Notas de clase
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N´
Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica
Universidad de Nari˜no
J
H. C
´Indice general
1. Preliminares 2
1.1. ¿Qu´e es Teor´ıa de N´umeros? . . . 2
1.1.1. Algunas clases de preguntas en Teor´ıa de N´umeros . . . . 3
1.2. Propiedades B´asicas. . . 6
1.3. Inducci´on Matem´atica . . . 8
1.3.1. Definiciones Recursivas . . . 13
2. Teor´ıa de la divisibilidad en los enteros 16 2.1. El Algoritmo de la Divisi´on . . . 16
2.2. El m´aximo com´un divisor. . . 17
2.3. El Algoritmo de Euclides . . . 20
2.4. La Ecuaci´on Diof´antica ax+by= c . . . 24
3. N ´umeros Primos y su distribuci´on 27 3.1. El Teorema Fundamental de la Aritm´etica . . . 27
3.2. La Criba de Eratostenes . . . 30
3.3. La Conjetura de Goldbach . . . 34
4. Teor´ıa de Congruencias 43 4.1. Propiedades B´asicas de las Congruencias . . . 43
4.2. Tests Especiales de Divisibilidad . . . 46
4.2.1. Criterios de Divisibilidad para 9 y 11 . . . 48
4.3. Congruencias Lineales . . . 49
´INDICE GENERAL 2
5. El Teorema de Fermat 52
5.1. M´etodo de Factorizaci´on de Fermat . . . 52
5.2. El Peque˜no Teorema de Fermat . . . 53
5.3. El Teorema de Wilson. . . 55
5.4. N´umeros de Carmichael . . . 57
5.4.1. Test de pseudoprimalidad . . . 57
6. Funciones Aritm´eticas (Funciones de Teor´ıa de N ´umeros) 64 6.1. Las funcionesτyσ . . . 64
6.2. La f´ormula de inversi´on de M¨obius . . . 70
6.3. La Funci´on Entero M´aximo (Parte Entera) . . . 73
6.3.1. Parte entera y funciones aritm´eticas . . . 76
7. Generalizaci´on de Euler del Teorema de Fermat 78 7.1. Funci´onφde Euler . . . 78
7.2. Teorema de Euler . . . 82
7.3. Algunas propiedades de la funci´onφ . . . 85
8. Ra´ıces primitivas e ´ındices 89 8.1. El orden m´odulo n . . . 89
8.2. Ra´ıces primitivas para primos. . . 93
Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1.
¿Qu´e es Teor´ıa de N ´umeros?
La Teor´ıa de N´umeros es el estudio de los n´umeros positivos 1,2,3,4,5, . . .,
a los cuales tambi´en se les denomina n´umeros naturales. Especialmente, se
pre-tende estudiar las relaciones entre diferentes clases de n´umeros positivos. Desde
la antig¨uedad, los n´umeros naturales fueron divididos en diferentes clases. A
con-tinuaci´on se presentan algunos ejemplos de estas clases.
impares 1,3,5,7,9,11, . . .
pares 2,4,6,8,10, . . .
cuadrados 1,4,9,16,25,36, . . .
cubos 1,8,27,64,125, . . .
primos 2,3,5,7,11,13,17,19, . . .
compuestos 4,6,8,9,10,12,14,15, . . .
congruentes con 1 m´odulo 4 1,5,9,13,17,21,25, . . .
congruentes con 3 m´odulo 4 3,7,11,15,19,23,27, . . .
triangulares 1,3,6,10,15,21, . . .
perfectos 6,28,496, . . .
Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21, . . .
1.1 ¿Qu´e es Teor´ıa de N ´umeros? 4
Algunas de estas clases de n´umeros sin duda son conocidos por todos. Otras
como “congruentes con 1 m´odulo 4” no tanto. Un n´umero se dice que es
congru-ente con 1 m´odulo 4 si su residuo es 1 cuando lo dividimos por 4, similarmcongru-ente
podemos definir congruente con 3 m´odulo 4. Un n´umero se llama triangular si se
puede formar un tri´angulo con dicho n´umero de piedras, con una piedra arriba,
dos piedras en la siguiente fila y as´ı sucesivamente. Por ejemplo,
b b
b b b b b
b b
b
b b b b
b b b
b b
b
1 3 6 10
Los n´umeros de Fibonacci se forman comenzando con 1 y 1. Luego para
obtener el siguiente n´umero de la lista, se suman los dos anteriores, de esta forma
el tercer elemento de la lista es 2, el cuarto es 3, el quinto 5 y as´ı sucesivamente.
Finalmente, un n´umero se denomina perfecto si es igual a la suma de sus
divisores diferentes de ´el mismo. Por ejemplo, los divisores de 6 son 1,2,3 y 6,
luego 6 es perfecto porque 6=1+2+3.
1.1.1.
Algunas clases de preguntas en Teor´ıa de N ´umeros
El principal objetivo de la Teor´ıa de N´umeros es descubrir relaciones
intere-santes y a veces inesperadas entre diferentes clases de n´umeros y probar que estas
relaciones son verdaderas. En est´a secci´on describiremos algunos problemas
t´ıpi-cos en Teor´ıa de N´umeros. Algunos de estos problemas tienen soluci´on (y
espera-mos verlas en este curso), otros tienen soluciones que no se podr´an incluir aqui, y
otros pertenecen al interesante grupo de preguntas sin resolver.
Sumas de cuadrados ¿La suma de dos cuadrados puede ser un cuadrado?
La respuesta es si; por ejemplo
1.1 ¿Qu´e es Teor´ıa de N ´umeros? 5
Figura 1.1: Pierre de Fermat (1601-1665) – Andrew Wiles (1953–)
Estos son ejemplos de ternas pitag´oricas. Luego podemos preguntarnos que
sucede con potencias mayores, es decir podemos formular las siguientes
preguntas: ¿la suma de dos cubos puede ser un cubo? (es decir ¿hay soluci´on
para la ecuaci´on x3
+y3 =z3?), ¿la suma de dos cuartas potencias puede ser
una cuarta potencia? En general, ¿la ecuaci´on xn
+yn = zn, con n> 2 tiene
soluci´on en los naturales? La respuesta es no. En realidad este es un famoso
problema, llamado el ´Ultimo Teorema de Fermat, fue planteado por Pierre
de Fermat en el siglo XVII, pero s´olo fue resuelto por Andrew Wiles en
1994, verhttp://gaussianos.com/el-ultimo-teorema-de-fermat. Infinitud de primos Un n´umero primo es un n´umero p cuyos ´unicos
divi-sores son 1 y ´el mismo. Se pueden plantear las siguientes preguntas:
¿exis-ten infinitos n´umeros primos?, ¿exis¿exis-ten infinitos primos congruentes con 1
m´odulo 4?, ¿existen infinitos primos congruentes con 3 m´odulo 4? Las
re-spuestas a estas preguntas son si. Probaremos esto en los pr´oximos cap´ıtulos
y discutiremos un resultado m´as general de Lejeune Dirichlet de 1837.
Suma de cuadrados II ¿Qu´e n´umeros son suma de dos cuadrados? Algunas
preguntas de este tipo son m´as f´aciles de responder para primos, luego nos
1.1 ¿Qu´e es Teor´ıa de N ´umeros? 6
3=NO, 5= 12+22, 7=NO, 11=NO,
13=22+32, 17=12+42, 19=NO, 23=NO,
29=22+52, 31=NO, 37= 12+62.
¿Hay alg´un patr´on? Posiblemente no, dado que esta es una lista corta, pero
una lista m´as larga lleva a la observaci´on de que p es una suma de cuadrados
si es congruente con 1 m´odulo 4, lo que no sucede cuando p es congruente
con 3 m´odulo 4.
N ´umeros en formas Los n´umeros cuadrados son 1,4,9,16, . . .que se pueden
organizar como un cuadrado ( o que son de la forma a2 para alg´un n´umero
natural a). Los n´umeros triangulares son los n´umeros 1,3,6,10, . . .que se
pueden organizar en la forma de un tri´angulo.
Una pregunta natural es: ¿existen n´umeros triangulares que tambi´en sean
cuadrados (diferentes de 1)? La respuesta es si, el primer ejemplo es:
36= 62 =1+2+3+4+5+6+7+8.
Entonces podemos preguntarnos si existen m´as ejemplos y si los hay si son
infinitos.
Primos gemelos Algunos n´umeros impares consecutivos son primos.
Es-tos n´umeros se denominan primos gemelos. Algunos ejemplos de primos
gemelos: 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31. Surge entonces la pregunta
¿existen infinitos primos gemelos? o lo que es lo mismo ¿existen infinitos
primos p tales que p+2 tambi´en sea primo? Esta es una pregunta que hasta
ahora no tiene respuesta.
Primos de la forma N2
+1
Si hacemos una lista de los n´umeros N2+1 tomando N =1,2,3, . . ., vemos
que algunos de ellos son primos. Desde luego que si N es impar N2+1 es
par y as´ı no puede ser primos amenos que N = 1. Luego esto es realmente
1.2 Propiedades B´asicas 7
22+1= 5, 42+1=17, 62+1=37, 102+1=101,
142+1=197, 62+1= 257, 202+1=401.
En los primeros ejemplos parece que hay pocos primos, a´un m´as si se hace
una lista mayor se hacen m´as escasos. Entonces podemos preguntar ¿existen
infinitos primos de la forma N2
+1? Lastimosamente o afortunadamente,
nadie conoce la respuesta de esta pregunta.
Hemos visto algunos ejemplos de las preguntas que se estudian en Teor´ıa de
N´umeros, pero ¿c´omo se intentan responder estas preguntas? La respuesta es que
la Teor´ıa de N´umeros es en parte experimental y en parte te´orica. La parte
ex-perimental normalmente es primero, esta lleva a preguntas y sugiere maneras de
responderlas. La parte te´orica viene despu´es, en esta parte se intenta desarrollar
un argumento que de una respuesta definitiva.
En resumen estos (pueden ser) los pasos a seguir:
1. Recolectar informaci´on, usualmente en forma de datos pero algunas veces
m´as abstracta en naturaleza.
2. Examinar la informaci´on e intentar encontrar patrones y relaciones.
3. Formular conjeturas1 que expliquen los patrones y relaciones. Estas
fre-cuentemente se dan por medio de f´ormulas.
4. Verificar las conjeturas con ayuda de datos adicionales y observar en que
casos la nueva informaci´on satisface las conjeturas planteadas.
5. Desarrollar un argumento o prueba para mostrar que las conjeturas son
cor-rectas.
1.2.
Propiedades B´asicas
En ´esta secci´on se establece una colecci´on de propiedades fundamentales para
el conjunto de enteros {· · ·,−2,−1,0,1,2,· · · } que se tomar´an como axiomas.
1.2 Propiedades B´asicas 8
´
Estas propiedades dan las bases para probar resultados en teor´ıa de n´umeros. Se
comienza con propiedades referentes a la suma y la multiplicaci´on. Como es usual
se denota la suma y el producto de a y b con a+b y a·b, respectivamente. Por
simplicidad, tambi´en se escribe ab en lugar de a·b.
Clausura: a+b y a·b son enteros si a y b son enteros.
Leyes Conmutativas: a+b= b+a y a·b =b·a para todo par de enteros
a y b.
Leyes Asociativas: (a+b)+c= a+(b+c) y (a·b)·c=a·(b·c) para todo
los enteros a,b y c.
Leyes Distributivas: (a+b)·c= a·c+b·c, para a,b,c∈Z.
Elementos Neutros: a+0=a y a·1= a, para a∈Z
Inverso Aditivo: Para todo entero a existe una soluci´on x a la ecuaci´on
a+x = 0; este entero se denomina el inverso aditivo de a y se denota con
−a. Con b−a se denota b+(−a).
Ley Cancelativa: Si a,b y c son enteros con a·c= b·c y c, 0 entonces a= b.
Se pueden usar estos axiomas y las propiedades usuales de igualdad para
es-tablecer propiedades de los enteros. Un ejemplo es el que se presenta a
contin-uaci´on.
Ejemplo 1. Muestre que 0·a=0; para a∈Z.
El orden en los enteros se define usando el conjunto de los enteros positivos
Z+
={1,2,3, . . .}.
Definici´on 1. Si a y b son enteros , entonces a < b si b−a es un entero positivo.
Si a<b, tambi´en se escribe b>a.
1.3 Inducci´on Matem´atica 9
Clausura para enteros positivos: Sean a,b enteros positivos. Luego a+b
y a·b son enteros positivos.
Ley de la Tricotom´ıa: Para todo entero a se tiene que a> 0, a= 0 ´o a< 0.
Se dice entonces que el conjunto de los enteros es un conjunto ordenado
(ordered set) porque tiene un conjunto que es cerrado bajo suma y
multipli-caci´on y que adem´as satisface la ley de tricotom´ıa.
1.3.
Inducci´on Matem´atica
La teor´ıa de n´umeros est´a relacionada al menos en sus aspectos elementales
con propiedades de los enteros y m´as particularmente con los enteros positivos
1,2, . . . (n´umeros naturales). En estas notas no se construiran axiomaticamente
los enteros (m´as all´a de lo hecho en la secci´on anterior), suponiendo que cualquier
lector es familiar con muchos hechos elementales de ellos. Entre estos se incluye
el principio del buen orden.
Axioma 1 (Principio del Buen Orden). (PBO) Todo subconjunto no vac´ıo S de
los enteros no negativos tiene m´ınimo; esto es, existe un entero a∈S tal que a≤b
para todo b que est´a en S .
Se dice que el conjunto de enteros positivos es bien ordenado (well ordered).
Por otra parte, el conjunto de todos los enteros no es bien ordenado pues existen
subconjuntos de enteros que no tienen m´ınimo. Por el principio del buen orden el
conjunto de enteros menores o iguales que un entero dado tiene elemento m´aximo.
Esto le da sentido a la siguiente definici´on
Definici´on 2 (Parte entera). La parte entera de x, denotado por [x], es el mayor
entero menor o igual que x. esto es, [x] es el ´unico entero tal que
[x]≤ x<[x]+1
Como el PBO jugar´a un papel importante en las pruebas en ´esta y en futuras
secciones, se utiliza para mostrar que el conjunto de enteros positivos tienen lo
1.3 Inducci´on Matem´atica 10
Teorema 1.3.1 (Propiedad Arquimediana). Si a y b son enteros positivos, entonces
existe un entero positivo n tal que na ≥b.
Demostraci´on. Sup´ongase que la proposici´on del teorema es falsa; esto es, existen
enteros positivos a y b tales que, na <b para todo entero positivo n.
Entonces el conjunto
S ={b−na : n es un entero positivo}
consiste de enteros positivos.
Por el PBO, el conjunto S tiene un elemento m´ınimo, x= b−ma.
Evidente-mente b−(m+1) tambi´en est´a en S y
b−(m+1)a= (b−ma)−a<b−ma= x
lo que contradice la escogencia de x. As´ı existe un entero positivo n tal que na ≥
b.
En ´este curso adem´as se trabaja con el conjunto de los n´umeros racionales.
Recuerdese que un n´umero real x es un n ´umero racional si existen enteros a y
b, b , O tales que x = ab. Un n´umero que no es racional se denomina n´umero
irracional. Ejemplos de n´umeros irracionales son π, √2 y e. A continuaci´on se
utiliza el PBO para mostrar que √2 es irracional, m´as adelante se dar´a una prueba
diferente.
Teorema 1.3.2. √2 es irracional.
Demostraci´on. Sup´ongase que √2 es racional. Entonces existen enteros positivos
a y b, tales que √2= ab. Sea
S ={t√2 : t y t√2 son enteros positivos}
Es f´acil ver que S es un conjunto de enteros positivos no vac´ıo. As´ı por el PBO,
S tiene un elemento m´ınimo , s =t√2. Considerese
1.3 Inducci´on Matem´atica 11
Dado que s√2 = 2t y s son enteros, s√2− s = (s− t)√2 debe ser un entero.
Adem´as, es un entero positivo pues s√2−s = s(√2−1) y √2>1. Como s >t,
se tiene que s√2−s est´a en S . Y se puede ver que
s√2−s< s
La anterior desigualdad contradice la escogencia de s como el elemento m´ınimo
de S . Por lo tanto √2 es irracional.
A partir del PBO se obtiene el principio de inducci´on finita. Este principio da
la base para un m´etodo de demostraci´on llamado Inducci´on Matem´atica.
Teorema 1.3.3 (Principio de Inducci´on Finita). (PIF) Sea S un conjunto de
en-teros positivos tal que:
1. 1 est´a en S .
2. Si k est´a en S , entonces k+1 est´a en S .
Entonces S es el conjunto de los enteros positivos.
Demostraci´on. Sea T = {x <S : x es un entero positivo}y sup´ongase que T es no vac´ıo. Por el PBO T tiene un m´ınimo, denotado por a. Como 1 ∈ S entonces
a > 1 y 0< a−1 < a. Como a es el elemento m´ınimo de T entonces a−1 <T ; lo que implica que a−1∈S , por la definici´on de T .
Por hip´otesis , (a−1)+1 = a ∈ S , lo que contradice el hecho de que a est´e en
T . As´ı el conjunto T es vacio, y en consecuencia S contiene todos los enteros
positivos.
Ejercicio 1. Utilizando el PIF demostrar que
12+22+· · ·+n2= n(2n+1)(n+1)
6
La inducci´on matem´atica da una t´ecnica estandar para probar un enunciado
de los enteros positivos, pero una desventaja es que no ayuda a formular tales
1.3 Inducci´on Matem´atica 12
que se cree se puede tener en general, entonces su v´alidez se puede verificar por
el principio de inducci´on matem´atica.
Por ejemplo, al observar la siguiente lista de igualdades:
1= 1,
1+2= 3,
1+2+22= 7,
1+2+22+23 =15,
1+2+22+23+24 =31,
1+2+22+23+24+25 =63,
...
sugiere que 12
+22+· · ·2n−1 =2n−1 para todo entero positivo.
Ejercicio 2. Demuestre la anterior afirmaci´on.
Cuando se presenten pruebas por inducci´on, no se har´a referencia a un
con-junto S , y solo se proceder´a a demostrar que la afirmaci´on es verdadera para 1 y
que si es verdadera para el entero k entonces tambi´en lo es para k+1.
Se debe tener cuidado al establecer las condiciones del PIF, pues no se pueden
tomar conclusiones tras el cumplimiento de una de las condiciones; es decir
ningu-na de las dos condiciones por si sola es suficiente.
La prueba de la condici´on 1) se denomina la base de la inducci´on, mientras
que la prueba de 2) se llama el paso de inducc´ıon, las suposiciones hechas en el
paso de inducci´on se conocen como las hip´otesis de inducci´on.
Adem´as, la v´alidez del paso de inducci´on no necesariamente depende de la
veracidad de la proposici´on que se va a probar, esto es, el paso de inducci´on se
puede verificar aunque la hip´otesis sea falsa.
Por ejemplo la f´ormula 1+3+5+· · ·+(2n−1)=n2+3, verifica la hip´otesis de
inducci´on pero no cumple la base de inducci´on. As´ı que si la f´ormula se tiene para
alg´un entero se tiene para el siguiente entero; sin embargo no se puede encontrar
1.3 Inducci´on Matem´atica 13
Existe una variante del principio de inducci´on que se usa cuando est´e no es
efectivo. Como con la primera versi´on, este segundo principio de inducci´on finita
da dos condiciones que garantizan que un conjunto de enteros positivos realmente
consiste de todos los enteros positivos.
Teorema 1.3.4 (Segundo Principio de Inducci´on Finita). (SPIF) Sea S un
con-junto de enteros positivos tal que
1. 1∈S .
2. Si k es un entero positivo tal que 1,2, . . . ,k est´an en S , entonces k+1∈S
Entonces S es el conjunto de los enteros positivos.
Demostraci´on. Sea T = {n entero positivo : n<S}. Suponga que T ,∅. Luego por el PBO, T tiene un elmento m´ınimo n. Como 1 ∈ S entonces n > 1, y la
escogencia de n implica que
1,2, . . . ,n−1<T,
esto es 1,2, . . . ,n−1∈S , y de 2) (n−1)+1 =n∈S , lo que es una contradicci´on,
luego T es vacio.
El PIF se usa m´as que el segundo, pero existen ocasiones donde se prefiere el
segundo; ya que en ciertas situaciones para mostrar que k +1 es un miembro de
S , se necesita que adem´as de que k est´e en S que otros enteros que preceden a k
tambi´en sean elementos de S .
La formulaci´on de estos principios de inducci´on ha sido para el caso en el
que la inducci´on comienza con 1. Cada forma se puede generalizar para comenzar
con cualquier entero positivo n0. Con este cambio la conclusi´on ser´ıa que S es el
conjunto de los enteros positivos n≥ no.
Sucesi´on de Lucas: Se presenta el siguiente ejemplo para ilustrar una prueba
en la que se necesite el segundo principio de inducci´on finita.
Considerese la siguiente sucesi´on llamada Sucesi´on de Lucas
1.3 Inducci´on Matem´atica 14
Excepto por los dos primeros t´erminos, cada t´ermino de esta sucesi´on es la
suma de los dos precedentes, entonces la sucesi´on puede ser definida en forma
inductiva (recursiva) como sigue:
a1 =1, a2= 3, . . . ,an= an−1+an−2 n≥2.
Ejemplo 2. Demuestre que la desigualdad
an <(7/4)n
se tiene para todo entero positivo n.
Se cumple para n=1 y n=2
a1 =1< (7/4)1 =7/4
a2 =3<(7/4)2 =49/16.
Sea k ≥ 3 y suponga que la desigualdad es v´alida para n = 1,2, . . . ,k−1, luego
ak−1 <(7/4)k−1 y ak−2 <(7/4)k−2
ak =ak−1+ak−2 <(7/4)k−1+(7/4)k−2
=(7/4)k−2(7/4+1)
=(7/4)k−2(11/4)<(7/4)k−2(7/4)2= (7/4)k
Entre otras cosas, este ejemplo sugiere que si objetos se definen
inductiva-mente, entonces la inducci´on matem´atica es una herramienta para establecer las
propiedades de estos objetos.
1.3.1.
Definiciones Recursivas
El principio de inducci´on matem´atica proporciona un m´etodo para definir
val-ores de funciones en enteros positivos. En lugar de hacer explicito el valor de la
funci´on en n, se da el valor de la funci´on en 1 y una regla para encontrar para cada
entero positivo n el valor de la funci´on en n+1 a partir del valor de la funci´on en
1.3 Inducci´on Matem´atica 15
Definici´on 3. Se dice que la funci´on f se define recursivamente si se conoce el
valor de f en 1 y si para cada entero positivo n se da una regla para determinar
f (n+1) a partir de f (n).
El principio de inducci´on matem´atica se puede usar para mostrar que una
fun-ci´on que est´a definida recursivamente, est´a definida ´unicamente en cada entero
positivo. Se ilustra como definir una funci´on recursivamente con la definici´on.
Ejemplo 3. Se define recursivamente la funci´on factorial, f (n) = n!. Primero se
especifica que
f (1)=1
Entonces se da una regla para calcular f (n+1) a partir de f (n) para cada entero
positivo, es decir
f (n+1)=(n+1) f (n)
Lo anterior define ´unicamente n!.
El segundo principio de inducci´on matem´atica tambi´en sirve como base para
definiciones recursivas. Se puede definir una funci´on cuyo dominio es el conjunto
de los enteros positivos especificando su valor en 1 y dando una regla para cada
entero positivo n para encontrar f (n) a partir de los valores f ( j) para 1≤ j≤n−1.
Se ilustra como funciona tal definici´on inductiva con la definici´on de la Sucesi´on
Fibonacci.
Ejemplo 4 (Sucesi´on Fibonacci). La sucesi´on Fibonacci f1, f2, . . . , fn se define
recursivamente por f1 = 1, f2 = 2 y fn = fn−1+ fn−2 para n ≥ 3. Los n´umeros
Fibonacci satisfacen muchas identidades. Se puede conjeturar una f´ormula para Pn
j=1 fjexaminando ´esta suma para valores peque˜nos de n
f1=1
f1+ f2=2
f1+ f2+ f3=4
f1+ f2+ f3+ f4=7
1.3 Inducci´on Matem´atica 16
Analizando ´estas sumas se puede ver que son menores en 1 que el n´umero de
Fi-bonacci que est´a dos t´erminos arriba en la sucesi´on. As´ı que es razonable suponer
que
n X
j=1
fj = fn+2−1
Ahora se prueba la veracidad de ´esta afirmaci´on por medio de inducci´on matem´atica.
Para n=1 se tiene queP1j=1 fj = f1 =1= f2−1. Sup´ongase que se cumple para
n =k. Ahora se demuestra para n= k+1; es decir se supone quePnj=1 fj = fj =
fn+2−1 y se debe demostrar quePnj=1+1 fj = fj = fn+3−1. En efecto
n+1 X
j=1 fj =
n X
j=1
fj+ fn+1 = fn+2−1+ fn+1 = fn+3−1
Ejemplo 5. Se puede usar el segundo principio de inducci´on matem´atica para
probar que
fn> αn−2 para n≥ 3
dondeα= 1+
√
5
2 . El paso base consiste en demostrar la proposici´on para n =3 y n= 4. Se tiene queα <2= f3. Como
α2 = (1+
√ 5)2
2 =
3+ √5
2 <3= f4
De esta forma la afirmaci´on se cumple para n = 3,4. La hip´otesis inductiva
consiste en suponer queαk−2 < f
k para todo k ≤n. Comoαes una soluci´on de la ecuaci´on x2
−x−1=0; se tiene queα2 =α+1. De ah´ı que
αn−1= α2αn−3 = (α+1)αn−3= αn−2+αn−3
Ahora por hip´otesis de inducci´on se tieneb las desigualdades
αn−2 < fn y αn−3 < fn−1
As´ı se tiene que
αn−1 =αn−2+αn−3 < fn+ fn−1= fn+1
Cap´ıtulo 2
Teor´ıa de la divisibilidad en los
enteros
2.1.
El Algoritmo de la Divisi´on
Teorema 2.1.1. Dados enteros a y b, con b> 0, existen enteros ´unicos q y r tales
que
a= bq+r 0≤ r<b
Los enteros q y r se llaman, respectivamente, el cociente y el residuo en la divisi´on
de a por b.
Demostraci´on. Considere
S = {a−xb x∈Z, a− xb≥ 0}
Para demostrar que S , ∅nada m´as basta con encontrar un entero x tal que a− xb≥0. Sea x=−|a|y como b≥ 1 entonces|a|b≥ |a|
a−(−|a|b)=a+|a|b≥ a+|a| ≥0
as´ı que a−(−|a|)b∈S Luego por el PBO S tiene un n´umero m´ınimo r, as´ı existe
q∈Ztal que
r =a−qb
2.2 El m´aximo com ´un divisor 18
as´ı a =qb+r, donde 0≤r. Queda por probar que r <b. Sup´ongase lo contrario.
Entonces
t= a−(q+1)b= a−qb−b= r−b≥ 0.
Luego t ∈S y adem´as t< r, esto es una contradicci´on por la forma en que se
escogi´o r. Por lo tanto r < b. Para demostrar la unicidad de q y r. Supongase que
existen enteros q′y r′tales que
a= qb+r= q′b+r′
donde 0 ≤r< b,0≤ r′b. Luego r′−r =b(q−q′); entonces
|r′−r′|= b|q−q′|
de las desigualdades anteriores−b< r′−r< b o en forma equivalente|r′−r|<b
y de aqui entonces
0≤ |q−q′|< 1
de donde|q−q′|= 0 y entonces q=q′ y r= r′.
Una versi´on m´as general del algoritmo de la divisi´onse obtiene al reemplazar
la restricci´on de que b tenga que ser positivo por la condici´on de que b, 0. Corolario 1. Si a y b son enteros, con b , 0, entonces existen enteros ´unicos q y r tales que
a= qb+r, 0≤r ≤ |b|
Teorema 2.1.2. Si a y b son enteros, con b,0, existen enteros c′y d′ tal que a=bc′+d′ −|b|
2 <d
′ ≤ |b|
2
2.2.
El m´aximo com ´un divisor
Definici´on 4. Se dice que un entero b es divisible por un entero a , 0, denotado por a|b si existe un entero c tal que
b= ac
2.2 El m´aximo com ´un divisor 19
Adem´as, para decir que b es divisible por a, tambi´en se puede decir que
a es un divisor de b;
a es un factor de b;
b es un m´ultiplo de a.
En lo que sigue cuando se emplee la notaci´on a|b, se sobreentender´a que a es
diferente de cero.
Si a es un divisor de b, entonces b es tambi´en divisible por−a, es decir los
divisores de un entero vienen por pares. Para encontrar todos los divisores de un
entero dado es suficiente con obtener los divisores positivos y entonces unirlos a
los divisores negativos correspondientes. Por est´a raz´on en lo que sigue los
resul-tados se limitar´an a los divisores positivos.
Teorema 2.2.1. Sean a,b,c enteros, entonces:
1. a|0,1|a, a|a;
2. a|1 si y s´olo si a=±1;
3. Si a|b y c|d, entonces ac|bd;
4. Si a|b y b|a, si y s´olo si a= ±b;
5. Si a|b y b|c, entonces a|c;
6. Si a|b y b,0, entonces|a| ≤ |b|;
7. Si a|b y a|c, entonces a|(bx+cy), para x,y∈Z;
8. Si a|bk, k =1,2, . . . ,n; entonces a|(b1x1+· · ·+bnxn).
Si un entero d divide a dos enteros a y b, se dice que d es un divisor com´un de
a y b. As´ı pues 1 es un divisor com´un de todo par de enteros a y b. Adem´as, como
todo entero diferente de cero divide a 0, entonces si a = b = 0 todo entero es un
divisor com´un de a y b. Sin embargo, cuando al menos uno de los dos es diferente
de cero, ´unicamente existe un n´umero finito de divisores comunes. Entre estos,
hay uno que es mayor que todos, que se denomina el m´aximo com´un divisor de ay
2.2 El m´aximo com ´un divisor 20
Definici´on 5. Dados dos enteros a y b (con al menos uno de los dos diferente de
cero), el mayor entero que divide a y b se denomina el m´aximo com´un divisor de
a y b, denotado por gcd(a,b).
Es decir, si gcd(a,b)=d entonces
1. d|a y d|b;
2. Si c|a y c|b, entonces c≤d.
Observese que la anterior definici´on da un m´etodo para calcular el m´aximo com´un
divisor de dos enteros. Si a y b son iguales a cero, el gcd no existe. Si a = 0 y
b , 0, el gcd es |b|. Si a y b son diferentes de cero, con |a| ≤ |b|, se listan los divisores de a, entonces el mayor de estos que divida a b es el gcd. Esta forma de
calcular el gcd en general es muy ineficiente.
El siguiente teorema presenta una caracterizaci´on ´util del m´aximo com´un
di-visor de a y b en t´erminos de sus combinaciones lineales, esto es como sumas de
la forma sa+tb, donde s y t son enteros.
Teorema 2.2.2. Sean a y b enteros (con al menos uno de los dos diferente de
cero), y sea d = gcd(a,b). Entonces d es el menor entero positivo que se puede
expresar como una combinaci´on lineal de a y b.
Demostraci´on. Sea S = {sa+tb >0 s,t ∈Z}el conjunto de las combinaciones
lineales positivas de a y b.
S , ∅pues si a, 0 entonces|a| = a·u+b·0 ∈S donde u = ±1 . Luego por el
PBO este conjunto de enteros positivos tiene un elemento m´ınimo; m, tal que
m= sa+tb
para t,s ∈ Z. Por el algoritmo de la divisi´on existen enteros q y r tales que a =
qm+r, 0 ≤ r < m. Adem´as r = a−qm = a−q(sa+tb) = (1−qs)a+(−qt)b;
es decir, r es una combinaci´on lineal de a y b y r ≥ 0, entonces r < m. As´ı se
debe tener que r = 0 y a = qm. Luego m es un divisor de a, de igual forma se
muestra que es un divisor de b, por lo tanto m es un divisor com´un de a y b. Sea
d = gcd(a,b), entonces d|m lo que implica que d ≤ m, como d es el m´aximo
2.3 El Algoritmo de Euclides 21
Corolario 2. Si c es cualquier divisor com´un de a y b, entonces c divide a gcd(a,b).
Corolario 3. Si a y b son enteros, al menos uno de los dos diferente de cero,
entonces el conjunto
T ={ax+byx,y∈Z}
es el conjunto de los m´ultiplos de d= gcd(a,b).
Definici´on 6. Dos enteros a y b se dice que son primos relativos si gcd(a,b)=1;
esto es, si el ´unico factor com´un positivo que tienen es 1.
Teorema 2.2.3. Sean a y b enteros, no ambos cero. Entonces a y b son primos
relativos si y s´olo si existen enteros x y y tales que 1=ax+by.
Demostraci´on. Si a y b son primos relativos entonces gcd(a,b) = 1, entonces
existen enteros x,y tales que 1 = ax+ by. Reciprocamente, sea d = gcd(a,b).
Como d|a y d|b entonces d|(1=ax+by) entonces d|1 lo que implica que d =1.
Teorema 2.2.4 (Lema de Euclides). Si a|bc y gcd(a,b)= 1, entonces a|c.
Demostraci´on. Por suposici´on 1 = ax+by para algunos x,y ∈ Z multiplicando
por c
c= c(ax+by)=acx+bcy
como bc= at para t∈Z, se tiene que
c= acx+aty= a(cx+ty)
entonces a|c.
2.3.
El Algoritmo de Euclides
Antes de ver el Algoritmo de Euclides para calcular el m´aximo com´un divisor
de dos n´umeros se presenta el siguiente resultado fundamental dentro del
algorit-mo.
2.3 El Algoritmo de Euclides 22
Demostraci´on. Si d|a y d|b entonces d|(a−qb)= r. As´ı d es un divisor com´un de
b y r; es decir,
d|b y d|r.
Por otra parte, se a c un divisor com´un de b y r, entonces c|(bq+r), de aqui c|a.
Esto implica que c es un divisor com´un de a y b, entonces c ≤ d. Y entonces
d =gcd(b,r).
El algoritmo de Euclides se pude describir como sigue: sean a y b enteros,
dado que
gcd(|a|,|b|)=gcd(a,b),
sin perdida de generalidad se puede suponer que a≥b> 0.
El primer paso consiste en aplicar el Algoritmo de la Divisi´on para a y b,
entonces existen enteros q1,r1tales que
a= q1b+r1; 0≤ r1< b.
Si r1 = 0 entonces b|a y as´ı gcd(a,b) = b. Cuando r1 , 0 se divide b por r1para obtener enteros q2y r2 tales que
b=q2r1+r2; 0≤ r2< r1.
Si r2 = 0 entonces el algoritmo se detiene pues gcd(a,b) = gcd(b,r1) =
gcd(r1,0)= r1. De otra manera, se procede como antes para obtener
r1 =q3r2+r3; 0≤r3 <r2.
Este proceso continua hasta que alg´un residuo dentro del algoritmo sea cero, por
ejemplo en el (n+1)-´esimo paso cuando rn−1, sea divisible por rn(un residuo igual
acero debe aparecer dado que la sucesi´on b>r1 >r2> · · · ≥0 no puede contener
2.3 El Algoritmo de Euclides 23
El resultado es el siguiente sistema de ecuaciones
a=q1b+r1; 0<r1 <b
b=q2r1+r2; 0<r2 <r1
r1 =q3r2+r3; 0 <r3< r2
.. .
rn−2= qnrn−1+rn; 0<rn <rn−1
rn−1= qn+1rn+0.
Entonces por el Lema2.3.1se tiene que
gcd(a,b)=gcd(b,r1)= · · ·=gcd(rn−1,rn)=gcd(rn,0)= rn.
Adem´as se sabe que el gcd(a,b) se puede expresar en la forma ax+ by, la
prueba de este resultado no da ning´un indicio de como determinar los enteros x,y.
El Algoritmo de Euclides que se acaba de presentar da un m´etodo para calcularlos.
Se tiene que rn =rn−2−qnrn−1. Sustituyendo rn−1 =rn−2−qn−1rn−2en la anterior
ecuaci´on se tiene
rn=rn−2−qn(rn−3−qn−1rn−2)= rn−2−qnrn−3+qnqn−1rn−2
=(1+qn−1qn)rn−2+(−qn)rn−3 · · ·
donde esta ´ultima ecuaci´on presenta a rn como una combinaci´on lineal de rn−2
y rn−3. Si se continua sustituyendo cada una de las ecuaciones encontradas, se
podr´a representar a rncomo una combinaci´on lineal de a y b.
Existe un concepto paralelo al de m´aximo com´un divisor de dos enteros,
cono-cido como el m´ınimo com´un m´ultiplo. Se dice que un entero c es un m´ultiplo
com´un de dos enteros (diferentes de cero) a y b si a|c y b|c. Evidentemente, 0 es
un m´ultiplo com´un de cualquier par de enteros a y b. Para ver que existen
m´ultip-los comunes que no son triviales, note que tanto ab como−(ab) son m´ultiplos de
a y b y uno de estos debe ser positivo. Luego por el PBO, el conjunto
2.3 El Algoritmo de Euclides 24
de los m´ultiplos comunes de a y b tiene un elemento m´ınimo. A este se le
denom-ina el m´ınimo com´un m´ultiplo de a y b.
Definici´on 7. El m´ınimo com´un m´ultiplo de dos enteros a y b, denotado por
lcm(a,b), es el entero positivo m tal que:
1. a|m y b|m.
2. Si a|c y b|c, con c>0, entonces m≤ c.
Dados enteros a y b (diferentes de cero), lcm(a,b) siempre existe y lcm(a,b)≤
|ab|.
Teorema 2.3.2. Para enteros positivos a y b, gcd(a,b) lcm(a,b)=ab.
Demostraci´on. Sea d = gcd(a,b) y m = ab
d . Sea a = dr y b = ds con r,s ∈ Z. Luego m = ab
d = rb = as; es decir m es un m´ultiplo com´un de a y b. Sea c cualquier entero positivo m´ultiplo com´un de a y b, es decir c = au= bv, u,v ∈
Z. Como se sabe existen enteros x,y tales que d =ax+by. En consecuencia
c m =
cd ab =
c(ax+by)
ab = c
b
x+
c
a
y=vx+uy∈Z,
entonces m|c. Lo que implica finalmente que m ≤ c. As´ı por definici´on m =
lcm(a,b).
Por el anterior teorema
lcm(a,b)= ab
gcd(a,b).
Corolario 4. Dados dos enteros positivos a y b, lcm(a,b) = ab si y s´olo si
2.4 La Ecuaci´on Diof´antica ax+by= c 25
2.4.
La Ecuaci´on Diof´antica ax
+
by
=
c
Ahora la atenci´on recae en el estudio de las ecuaciones diof´anticas. El nombre
hace honor al matem´atico Diofanto, quien inici´o el estudio de tales ecuaciones.
Es costumbre utilizar el t´ermino Ecuaci´on Diof´antica para cualquier ecuaci´on
en una o m´as variables que se resuelve en los n´umeros enteros. El tipo m´as simple
de ecuaci´on diof´antica que se considera es la Ecuaci´on Lineal Diof´antica en dos
variables
ax+by=c,
donde a,b,c son enteros dados y a,b no son los dos cero. Una soluci´on de esta
ecuaci´on es una pareja de enteros x0,y0tales que satisfacen la ecuaci´on dada, esto
es ax0+by0= c.
Una ecuaci´on lineal diof´antica puede tener varias soluciones, por ejemplo la
ecuaci´on
3x+6y=18
tiene las siguientes soluciones
18= 3·4+6·1=3·(−6)+6·6=3·10+6·(−2).
Por el contrario, no existe una soluci´on para la ecuaci´on 2x+10y = 17. Puesto
que el lado izquierdo de la ecuaci´on es un entero par, cualquiera que sea la
es-cogencia de x y y, mientras que el lado derecho no es par. De acuerdo a esto, es
razonable preguntar por las circunstancias bajo las que una soluci´on es posible, y
cuando una soluci´on existe y cuando se pueden determinar todas las soluciones
explicitamente.
La condici´on de soluci´on es f´acil de establecer : la ecuaci´on diof´antica ax+
by = c tiene soluci´on si y s´olo si d|c, donde d = gcd(a,b). En efecto, se sabe
que existen enteros r y s tales que a = dr y b = ds. Si existe una soluci´on de
ax+by= c, entonces
c= ax0+by0= drx0+dsy0 =d(rx0+ sy0),
lo que implica que d|c. Inversamente, suponga que d|c, as´ı c=dt. Adem´as existen
2.4 La Ecuaci´on Diof´antica ax+by= c 26
por t se tiene que
c= dt=t(ax0+by0)=a(tx0)+b(ty0).
De aqu´ı la ecuaci´on diof´antica ax+by = c tiene a x = tx0 y y = ty0 como una
soluci´on particular.
Teorema 2.4.1. La ecuaci´on lineal diof´antica ax + by = c tiene una soluci´on
si y s´olo si d|c, donde d = gcd(a,b). Si x0,y0 es una soluci´on de esta ecuaci´on,
entonces todas las otras soluciones est´an dadas por
x= x0+(b/d)t; y= y0−(a/d)t
para cualquier t ∈Z.
Demostraci´on. Para establecer la segunda afirmaci´on del teorema, suponga que
una soluci´on x0,y0 de la ecuaci´on dada se conoce. Si x′,y′ es otra soluci´on
en-tonces
ax0+by0 =c= ax′+by′.
Existen enteros primos relativos r y s tales que a=dr,b=ds, entonces
r(x′−x0)= s(y0−y′),
luego r|s(y0−y′) pero como gcd(r,s)= 1. Por el Lema de Euclides, se debe tener
que r|(y0−y′), en otras palabras
y0−y′ =rt,
para alg´un t∈Zy entonces x′−x
0 = st. Luego
x′ = x0+st= x0+(b/d)t
y′ =y0−rt =y0−(a/d)t
As´ı existe un n´umero infinito de soluciones de la ecuaci´on dada.
Es ´util tener en cuenta la versi´on que tiene el teorema anterior cuando los
2.4 La Ecuaci´on Diof´antica ax+by= c 27
Corolario 5. Si gcd(a,b) = 1 y x0,y0 es una soluci´on particular de la ecuaci´on
lineal diof´antica ax+by=c, entonces todas las soluciones est´an dadas por
x= x0+bt,
y=y0−at,
para t ∈Z.
Ejemplo 6. Considere la ecuaci´on diof´antica 3x+6y = 18. Como gcd(3,6) = 3
divide a 18, el teorema anterior implica que la ecuaci´on planteada tiene infinitas
soluciones y vienen dadas por
x=6+2t,
y=−t,
Cap´ıtulo 3
N ´umeros Primos y su distribuci´on
3.1.
El Teorema Fundamental de la Aritm´etica
Previamente se observ´o que cualquier entero a>1 es divisible por±1 y±a.
Definici´on 8. Un entero p > 1 se llama un n´umero primo, o simplemente un
primo, si sus ´unicos divisores positivos son 1 y p. Un entero mayor que 1 que no
es un primo se denomina compuesto.
N´otese que 2 es el ´unico primo par, y de acuerdo con nuestra definici´on el
entero 1 juega un papel especial, ya que no es ni primo ni compuesto.
Teorema 3.1.1. Si p es un primo y p|ab, entonces p|a ´o p|b.
Demostraci´on. Si p|a entonces ya esta el resultado. Sup´ongase que p ∤ a.
En-tonces gcd(a,p)= 1. Entonces por el lema de Euclides p|b.
Este resultado se extiende f´acilmente a productos de m´as de dos t´erminos.
Corolario 6. Si p es un primo y p|a1a2· · ·an, entonces p|akpara alg´un 1≤k≤ n.
Corolario 7. Si p,q1,q2, . . . ,qnson primos y p|q1q2· · ·qn, entonces p1= qk para
alg´un 1 ≤k≤ n.
El siguiente resultado es de una importancia relevante dentro de los temas que
siguen. Este teorema permite identificar a todo entero en forma ´unica a partir de
un conjunto de enteros.
3.1 El Teorema Fundamental de la Aritm´etica 29
Teorema 3.1.2 (Teorema Fundamental de la Aritm´etica). Todo entero positivo
n > 1 se puede expresar como un producto de primos, esta representaci´on es
´unica, sin tener en cuenta el orden en el que aparecen los factores.
Demostraci´on. Sea n > 1, entonces n es primo o compuesto. Si n es primo no
hay nada que probar. Si n es compuesto entonces existe un entero d tal que d|n
y 1 < d < n. Entre estos enteros d se escoge el menor entero p1 (esto por el
PBO). Se puede ver que p1 debe ser un n´umero primo. Puesto que si se tuviera un
divisor q tal que 1 < q< p1, con q|p1 y p1|n implica que q|n lo que contradice la
escogencia de p1.
As´ı entonces se puede escribir n = p1n1, donde p1 es primo y 1 < n1 < n.
Si n1es primo entonces se tiene la representaci´on buscada. En caso contrario, el
argumento anterior se repite para obtener un segundo n´umero primo p2 tal que
n1 = p2n2, y as´ı n = p1p2n2 con 1 < n2 < n1. Si n2 es primo, entonces ya se
tiene el resultado del teorema. De otra forma, n2 = p3n3con p3un n´umero primo
y as´ı n = p1p2p3n3 donde 1 < n3 < n2. Continuando as´ı se obtiene la sucesi´on
decreciente
n>n1 >n2 >n3 >· · ·>1,
que no puede continuar indefinidamente; es decir, luego de un n´umero finito de
pasos nkes un primo. Este procedimiento genera la factorizaci´on prima de n
n= p1p2· · ·pr.
Para establecer la unicidad de la factorizaci´on prima sup´ongase que n se puede
representar como un producto de primos en dos formas diferentes, esto es
n= p1p2· · ·pr =q1q2· · ·qs,
donde r ≤ s y los piy qjson todos primos, escritos de tal manera que
p1 ≤ p2≤ · · · ≤ pr y q1 ≤q2 ≤ · · · ≤qs.
3.1 El Teorema Fundamental de la Aritm´etica 30
puede cancelar entonces este t´ermino en com´un y se obtiene que
p2p3· · ·pr =q2q3· · ·qs.
Se repite el proceso para obtener que p2 = q2y entonces .
p2p3· · ·pr =q2q3· · ·qs.
Continuando en esta forma, si se tiene la desigualdad r < s, entonces 1=qr+1qr+2· · ·qs
lo que es absurdo pues qi >1 para cada i. Luego r = s y por lo tanto
p1= q1, p2 =q2, . . .pr =qr
Obteniendo como resultado que las dos factorizaciones de n, que se supon´ıan
diferentes, son iguales.
Por supuesto, varios de los primos que aparecen en la factorizaci´on de un
entero dado se pueden repetir.
Corolario 8. Cualquier entero n mayor que 1, se puede representar en una forma
´unica
n= pk11pk22· · ·pkrr.
donde cada ki es un entero positivo y cada pi es un primo, tal que p1 < p2 <· · ·<
pr.
El Teorema Fundamental de la Aritm´etica permite representar cualquier entero
n> 1 en la forma pα11 pα22 · · ·pαr
r , donde los primos pison distintos y los exponentes
αi son enteros positivos. ´Esta es usualmente llamada La Factorizaci´on Prima de
n.
Adem´as de los enteros, un conjunto de n´umeros juega un papel muy
impor-tante en la teor´ıa de n´umeros: los n´umeros racionales. Estos son n´umeros que
se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Los n´umeros que no son
3.2 La Criba de Eratostenes 31
Mirando la descomposici´on can´onica (factorizaci´on prima) de un n´umero, se
puede determinar cuando ´este es o no una k-´esima potencia, para cualquier entero
k mayor que 1. Si c=nk, y n tiene la descomposici´on can´onica
n= pα11 pα22 · · ·pαr r
entonces c = pk1α1p kα2
2 · · ·p kαr
r es la descomposici´on can´onica de c. As´ı si c , 0, tiene una descomposici´on can´onica en la que los exponentes de todos los primos
es divisible por k. Es claro que si las anteriores condiciones se cumplen, ´este
n´umero es la k-´esima potencia de un entero.
Teorema 3.1.3. Si un entero positivo no es una k-´esima potencia, entonces su
k-´esima ra´ız es irracional.
Demostraci´on. Si un entero positivo n no es una k-´esima potencia, entonces en su
descomposici´on can´onica existe un primo que est´a elevado a una potencia que no
es divisible por k. Si √k
n es racional se podr´ıa escribir como u/v, donde u y v son
enteros. Entonces nvk
=uk lo que lleva a una contradicci´on.
Corolario 9. √2 es irracional
El teorema fundamental tambi´en proporciona una forma de encontrar el
m´axi-mo com´un divisor y el m´ınim´axi-mo com´un multiplo de dos enteros. Si es necesario se
toman algunos de los exponentes iguales cero para utilizar los mismos primos en
la factorizaci´on de los dos enteros, como en el siguiente resultado.
Teorema 3.1.4. Sea a = pa11pa22· · ·parr y b = pb11pb22· · ·pbrr , donde los expo-nentes ai,bi son no negativos. Para i = 1,2, . . . ,r, sean mi = m´ın{ai,bi} y Mi =
m´ax{ai,bi}. Entonces
gcd(a,b)= pm11pm22· · ·pmrr
lcm(a,b)= p1M1p M2
2 · · ·p Mr r
3.2.
La Criba de Eratostenes
Dado un entero positivo se tienen los argumentos necesarios para resolver las
3.2 La Criba de Eratostenes 32
un divisor no trivial? La soluci´on m´as obvia para el primer problema consiste en
dividir sucesivamente el entero en cuesti´on por cada uno de los n´umeros que lo
preceden. Si ninguno de ellos (excepto 1) sirve como un divisor, entonces el entero
debe ser primo. A pesar de que este m´etodo es muy simple de describir, no es ´util
en la pr´atica, pues el tiempo requerido para hacer estos c´alculos ser´a muy grande,
si el entero en cuesti´on es grande.
Existe una propiedad de los n´umeros compuestos que permite reducir
radi-calmente los c´alculos necesarios. Si un entero a > 1 es compuesto, entonces se
puede escribir como a= bc, donde 1< b< a y 1 < c< a. Sup´ongase que b ≤ c,
entonces b2
≤ bc = a y as´ı b ≤ √a. Como b > 1, entonces b tiene al menos un
factor primo p. De esta forma
p≤b≤ √a
Adicionalmente como p|b y b|a, entonces p|a. Por lo tanto un n´umero compuesto a
siempre tiene un divisor primo p, tal que p≤ √a. Luego para verificar la
primali-dad de un entero especifico a>1, es suficiente dividir a por los primos menores o
iguales que √a (suponiendo por supuesto que se tiene una lista de primos menores
o iguales que √a).
Otro griego cuyo trabajo en teor´ıa de n´umeros es de reconocida
importan-cia es Eratostenes de Cyrene (276-194 a.c). Mientras que la historia lo recuerda
principalmente como el director de la m´as famosa biblioteca en Alejandr´ıa. En el
parrafo anterior se demostr´o que si un entero a > 1 no es divisible por un primo
p≤ √a, entonces a es primo. Eratostenes utiliz´o este hecho como la base de una
t´ecnica, llamada la Criba de Eratostenes, para encontrar todos los primos menores
o iguales que un entero n. El m´etodo consiste en escribir todos los enteros desde 2
hasta n en su orden natural y eliminar sistematicamente todos los m´ultiplos de los
primos menores o iguales que √n. Es decir, para cada primo p≤ √n se eliminan
los enteros 2p,3p,4p,5p, . . .
3.2 La Criba de Eratostenes 33
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
[image:34.595.171.423.127.325.2]91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Figura 3.1: N´umeros primos entre 2 y 100.
En este momento de la exposici´on surge la siguiente pregunta ¿el conjunto de
los n´umeros primos es infinito ?, o en otra palabras ¿existe un primo mayor que
todos los otros primos? La respuesta a esta pregunta fue encontrada por Euclides
en el IX Libro de los Elementos. Este argumento es universalmente reconocido
como un m´odelo de elegancia matem´atica. En una forma sencilla dice que dada
una lista finita de n´umeros primos, siempre se puede encontrar un primo que no
est´a en la lista; de aqu´ı el conjunto de los n´umeros primos es infinito.
Teorema 3.2.1 (Euclides). Existen infinitos n´umeros primos.
Demostraci´on. La prueba de Euclides es por contradicci´on. Sup´ongase que existe
un n´umero finito de primos p1,p2, . . . ,pn. Ahora, se considera el entero positivo
P= p1p2· · ·pn+1.
Como P> 1, entonces por el Teorema Fundamental de la Aritm´etica, P es
divisi-ble por alg´un primo p. Pero como p1,p2, . . . ,pnson los ´unicos primos, p debe ser
igual a uno de los pi. Entonces se tiene que
p|p1p2· · ·pn y p|P,
lo que implica que p|P − p1p2· · ·pn; esto es p|1, lo que es claramente una
3.2 La Criba de Eratostenes 34
ninguna lista de primos contiene todos los primos y en conclusi´on el n´umero de
primos es infinito.
Para un primo p, defina p∗ como el producto de todos lo primos que son
menores o iguales que p. Los n´umeros de la forma p∗+1 se conocen como los
N´umeros Euclidianos, pues estos aparecen en la prueba de la infnidad de primos
de Euclides.
Es necesario notar que al construir estos n´umeros los primeros cinco son
pri-mos:
2∗+1=2+1=3
3∗+1=2·3+1=7
5∗+1=2·3·5+1= 31
7∗+1=2·3·5·7+1=211
11∗+1=2·3·5·7·11+1=2311
Sin embargo,
13∗+1=2·3·5·7·11·13+1=59·509
17∗+1=2·3·5·7·11·13·17+1=19·97·277
19∗+1=2·3·5·7·11·13·17·19+1= 347·27953
no son primos. Entonces surge la siguiente pregunta (que hasta el momento no
tiene respuesta) ¿Existen infinitos primos p, tales que p∗+1 tambi´en es primo?.
Una consecuencia de la prueba de Euclides es que
pn+1 ≤ p1p2· · ·pn+1< pnn+1
Teorema 3.2.2. Si pnes el n-´esimo n´umero primo, entonces pn ≤22 n−1
Demostraci´on. Por inducci´on sobre n. La desisgualdad se tiene claramente para
el caso n= 1. Como hip´otesis de inducci´on suponga que n >1 y que el resultado
se tiene para todos los enteros positivos menores que n. Entonces
pn+1 ≤ p1p2· · ·pn+1≤ 2·22· · ·22
n−1
+1=21+2+···+2
n−1
3.3 La Conjetura de Goldbach 35
Y de la igualdad 1+2+· · ·+2n−1 =2n−1. En consecuencia
pn+1 ≤22 n−1
+1≤22n−1+22n−1 =22n.
Corolario 10. Pra n≥ 1, existen al menos n+1 primos menores que 22n.
Demostraci´on. Del teorema anterior se tiene que p1,p2, . . . ,pn+1son todos menores
que 22n.
Teorema 3.2.3. Existen vacios arbitrarios en la sucesi´on de los primos.Es decir,
dado cualquier entero positivo k, existen k enteros compuestos consecutivos.
Demostraci´on. Consid´erense los enteros
(k+1)!+2,(k+1)!+3, . . . ,(k+1)!+k,(k+1)!+k+1
Los primos est´an espaciados irregularmente, tal y como lo sugiere el anterior
teorema. Si se denota el n´umero de primos que no exceden a x por π(x), podr´ıa
preguntarse acerca de la naturaleza de esta funci´on. Debido a la irregularidad de l
aparici´on de los primos no puede esperarse una f´ormula sencilla paraπ(x). Sin
em-bargo, uno de los resultados m´as impresionantes de la teor´ıa avanzada de n´umeros,
el Teorema del N´umero Primo; proporciona un aproximaci´on asint´otica paraπ(x).
Este torema establece que
l´ım
x→∞
π(x) x/log x =1
3.3.
La Conjetura de Goldbach
Mientras se sabe que existe una infinidad de primos, su distribuci´on en los
enteros positivos es m´as “misteriosa”. Repetidamente en su distribuci´on se
en-cuentran pistas o lo que podr´ıan llamarse, sombras de un patr´on. La
diferen-cia entre primos consecutivos puede ser peque˜na como con las parejas 11,13 y
17,19´o 1000000000061 y 1000000000063. Pero al mismo tiempo existen
3.3 La Conjetura de Goldbach 36
Definici´on 9. Se dice que dos enteros positivos p y p+2 son primos gemelos si
los dos son primos.
Un problema abierto en teor´ıa de n´umeros consiste en dar respuesta a la
sigu-iente pregunta ¿existen infinitos primos gemelos? Evidencias n´umericas permiten
pensar en una respuesta afirmativa. Por medio de c´alculos hechos con
computa-dores se encontrar´on 152982 parejas de primos gemelos menores que 30000000
y 20 parejas entre 1012 y 1012
+ 10000, lo que sugiere un crecimiento escaso de
su n´umero en comparaci´on con los enteros positivos. Muchos ejemplos de
pri-mos gemelos se encontrar´on. Uno de los m´as grandes, a la fecha, es la pareja
1706595·211235±+1, cada uno con 3389 d´ıgitos, descubiertos en 1989. Primos
consecutivos no s´olo pueden estar cerca, sino tambi´en muy alejados; es decir,
se pueden encontrar espacios arbitrariamente grandes entre primos consecutivos.
M´as precisamente: Dado cualquier entero positivo n, existen n eneteros positivos
compuestos consecutivos. Para probar lo anterior basta con considerar los enteros
(n+1)!+2,(n+1)!+3,· · · ,(n+1)!+(n+1)
Por ejemplo, si se desea una sucesi´on de cuatro enteros positivos compuestos que
sean consecutivos, el argumento utilizado produce la sucesi´on 122,123,124,125.
5!+2=122= 2·61
5!+3=122= 3·41
5!+4=124= 4·31
5!+5=125= 5·25
Por supuesto se pueden encontrar, otros conjuntos de cuatro enteros consecutivos,
como por ejemplo 24,25,26,27 ´o 32,33,34,35. Como este ejemplo sugiere, el
procedimiento para construir espacios entre dos primos consecutivos da un
esti-mativo de donde se encuentran. Las pimeras apariciones de estos “espacios
pri-mos”de longitudes especificas, han sido trabajadas por medio de busquedas
com-putacionales. Un espacio de longitud 778 ( es decir pn+1 − pn = 778) fue
3.3 La Conjetura de Goldbach 37
primos peque˜nos. El espacio m´as grande conocido entre n´umeros primos
consec-utivos es de longitud 784, una cadena de 783 n´umeros compuestos consecconsec-utivos
a continuaci´on del primo 2500107922440823, pero no se sabe si es la primera
aparici´on.
Adem´as de los problemas abiertos que se han presentado hasta el momento
existe otro problema famoso que involucra n´umeros primos.En una carta a Euler
(1742), Christian Goldbach conjetur´o que
Todo entero par mayor que 4 es la suma de dos primos impares.
La siguiente tabla verifica la conjetura para n´umeros pares peque˜nos
2 =1+1
4 =2+2= 1+3
6 =3+3= 1+5
8 =3+5= 1+7
10= 3+7=5+5
12= 5+7=1+11
14= 3+11=7+7=1+13
16= 3+13=5+11
18= 5+13=7+11=1+17
20= 3+17=7+13=1+19
22= 3+19=5+17=11+11
24= 5+19=7+17=11+13= 1+23
26= 3+23=7+19=13+13
28= 5+23=11+17
30= 7+23=11+19=13+17= 1+29
Al parecer Euler no intent´o probar el resultado, pero escribi´o a Goldbach que ´el
