Documento soluciones examen UD 1, "IntGrav", y 2, "IntEM Parte I", Fís2º

Soluciones_2º CB_16/11/2018_ OPCIÓN A

1.

a) Una partícula cargada positivamente se mueve en la misma dirección y sentido de un campo eléctrico uniforme. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: (i) ¿Se detendrá la partícula?; (ii) ¿se desplazará la partícula hacia donde aumenta su energía potencial?; (iii) ¿aumenta el potencial eléctrico? (CE 2.3)

(i) No se detendrá la partícula porque la fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre la carga positiva, F⃗⃗⃗⃗ = Q · E⃗⃗ e , es de la misma dirección y del mismo sentido que el propio campo y, en este caso, que el movimiento inicial de la propia carga. En consecuencia, notará una aceleración en la misma dirección y sentido que la velocidad que posee y no se detendrá sino que acelerará y aumentará dicha velocidad.

(ii) También podemos entender que la partícula no se desplazará hacia donde aumenta su energía potencial, sino todo lo contrario, se desplaza hacia donde disminuye su energía potencial porque se mueve hacia dónde señala la fuerza que ejerce el campo, debido a esa fuerza, movimiento espontáneo y disminución de la energía potencial. En tales circunstancias, la fuerza electrostática conservativa realiza un trabajo positivo “a costa de consumir” energía potencial. Lo podemos ver matemáticamente: W_c= −ΔE_p⇒ W_c > 0 ⇒ ΔE_p< 0.

(iii) En cuanto al potencial electrostático, hay que decir que disminuye en el sentido en el que señala el vector intensidad de campo electrostático, ΔV = −Ex· Δx, luego en este caso, puesto que la carga se mueve en ese sentido, el potencial se hace menor (V y ΔV < 0).

Teniendo en cuenta este resultado y el hecho de que la carga es positiva también podríamos intuir que su energía potencial electrostática disminuye: ΔE_p= Q · ΔV ⇒ ΔV < 0 𝑦 Q > 0 ⇒ ΔE_p< 0.

b) Un objeto de 20 kg se lanza hacia arriba con una velocidad de 10 m·s-1 _{por la superficie de un plano inclinado 30º}

respecto a la superficie de Marte. Halla la distancia que recorrerá hasta detenerse y la velocidad con que retornará al punto de partida si el coeficiente de rozamiento cinético entre los cuerpos es 0,15. (CE 1.2)

Estrategia de resolución. El análisis de las variaciones energéticas nos lleva a afirmar que, al existir rozamiento en el plano inclinado, no se conserva la energía mecánica del cuerpo: una parte de dicha energía se convierte en energía interna o energía térmica. La energía cinética que posee en la parte más baja del plano inclinado se va transformando en energía potencial y energía interna (trabajo de rozamiento) a medida que va subiendo por él.

Para realizar un análisis energético completo y calcular la distancia que recorre el cuerpo hasta que se detiene, debemos primero hacer un dibujo, segundo un diagrama de fuerzas y tercero elegir un sistema de referencia.

Tenemos que conocer qué fuerzas actúan sobre el cuerpo: peso, normal y fuerza de rozamiento.

Como actúan fuerzas no conservativas (normal y fuerza de rozamiento) debemos tener en cuenta que:

W_NCAB= ∆E_mAB WFr_A

B_{+ W}

NAB= ∆EpAB+ ∆EcAB

Puesto que la fuerza normal no realiza trabajo (es perpendicular al desplazamiento) podemos afirmar que:

W_Fr A B_{+ W}

NAB= ∆EpAB+ ∆EcAB W_Fr

A B_{= ∆E}

pAB+ ∆EcAB= Ep(B) − Ep(A) + Ec(B) − Ec(A)

Teniendo en cuenta que el origen de la energía potencial gravitatoria lo tomamos en la parte baja del plano inclinado, E_p(A) = 0, y que el cuerpo está en reposo en la parte superior del plano, Ec(B) = 0, podemos escribir que:

W_Fr A B_{= E}

p(B) − Ep(A) + Ec(B) − Ec(A)

|F⃗⃗⃗ | · |∆r _r AB| · cos 180o= m · g𝑀· hB− 1 2 m · vA

2

Debemos descomponer el peso, aplicar la expresión de la fuerza de rozamiento y aplicar el principio fundamental de la dinámica y la relación entre la altura alcanzada y el desplazamiento sobre el plano inclinado. Además debemos obtener la aceleración de la gravedad o intensidad de campo gravitatorio en Marte, gM:

|F⃗⃗⃗ | = μ · |Nr ⃗⃗ | |P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · sen 𝛼x |P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · cos α_y

|P⃗⃗ | = m · g𝑀

sen α = hB

|∆r _AB_|→ hB= |∆r AB| · sen α

gM= G M_M

R_M2 _}

∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒

{

Eje X: |P⃗⃗⃗ | − |Fx ⃗⃗⃗ | = m · ar x⇒ |P⃗⃗ | senα − μ |N⃗⃗ | = m · ax

Eje Y: |N⃗⃗ | − |P⃗⃗⃗ | = 0 ⇒ |Ny ⃗⃗ | = |P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | cos α = m · gy 𝑀· cos α = m · G M_M

R2_M· 𝑐𝑜𝑠𝛼}

De este modo: α

P ⃗⃗ N ⃗⃗

Froz

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Departamento de Física y Química

μ |N⃗⃗ | · |∆r _AB_{| · cos 180}o_{= m · G}MM R2_M · hB−

1 2 m · vA

2

−μ m · GMM

R2_M· cos α · |∆r AB| = m · G MM

R_M2 · |∆r AB| · sen α − 1 2 m · vA

2

|∆r _AB_{| =}

1 2 vA2 μ ·GMM

RM2

· cos α +GMM RM2

· sen α

|∆r _AB_{| =}

1

2 (10 m · s−1) 0,15 · 6,67 · 10−11 _{N · m}2_{· kg}−2 6,4 · 1023 kg

(3390 · 103 _m)2· cos 30o+ 6,67 · 10−11 N · m2· kg−2

6,4 · 1023 _kg

(3390 · 103 _m)2· sen 30o

= 21,4 m

Por tanto, la distancia que recorre el cuerpo hasta que se detiene es de 21,4 m.

También podríamos haber hallado la aceleración de la gravedad o intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Marte antes de sustituir:

gM= G M_M

R2_M = 6,67 · 10−11 N · m2· kg−2

6,4 · 1023 _kg

(3390 · 103 _m)2= 3,7 m · s−2 De este modo:

μ |N⃗⃗ | · |∆r _AB_{| · cos 180}o_{= m · G}MM R2_M · hB−

1 2 m · vA

2

−μ m · gM· cos α · |∆r AB| = m · gM· |∆r AB| · sen α − 1 2 m · vA

2

|∆r _AB_{| =}

1 2 vA2

μ · g_M· cos α + g_M· sen α

|∆r _AB_{| =}

1

2 (10 m · s−1)

0,15 · 3,7 m · s−2_{· cos 30}o_{+ 3,7 m · s}−2_{· sen 30}o= 21,4 m

Para hallar la velocidad con que retornará al punto de partida debemos seguir los mismos pasos que en el apartado anterior. Primero hacer un dibujo, segundo un diagrama de fuerzas y tercero elegir un sistema de referencia.

Tenemos que conocer qué fuerzas actúan sobre el cuerpo: peso, normal y fuerza de rozamiento.

Como actúan fuerzas no conservativas (normal y fuerza de rozamiento) debemos tener en cuenta que:

W_NCBA= ∆E_mBA WFr_B

A_{+ W}

NBA= ∆EpBA+ ∆EcBA

Puesto que la fuerza normal no realiza trabajo (es perpendicular al desplazamiento) podemos afirmar que:

WFr_B

A_{+ W}

NBA= ∆EpBA+ ∆EcBA WFr_B

A_{= ∆E}

pBA+ ∆EcBA= Ep(A) − Ep(B) + Ec(A) − Ec(B)

Teniendo en cuenta que el origen de la energía potencial gravitatoria lo tomamos en la parte baja del plano inclinado, E_p(A) = 0, y que el cuerpo está en reposo en la parte superior del plano, E_c(B) = 0, podemos escribir que:

W_Fr B A_{= −E}

p(B) + Ep(A) − Ec(B) + Ec(A)

|F⃗⃗⃗ | · |∆r _r BA| · cos 180o= −m · g𝑀· hB+ 1 2 m · vA2

Debemos descomponer el peso, aplicar la expresión de la fuerza de rozamiento y aplicar el principio fundamental de la dinámica y la relación entre la altura alcanzada y el desplazamiento sobre el plano inclinado. Además debemos obtener la aceleración de la gravedad o intensidad de campo gravitatorio en Marte, gM (todo esto ya lo hemos hecho en el apartado anterior):

α

P ⃗⃗ N

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|F⃗⃗⃗ | = μ · |N_r ⃗⃗ | |P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · sen α_x |P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · cos α_y

|P⃗⃗ | = m · gM

sen α = hB

|∆r _AB_|→ hB= |∆r AB| · sen α |∆r _BA_{| = |∆r}

A B_|

gM= G MM

R_M2 _}

∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒

{

Eje X: |P⃗⃗⃗ | − |Fx ⃗⃗⃗ | = m · ar x⇒ |P⃗⃗ | senα − μ |N⃗⃗ | = m · ax

Eje Y: |N⃗⃗ | − |P⃗⃗⃗ | = 0 ⇒ |Ny ⃗⃗ | = |P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | cos α = m · gy M· cos α = m · G M_M

R_M2 · cosα}

De este modo:

μ |N⃗⃗ | · |∆r BA| · cos 180o= −m · G M_M R2_M· hB+

1 2 m · vA2

−μ m · GMM

R2_M · cos α · |∆r B

A_{| = −m · G}MM R_M2 · |∆r B

A_{| · sen α +}1 2 m · vA2

v_A= √2 [GMM R_M2 · |∆r B

A_{| · sen α − μ · G}MM

R2_M· cos α · |∆r B A_|]

vA= √2 [6,67 · 10−11 N · m2· kg−2

6,4 · 1023 _kg

(3390 · 103 _m)2· 21,4 m · sen 30𝑜− 0,15 · 6,67 · 10−11 N · m2· kg−2

6,4 · 1023 _kg

(3390 · 103 _m)2· cos 30o· 21,4 m]

v_A= √2 · 6,67 · 10−11 _{N · m}2_{· kg}−2 6,4 · 1023 kg

(3390 · 103 _m)2· 21,4 m · [sen 30o− 0,15 · cos 30o] = 7,7 m · s−1

Por tanto, la velocidad con la que retorna al pie del plano es de 𝟕, 𝟕 𝐦 · 𝐬−𝟏_.

O también con el valor de la aceleración de la gravedad o intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Marte: −μ m · gM· cos α · |∆r AB| = m · gM· |∆r AB| · sen α −

1 2 m · vA

2

vA= √2[gM· |∆r BA| · sen α − μ · gM· cos α · |∆r BA|]

v_A= √2 · g_M· |∆r _BA_{| · [sen α − μ · cos α] = √2 · 3,7 m · s}−2_{· 21,4 m · [sen 30}o_{− 0,15 · cos 30}o_{] = 7,7 𝑚 · 𝑠}−1

G = 6,67 · 10-11 _N·m2_·kg-2

; MMarte = 6,4 · 1023 kg; RMarte = 3390 km.

2.

a) Explica qué significa que el potencial electrostático en un punto es 250 V. Deduce la expresión del potencial electrostático debido a una carga puntual q en un punto P que se encuentra a una distancia r de la misma. (CE 2.1) Que el potencial electrostático en un punto sea de 250 V significa que si la unidad de carga positiva se situase en dicho punto tendría una energía potencial electrostática de 250 J. También quiere decir que las fuerzas del campo electrostático realizan un trabajo de 250 J cuando la unidad de carga positiva se desplaza desde el punto en cuestión hasta el infinito.

La deducción del potencial electrostático debido a una carga puntual q en un punto P que se encuentra a una distancia r de la misma la llevaremos a cabo a partir de la energía potencial electrostática que tiene una carga testigo q’ situada a una distancia r de la carga q, E_p= kq·q′

r , y su relación con el potencial electrostático, V(P) = Ep(P)

q′ :

V(P) =Ep(P)

q′ =

Ep= kq · q′_r

q′ = k

q r

Donde k es la constante de Coulomb que depende del medio, q es la carga que genera el campo electrostático a su alrededor y r es la distancia entre dicha carga y el punto P en el que se determina el potencial.

b) Dos cargas puntuales q1 = 5 · 10-6 C y q2 = – 5 · 10-6 C están situadas en los puntos A (0,0) m y B (2,0) m

respectivamente. Calcula el valor del campo eléctrico en el punto C (2,1) m, así como la fuerza que notará otra carga de – 2 µC situada en C. (CE 2.1)

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Departamento de Física y Química * Cargas:

- Q1= q1= 5 · 10−6 C; - Q2= q2= −5 · 10−6 C; - q = −2 μC = −2 · 10−6 _C.

El vector intensidad de campo electrostático:

E

⃗⃗ _total(C) = ∑ E⃗⃗⃗ (C) =_i n

i=1

E₁

⃗⃗⃗⃗ (C) + E⃗⃗⃗⃗ (C) = ∑ k2 Qi r_i2 u⃗⃗⃗⃗⃗ =ri

n

i=1

kQ1

r₁2 u⃗⃗⃗⃗⃗ + kr1

Q2 r₂2 u⃗⃗⃗⃗⃗ r2

Donde:

r1

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = AC1C ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,1) − (0,0) = 2 i + j m → r1= √5 m = 2,2 m → u⃗⃗⃗⃗⃗ =r1

2

√5i + 1

√5 j

r₂

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = BC_2C ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,1) − (2,0) = j m → r₂= 1 m → u⃗⃗⃗⃗⃗ = j _r2

E1

⃗⃗⃗⃗ (C) = kQ1

r_1C2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 9 · 10r1C 9 N · m2· C−2

5 · 10−6 _C (√5 m)2 (

2

√5i + 1

√5 j ) = 8,04 · 10

3 _{i + 4,02 · 10}3 _{j N · C}−1

E₂

⃗⃗⃗⃗ (C) = kQ2

r_2C2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 9 · 10r2C

9 _{N · m}2_{· C}−2−5 · 10−6 C

(1 m)2 j = −4,50 · 104 j N · C−1

𝐄⃗ 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥(𝐂) = 𝟖, 𝟎𝟒 · 𝟏𝟎𝟑 𝐢 − 𝟒, 𝟏𝟎 · 𝟏𝟎𝟒 𝐣 𝐍 · 𝐂−𝟏

El vector intensidad de campo electrostático total en el punto C nos indica la fuerza que ejerce el campo sobre la unidad de carga positiva supuesta situada en dicho punto C, es decir, un culombio positivo situado en C experimenta una fuerza de

𝟖, 𝟎𝟒 · 𝟏𝟎𝟑 _{𝐢 − 𝟒, 𝟏𝟎 · 𝟏𝟎}𝟒 _{𝐣 𝐍} Por tanto, la fuerza que notará una carga q situada en el punto C será F⃗ (C) = q · E⃗⃗ (C). Luego:

F

⃗ (C) = q · E⃗⃗ (C) = −2 · 10−6 _{C · (8,04 · 10}3 _{i − 4,10 · 10}4 _{j N · C}−1_{) = −1,6 · 10}−2 _{i + 8,2 · 10}−2 _{j N}

La fuerza que notará la carga es −𝟏, 𝟔 · 𝟏𝟎−𝟐 _{𝐢 + 𝟖, 𝟐 · 𝟏𝟎}−𝟐 _{𝐣 𝐍.} ko = 9,0 · 109 N·m2·C-2

3.

a) Escribe las expresiones de las leyes de gravitación universal y de Coulomb y, a partir de ellas, indica las diferencias entre las interacciones gravitatoria y electrostática. (CE 2.2)

La expresión de la ley de gravitación universal es la siguiente: Fg

⃗⃗⃗⃗ = −Gm · m′ r2 u⃗⃗⃗ r

Donde G es la constante de gravitación universal independiente del medio, m y m’ son las masas que interaccionan (directamente proporcional al producto de las masas), r es la distancia que las separa (inversamente proporcional al cuadrado de la distancia) y ur

⃗⃗⃗ es el vector unitario que determina la dirección y sentido de la fuerza gravitatoria. La expresión de la ley de Coulomb es la siguiente:

F_e

⃗⃗⃗⃗ = kq · q′ r2 u⃗⃗⃗ r

Donde k es la constante de Coulomb dependiente del medio, q y q’ son las cargas que interaccionan (directamente proporcional al producto de las cargas), r es la distancia que las separa (inversamente proporcional al cuadrado de la distancia) y u⃗⃗⃗ r es el vector unitario que determina la dirección y sentido de la fuerza electrostática.

A partir de estas expresiones vamos a destacar las diferencias entre ambas interacciones, gravitatoria y electrostática, que se pueden observar o extraer de aquellas expresiones:

- La interacción gravitatoria no depende del medio (G), mientras que la interacción electrostática sí (k).

- La primera está asociada a las masas que interactúan (m·m’), mientras que la segunda está asociada a las cargas en reposo (q·q’).

- La interacción gravitatoria es atractiva lo que se determina por el signo “–“, mientras que la interacción electrostática puede ser atractiva o repulsiva lo que queda determinado por los signos de las dos cargas (atractiva para las de distinto signo y repulsiva para las del mismo signo).

Ambas interacciones también se diferencian en cuanto a su intensidad relativa, 10-2 _{para la electrostática y 10}-39 _{para la}

gravitatoria, aunque no es evidente que esta diferencia se pueda extraer u observar a partir de las expresiones de las fuerzas características de ambas interacciones.

b) Un satélite de masa 2 · 103 _{kg describe una órbita circular de 5500 km en torno a la Tierra. Calcula: (i) la velocidad}

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(i) Estrategia de resolución. La obtención de la velocidad orbital se basa en el principio fundamental de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , y en los fundamentos cinemáticos de las componentes intrínsecas de la aceleración y del movimiento circular uniforme,

ac = v2

r

T =2π ω

v = ω · r

Debemos tener en cuenta también que los datos que nos dan se encuentren en el SI: - La constante de gravitación universal: G = 6,67 · 10 –11 N m2 _kg –2_.

- La masa de la Tierra: MTierra = 5,98 · 1024 kg.

- El radio de la tierra: RT = 6370 km = 6,370 · 106 m.

- h = 5500 km = 5,500 · 106 _m.

∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ F_g= m · a_c⇒ GMT· m r2 = m ·

v2

r ⇒ G

MT r = v

2_⇒

vorb= √G M_T

r = √G

M_T RT+ h

= √6,67 · 10−11 _{N · m}2_{· kg}−2 5,98 · 10 24 _kg

6,370 · 106 _{m + 5,500 · 10}6 _m= 5,8 · 103 m · s−1

En consecuencia, la velocidad orbital del satélite es de 𝟓, 𝟖 · 𝟏𝟎𝟑 _{𝐦 · 𝐬}−𝟏_.

(ii) Estrategia de resolución. Para determinar la velocidad con que el satélite llegaría a la superficie terrestre si se dejara caer desde la altura de 5500 km con velocidad inicial nula haremos uso del principio generalizado de conservación de la energía mecánica, que, al despreciar los efectos de fuerzas no conservativas, se convierte en el principio de conservación de dicha energía total. Así, considerando que la velocidad del satélite cuando se deja caer (A) es cero, hallaremos la velocidad que tendría al llegar a la superficie terrestre (B):

W_NCAB= ∆E_mAB= E_m(B) − Em(A) = 0 ⇒ Em(B) = Em(A)

E_c(B) + E_p(B) = E_c(A) + E_p(A)

1 2 m vB

2_{− G}MT· m

r_B = −G

M_T· m r_A

v_B= √2 · (GMT r_B − G

MT

r_A) = √2 · G · MT· ( 1 R_T−

1 R_T+ h)

vB= √2 · 6,67 · 10−11 N · m2· kg−2· 5,98 · 1024 kg · (

1

6,370 · 106 _m−

1

6,370 · 106 _{m + 5,500 · 10}6 _m) = 7,6 · 103 m · s−1

La velocidad con la que el satélite llega a la superficie terrestre es de 𝟕, 𝟔 · 𝟏𝟎𝟑 _{𝐦 · 𝐬}−𝟏_. G = 6,67 · 10 –11 N m2 _kg –2_{; M}

Tierra = 5,98 · 1024 kg; RTierra = 6370 km.

4.

a) En la película Interstellar del año 2014 el ingeniero y piloto de la NASA, Joseph Cooper, tiene que orbitar alrededor de un agujero negro (Gargantúa) a una distancia de su centro igual a mil veces el radio de la Tierra, RT.

Deduce y compara la intensidad del campo gravitatorio de dicho agujero negro en esa órbita con la de nuestro planeta en su superficie, sabiendo que la masa del agujero es 1012 _{veces mayor que la de la Tierra, M}

T. ¿De qué factores

depende la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta? (CE 1.1)

Para deducir la expresión de la intensidad de campo gravitatorio debida al agujero negro en la órbita indicada haremos uso de la ley de gravitación universal, F⃗⃗⃗⃗ = −G_g m·m′_r2 u⃗⃗⃗ r, y su relación con el vector intensidad de campo gravitatorio, g⃗ (P) =

Fg

⃗⃗⃗⃗⃗ (P) mP (fuerza

que el campo gravitatorio ejerce sobre la unidad de masa supuesta situada en el punto):

g⃗ (P) =F⃗⃗⃗⃗ (P)g mP

=−G M · m_P

r2 u⃗⃗⃗ r mP

= −GM

r2u⃗⃗⃗ ⇒ |g⃗ (P)| = g(P) = Gr M r2

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Departamento de Física y Química

g_Gargantúa= GMGargantúa r_órbita2 = G

1012_{· M} Tierra (1000 · R_Tierra)2

g_Tierra= GMTierra R_Tierra2

}

⇒gEuropa g_Tierra =

G 1012· MTierra (1000 · R_Tierra)2

GMTierra R_Tierra2

= 10

12

10002= 106

Por tanto:

g_Europa= 106_{· g} Tierra

Luego la intensidad de campo gravitatorio en la órbita próxima al agujero negro es un millón de veces mayor que la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de nuestro planeta.

A la vista de la expresión de la intensidad de campo gravitatorio, g(P) = GM

r2, podemos afirmar que el valor de la misma en la

superficie de un planeta, go(P) = G M

R2, (M es la masa y R el radio del planeta) depende de su masa M (es directamente

proporcional a la misma) y de la distancia del centro del mismo a su superficie, de su radio R (es inversamente proporcional a su cuadrado).

b) Una carga de – 2 μC se encuentra en el interior de un campo eléctrico uniforme de 550 V·m-1_{. Determina el trabajo}

que realiza dicho campo cuando el cuerpo cargado se desplaza 20 cm en el mismo sentido del vector intensidad de campo. Comenta el signo del trabajo hallado. ¿Cuánto ha cambiado la energía potencial de la carga? ¿Y el potencial electrostático del campo? (CE 2.4)

Estrategia de resolución. Para hallar el trabajo solicitado haremos uso de la expresión que permite obtenerlo, W_AB_{= F⃗ · ∆r} A B₌

|F⃗ | · |∆r _AB_{| · cosθ para una partícula que se desplaza bajo la acción de una fuerza constante como la que actúa en este caso, F} e ⃗⃗⃗⃗ = Q · E⃗⃗ , debida a un campo electrostático uniforme, E⃗⃗ .

De este modo:

W_AB_{= F⃗ · ∆r}

AB= F⃗⃗⃗⃗ · ∆r e AB= Q · E⃗⃗ · ∆r AB= Q · |E⃗⃗ | · |∆r AB| · cosθ

Antes de proceder a la obtención del trabajo nos cercioraremos de que las magnitudes están escritas en la unidades adecuadas y también realizaremos un dibujo orientativo de la situación:

- carga = Q = – 2 μC = – 2 · 10-6 _C.

- campo electrostático: |E⃗⃗ | = 550 V · m−1_{= 550 N · C}−1_. - desplazamiento: |∆r _AB_{| = 20 cm = 0,20 m.}

W_AB_{= Q · |E⃗⃗ | · |∆r} A

B_{| · cosθ = −2 · 10}−6 _{C · 550 N · C}−1_{· 0,20 m · cos 0}o_{= −0,00022 J}

Por tanto, el trabajo solicitado es −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝐉.

El signo negativo que se obtiene nos indica que este trabajo hallado con las fuerzas del campo electrostático no lo llevarán a cabo dichas fuerzas (que desplazarían a la carga negativa en sentido contrario al vector intensidad), sino que serían necesarias fuerzas externas a dicho campo.

También podríamos haber hallado el trabajo que realizan las fuerzas del campo a partir de la variación de la energía potencial, W_{𝐶 A}B= −∆E_pAB, y, en consecuencia, mediante la diferencia de potencial electrostático entre los puntos indicados que se hayan separados los 20 cm, 𝑊_{𝐶 𝐴}𝐵= −∆E_pAB= −Q · ∆V_AB_.

Debemos entonces hallar la diferencia de potencial a partir del valor del vector intensidad de campo, ∆V_AB_{= −E⃗⃗ · ∆r}

AB= −|E⃗⃗ | · |∆r AB| · cosθ Así:

∆V_AB_{= −|E⃗⃗ | · |∆r} A

B_{| · cosθ = −550 N · C}−1_{· 0,20 m · cos 0}o_{= −110 V}

Y el trabajo:

W_{𝐶 A}B= −Q · ∆V_AB_{= −(−2 · 10}−6 _{C · −110 V) = −0,00022 J}

Además con estos resultados podemos contestar a las siguientes cuestiones relativas a la energía potencial y al potencial. En cuanto a la energía potencial podemos afirmar que en este caso aumenta porque la partícula cargada negativamente se está moviendo en sentido contrario a su movimiento “natural” o espontáneo “cargándose” de energía, es decir, aumentando la energía potencial. También podemos determinar este punto (incluso podemos hallar el aumento de energía potencial) a partir del trabajo realizado por las fuerzas conservativas, W_{𝐶 A}B= −∆E_pAB, de manera que como el trabajo es negativo (W_{𝐶 A}B< 0) la variación de energía potencial es positiva (∆E_pAB> 0). Además podemos afirmar que ∆E_pAB= −W_CAB= 0,00022 J.

En lo que al potencial se refiere ya hemos hallado su variación, ∆V_AB_{= −110 V, lo que nos indica que disminuye en el} desplazamiento de la carga. Hay que recordar que se mueve en el mismo sentido del campo que apunta, como debemos saber, hacia donde disminuye el potencial, ∆V_AB_{= −E⃗⃗ · ∆r}

AB.

OPCIÓN B

∆r AB

E ⃗⃗ Fe

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1.

a) Explica qué significa que el vector intensidad de campo electrostático en un punto es −2500 j N · C−1_{. Deduce la} expresión del vector intensidad de campo eléctrico debido a una carga puntual q en un punto P que se encuentra a una distancia r de la misma. (CE 2.1)

Que el vector intensidad de campo electrostático en un punto es −2500 j N · C−1 _{quiere decir que la unidad de carga positiva} situada en dicho punto notaría una fuerza de −2500 j N debida al mismo.

Para deducir la expresión del vector intensidad de campo eléctrico debido a una carga puntual q en un punto P que se encuentra a una distancia r de la misma, haremos uso de la definición del campo electrostático que hemos utilizado para explicar el apartado anterior, es la fuerza que el campo ejerce sobre la unidad de carga positiva supuesta situada en el punto, y de su relación matemática, E⃗⃗ (P) =F⃗⃗ (P)_Q

P. De este modo, haciendo uso de la ley de Coulomb, F⃗⃗⃗⃗ = ke

q·q′ r2 u⃗⃗⃗ r,

E

⃗⃗ (P) =F⃗ (P) Q_P =

kQ · QP r2 u⃗⃗⃗ r

Q_P = k

Q

r2u⃗⃗⃗ ⇒ Er ⃗⃗ (P) = k Q r2u⃗⃗⃗ r

b) Una partícula de 0,50 g se suspende (¡¡¡oh no, está suspendida!!!) de un punto mediante un hilo inextensible de masa despreciable y 75 cm de longitud. Si se carga el objeto y se establece un campo electrostático paralelo al suelo terrestre de 500 N·C-1_{, la partícula se ve repelida por el campo y el hilo forma un ángulo de 30º con la vertical. Haz}

un esquema de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y halla la carga que posee. (CE 2.1)

Estrategia de resolución. Para determinar el valor de la carga de la partícula utilizaremos razonamientos dinámicos, teniendo en cuenta que la fuerza que hace que se separe de la vertical es de tipo electrostático y responde a F⃗⃗⃗⃗ = Q · E⃗⃗ e . Como en todo problema de dinámica (estática) seguiremos los procedimientos habituales:

* En primer lugar hacemos un dibujo y un diagrama de fuerzas, que además nos pide explícitamente el enunciado del problema.

* En segundo lugar elegimos un sistema de referencia y descomponemos las fuerzas en dicho sistema:

|Tx⃗⃗⃗⃗ | = |T⃗⃗ | sen α |Ty⃗⃗⃗⃗ | = |T⃗⃗ | cos α

* En tercer lugar debemos cerciorarnos que las magnitudes están expresadas en las unidades adecuadas:

- Masa de la partícula: m = 0,50 g = 0,00050 kg. - El campo electrostático: E = 500 N·C-1_.

- La longitud del hilo: l = 75 cm = 0,75 m.

- La fuerza electrostática se puede escribir como: F_e= Q · E

- La aceleración de la gravedad o el campo gravitatorio terrestre: gT = 10 m·s-2.

∑ F⃗ = m a⃗ ⇒ P⃗⃗ + T⃗⃗ x + T⃗⃗ y + F⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ⇒ {e

P − Ty = 0 ⇒ m · gT− |T⃗⃗ | cos α = 0 ⇒ m · gT= |T⃗⃗ | cos α

Tx − Fe= 0 ⇒ |T⃗⃗ | sen α − Q · E = 0 ⇒ Q · E = |T⃗⃗ | sen α

Podemos determinar la carga dividiendo ambas expresiones: tg α = Q · E

m · g_T ⇒

Q =m · gT· tg α

E =

0,00050 kg · 10 m · s−2_{· tg 30}o

500 N · C−1 = 5,8 · 10−6 C

De este modo la carga de la partícula es −𝟓, 𝟖 · 𝟏𝟎−𝟔 _{𝐂 (la carga se ve repelida por el campo).} gT = 10 m·s-2

2.

a) Representa y explica qué y cómo son las líneas de campo de una carga puntual negativa. Razona si es posible que se puedan cortar dos líneas de campo. (CE 2.2)

Las líneas del campo electrostático producido por una carga puntual negativa son radiales con centro en la carga y dirigidas hacia ella (sumidero). Hay que recordar que las líneas de fuerza o de campo son las líneas a las que son tangentes las fuerzas del campo en cada punto, es decir, en este caso las líneas a las que son tangentes en cada punto las fuerzas del campo electrostático debido a la carga puntual negativa.

Dos líneas de fuerza o de campo no se pueden cortar porque ello supondría que en el punto de corte habría dos valores del campo diferentes.

b) Dos masas iguales de 50 kg se sitúan en los puntos A (0,0) m y B (6,0) m. Calcula: (i) El valor de la intensidad del campo gravitatorio en el punto P (3,3) m; (ii) si situamos una tercera masa de 2 kg en el punto P, determina el valor de la fuerza gravitatoria que actúa sobre ella. (CE 1.1)

𝑃⃗ α α

Soluciones_2º CB_16/11/2018_

Departamento de Física y Química Estrategia de resolución. (i) Para hallar el vector intensidad de campo gravitatorio en el

punto P(3,3) m obtendremos los producidos por cada una de las masas puntuales por separado, para finalmente sumarlos vectorialmente. Antes de comenzar a aplicar el principio de superposición debemos escribir las magnitudes en las unidades adecuadas, en el SI:

* Masas: m1 = m2 = 50 kg.

El vector intensidad de campo gravitatorio:

g⃗ _total(P) = ∑ g⃗⃗⃗ (P) =_i n

i=1

g₁

⃗⃗⃗⃗ (P) + g⃗⃗⃗⃗ (P) = ∑ −G₂ mi r_i2 u⃗⃗⃗⃗⃗ =ri

n

i=1

− Gm1

r₁2 u⃗⃗⃗⃗⃗ + (−Gr1

m2 r₂2 u⃗⃗⃗⃗⃗ )r2

r₁

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = AP_1P ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 i + 3 j m ⇒

r₁= √18 m = 4,2 m ⇒ u⃗⃗⃗⃗⃗ =_r1 3 √18i +

3 √18 j =

1 √2i +

1 √2 j

r2

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = BP2P ⃗⃗⃗⃗⃗ = −3 i + 3 j m ⇒ r2= √18 m = 4,2 m ⇒

u⃗⃗⃗⃗⃗ = −r2

3 √18i +

3 √18 j = −

1 √2i +

1 √2 j

De este modo: g1

⃗⃗⃗⃗ (P) = −Gm1

r₁2 u⃗⃗⃗⃗⃗ = −6,67 · 10r1

−11 _{N · m}2_{· kg}−2 50 kg (√18 m)2 (

1 √2i +

1

√2 j ) = −1,3 · 10

−10 _{i − 1,3 · 10}−10 _{j N · kg}−1

g2

⃗⃗⃗⃗ (P) = −Gm2

r₂2 u⃗⃗⃗⃗⃗ = −6,67 · 10r2

−11 _{N · m}2_{· kg}−2 50 kg (√18 m)2 (−

1 √2i +

1

√2 j ) = 1,3 · 10

−10 _{i − 1,3 · 10}−10 _{j N · kg}−1

Al sumar ambos campos:

g⃗ _total(P) = −2,6 · 10−10 _{j N · kg}−1

Luego el vector intensidad de campo gravitatorio en el punto P debido a las dos masas puntuales es:

𝐠

⃗ _{𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥}(𝐏) = −𝟐, 𝟔 · 𝟏𝟎−𝟏𝟎 _{𝐣 𝐍 · 𝐤𝐠}−𝟏

(ii) Si situamos una tercera masa de 2 kg en el punto P, para determinar el valor de la fuerza gravitatoria que actúa sobre ella, aplicaremos su relación con el vector intensidad de campo gravitatorio, F⃗ (P) = mP· g⃗ (P). Así:

F

⃗ (P) = mP· g⃗ (P) = 2 kg · −2,6 · 10−10 i N · kg−1= −5,2 · 10−10 j N

En consecuencia, la masa de 2 kg situada en P notará una fuerza de −𝟓, 𝟐 · 𝟏𝟎−𝟏𝟎 _{𝐣 𝐍 debida a las dos masa de 50 kg.} G = 6,67 · 10 –11 N m2 _kg –2

3.

a) Una carga negativa se abandona (ella nunca lo haría por muy negativa que fuese) en el seno de un campo electrostático uniforme. ¿Hacia dónde se moverá? ¿Qué le sucederá al potencial electrostático en el sentido del movimiento de la carga? ¿Cómo cambiará su energía potencial eléctrica? Razona las respuestas. (CE 2.3)

Una carga negativa se moverá en sentido contrario al vector intensidad de campo electrostático, puesto que la fuerza que nota tendrá ese sentido debido al signo de su carga, F⃗⃗⃗⃗ = Q · E⃗⃗ _e . También podemos recordar que las cargas negativas, espontáneamente, se dirigirán en el sentido opuesto que indica el campo eléctrico, es decir, hacia donde aumenta el potencial, ∆V_AB_{= −E⃗⃗ · ∆r}

AB, y disminuye su energía potencial, ΔE_p= Q · ΔV.

En cuanto al potencial electrostático, como acabamos de indicar, hay que decir que disminuye en el sentido en el que señala el vector intensidad de campo electrostático (V), luego, puesto que la carga se mueve en sentido contrario, lo hará hacia donde aumenta, (ΔV > 0).

Teniendo en cuenta este resultado y el hecho de que las cargas se mueven espontáneamente hacia donde disminuye su energía potencial, podemos intuir que su energía potencial electrostática disminuirá:

ΔEp= Q · ΔV ⇒ ΔV > 0 y Q < 0 ⇒ ΔEp< 0

También podemos entender la disminución de la energía potencial electrostática de la carga negativa por el hecho de que se mueve en sentido contrario del vector intensidad de campo, E⃗⃗ , y en el mismo sentido de la fuerza que ejerce el campo sobre la carga, F⃗⃗⃗⃗ = Q · E⃗⃗ _e . En tales circunstancias, el sistema disminuye su energía porque el desplazamiento se produce a favor, en el mismo sentido, de las fuerzas del campo. Lo podemos ver matemáticamente: W_c= −ΔE_p⇒ W_c> 0 ⇒ ΔE_p< 0.

m1 m2

P(3,3) m

g2

⃗⃗⃗⃗ (P) g1

⃗⃗⃗ (P)

gtotal

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b) En la superficie de un planeta de 2000 km de radio, la aceleración de la gravedad es de 3 m s-2_{. Calcula: (i) La}

masa del planeta; (ii) la altura que alcanzaría un objeto lanzado desde su superficie con una velocidad vertical inicial de 2000 m·s-1_{. (CE 1.4 y 1.5)}

(i) Estrategia de resolución. La obtención de la masa del planeta se basa en la propia definición de intensidad de campo gravitatorio cuyo módulo es g = GM

r2, y en la superficie de un planeta g = G

M R2.

Debemos tener en cuenta también que los datos que nos dan se encuentren en el SI: - La constante de gravitación universal: G = 6,67 · 10 –11 N m2 _kg –2_.

- La aceleración de la gravedad del planeta: g = 3 m s-2_.

- El radio del planeta: R = 2000 km = 2,000 · 106 _m.

g = GM

R2 ⇒ M = g · R2

G

M =3 m · s

−2_{· (2,000 · 10}6 _m)2

6,67 · 10−11 _{N · m}2_{· kg}−2 = 1,8 · 1023 kg

En consecuencia, la masa del planeta es de 𝟏, 𝟖 · 𝟏𝟎𝟐𝟑 _𝐤𝐠.

(ii) Estrategia de resolución. Para determinar la altura que alcanzará un objeto lanzado desde su superficie con una velocidad vertical inicial de 2000 m·s-1 _{haremos uso del principio generalizado de conservación de la energía mecánica, que, al despreciar}

los efectos de fuerzas no conservativas, se convierte en el principio de conservación de dicha energía total. Así, considerando que la velocidad del satélite cuando alcanza esa altura máxima (B) es cero:

W_NCAB= ∆E_mAB= Em(B) − Em(A) = 0 ⇒ Em(B) = Em(A)

Ec(B) + Ep(B) = Ec(A) + Ep(A)

−GMT· m rB

=1 2 m vA

2_{− G}MT· m rA

−G MT R + h=

1 2 vA

2_{− G}MT R

Podemos hallar la masa del planeta con los datos que nos dan o escribirla en función de la gravedad del mismo y de su radio:

g = GM

R2⇒ G · M = g · R2

−g · R 2

R + h= 1 2 vA

2₋g · R2 R

−g · R 2

R + h= 1 2 vA

2_{− g · R}

h = g · R

2

g · R −1_{2 vA}2− R

h = 3 m · s

−2_{· (2,000 · 10}6 _m)2

3 m · s−2_{· 2,000 · 10}6 _{m −}1

2 (2000 m · s−1)2

− 2,000 · 106 _{m = 1,0 · 10}6 _m

La altura máxima que alcanza el objeto es de 𝟏, 𝟎 · 𝟏𝟎𝟔 _{𝐦 (unos 1000 km).} G = 6,67 · 10-11 _{N m}2 _kg-2

4.

a) Un objeto de masa m se deja en la parte más alta de un plano de altura h inclinado un ángulo α respecto a la superficie terrestre. Analiza las transformaciones y las variaciones energéticas que se producirán a medida que el cuerpo baje por la pendiente: (i) en ausencia de rozamientos; (ii) si el coeficiente de rozamiento dinámico entre el objeto y la superficie del plano es µ. ¿Qué cambiaría en el apartado (i) si en vez de encontrarnos en la superficie de la Tierra estuviésemos en la de la Luna? (CE 1.2)

Soluciones_2º CB_16/11/2018_

Departamento de Física y Química

W_NCAB= ∆E_mAB= E_m(B) − E_m(A) = 0 ⇒ E_m(B) = E_m(A)

En consecuencia, la energía mecánica que la masa posee en la parte más alta del plano inclinado es la misma que posee cuando va bajando por él. De este modo, la energía potencial gravitatoria, Ep =m·g·h, se va transformando íntegramente en energía

cinética, Ec = ½ m·v2:

Ep = m · g · h = Ec = ½ m · v2

(ii) Si el coeficiente de rozamiento dinámico entre el objeto y la superficie del plano es µ, no se conservará la energía mecánica puesto que sí hay trabajo no conservativo, W_NCAB, concretamente trabajo de la fuerza de rozamiento, W_Froz

A B

que es negativo y que, por tanto, hará que disminuya la energía total de la masa. De este modo, la energía potencial gravitatoria no se convertirá íntegramente en energía cinética puesto que una parte de la misma se convertirá en energía interna o térmica:

W_NCAB= WFroz_A

B_{= ∆E}

mAB= Em(B) − Em(A) < 0

Ep = m · g · h < Ec = ½ m · v2

−μ · m · g · cos θ · Δx = Ec − Ep = ½ m · v2_{− m · g · h}

−μ · m · g · cos θ · Δx = Ec − Ep = ½ m · v2_{− m · g · h}

Ec = Ep − μ · m · g · cos θ · Δx

Si en la situación (i) en vez de encontrarnos en la superficie de la Tierra estuviésemos en la superficie de la Luna la energía mecánica se conservaría igualmente, pero, puesto que la aceleración de la gravedad lunar es inferior (aproximadamente seis veces) a la de la superficie terrestre, la energía potencial gravitatoria y la energía cinética adquirida también serían menores (unas seis veces).

b) Una partícula de 75 g se carga con 2 · 10-6 _{C y, encontrándose en reposo sobre la superficie terrestre, es sometida}

a un campo eléctrico de 7,50 · 105 _N·C-1_{, perpendicular al suelo y hacia arriba. Halla la velocidad que adquirirá}

cuando recorra una distancia de 10 cm. ¿Aumenta o disminuye la energía potencial de la partícula en dicho desplazamiento? ¿En qué se convierte dicha variación de energía? Ten en cuenta que está en la superficie de la Tierra y que debes considerar también el campo gravitatorio terrestre. (CE 2.4)

Estrategia de resolución.

Para resolver el problema aplicaremos razonamientos dinámicos obteniendo, mediante el principio fundamental de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , la aceleración que adquiere la pieza a través de las fuerzas constantes F⃗⃗⃗⃗ = Q · E⃗⃗ _e y P⃗⃗ = m · g⃗ . A continuación, para hallar la velocidad, aplicaremos las relaciones características de los movimientos rectilíneos uniformemente acelerados, v2_{− v}

o

2_{= 2 · a · Δy.}

Como en todos los problemas de dinámica seguiremos el procedimiento habitual: * Primero haremos un dibujo.

* En segundo lugar haremos un diagrama de fuerzas.

* En tercer lugar elegiremos un sistema de referencia: eje X paralelo al suelo, mientras que el eje Y es perpendicular al suelo con sentido positivo hacia arriba; el origen de coordenadas se halla en el suelo en la vertical del punto en el que se encuentra inicialmente la pieza, mientras que el instante inicial, to = 0, corresponde al momento en que comienza el movimiento.

* En cuarto lugar, aplicaremos el principio fundamental de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , para determinar la aceleración.

* Una vez que conozcamos la aceleración, y teniendo en cuenta que es constante, aplicaremos los aspectos cinemáticos de los movimientos rectilíneos uniformemente acelerados.

* Expresaremos y comprobaremos que todas las magnitudes están escritas en las unidades adecuadas, que, en este caso, serán las del Sistema Internacional:

- Masa de la pieza: m = 75 g = 7,5 · 10-2 _kg.

- Carga de la bola: Q = 2 · 10-6 _C.

- Posición inicial: xo = 0; yo = 0 m.

- Posición final: x = 0; y = 10 cm = 0,10 m. - Campo eléctrico: Ex = 7,5 · 105 N·C-1.

- Velocidad inicial: vox = voy = 0.

* Escribiremos las ecuaciones de la velocidad y de la posición del movimiento: - MRUA en el eje Y con aceleración:

∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ P⃗⃗ + F⃗⃗⃗⃗ = m · g⃗ + Q · E⃗⃗ = m · a⃗ ⇒_e

Con los módulos:

|Q| · |E⃗⃗ | − m · go= m · a

x y

𝐹_𝑒 ⃗⃗⃗

𝑃⃗

Soluciones_2º CB_16/11/2018_

a =|Q| · |E⃗⃗ | − m · go

m =

2 · 10−6 _{C · 7,5 · 10}5 _{N · C}−1_{− 7,5 · 10}−2_{· 10 m · s}−2

7,5 · 10−2 _kg = 10 m · s−2

Al tratarse de un MRUA:

v2_{− v}

o2= 2 · a · Δy ⇒ v = √2 · a · (y − yo) = √2 · 10 m · s−2· (0,10 m − 0) = 1,4 m · s−1

De este modo, la velocidad adquirida por la partícula tras recorrer 10 cm es 𝟏, 𝟒 𝐦 · 𝐬−𝟏_.

Puesto que el objeto ha adquirido una velocidad la energía potencial debe haber disminuido porque solo están actuando fuerza conservativas (gravitatoria, peso, y electrostática) y la energía mecánica o total se mantiene constante:

𝐖_𝐍𝐂𝐀𝐁= ∆𝐄_𝐦𝐀𝐁= ∆𝐄_𝐩𝐀𝐁+ ∆𝐄_𝐜𝐀𝐁= 𝟎 ⇒ ∆𝐄_𝐩𝐀𝐁= −∆𝐄_𝐜𝐀𝐁

En consecuencia, como ∆𝐄_𝐜𝐀𝐁> 𝟎 ∆𝐄_𝐩𝐀𝐁< 𝟎.

Esa disminución es fundamentalmente debida al campo electrostático puesto que la energía potencial gravitatoria aumenta.