Buscamos las raíces de x

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 1 FICHA BLOQUE I:

NÚMEROS REALES. ALGEBRA. FUNCIONES ELEMENTALES. REPASO DEL BLOQUE II

1. Opera y simplifica al máximo las expresiones:

45 80 5 a) 

18 2 128

b) 

2 5

5 c)



Solución:

15 3 5 3 5 2

5 3 2 5 4

180 5 4 180 5

a) 2 2

2 2 2

           

7 7 4 7 3 7 2 2 7 3 28 2 63

b) _{ } 2_{ } 2_{   }













2 1 3 2 2

2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

c)  

     

 

  

2. Descompón en factores el siguiente polinomio:

2 3 4

5 4x x

x  

Solución:

Sacamos factor común:



4 5



5

4 3 2 2 2

4_{    }

x x x x x x

Buscamos las raíces de x2 – 4x – 5 resolviendo la ecuación:

2

5 4 16 20 4 36 4 6

4 5 0

2 2 2

1

x

x x x

x



   

       

 

ƒ ‚

Por tanto:



5



1



5

4 3 2 2

4 _{    }

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 2 3. Calcula:

1 5 1 3 1 1 2 2 2       x x x x x x Solución:





x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1

4. Opera y simplifica:





x x x x 3 1 2 2 1 1 2

1  2

      _ 



Solución:

























2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 1

1 1 2 2 1

2 1 2 3 2 1 2 3 2 2 1 3

x x x x x x x

x x x x x x x x x

        _ _{     }  _  _{  }  









2 2 2 1

1 2 1

2 2 1 3 6

x x

x x x x

 

  



5. Resuelve estas ecuaciones:

0 36 37

a)x4  x2  

3 1 6 1 2 1 2 b) 2 _   

 x x x

Solución:

0 36 37

a) 4_ 2_{ }

x x 0 36 37 : Cambio 2 2 4 2       z z z x z x              1 36 2 35 37 2 1225 37 2 144 1369 37 z z z 1 1 1 1 6 36 36 36 2 2                   x x x z x x x z

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 3 0 2 6 2 2 1 3 6 6 2 2 6 1 6 3 6 3 1 6 1 2 1 2 b) 2 2 2 2                   x x x x x x x x x x x

6. Halla las soluciones de las ecuaciones:

2 1 3 1 6 2

a) x  x  x

2 2 6 3 3 1 4 5 b) x

x  

c) 5 0

1 2 ) 1 2 ·( 3 1 2 ) 1 2 ·(

2 _{ }

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 4 6. Halla la solución de estos sistemas:

 _{ }   

 _

   

a) 4

2 2

1 2

x y

x

x y

x y

 

b) 3 5

1

2 1 2

3

xy

x y

 

    _{ } 

Solución:

2 8

a) 4

2 8

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

2 2 2 2 2

x y x y x

x

x y x

x y x y x y x y x y

x y

 _{ }   _{ } 

     

 _  _{ }

  

 _  _    _{ }

   _    _

 

3 8

8 3

4 3 2

x y

y x

x y

  

 _   

 _{ }





4x3y2  4x3 8 3 x 2  4x24 9 x2  13x26  x2 8 3 8 6 2

y   x  

La solución es: x= 2; y= 2





b) 3 5

3 5 3 5

1

6 1 6 6 7

2 1 2

3

xy

xy xy

x y x y

x y

  _{   }

  

 _{  }  _{ } 

   _{  }

Despejamos y de la 2.ª ecuación: y 7 – 6x Sustituimos en la primera:

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 5 7. Averigua la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:





  

         _

2 2

a) 3

4

1 3

y x

x

x y

5 2

b) 2

3

2 1

x y

x y

  _{  }     _

Solución:





2 2 2 2 4 12

a) 3

4 4 4 4

1 3 1 3

y x y x x

x

x y x y

  _{  }    _{ } 

 _  _

 

 

   _    _

2 2 4 12 3 2 10

4 4 4

y x x x y

x y x y x y

          

 _{ }   _{ }  _{  }

 





3 4 y 2y 10 12 3y 2y 10 y 2 y 2

                

4 4 2 2

x    y

La solución es: x= 2; y=-2

5 2

b) 2

3

2 1

x y

x y

  _{  }     _

Despejamos x de la 2.ª ecuación: x 1 – 2y; y sustituimos en la primera:





















2 1 2 2 3 1 2

5 2 5 3

2

1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2

y y y

y

y y y y y y y y

    

       

    

2 2

15y 2 4y 6y 12y 12y 25y 2 0

         

48 2 25 625 96 25 529 25 23 24

2 1

24 24 24

24 12

y



   

   



ƒ ‚

Calculamos, en cada caso, el valor de x sustituyendo en la ecuación x 1 – 2y:

Si 2 1 4 3

1 1 1 5

Si 1 2 1

12 12 6 6

y x

y x

     

        

Las soluciones son:

1 1

2 2

3; 2

5 1

;

6 12

x y

x y

  

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 6 8. Resuelve los siguientes sistemas: a)

      24 55 2 2 xy y x b)            1 3 2 0 3 x y x y x

 









 

3 55 9 64 8

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 7 

   

   

 

1 3 2

0 3

x y x

y x

Área que delimitan las tres inecuaciones:

9. Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros. ¿Cuántos amigos son y cuál es el precio total que tienen que pagar?

Definimos las incógnitas

x = número de amigos = 20

y = precio total que tienen que pagar = 95 Euros

20x - 5 = y 15x + 20 = y

Son 20 amigos y ponen 95 euros en total

5 5 25 x

25 5x

5 20 15x -20x

20 + 15x 5 -20x

igualación Por

y 95 20 75 20 5 15 y = 20 + 15x

y = 5 -20x

 



   

 

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 8 10. Hemos comprado un pantalón y una camiseta por 44,1 euros. El pantalón tenía un 15% de

descuento y la camiseta estaba rebajada un 10%. Si no tuvieran ningún descuento, habríamos tenido que pagar 51 euros. ¿Cuánto nos ha costado el pantalón y cuánto la camiseta?

Solución:

Llamamos x al precio del pantalón sin el descuento e y al precio de la camiseta sin descuento. Así:

51 51

0,85 0,9 44,1

x y y x

x y

     



  _





0,85 0,9 44,1 0,85 0,9 51 44,1 0,85 0,9 44,1 45,9

0,05 1,8 36

x y x x x x

x x

          

     

51 51 36 15

y  x  

El pantalón costaba 36 euros y la camiseta 15 euros, sin los descuentos. Por tanto, el precio del pantalón (con descuento) ha sido de:

36 · 0,85 = 30,6 euros

y el de la camiseta (con descuento) ha sido de:

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 9 11. Resuelve e interpreta gráficamente esta inecuación:

5 1 3    x

3 6 3

d desigualda la

de sentido el

cambiar que

hay signos los cambiamos Si

6 3

1 5 3

5 1 3

 

   

   

   

x x

x x x

12. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x20 x 1 3

4 3 2

b) 2x 3x 7x 12x 4 0

Solución:

a) x20 x 1 3  x20  3 x1

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 10



 

2



2

20 3 1 20 9 6 1 1

x   x  x   x   x

12 6 x 1 2 x 1 x 1 4 x 5

          

Comprobamos la solución:

520 5 1  25 4  5 2 3

La solución es x 5.

b 2x43x37x2 12x 4  0

Aplicamos la regla de Ruffini:

2 3 7 12 4

1 2 1 8 4

2 1 8 4 0

2 4 6 4

2 3 2 0

2 4 2

1

2 1 0 2x 1 0 x ₂

  

   

 

 

     

Las soluciones son:

2 3 4

1

, 1, 2, 2,

2

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 11 13. Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:





  

2 3

1

a) 3

x

lim x x



 

3

1 b)

2 6

x

lim x



  

2 2 2

4 c)

4 4

x

x lim

x x

Solución:



2 3



1

a) 3 2

x

lim x x

   





3 3

1 1

b)

2 6 2 3

x x

lim lim

x x

 

 



 

Hallamos los límites laterales:

   

   

 

 

6 2

1 6 2

1

3 3

x lim

x lim

x x











2

2 2

2 2 2

2 2

4 2

c)

2

4 4 2

x x x

x x

x x

lim lim lim

x

x x x

  

 

 

 



  

Hallamos los límites laterales:

2

2

2 lim

2 2 lim

2 x

x x x x x









 _{ }



 _{ }

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 12 14. Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:





  

3

a) 2 3

xlim x x



  2

2 1

b) 1

x

x lim

x



  2

2 1

c) 1

x

x lim

x

Solución:



3



a) 2 3

xlim  x x  

2 2 1

b) 0

1 x

x lim

x 

  

2 2 1

c) 0

1 x

x lim

x 

José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 13 15. Halla la derivada de las funciones:

 

  73 

a) 1

4

f x x x

 

 



3 2

4 3

b)

1

x f x

x

 

4 ₃

c) 7x

f x e 

Solución:

 

6 3

a) ' 7

4

f x   x 

 



 















2 2 3 _{4 2 4 4 2}

2 2 2

2 2 2

12 1 4 3 2 _{12 12 8 6 4 12 6}

b) '

1 1 1

x x x x _{x x x x x x x}

f x

x x x

   _{    }

  

  

 

₇4 ₃



₃



_{3 7} 4 ₃

c) ' x 28 28 x

f x e   x  x e 

16. Estudia la continuidad de la función:

 

  

 

 



3 x si 3

3 x si 3 2

2

x x x

f

17. Estudia la continuidad de la función:

2

1 si 1 1

( ) si 1 2 3

si 2 2

x x

f x x

x x

x



    



_    

 