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Equivalencia – Factorización y Desarrollo

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Academic year: 2019

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(1)

Nivelación para 6º año opción economía e ingeniería

Temas:

Equivalencia de expresiones algebraicas Factorización – Desarrollo

Simplificación de expresiones racionales Despeje de una variable

Eliminación de parámetros

Duración:

2 semanas = 10 horas de clase.

Evaluación:

Prueba: múltiple opción, reactivos verdadero falso, trabajo de desarrollo.

Equivalencia – Factorización y Desarrollo

Dos expresiones matemáticas en una o más variables son equivalentes cuando toman el mismo valor numérico para todas las posibles asignaciones de valores a las variables que intervienen en ellas. En general debe especificarse cual es el dominio en el cual se toman las variables. Dos expresiones pueden ser equivalentes en un dominio y no serlo en otro dominio.

Desarrollar y Factorizar son dos procesos inversos entre sí mediante el cual se obtiene una expresión equivalente a otra expresión dada, factorizar consiste en escribir una expresión como el producto de otras expresiones que son los factores que la componen. Desarrollar o expandir consiste en efectuar los productos planteados y escribir la expresión dada como suma (o resta) de otras expresiones que son los términos que la componen. Nótese que se destacaron las palabras factores y términos. El significado de éstas debe comprenderse claramente y evitarse la utilización de uno en lugar del otro, lo cual es un error muy común en el lenguaje hablado.

Ejemplo

Las expresiones (a b+ )2 y a2+2ab b+ 2 son equivalentes en \2. Esto significa que toman el

mismo valor para todas las asignaciones que se hagan a las variables a y b. La primera forma consta de un solo término y está compuesta de dos factores pues significa (a b a b+ )( + ), o si se quiere un factor repetido dos veces. La segunda es el desarrollo de la primera, consta de tres términos y ningún factor. La equivalencia de dichas expresiones se formula así

(a b+ )2=a2+2ab b+ 2 ∀ ∈a \, ∀ ∈b \

Aunque es muy frecuente omitir la cuantificación de la proposición, dando por supuesto que vale para todos los valores reales de a y b.

Ejercicios

Pruebe que las siguientes equivalencias son ciertas

1. (a b c+ + )2=a2+b2+c2+ ab+ ac+ bc

2 2 2 , ∀(a b c, , )∈\3

(2)

Para comprobar que dos expresiones no son equivalentes alcanza con encontrar una asignación de valores a las variables para la cual las expresiones tomen valores numéricos diferentes, por ejemplo

x2 y x no son expresiones equivalentes en \ pues, por ejemplo, si x= −2

(−2)2 = 4=2 no es igual a 2

Las mismas expresiones son equivalentes en += +{ }

0 0

\ \ . Podría escribirse correctamente

x2 =x ∀ ∈x +

0

\

Pero es incorrecto escribir x2 =x sin especificar el dominio de la variable.

Ejercicio

Encuentre una expresión equivalente a x2 para x<0, y otra equivalente en \.

Ejercicio

Justifique por qué a2+b2 = +a b (a b, )\2 es falso.

Mencione casos en los cuales la igualdad anterior sea verdadera. Proponga una regla general bajo la cual la igualdad sea cierta.

Ejercicios

1. Desarrolle las expresiones siguientes

(a)

(

x y− 2

)(

x y+ 2

)

(b)

(

x+1

)

2 (c) (x+2y)2(y+2x)2

(d) ⎡

(

z3−2

)(

z3+2

)

2 (e)

(

x+ y

)(

y x

)

(f)

(

x1

)

3

2. Factorice las expresiones siguientes

(a) x3−x (b) x6 x2

4 (c) 2a2−18x2

(d) x2+ x+

(3)

Simplificación de factores en un cociente

Para simplificar un cociente es necesario factorizar el numerador y el denominador de modo que se tenga el mismo factor multiplicando en ambos, es decir, para simplificar en cociente

( ) ( )

f x g x

Debe ser posible escribir el numerador y el denominador en la forma

( ) ( ) ( )

f x =t x f x1 y g x( )=t x g x( ) ( )1

Resultado ( ) ( ) ( ) t x f x

g x =

( ) ( ) f x t x 1 ( ) ( ) ( ) f x g x

g x =

1

1 1

Nótese que en general los dominios de las expresiones ( )

( )

f x

g x y

( ) ( ) f x g x 1 1

no son coincidentes

pues la primera no existe para los valores de x tales que t x( )=0, mientras que la segunda

podría existir para dichos valores. Es necesario aclarar que la simplificación es válida f

x

g Dom⎛ ⎞⎟⎜

∀ ∈ ⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎠.

EJERCICIOS

4. Simplifique (si es posible) las siguientes expresiones:

(a) x xy

x y− −x2−y2

2 (b)

(

a b

)

a b

2 2

1 9

5 3 (c)

a ba b+

÷ 3 9 (d) ( ) ab a c a b c

+

+ (e)

x x y

y y y xy x

⎞⎟− + ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ − + 2 3

2 2 2

1 (f)

x x x x x x + − − + + + − 1 1 1 1 1 1 1 (g) x x x x x x + + − − − + 1 1 1 1 1 1

(h) x

(4)

ECUACIÓN CUADRÁTICA

La fórmula resolvente de ecuación ax2+bx c+ =0, con a0, se puede deducir del modo

siguiente: Se parte de la ecuación planteada transformándola en otra equivalente (que tenga el mismo conjunto solución) buscando hacer aparecer el cuadrado de un binomio,

ax bx c

a a

a x abx ac b

a x abx

permite multiplicar ambos miembros por y obtener una ecuación equivalente

Sumando a ambos miembros la expresión se obtiene otra ecuación equivalente

+ + = ≠ + + = ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ + 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2

b ac b

b b

ax ac

ac b ax

Las trasformaciones hechas permiten escribir la ecuación del modo siguiente

Restando a ambos miembros y operando se obtiene

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ + + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ + + =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛⎜ + ⎜⎝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b ac b ac

b ac

b b ac b ac

ax

x

b b ac b b ac

ax

b b ac

x

a

Si se obtiene

De donde puede despejarse fácilmente

− ⎞⎟ = − = ⎟⎟ ⎜ − ≥ − − + = ± = ± − − ± − = − ± = − ± − =

2 2 2

2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 0 4 4

2 4 2

4 4

2 2 2

4 2

Analizando la fórmula obtenida se establece que

• Si b2−4ac>0 resultan don valores distintos para x, se dice que la ecuación tiene dos raíces

reales distintas.

• Si b2−4ac=0 resulta en ambos casos el mismo valor para x, se dice que la ecuación tiene

una raíz real doble.

• Si b2−4ac<0 puede verse que es imposible resolver la ecuación en el campo de los números

(5)

Ejercicios.

5. Discuta según el parámetro λ∈\ la naturaleza de las raíces de la ecuación:

(a) x2−2λx+ =4 0 (b) λ2x2+ =λ 0 (c) λx2+ + =x 1 0

(d) λx2+2λx+ =1 0 (e) x2+(λ1)x+λ2− =λ 0 (f) λx2+ =1 0

6. Considere la ecuación 3x2−10x c+ =0. En cada caso determine los valores reales de c para

los cuales se verifica la condición indicada

(a) Tiene dos raíces reales positivas. (b) Tiene raíces de distinto signo. (c) Tiene raíces imaginarias.

7. Considere la ecuación x2−8x+ =λ 0. En cada caso determine los valores de λ para que las

raíces α y β de la ecuación verifiquen:

(a) α=β

(b) α=3β

Referencias

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