Una introducción a la Integral de Riemann Stieltjes

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(1)UNA INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DE RIEMANN STIELTJES. Raúl Alfonso Galeano Acosta Director Milton del Castillo Lesmes Acosta. UNIVERSIDAD FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C. 12 Febrero 2017.

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(3) Contenido Agradecimientos. 5. INTRODUCCIÓN. 7. 1 Preliminares. 9. 2 Teorema de la integral de Stieltjes. 19. 3 Integración por partes. 25. Bibliografı́a. 29. 3.

(4) Dedicado a: Mi Familia..

(5) AGRADECIMIENTOS A todos los que hicieron posible este proyecto.

(6) 6. CONTENIDO.

(7) Introducción En el presente trabajo definiremos y se dará una introducción al el Teorema de la Integral de Stieljes.Para ello revisare algunos conceptos del Análisis Matemático como lo son la integral, funciones monótonas, de variación acotada, y algunas propiedades que nos permitirán abordar e interpretar lo deseado.. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El teorema de la integral de Stieltjes es mas comúnmente conocido como la ” integración por partes” , la integración por partes se emplea con frecuencia para transformar una integral de otra forma integrable a una forma más susceptible a las técnicas de integración conocidas, en esta monografı́a nos centraremos en las caracterı́sticas del teorema de la integral de Stieltjes.. JUSTIFICACIÓN La idea de integral ha estado presente desde Arquı́medes, en 1854 George Riemann dio un conjunto de condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales una función acotada es integrable, en 1984 el Matemático Holandés llamado Thoman Ene Stieltjes desarrolló la integral de Riemann-Stieltjes, esta permite la terminación de una integral cerrada,este tema se estudia con profundidad en la en la teorı́a del análisis matemático, por tanto cuando se quiere hablar de áreas bajo la curva o de formas de integración, se debe dar todo el rigor apropiado a la teorı́a dada.. OBJETIVOS Objetivo General Reconstruir parte la teorı́a de el capitulo 7 del libro Análisis matemático Apostol que desarrolla parte de la teoria del teorema de la integral de Stieltjes.(ver [?]). 7.

(8) 8. CONTENIDO. Objetivos Especı́ficos • Presentar algunas propiedades de la integral de Stieltjes..

(9) Capı́tulo 1. Preliminares El desarrollo del cuerpo teórico del tema seleccionado se sustenta en las siguientes definiciones y resultados, se han incluido algunas demostraciones que se han considerado relevantes, las otras pueden ser consultadas en la bibliográfia relacionada. Definición 1 Una función F es un conjunto de pares ordenados (x, y) ninguno de los cuales tiene el mismo primer elemento, es decir, si (x, y) ∈ F y (x, z) ∈ F entonces y = z,donde para cada x del dominio de F existe un único y tal que (x, y) ∈ F Definición 2 Una funcion f tiende hacia el lı́mite l en a si para todo > 0 existe δ > 0 tal que para todo x, si 0 < |x − a| < δ entonce |f (x) − l| < Definición 3 Sean (S, ds ) y (T, dT ) espacios métricos y sea f : S → T una función de S en T . La función f se llama continua en un punto p de S si para cada > 0 existe un δ > 0 tal que: dT (f (x), f (p)) < . siempre que ds (x, p) < δ. Definición 4 Sea S 6= ∅, S ⊆ R, a ∈ R, c es llamado cota superior de S si x ≤ c, ∀x ∈ S, se dira que c es cota inferior de S si x ≥ c ∀x ∈ R Teorema 1 Sea S ⊆ R no vacı́o. Si m es finito m = inf S si y sólo si m es una cota inferior de S y para cada > 0 existe x ∈ S que depende de tal que m ≤ x < xm + ⇒Sea S ⊆ R, S 6= ∅, m finito m = inf S por tanto m es la máxima cota inferior de S, m es cota inferior de S dado > 0 se tiene m+>m ası́ m + no es una cota inferior de S como m es cota inferior existe x ∈ S tal que m + > x por lo tanto 9.

(10) 10. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES m+>x≥m. ⇐ Supongamos que m es finito además m es una cota inferior de s,sea k un elemento finito de R con k > m entonce k − m > 0 tomemos = k − m luego existe un x ∈ Re tal que m + (k − m) > x ≥ m esto quiere decir que m ≤ x < k por lo tanto k no es una cota inferior de S es decir m es la máxima cota inferior de S. Proposición 1 Sea S1 y S2 subconjuntos no vacı́os de Re tal que S1 ⊆ S2 entonces supS1 ≤ supS2 Sea X = SupS1 , Y = SupS2 , supongamos que Y < X x una cota superior de S1 y no es una cota superior de S2 , luego existe K ∈ S1 tal que Y < K < X, como S1 ⊆ S2 entonces k ∈ S2 un elemento de S2 mayor a al mı́nima cota superior de S2 lo que es una contradicción Definición 5 Un Una función monótona f es una función real definida en un subconjunto S de R, f es creciente o decreciente en s si pata todo par de x e y de s: x < y → f (x) 6 f (y) Si x < y → f (x) < f (y), entonces f se llamara estrictamente creciente sobre S Definición 6 Sea I un intervalo, una función θ : I −→ R es llamada función paso si hay una colección finita {I1 , I2 , I3 , ..., In } intervalos disjuntos dos a dos tal que S = I1 ∪ I2 ∪ I3 ∪, ..., ∪In ⊆ I y el conjunto de números reales {C1 , C2 , c3 , ..., Cn } diferentes de cero tal que:. θ(x) =.   Cj . 0. si x ∈ Ij , j = 1, 2, 3, ..., n si x ∈ I − S. en otras palabras θ es constante y no nula en cada intervalo Ij y cero en otras partes de I. Si el soporte de una función de paso θ tiene longitud total finita entonces se asocia con A(θ) como el área entre la gráfica de θ y el eje X. Ejemplo 1 Sea θ1 , θ2 : [0, 3] −→ R definida por:  1 si 0 ≤ x < 1        −1 si 1 ≤ x ≤ 2 θ1x) =     4 si 2 < x ≤ 3   .

(11) 11. θ2 (x) =.  −2   . si 0 ≤ x ≤ 1. 3   . si 1 < x ≤ 3. veamos θ1 − 2θ2 y verifiquemos que  5        −7 θ(x) =     −2   . A(θ1 − 2θ2 ) = A(θ1 ) − 2A(θ2 ), en efecto: si 0 ≤ x < 1 si 1 ≤ x ≤ 2 si 2 < x ≤ 3. A(θ1 − 2θ2 ) = 1(5) + 1(−7) + 1(−2) =5−7−2 = −4 y A(θ1 ) − 2A(θ2 ) = 4 − (4) = −4, por lo tanto A(θ1 ) − 2A(θ2 ) = A(θ1 − 2θ2 ).

(12) 12. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Definición 7 Si [a, b] es un intervalo compacto en un conjunto de puntos P = {x0 , x1 , ..., xn }, que satisfaga la igualdad a = x0 < x1 <, ..., < xn − 1 < xn = b, se llama partición de [a, b]. El intervalo [xk−1 − xk ] se llama K-ésimo subintern X valo de P y se escribe 4xk − xk−1 con lo que 4xk = b − a k=1. Definición 8 Supongamos que f es acotada sobre [a, b] y p = {x0 , x1 , x2 , ..., xn } es una partición de [a, b], se tiene, mi = Inf {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi Mi = Sup{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi } La suma inferior de f para p, designada por L(f, p) se define poniendo, L(f, p) =. n X. mi (xi − xi−1 ). i=1. la suma superior de f para p, designada por U (f, p) se define poniendo, U (f, p) =. n X. Mi (xi − xi−1 ). i=1. Ejemplo 2 Tomemos el intervalo [a, b] tomemos el caso particular cuando el intervalo es [0, 3] dividiéndolo en cinco subintervalos,.

(13) 13 [0, 0.5][0.5, 1][1, 1.5][1.5, 2][2, 2.5][2.5, 3] a = 0 < 0.5 < 1, ..., < 3 = b en el intervalo [0, 0.5] la función f (x) = xsin(x) tiene un valor mı́nimo mi y un valor máximo Mi en virtud de la definición la suma inferior de f (x) en [0, 3] sera, L(f, p) =. n X. mi (xi − xi−1 ). i=1. =. 6 X. xi−1 sen(xi − 1). i=1. 3 6. análogamente la suma superior de la partición de la función f (x) U (f, x) se define por, U (f, p) =. n X. Mi (xi − xi−1 ). i=1. =. 5 X i=1. xi sen(xi ). 3 6.

(14) 14. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Definición 9 Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si,. Sup = {L(f, p)}Inf {U (f, p)}. con p una partición de [a, b].En este caso este numero recibe el nombre de integral f sobre [a, b] y se nota,. Rb a. f. b. b5 La función f (x) = x4 , sea P = {x0 x, x1 , x3 , ..., xn } 5 0 una partición del intervalo [0, b] entonces, Z. Ejemplo 3 Demostrar que. x4 =. mi = f (xi−1 ) = (xi−1 )4 ,. Mi = f (xi ) = x4i.

(15) 15. L(f, p) = =. n X i=1 n X. mi (xi − xi−1 ) xi (xi=1 )4 (xi − xi−1 ). i=1. =. n X. (xi− ). i=1. b n. n X (i − 1)4 b4 b = n4 n i=1 n−1 b5 X 4 j n5 j=0 b5 n5 n4 n = 5 − + n 5 2 30. =. de forma análoga tenemos U (f, p), para un n suficientemente grande se concluye, SupL(f, p) = Inf U (f, p) =. b5 5. Teorema 2 Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b]. Como f es continua en [a, b] y además [a, b] es cerrado y acotado es decir es compacto entonces f es uniformemente continua, por tanto, dado > 0 existe δ > 0 tal que para todo x e y de [a, b], si | x − y |< δ ⇒ (x) − f (y) |<. 3(b−a). tomemos una partición P = {x0 , x1 , ..., xn } de [a, b] con n ∈ N que n > entonces δ > b−a n tenemos que x, y en (xi−1 , xi ) tal que, f (x) > Mi −. δ 3(b−a). f (y) < mi +. 3(b−a). se tiene | x − y |< (xi − xi−1 ) =. b−a n ,. ası́,. f (x) − f (y) < Mi −. 3(b−a). 3(b−a). − mi 3(b−a) < f (x) − f (y) <. 3(b−a). b−a δ.

(16) 16. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Mi −. − mi < 3(b − a) 3(b − a) 3(b − a) Mi − mi < + + 3(b − a) 3(b − a) 3(b − a) 3 Mi − mi < 3(b − a) = b−a. Para todo i tenemos U (f, p) − L(f, p) =. n X. (Mi − mi )(xi − xi−1 ). i=1 n. X (xi − xi−1 ) b − a i=1 = (b − a) b−a = <. Definición 10 Sea f definida en [a, b]. Si P = {x0 , x1 , x2 , ..., xn } es una partición de [a, b] escribiremos 4fk = f (xk ) − f (xk − 1) para k = 1, 2, 3, ..., n si existe un numero positivo M tal que n X. | 4 fk | ≤ M. k=1. para toda partición de [a, b] entonces diremos que f es de variación acotada en [a, b]. Teorema 3 Si f es monótona en [a, b] entonces f es de variación acotada en [a, b] Si f es creciente, entonces para cada partición P = {x0 , x1 , ..., xn } de [a, b] se tiene que f (xk ) − f (xk−1 ) ≥ 0 para todo k = 1, 2, 3, ..., n por lo tanto n X k=1. | 4 fk | =. n X k=1. 4fk =. n X. [f (xk ) − f (xk−1 )] = f (b) − f (a) = M. k=1. Ejemplo 4 Determinar si f (x) = x2 sen(1/x) si x 6= 0, f (0) = 0, es de variación acotada en [0, 1] Para determinar si la función es de variación acotada primero nombraremos un resultado cuya demostración puede consultarse en Apóstol Teorema 4 Si f es continua en [a, b] y si f 0 existe y esta acotada en el interior, es decir que |f 0 (x)| ≤ A para todo x de (a, b) entonces f es de variación acotada en [a, b] en efecto f (x) = x2 sen(1/x) derivando tenemos f 0 (x) = 2xsen(1/x) − cos(1/x).

(17) 17. para x ∈ (0, 1] y f 0 (0) = 0 tenemos f 0 (x) es acotada en [0, 1] ya que |f 0 (x)| ≤ 3 como lo podemos apreciar en la grafica anterior, y en virtud del teorema 3 se tiene que la función f es de variación acotada..

(18) 18. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES.

(19) Capı́tulo 2. Teorema de la integral de Stieltjes En el presente capı́tulo se presentan las definiciones y resultados básicos del presente trabajo; para ello se consideran definiciones, teoremas y propiedades de la integral de Stieltjes Definición 11 · Una partición P 0 de [a, b] es más fina que P si P ⊆ P 0 o refinamiento. · El sı́mbolo 4αk designa la diferencia 4αk = α(xk ) − α(xk−1 ) luego, n X. αk = α(b) − α(a). k=1. Definición 12 Sea P = {x0 , x1 , x2 , ..., xn } una partición de [a, b] y sea tk un punto del subintervalo [xk−1 − xk ] una suma formal S(p, f, α) =. n X. f (tk ) 4 αk. k=1. se llama de Riemann Stieltjes de f respecto a α. Definición 13 Se dirá que f es Riemann-integrable respecto a α en [a, b] si existe un número A tal que para cada > 0 existe una partición P de [a, b] tal que para cada partición P mas fina que P y para cada elección de los puntos tk del intervalo [xk−1 − xk ] se tiene, | S(f, p, α) − A |< entonces se dirá que f es Riemann integrable respecto de α en [a, b]. Propiedades de Linealidad 19.

(20) 20. CAPÍTULO 2. TEOREMA DE LA INTEGRAL DE STIELTJES. Teorema 5 Si f y g en (α) en [a, b] entonces c1 f + c2 g ∈ R(α) en [a, b] para c1 , c2 constantes se tiene, Rb Rb Rb (c f + c2 g)dα = c1 a dα + c2 a gdα a 1 Demostración. Tomemos h = c1 f +c2 g y una partición cualquiera P de [a, b], S(P, c1 f + c2 g, α) = S(P, h, α) = =. n X i=1 n X. h(tk ) 4 αk c1 f (tk ) 4 αk +. i=1. = c1. n X. n X. c2 g(tk ) 4 αk. i=1. f (tk ) 4 αk + c2. i=1. n X. g(tk ) 4 αk. i=1. = c1 S(P, f, α) + c2 S(p, g, α) Dado > 0 existe una partición P0 tal que P ⊇ P0 esto implica que Rb | S(P, f, α) − a f dα |< tomando una partición P 00 tal que P ⊇ P00 e implique que Rb | S(P, g, α) − a f dα |< tomando P = P0 ∪ P00 entonces para P más fina que P se tiene Rb Rb | S(P, h, α)c1 a f dα − c2 a gdα |≤ c1 | | + | |. Teorema 6 Supongamos que c ∈ (a, b), si dos de la integral existen entonces la tercera también existe y además se tiene Rc Rb R f dα + c f dα = f dα a Demostración. Tomando P una partición de [a, b], c ∈ P , sea P 0 = P ∩ [a, b] y P 00 = P ∩ [c, b] donde P 0 es una partición de [a, c] y P 00 una partición de [c, b] por definición se tiene, S(P, f, α) = S(P 0 , f, α) + S(P 00 , f, α) Rb Rc Suponiendo que a f dα existe e c f dα entonces, dado > o existe una partición P0 de [a, c] tal que Rc | S(P 0 , f, α) − a f dα |< 2 siempre que P 0 sea mas fina que P0 y una partición P00 de [c, b] tal que Rb | S(P 00 , f, α) − c f dα |< 2 siempre que P 00 sea mas fina que P00.

(21) 21 P = P0 ∪ P00 es una partición de [a, b] tal que P 00 y P 00 ⊇ P00 luego siendo P más fina que P se tiene que P ⊇ P combinando se tiene, Rc Rb | S(P, f, α) − a f dα − c f dα |< Rb Rc Rb es decir a f dα existe y es igual a a f dα + c f dα Definición 14 Sea P una partición de [a, b] y sea Mk (f ) = Sup{f (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]} mk (f ) = Inf {f (x) : x ∈ [xk−1 , xk ] Los números U (p, f, α) =. n X. Mk (f ) 4 αk y L(p, f, α) =. k=1. n X. mk (f ) 4 αk. k=1. se llaman sumas superiores e inferiores respectivamente de Stieltjes de f con respecto a α para la partición P . Teorema 7 Supongamos que α % en [a, b] entonces: i) si P 0 es más fina que P , tendremos U (P 0 , f, α) ≤ U (P, f, α) y L(P 0 , f, α) ≥ L(P, f, α) ii) Para cada par de particiones p1 y P2 tendremos L(P1 , f, α) ≤ U (P2 , f, α) Demostración. Supongamos que P 0 posee sólo un punto más que P , tomemos c, si c esta en el i-ésimo subintervalo de P podemos escribir U (P 0 , f, α) =. n X. Mk (f ) 4 αk + M 0 [α(c) − α(xi−1 )] + M 00 [α(xi ) − α(c)]. k=1 k6=i. donde M 0 y M 00 designan el Sup de f en [xi−1 , c]y[c, xi ] respectivamente, dado que M 0 ≤ Mi (f ) y Mi00 (f ) luego n X. Mk (f ) 4 αk + M 0 [α(c) − α(xi−1 )] + M 00 [α(xi ) − α(c)] ≤. k=1 k6=i n X. Mk (f ) 4 αk + M 0 [α(c) − α(xi−1 )]. k=1 k6=i. y se tiene U (P 0 , f, α)(P, f, α).

(22) 22. CAPÍTULO 2. TEOREMA DE LA INTEGRAL DE STIELTJES. haciendo un proceso análogo se prueba que L(P 0 , f, α) ≥ L(P, f, α). Para probar (ii) tomamos P = P1 ∪ P2 y por (i) se tiene L(P1 , f, α) ≤ L(P, f, α) ≤ U (P, f, α) ≤ U (P2 , f, α). Definición 15 Supongamos que α % en [a, b] la integral superior de Stieltjes de f respecto a α se define como Rb a. dα = Inf {U (P, f, α) : P ∈ ℘[a, b]}. la integral inferior Rb a. dx = Sup{L(P, f, α) : P ∈ ℘[a, b]}. se denotara I(f, α) a la integral superior y I a la integral inferior. Propiedades i) Si α % en [a, b] entonces Rb a. f dα =. Rc a. f dα +. Rb c. f dα. con a < c < b. Demostración. Sea > 0 existe una partición P tal que U (P, f, α) < I(f, α) + tomemos otras dos particiones P1 = {a = x0 , x1 , ..., xn1 = c} y P2 = {xn1 = c, ..., xn2 = b} con P12 = P ∪ {c} y llamamos P 0 = P ∪ {c} ası́ I(a, c) + I(c, b) ≤ U (P1 , f, α) + U (P2 , f, α) = U (P 0 , f, α) ≤ U (P, f, α) como U (P, f, α) ≤ I(f, α) + entonces I(a, c) + I(c, b) ≤ I(a, b) donde es arbitrario. Ahora hagamos la otra desigualdad, dado > 0 existen P1 y P2 particiones tales que U (P1 , f, α) + U (P2 , f, α) ≤ I(a, c) + I(c, b) + esto implica que P = P12 , por lo tanto U (P, f, α) ≤ I(a, c) + I(c, b) + luego I(a, b) ≤ U (P, f, α) ≤ I(a, c) + I(c, b) + esto es I(a, b) ≤ I(a, c) + I(c, b).

(23) 23 con arbitrario. Ciertas igualdades que se verifican con integrales se convierten en desigualdades cuando se remplazan aquellas por integrales superiores e inferiores Rb a. Rb a. (f + g)dα ≤. Rb. (f + g)dα ≥. Rb. a. a. f dα +. Rb. f dα +. Rb. a. a. gdα gdα. Condiciones suficiente para la existencia de las integrales de Riemann Stieltjes Teorema 8 Si f es continua en [a, b] y si α es de variación acotada en [a, b] entonces f ∈ R(α) en [a, b] Demostración. Es suficiente demostrar el teorema para α % con α(a) < α(b) como f es continua en [a, b] entonces f es uniformemente continua, dado > 0 existe δ > 0 tal que |x − y| < δ entonces |f (x) − f (y)| <. A. con A = 2[α(b) − α(a)], si P es una partición de norma ||P || < δ entonces para P más fina que P se tendrá Mk (f ) − mk (f ) ≤. A. puesto que Mk (f ) − mk (f ) = Sup{f (x) − f (y) : x, y ∈ [xk−1 , xk ] multiplicando la desigualdad por 4αk y sumando se tiene n X. {Mk (f ) − mk (f )} 4 αk =. k=1. n X k=1. Mk (f ) 4 αk −. n X. mk (f )αk. k=1. = U (P, f, α) − L(P, f, α) n X ≤ 4αk 2[α(b) − α(a)] k=1 = (α(b) − α(a)) 2[α(b) − α(a)] = 2 <. Condiciones necesarias para la existencia de las integrales de RiemannStieltjes Teorema 9 Supongamos que α % en [a, b] y sea a < c < b supongamos que tanto α como f son discontinuas en x = c, esto es supongamos que existe un > 0 tal que para todo δ > 0 existen valores de x e y en el intervalo (c, c + δ) para los que.

(24) 24. CAPÍTULO 2. TEOREMA DE LA INTEGRAL DE STIELTJES |f (x) − f (c)| ≥ |α(y) − α(c)| ≥ . entonces la integral no existe, Tampoco existe la integral si α y f son discontinuas por la izquierda de c..

(25) Capı́tulo 3. Integración por partes Ra Rb Definición 16 Si a < b definimos b f dα = − a f dα siempre que exista Rb Ra f dα. Definamos también a f dα = 0.Luego la ecuación del teorema anterior a se puede escribir Rb a. f dα +. Rc b. f dα +. Ra c. f dα = 0. Integración por partes Teorema 10 Si f en R(α) en [a, b] entonces α(f ) en [a, b] y se tiene, Rb a. f (x)dα +. Rb a. α(x)df (x) = f (b)α(b) − f (a)α(a). Rb Demostración. Dado > 0, como a f dα existe hay una partición P en [a, b] tal que para cada P 0 más fina que P se tiene | S(P 0 , f, α) −. Rb a. f dα |< . tomando una suma de Riemann Stieltjes arbitraria para S(P, α, f ) = =. n X k=1 n X. Rb a. αdf. α(tk ) 4 fk α(tk )f (xk ) −. k=1. n X. α(tk )f (xk−1 ). k=1. donde P es màs fina que P , nombrando A = f (b)α(b) − f (a)α(a) se tendrá la identidad A=. n X. f (xk )α(xk ) −. k=1. n X k=1. 25. f (xk−1 )α(xk−1 ).

(26) 26. CAPÍTULO 3. INTEGRACIÓN POR PARTES. haciendo la diferencia de las dos ecuaciones anteriores A − S(P, α, f ) = =. n X k=1 n X. f (xk )α(xk ) −. n X. f (xk−1 )αx( k − 1) −. k=1. n X. α(tk )f (tk ) −. k=1. f (xk ) [α(xk ) − α(tk )] +. k=1. n X. n X k=1. f (xk−1 ) [α(tk ) − α(xk−1 ). k=1. las dos sumas de la derecha se pueden combinar en una sola de forma que S(P 0 , f, α) donde P 0 es una partición de [a, b] que contiene los puntos xk y tk , P 0 resulta ser más fina que P por tanto Rb | A − a(p, α, f ) − a f dα |< Rb Siempre que P sea más fina que P esto asegura que a αdf existe y vale Rb A − a f dα es decir Rb a. αdf = [f (b)α(b) − f (a)α(a)] −. Rb a. f dα. Teorema 11 Supongamos que f ∈ R(α) en [a, b] y supongamos que α posee una Rb derivada α0 continua en [a, b] entonces la integral de Riemann a f (x)α0 (x)dx existe y se verifica Rb Rb f (x)dα(x) = a f (x)α0 (x)dx a Teorema 12 Cada suma finita puede expresarse como una integral de Riemann n X Stieltjes, de hecho dada una suma finita ak definamos f en [0, n] como sigue k=1. f (x) = ak si k − 1 < x < k con k = 1, 2, 3, ..., n y f (x) = 0 entonces n X. ak =. k=1. n X k=1. Z f (k) =. n. f (x)d[x] 0. donde [x] es el mayor entero ≤ x. Ejemplo 5 Utilizar la integral por partes de Stieltjes para deducir Z n n X x − [x] 1 = ln n − dx + 1 k x2 1 k=1. Demostración. Haciendo uso del teorema anterior se tiene Z n n X 1 1 = d[x] + 1 n x 1 k=2. α(tk )f (tk−1 ).

(27) 27 usando la integración por partes se tiene Z n Z n 1 [n] d[x] + 1 = − [x]dx−1 + −1+1 x n 1 Z1 n [x]dx−1 + 1 =− 1. por la reducción de la integral de Riemann Rn Rn [x]dx−1 = 1 1. [x] x2 dx. +1. luego Rn. 1 dx 1 x. −. Rn. 1 dx 1 x. +. Rn. [x] dx 1 x2. +1. por tanto se tiene ln n. Rn 1. x−[x] x2 dx. +1. Ejemplo 6 Si f n+1 es continua en [a, x] definamos Rx 1 In (x) = n! (x − t)n f n+1 (t)dt a Demostrar que Ik−1 (x) − Ik =. f k (a)(x−a)k , k!. k = 1, 2, 3, ..., n. Demostración. k = 1, 2, 3, ..., n se tiene Rx 1 (x − t)k f k+1 (t)dt Ik (x) = k! a haciendo uso de la reducción a una integral de Riemann se tiene Rx 1 k k k! a (x − t) df (t) integrando por partes Z x 1 x (x − t)k f k (t) a + f k (t)d(x − t)k k! a Z x f k (a)(x − a)k + f k (t)d(x − t)k−1 =− k! a Z x f k (a)(x − a)k =− +k (x − t)k−1 f k (t)dt k! a Z x 1 f k (a)(x − a)k + (x − t)k−1 f k (t)dt =− k! (1 − k)! a f k (a)(x − a)k + Ik−1 (x) =− k!. Ik (x) =. lo que es tiene Ik−1 (x) − Ik (x) =. f k (a)(x−a)k k!.

(28) 28. CAPÍTULO 3. INTEGRACIÓN POR PARTES. CONCLUSIONES · La integral de Riemann resulta ser una caso particular de la integral de RiemannStieltjes. · En la probabilidad la distribuciones discretas y continuas las podremos tratar con la integral de Riemann Stieltjes en el caso finito, ya que cada suma finita puedes expresarse como una integral..

(29) Bibliografı́a [1] Tom M Apostol, Análisis Matemático, segunda edición, Reverté S.A. [2] M. Carter B. van brunt, The Lebesgue-Stieltjes integral, Springer, . [3] Michael Spivak, Calculo infinitesimal, Reverté, Universidad de brandeis, 1970. [4] James R. Munkres, Topologı́a General, segunda edición, Pearson Educación, Madrid 2012.. 29.

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