Definición: El conjunto de todos los n números reales ordenados se llama espacio numérico n-dimensional y se representa por R

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(1)

UNIDAD 1

FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE REAL EN REAL CONTENIDOS:

Vectores en Rn. Definición de funciones de más de una variable real en real. Dominio. Ámbito o Recorrido. Gráfica. Curvas de nivel. Aplicaciones económicas de las curvas de nivel: curvas de indiferencia. Función compuesta y función implícita.

COMENTARIOS:

Una vista del torna vías… donde gran parte de la actividad de nuestra universidad se desarrolla desde sus albores. Las funciones que abordaremos teóricamente, se plasman en muchos de sus espacios. www.unsam.edu.ar

Cómo

las empresas pueden subir los precios con inteligencia

Por Paul W. Farris y Kusum L. Ailawadi. The Wall Street Journal Deles Bueno, Mejor y Optimo:

En vez de sacar marcas de menor calidad, las compañías deberían "separar" las funciones de sus productos y dejar que los consumidores paguen por los "extras" que quieran.

Por ejemplo, las compañías podrían tomar su producto central, quitarle los adornos y bajar el precio. Esa sería la versión "buena". Luego podrían agregar una versión "mejor" un poco más cara, con algunas funciones más y luego una "óptima" con todas las características a un precio aún más caro. La Nación 24/07/2013

Facebook planea crear un botón para ocultar publicaciones y

explicar el motivo

(2)

Ante la inmensa cantidad de información que se comparte en la plataforma, Facebook evalúa lanzar en los próximos meses una opción para que la red social pueda entender mejor por qué los usuarios no desean ver algunos contenidos, actualizaciones o fotos. Esta función será una suerte de contrapartida del popular botón "Me gusta", aunque no llevará el previsible nombre "No me gusta", ya que tendrá una tarea diferente.

"Planeamos refinar sobre las cosas que los usuarios le gustan ver o no entre las actualizaciones de Facebook", dijo Fidji Simo, gerente de Producto para Avisos de Facebook, en una entrevista realizada por ABC News . Según la ejecutiva, esta función serviría como una herramienta de reporte y votación para señalar a una publicación como ofensiva o poco interesante.

Esta función ya se encontraba disponible en Facebook para ocultar los avisos personalizados que aparecían en el lado derecho de la red social. Allí se podía especificar el motivo de la decisión, con opciones similares a las informadas por Simo.

De esta forma, esta opción de reporte se extendería al resto de las publicaciones en Facebook, de forma tal que la red social no sólo sepa qué cosas le gustan a los usuarios, sino también los motivos por el cual evitan ciertas fotos, actualizaciones y artículos en la plataforma.

Con esta modalidad, Facebook busca perfeccionar aún más su sistema de avisos personalizados, para que los anunciantes tengan mayores recursos para llegar de forma precisa al público deseado. La Nación 25/07/2013

DESARROLLO:

Definición: El conjunto de todos los n números reales ordenados se llama espacio numérico n-dimensional y se representa por Rn. Cada n-ada

x1,x2,x3,...,xn

se denomina punto en el espacio numérico n-dimensional o bien vector.

Producto Escalar:

El producto escalar, o bien, producto interno, o bien, producto interior, es una operación binaria definida sobre dos vectores de un mismo espacio numérico n -dimensional. El resultado de esta operación es un número real o escalar.

Sea u

u1,u2,...,un

y sea v

v1,v2,...,vn

vectores en R

n

se define el producto escalar entre ambos vectores, como:

n n n

i i

iv u v u v u v

u v

u. . 1.1 2. 2 ... .

1

  

 

(3)

   

2 2 12 2 . 2 / 1 4 . 3 0 . 2 . 2 , 4 , 0 2 / 1 , 3 , 2           v u v u Aplicaciones económicas:

Una empresa fabrica cuatros productos P1;P2;P3;P4 , cuyos costos de producción son respectivamente: 200; 250; 300; 520; con cantidad de unidades estimadas de demanda: 1000; 2000; 1500 y 2400 respectivamente. Si los datos se expresan en forma vectorial, el costo total de las unidades demandadas, se puede obtener mediante el producto interno entre el vector costo y el vector cantidad de unidades demandadas:



2398000 2400 * 520 1500 * 300 2000 * 250 1000 * 200 2400 1500, 2000, , 1000 . 520 , 300 , 250 , 200       CTUD CTUD CTUD

Si se tiene en cuenta que los valores de mercado por unidad, son: 300; 420; 530 y 700 (expresados en pesos argentinos) respectivamente, el ingreso total viene dado por el producto interno entre el vector cantidad de unidades demandadas y el vector precios



3615000 700 * 2400 530 * 1500 420 * 2000 300 * 1000 0 70 , 30 5 , 0 42 , 300 . 2400 1500, 2000, , 1000       IT IT IT Otra aplicación:

Se entiende por recta de balance o restricción presupuestaria, al conjunto de distintas combinaciones de dos bienes que pueden ser consumidas por un individuo, partiendo de una determinada renta o presupuesto y unos determinados precios de los bienes.

Un individuo tiene un ingreso de $20000, y lo destina en su totalidad a la compra de dos bienes B1;B2, si el vector precio es

500;200

, la ecuación de la recta balance es:

2 1 200* *

500

20000 qq , donde qi es la cantidad adquirida del bien i-ésimo. Expresada en forma segmentaria, dicha ecuación resulta ser:

(4)

Si el consumidor con la totalidad de su ingreso sólo desea adquirir el bien B1 la cantidad correspondiente es de 40 unidades; si por el contrario sólo desea adquirir el bien B2 la cantidad correspondiente es de 100 unidades.

Definición: Una función de n variables es un conjunto de pares ordenados de la forma (P, w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mimo primer elemento. P es un punto en el espacio n-dimensional y w es un número real. El conjunto de todos los posibles valores de P se llama dominio de la función y el conjunto de los posibles valores de w recibe el nombre de contradominio (o

ámbito o recorrido) de la función.

Definición: Si f es una función de n variables, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos

x1,x2,x3,...,xn,w

en Rn+1 para el cual

x1,x2,x3,...,xn

es un punto en el dominio de f y wf

x1,x2,x3,...,xn

Nota: El símbolo * denota la operación de multiplicación.

1°) Sea f la función con dos variables x y y, el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tal que:

y x y x y) f(x, y x y x z       

Tomado de El Cálculo con Geometría Analítica de Leithold. Determine:

a-f

-3,4

Se tiene entonces que P = (-3,4), por lo tanto:

7 1 7 1 4 3 4

3

       3,4 -f b-       3 1 , 2 1 f

En esta nueva situación P es el par       3 1 , 2 1

por lo tanto:

5 6 1 6 5 3 1 2 1 3 1 2 1            3 1 , 2 1 f

c- f

x1,y-1

Aquí estamos buscando el valor resultado para todo par de la forma

x1,y-1

2 1 1 1 1             y x y x y x y x ) ( 1 -y 1, x f

d-f

-x,y)- f(x,-y

(5)

0

 

      

   

       

    

y x

y x y x y x

y x y x

y x y x

y x y x

y x y x

f( , )

y x, -f

El resultado será siempre nulo.

e- Trace una gráfica que muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos en el dominio de f.

x y x y

 

x y x y

y

x

Domf( , )( , )/  0  ( , )/

2°) Sea f la función con dos variables x y y, el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tal que:

y x z 

Determine: a-z

 

1,-1

 

1,-1 11 00

z

b- 

    

3 2 , 3 1 z

1 1 3 2 3

1

      

3 2 , 3 1 z

c- z

x,-x

 

x,-x x(x) 0 0

z

Observe que el resultado es nulo, para cualquier para de la forma (x,-x), en el inciso a, habíamos obtenido el valor nulo para el par (1,-1); que es una situación particular.

d-z

x1,-x1

x1,-x1

x1(x1)22

z

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

0 5 10 15

(6)

El valor dos, se puede obtener para cualquier par cuya segunda coordenada sea la suma entre el negativo de la primera coordenada y la constante dos.

e- z

xk,yk

;kR

xk,yk

xkykxyz(x,y)

z

Conviene analizar que es posible obtener el mismo resultado para una infinidad de pares, con tal que la primera coordenada se incremente en k unidades y la segunda se decremente en ka unidades, con k real.

f- Determine el dominio de f.

2

R y x y x y x

Domf( , )( , )/( , )

3°) Sea g la función con dos variables x y y, el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tal que:

y x y) g(x, y x

z2    2

Tomado de El Cálculo con Geometría Analítica de Leithold. Determine:

a-g

 

3,5 Respuesta: 2 b- g

-4,-9

Respuesta: 5 c- g

x2,4x4

Respuesta: x x

d- 

  

 

2 x

3 ,-x 1 g

Respuesta:

x x

2 4

e- Trace una gráfica que muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos en el dominio de f.

Respuesta:

x y x y

 

x y x y

y x

(7)

4°) Sea z la función con dos variables x y y, el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tal que:

2 3

2

3 2 2

y xy x y x f y xy

x      

( , )

z

Determine: a-z

-2,3

Respuesta: 31

b- 

    

y 2 , x 1 z

Respuesta: 3 2

y 4 xy

4 x

1 y)

z(x,   

c-

k R

k 

;

y z(x, -k) y x, z

Respuesta: 2x2yk

d-

k

z(2,3 -k) 2,3

z

Respuesta: 2+k

e- Ídem que ejercicio anterior con k = 0,001 Respuesta: 2+0,001= 2,001

f- Ídem que ejercicio anterior con k = 0,00001 Respuesta: 2,00001

APLICACIONES ECONOMICAS

5°) Sea la función de costos de producción del artículo A;

y * x y * 3 x y) z(x,

C(A)  2 

0 10 20 30 40 50 60 70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

(8)

Donde x e y son los insumos del producto A, a-determine los siguientes costos:

a1) z(100,200) a2) z(x,2*x)

a1) z(100,200) = 30600

a2) z(x,2*x) = x26* x2x23x26* x3x*(x2) b-Determine tres posibilidades de producción para C(A) =20300 Tenga presente que:

y x

3 x 20300 2

 

Por ejemplo si el insumo x toma el valor 100 y el insumo y toma el valor 100, el costo de producción de A será:

20300 = z(100,100) =1002+3*100+1002

20300 = z(97,108,91)= 972+3*108,91+97 * 108,91 Observe que el insumo x ha decrecido y el insumo y ha crecido.

20300 = z(60, 284,1833..), Nuevamente, el insumo x ha decrecido y el insumo y ha crecido. Esta situación se ha de repetir ya que en la relación:

y x

x

 

3 20300 2

los signos de los insumos son contrarios. c- Grafique

6°) Sea la función de beneficios mensuales: 4z

1.5y 3x z) y,

B(x,   

Series2 Series6

Series10

0 5000 10000 15000 20000 25000

1 3

5 7

9

20000-25000

15000-20000

10000-15000

5000-10000

(9)

Donde x, y, z; son las cantidades mensuales vendidas de los productos de la empresa. Si se desea un beneficio mensual de 18000 u. m., ejemplifique seis posibilidades de venta que arrojen el mismo beneficio.

7°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.

9 y x

4 y)

f(x,

2 2

Dado que la función viene definida como cociente de dos funciones, se tiene que estudiar dónde se anula el denominador; pues es imposible definir el cociente a partir de dos números donde el denominador es cero.

El denominador es la función:

9 y x y)

g(x,22

que debe ser distinto de cero; o sea: 9

 

   

2 2

2 2

y x

0 9 y x y) g(x,

Por lo tanto :

  9

(x,y) R2 x2 y2

y)

Domf(x, / O sea es R2, exceptuada la circunferencia de centro (0,0) y radio 3.

8°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.

)

2 x -ln(y y) f(x,

Esta función estará definida donde el logaritmo sea positivo o cero; por lo tanto

2 2

2

1 1

0

x y

x y

x y

 

 

  ) ln(

Gráficamente:

(10)

9°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.

2y) (3x 18 y)

f(x,   

Respuesta: El dominio, es el semiplano que contiene al par (0,0) y cuyo borde es

9 1,5x y 

10°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.

2y) 3x y)

f(x,ln(

Respuesta: El dominio, es el semiplano que no contiene al par (0,0) y cuyo borde es

1,5x y

11°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.

2 2

4 4

y x

y x y) f(x,

  

Respuesta: El dominio es R2, excepto los pares cuya segunda coordenada coincide con su primer coordenada o cuya segunda coordenada coincide con el negativo de su primer coordenada.

12°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.

y 1 x 1 y) f(x,  

Respuesta: El dominio es R2, excepto los pares cuya primera coordenada es cero como así también los pares cuya segunda coordenada es cero.

13°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

1 2 3 4 5 6 7 8

(11)

3 4y 3 2x 6 y)

z(x,   

Como la función es una diferencia entre relaciones lineales de las variables independientes, es posible aplicarla a todo par real, por lo tanto:

2

R y) (x, y)

Domf(x,  

Y Ambf(x,y)

zR

Gráficamente:

14°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica: 2

2 y x 9 y)

z(x,   

Como la función es una radicación cuadrada, para obtener un valor real es necesario que el radicando sea positivo o nulo, por lo tanto:

(x,y) R /9 x y 0

y)

Domf(x,   222

Y Ambf(x,y)

zR/0z3

Gráficamente:

Series2 Series7

Series12

-15 -10 -5 0 5 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5-10

0-5

-5-0

-10--5

(12)

15°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica: 2

2

y x y)

z(x, 16 

Como la función es una diferencia entre cuadrados y un número real,no hay situaciones de indefinición, por lo tanto:

(x,y) R2

y)

Domf(x,  

Y Ambf(x,y)

zR/z16

Gráficamente

16°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica: 2

2

y x y)

z(x, 0,25 9

Como es una suma entre cuadrados, no hay situaciones de conflicto, por lo tanto:

S

er… S er… S

e

r… Ser…

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

1 2 3

4

5 6

7

2,5-3

2-2,5

1,5-2

1-1,5

0,5-1

0-0,5

S

erie

s

1

S

erie

s

3

S

erie

s

5

S

erie

s

7

S

erie

s

9

-100 -80 -60 -40 -20 0 20

1 2 3 4

5 6 7 8

9

0-20

-20-0

-40--20

-60--40

-80--60

(13)

(x,y) R2

y)

Domf(x,  

Y Ambf(x,y)

zR/z0

Gráficamente

17°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica:

y x y) z(x,  

Como la función es una radicación cuadrada, para obtener un valor real es necesario que el radicando sea positivo o nulo, por lo tanto:

(x,y) R /x y 0

y)

Domf(x,   2  

Y Ambf(x,y)

zR/0z

Gráficamente:

Series1 Series5

Series9

0 50 100 150 200 250

1 3

5 7

9

11

200-250

150-200

100-150

50-100

0-50

S… S… S… S… S… S… S… S… S… 0

0,5 1 1,5 2 2,5 3

1

5

9

2,5-3

2-2,5

1,5-2

1-1,5

0,5-1

(14)

APLICACIONES ECONOMICAS:

18°) La función de producción –en una empresa- viene dada a partir de los insumos, a partir de la siguiente regla:

z * 0,45 y * 0,25 x * 0,3 z) y,

P(x,   

donde x, y, z, son los insumos necesarios para generar el producto final de la empresa. Cuál es el dominio para esta función de producción; y cuál el ámbito. Es evidente que los insumos no pueden tomar valores negativos, por lo tanto el dominio es:

(x;y;z)/x 0;y 0;z 0

z) y;

DomP(x;     ;

u(x;y;z)/u 0

z) y;

AmbP(x;  

Imagine si el producto es pan: que depende de harina de trigo (en algunos casos) ; agua; levadura de cerveza (en algunos casos) ; sal (en algunos casos) o conservantes (en algunos casos)

Podría pensarse un pan con una cantidad de harina de trigo menor a cero; y la cantidad producida de pan menor a cero?

Y si se está pensando en un tributo a las ganancias; sería lógico pensar aplicar el tributo indiscriminadamente a las operaciones gestadas en las diversas sociedades interactuantes? tómese como ejemplo las ONG.

Definición: Las curvas de nivel se definen como el lugar Geométrico de las combinaciones de los diversos inputs (variables independientes) que da un nivel constante de ouput (variable dependiente). Mediante este tipo de curvas, podemos conocer el comportamiento de la función en forma aproximada.

19°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas de niveles en los números dados.

3 4y 3 2x 6 y)

z(x,   

z = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ,4, -4

(15)

) ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; ; 2 x 2 15 (x 2 x 2 15 y 3 2x 3 4y 3 4y 3 2x 6 z 2 x 2 3 (x 2 x 2 3 y 3 2x 3 4y 3 4y 3 2x 6 4 z 2 x 4 27 (x 2 x 4 27 y 3 2x 3 4y 3 4y 3 2x 6 3 z 2 x 4 9 (x 2 x 4 9 y 3 2x 3 4y 3 4y 3 2x 6 z 2 x (x 2 x y 3 2x 3 4y 3 4y 3 2x 6 z 2 x (x 2 x y 3 2x 3 4y 3 4y 3 2x 6 z 2 x 4 21 (x 2 x 4 21 y 3 2x 3 4y 3 4y 3 2x 6 1 z 2 x 4 15 (x 2 x 4 15 y 3 2x 3 4y 3 4y 3 2x 6 1 z 2 x 2 9 (x 2 x 2 9 y 3 2x 6 3 4y 3 4y 3 2x 6 0 z                                                                                                        10 4 2 9 3 3 6 6 8 2 3 3 4 2 7 5

Observe que ha obtenido pares que pertenecen a rectas con pendiente –0.5; para cada valor de z, se obtiene un conjunto de pares que pertenecen a una de las ilimitadas rectas paralelas con pendiente –0.5

z(x;y) z=-4 z=-3 z=-2 z=-1 z=0 z=1 z=2 Z=3 z=4

x 7,5-0,5*x 6,75-0,5*x 6-0,5*x 5,25-0,5*x 4,5-0,5*x 3,75-0,5*x 3-0,5*x 2,25-0,5*x 1,5-0,5*x

-3 9 8,25 7,5 6,75 6 5,25 4,5 3,75 3

-2,5 8,75 8 7,25 6,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75

-2 8,5 7,75 7 6,25 5,5 4,75 4 3,25 2,5

-1,5 8,25 7,5 6,75 6 5,25 4,5 3,75 3 2,25

-1 8 7,25 6,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75 2

-0,5 7,75 7 6,25 5,5 4,75 4 3,25 2,5 1,75

0 7,5 6,75 6 5,25 4,5 3,75 3 2,25 1,5

0,5 7,25 6,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75 2 1,25

1 7 6,25 5,5 4,75 4 3,25 2,5 1,75 1

1,5 6,75 6 5,25 4,5 3,75 3 2,25 1,5 0,75

2 6,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75 2 1,25 0,5

2,5 6,25 5,5 4,75 4 3,25 2,5 1,75 1 0,25

3 6 5,25 4,5 3,75 3 2,25 1,5 0,75 0

3,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75 2 1,25 0,5 -0,25

4 5,5 4,75 4 3,25 2,5 1,75 1 0,25 -0,5

(16)

Todas las rectas están entre sí a una distancia de 0,75; si tomamos pares de la

forma: ; )

2 x 2 9

(x  , arrojarán valores de z=0, y si tomamos pares de la forma:

) ;

2 x 4 15

(x  , arrojarán valores de z=1, y como sucede lo mismo para todos los valores de z que distan una unidad, podemos afirmar que para obtener un salto de una unidad en z, necesito tomar pares ordenados que pertenezcan a rectas con pendiente –0,5 que disten entre sí 0,75. O sea el incremento de z es constante para cualquier par de pares ordenados que teniendo la misma primera ordenada y pertenecientes a rectas con pendiente –0,5 disten un valor constante.

20°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas de niveles en los números dados.

y * x * 3 y) z(x,

z = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Para ello debemos hacer variar los valores de z en función de los dados en el enunciado del ejercicio; tenga presente que ha de quedar una función que arroja el mismo valor para distintos pares del dominio de z(x;y).

-2 0 2 4 6 8 10

-3

-2

,5 -2

-1

,5 -1

-0

,5 0

0

,5 1

1

,5 2

2

,5 3

3

,5 4

Y

X

MAPA DE CONTORNOS PARA Z(X;Y)

(17)

) ; * ) ; * ) ; * ) ; * ) ; * ) ; * x 2 (x x * 3 6 y y * x 6 z x * 3 5 (x x * 3 5 y y * x 5 z x * 3 4 (x x * 3 4 y y * x 4 z x 1 (x x * 3 3 y y * x z x * 3 2 (x x * 3 2 y y * x z x * 3 1 (x x * 3 1 y y * x 1 z                               3 3 3 3 3 3 2 3

z(x;y) z=1 z=2 z=3 z=4 z=5 z=6 x 1/(3*x) 2/(3*x) 1/x 4/(3*x) 5/(3*x) 2/x -10 -0,033333 -0,066667 -0,1 -0,133333 5/(3* -0,166667 -9 -0,037037 -0,074074 -0,111111 -0,148148 -0,185185 -8 -0,041667 -0,083333 -0,125 -0,166667 -0,208333 -7 -0,047619 -0,095238 -0,142857 -0,190476 -0,238095 -6 -0,055556 -0,111111 -0,166667 -0,222222 -0,277778 -5 -0,066667 -0,133333 -0,2 -0,266667 -0,333333 -4 -0,083333 -0,166667 -0,25 -0,333333 -0,416667 -3 -0,111111 -0,222222 -0,333333 -0,444444 -0,555556 -2 -0,166667 -0,333333 -0,5 -0,666667 -0,833333 -1 -0,333333 -0,666667 -1 -1,333333 -1,666667 1 0,3333333 0,6666667 1 1,3333333 1,6666667 2 0,1666667 0,3333333 0,5 0,6666667 0,8333333 3 0,1111111 0,2222222 0,3333333 0,4444444 0,5555556 5 0,0666667 0,1333333 0,2 0,2666667 0,3333333 6 0,0555556 0,1111111 0,1666667 0,2222222 0,2777778 7 0,047619 0,0952381 0,1428571 0,1904762 0,2380952 8 0,0416667 0,0833333 0,125 0,1666667 0,2083333 9 0,037037 0,0740741 0,1111111 0,1481481 0,1851852 10 0,0333333 0,0666667 0,1 0,1333333 0,1666667 11 0,030303 0,0606061 0,0909091 0,1212121 0,1515152 12 0,0277778 0,0555556 0,0833333 0,1111111 0,1388889 13 0,025641 0,0512821 0,0769231 0,1025641 0,1282051 CONTINUACION DE LA TABLA

(18)

NO ESTA DEFINIDO PARA X=0 Observe –a diferencia del ejercicio anterior- que a variaciones constantes de z, no se dan variaciones constantes en las variables independientes.

Herramientas de Gestión: el ideal llevado a la práctica

Un productor que cultiva el orden como un bien necesario para el éxito.

Para Marcos Rodrigué, que gerencia 25000 hectáreas, la consigna es obtener el mayor provecho de cada actividad.

En la empresa La Redención el orden de las cuentas avala el resultado positivo Las estrategias de comercialización y la compra de insumos adquieren un rol protagónico.

Avances tecnológicos, organismos genéticamente modificados, gerenciamiento, mercado de futuros, Internet: Bienvenidos al campo de hoy. Si bien cada uno de los términos enumerados encierra posibilidades de crecimiento, ninguno asegura –en sí mismo- rentabilidad. Sólo a partir de su correcta utilización comienzan a percibirse los resultados....

Suplemento Campo La Nación 22/7/2000

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

-1

0 -8 -6 -4 -2 1 3 5 7 9

11 13 15 17

y

x

Mapa de Contornos

(19)

21°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas de niveles en los números dados.

2 2

y x 9 y)

z(x,   

z = 0, 0,5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3.

22°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas deniveles en los números dados.

2 2

y x 16 y)

z(x,    z = 16, 1 2, 8, 4, 0, -4.

23°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas de niveles en los números dados.

2 2

y x y)

f(x, 4 9 f=0, 1 2,3.

APLICACIONES ECONÓMICAS DE LAS CURVAS DE NIVEL.

Como se definió anteriormente es el lugar geométrico de las combinaciones de los diversos inputs –variables independientes que da un nivel constante de ouput -variable dependiente-.

Como consecuencia: 1º- el ámbito de estas curvas está totalmente incluido en el primer cuadrante –para el caso de dos variables independientes-; en el primer octeto para el caso de tres variables independientes, y así sucesivamente; 2º son decrecientes, pues al aumentar el valor de una de las variables independientes, disminuye el valor de otra variable independiente o los valores de otras variables independientes para mantener constante el resultado.

Curva de indiferencia: Es por naturaleza una curva de isovalor. Se usa en modelos de consumos; a diferencia de las isocuantas que se usan en modelos de producción. Se define como el lugar Geométrico de las combinaciones de los diversas cantidades -variables independientes- para las cuales el consumidor obtiene nivel constante de utilidad - ouput, variable dependiente-.

24°) Grafique las curvas de indiferencias; para la función de utilidad dependiente de las cantidades de producido del producto A y del producto B, dada por la relación:

qA qB

qAqb

f ; 4

Para

;

100 50 ;

36 ;

20 ;

   

B A

B A

B A

B A

q q f

q q f

q q f

(20)

Analice si las gráficas obtenidas tienen elementos en común; intente explicar lo observado.

qA qB=5/qA qB=9/qA qB=15/qA qB=25/qA

1 5 9 15 25

1,7 2,9411765 5,2941176 8,8235294 14,705882 2,1 2,3809524 4,2857143 7,1428571 11,904762

2,5 2 3,6 6 10

(21)

Observe que son:

Decrecientes, pues al aumentar la cantidad de un bien, necesariamente debe disminuir la cantidad del otro, a los efectos de obtener la misma utilidad.

Son cóncavas hacia arriba

No se interceptan, pues la utilidad es única; si se cortaran existiría un combinación de insumos que arrojaría dos o más niveles de utilidad para un mismo consumidor. 25°) 1.Grafique las isocuantas, para la función de producción dependiente de los insumos A y B, dada por la relación:

2 B

B A 2 A B

A;q -10-2q 4q q 6q q

Q    

qA;qB

3 Q

Para: Q

qA;qB

4

qA;qB

5 Q

2. Determine el intervalo relevante.

qa qb/Q=3 qb/Q=4 qb/Q=5

0,1 16,1044 24,3444 34,5844 0,2 13,7584 21,3184 30,8784 0,3 11,8804 18,8404 27,8004 0,4 10,3984 16,8384 25,2784

0,5 9,25 15,25 23,25

0,6 8,3824 14,0224 21,6624

0,7 7,7524 13,1124 20,4724

0 5 10 15 20 25 30

qB

qA

Curvas de Indiferencia

qB=5/qA

qB=9/qA

qB=15/qA

(22)

0,8 7,3264 12,4864 19,6464

0,9 7,0804 12,1204 19,1604

1 7 12 19

1,1 7,0804 12,1204 19,1604

1,2 7,3264 12,4864 19,6464

1,3 7,7524 13,1124 20,4724

1,4 8,3824 14,0224 21,6624

1,5 9,25 15,25 23,25

1,6 10,3984 16,8384 25,2784 1,7 11,8804 18,8404 27,8004 1,8 13,7584 21,3184 30,8784 1,9 16,1044 24,3444 34,5844

2 19 28 39

2,1 22,5364 32,3764 44,2164

El intervalo relevante es para los valores de qA menores a 1, ya que es en dicho intervalo que cada una de las curvas de isovalor son decrecientes; o lo que es lo mismo decir que se que a mayor cantidad de qA menor cantidad de qA . Ya que el empresario desea el mismo nivel de producción sin incrementar sus costos por compra de insumos. Piense que si crecen las cantidades consumidas de ambos insumos, para el mismo nivel de producción, crece el monto a invertir en la adquisición de los insumos respectivos.

Por lo tanto el intervalo relevante es aquél donde el signo de la primera derivada de la isocuanta es negativo.

26°) Grafique las isocostes para la función de costos dependiente de las cantidades insumidas del insumo A y del insumo B, dada por la relación:

2

4

; B A B

A x x x

x

C  

Donde los costos unitarios respectivos son 4 y 1 u.m.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

ISOCUANTAS

Series2

(23)

Para:

;

400 200 ; 100 ;    B A B A B A x x C x x C x x C

27°) Grafique las isoingresos para la función de ingresos dependiente de las cantidades del producto A y del producto B, dada por la relación:

qA;qB

4qA 3qb

I  

Donde los precios unitarios respectivos son 4 y 3 u.m.

Para:

q ;q

240 I 120 q ; q I 90 q ; q I B A B A B A   

Definición: La función composición de dos leyes, f :RRg:R2 R, denotada por

fg

 

x;y , se define como :

f g

 

x;y f

g

 

x;y

y)

h(x;   

Donde el dominio de la ley denotada por f debe ser congruente con el ámbito de la ley denotada por g ó bien debe contenerlo.

28°) Calcule h(x;y)

fg

 

x;y y obtenga el dominio de h y los valores resultantes para los pares: (0;0), (0;1), (1;0),(lne;0)

y x y) g(x; e f(t) t   

 

 

x y

e y x f y x; g f y x; g f y)

h(x;       

El dominio de h es el conjunto de todos los pares pertenecientes al plano real.

(x,y)/x R,y R

y) h(x,

Dom   

 

 

f g

 

0;1 f

g

 

0;1

f 0 e e h(0;1) 1 e 0 f 0;0 g f 0;0 g f h(0;0) 0             1 1 0  

 

 

f g



lne;0

f

g

lne;0

f lne e 1 h(lne;0) h(0;1) 1 e 1 f 1;0 g f 1;0 g f h(1;0) 1             e ln   0

(24)

y y * x 2x y) g(x; 1 3t t f(t) 2 2      

f g

 

x;y f

g

 

x;y

f

2x x*y y

 

2x x*y y

 

32x x*y y

1 y)

h(x;     2   2  2 2  

El dominio de h(x,y) es el conjunto de todos los pares pertenecientes al plano real, cuyas coordenadas multiplicadas den un resultado positivo o cero:

(x,y) R /x*y 0

y) h(x,

Dom   2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f g

 

1;1 f

g

 

1;1

f

2*1 1*1 1

 

2*1 1*1 1

 

32*1 1*1 1

1 1 h(1;1) 1 1 0 0 * 1 1 * 2 3 0 0 * 1 1 * 2 0 0 * 1 1 * 2 f 1;0 g f 1;0 g f h(1;0) 6 1 1 1 * 0 0 * 2 3 1 1 * 0 0 * 2 1 1 * 0 0 * 2 f 0;1 g f 0;1 g f h(0;1) 1 1 0 0 * 0 0 * 2 3 0 0 * 0 0 * 2 0 0 * 0 0 * 2 f 0;0 g f 0;0 g f h(0;0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                          

30°) Calcule h(x;y)

fg

 

x;y y obtenga el dominio de h y los valores resultantes para los pares: (0;0), (3;1), (1;3),(l;1)

2 2 2 3 y y * 3x 0,25x y) g(x; t 3t t f(t)       APLICACIONES ECONOMICAS

31°) Suponga que la función de costos está dada por: 2 2 y 0,1 xy * 2 0,25x y)

C(x;    *

Y que la función beneficio viene dada por: c * 0.0015 c * 0.00002

B(c)2

Calcule –usando composición de funciones- el beneficio para la producción que corresponde a los insumos:

(100;90) = y) (x; -31.1 (100;200) = y) (x; -31.2 Respuesta:

31.1

BC



100;90

B

C

100;90

21310 90 0,1 90 * 100 * 2 100 * 0,25

C(100;90)2  * 2

9082,54 21310 * 0.0015 21310 * 0.00002

B(c)2 

32°) Suponga que la función de costos está dada por: 2 2 y 0,15 y * x * 2 0,1x y)

(25)

Y que la función beneficio viene dada por: 3 c * 0.015 c

* 0.025

B(c) 

Calcule –usando composición de funciones- el beneficio para la producción que corresponde a los insumos:

(100;20) =

y) (x; -32.2

(10;90) =

y) (x; -32.1

Función de producción de Cobb-Douglas: muy utilizada en el análisis económico, viene dada por una regla de la siguiente forma (puede interpretarse como un promedio geométrico entre las variables intervinientes):

1 β 0

1 α 0

0 A

y * x * A y)

Q(x; α β

 

 

 

Suele suceder que: α 1 β 

Qué significado tiene la constante A? Para valores dados de x e y, la magnitud de A afectará proporcionalmente al nivel de Q. De ahí que A pueda considerarse como un parámetro de eficiencia, es decir como un indicador del estado de tecnología. Ver Métodos Fundamentales de Economía Matemática Alpha Chiang (págs. 422-424 Edición 1987)

33°) La función de producción f para una cierta mercancía tiene los valores de la función:

3 2 3 1

y * x * 4 y) f(x;

donde x e y son las cantidades de dos insumos. Dibuje un mapa de contornos de f donde se muestren las curvas de producción constantes en 16, 12, 8, 4 y 2.

(x;y) 4^1,5*(x^-0,5) 3^1,5*(x^-0,5) 2^1,5*(x^-0,5) 1*(x^-0,5) 0,5^1,5(x^-0,5) 0,1 25,29822128 16,43167673 8,94427191 3,16227766 1,118033989

0,5 11,3137085 7,348469228 4 1,414213562 0,5

1 8 5,196152423 2,828427125 1 0,353553391

1,5 6,531972647 4,242640687 2,309401077 0,816496581 0,288675135

2 5,656854249 3,674234614 2 0,707106781 0,25

2,5 5,059644256 3,286335345 1,788854382 0,632455532 0,223606798

3 4,618802154 3 1,632993162 0,577350269 0,204124145

3,5 4,276179871 2,777460299 1,511857892 0,534522484 0,188982237

4 4 2,598076211 1,414213562 0,5 0,176776695

(26)

5 3,577708764 2,323790008 1,264911064 0,447213595 0,158113883 5,5 3,411211462 2,215646838 1,206045378 0,426401433 0,150755672 6 3,265986324 2,121320344 1,154700538 0,40824829 0,144337567 6,5 3,137858162 2,038098661 1,109400392 0,39223227 0,138675049 7 3,023715784 1,963961012 1,069044968 0,377964473 0,133630621 7,5 2,921186973 1,897366596 1,032795559 0,365148372 0,129099445

8 2,828427125 1,837117307 1 0,353553391 0,125

8,5 2,743977362 1,782265577 0,9701425 0,34299717 0,121267813

34°) La función de producción f para una cierta mercancía tiene los valores de la función:

4 3 4 1

T * C * 10 y) f(x;

donde C es el capital y T es el trabajo. Dibuje un mapa de contornos de f donde se muestren las curvas de producción constantes en 40, 20, 10, 5 y 2.

La función de Arrow: es la denominada elasticidad de sustitución constante (ESC), cuya ley de generación de la segunda coordenada a partir de la primera coordenada es única (no está definida por tramos) y tiene la siguiente modalidad:

0 5 10 15 20 25 30

Mapa de contornos -curvas de producción constante-

y=4^1,5*(x-^0,5) y=3^1,5*(x-^0,5) y=2^1,5*(x-^0,5) y=1*(x-^0,5) y=0,5^1,5*(x-^0,5)

(27)

Donde K y L representan dos factores de producción, y A, δ y ρ son tres parámetros.

El parámetro de eficiencia A, es un indicador del estado de la tecnología, desempeña el mismo rol que el coeficiente A en la función de Cobb-Douglas. El parámetro de distribución (aquí claramente se hace referencia al concepto de distribución de una variable y si hay incertidumbre estamos hablando de la distribución de la variable aleatoria factores de producción) que viene denotado por δ, tiene por lo tanto que ver con la participación relativa de cada uno de los factores en el producido. Se puede hacer una analogía con α de la función de Cobb-Douglas.

El parámetro de sustitución denotado por ρ es el que determina el valor de la elasticidad de sustitución (constante) y no tiene correspondencia en la función de Cobb-Douglas.

Si hemos hablado de variable aleatoria es válido hablar de Valor Esperado de la misma y por la tanto es válido hablar de la realización empírica del citado parámetro y en este caso corresponde el promedio armónico.

También debe tenerse en cuenta, que como en estadística los parámetros poblacionales se denotan con letras griegas y las realizaciones de las variables muestrales se denotan con letras de nuestro alfabeto.

La función ESC, como todas las funciones de producción linealmente homogéneas, da como resultado en términos de rendimientos constancia de los mismos a escala; se le puede aplicar el teorema de Euler; y los productos promedios y los productos marginales son homogéneos de grado cero en la variables K y L.

La función de Cobb-Douglas (vale hablar también de promedio, pero en este caso de promedio geométrico) que es linealmente homogénea es un caso especial de la función ESC también linealmente homogénea. Si se acepta que el parámetro de sustitución puede variar (aquí tenemos una correspondencia con la estadística bayesiana) se tiene que:

Con lo cual se puede afirmar que la función ESC converge a la función de Cobb-Douglas.

Por lo tanto se tienen varios conjuntos de pares ordenados que son realmente funciones cada uno de ellos; sólo que en un caso la primera coordenada es un par para las variables no estocásticas K y L (constructo que se estudia en Análisis Matemático II de EEYN de UNSAM) ; en otro caso la primera coordenada es δ (constructo que se estudia en el cuerpo del análisis matemático o de la estadística) y en otro caso la primera coordenada es ρ (otro constructo que también se estudia en el cuerpo del análisis matemático o de la estadística)

Se adjuntan tablas que comprueban las convergencias citadas up-supra

 

0

;

0

1

;

1

,

0

L

AK

1

;

1/ 1

-0

  

    

A

L

K

(28)

Dos visiones de la grafica de la ley de arrow especificada en el cuadro de algunas isocuantas de dicha ley

A= 3

α= 0,5 -0,02 0,02 0,01 0,009 -0,02 0,02 0,01 0,009

K L Q(K;L) DE C-D

5 2 9,506766208 9,466941547 9,476881941 9,477876569 9,486832981 0,019933228 -0,01989 -0,00995104 -0,008956412

5 5 15 15 15 15 15 -4,44089E-14 0 -1,54543E-13 -1,56319E-13

5 8 18,98414719 18,96319052 18,9684275 18,96895128 18,97366596 0,010481224 -0,01048 -0,005238456 -0,004714677 8 5 18,98414719 18,96319052 18,9684275 18,96895128 18,97366596 0,010481224 -0,01048 -0,005238456 -0,004714677

8 8 24 24 24 24 24 8,88178E-14 7,11E-14 3,48166E-13 -2,30926E-13

8 11 28,14963047 28,13536045 28,13892728 28,13928398 28,14249456 0,007135914 -0,00713 -0,003567283 -0,003210575 11 8 28,14963047 28,13536045 28,13892728 28,13928398 28,14249456 0,007135914 -0,00713 -0,003567283 -0,003210575

11 11 33 33 33 33 33 -1,49214E-13 0 -4,83169E-13 1,63425E-13

11 14 37,23443435 37,22360832 37,22631453 37,22658516 37,22902094 0,005413408 -0,00541 -0,002706411 -0,002435779 14 11 37,23443435 37,22360832 37,22631453 37,22658516 37,22902094 0,005413408 -0,00541 -0,002706411 -0,002435779

14 14 42 42 42 42 42 -2,55795E-13 -2E-13 -4,33431E-13 -1,42109E-13

14 17 46,28610772 46,27738441 46,27956509 46,27978316 46,28174586 0,004361859 -0,00436 -0,002180776 -0,001962703 ρ=

Q(K;L) DE ARROW

Diferencia entre Q(K;L)DE AROW y Q(K;L) DE C-D

A= 3

α= 0,3 -0,02 0,02 0,01 0,009 -0,02 0,02 0,01 0,009

K L Q(K;L) DE C-D

5 2 7,912265262 7,884413795 7,891341922 7,89203601 7,898293226 0,013972036 -0,01388 -0,006951304 -0,006257216

5 5 15 15 15 15 15 -4,08562E-14 1,01E-13 -1,5099E-13 3,73035E-14

5 8 20,85338023 20,83404159 20,83888365 20,83936758 20,84372079 0,009659443 -0,00968 -0,004837138 -0,004353202 8 5 17,27941256 17,26338829 17,26738543 17,26778547 17,27138852 0,008024038 -0,008 -0,004003098 -0,003603056

8 8 24 24 24 24 24 9,59233E-14 2,45E-13 3,55271E-13 8,17124E-14

8 11 29,99960539 29,98683028 29,99002761 29,99034722 29,99322258 0,006382811 -0,00639 -0,003194966 -0,002875363 11 8 26,41159444 26,40034726 26,40315502 26,40343595 26,40596548 0,005628965 -0,00562 -0,002810453 -0,002529529

11 11 33 33 33 33 33 -1,49214E-13 0 -4,83169E-13 1,63425E-13

11 14 39,07344408 39,06390085 39,06628874 39,06652745 39,06867524 0,004768841 -0,00477 -0,002386504 -0,002147792 14 11 35,48032761 35,47166196 35,47382608 35,47404258 35,47599173 0,004335881 -0,00433 -0,002165653 -0,001949156

14 14 42 42 42 42 42 -2,41585E-13 -1,8E-13 -4,1922E-13 4,12115E-13

14 17 48,11807808 48,11046036 48,11236616 48,11255669 48,11427104 0,003807036 -0,00381 -0,001904885 -0,001714355 Q(K;L) DE ARROW

ρ= Diferencia entre Q(K;L)DE AROW y Q(K;L) DE C-D

1

;

5

,

0

;

3

0

,

1

;

1

0

;

0

1

1/

  

  

A

A

L

K

A

Q

ARROW

DE

LEY

0;0 1

(29)

0 15

30 45

60 75

90

0 50 100 150 200 250 300

0

25

50

75

Q

:

ca

ntida

d pro

du

cida

K: capital - L: trabajo

Función de Arrow para los Parámetros Consignados Up-Supra

250-300

200-250

150-200

100-150

50-100

(30)

0 10

20 30 40 50

60 70 80 90

0 50 100 150 200 250 300

0

25

50

75

Q:

CANTID

A

D

PROD

UCI

D

A

K: CAPITAL; L: TRABAJO

250-300

200-250

150-200

100-150

50-100

0-50

0 50 100 150 200 250 300 350

0 20 40 60 80 100 120

K

:

ca

pita

l

L: trabajo

Mapa de Isocuantas para la Ley Definida Up-supra

Isocuanta Q=50

Isocuanta Q=100

Isocuanta Q=150

Isocuanta Q=200

Isocuanta Q=250

(31)

Definición: se dice que z es la resultante de una ley implícita de (x;y), si viene dada indirectamente por una relación funcional de la forma:

0 )) ; ( ; ; (

, , 0 ) ; ; (

 

y x f y x F

bien o z y x F

35°) Sea la función implícita que relaciona cantidades producidas:

c

q  

-10 4qA 6qAqB

0

Determine la forma explícita para qB.

Figure

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