solución límites digital

(1)

L´H

INF INF

L´H

INF L´H

L´H L´H

SOLUCIÓN LÍMITES

1) 1

1 1 __

  

  

    

       

  

   

     

  

 

 -senx

·cosx 2

π x 1·senx 0

0 cosx

·senx 2

π x 0·

·tgx 2 π

x

_lím

lím

2 π x 2

π x 2

π x

3)

  



M 0 x 0 x

0 x

lím

) 2

 

-x 0 x

-x x

1 -x

1

x 1 lnx )

0·(-x·lnx

lnM

_lím

0 x 2 0 x 2 0 x 0

x 0

x

 

     

    

  

 



1 e M 0

lnM_ _ _ 0 _

3 1

 

      



 3x

x 0

0 3x tg

tgx

lím

_x ₀ _x ₀

  



M 0 xsenx 0 0

x

lím

) 4

 

-x 0 x

-x x

1 x 1

x 1 lnx x·lnx

) x·lnx

sen

lnM

_lím

0 x 2 0 x 2 0 x 0

x 0

x

 

  

 

  

 

1 e M 0

lnM_ _ _ 0 _









x 1 6

6

2 3

3 2 1

x 3 3

2 1 x

A 1

x 1 x 0

0 1 x

1 x

5)

lím

 



 

 

        

























 

  

         

 

 x 1 ·x

1 x ·x

1 x

1 x ·3x

1 x 2

·2x 1 x 3 0

0 1

x 1 x A

3

2 2 1 x 3

2 2 1 x 2 3

2 2 1

x 2

3 3 2 1 x 1

x

lím

1 1 0

3 0 1 4

4

4 ₆ ₆

3 3

  

    

       

 



 



A x

x x

lím

1 x 1

x 4

2 4

1

x 0

0 x

x

1 2x x





4 4

1

2 4

1

        



 

  

       

 



2 4 ln ln2 ln4

4 ln2 ln4 4

·ln2 2 ·ln4 4 4x

2 4 0

0 sen4x

2 4

6) x x

0 x x x 0 x x

x 0

x

lím

(2)

L´H

L´H L´H

L´H

1 1 2

1

2 _

     

       

 

2 2 0

x 0

x

x -1

1 -2

1 x 1

2 0

0 arcsenx

-2x

x tgx arc 2

7)

_lím

 

  0

       

 



 8

27x 8x

27x 2x

3x 0

0 2x sen

3x sen

8)

lím

0 x 2

3 0

x 2 3 0

x 2

3 0

x

0 )

·(

0    

    

   

 

 

     8

27x 3

-x x

3 -3x

3

-x 1 ln3x ·ln3x

x

9)

_lím

0 x 3 0 x 4 0 x 3

0 x 3

0 x



2 3x



x x e

lím

10) 



 _

 

 

 



 2

3x 2

x x

e 1 x lím

2x 3e lím x

e

lím 3x

x 2

3x

x _ 

   

 

  

  2

9e lím 3x

x





  

   

 1-

-x e3x _ 2





A x

e

x _x 

  

        

 

 



 _

 1

1 ln 1 )

( 1 1

ln _x

x 0 x 0

x e

e

11)

lím

































       

  

 

 



        

 

  

     

   

 

 



 

 

 



 

0 1 0 0

1 0 · 2 1

1 2

1 · 1 2

· 1 2

0 0 1

1 1

1 1 ln )

·( 0 ·ln 1

2

A x

e x

e

e e

xe e

e e

xe e

e e x

e x x

e

x

x x

lím

0 x 0

x 0

x

0 x 0

x 0

x





      

  

   

  

           

   

   

  

   

 



 



 



0 1 ·

·cos 3

0 0 1

1 )

(

2

3 3

x senx senx

x x x sen

x x sen x

x sen x

ecx

cos 3cos

-cos cos

-cos x

tg -s

12)

lím

2 x 2

2 x

3 2

x 3

3 2

x 3

3 2

x

 



 

_{ }

e e

A 2 1 lnA 2

1 2x

1 2xx

1 0

0 1 x

lnx lnx

1 x

1 lnA

A 1

x 13)

2 1 2

1 x 1

x 2

1 x 2

1 x

1 x 1 1 x

lím

2

 

  

 

         

 

 

 

 

(3)

L´H INF

L´H

L´H L´H  

_{ }





1 e A 0 lnA

2

-x 2x

-x x

2

-x 1

x 2 lnx lnx

2 x lnx

1 -cosx lnA

A 0

x 14)

0

2 0 x 3

0 x 3 0 x 2

0 x 2

0 x 0

x 0 x

lím

    

 

     

   

 

 





0

0 1

cosx







_







_ _ _



  



 2

2 2

1 1

1

2 2 3 2

2 3

15) x x

0 x

x x x

0

x

lím

x





 





















_{ }

_x _·₁ _tg _x

_

₀ _lnA ₀ _A _e ₁

x x tg 1 x tgx

x tg 1 x

x 1 tgx

x tg 1

x 1 tgx ln tgx

x·ln tgx

senx·ln lnA

A 0

tgx 16)

0 2

0 x 2

2 0 x 2

2 0 x

2 2 0

x 0

x

0 senx

0 x

lím

    

 

 

 

 



 

 

     

    

 

  

 



 



L´H





 



 











 





1 e A 0 lnA 0

0 cosx

x

·x cosx

x 1 cosx·senx

x x cos -x sen x

1 cosx·senx

x cos -x sen

x

1 senx cosx cosx

senx

x 1

lnsenx

-lncosx x

1 senx cosx ln

x 1 cotgx ln

cotgx x·ln

lnA

A cotgx

17)

0 0

x

2 0

x 2 2 2

0 x 2

2 2

0 x 2

0 x

0 x 0

x 0

x

0 x

lím

    

 

 

 

  

  

     

    

   

  

   

   



 





1

· 0

INF

 









 

-x 0 lnA 0 A e 1

2x 2x

-x 2 x 2

x 1 2lnx x

1 lnx ·lnx

x lnA

A x

18)

0 2

0 x 3 0

x

3 0

x 2

0 x 2

2 0 x 2

2 0 x

0 x

2 0 x

lím

2

    

 

 

 

     

    

   

  

 



· 0 0

(4)

L´H

Por grados

L´H

 

1 e A 0 lnA 1x

1 x

lnx ·lnx

x 1 lnA

A x

19)

0 x

x x

0 x

1 x

lím

    

 

     

   



   

  

 

  

0

 

0 Recuerda 0 no es indeterminación x

20)

2

x x

lím

 

 

  

   

 

1 0

3

x





 









4 x

x x

x x x

x x

x 1 x

0 x

e A 4 lnA 1

4 1

3 1 3x e

3 e

1 3x e

3 e x

3x e

ln 3x

e ·ln x 1 lnA

A 1

3x e

21)

lím

   

   



 

 

       

  

  





 







0

0 0

0









_n

1 n·1 1

x 1 n l

0 0 x

1 x 1

22) n

1 n 0

x n

0

x

lím

   

      

 

 

 





π 2 1 x 1

x 1

x 2 tg 1 x

e A π

2 lnA

π 2 2

π 1 2 π sen 2

π 2

π sen

x 2 π sen 2 π

x 2 π sen x 1 lnx x 2 π cos 2 π 0

0 x

2 π cos

·lnx x 2 π sen ·0

x·lnx 2

π tg lnA

A 1

23)

lím

  







    

    



 

    

 

        

  

 

   

  

x











·cosx 0

2 x x

·cosx 2

x senx

·cosx cosx

1 0·

·cotgx cosx

1

24)

_lím

0 x 2

0 x 0

x 0

x

 

 

   

 

INF





₂

1 2 cosx

e e

0 0 senx

e e

26) x x

0 x x

x 0

x

lím

    

     

 

 



(5)









_

_





6

1 12

2

0 0

    

  

 

 

 

 





        

 

       



 



 

) 6x x

12(1

2) (

) 6x x

12(1 x

-1 2x

2) ( x -1 2x x

-1 2

6x x

-1 12x

x -1 2

2x

x -1 2

6x x

-1 6x

x -1 2

2x

x -1 3x

1 x -1 3x

x -1

1 1

x

arcsenx x

0 0 senx

arcsenx x

27)

2 2

0 x

2 2

2

2 0

x 2

3 2

2 0

x 2 3 2

2 0

x

2 2

2 0

x 2

2 0

x 3

0 x 3

0 x

lím

INF L´H

L´H

b a ln lnb lna 1

·lnb b ·lna a 0

0 x

b a

28) x x

0 x x

x 0

x

lím

    

      

 



L´H

2 3 3

1 3 ·2

2 3 -1

3 ·2·cos2x

2 3 -1

3 sen2x

2 3 -x

3x 0

0 sen2x 2

3 -x

sen3x

29)

_lím

0 x 0

x 0

x

    

        

      

 

 0

0 L´H

INF

































2

1 ·

· ·

·

 

 

   

 

  

    

 

  

      

 

 

 



 

cosx 1

1 cosx

-1 cosx 1

cosx -1

cosx -1 cosx 1

cosx -1 -2 cosx

-1 cosx 1

cosx 1

-2 cosx

1 1 cosx

-1 cosx 1

2

cosx 1

1 x

cos -1

2

-cosx 1

1 x

sen 2 31)

lím

0 x 0

x

0 x 0

x 0

x

2 0

x 2

0 x

n 1 nx

1 0

0 1 x

1 x

32) _n ₁

1 x n

1

x

lím

 

       

 



L´H

1 x 1 0

0 1 x

lnx

33)

_lím

1 x 1

x

 

      

 _

 1

L´H







_



_



_

_



_

_





2 1 2e

e e

e e e

xe e

e

e e xe e

e e e

ex e

xe

e ex

e ex e

xe

e e e -ex 1

-x e e

e e 1 -x e

-1 x

1 e

e e 34)

x x x

x

x 1

x

x x x

x 1

x x

x

x 1

x

x x

x 1

x x

x 1

x x

1 x

lím

        

 

          

 

         



  

  



 

       

 

  



 



0 0 0

0

(6)













2x1 1 4

4x 0

0 1

x

1 2x ln 0

0 1

x tg

1 2x ln

35) 2

1 x 2

1

x

lím

  

      

 

       



 



L´H

INF

-1 2

1 2 0 1 2e

1 2e

2xe e

0 0 1

e

1 x e

xe

36) 2x 2x_2x 2x

0 x 2x

2x 2x

0

x

lím

        

      

  

 

L´H

6

1 6x

x 0

0 6x

senx 0

0 3x

cosx -1 0

0 x

senx x

37)

_lím

0 x 0

x 2

0 x 3

0 x

 

       

       

 

L´H L´H INF





_cosx ₁

x xcosx 0

0 senx

·cosx arcsenx

tgx arcsenx·co

38)

lím

0 x 0

x 0

x

 

        

 

0 x cuando x·

senx que e equivalent mo

infinitési

mismo el

es realidad

En

0 x cuando x·

arcsenx :

MOS INFINITÉSI

 

1 x senx

x

39)

_lím

0 x 0

x

 



 x

INF







  









8 8

0 x 0

x 0

x

0 x x

4 0

x

0 x 0

x

0 x 0

x 0

x x 4 0

x

·e 2 1 A·B e

M 8 lnM 8

x 8x x

4·2x x

4tg2x x

tg2x 1

4ln

tg2x 1

ln x 4 lnM

M 1 tg2x

1 B

2 1 x x 2 1 tgx

senx 2 1 A

A·B g(x)

f(x)· f(x)·g(x)

tg2x 1

tgx senx 2 1 40)

lím

 

     

 

   

 

 



 

 

 

 



 

INF. del logaritmo

INF

 

0 8 8

ln 4 ln

4 ln

4 1

2 1

 



     

   

 

     

  

  

 

 

 

  

 

 

  



2 1 x

2 1 -1 x

x 2 1 x

2 1 x

2 1

2 x

x x

x

2x 1 4

x 2 1

4

x x

x 2x

1 2lnx

x 2 1

lnx 2 x

lnx 41)

lím

x x

x x x

x

L´H

(7)

1 0

0

0 0

 

      



 x

x x

tgx

42)

_lím

x x

INF

x 3

porque x

3

43) x

3 x x

lím

 

    

    

mos infinitési

Aplicando 2

2 4 2x 4x tg2x

tg4x

44)

_lím

0 x 0

x

   

 

 

_

 

_

 

_

 

__

      

   

      

      

 

   

 

  

      

 

 



  

 



0 ln2 2·2

ln2 2

2 ln2 2

2 ln2 · 2

2x 2 ln2 2x

2 ·ln2 2 0

1 x

2 1 x

0,5 45)

x

-x x -x 2

x x -x

x -x 2 x x -x 2

x -x 2

x

-x 2

x

-x

lím

2 2

L´H L´H

 

lna

1 ·lna a x

1

-·lna ·a x

1 -0

0 x

1 1 a ·0

1 a x

46) x

1 x 2

x 1 2 x

x 1 x

x 1

x

lím

  

          

  

 

      

  



  

 



L´H





 

















0 2 0 2

1 · 1 0

1  _ _

 



               

        

   



 



2

e cosx e

senx -e

0 0 0

1 -1 2x

cosxe e

0 0 x

e e ·0

e e x

1 47)

senx 2 senx

x 0 x

senx x

0 x 2

senx x

0 x senx

x 2 0 x

lím

L´H L´H





 









 









e

1 e M -1 lnM 1

e -1

-1 e

-e

e

-e -1

e -0

0 e

e -1 ln e

-1 ·ln e lnM

M 1

1 1 e

-1 48)

1 -x

-x

x -x

-x -x

x

-x

-x -x

x

-x -x

x -x

x

e x -x

lím

x

     

 

 

        



 

   

 

  

  



  

 



 

 

(8)

2) Calcula el área máxima que puede tener un sector circular de 8 metros de perímetro

3) Determina los puntos de la curva f(x) en que la pendiente de la recta tangente es máxima













_

_

1 x 1 x· lnx

1 -1

x xlnx

x -1 ·

x 1 x xlnx x

x -1

1 -x lnx

1 -x 1 ·lnx

1 x

1 x -lnx ·lnx

1 x

1 -x -lnx lnx

1 1 x

1 49)

lím

1 x 1

x 1

x

1 x 1

x 1

x

2 1 1 1 0

1 0

0 0

0

1 · 0

0 0

1 1 0

   

    

         

  

     

 

           



   

  

 

   



 _



 



 

x

L´H L´H





π·r ·360º r

-4 α r 4 360º π·r·α 4

360º π·r·α r

8 360º 2ππ·r· 2r

P          







4 r



r 360ºπ·r

360º r -4 · π·r A 360º

·α π·r A

2 2

  

 



4 r



4r r máxima r

A_ _ _ _ 2

   

    

           

  

máximo un

representa 0

2 (2) A

2 r 0 2r 4 0 A´ -2

A

2r 4 A´

2

2 ₄_m

2 4·2 A

Área   

1 x

1 f(x) ₂

 



x 1



2x -(x) f P

Pendiente ₂

    

P y P calcular que

hay máxima

ser debe P

Pendiente   









_

_







 















₂



3

2 3

2

2 2

4 2

2 2

4 2

2 2

1 x

2 6x 1

x

4x 1 x 2· 1

x

2x·2x 1

x · 1 x 2

1 x

·2x 1 x 2x·2 1

x 2 P

1 x

2x -P

  

     

    

 

 

 

    



 



























₂



4







₂



3

2 2

6 2

2 2

6 2

2 2 2

3 2

1 x

16x 1

x

2 6x 2x· 1 x 12x 1

x

2 6x 2x· 1 x 12x · 1 x

1 x

·2x 1 x ·3 2 6x 1

x 12x P

  

 

 



 

 



 

 

  



    

     

      

 _ _

      

  

  

   

            

         

4 3 , 3

3 P máximo 3

3 x

0 1 3 1

3 3 16 3

3 P

0 1 3 1

3 3 16 3

3 P

3 3 3

1 x

0 2 6x 0 P

3 3

(9)

4) Dada la función f(x) halla a, b, c para que cumpla las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0,5]. Calcula el punto en el que se verifica la tesis

Teorema de Rolle: Si la función es continua en [0, 5], derivable en (0, 5) y f(0)=f(5) entonces existe al menos un punto d en el intervalo (0,5) que cumple f´(d)=0

En este caso, la continuidad y la derivabilidad está asegurada en ambas ramas por ser funciones polinómicas. También es continua por la derecha en -1 y por la izquierda en 5. Solo hay que comprobar continuidad y derivabilidad en x=1

Primera condición: Continuidad en x=1

Segunda condición: Derivabilidad: por los dos procedimientos a) Con la definición de derivada lateral

b) por el método abreviado:

Tercera condición: f(0)=f(5)0=5·b+c Combinando todas las condiciones:

 Para esos valores obtenidos se cumplen las condiciones del teorema de Rolle existe al menos un valor d del intervalo (0,5) donde la derivada vale 0. Ese valor tendrá que ser la primera rama de la derivada, porque en la segunda rama la derivada es -1/5

   

  

   

 

5 x 1 si c bx

1 x 1 si ax x

f(x)

2









0 1

1       

 

  

   

 

  

      

 

 

a c b c b a

c b c bx

a 1 ax x

-a 1 f(1)

lím

1 x

2 1 x

a a

h h

a h h

h

ah h h

h

a ah

a h h h

a h

a h h

f h f f

      

   

       

       

  

 



 



 



 

 

2 1

) 2

( )

2 ( 2

1 2

1 )

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

1 ( ) 1 ( )

1 ´(

2

2 2

lím

0 h 0

h 0

h

0 h 0

h 0

h

b h bh h

a c

bh b h

a c

h b h

f h f

f                

 



 _ _ _

 

lím

0 h 0

h 0

h

1 )

1 ( )

1 ( ) 1 ( )

1 ´(

     

  

   

  

     

  



   

  

    

         

 

  

   

5 1

1 1

5 9 2 )

´(

5 1

1 5 1

1 1

5 9

) (

5 / 9

5 / 1 1

0 5

2

0

1 2

x si

x x

f

x si x

x si

x x

x f

a b c

c b

b a

a c b

   

 

   

 

5 1

1 1

2 )

´(

x si b

x si

a x x

f _a _b

b b f

a a

x f

        

 

     

 

 

 

2 )

( )

1 ´(

2 ) 2 ( )

1 ´(

lím

1 x

   

  

    

                   

100 81 , 10

9 100

81 50 81 100

81 10

9 · 5 9 10

9 10

9 0

5 9 2

2

es punto el

f d

(10)

5) Demuestra que en algún punto del intervalo (2,5) la gráfica de f(x) tiene tangente de pendiente -0,5

Vamos a utilizar la interpretación geométrica del teorema de Lagrange.

f(x) es continua en [2,5], derivable en (2,5) por ser cociente de funciones polinómicas y el 1 que es el valor que anula el denominador no está incluido en el intervalo. Por lo tanto se cumplen las condiciones del

teorema de Lagrange

6) Dada demuestra que existe un número c del intervalo (1,e) donde la tangente es paralela a la recta que corta a la gráfica en x=1 y x=e

Vamos a utilizar la interpretación geométrica del teorema de Lagrange.

1 1 )

(

  

x x x f

 

   

0,5

12 6 3

4 6

3 3 4 6

2 5

) ( 5 ,

2   

    

 

 



 c f c f f

3 ln 2 )

(x  x f

 

 

   





1 2 1

3 1 ln 2 3 ln 2 1

1 )

( ,

1

) , 1 ( ,

1 3

ln 2 ) (

  

 

 

  

 

 

  

e e

f e f c f e c

e en derivable y

e en continua es

x x

f

paralelas son

iguales son

c en gente recta

la de pendiente la

es c f

e yx x en gráfica la

a corta que recta la de pendiente la

es

e  

       

tan )

(

1 1