ESIQIE-IPN
NOTAS DE PRECÁLCULO
CAPITULO I
COMISIÓN DE PRECÁLCULO:
SILVERIO MERA LUNA
ROGELIO DEHEZA CRUZ
GERARDO JUARÉZ HERNANDEZ
IGNACIO ELIZALDE MARTÍNEZ
VIOLETA Y. MENA CERVANTES
AURELIO HERNANDEZ RAMÍREZ
COMISIÓN DE PRECÁLCULO
~ 2 ~
AGO-DIC-2012CONJUNTOS
1. Antecedentes
La palabra conjunto generalmente está asociada con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como familia, sociedad, rebaño, manada, población, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos, que guardan alguna característica en común, ya sean números, personas, figuras, ideas o conceptos.
Formalmente la Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia fundamentalmente a un tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como los problemas relacionados con estos. A través de esta teoría es posible entender muchos conceptos matemáticos tales como relación, función, partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, etc., así como sus aplicaciones en otras ramas de aprendizaje como. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918).
2. Definiciones
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra conjunto debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
Sin embargo es posible definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.
Un conjunto está bien definido si se sabe que un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los zapatos rojos, está bien definido, porque al examinar visualmente un zapato se puede saber si es rojo o no. Por otro lado, el conjunto de las personas altas no está bien definido, porque al ver a una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen que esa persona es alta o no lo es.
Para que exista un conjunto debe cumplirse lo siguiente: La colección de elementos debe estar bien definida.
Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez. Generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
El orden en que se enumeran los elementos que carece de importancia.
Entre los ejemplos más importantes de conjuntos en matemáticas se encuentran los sistemas numéricos: el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números racionales, los números irracionales y el conjunto de los números reales.
3. Notación
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C,... y a los elementos con letras minúsculas a, b, c,..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamiento de un dado.
Además para los conjuntos numéricos más importantes, se utiliza la siguiente notación:
El conjunto de números naturales El conjunto de números enteros
El conjunto de números racionalesEl conjunto de números irracionales El conjunto de números reales
También es usual utilizar letras minúsculas como , , , . . . , , para denotar elementos.
Para cualquier objeto y cualquier conjunto , si es un elemento del conjunto . Se escribe: ∈ ; si no es un elemento del conjunto A, se escribe ∉A. Por ejemplo, 3∈ ℕ y ∉ ℤ.
Adicionalmente existe una serie de símbolos matemáticos que se utilizan dentro del estudio básico de la teoría de conjuntos, los cuales se presentan a continuación
Símbolo Significado
Es elemento de...
∈
No es elemento de...∉
Conjunto{ }
Es igual que=
No es igual que≠
Menor que
<
Menor o igual que≤
Mayor que
>
Mayor o igual que≥
Tal que...⎜
Así sucesivamente...
Conjunto UniversalU o Ω
Conjunto vacíoφ
Subconjunto de⊂
No es subconjunto de⊄
Unión∪
COMISIÓN DE PRECÁLCULO
~ 4 ~
AGO-DIC-20124. Tipos y relaciones entre conjuntos
Conjunto vació o nulo
Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por
φ
o { }. Por ejemploA = {x2 + 1 = 0 | x
∈
ℝ}El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0
Conjunto universal
Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω.
A través del estudio de conjuntos siempre se asumirá un universo de discurso U, y de acuerdo al contexto de trabajo, algunas veces no será especificado explícitamente. El objetivo de fijar un conjunto universal es que cada variable que denote un elemento de un conjunto es un elemento y sólo un elemento del universo. Así en el caso de muchos cursos de matemáticas básicas el conjunto universal es el conjunto de los números reales.
Conjunto Unitario
Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento. Ejemplo:
P= {x/x está formado por satélites de la tierra}
Conjunto Finito
Es aquel cuyo elemento se puede contar en forma usual desde primero hasta el último. Ejemplo:
A= {El número computadoras del salón de clase} B= {275 páginas del libro}
C= {números impares de 5 al 21}
Conjunto Infinito
Es aquel cuyo elemento al contarlos no se llega a un último elemento del conjunto, es llamado también indeterminado.
Ejemplo: A= {x∈Z; x >2}
B= {x/x Es un número real}
Subconjunto
El conjunto A es un subconjunto de B si y sólo si, cada elemento de A es también elemento de B. Si, A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d, e} entonces A
⊂
BSi, C = {1, 2, 3} y D = {2, 4, 6, 8} entonces C
⊄
DEl conjunto de los números reales tiene un determinado número de subconjuntos con propiedades específicas: el conjunto de los números naturales; el conjunto de los números enteros; el conjunto de los números racionales, y el conjunto de los números irracionales.
A
1
2
3
4
5
B
4
5
6
8
7
∪
=
A
1
2
3
4
5
B
4
5
6
8
7
∪
Igualdad de conjuntos
Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.
A = B
Conjuntos disjuntos
Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos.
F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} G = {a, b, c, d, e, f}
5. Operaciones entre conjuntos
Los conjuntos se pueden combinar entre sí para obtener nuevas operaciones dentro de esas combinaciones, merecen destacarse, la unión y la intersección de conjuntos.
Las operaciones con conjuntos se comportan de una manera muy semejante a las operaciones con números corrientes, a continuación se definen las principales operaciones.
Unión
Si se reúnen o suman los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B, se obtiene un tercer conjunto y la operación se denomina unión. La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto compuesto por todos los elementos que están en A o B o en ambos.
Se denota por A
∪
B, de tal forma que A∪
B = {x / x∈
A o x∈
B}.Ejemplo 1
Si A = {1, 2, 3, 4, 5}, y B = {4, 5, 6, 7, 8}; Entonces A
∪
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}Ejemplo 2
Si A= {a, b, c, d} y B= {h, i, j, k, l} entonces A
∪
B ={a, b, c, d, h, i, j, k, l}Ejemplo 3
Si A= {1, 2, w, x, y, z} y B= {1,2, 3, r, s, u, w} Entonces A
∪
B = {1, 2, 3, r, s, u, w, x, y, z}Ejemplo 4
COMISIÓN DE PRECÁLCULO
~ 6 ~
AGO-DIC-2012Ejemplo 5
Si A= {x | -10
<
x<-1
} y B= {x | 2<
x< 15
} Entonces A∪
B= {x | -10<
x<-1
∪
2<
x< 15
}Intersección
Si en lugar de reunir los conjuntos A y B se buscan los elementos comunes a ambos, se estaría efectuando la intersección de los conjuntos. La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto que contiene a todos los elementos que pertenecen a A y también pertenecen a B, es decir, los elementos que son comunes a ambos conjuntos y se denota por:
A ∩ B, formalmente: A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}.
Ejemplo 1
Si A = {1, 2, 3, 4, 5}, y B = {4, 5, 6, 7, 8}, Entonces A ∩B = {4, 5}.
Ejemplo 2
Si A = {2, 4, 6, 8} y B = {6, 8, 10, 12} Entonces A ∩ B = {6, 8}
Ejemplo 3
Si A= {1, 2, w, x, y, z} y B= {1,2, 3, r, s, u, w} Entonces A ∩ B = {1, 2, w}
Ejemplo 4
Si A= {x | x
<-1
} y B= {x | x<
1
} Entonces A ∩ B= {x | x<
-1
}Ejemplo 5
Si A= {x | -10
<
x<
3
} y B= {x | 2<
x<
15
} Entonces A ∩ B= {2, 3}Ejemplo 6
Si A= {x | x
<-1
} y B= {x | x>1
} Entonces A ∩ B=φ
A
1
2
3
4
5
B
4
5
6
8
7
∪
=
A
1
2
3
4
5
B
6
8
7
∪
4
Resta o diferencia de conjuntos
Es el conjunto de todos los elementos que están en A y no están en B y se denota A-B En forma practica
Si a un conjunto “A” le quitamos los elementos de un conjunto “B”, el conjunto que queda es la resta de conjuntos A-B. y Si a un conjunto “B” le quitamos los elementos de un conjunto “A”, el conjunto que queda es la resta de conjuntos B-A.
Ejemplo 1
A
a e i o u
, , , ,
y
B
a b
,
A-B
e i o u
, , ,
B-A
b
Ejemplo 2
A
a e i o u
, , , ,
y
B
a e
,
A-B
i o u
, ,
B-A
Ejemplo 3
A
0,1, 2,3, 4, 5
y B
1,8
A-B
0, 2,3, 4,5
B-A
8
Ejemplo 4
A
0,1, 2,3, 4, 5
y B
1, 2
A-B
0,3, 4,5
B-A
Ejemplo 5
A
0,1, 2,3, 4, 5
y B
1, 2
A-B
0,3, 4,5
B-A
A B
U A - B
A B
COMISIÓN DE PRECÁLCULO
~ 8 ~
AGO-DIC-2012Ejemplo 6
A
2, 0, 2,
y
B
1,1,3
A-B
2, 0, 2
B-A
1,1,3
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales cuya representación es
ℚ
, está
integrado por los números que pueden escribirse de la forma
a
b
, siempre y
cuando
a y b
sean números enteros y
b
0
. O cuando están escritos en forma
decimal su parte fraccionaria sea cero, finita o infinita periódica.
Todos los números que cumplan con la definición anterior son elementos que
pertenecen al conjunto de los números racionales.
Algunos elementos de este conjunto son:
4, , 1.5,
1
1
0.3
2
3
Conjunto de los números irracionales
El conjunto de los números irracionales cuya representación es está
integrado por los números cuya parte decimal sea infinita no periódica. Los
números que cumplan con la definición anterior son elementos del conjunto de
los números irracionales.
Conjunto de los números Reales
El conjunto de los números reales cuya representación es
ℝ
resulta de la
unión del conjunto de los números racionales, con el conjunto de los números
irracionales es decir
ℝ
=
ℚ ∪
2.1 Propiedades de los números reales
Propiedad
1. Cerradura: La suma y producto de dos números reales arbitrarios es un número real.
2. Asociatividad: Dado 3 números reales arbitrarios
x
,y
yz
, secumplen:
+ ( + ) = ( + ) +
(
) = (
)
3. Elemento neutro:
Neutro aditivo El número 0, llamado neutro aditivo, cumple que para todo
real x:
+
=
Neutro multiplicativo El número 1, llamado neutro multiplicativo, cumple que para todo real x:
∙
=
4. Elementos inversos:
Inverso Aditivo Para cada número real x, existe el número −x, llamado inverso aditivo de x u opuesto
de x, tal que:
+ (
−
) =
Inverso Multiplicativo Para cada número real x, distinto de 0, existe el número (=1), llamado inverso multiplicativo de x, tal
que:
∙
=
ℚ
COMISIÓN DE PRECÁLCULO
~ 10 ~
AGO-DIC-20125. Conmutatividad: Dado 2 números reales arbitrarios x e y, se cumple:
Suma:
+
=
+
Multiplicación:
∙
=
∙
Sustracción:
−
=
+ (
−
)
División:
÷
=
=
∙
;
≠
Ejercicios
1. Si A= {p, q, r, s} y B= { t, u, v} Determine A
∪
B R. A ∪ B={ p, q, r, s, t, u, v}2. Si G= {a, e, i } y H= { 4, 5, 6} Determine G
∪
H R. G∪
H={a, e, i, 4, 5, 6}3.
Si A= {x | x ≤0} y B= {x | x
≥
0}Determine A
∪
B R. A ∪ B= R4. Si A= Determine A
φ
y B= { x | x >1 }∪
B R. A ∪ B={ x | x >1}5. Si A= Determine A
φ
y B=∪
φ
B R. A ∪ B=φ
6. Si G= {a, e, i } y H= { 4, 5, 6} Determine G ∩ H R. G ∩ H=
φ
7. Si A= {x | x> -7/2} y B= {x | x <6} Determine A ∩ B R. A ∩ B={ x | -7/2<x<6} 8. Si A= {x | x< -4/5} y B= {x | x> 6} Determine A ∩ B R. A ∩ B=φ
9. Si A= {x | 1<x< 4} y B= {x | 3/2Determine A ∩ B ≤x <4} R. A ∩ B={ x | 3/2≤x<4}10. Si A= {x | x≤1} y B= Determine A ∩ B
φ
R. A ∩ B=φ
12.
Si A= {a, e, i } ; B=
φ
y C={e,3, 6}Determine (A
∪
B) ∩ C R. (A∪
B) ∩ C={e}13.
Si A= {a, e, i } ; B={ 4, 5, 6}y C=
φ
Determine (A
∪
B) ∩ C R. (A∪
B) ∩ C=φ
14. Si A= {x | x <0}; B= {x | x >0} y C={ x | x >0} Determine (A
∪
B) ∩ C R. (A∪
B) ∩ C=N
15.Si A= {x | x <0}; B= {x | x >0} y C={ x | x ≥0}
Determine A ∩ (B
∪
C) R. A ∩ (B∪
C)=φ
16.
Si A= {x | x≤ 0}; B= {x | x >0} y C={ x | x ≥0}
Determine A ∩ (B∪ C) R. A ∩ (B
∪
C)={0}
17. Sea
A
a b c d
, , ,
,
B
a b
, ,1
y C
1, 2
Encuentre A-B
C-A B-C C-B A-C B-A
18. Sea
U
0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 ,
A
2, 4, 6,8 ,
B
1,3,5, 7,9
y C
1, 2,3, 4
Exponentes y Radicales
Notación Exponencial
a
n
b
8
2
64
Leyes de exponentes y radicales
Si a y b y m n
Entonces
i)
n m n ma a a
ii)
0 1
0
1 0
n m
n
m m n
a si n m y a
a
si n m y a
a a
si n m y a
iii)
an m an m
iv)
ab n a bn nv) 0
n n
n
a a
para b
b b
Si a, a0 y n entonces 0
1
a a n 1n
a
Multiplicación de números (potencias) con bases iguales. La base es un número real explícito “2”.
Ejemplo 1
3 4 7
3 4 3 4 7
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
Así como 2 23 4 2 también 27 72 2 y de hecho 23 4 72 2 ; 2 6 72 2 ; etc.2 5
Lo anterior debe comprenderse claramente ya que será utilizado ampliamente en el desarrollo de varios ejercicios.
Cuando en los planteamientos utilicemos letras (literales) en la posición de los exponentes se considerará que cumplen con las condiciones planteadas en las leyes antes expuestas para ocupar dicha posición.
Cuando en los planteamientos utilicemos letras (literales) en la posición de las bases se considerará que cumplen con las condiciones planteadas en las leyes antes expuestas para ocupar dicha posición.
La base es un número real (irracional) y se aplica de igual forma, siempre y cuando el exponente cumpla con las condiciones dadas anteriormente.
Ejemplo 2.
2 2 2
x x x x x x
e e e e
Si la base es un número real, aunque no sea explícito se aplica de igual forma. Ejemplo 3 x x7 3x7 3 x10
División de números (potencias) con bases iguales
Nuevamente la base es un número real explícito y recordemos que 5 tiene exponente, el cual es1 que se omite escribirlo 515.
Ejemplo 4
3
3
7
1 n m y el denominador es diferente de cero
7
Ejemplo 5
4 3
3
5
5
5
1 35
5
4
4 3 1 3
5
1 5 5 ó según las leyes vistas n>m
5
5
5
5
Ejemplo 5-a
9 6
6
5
5
5
3 65
5
9
3 3 9 6 3
6
5
1 5
5 ó según las leyes vistas n>m
5
5
125
Exponente negativo
Ejemplo 6
5 5
7
3 3
3 35
5
2 2 7 7 5 2
2
1 1 1 3 1 1 1
= ó según las leyes vistas n m
9 9
1 3 3 3 3 3
3
5 5
5 7 2 2 2
7 2 7 2 2
3 1 3 1 1
pero 3 =3 3 ó 3
3 3 3 3 3
El signo del exponente cambia si se obtiene el reciproco de la potencia. Ejemplo 6-a.
3 3
3 5
5 3
En general
n n n
a b a
para b 0, si a 0 y b 0 0
b a b
Cuidado con los signos y para cuestiones prácticas al exponente del numerador (que puede ser “positivo o negativo”) se le “resta” el exponente de denominador (que puede ser “positivo o negativo”), siguiendo las leyes de signos conocidas.
= 3 ( )= 3 = 3 Aunque la formalidad sería
2 4 2 2
4 2
3
3
3 3
3
3
2
3
2
3
Ahora con potencias cuyas bases son números reales no explícitos en combinación con números reales explícitos
Ejemplo 7
2 4
3 4 2 10 2 3 4 10 4 3 4 6 2 4 3 4 6 6
6 4 5 4 6 2 5 4 5 4 5
5
x y z u
5
x z
u
5
x z u
5
x z u
y z w u
y
w
y w
y w
Potencia de una potencia, se deja la base y se multiplican los exponentes. La base es un número real explícito “3”.
(3 ) = 3 · = 3
Si la base es un número real, aunque no sea explícito se aplica de igual forma.
( ) = ⋅ =
Si la base es un número real y el exponente
" "
x
cumple con las condiciones dadas anteriormente se aplica análogamente.( ) = ⋅ = ( ) = ( )⋅( )=
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias. El producto de dos o más números (factores), elevados a un exponente es igual a elevar cada factor al exponente y que se multipliquen las potencias obtenidas.
Para aplicar el procedimiento mencionado, el denominador debe ser diferente de cero.
Con números reales explícitos se observa fácilmente esta propiedad.
(2⋅3⋅4) = 2 ⋅3 ⋅4
(6⋅4) = 4⋅9⋅16
(24) = 36⋅16
576≡576
El error más común es querer aplicar lo anterior a la “suma de dos números”
2 2 2 xw x wLo cual en general es incorrecto y cuyo desarrollo adecuado lo trataremos más adelante en productos notables.
2 2 2ab a b
Six, y y
z
son números reales se tiene que cumplir lo anterior.
2 2 2 xy x y
3 3 3 3 xyz x y z Claro que puede haber combinaciones con las demás propiedades, como con potencia de potencia. Donde wcumple con los lineamientos para ser un exponente.
Ejemplo 8.
x y e4 3 w
2 x4 2 y3 2 ew 2x y e8 6 2wEjemplo 9.
3 3
3 3 3 2
3 2 4 3 3 3 2 3 3 2 3 9 6
3 2 4 4 2 3 2 2
4 2 2 3 2 3 6
2
x z
x y z x z x z x z
x y z x y z
y z y y y y Ó
3 3 3
3 3 2 4 9 6 6 6 9 6
3 2 4 3 3 2 3 4 3 9 6 12 9 6 6 6 9 6
4 2 3 3 4 3 2 3 12 6 6 6 6 6 6 6 6 6
4 2
1 1
x y z x y z z x z
x y z x y z x y z x y z z x z
y z y z y z y z y y z y y z y y
Ó
3 3 3
3 3 2 4
3 2 4 3 3 2 3 4 3 9 6 12 9 12 6 9 6
4 2 3 3 4 3 2 3 12 6 12 6 6
4 2
x y z
x y z x y z x y z x z x z
y z y z y z y z y y
Ejercicios
3 2 2 2 2 2 42 10 6 10 1.
2 10 3 10
R. 1
54= 1
625
2 2 3 2 5 3
16. 3 xy 5 x y 2 5x y
2 4 8 4
2 3 5
. y R x 2 1 3 4 3 5 8 16 2. 32
R.1
3
3 2 4 2
2 17.
2
x yz
x y z
5 2 3
2
x
R
y z
3 1 1
4 4 2
3. 16 16 16 R.1
4
3 2
5 1 2
3 18.
2
x y z
x y z
3 2
3
2
y
R
x z
2 2 34. 2 10 3 5
8 4 5 3 5 6 6
. 2 5 2 3 5 3 5
R
1 2 3 2 3 419. 3x y x y
x y
8 7
3
R
x y
2 1 1 2 3 4 3 5. 1 5 2
R. 1
2 2 1
3 2 4 2 3
2
20. xy 2 x y
x y 4 12 2 x y R
0 11 3 1
0.6 0.1 6.
3 3 1
4 2 3
R.−6
3 3 2 1
21. m n
mn 6 9 1 R m n 1 1 2 3 7.
3 4 R.
4 3
4 2 4 5 222. p q
p q 13 14 1 R p q
2 1 3 3 3 1 4 4 1 5 5 8. 1 5 5 7. 5
R 3 2 23. x x a a
R a
30.3 2.5 5
9. 5 125 25 5 R.√5
4 2 2 24. a a x x 2 2
R x
21 1 1
2 2 4 2
10. 2 16 4 0.64 3
. 2 5
5 2
4
5
x na
b
R
3
11. 3-2 24 33 2 R.6
3 1 4 2 7 26. 8 m m x y x y 1 3
7
8
m mx
y
R
3
2
12. 5x y xy 4 3
R. 5
x y
1 1 1 1 2 27. 3 n n n n x y x y 2 3 R
2 3
2
13. a b 3a x 4 3
R.3
a b x
28.
m n x n m n
a b
a b
n x Ra b
1
14. m m
a a 2 1
R.
ma
2 1 3
2 2 4
5 29. 6 m x m x a b a b 5 6 ab R
7 3 2 3 2 5 1 2
15. 3 2 3 2 m m
x y x y
9 8 3 5R. 3 2 m m
x y
Leyes de los Radicales
Siguiendo la definición de la raíz cuadrada. Que es un número multiplicado por sí mismo ó elevado al cuadrado sea igual al subradical o radicando:
255 Cumple con la definición,
25
5
también cumple, pero en esta ocasión el que nos interesa
1 1
2 2
25 25 25 . El cual cumple con la definición, ya que multiplicado por sí mismo, resulta el subradical o radicando
1 1 1 1 2
1
2 2 2 2 2
25 25 25 25 25 25
ó elevado al cuadrado
también resulta el subradical o radicando
2
1 2
1
2 2
25
25
25
25
n
a
Número natural. Llamado índice de la raíz
Radical
Propiedades de los radicales
a)
1 n
a
a
nb)
k k
n
a
k
a
n
na
c) 1
n
n n n
a
a
a
a
d)
1 n
ab
na
nb
ab
ne)
1 1
1
n n n
n n
n
a
a
a
a
b
b
b
b
f) 1
n
n
ab
n
na
nb
n
na b
n
na b
b a
ng)
1
1 1 n 1 1 1
n k a nak ak ak n ak n k na
IMPORTANTE lo anterior aplica solo si el radicales un número real y para que esto suceda, si el índice de la raíz es par el subradical debe ser un numero positivo y si el índice es impar solo trabajaremos con la parte real que proporciona.
Simplificar un radical, es dejar dentro del radical el menor número posible y con el menor índice posible. Utilizando las leyes anteriores.
Ejemplo 10
4 1
4 4 4 2 2 2
48
2 3
2
3
2
3
2
3
2
3
Ó
4
2 2
2
2
2
48
2 3
2 2 3
2
2
3
2 2 3
2
3
4 3
Si el radicando no es un número explícito representado con una literal se puede aplicar lo anterior, siempre y cuando se cumpla con las condiciones del cuadro anterior y así se considerara para el presente capitulo
Ejemplo 11.
1 2
3 2 2 2 2 2 1
x x x x x x x x x x x x x
Puede haber combinaciones de números reales explícitos y no explícitos: Ejemplo 12.
4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
18 9 2 3 2 3 2
3 2 3 2
x y x x y y x x y y x x y y
x x y y x y y
Ejemplo 13.
3 3
3
5 9 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 2 3 3 2
54 27 2 3 2 3 2
3 2 3 2
x y x x y y y x x y y y x x y y y
x x yyy xy x
Racionalizar
Cuando dentro del signo del radical esta un numero racional, se desea dejar sin radical el denominador “racionalizar el denominador” se puede proceder como se indica en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 14
2 2
5 5 7 5 7 5 7 5 7 35
7 7 7 7 7 7 7 7
Ejemplo 15.
2
3
3
5
15
1
3
3
5
15
15
15 ó bien
5
5
5
25
5
5
5
5
5
5
Ejemplo 16.
21
1
x
x
x
x
x
x
x
x
Ejemplo 17.
2xy
xy
uwz
xy uwz
xy uwz
uwz
uwz
uwz
uwz
uwz
Ejemplo 18.
2xy
xy
u
w
xy u
w
xy u
w
u
w
u
w
u
w
u
w
u
w
Ejemplo 19.
2 2
x y xy
x x y x y x y
Ejemplo 20.
2wy 3xz2 2 2 6xywz
2wy 2wy 3xz
3xz 3xz 3xz 3 x z 3xz
Ejemplo 21.
2
3
3
2x
3 2x
3 2x
2x
2x
2x
2x
2x
Ejemplo 22.
2 2
2 2 2 3 3
3 3 3 3
2 2 3 3
3
xy
xy
x
x y
x y
xy
y
y
y
y y
y
y
y
Ejemplo 23.
3 3
3 3 3 3
2 2 2 3 3 3
u
u w
u w
uw
uw
uw
w
w
w
w
w w
w
w
Ejemplo 24.
3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2 3 3 3
u
u w
u w
u w
u w
u w
w
w
w
w
w w
w
w
Ejemplo 25.
2 3
3 3
3 3 3 3 3
2 2 2 2
3 3 3 3
3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3
3
5
3 3 5 3 5 75 3 3 3 5 3 5 75 75
ó bien
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Ejemplo 26.
2 2
2 2 2 2 2 2 3
3 3 3
2 2 2 3 3 3
18wx yz
2wy 2wy 3 x z 2 3 x z wy
3xz 3xz 3 x z 3 x z 3xz
Ejemplo 27.
2 2
3 3
3 2
2 3
3 3 3 3
2x
3 2x
3
3
3 4x
2x
Ejemplo 28.
2 2 2
2 3
3 3 3
2 3
3 3 3 3
1 1 x x x x
x x
x x x x
Ejemplo 29.
2 2 2
3 3 3
2 3
3 3 3 3
xy xy uwz xy uwz xy uwz
uwz
uwz uwz uwz uwz
Ejemplo 30.
2 2
3 3 3
2 3
3 3 3 3
xy xy u v xy u v xy u v
u v
u v u v u v u v
Ejemplo 31.
y
y
x
y
x
yx
x
x
x
x
x
Ejemplo 32.
2 2
3 3
2
3 3 3
5
5
x
5
x
Cambiar el orden ó índice de un radical: Ejemplo 33
1 4 2
1
3
4 2
6
81
81
63
63
63
33
39
Ejemplo 34
1 4 2
6
x
4x
4 6x
6x
3 2x
3 Suma y resta de radicales
Para poder realizar la suma o resta dos o más radicales el índice y el subradical deben ser igual en las expresiones a sumar o restar:
Ejemplo 35
3
3
34 3 6 5 7 3 2 5 11 3 4 5
Ejemplo 36.
2 4 2 2 2 2 2
75 2 80 3 245
5 3 2 5 2 3 7 5
5 3 2 5 2 2 3 7 5 5 3 2 2 2 5 37 5
5 3 8 5 21 5 5 3 29 5
Ejemplo 37.
2 4 2 2 2 2 2
75
2 80
3 245
5 3
2 5 2
3 7 5
5 3
2 5 2 2
3 7 5
5 3
2 2 2 5
3 7 5
5 3
8 5
21 5
5 3
29 5
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
Ejemplo 38
2 2 2
3 2 2 3 4
2
1
2
9
1 2
2 3
3
2
2 3
3 2
2
6
3 2
2
3
8
2 2
3 3
2
2
3
2 2
2
3
2
1
1
3
1
1
3
1 2
1
3
2
1
3
1
1
2
6
2
2
6
2
2
6
2
2
6
2
6
2
2
3
2
2
3
4
2 2
3
4
4
3
4
3
4
Ejemplo 39
2 2
3 3 3 2 2 2
3 2 2 3
2
4 2
1
2
9
1 2
2 3
3
2
2 3
3 2
2
3
8
2 2
3 3
2
2
3
2 2
2
6
3 2
1
1
3
1
1
3
2
6
2
2
6
2
2
3
2
2
3
2
2
3
4
1 2
1
3
2
1
3
1
1
2
6
2
2
6
2
6
2
2 2
3
4
4
3
4
3
4
xy
xy
xy
xy y
xy y
xy y
y
xy
y
xy
y
xy
y
xy
y
xy
y
xy
y
xy
y
xy
y
xy
y
xy
y
xy
y
xy
Multiplicación de radicales
Para poder realizar la multiplicación de dos o más radicales, el índice deben ser igual en las expresiones a multiplicar:
Ejemplo 40
5 3
5 3
15
Ejemplo 41
5x 3y 5x 3y 15xy
Ejemplo 42
2 25x 3x 5x 3x 15x 15 x 15 x
Ejemplo 43
3 2 4 3
3 4 2 3 12 6 Ejemplo 44
3x 2y
4y 3x
3 4 xy 2 3 x y 12xy 6xyEjemplo 45.
3y 2x
4y 3x
3 4 y y 2 3 x x 12y2 6x2 12y x2 6 12 xy2 6Ejemplo 46.
1 1 3 2 3 3 2 2 9 4
1 1
6 6
3 2 9 4
3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 6 6
6 9 4 6 13 6 6 6 6 2 6 6
8 4 8 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2
Ejemplo 47.
1 1 1 1 3 2 3 3 2 2
3 3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2
9 4
9 4 9 9 4 4 4 13 13 4 6 6 6 6 4
6 6 6
6 6
6 6
4 2 2 4 2 4
6 6 6
8 4
8
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2
2
2
2
4
2
x
x y
x
x y
x
x y
x
xy
x
xy
x
xy
x
xy
x
x y
x y
x x x y
Para la división de radicales, utilizando las leyes de los exponentes y radicales expuestos anteriormente:
Ejemplo 48.
3
3 3 3
3 3
243
243
27
3
3
9
9
Ejemplo 49.
3
3 3
3 3
3 3
3
486
486
54
27 2
3 2 3 2
9
9
Ejemplo 50.
1 1 2 1 2 1 2 1
2 3 2 1
3 2
3 3 2 3 2 3 2
2
1 4 2 2
6 6 4
4 6 6 3 3
2 2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
16 2 2 2 2
2
También para cuando los números dentro de radical no son conocidos: Ejemplo 51.
3 10 10
3 10 7 3 3 3
7 3 7
x
x
x
x
x
x
x
Ejemplo 52.
9 2 9 2
3
9 5 2 1 4 3 3
3 3 3 3 3
3 5 5
3
500
500
250
125 2
5 2
5
2
5
2
2
2
x y
x y
x
y
x y
x x y
x
xy
x
xy
x y
x y
Ejemplo 53.
1 1 2 1 2 1 2 1
2 3 2 1
3 2 3 2 3 2 3 2
2
1 4 2 2
6 4
4 6 6 3 3
x x
x x x x x x x x
x x
x x x x
x
Potencia, cuando la base es un radical: Ejemplo 54.
5 5
3 2 3 2 5 3 10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Ejemplo 43.
5
2 2 5 10 3 3 3 3 3 3 3
Ejemplo 55.
1 12
4 4
3 3 12 12 2 2 6
x x x x x x
Ejemplo 56.
3 3 3 3
2 2 2 3 6 3 4 2 4 3 2 4 3 2 3 2
4xy 4 xy 4 x y 4x y 4x y y 4y x y 4y 4x y y 4x y
Raíz de un radical Ejemplo 57.
1 4 2
6 3
2
4 182
42
4 182
182
9 92
2Ejemplo 58.
1 4 2
6 3
x
4 18x
4x
4 18x
18x
9 9x
2Ejemplo 59.
3 4
xy
48xy
Ejercicios
Simplifica a su mínima expresión (extrayendo la mayor cantidad posible del radical)
1. 50 R.5√2 6. 31250a b8 10
R
.
5
a b
2 3
310
a b
2 4 72. 50x y
2 2 3
R.5x y 2y 7. 1283 R. 4 23
3
3. 32 R.2√3 2 8. 1283 x y z2 6 11
2 33 2 2
. 4
2
R
y z
x z
5 8 3
4. 32x y
23 2 2
R.2xy 4x y 9. 4054 R. 3 54
3
5. 1250 R.−5√310 10. 4054 x y w3 8 14
2 34 3 2
. 3
5
R
y w
x w
Simplifica realizando la suma
1. 75 2 80 3 245
R.5√3+29√5
5.
4
9
425
5
5
81
4
.
5
3
R
2. 75xy 2 80xy 3 245xy
R.5 3xy29 5xy
6.
2 4
2
4
9
25
5
5
81
x
x
x
y
y
y
4
.
5
3
R
xy
3. 3 18 2 50 5 72 R. 29√2 7.
3 4 3 9 4 25
5 5 81
3 2 3 2
1
1
.
4 5
9 5
5
5
9
R
2 3 2 3 2 3
4. 3 18x y 2 50x y 5 72x y
. 29
2
R
xy
y
8.
3 4 3 9 4 25
5ab 5ab 81ab
3 2 3 2
1
1
.
4 5
9 5
5
5
9
R
ab
ab
ab
Determina los productos siguientes y simplifica
1. 5 3 R.√15 7. 3 6 2 9
3 3
3
. 18 2
R
2. 5 3x y R. 15 8. 3 6
3 x2
2 93 x y2 2
2 3
. 18 2
R x xy
3. 5 20 R.10 9. 8 43
R. 4 26
4. 5 20x x R. 10 10. 8 43 x
R
. 4 2
6x
2
5. 3 2 4 3 R.12√6 11. 2 8
5 5
4
.
5
R
6. 3 2w 4 3z
R.12 6
wz
2 8 12. 5 5 xy x
4
.
5
R
x y
Realiza las divisiones con radicales y simplifica 4
3
8 1.
4 R. √2
12 3 4 9 7. 27 121 . 3 R 2 4 3 8 2. 4 x y xy 2 12
2
R.
x
y
2 2 3 3 3 4 9 8. 27 x y x y 12 1 . 3 R xy 34 3. 3 34
.
3
R
4 4 4 25 9. 1 64 3 25 3 . 2 R3 4 2
4. 3 x xy 6 3 16 R. 9 x y
2 2 3 4 4 4 25 10. 1 64 3 25
x y z
xyz 2 4 3 . 2 R xyz 3 5 4 4 5. 4 7 10
. 4
R
3
3 2
11. ab
a b 2
.
b
3
4 4 4 5 4 6. 4 xy x y 10 3 3 16384 . R x y Simplificar
21. 4 R.4 11. 9 8 R.3√4 8
22. 4xy R.4 2 3
12. 9x 8x R.3 √4 8 3
3 2 33. 9
R. 13. 4 R.√2
3 2
34. a
2
1 .
R a
14. 4a b2 2
R.√2
3 45. 3 3
5 3
. 3 3
R 15. 3 4248
R. 4
3
46. 3 3w
5 3
. 3 3
R w w 3 4 48 48
16. 2 w
R
. 4
w
2
3 2 27. 5
3
. 5 5
R 17. 1 6 5 16
R. 2
3 2 2 2
28. 5 x y
3
. 5 5
R xy xy
2 4 4 8 8 16 16 32
18. x y 6x y 5x y 16x y 2
. 2
R
xy
4 3
9. 25 R.√5 19. 0.000325 R. 15
4 3 2
10. 25x R.√5
25 5
10 15
0.00032
20. u
w z 5 2 3 . 5 u R w z
Racionalizar el denominador
15 1.
2 3 R.
5√3 2 5 6. 2 2 p r 5 2 . 4 p r R r 15 2. 2 3 x y
5
3
R.
2
x
y
8 7. 3
8
3
.
3
R
4 3.2 5 R.−
2 √5 5 8 8. 3 x x
8
3
.
3
x
R
4 4. 2 5 w u
2 5 R. 5 w u u 3 2 6
9. 3 2 3 3 R. 3 5 5.
2 2 R.
5 √2 4
3 2 6
Polinomios
Terminología de polinomios
Factores son los elementos de la multiplicación
5 6 302 5 2 5
6 x y = 6x y
Término: cuando una expresión algebraica está escrita en forma de sucesión de expresiones parciales, separadas entre sí por signos más
o menos
, cada expresión parcial unida al signo que le precede se denomina término. Términos semejantes: aquellos términos que tienen las mismas literales y esas literales los mismos exponentes.
Monomio: se presentan como el producto de dos o más factores, cada factor es coeficiente de los otros.
En 4xy 4 es el coeficiente numérico de xy (es común llamar tan solo coeficiente al coeficiente numérico); x es el coeficiente de 4y ; y es coeficiente de 4x y 4y es coeficiente de x, etc.
Una expresión que consiste de la suma algebraica de varios términos, se le llama multinomio. A los multinomio de dos términos se les llama binomios:
3 2
2
4 1 1
; 5 ;
y x x y
x x
Un trinomio es un Multinomios de tres términos:
2 2 2 2
2 2
1 1 1
4 4 ; 8 6
x xy y x y ó xy
x y xy
A las expresiones algebraicas de más de tres términos se les llama polinomios. (Aunque es común referirse a la mayoría de las expresiones algebraicas como polinomios)
Expresión algebraica racional cuando no contiene literales bajo el signo del radical
2 2
5 2
3 2 2 3 3
1 4 2
; 6y 4y 1; x y x y ;x ax a
x x y x a
Expresión algebraica IRRACIONAL si aparecen en ella literales bajo el signo del radical
3
35
8 5 7
3 3; ; 1
4 5 5 1
p
y x y x
x
Una expresión racional es entera o polinomio cuando no contiene literales en divisores o denominadores.
2 3 3 2 2 3
2
2 3 2
3 4 4; 2 3 2 3 ;
5 1 7 1 3 9
; ;
8 3 3 3 4 11
x y w x y ax z y x x
xy
x y x y
Una expresión racional en cuyos divisores o denominadores se presente la variable, recibe el nombre de “expresión racional fraccionaria” o simplemente fracción algebraica.
22 2
3 3 5
5 2 3 5 1
; ; ;
3 1
b x x w z
w z
x x x x w z w z
División de polinomios
Primero estudiemos la división de expresiones algebraicas de un solo término “monomios”
La forma de realizar la división de monomios es dividir los coeficientes numéricos de las expresiones a dividir, respetando las reglas de la división de números reales. Y en la parte literal, se dividen las letras respectivas utilizando las leyes de los exponentes antes vistas.
Ejemplo 1:
6
6 3 3 3
x
x x
x
Ejemplo 2:
4
4 4 4
7 7 4 3 4 3 3 3
25
25
1
5
5
5
5
5
5
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Ejemplo 3:
5 3 5 3 3 1 2 2
2 2 3
