)
y(x, t) = 2 · 4,0 · 10−3cos(5πx)cos (30πt) (SI)
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟖, 𝟎 · 𝟏𝟎−𝟑𝐜𝐨𝐬(𝟓𝛑𝐱)𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝟎𝛑𝐭) (𝐒𝐈)
4.
a) ¿En qué consiste la doble periodicidad de los movimientos ondulatorios armónicos? ¿Qué magnitudes y en qué unidades se determina esta doble periodicidad? Escribe una definición para cada una de esas dos magnitudes. (CE 3.4) Los movimientos ondulatorios armónicos presentan doble periodicidad. Además de la periodicidad temporal, presentan la denominada periodicidad espacial. Esto quiere decir que los valores de la perturbación o los estados de perturbación que propaga la onda se repiten cada cierta distancia en cada instante de tiempo.Tenemos que recordar que la periodicidad temporal nos informa del tiempo que transcurre entre dos estados iguales de perturbación de cada punto del medio por el que pasa la onda.
La magnitud que determina o mide la periodicidad espacial se denomina longitud de onda (λ). Se define como la distancia que en un instante determinado separa a dos puntos consecutivos del medio que se encuentran en el mismo estado de perturbación. Por tanto, en el Sistema Internacional esta magnitud se mide en metros.
La magnitud que determina o mide la periodicidad temporal se denomina periodo (T). Se define como el tiempo que separa dos estados iguales y consecutivos de perturbación de un punto del medio por el que pasa la onda. Por tanto, en el Sistema Internacional esta magnitud se mide en segundos.
b) Construye gráficamente la imagen y determina su posición y sus características para un objeto que se encuentra en el aire a 0,50 m frente a un espejo de 30 cm de radio si: (i) es cóncavo; (ii) es convexo. (CE 4.2)
i) Estrategia de resolución. La construcción gráfica de la imagen la podemos observar debajo, utilizando los rayos habituales que se utilizan para los espejos y recordando que la distancia focal es la mitad del radio de curvatura de los mismos (f =r
2):
- Rayo 1: parte superior objeto y paralelo eje óptico se refleja y pasa por el foco, F. - Rayo 2: parte superior objeto y pasa por el foco, F se refleja y sale paralelo al eje óptico. - Rayo 3: parte superior objeto y pasa por centro curvatura, C se refleja y vuelve por C.
Esto lo podemos comprobar con las expresiones matemáticas que nos permiten obtener dichas características, y con los datos que nos indica el problema: so = 0,50 m = 50 cm; r = +30 m
1 so+
1 si=
2 r
m =h
′
h = −
si so}
Las expresiones utilizadas responden al siguiente criterio de signos:
so es positivo si el objeto está delante de la superficie, en el lado incidencia, y negativo en caso contrario.
si es positivo si la imagen es real, se forma detrás de la superficie, en el lado de transmisión, y negativo en caso contrario.
r es positivo si el centro de curvatura está detrás de la superficie (transmisión) y negativo en caso contrario. Así:
1 so+
1 si=
2 r →
1 50 cm+
1 si=
2
+30 cm→ si= ( 2 +30 cm−
1 50 cm)
−1
= 21 cm → imagen real
La imagen se forma 21 cm por delante del espejo (real).
m = −si so
= −21 cm
50 cm= −0,42 → 𝐢𝐦𝐚𝐠𝐞𝐧 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐝𝐚 𝐲 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐜𝐢𝐝𝐚
ii) Estrategia de resolución. La construcción gráfica de la imagen la podemos observar debajo, utilizando los rayos habituales que se utilizan para los espejos y recordando que la distancia focal es la mitad del radio de curvatura de los mismos (f =r
2):
- Rayo 1: parte superior objeto y paralelo eje óptico se refleja y pasa por el foco, F. - Rayo 2: parte superior objeto y pasa por el foco, F se refleja y sale paralelo al eje óptico. - Rayo 3: parte superior objeto y pasa por centro curvatura, C se refleja y vuelve por C.
Departamento de Física y Química
Esto lo podemos comprobar con las expresiones matemáticas que nos permiten obtener dichas características, y con los datos que nos indica el problema: so = 0,50 m = 50 cm; r = – 30 m
1 so
+1 si
=2 r
m =h
′
h = −
si so}
Las expresiones utilizadas responden al siguiente criterio de signos:
so es positivo si el objeto está delante de la superficie, en el lado incidencia, y negativo en caso contrario.
si es positivo si la imagen es real, se forma detrás de la superficie, en el lado de transmisión, y negativo en caso contrario.
r es positivo si el centro de curvatura está detrás de la superficie (transmisión) y negativo en caso contrario. Así:
1 so
+1 si
=2 r →
1 50 cm+
1 si
= 2
−30 cm→ si= ( 2 −30 cm−
1 50 cm)
−1
= −11,5 cm → imagen virtual
La imagen se forma 11,5 cm por detrás del espejo (virtual).
m = −si so= −
−11,5 cm
