Soluciones de límites de funciones y continuidad en PAU CyL

(1)

Soluciones de límites de funciones y continuidad en PAU CyL

1.- b) Calcular

0

cos (2 ) e sen ( )

lim

x

x x

 

 

 . (1 punto) (PAU junio 2011)

Solución 5

2

 . Nota:

ˆ L'Hopital

0 0

1 1 0 0 0 1 1 0

cos (2 ) e 2sen (2 ) e 1

=

0 0 0 0 0

sen ( ) sen ( ) cos ( )

lim

x

lim

x

x x

x x x

x x x x x

 

 

   

  _ _     _ _ _

  _  

     

ˆ L'Hopital

0 0

4 1 5 4cos (2 ) e 4cos (2 ) e

=

2 0 2 cos ( ) cos ( ) sen ( ) 2cos ( ) sen ( )

lim

x

lim

x

x x

x x x x x x x

 

 

 

  _   _ _{ }



  

2.- a) Hallar el valor de los parámetros reales a y b para los que la función:

2

sen ( )

si 0 ( )

si 0 x a x

x

f x x

x b x



 _

  

 _ _



es continua en . (1,5 puntos) (PAU junio 2011)

Solución 1 , 0

a b . Nota: f x( ) tiene que ser continua en

0

lim

( ) (0) x

x f x f



  

2

0 0

ˆ L'Hopital

como existe el límite 1 0 1 2

0 0 0

ˆ L'Hopital

0 0

(0) 0

( ) ( )

sen ( ) 0 cos ( ) 1

( ) =

0 2 0

cos ( ) 1 0 =

2 0

lim

x x

a a

x x x

x x

f b b

f x x b b

x a x x a a

f x

x x

 

  



 

   

  

 

  

    

 _{ }  

    

 _{  }

 

0 0 0

sen( ) 0 0

2 2

Luego

lim

( )

lim

( )

lim

( ) 0

x x x

x

f x f x f x b



 

  

        

  _{ }

 

 _ _ _ _

  

3.- a) Estudiar la continuidad de la función ( )f x  x 1 en el intervalo



2, 2



. (0,5 puntos)

(PAU septiembre 2011) Solución





La función es continua en 2, 2 . Nota: Se escribe la función a trozos ( ) ( 1) si 1 0

( 1) si 1 0

x x

f x

x x

   



 _{ }

  



1 si -2 1 ( )

1 si 1 2

x x

f x

x x

  



 _{ }

  

 . La función f es continua en



2,1

 

 1, 2



por coincidir en cada uno de esos intervalos con funciones polinómicas, que son continuas siempre y, en particular en dichos intervalos.

(2)

1 1

1

1 1

1 1 1

(1) 1 1 0

lim ( ) lim (1 ) 0

( ) (1) ( ) es continua lim ( ) lim ( 1) 0

Luego lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0

lim

x x

x

x x

x x x

f

f x x

f x f f x

f x x

f x f x f x

 

 

 

 

_ 

 



 



_ 

 



 



 



 



_ 

 



 



 

  



  



  

  

en x1

Luego f x( ) es continua en



2, 2



.

4.- a) Si el término independiente de un polinomio p x( ) es 5 y el valor que toma p x( ) para x3 es 7 , ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo

 

0,3 ? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen. (1,5 puntos) (PAU junio 2010G)

Solución

Sí se puede asegurar que existe al menos un punto c(0,3) tal que ( )p c 2 . Nota: Utilizando el teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux, consecuencia del teorema de Bolzano, que asegura que si una función f es continua en un intervalo cerrado

 

a b, alcanza todos los valores comprendidos entre f a( ) y f b( ). En nuestro caso:

 

La función ( ) es continua en 0,3 , por ser polinómica ( ) toma, al menos una vez, todos los valores intermedios entre (0) 5 y (3) 7. Como 2 ( 5,7) entonces (0,3) tal que ( ) 2.

p x p x

p p c p c



       

5.- Hallar el valor de a para que se verifique que

5 2 3

2 0

2

2 1 _{sen ( )}

lim

x

x x

x a x x

x _x



 

 

  _

 _ 

  . (2,5 puntos) (PAU junio 2010G)

Solución 1

a  . Nota: Calculamos ambos límites y ponemos la condición de igualdad.

 

2 2 2 1

5 lim ( 5) 1 lim ( 5)

2 1 2 1

( 1) 5 5 ₁

lim

2 1 ₂

2

1 e e

2 1

e e .

lim

x x

x

x a x a x

x x x

x x

x

a x a _a

x x a

x

 





       

 _  _  __ _   _



      



  

  

 _ 

 



  _ _ _ _

 _ 

 

 

ˆ ˆ

L'Hopital L'Hopital

2 3 2

2

0 0

2 2

0 0

0 2 3 0

= =

0 2sen( ) cos(x) 0 sen ( )

2 6 2 6 2

1 2 cos( ) cos(x) + 2sen( ) ( sen( )) _{2 cos ( )} _{2sen ( )} 2

lim

x x

x x x x

x x

x x x _x _x

 

 _   _ 

   

   

 

  

 _

1

1 a

a 

(3)

6.- Sean ( ) 2

x x

f x   y

2

3 si 0 ( )

si 0

x x

g x

x x

 

 



 . Hallar g f x



( )



. (1 punto) (PAU septiembre 2010E)

Solución





3 si 0

( )

0 si 0

x x

g f x

x

 

  _

 . Nota: Ponemos f x( ) a trozos y luego hallamos la función compuesta g f

( )

si 0 2

( ) 2

si 0 2

x x

x x x

f x

x x

x

 

 _



 _

 _{ }



 _



( ) si 0 0 si 0 2

x x

x x f x

x



 

  _{ }













Si 0 ( ) ( ) 3 Si 0 ( ) (0) 3 0 0

x g f x g x x

x g f x g

   

     





3 si 0 ( )

0 si 0

x x

g f x

x

 

 _{ }





7.- Calcular el límite





sen( )

0

ln 2 e 1

lim

x x

x 

. (1 punto) (PAU septiembre 2009)

Solución

ln 2 . Nota:





sen( ) _L'Hopital_ˆ

0 0 0

ln 2 _{sen( ) ln 2} ₀ _{cos( ) ln 2}

= ln 2

0

e 1 e 1 e

lim

x

x x x

x x

  

   

 _{ } 

 

 

8.- Probar que la ecuación x2009 ex  2 0 tiene alguna solución. (1 punto) (PAU septiembre 2009) Solución

La función f x( )x2009ex 2 es continua en



 2, 1



, por ser suma de funciones continuas  x . Además

2009 2

2009 1

( 2) ( 2) e 2 0

1 1

( 1) ( 1) e 2 1 2 1 0

e e

f f

 

      

 

            



 sign ( 2)f  sign ( 1)f 

(4)

9.- Calcular

2

3 2

0

sen (2 )

lim

x

x x x

 _ . (1 punto) (PAU junio 2008)

Solución 4 . Nota:

ˆ

2 L'Hopital

3 2 2 2

0 0 0

sen (2 ) 0 2 sen(2 ) cos(2 ) 2 4 sen(2 ) cos(2 ) =

0 ₃ ₂ ₃ ₂

lim

x x x

x x x x x

x x x x x x

  

    

 

_{ }  

 

  

ˆ L'Hopital

2

0 0 0

2 sen(4 ) 0 2 cos(4 ) 4 8 cos(4 ) 8 1 8

= 4

0 6 2 6 2 0 2 2

3 2

lim

x x x

x x

  

      

 _{ }    

  

  

10.- Dada

2

sen ( )

si 0 ( )

2 si 0 x

x

f x x

x x x



 

 

 _ _



, se pide:

a) Estudiar la continuidad de la función f x( ). (1 punto) (PAU junio 2008) Solución

( ) es continua xf x   . Nota: La función f es continua en (, 0)por ser igual a una polinómica, continua  x y en particular en (, 0). La función f es continua en (0,) por ser igual a

2

sen (x ) x , que es un cociente de funciones continuas  x y en particular en (0,), no anulándose el divisor. Veamos si f es continua en x0.

2

0 0

ˆ L'Hopital

2 2

0

0 0 0

(0) 0 0 0

lim ( ) lim ( 2 ) 0

( ) (

sen ( ) 0 cos( ) 2

lim ( ) lim = lim 0

0 1

Luego lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0

lim

x x

x

x x x

f

f x x x

f x f

x x x

f x

x

f x f x f x

 

  

 

 

 

 

 

_ 

   

   

 

 

_ 

 

 



  

  

 



  

0)f x( ) continua en x0

Luego f x( ) es continua  x .

11.- Demostrar que la ecuación x3   x 5 0 tiene al menos una solución en el intervalo (1, 2). (1 punto) (PAU junio 2008)

Solución

La función f x( )x3 x 5 es continua en

 

1, 2 , por ser polinómica, continua  x . Además

3

(1) 1 1 5 1 1 5 5 0 (2) 2 2 5 8 2 5 1 0 f

f

 _ _{       } 



         

 sign (1)f sign (2)f

(5)

12.- Estudiar la continuidad en  de la función 1 cos

si 0 ( )

0 si 0 x

x

f x x

x



 _

  

 _



. (1 punto) (PAU septiembre 2008) Solución

( ) es continua xf x   . Nota: La función f es continua para x0, es decir, en (, 0)(0,) por ser igual a 1 cos x

x



, continua  x 0, ya que es un cociente de funciones continuas x , no anulándose el divisor. Veamos si f es continua en x0, comprobando si

0

( ) (0)

lim

x

f x f

  :

ˆ L'Hopital

0 0

0 ₌ 0 ₀

0 0 1

(0) 0

( ) es continua en 0 sen

( )

1 1 cos

lim lim

lim

x

x x

f

f x x

x

f x x

x

 

 

   

 

 

 

 

     



 

   

Por tanto f x( ) es continua  x . 13.- Sea f x( )  2 x lnx con x(0, ).

b) Probar que existe un punto

2

1 , 1 e c  _

  tal que f c( )0. (1 punto) (PAU septiembre 2008)

Solución

La función f x( )  2 x lnx es continua en

2

1 , 1 e

 

 

 , por ser una suma de funciones continuas  x 0.

Además 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 ln 2 ln1 2 ln e 0

e e e e e

(1) 2 1 ln1 1 0 f

f

   

         

   

   

 _{  } _{ } 

 

2

1

sign sign (1) e

f   f

 _ _

 

Al cumplirse las dos hipótesis del teorema de Bolzano

2

1

, 2 tal que ( ) 0 2 ln 0 e

c   f c c c

 _ _     

  .

14.- Calcular los valores del número real a tal que

2 0

e 1

8

lim

a x x

a x x 

 

 . (1 punto) (PAU septiembre 2008)

Solución

4

a  . Nota: Se calcula el límite en función de a y se iguala a 8.

ˆ ˆ

L'Hopital L'Hopital

2

0 0 0

2 2 2

2

0 0

1 1 1 0 0 0 0

= =

0 0 0

0 1

8 16 16 4

2 2

e e e

2 2

e e

2 2

lim

a x a x a x

x x x

a x a x

x x

a x a a a

a a a

a a

a

x x

x

a a



  

 

    _     _  _ 

   

   

  

           



(6)

15.- Calcular

0

1 1

ln(1 )

lim

x x x

 _ 

 _ 

 . (1 punto) (PAU junio 2007)

Solución

1

2 . Nota: La indeterminación



  



se transforma en 0 0

   

  para poder aplicar L´Hôpital.





L'Hopitalˆ

0 0

ln (1 )

1 1 0

=

ln (1 ) ln (1 ) 0

lim

x x

x x x x

 

 _ _{    }   _{  } 

 _  _ _

 

 

0 0 0

ˆ L'Hopital

0 0

1 1 1

1 1

0

1 1

1 (1 ) ln (1 ) (1 ) ln (1 ) 0

1 ln (1 ) 1

1 1

1 1 1 1

=

1 _{ln (1} ₎ ₂ ₀ ₂ ₂

1 ln (1 ) (1 ) 1 1 1

lim

x x x

x x

x

x x

x x x x x x

x x

x

x x

x

  

 

 

  _{ }

 

   _{ }

        _{ }

    

 

  

  

      



16.- Demostrar que las curvas f x( )senx y g x( ) 1 x

 se cortan en algún punto del intervalo 2π , 5π 2

 

 

 .

(1 punto) (PAU junio 2007) Solución

Sea la función h x( ) f x( ) g x( ) senx 1 x

    , que es continua en 2π , 5π 2

 

 

 , por ser una diferencia de

funciones continuas  x 0, y, en particular en ese intervalo.

Además

1 1 1

(2π) sen 2π 0 0

2π 2π 2π

5π 5π 1 2

sen 1 0

5π

2 2 5π

2 h

h

 _ _ _{ } _{ } _ 

 

 _ _ 

 _ _     

 

 

 

sign (2π) sign 5π 2

h h 

  _ _

 

Al cumplirse las dos hipótesis del teorema de Bolzano está garantizada su tesis: 5π

2π , tal que ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2

c   h c f c g c f c g c

 _ _      

  . Luego existe un punto de abscisa

5π 2π ,

2 c _

  en el que las gráficas de f x( ) y g x( ) se cortan.

(7)

17.- Sea la función f x( ) x ex.

b) Demostrar que existe algún número real c tal que cec 4. (1 punto) (PAU junio 2007) Solución

Sea la función ( )g x  f x( )  4 x ex 4, que es continua en

 

3 4 , por ser una suma de funciones , continuas  x y, en particular en ese intervalo.

Además

3

4

1

(3) 3 e 4 1 0

e 1

(4) 4 e 4 0

e g

f



 _{ } _{   } _ 

 

 

 _{ } _{ } _ 

 

 

 sign (3)g sign (4)g

Al cumplirse las dos hipótesis del teorema de Bolzano está garantizada su tesis: ,

(3 4) tal que ( ) 0 e c 4 0 e c 4

c g c c  c 

          .

Nota: Puede también demostrarse aplicando la propiedad de Darboux a f x( ) en el intervalo



0 , 5 .



18.- Hallar a y b para que la función

ln si 0 ( ) si 0

sen ( π )

si 0

a x x x

f x b x

x

x x



   



_ 



 



sea continua en todo . (1 punto)

(PAU junio 2007) Solución

π

a b . Nota: Si f x( )es continua en todo también lo será en el punto

0

lim

( ) (0) x

x f x f



   :

 

ˆ L'Hopital

0 0 0

ˆ L'Hopital

0 0 0

1

lim = lim ( )

1

0 ₂ 0

(0)

sen ( π ) 0 cos ( π ) π 1 π

lim ( ) lim = lim π

0 1 1

ln

lim ( ) lim ( ln ) 0 lim =

1

x x x

x _a _x

x x

x

f b

x x

f x

x

f x a x x a a a

x

a a

  

  

  

  

_ 

 

  

 _{ } _ _

_ _ __{ } _ _

_ _{ }





 _ _{ } _{    } _{ } 

  _

  

 

 

  

    

 



 

 

0 0 0

Como (0) lim ( ) lim ( ) lim ( ) π

x x x

f f x f x f x a b

 

  

(8)

19.- Discutir si la ecuación xsen x2 tiene alguna solución real. (1 punto) (PAU septiembre 2007) Solución

Sea la función ( )f x  x sen x2, que es continua en

 

0, π , por ser suma de funciones continuas  x y, en particular, en dicho intervalo.

Además (0) 0 sen 0 2 2 0

(π) π sen π 2 π 0 2 π 2 0 f

f

      

 _{ } _{      }

  sign (0)f sign (π)f

Al cumplirse las dos hipótesis del teorema de Bolzano  c (0, π) tal que ( )f c 0  c senc 2 0. Luego hay, al menos, una solución c de la ecuación xsen x2 en (0, π).

20.- Calcular, si existe, el valor de

2

2 0

(e e )

lim

x x

 



4 . Nota: Aplicamos la regla de L’Hôpital dos veces:

ˆ

2 L'Hopital 2 2

2

0 0 0

ˆ 2 2

L'Hopital

2 2

0 0

(e e ) 0 2 (e e ) (e + e ) (e e )

=

0 2

0 (2e 2e )

= (2e 2e ) 2 2 4

0 1

lim

x x x x x x x x

x x x

x x

x

   

  



 



 _   _  _

   

  

_{ }     

 

21.- Calcúlese el valor de

2 0

ln(cos(2 ))

lim

x

x x

 . (1 punto) (PAU junio 2006) Solución

2

 . Nota:

ˆ L'Hopital

2

0 0 0

1

( sen (2 )) 2

ln(cos (2 )) 0 cos (2 ) sen (2 ) 0

=

0 2 cos(2 ) 0

lim

x x x

x

x x x

x

  

  



   

_{ }  _{ }



   

0 0

ˆ

L'Hopital _{cos (2 ) 2} _{2cos (2 )} ₂

= 2

1 cos (2 ) 2 sen (2 ) cos (2 ) 2 sen (2 ) 1

lim lim

x x

x x x x x x

 

   

   

    

22.- Determínense los valores de a y b para los que

2

2 0

1 cos( ) 1 s en( )

lim

x

ax bx x

x 

   _

. (1 punto) (PAU junio 2006) Solución

1

, 0 2

a b . Nota:

0 0

ˆ L'Hopital 2

2 2

2 sen ( ) 1 cos( ) 0

=

0 0

s en( ) 2 cos ( )

lim lim

x x

ax b x

ax bx x b

x x x

 

 

   _  _{ }

 

  

0

ˆ L'Hopital como existe el límite 0

2 2

2 cos ( ) 0

=

0 xlim _{2 cos (} ₎ ₂ _{sen (x ) 2}

b a x

x x x



   

 _{ } 

    

(9)

23.- b) Pruébese que la ecuación 3xex tiene alguna solución en (,1



Sea la función ( )f x 3xex, que es continua en

 

0,1 , por ser diferencia de funciones continuas x

  y, en particular, en dicho intervalo. Además

0

1

(0) 3 0 e 1 0 (1) 3 1 e 3 e 0 f

f

 _{  } _{  } 



       

 sign (0)f  sign (1)f

Al cumplirse las dos hipótesis del teorema de Bolzano  c (0,1) tal que ( )f c 0  3cec 0. Luego hay, al menos, una solución c de la ecuación 3cec en (0,1).

24.- Calcúlese

2 0

ln(cos( )) 1 cos( )

lim

x

x x

x 

 

1

 . Nota:

ˆ L'Hopital

2

0 0

1

( sen( )) sen( ) ln(cos( )) 1 cos( ) 0 cos( )

=

0 2

lim

x x

x x x

x x

 

  

  _  _

   

ˆ

L'Hopital 2

0 0

1

cos( )

tg( ) sen( ) 0 cos ( ) 1 1 2

= 1

2 0 2 2 2

lim

x x

x

x x x

x

 

 

      

 _{ }    

 

25.- ¿Existen máximo y mínimo absolutos de la función f x( )cos( ) 1x  en el intervalo

 

0, π ? Justifíquese su existencia y calcúlense. (1 punto) (PAU septiembre 2006)

Solución

Sí existen  Máximo Absoluto en x0, de valor 2, y Mínimo Absoluto en xπ, de valor 0

Nota: El teorema de Weierstrass garantiza que toda función continua en un intervalo cerrado alcanza el máximo absoluto y el mínimo absoluto en dicho intervalo. Como f x( )cos( ) 1x  es continua  x , por ser suma de funciones continuas  x , en particular es continua en

 

0, π , por lo que aplicando el referido teorema alcanza el máximo absoluto y el mínimo absoluto en dicho intervalo.









( ) cos( ) 1 1 1 (0) 2 ( ) (0) , 0 , π máx. abs. en 0, de valor 2 ( ) cos( ) 1 1 1 (π) 0 ( ) ( ) , 0 , π mín. abs. en π, de valor 0

f x x f f x f x x

f x x f f x f  x x

           

            

Gráficamente se ve que el máximo absoluto se alcanza en x0, de valor f(0)2, y el mínimo absoluto en xπ, de valor f(π)0.

26.- Calcúlese ln( ) e

lim

x x

 . (1 punto) (PAU junio 2005)

Solución

0 .

ˆ ˆ

L'Hopital ln( ) 1 L'Hopital 1

ln( ) ln( ) 1 0

= = 0

e e e e

im lim lim lim

l

x x x x

x x

x x _x x _x

   

 

  

   

_{ }  _{ }  

  

(10)

27.- Estúdiese, según los valores de los números reales  y , la continuidad de la función f definida por

1/ si 0

( ) _{1 e}

si 0 x

x

x f x

x







 _

   

 _



. (1 punto) (PAU junio 2005) Solución

Si   0 la función ( ) es continua xf x  . Para  0 ò  0 ( ) no es continua en f x x0 Nota: f x( ) es continua en (, 0)(0, ), independientemente de los valores que tomen  y , por coincidir en esos abiertos con la función

1/

1 e x x

 , continua  x 0. Estudiemos la continuidad en 0:

1/

0 0

1/

0 0

(0)

0 lim ( ) lim

1 0 1 e 1 e

0

lim ( ) lim 0

1 1 e 1 e

x

x x

x

x x

f

x f x



   _

   

 

 



 



 



 

_ _ _ 

_     

 _ _ _ 

 



 _ _ 



      

   

 _ _ 

 

Si   0 

0

( ) (0)

lim

x

f x f

   f x( ) es continua en x0. En tal caso f x( ) es continua  x . Si  0 o  0  f x( ) es continua   x

 

0 .

28.- Calcúlense los valores de 0 para los que

2

2 0

sen( )

1 cos ( ) 1

lim

x

x x



    . (1 punto) (PAU septiembre 2005)

Solución 1

   . Nota: Se calcula el límite y se pone la condición de que vale 1.

ˆ ˆ

L'Hopital L'Hopital

2 2 2

2

0 0 0

2 2 2 2

0 0

sen( ) 0 cos( ) 2 2 cos( ) 0

= =

0 2 cos( ) ( sen( )) sen(2 ) 0

cos ( ) 1

2 cos( ) 2 ( sen(x )) 2 2 cos( ) 4 sen( cos (2 ) 2

lim

x x x

x x

x x x x x

x x x

x

x x x x x

x

    



  

  

 

 

   

_{ }  _{ }

    

   



       

 

  

2

2 2 2 2

x ) 2 1 4 0 0 2 1 2 cos (2x) 2 1 2 

   

   

    

Entonces: 2

2

1

1  1  1



        .

29.- Calcúlese

0

ln( ) sen( )

lim

x

x x

 . (1 punto) (PAU septiembre 2005)

Solución 0 . Nota: No existe

0

ln( ) sen( )

lim

x

x x

 porque no existe 0

ln( )sen( )

lim

x

x x



 . Hallamos 0

lim

x 





L'Hopitalˆ

0 0 0 ₂

1 ln( )

ln( )sen( ) 0 =

1 1 _cos(x)

sen( ) _{sen ( )}

lim

x x x

x _x

x x

x _x

  

  

  

    _{ } _ 

 

 

ˆ L'Hopital 2

(11)

30.- Demuéstrese que las gráficas de las funciones ( )f x ex y

x x

g( ) 1 se cortan en un punto x > 0. (1 punto) (PAU junio 2004)

Solución

Sea la función h x( ) f x( ) g x( ) ex 1 x

    , que es continua en 1 , 1 2

 

 

 , por ser una diferencia de

funciones continuas  x 0, y, en particular en ese intervalo.

Además

1

1 1 2 1

e e 2 0

1 2

2 1

(1) e e 1 0 1

h

 _{  } _ _ _{ }   

 _{ } 

 

 

 _ _{   } 

 

 

sign 1 sign (1) 2

h  h

 _{ }

 

Al cumplirse las dos hipótesis del teorema de Bolzano está garantizada su tesis: 1

, 1 tal que ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2

c   h c f c g c f c g c

 _ _      

  . Luego existe un punto de abscisa

1 , 1 2 c  _

  en el que las gráficas de ( )f x y ( )g x se cortan.

31.- Calcúlese

0

1 1 sen

lim

x x x

 _ 

 

  . (1 punto) (PAU junio 2004)

Solución

0 . Nota:





ˆ L'Hopital

0 0 0

sen cos 1

1 1 0

=

sen sen 0 1 sen cos

lim

x x x

x x x x x x x

  

 

 _ _{    } _  _

 

  _ _ _{ }

   

ˆ L'Hopital

0 0

cos 1 0 sen

=

sen cos 0 cos (1 cos ( sen x))

sen sen 0 0

0. cos (cos sen ) 2 cos sen 2 1 0 0 2

lim

x x

x x x x x x

x x

x x x x x x x

 

   

 _{ } 

        

 

    

       

32.- Calcúlese el valor de

π 2

tg(2 ) tg(6 )

lim

x

x x 

. (1 punto) (PAU septiembre 2004)

Solución

1 .

3 Nota:













2 2

ˆ L'Hopital

2 2

π π

2 2 2

1 (2 ) 2 1 (π) 2

tg(2 ) 0 (1 0) 2 2 1

=

tg(6 ) 0 ₁ _{(6 ) 6} ₁ _{(π) 6} (1 0) 6 6 3

lim

x x x

tg x tg

x

x _tg _x  _tg

  

    _{ }

 

_{ }    

 

(12)

33.- Determínese el valor del parámetro a para que se verifique

lim

2 1 2 x

x ax x



 _ _{ } _

 

  . (1 punto)

(PAU septiembre 2004) Solución

4

a . Nota: Se calcula el límite y se pone la condición de que vale 2





2 2

2

:

2 2

2

1 1

1

1 1

1

1 1

0

2 4 .

1 1 2 1 0 0 1

lim

x x

x

x x x

x a x x x a x x x a x x

x a x x a

x a x x a x _x

a

x a x x x a x x _x

x

a a a

a

 

  

 _ _{ }  _ _ _{ } 

   

 _ _{ } _{    }     _

 

  _ _{ }



     

  _{ } 



  _ _ _

     



     