Ing. Armando Duarte
CAPÍTULO 5
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
La corriente que atraviesa la resistencia es . Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff, la cual establece que la suma algebraica de las
caídas de voltaje a lo largo de un ciclo cerrado o malla, es cero.
En el lado izquierdo de la red eléctrica se tiene
2 50 100 0
El ciclo de la derecha de la red eléctrica conduce a
125 25 50 0
Considere la red eléctrica que se muestra en la figura
Ing. Armando Duarte Donde es la carga en el condensador, puesto que
después de
diferenciar obtenemos
50 75 125 0
Simplificando estas ecuaciones, obtenemos el sistema de ecuaciones
diferenciales que deben satisfacer las corrientes
25 25 50
2 3 5 0
5.1 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Hemos analizado métodos para resolver una ecuación diferencial
ordinaria que solo incluye una variable dependiente. Sin embargo muchas
aplicaciones requieren el uso de dos o más variables dependientes, cada
uno función de una misma variable independiente, por lo general el
tiempo.
Naturalmente, tales problemas conducen a un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias simultáneas.
Restringiremos nuestra atención a sistemas en los que el número de
ecuaciones es el mismo que el número de variables dependientes. Por
ejemplo un sistema de ecuaciones de primer orden con las variables
Ing. Armando Duarte
, , , , ! 0
" , , , , ! 0
En donde las funciones " están dadas. Una solución de este sistema es una pareja , de funciones de que satisfacen ambas ecuaciones, en algún intervalo de valores de .
Algunos Ejemplos que Conducen a Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales
Ejemplo 24: Considere un sistema de dos masas y dos resortes, como se
muestra en la figura. Con una fuerza externa # actuando sobre la masa de la derecha $. Denotamos con el desplazamiento hacia la derecha de la masa $, medido a partir de su posición de equilibrio estático y con el desplazamiento de la masa $ a partir de su posición estática.
[image:3.595.199.449.598.680.2]De modo que los dos resortes no están estirados ni comprimidos cuando son cero.
Figura 19. Sistema masa resorte
Ing. Armando Duarte Los diagramas de cuerpo libres para las masas se muestran a
continuación
El primer resorte esta estirado unidades y el segundo unidades. Aplicando la segunda ley del movimiento de Newton, obtenemos
$´´ % %
$´´ % #
El sistema de ecuaciones diferenciales que deben satisfacer las funciones
de posición e .
Por ejemplo, si $ 2 '( , $ 1 '( , % 4 * $⁄ , % 2 * $⁄ y
# 40,-3 , entonces el sistema se reduce a:
2´´ 6 2
´´ 2 2 40,-3
Ing. Armando Duarte Ejemplo 25: Consideremos dos tanques con salmuera conectados como
se muestra en la figura. El tanque 1 contiene libras de sal en 100
galones y el tanque 2 contiene . Libras de sal en 200 galones. La
salmuera en cada tanque se mantiene uniforme por medio de agitación,
la salmuera se bombea de un tanque al otro a las velocidades indicadas.
Además, el tanque 1 entra agua pura a razón de 20 (/0 $1-⁄ y la salmuera del tanque 2 sale a una velocidad de 20 (/0 $1-⁄ .
El volumen total de la salmuera en los dos tanques permanece constante,
las concentraciones de sal en los dos tanques son 332 y 334
Cuando calculamos las tasas de cambio con respecto al tiempo de la
cantidad de sal en los dos tanques, obtenemos el sistema de ecuaciones
diferenciales que deben satisfacer las funciones e .
30 51006 10 5 2006
[image:5.595.219.412.363.516.2]
30 51006 10 5 2006 20 5 2006
Ing. Armando Duarte Esto es equivalente a
20 6
20 6 3
Teorema: (Soluciones de 7´ 87 por medio de valores propios)
Sea 9 un valor propio de la matriz de coeficientes constantes : del sistema lineal de primer orden
:
Si ; es un vector propio asociado con 9, entonces ;< es una solución no trivial del sistema.
5.2 Análisis de Compartimientos. (Sistema Abierto)
Con frecuencia un proceso o sistema complejo puede dividirse en
subsistemas o compartimientos más simples que puedan ser analizados
de manera separada. Entonces el sistema completo puede modelarse
describiendo las interacciones entre los diferentes compartimientos.
Consideremos un sistema sencillo de tres etapas, tal como tres tanques
Ing. Armando Duarte mientras salmuera mezclada fluye del tanque 1 al tanque 2, del tanque 2
al tanque 3 y sale por el tanque 3.
Un cálculo sencillo de las concentraciones de sal, producen el sistema de
ecuaciones de primer orden.
%
% %
>
% %>>
Donde %? A@
[image:7.595.256.376.158.351.2]B 1 1,2,3
Ing. Armando Duarte Ejemplo 26: Si = 20, = 40 => 50 además C 10 D $1-⁄ y las cantidades de sal en los tanques son 0 150 >0 0 ¿Determine la cantidad de sal en cada uno de los tanques en el instante
?
Solución: De acuerdo con los datos suministrados se tiene que
% =C
10 20 0.5 % =C
10
40 0.25 %> =C
>
10 50 0.2
El sistema de ecuaciones que modela este sistema de tanques
conectados entre sí, está dado por
0.5
0.5 0.25
>
0.25 0.2>
El problema con condiciones iniciales, se puede escribir como
F
0.5 0 0
0.5 0.25 0
0 0.25 0.2G F
>
Ing. Armando Duarte La ecuación característica : 9 0 asociada a la matriz de coeficientes es 9 0.59 0.259 0.2 0 de manera tal que los valores propios y vectores propios1 asociados con la matriz de
coeficientes son
9 0.5 ; F
3 6 5G
9 0.25
; F
0 1 5G 9> 0.2
;> F
0 0 1G
Por lo tanto la solución general está dada por
IF
3 6 5G
J3.K IF 0 1
5G
J3.K I>F00
1G
J3.
Las ecuaciones escalares resultantes son
3IJ3.K
6IJ3.K IJ3.K
> 5IJ3.K 5IJ3.K I>J3.
Ing. Armando Duarte Aplicando las condiciones iniciales 0 15 , 0 >0 0, obtenemos
I 5
I 30
I> 125
Finalmente las cantidades de sal en los tres tanques están dadas por las
ecuaciones
15J3.K
30J3.K 30J3.K
> 25J3.K 150J3.K 125J3.
Cuyas representaciones graficas se muestran a continuación
Grafica 27. Funciones del contenido de sal en los tres tanques
>
Ing. Armando Duarte Calculo Automático de Valores y Vectores Propios (Maple)
La mayoría de los sistemas computacionales ofrecen la capacidad de
determinar, con facilidad los valores propios y los vectores propios. Por
ejemplo para la matriz
: F0.5 0.5 0.25 0.0 0.0 0.0 0.0 0.25 0.2G
Los comandos Maple son:
>with(linalg);
> A:=matrix(3,3,[-0.5,0,0,0.5,-0.25,0,0,0.25,-0.2]);
> eigenvects(A);
:=
A
-0.5 0 0
0.5 -0.25 0
0 0.25 -0.2
Ing. Armando Duarte 5.3 Análisis de Compartimientos. (Sistema Cerrado)
Ejemplo 27: (Sistema Cerrado)
Se muestra un sistema cerrado con tres tanques de salmuera con
volúmenes =, = => la diferencia entre este sistema y el sistema abierto es que ahora el flujo que entra al tanque 1 es el flujo que sale del tanque
3.
Las ecuaciones diferenciales que modelan este sistema están dadas por
% %>>
% %
>
[image:12.595.223.422.287.421.2]% %>>
Ing. Armando Duarte ¿Determine las cantidades de sal , y > en el instante en los tres tanques, conociendo que los volúmenes son = 50, = 25 , => 50 y C 10?
Solución: Con los valores numéricos dados se tiene
F
0.2 0 0.2
0.2 0.4 0
0 0.4 0.2G ; 0 F
50 0 0G
La ecuación característica es
9 0.29 0.49 0.2 20.2> 0
59> 49 9 0
Tiene la raíz real 9 0 y dos raíces complejas conjugadas 9 KLK1
a) Para 9 0 tenemos el vector propio
; F
2 1 2G
b) Para el valor complejo 9 KK1 tenemos el segundo vector propio ; M N N N N
O PQ, 15 !
,- 15 !
Ing. Armando Duarte c) Para 9 KK1 tenemos el tercer vector propio
;> M N N N N
O ,- 15 !
PQ, 15 !
PQ, 15 ! ,- 15 !RS S S S T
Así la solución general está dada por
I I I>>
La cual tiene tres componentes escalares
2I J
U
VWIPQ, 1
5 ! I>,- 15 !X
I J
U
VWI,- 1
5 ! I>PQ, 15 !X > 2I J
U
VWI I>PQ, 1
5 ! I> IPQ, 15 !X
Análisis de las Soluciones del Sistema
Observe que > 5I , lo cual es lógico, la cantidad de
sal en el sistema cerrado es constante; la constante I es un quinto de la
cantidad total de sal. Por lo tanto cuando → ∞ la sal del sistema se
aproxima a una distribución de estado estable, con 40% de sal en cada
Ing. Armando Duarte Aplicando las condiciones iniciales 0 500 >0 0 conduce a los valores I 10 , I 30, I> 10
20 JUVW30PQ, 1
5 ! 30,- 15 ! X
10 J
U
VW30,- 1
5 ! 10PQ, 15 !X > 20 J
U
VW20PQ, 1
5 ! 40PQ, 15 !X
Grafica 29. Funciones del contenido de sal en los tres tanques
