Nivelación para 6º año opción economía e ingeniería
Temas:
Equivalencia de expresiones algebraicas Factorización – Desarrollo
Simplificación de expresiones racionales Despeje de una variable
Eliminación de parámetros
Duración:
2 semanas = 10 horas de clase.
Evaluación:
Prueba: múltiple opción, reactivos verdadero falso, trabajo de desarrollo.
Equivalencia – Factorización y Desarrollo
Dos expresiones matemáticas en una o más variables son equivalentes cuando toman el mismo valor numérico para todas las posibles asignaciones de valores a las variables que intervienen en ellas. En general debe especificarse cual es el dominio en el cual se toman las variables. Dos expresiones pueden ser equivalentes en un dominio y no serlo en otro dominio.
Desarrollar y Factorizar son dos procesos inversos entre sí mediante el cual se obtiene una expresión equivalente a otra expresión dada, factorizar consiste en escribir una expresión como el producto de otras expresiones que son los factores que la componen. Desarrollar o expandir consiste en efectuar los productos planteados y escribir la expresión dada como suma (o resta) de otras expresiones que son los términos que la componen. Nótese que se destacaron las palabras factores y términos. El significado de éstas debe comprenderse claramente y evitarse la utilización de uno en lugar del otro, lo cual es un error muy común en el lenguaje hablado.
Ejemplo
Las expresiones (a b+ )2 y a2+2ab b+ 2 son equivalentes en \2. Esto significa que toman el
mismo valor para todas las asignaciones que se hagan a las variables a y b. La primera forma consta de un solo término y está compuesta de dos factores pues significa (a b a b+ )( + ), o si se quiere un factor repetido dos veces. La segunda es el desarrollo de la primera, consta de tres términos y ningún factor. La equivalencia de dichas expresiones se formula así
(a b+ )2=a2+2ab b+ 2 ∀ ∈a \, ∀ ∈b \
Aunque es muy frecuente omitir la cuantificación de la proposición, dando por supuesto que vale para todos los valores reales de a y b.
Ejercicios
Pruebe que las siguientes equivalencias son ciertas
1. (a b c+ + )2=a2+b2+c2+ ab+ ac+ bc
2 2 2 , ∀(a b c, , )∈\3
Para comprobar que dos expresiones no son equivalentes alcanza con encontrar una asignación de valores a las variables para la cual las expresiones tomen valores numéricos diferentes, por ejemplo
x2 y x no son expresiones equivalentes en \ pues, por ejemplo, si x= −2
(−2)2 = 4=2 no es igual a −2
Las mismas expresiones son equivalentes en += +∪{ }
0 0
\ \ . Podría escribirse correctamente
x2 =x ∀ ∈x +
0
\
Pero es incorrecto escribir x2 =x sin especificar el dominio de la variable.
Ejercicio
Encuentre una expresión equivalente a x2 para x<0, y otra equivalente en \.
Ejercicio
Justifique por qué a2+b2 = +a b ∀(a b, )∈\2 es falso.
Mencione casos en los cuales la igualdad anterior sea verdadera. Proponga una regla general bajo la cual la igualdad sea cierta.
Ejercicios
1. Desarrolle las expresiones siguientes
(a)
(
x y− 2)(
x y+ 2)
(b)(
x+1)
2 (c) (x+2y)2−(y+2x)2(d) ⎡⎣
(
z3−2)(
z3+2)
⎤⎦2 (e)(
x+ y)(
y− x)
(f)(
x−1)
32. Factorice las expresiones siguientes
(a) x3−x (b) x6− x2
4 (c) 2a2−18x2
(d) x2+ x+
Simplificación de factores en un cociente
Para simplificar un cociente es necesario factorizar el numerador y el denominador de modo que se tenga el mismo factor multiplicando en ambos, es decir, para simplificar en cociente
( ) ( )
f x g x
Debe ser posible escribir el numerador y el denominador en la forma
( ) ( ) ( )
f x =t x f x1 y g x( )=t x g x( ) ( )1
Resultado ( ) ( ) ( ) t x f x
g x =
( ) ( ) f x t x 1 ( ) ( ) ( ) f x g x
g x =
1
1 1
Nótese que en general los dominios de las expresiones ( )
( )
f x
g x y
( ) ( ) f x g x 1 1
no son coincidentes
pues la primera no existe para los valores de x tales que t x( )=0, mientras que la segunda
podría existir para dichos valores. Es necesario aclarar que la simplificación es válida f
x
g Dom⎛ ⎞⎟⎜
∀ ∈ ⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎠.
EJERCICIOS
4. Simplifique (si es posible) las siguientes expresiones:
(a) x xy
x y− −x2−y2
2 (b)
(
a b)
a b
−
−
2 2
1 9
5 3 (c)
a b− a b+
÷ 3 9 (d) ( ) ab a c a b c
+
+ (e)
x x y
y y y xy x
⎛ ⎞⎟ ⎜ − + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ − + 2 3
2 2 2
1 (f)
x x x x x x + − − − + + + − 1 1 1 1 1 1 1 (g) x x x x x x + + − − − + 1 1 1 1 1 1
(h) x
ECUACIÓN CUADRÁTICA
La fórmula resolvente de ecuación ax2+bx c+ =0, con a≠0, se puede deducir del modo
siguiente: Se parte de la ecuación planteada transformándola en otra equivalente (que tenga el mismo conjunto solución) buscando hacer aparecer el cuadrado de un binomio,
ax bx c
a a
a x abx ac b
a x abx
permite multiplicar ambos miembros por y obtener una ecuación equivalente
Sumando a ambos miembros la expresión se obtiene otra ecuación equivalente
+ + = ≠ + + = ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ + 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2
b ac b
b b
ax ac
ac b ax
Las trasformaciones hechas permiten escribir la ecuación del modo siguiente
Restando a ambos miembros y operando se obtiene
⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎜ +⎜⎜ ⎟⎟ + =⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎜ + ⎟ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛⎜ + ⎜⎝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b ac b ac
b ac
b b ac b ac
ax
x
b b ac b b ac
ax
b b ac
x
a
Si se obtiene
De donde puede despejarse fácilmente
− ⎞⎟ = − = ⎟⎟ ⎜ ⎠ − ≥ − − + = ± = ± − − ± − = − ± = − ± − =
2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 0 4 4
2 4 2
4 4
2 2 2
4 2
Analizando la fórmula obtenida se establece que
• Si b2−4ac>0 resultan don valores distintos para x, se dice que la ecuación tiene dos raíces
reales distintas.
• Si b2−4ac=0 resulta en ambos casos el mismo valor para x, se dice que la ecuación tiene
una raíz real doble.
• Si b2−4ac<0 puede verse que es imposible resolver la ecuación en el campo de los números
Ejercicios.
5. Discuta según el parámetro λ∈\ la naturaleza de las raíces de la ecuación:
(a) x2−2λx+ =4 0 (b) λ2x2+ =λ 0 (c) λx2+ + =x 1 0
(d) λx2+2λx+ =1 0 (e) x2+(λ−1)x+λ2− =λ 0 (f) λx2+ =1 0
6. Considere la ecuación 3x2−10x c+ =0. En cada caso determine los valores reales de c para
los cuales se verifica la condición indicada
(a) Tiene dos raíces reales positivas. (b) Tiene raíces de distinto signo. (c) Tiene raíces imaginarias.
7. Considere la ecuación x2−8x+ =λ 0. En cada caso determine los valores de λ para que las
raíces α y β de la ecuación verifiquen:
(a) α=β
(b) α=3β