08 conicas cilindros y cuadricas presentacion pdf

Tema 8: c ´onicas, cilindros

y superficies cu ´adricas

Matem ´atica II

´Indice

1

C ´onicas

Par ´abolas

Circunferencias y elipses

Hip ´erbolas

2

Cilindros y superficies cu ´adricas

Cilindros

´Indice

1

C ´onicas

Par ´abolas

Circunferencias y elipses

Hip ´erbolas

2

Cilindros y superficies cu ´adricas

Cilindros

¿Qu ´e es una par ´abola?

Definici ´on 1 (par ´abola)

Una

par ´abola

es el

conjunto de todos los

puntos de un plano que

equidistan de un punto fijo

y de una recta fija.

El punto fijo se denomina

foco

F

y la recta fija se

denomina

directriz

l.

x

y

O

P

Q

F

l

|

−→

PF

|

|

−→

PQ

|

Ecuaci ´on de una par ´abola

Teorema 1

Una ecuaci ´on de una par ´abola,

cuyo foco est ´a en F

(

0,

p

)

y

tiene como su directriz a la

recta y

=

₋

p, es

x

2

=

4py

x

y

O

P

(

x

,

y

)

Q

(

x

,

−

p

)

F

(0,

p

)

y

=

−

p

p

>

0

Ecuaci ´on de una par ´abola

Teorema 1

Una ecuaci ´on de una par ´abola,

cuyo foco est ´a en F

(

0,

p

)

y

tiene como su directriz a la

recta y

=

₋

p, es

x

2

=

4py

x

y

O

P

(

x

,

y

)

Q

(

x

,

−

p

)

F

(0,

p

)

y

=

−

p

p

<

0

Ecuaci ´on de una par ´abola

Teorema 2

Una ecuaci ´on de una par ´abola,

cuyo foco est ´a en F

(

p,

0

)

y

tiene como su directriz a la

recta x

=

₋

p, es

y

2

=

4px

x

y

O

P

(

x

,

y

)

Q

(

−

p

,

y

)

F

(

p

, 0)

x

=

−

p

p

>

0

Ecuaci ´on de una par ´abola

Teorema 2

Una ecuaci ´on de una par ´abola,

cuyo foco est ´a en F

(

p,

0

)

y

tiene como su directriz a la

recta x

=

₋

p, es

y

2

=

4px

x

y

O

P

(

x

,

y

)

Q

(

−

p

,

y

)

F

(

p

, 0)

x

=

−

p

p

<

0

Ejemplo 1

Obtener una ecuaci ´on de la par ´abola que tiene su foco en

F

(

0,

3

)

y como su recta directriz

y

=

₋

3.

1

El foco est ´a sobre el eje

y

, y est ´a por arriba de la directriz,

por lo que la par ´abola se abre hacia arriba y

p

=

3.

2

Una ecuaci ´on de la par ´abola es de la forma

x

2

=

4py

, con

4p

=

12, lo que resulta

x

2

=

12y

3

Si quisieramos graficar la par ´abola, podr´ıamos despejar

y

y

=

1

12

x

Ejemplo 1

Obtener una ecuaci ´on de la par ´abola que tiene su foco en

F

(

0,

3

)

y como su recta directriz

y

=

₋

3.

1

El foco est ´a sobre el eje

y

, y est ´a por arriba de la directriz,

por lo que la par ´abola se abre hacia arriba y

p

=

3.

2

Una ecuaci ´on de la par ´abola es de la forma

x

2

=

4py

, con

4p

=

12, lo que resulta

x

2

=

12y

3

Si quisieramos graficar la par ´abola, podr´ıamos despejar

y

y

=

1

12

x

Ejemplo 1

Obtener una ecuaci ´on de la par ´abola que tiene su foco en

F

(

0,

3

)

y como su recta directriz

y

=

₋

3.

1

El foco est ´a sobre el eje

y

, y est ´a por arriba de la directriz,

por lo que la par ´abola se abre hacia arriba y

p

=

3.

2

Una ecuaci ´on de la par ´abola es de la forma

x

2

=

4py

, con

4p

=

12, lo que resulta

x

2

=

12y

3

Si quisieramos graficar la par ´abola, podr´ıamos despejar

y

y

=

1

12

x

Ejemplo 1

Obtener una ecuaci ´on de la par ´abola que tiene su foco en

F

(

0,

3

)

y como su recta directriz

y

=

₋

3.

1

El foco est ´a sobre el eje

y

, y est ´a por arriba de la directriz,

por lo que la par ´abola se abre hacia arriba y

p

=

3.

2

Una ecuaci ´on de la par ´abola es de la forma

x

2

=

4py

, con

4p

=

12, lo que resulta

x

2

=

12y

3

Si quisieramos graficar la par ´abola, podr´ıamos despejar

y

y

=

1

´Indice

1

C ´onicas

Par ´abolas

Circunferencias y elipses

Hip ´erbolas

2

Cilindros y superficies cu ´adricas

Cilindros

¿Qu ´e es una circunferencia?

Definici ´on 2 (circunferencia)

Una

circunferencia

es el

conjunto de todos los

puntos de un plano que

equidistan de un punto fijo.

El punto fijo se denomina

centro

C

y la distancia

constante se llama

radio

r

.

x

y

O

P

C

Ecuaci ´on de una circunferencia

Teorema 3

Una ecuaci ´on de una

circunferencia, cuyo centro

est ´a en C

(

x0,

y0

)

y tiene radio

r , es

(

x

₋

x

0

)

2

+ (

y

−

y

0

)

2

=

r

2

Si el centro es el origen

O

(

0

,

0

)

la ecuaci ´on

quedar ´a

x

2

+

y

2

=

r

2

x

y

O

P

(

x

,

y

)

C

(

x

,

y

)

Ecuaci ´on de una circunferencia

Teorema 3

Una ecuaci ´on de una

circunferencia, cuyo centro

est ´a en C

(

x0,

y0

)

y tiene radio

r , es

(

x

₋

x

0

)

2

+ (

y

−

y

0

)

2

=

r

2

Si el centro es el origen

O

(

0,

0

)

la ecuaci ´on

quedar ´a

x

2

+

y

2

=

r

2

x

y

O

P

(

x

,

y

)

C

(

x

,

y

)

Ejemplo 2

Obtener el centro y el radio de la circunferencia que tiene la

ecuaci ´on

x

2

+

y

2

+

6x

₋

4y

₋

23

=

0

1

Debemos “completar cuadrados”

x

2

+

y

2

+

6x

₋

4y

=

23

x

2

+

6x

+

9

+

y

2

₋

4y

+

4

=

23

+

9

+

4

(

x

+

3

)

2

+ (

y

₋

2

)

2

=

36

2

Est ´a ecuaci ´on tiene la forma

(

x

−

x

0

)

2

+ (

y

−

y

0

)

2

=

r

2

, por

Ejemplo 2

Obtener el centro y el radio de la circunferencia que tiene la

ecuaci ´on

x

2

+

y

2

+

6x

₋

4y

₋

23

=

0

1

Debemos “completar cuadrados”

x

2

+

y

2

+

6x

₋

4y

=

23

x

2

+

6x

+

9

+

y

2

₋

4y

+

4

=

23

+

9

+

4

(

x

+

3

)

2

+ (

y

₋

2

)

2

=

36

2

Est ´a ecuaci ´on tiene la forma

(

x

−

x

0

)

2

+ (

y

−

y

0

)

2

=

r

2

, por

Ejemplo 2

Obtener el centro y el radio de la circunferencia que tiene la

ecuaci ´on

x

2

+

y

2

+

6x

₋

4y

₋

23

=

0

1

Debemos “completar cuadrados”

x

2

+

y

2

+

6x

₋

4y

=

23

x

2

+

6x

+

9

+

y

2

₋

4y

+

4

=

23

+

9

+

4

(

x

+

3

)

2

+ (

y

₋

2

)

2

=

36

¿Qu ´e es una elipse?

Definici ´on 3 (elipse)

Una

elipse

es el conjunto

de todos los puntos de un

plano tales que la suma de

sus distancias, desde dos

puntos fijos, es constante.

Los puntos fijos se

denominan

focos

F

y

F

0

.

x

y

O

P

F

F

|

−→

PF

_|

|

−→

PF

|

Ecuaci ´on de una elipse

Teorema 4

Si

2a es la constante referida

en la definici ´on de una elipse,

si los focos son F

(

c,

0

)

y

F

0

(

₋

c,

0

)

, y si se cumple que

b

2

=

a

2

₋

c

2

, entonces una

ecuaci ´on de la elipse es

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

x

y

O

B

(0,

b

)

B

_(0,

₋

_b

₎

V

(

a

,0)

V

0

(

−

a

,0)

F

(

c

, 0)

F

₍

₋

_c

_{, 0)}

Ecuaci ´on est ´andar de una elipse

Teorema 5

Si el centro de una elipse est ´a en C

(

x

0

,

y

0

)

, y la distancia entre

los v ´ertices es

2a, entonces una ecuaci ´on de la elipse es de la

forma

(

x

₋

x

0

)

2

a

2

+

(

y

₋

y

0

)

2

b

2

=

1

(

con

a

>

b

)

si el eje mayor es horizontal, y

(

y

₋

y

0

)

2

a

2

+

(

x

₋

x

0

)

2

x

y

O

B

B

V

V

F

(

x

+

c

,

y

)

F

₍

_x

0

−

c

,

y

)

C

(

x

,

y

)

(

x

₋

x

)

a

+

(

y

₋

y

)

b

=

1

(con

a

>

b

)

x

y

O

V

V

B

B

F

(

x

,

y

+

c

)

F

₍

_x

0

,

y

−

c

)

C

(

x

,

y

)

(

y

−

y

)

a

+

(

x

−

x

)

Ejemplo 3

Demostrar que la gr ´afica de la ecuaci ´on

25x

2

+

16y

2

+

150x

₋

128y

₋

1119

=

0

es una elipse. Determinar el centro, una ecuaci ´on para el eje

mayor, los v ´ertices, los extremos del eje menor y los focos.

1

Comenzamos completando cuadrados

25x

2

+

16y

2

+

150x

₋

128y

=

1119

25

(

x

2

+

6x

+

9

) +

16

(

y

2

₋

8y

+

16

) =

1119

+

25

_·

9

+

16

_·

16

25

(

x

+

3

)

2

+

16

(

y

₋

4

)

2

=

1119

+

255

+

256

Ejemplo 3

Demostrar que la gr ´afica de la ecuaci ´on

25x

2

+

16y

2

+

150x

₋

128y

₋

1119

=

0

es una elipse. Determinar el centro, una ecuaci ´on para el eje

mayor, los v ´ertices, los extremos del eje menor y los focos.

1

Comenzamos completando cuadrados

25x

2

+

16y

2

+

150x

₋

128y

=

1119

2

Ahora buscamos la forma general de la ecuaci ´on

25

(

x

+

3

)

2

+

16

(

y

₋

4

)

2

=

1600

25

(

x

+

3

)

2

1600

+

16

(

y

₋

4

)

2

1600

=

1

(

x

+

3

)

2

64

+

(

y

₋

4

)

2

100

=

1

que resulta ser

(

y

₋

y

0

)

2

a

2

+

(

x

₋

x

0

)

2

3

La ecuaci ´on qued ´o

(

y

₋

4

)

2

100

+

(

x

+

3

)

2

64

=

1

el centro es

C

(

₋

3,

4

)

,

a

2

=

100 y

b

2

=

64. Entonces el eje

mayor es vertical, tiene ecuaci ´on

x

=

₋

3.

4

Como

a

=

10 y

b

=

8, los v ´ertices son

V

(

₋

3

,

4

+

10

) =

V

(

₋

3

,

14

)

V

0

(

₋

3

,

4

₋

10

) =

V

0

(

₋

3

,

₋

6

)

5

Los extremos del eje menor son

B

(

₋

3

+

8

,

4

) =

B

(

5

,

4

)

3

La ecuaci ´on qued ´o

(

y

₋

4

)

2

100

+

(

x

+

3

)

2

64

=

1

el centro es

C

(

₋

3,

4

)

,

a

2

=

100 y

b

2

=

64. Entonces el eje

mayor es vertical, tiene ecuaci ´on

x

=

₋

3.

4

Como

a

=

10 y

b

=

8, los v ´ertices son

V

(

₋

3,

4

+

10

) =

V

(

₋

3,

14

)

V

0

(

₋

3,

4

₋

10

) =

V

0

(

₋

3,

₋

6

)

5

Los extremos del eje menor son

B

(

₋

3

+

8

,

4

) =

B

(

5

,

4

)

3

La ecuaci ´on qued ´o

(

y

₋

4

)

2

100

+

(

x

+

3

)

2

64

=

1

el centro es

C

(

₋

3,

4

)

,

a

2

=

100 y

b

2

=

64. Entonces el eje

mayor es vertical, tiene ecuaci ´on

x

=

₋

3.

4

Como

a

=

10 y

b

=

8, los v ´ertices son

V

(

₋

3,

4

+

10

) =

V

(

₋

3,

14

)

V

0

(

₋

3,

4

₋

10

) =

V

0

(

₋

3,

₋

6

)

5

Los extremos del eje menor son

B

(

₋

3

+

8,

4

) =

B

(

5,

4

)

6

Para encontrar los focos

utilizamos

b

2

₌

_a

2

₋

_c

2

64

=

100

₋

c

2

c

2

=

36

c

=

6

entonces los focos son

F

(

₋

3,

4

+

6

) =

F

(

₋

3,

10

)

F

0

(

₋

3,

4

₋

6

) =

F

0

(

₋

3,

₋

2

)

−5 5 10 15

y

−10 −5 5

x

O

V

(

−

3, 14)

V

₍

₋

_3,

₋

₆₎

B

(5, 4)

B

₍

₋

_{11, 4)}

F

(

−

3, 10)

F

₍

₋

_3,

₋

₂₎

C

(

−

3, 4)

´Indice

1

C ´onicas

Par ´abolas

Circunferencias y elipses

Hip ´erbolas

2

Cilindros y superficies cu ´adricas

Cilindros

¿Qu ´e es una hip ´erbola?

Definici ´on 4 (hip ´erbola)

Una

hip ´erbola

es el

conjunto de todos los

puntos de un plano tales

que el valor absoluto de la

diferencia de sus

distancias, a dos puntos

fijos, es constante.

Los puntos fijos se

denominan

focos

F

y

F

0

.

x

y

O

P

F

F

|

−→

PF

|

|

−→

PF

_|

|

−→

PF

_{| − |}

−−→

PF

0

_|

Ecuaci ´on de una hip ´erbola

Teorema 6

Si

2a es la constante referida

en la definici ´on, si los focos son

F

(

c

,

0

)

y F

0

(

−

c,

0

)

, y si

b

2

=

c

2

₋

a

2

, entonces una

ecuaci ´on de la hip ´erbola es

x

2

a

2

−

y

2

b

2

=

1

x

y

O

F

(

c

, 0)

F

₍

₋

_c

_{, 0)}

V

(

a

, 0)

V

₍

₋

_a

_{, 0)}

B

(0,

b

)

B

_(0,

₋

_b

₎

Ecuaci ´on est ´andar de una hip ´erbola

Teorema 7

Si el centro de una hip ´erbola est ´a en C

(

x

0

,

y

0

)

, y la distancia

entre los v ´ertices es

2a, entonces una ecuaci ´on de la hiperbola

es de la forma

(

x

₋

x

0

)

2

a

2

−

(

y

₋

y

0

)

2

b

2

=

1

si el eje principal es horizontal, y

(

y

₋

y

0

)

2

a

2

−

x

y

O

C

(

x

,

y

)

F

(

x

+

c

,

y

)

F

(

_x

−

c

_,

y

)

V

V

B

B

(

x

−

x

)

a

−

(

y

−

y

)

b

=

1

x

y

O

C

(

x0

,

y0

)

F

(

x0

,

y0

+

c

)

F

₍

_x0

_,

_y0

₋

_c

₎

V

V

B

_B

(

y

₋

y

)

a

−

(

x

₋

x

)

Repaso de ideas clave

1

Una ecuaci ´on de una par ´abola es

x

2

=

4py

o

y

2

=

4px

(puede ser

p

>

0 o

p

<

0).

2

Una ecuaci ´on de una circunferencia es

(

x

₋

x

0

)

2

+ (

y

−

y

0

)

2

=

r

2

.

3

Una ecuaci ´on de una elipse es

(

x

−

x

)

2

a

+

(

y

−

y

)

b

=

1 o

(

y

−

y

)

a

+

(

x

−

x

)

b

=

1 (siempre con

a

>

b).

4

Una ecuaci ´on de una hip ´erbola es

(

x

−

x

)

2

a

−

(

y

−

y

)

b

=

1 o

(

y

−

y

)

a

−

(

x

−

x

)

Repaso de ideas clave

1

Una ecuaci ´on de una par ´abola es

x

2

=

4py

o

y

2

=

4px

(puede ser

p

>

0 o

p

<

0).

2

Una ecuaci ´on de una circunferencia es

(

x

₋

x

0

)

2

+ (

y

−

y

0

)

2

=

r

2

.

3

Una ecuaci ´on de una elipse es

(

x

−

x

)

2

a

+

(

y

−

y

)

b

=

1 o

(

y

−

y

)

a

+

(

x

−

x

)

b

=

1 (siempre con

a

>

b).

4

Una ecuaci ´on de una hip ´erbola es

(

x

−

x

)

2

a

−

(

y

−

y

)

b

=

1 o

(

y

−

y

)

a

−

(

x

−

x

)

Repaso de ideas clave

1

Una ecuaci ´on de una par ´abola es

x

2

=

4py

o

y

2

=

4px

(puede ser

p

>

0 o

p

<

0).

2

Una ecuaci ´on de una circunferencia es

(

x

₋

x

0

)

2

+ (

y

−

y

0

)

2

=

r

2

.

3

Una ecuaci ´on de una elipse es

(

x

−

x

)

2

a

+

(

y

−

y

)

b

=

1 o

(

y

−

y

)

a

+

(

x

−

x

)

b

=

1 (siempre con

a

>

b).

4

Una ecuaci ´on de una hip ´erbola es

(

x

−

x

)

2

a

−

(

y

−

y

)

b

=

1 o

(

y

−

y

)

a

−

(

x

−

x

)

Repaso de ideas clave

1

Una ecuaci ´on de una par ´abola es

x

2

=

4py

o

y

2

=

4px

(puede ser

p

>

0 o

p

<

0).

2

Una ecuaci ´on de una circunferencia es

(

x

₋

x

0

)

2

+ (

y

−

y

0

)

2

=

r

2

.

3

Una ecuaci ´on de una elipse es

(

x

−

x

)

2

a

+

(

y

−

y

)

b

=

1 o

(

y

−

y

)

a

+

(

x

−

x

)

b

=

1 (siempre con

a

>

b).

4

Una ecuaci ´on de una hip ´erbola es

(

x

−

x

)

2

a

−

(

y

−

y

)

b

=

1 o

(

y

−

y

)

a

−

(

x

−

x

)

´Indice

1

C ´onicas

Par ´abolas

Circunferencias y elipses

Hip ´erbolas

2

Cilindros y superficies cu ´adricas

Cilindros

Definici ´on de cilindro

Definici ´on 5

Un

cilindro

es una superficie que se genera por el

movimiento de una recta, paralela a otra recta fija dada, y

a lo largo de una curva plana dada.

La curva se llama

curva generatriz

del cilindro.

Identificar la ecuaci ´on de un cilindro en el espacio es muy

f ´acil:

siempre falta una de las variables independientes

.

Ejemplos de superficies cil´ındricas

y

+

z

=

1

x

2

+

y

2

=

4

z

=

sin

x

Definici ´on de cilindro

Definici ´on 5

Un

cilindro

es una superficie que se genera por el

movimiento de una recta, paralela a otra recta fija dada, y

a lo largo de una curva plana dada.

La curva se llama

curva generatriz

del cilindro.

Identificar la ecuaci ´on de un cilindro en el espacio es muy

f ´acil:

siempre falta una de las variables independientes.

Ejemplos de superficies cil´ındricas

y

+

z

=

1

x

2

+

y

2

=

4

z

=

sin

x

Definici ´on de cilindro

Definici ´on 5

Un

cilindro

es una superficie que se genera por el

movimiento de una recta, paralela a otra recta fija dada, y

a lo largo de una curva plana dada.

La curva se llama

curva generatriz

del cilindro.

Identificar la ecuaci ´on de un cilindro en el espacio es muy

f ´acil:

siempre falta una de las variables independientes.

Ejemplos de superficies cil´ındricas

Cilindro circular

Tenemos una recta

fija.

Y tenemos una

circunferencia

generatriz.

Una ecuaci ´on de un

cilindro circular

es

Cilindro sinusoidal

Tenemos una recta fija.

Y tenemos una sinusoide

generatriz.

Una ecuaci ´on de un

cilindro sinusoidal

es

´Indice

1

C ´onicas

Par ´abolas

Circunferencias y elipses

Hip ´erbolas

2

Cilindros y superficies cu ´adricas

Cilindros

Definici ´on de superficies cu ´adricas

Definici ´on 6 (superficie cu ´adrica)

Una

superficie cu ´adrica

es la gr ´afica en el espacio de una

ecuaci ´on de segundo grado en

x

,

y

y

z

.

Describiremos algunas superficies particulares del tipo

Ax

2

+

By

2

+

Cz

2

+

Dz

=

E

donde

A,

B,

C,

D

y

E

son constantes.

Estas superficies incluyen elipsoides, paraboloides,

hiperboloides y conos el´ıpticos.

Definici ´on de superficies cu ´adricas

Definici ´on 6 (superficie cu ´adrica)

Una

superficie cu ´adrica

es la gr ´afica en el espacio de una

ecuaci ´on de segundo grado en

x

,

y

y

z

.

Describiremos algunas superficies particulares del tipo

Ax

2

+

By

2

+

Cz

2

+

Dz

=

E

donde

A,

B,

C,

D

y

E

son constantes.

Estas superficies incluyen elipsoides, paraboloides,

hiperboloides y conos el´ıpticos.

Definici ´on de superficies cu ´adricas

Definici ´on 6 (superficie cu ´adrica)

Una

superficie cu ´adrica

es la gr ´afica en el espacio de una

ecuaci ´on de segundo grado en

x

,

y

y

z

.

Describiremos algunas superficies particulares del tipo

Ax

2

+

By

2

+

Cz

2

+

Dz

=

E

donde

A,

B,

C,

D

y

E

son constantes.

Estas superficies incluyen elipsoides, paraboloides,

hiperboloides y conos el´ıpticos.

El elipsoide y la esfera

Una ecuaci ´on de un

elipsoide

es

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

Si

a

=

b

=

c

=

r

, se

tiene una

esfera

El elipsoide y la esfera

Una ecuaci ´on de un

elipsoide

es

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

Si

a

=

b

=

c

=

r

, se

tiene una

esfera

La paraboloide el´ıptica

Una ecuaci ´on de

una

paraboloide

el´ıptica

es

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

La paraboloide hiperb ´olica

Una ecuaci ´on de

una

paraboloide

hiperb ´olica

es

y

2

b

2

−

x

2

a

2

=

z

El cono el´ıptico

Una ecuaci ´on de un

cono el´ıptico

es

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

La hiperboloide de una hoja

Una ecuaci ´on de

una

hiperboloide de

una hoja

es

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

La hiperboloide de dos hojas

Una ecuaci ´on de

una

hiperboloide de

dos hojas

es

z

2

c

2

−

x

2

a

2

−

Repaso de ideas clave

1

En el espacio, toda ecuaci ´on a la que le falte una de las

variables independientes es un cilindro.

2

Las ecuaciones correspondientes a superficies cu ´adricas

son cuadr ´aticas en

x

,

y

y

z.

3

Las superficies cu ´adricas son

a)

los elipsoides

b)

las paraboloides

c)

las hiperboloides

Repaso de ideas clave

1

En el espacio, toda ecuaci ´on a la que le falte una de las

variables independientes es un cilindro.

2

Las ecuaciones correspondientes a superficies cu ´adricas

son cuadr ´aticas en

x

,

y

y

z.

3

Las superficies cu ´adricas son

a)

los elipsoides

b)

las paraboloides

c)

las hiperboloides

Repaso de ideas clave

1

En el espacio, toda ecuaci ´on a la que le falte una de las

variables independientes es un cilindro.

2

Las ecuaciones correspondientes a superficies cu ´adricas

son cuadr ´aticas en

x

,

y

y

z.

3

Las superficies cu ´adricas son

a)

los elipsoides

b)

las paraboloides

c)

las hiperboloides

´Indice

1

C ´onicas

Par ´abolas

Circunferencias y elipses

Hip ´erbolas

2

Cilindros y superficies cu ´adricas

Cilindros

Gr ´aficos interactivos

Cilindro circular

x

2

+

y

2

=

r

2

Cilindro sinusoidal

z

=

sin

x

Gr ´aficos interactivos

Elipsoide

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

Cono el´ıptico

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

z

2

c

2

Gr ´aficos interactivos

Paraboloide el´ıptica

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

z

c

Paraboloide hiperb ´olica

y

2

b

2

−

x

2

a

2

=

z

c

c

>

0

Gr ´aficos interactivos

Hiperboloide de una hoja

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

z

2

c

2

=

1

Hiperboloide de dos hojas

z

2

c

2

−

x

2

a

2

−

y

2

b

2

=

1

´Indice

3

Ejemplos con Sage

Gr ´afico de una esfera con cartesianas (en dos partes)

x,y

=

var(

"x,y"

)

# variables cartesianas

x

e

y

r

= 1

# el radio de la esfera es

r

# la ecuacion es

z

2

+

y

2

+

x

2

=

r

2

z1

= +sqrt(r

_**2-

x

_**2-

y

_**2

)

# despejamos

z

>

0

z2

= -sqrt(r

_**2-

x

_**2-

y

_**2

)

# despejamos

z

<

0

# para

z

positivo...

semiesfera1

=

plot3d(z1,(x,-1,1),

(y,-1,1),frame=

False

)

# para

z

negativo...

semiesfera2

=

plot3d(z2,(x,-1,1),

(y,-1,1),color=

"red"

)

# hacer y mostrar el grafico

Gr ´afico de una esfera con param ´etricas (mejor)

s,t

=

var(

"s,t"

)

# par

´

a

metros

s

y

t

r

= 1

# el radio es

r

# las ecuaciones parametricas

x

=

r

_*

cos(s)

_*

cos(t)

y

=

r

_*

sin(s)

_*

cos(t)

z

=

r

_*

sin(t)

# crear el gr

´

a

fico de la esfera

esfera

=

parametric_plot3d([x,y,z],

(s,0,

2*

pi),(t,-pi/2,pi/2),color=

"red"

,

frame=

False

)

# mostrar el gr

´

a

fico de la esfera

Gr ´afico de una paraboloide el´ıptica

x,y

=

var(

"x,y"

)

# variables cartesianas

x

e

y

a

= 1; b

= 0.5

# los ejes mayor y menor

# la ecuaci

´

o

n de la paraboloide el

´

ı

ptica

z

=

x

_**2/

a

_**2+

y

_**2/

b

_**2

# crear el gr

´

a

fico de la paraboloide

paraboloide

=

plot3d(z,(x,-1,1),(y,-0.5,0.5),

color=

"green"

,frame=

False

)

# mostrar el gr

´

a

fico de la paraboloide

Gr ´afico de una paraboloide hiperb ´olica

x,y

=

var(

"x,y"

)

# variables cartesianas

x

e

y

a

= 1; b

= 0.5

# los ejes mayor y menor

# la ecuaci

´

o

n de la paraboloide el

´

ı

ptica

z

=

x

_**2/

a

_**2-

y

_**2/

b

_**2

# crear el gr

´

a

fico de la paraboloide

paraboloide

=

plot3d(z,(x,-1,1),(y,-0.5,0.5),

color=

"green"

,frame=

False

)

# mostrar el gr

´

a

fico de la paraboloide

Gr ´afico de un cilindro con param ´etricas

s,t

=

var(

"s,t"

)

# par

´

a

metros

s

y

t

a

= 1; b

= 1/2

# los ejes mayor y menor

# las ecuaciones parametricas

x

=

a

_*

cos(s)

y

=

b

_*

sin(s)

z

=

t

# crear el gr

´

a

fico del cilindro

cilindro

=

parametric_plot3d([x,y,z],

(s,0,

2*

pi),(t,-1,1),color=

"green"

,

frame=

False

)

# mostrar el gr

´

a

fico del cilindro