1
TEMA 3: EL PLANO MÉTRICO
1. DETERMINACIÓN NORMAL DE UNA RECTA 2. ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS
3. FORMA NORMAL DE LAECUACIÓN DE UNA RECTA 4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Propiedades de la distancia métrica 5. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Caso particular: la distancia del origen de coordenadas a la una recta 6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO DETERMINADO POR 3 PUNTOS
7. MEDIATRÍZ DE UN SEGMENTO 8. BISECTRICES
9. PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
1. DETERMINACIÓN NORMAL DE UNA RECTA
S
See llllaammaa vveeccttoorr ccaarraacctteerrííssttiiccoo,, n
noorrmmaall aassoocciiaaddoo aa uunnaa rreeccttaa aa uunn v
veeccttoorr ppeerrppeennddiiccuullaarr aa llaa rreeccttaa,, lloo n
noottaarreemmoossppoorr
n,,ssuussccoommppoonneenntteess c
cooiinncciiddeenn ccoonn llooss ccooeeffiicciieenntteess ddee 2
1,x
x eennllaaeeccuuaacciióónnccaarrtteessiiaannaaddeellaa r
reeccttaa.. VVeeáámmoosslloo pprriimmeerroo ccoonn uunn e
ejjeemmpplloo::
Ejemplo: sea la recta r que pasa por el punto P y tiene como vector
direccional el vector v
, 1,3 2,3 la ecuación de la recta r contínua es:
x 1 y 3
la pasamos a cartesiana 3 x 1 2 y 3 3x 2y 3 0
2 3
el vector normal n sería n 3, 2
r P v con P v
Vamos a demostrarlo ahora de forma general para calcular la ecuación de la recta
2
1 2
, , , sea X x, un punto genérico de r,
vector PX ,
0
r P n con P p p n A B y
consideramos el que al ser un vector direccional de la recta será perpendicular al
vector normal n , luego n PX desarrollamos
1
2
1 21 2 1 2
0 0
0 0
en función de las componentes : A x p B y p Ax Ap By Bp
Ax By Ap Bp nombramos C Ap Bp queda Ax By C que es la ecuación cartesiana o general de la recta.
Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta conociendo un punto P por donde pasa y un vector direccional:
, 1,4 1,3
1 4
3 7 0
1 3
r P v con P v
x y
x y
3
Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta conociendo un punto P por donde pasa y un vector normal:
, 1,4 3, 1 3 0 calculamos K para que
pase por el punto P: 3 2 1 0 7 3 7 0
r P n con P n x y K
K K x y
Ejemplo: Calcular la mediatriz de un segmento de extremos los puntos P y Q de coordenadas P
1,4
Q
5,2La mediatriz del un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por el punto medio:
1 5 4 2
Punto Medio 1,4 5,2 , 2,3
2 2
Vector direccional PQ 5 ( 1),2 4 6, 2 Vector normal n 2,6 Con la determinación normal la ecuación general se obtiene al desarrollar:
n 0 2,6 2, 3 0 2
P Q M
MX x y
4 6 18 0
2 6 22 0 3 11 0
x y
x y x y
4
Otra forma de hacerlo sería planteando la ecuación continua sabiendo que pasa por el punto M y conociendo el vector direccional y luego pasarla a la forma cartesiana
1 5 4 2
Punto Medio 1,4 5,2 , 2,3
2 2
x 2 3
Vector direccional PQ 5 ( 1),2 4 6, 2 ecuación contínua
6 2
-2x 4 6 18 2 6 22 0 3 11 0
P Q M
y
y x y x y
Tambié
n se puede hacer conociendo el vector normal, así sabemos el comienzo de la ecuación cartesiana de la recta, para hallar el término independiente basta imponer que pase por el punto M.
1 5 4 2Punto Medio 1,4 5,2 , 2,3
2 2
Vector direccional PQ 5 ( 1),2 4 6, 2 Vector normal n 2,6 2 6 0 como ha de pasar por el punto M 2,3
2 2 6 3 0 22 2 6 22 0 3 11 0
P Q M
x y K
K K x y x y
2. ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS
Es el menor de los ángulos que forman.
Sean las rectas:
1 2
1 2
2 1 2
1
, ,
,
, ,
,
w w w q q Q w Q s
v v v p p P v P r
w
v, vectores direccionales.
Calculamos el coseno del ángulo que forman las rectas r y s:
2 2 2 1 2 2 2 1
2 2 1 1 ,
cos ,
cos
w w v v
w v w v
w v
w v w
v s
r
Ejemplo: calcular el ángulo que forman las rectas: 3 6 0
3 0
r x y s x y
1
2
3 6 0
3,1 1,3
3 0
1,1 1,1
r x y
n v
s x y
n w
5
26 745 5 2 arccos ,
5 5 2 5 2 1 3 1 1
1 1 1 3 ,
cos ,
cos
5 5 2 5 2 1 3 1 1
1 3 1 1 ,
cos ,
cos
2 2 2 2 2
1 2 1 2
1
2 2 2 2
s r ángulo
n n
n n n
n s
r
w v
w v w
v s
r
Ejemplo: calcular el ángulo que forman las rectas:
3 6 0
2 1
1 2
r x y
x y
s
1
2
3 6 0 3,1 1,3
2 1
2 5 0 2,1 1,2
1 2
r x y n v
x y
s s x y n w
6 , 45 26
26 7 arccos ,
26 26 7 26 7 2
3 1 1
1 1 2 3 ,
cos ,
cos
26 26 7 26 7 2
3 1 1
2 3 1 1 ,
cos ,
cos
2 2 2 2 2
1 2 1 2
1
2 2 2 2
s r ángulo
n n
n n n
n s
r
w v
w v w
v s
6
3. FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
Sea la recta rAx By C 0 cuyo vector normal es n
A,B
que tiene de módulo
2 2
B A
n
, dividimos los dos miembros de la ecuación general de la recta entre
el módulo del vector normal:
0 2 2 2
2 2 1
2
2
B A
C x
B A
B x
B A
A r
A los nuevos coeficientes de x1,x2 se les denominan los cosenos directores del vector
A B
n ,
:
2 2 2
2 cos
cos
B A
B sen
B A
A
Siendo , los ángulos que forma el vector normal con cada uno de los ejes coordenados:
Se tiene que:
1
cos 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
B A
B B
A A
B A
B
B A
A sen
Esto es, la suma de los cuadrados de los cosenos directores vale uno.
Ejemplo: sea la recta de ecuación r3x4y 5 0, obtener la ecuación de la recta en su forma normal:
7
2 2
3 4 5 0 3,4
3 4 5
3 4 5
0
5 5 5
3 4 5
0
5 5 5
3 4
cos cos
5 5
r x y n
n
x y
x y
4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
S
Seeaann PP yy QQ ddooss ppuunnttooss ddeell eessppaacciioo ffííssiiccoo
1 2
1 2
2, ,
,Q E P p p Q q q
P
e
ennttoonncceessllaaddiissttaanncciiaaeennttrreeeessoossppuunnttoosssseeddeeffiinneeccoommooeellmmóódduulloooolloonnggiittuuddddeellvveeccttoorr
PQ
22 2 2 1 1
2 2 1 1
,
, ,
q p q
p Q
P d
q p q p PQ PQ Q
P d
E
Ejjeemmpplloo::sseennaalloossppuunnttooss
2, 3
4,5
,QE2 P Q P
,
6 8 36 64 10 8, 6 ,
2 2
Q P d
PQ PQ Q
P d
PROPIEDADES DE LA DISTANCIA MÉTRICA
1
1.. LLaaddiissttaanncciiaaeennttrreeddoossppuunnttoossnnooppuueeddeesseerrnneeggaattiivvaa:: d
P,Q
0 22.. LLaa ddiissttaanncciiaa eennttrree PP yy QQ eess llaa mmiissmmaa qquuee llaa ddiissttaanncciiaa eennttrree QQ yy PP::
PQ
d
Q P
d , ,
3
3.. PPrrooppiieeddaaddttrriiaanngguullaarr::
P Q
d
P M
d
M Q
d , , ,
8 5. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
L
Laa ddiissttaanncciiaa ddee uunn ppuunnttoo P
p1,p2
PP aa uunnaa rreeccttaa rr eess llaa ddiissttaanncciiaa eennttrree PP yy llaa pprrooyyeecccciióónnoorrttooggoonnaallddeePPssoobbrreerr.. S
Seeaa rAx By C 0 con n
A,B
, normalizamos el vector n:
2 2 2 2
0 ,
B A
B
B A
A
n n n
La distancia d
P,r d
P,P
PP pero según el significado geométrico delproducto escalar se tiene que,
considerando un punto cualquiera
q q
r Q 1, 2
Desarrollando el primer miembro de
n PP
QP 0 en función de las componentes
de los vectores que intervienen en el producto escalar:
0 1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 2
en valor absoluto el primer miembro por ser una distancia
y como Q r
A B
QP n PP p q p q PP
A B A B
Ap Aq Bp Bq Ap Aq Bp Bq
PP PP
A B A B A B
Ap Bp Aq Bq
PP r Aq Bq
A B
1 2
1 2
2 2
0
exp
d P,r 0
C
Aq Bq C sustituyendo en la resión anterior queda :
Ap Bp C
PP r Ax By C
A B
1 2
P p ,p
QP PP luego QP n PP
proy QP
y n
ues p
P P n
QP n
QP
n
0 0
0 0
0 cos
1
cos
9
Ejemplo: calcular la distancia del punto P
1,3 a la recta r3x4y 5 0
2 23 4 5 0 P 1, 3
3 1 4 3 5
d P,r
3 4
20 4 5
r x y
PP
u
C
Caassoo ppaarrttiiccuullaarr:: llaa ddiissttaanncciiaa ddeell oorriiggeenn ddee ccoooorrddeennaaddaass aa llaa uunnaa rreeccttaa
2 2 2 2 2 2
0 O 0,0
0 0
d O,r
r Ax By C
C
A B C C
A B A B A B
Ejemplo: calcular la distancia del origen a la recta r2x3y 5 0
2 2
2 3 5 0 O 0,0
5 d O,r
2 3
5 5 13
4 13 13
r x y
u
10
6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO DETERMINADO POR 3 PUNTOS
Sean 2
, ,B C E
A , el área del triángulo determinado por estos tres puntos es:
AB B
A AC
B A S
AC B A AC
AB sen
AC AB
h b S
vector al
lar perpendicu un vector
siendo 2
1
2 1 cos
2 1 2
1 2
1
Ejemplo: calcular el área del triángulo determinado por los puntos
2,5
6,1
4,7 B C
A
AC B A S
B A AB
AC
2 1
4 , 4 4
, 4 2
, 2
7. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio
2 B A
M el vector AB se puede tomar como vector normal de la recta mediatriz
Se puede obtener también como el lugar geométrico de los puntos X
x,y que equidistan de los extremos A
a1,a2
B
b1,b2
22 2
1 2
2 2
1 )
, ( ) ;
(A X d B X x a y a x b y b
d
11
Ejemplo: calcular la mediatriz del segmento determinado por los puntos
2,5
6,1 B
A
1ª Forma:
0 1
0 3 4
0 3 1 4 -x 1 : será mediatriz la
de ecuación la
1 , 1 4 , 4 AB n : recta la de normal vector como
toma se AB vector el
3 , 4 2
1 5 , 2
6 2 1
, 6 5
, 2
y x
y x
y M
B A
2ª Forma: obtenemos la mediatriz como el lugar geométrico de los puntos X
x,yque equidistan de los puntos A
2,5 B
6,1
0 1 0
12 12 12
2 1 16
36 10
25 4
4
1 6
5 2
: 1
6 5
2
, ,
1 , 6 5
, 2 ,
mediatriz la
de genérico Punto
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
y x y
x
y y
x x
y y
x x
y x
y x
mos desarrolla y
cuadrado al
elevamos y
x y
x
X B d X A d B
A y
x X
8. BISECTRICES
Bisectrices de los ángulos
12
También se definen las bisectrices como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas que determinan el ángulo.
Ejemplo: obtener las bisectrices de la siguiente pareja de rectas:
13
Ejemplo: obtener las bisectrices de la siguiente pareja de rectas:
0 13 8 17 6 ) 13 3 17 4 ( ) 13 4 17 3 (
0 13 8 17 6 ) 13 3 17 4 ( ) 13 4 17 3 (
17 8 3 4
13 6 4 3
17 8 3 4
13 6 4 3
1 16
8 3 4
4 9
6 4 3
1 16
8 3 4
4 9
6 2 3
1 16
8 4
4 9
6 2 3
) , ( )
: s y r rectas las por o determinad
ángulo del
bisectriz la
de genérico punto
un , X Sea 0 8 4
0 6 2 3
y x
y x
y x y
x
y x y
x
y x y
x
y x y
x y
x y
x
s X d r , d(X
y x y
x s
14 9. PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
M
Meeddiiaannaass
Rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.
El punto de intersección de las
tres medianas se llama
Baricentro.
M
Meeddiiaattrriicceess
La mediatriz de un lado de un triángulo es una recta perpendicular al lado del segmento y que pasa por el punto medio. El punto de intersección de las tres mediatrices se denomina Circuncentro
A
Allttuurraass
La altura trazada desde un vértice del triángulo es la recta que pasa por dicho vértice y es perpendicular al lado opuesto. Al punto de intersección de las alturas se denomina Ortocentro.
B
Biisseeccttrriicceess
Son las bisectrices de sus tres ángulos, necesitamos conocer las ecuaciones cartesianas de los tres lados.
Al punto de intersección de las bisectrices se denomina Incentro.
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 1
1 1 1
3 3 3
2 2 2
1 1 1
0
0
0
B A
C y B x A B
A
C y B x A
C y B x A t
C y B x A s
C y B x A r
15 E
Ejjeemmppllo:o: Hallar los puntos notables de un triángulo que tiene de vértices los puntos
2,2
0,4
4,2 B C
A .
Baricentro: punto de intersección de las tres medianas
Calculamos los puntos medios:
2,3 2 4 2 , 2 4 0 0 , 3 2 2 2 , 2 4 2 1 , 1 2 4 2 , 2 0 2 2 , 4 4 , 0 2 , 2 BC AC AB M M M C B ACalculamos las ecuaciones de las respectivas medianas:
3 4 2 2 0 12 3 4 0 2 3 2 0 10 5 0 3 0 2 5 : 0 , 5 5 , 0 3 , 2 2 , 2 : 3 0 12 3 4 0 0 3 3 4 : 3 , 4 4 , 3 0 , 3 4 , 0 : 2 0 2 3 0 1 3 1 : 3 , 1 1 , 3 1 , 1 2 , 4 : 1 3 3 2 2 1 1 y x x y x y x Baricentro x x y x normal ecuación n AM v l direcciona vector M y A puntos los por pasa Mediana y x y x normal ecuación n BM v l direcciona vector M y B puntos los por pasa Mediana y x y x normal ecuación n CM v l direcciona vector M y C puntos los por pasa Mediana BC BC AC AC AB AB Circuncentro: punto de intersección de las tres mediatrices
Los puntos medios de los respectivos lados eran:
1,1
3,0
2,3 2 , 4 4 , 0 2 , 2 BC ACAB M M
M medios Puntos C B A
16
1 1 0 1 2 0 3 2 0 2 3 0 1 2 0 3 1 2 2 : 1 , 2 2 , 4 3 , 2 : 3 0 3 2 0 0 2 3 : 2 , 1 4 , 2 0 , 3 : 2 0 2 3 0 1 3 1 : 3 , 1 6 , 2 1 , 1 : 1 3 2 1 y x y x y x y x ro Circuncent y x y x normal ecuación BC n normal vector M punto el por pasa Mediatriz y x y x normal ecuación AC n normal vector M punto el por pasa Mediatriz y x y x normal ecuación AB n normal vector M punto el por pasa Mediatriz BC AC AB Ortocentro: punto de intersección de las alturas
2,2
0,4
4,2 B C
A
La altura trazada desde un vértice es perpendicular al lado opuesto:
17
Incentro: punto de intersección de las bisectrices
Necesitamos calcular las ecuaciones de los tres lados del triángulo:
18
2 1 sec 0 2 3 sec 0 14 3 8 2 6 2 8 2 6 2 5 8 2 5 6 2 5 8 2 5 6 2 5 8 2 5 6 2 : sec C C triz Bi y x triz Bi y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x C vértice del trices BiTenemos que averiguar cuáles son las bisectrices interiores al triángulo, para lo cuál calculamos el punto de corte de cada una de ellas con el eje OX para así poderlas situar mejor y decidir:
2 0 sec 0 2 3 67 , 4 3 14 0 sec 0 14 3 25 , 1 2 2 3 2 8 4 0 sec 0 2 8 4 2 2 1 2 3 25 , 89 2 2 3 2 8 4 0 sec 0 2 8 ` 4 2 2 1 2 3 14 , 26 2 2 3 2 6 4 0 sec 0 2 6 4 2 1 2 2 3 77 , 0 2 2 3 2 6 4 0 sec 0 2 6 4 2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 1 x y triz Bi y x x y triz Bi y x x y triz Bi y x x y triz Bi y x x y triz Bi y x x y triz Bi y x C C B B A ALuego el incentro es el punto de intersección de las bisectrices:
2.24,1.41
sec 0 2 3 sec 0 2 8 4 2 2 1 2 3 sec 0 2 6 4 2 1 2 2 3 2 2 1 Incentro triz Bi y x triz Bi y x triz Bi y x C B A
Hallar el ángulo en B :
19
Hallar la superficie del triángulo:
BA BC S
2 1
siendo
A
B un vector perpendicular al vector BA
210 20 2 1 20
2 2 4 6
2 , 4 2
, 6 6
, 2 2
1
u S
BC A B
BC A
B BA
BC A B S
Ejercicio: Hallar la longitud de la altura del triángulo de vértices
2,1
5,1
0,3 B C
A que parte de vértice C y el área del triángulo.
2
1 1
2 2
12 2
53 24 53 2
53 24 49
4
3 3 7 0 2 ,
3 , 0 ,
0 3 7 2 0
1 7 2 2 :
7 , 2 2
, 7
: ,
53 1
1 5
2 2
u altura
base S
r d
h r
C d altura
y x y
x normal ecuación
n normal vector
BA v l direcciona vector
B y A puntos los
une que recta la de ecuación la
calculamos r
C d altura
BA base altura
base S
AB AB
AB
Hallar el ángulo en C:
94 29 20
2 arccos
29 20
2 29
20
2 4 5 2 ,
cos 2 , 5 4
, 2
CB CA
CB CA CB
CA CB
20
Ejercicio: Hallar el punto simétrico de P
1,2 respecto de la recta r:3xy60 Calculamos la ecuación de la recta que pasa por el punto P
1,2 y tiene como vector direccional el vector normal de :3 60
3,1
n y
x r
0 7 3 : 6
3 1 1
2 3
1
:
y x s y
x y
x s
Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas para obtener las coordenadas de la proyección del punto P sobre la recta r:
10 27 , 10
11 :
" " Pr
10 27 10
7 1
6 3
10 11 10
3 7
1 6
10 3 1
1 3 7
3 :
6 3
: 0
7 3 :
0 6 3
:
P r sobre P de oyección y
x
y x s
y x r
y x s
y x r
Como el punto simétrico de P equidista de P’, entonces P’ será el punto medio del segmento PP’’, siendo P’’ el simétrico de P respecto de r:
5 17 , 5 17 2
, 1 10 27 , 10
11 2 2
2 P P P
P P P
Ejercicio: Calcular la superficie del cuadrilátero de vértices
2,2
4,2
4,0
2,3
B C D
A
Calculamos las componentes de los siguientes vectores direccionales:
0, 2
2,2
2,0
2, 2
5 , 4 1
, 6 3
, 2 0
, 4 2
, 4 2
, 2
C A C
B AC
BC
AD BD
D C
21
Entonces:
2 2
1
2 2
2 1
15 9 6
9 2 , 2 5 , 4 2 1 2
1
6 0 , 2 1 , 6 2 1 2
1
u S
S S
u AC
AB S
u C
B BD S
Ejercicio: Hallar un punto de la recta r:2x y50 que equidiste de los puntos
3,5
2,1 B
A
Pasamos la recta r a su forma paramétrica para ver cómo son en general las coordenadas de un punto de r:
9 34 , 18 11 5
18 11 2 , 18 11 5
2 ,
18 11 11
18
12 5
20 5
6 9
12 5 20 5
6 9
12 5
20 5
6 9
16 4
16 4 4
4 6 9
2 5 1 2
2 5 5 3
, ,
:
5 2 , 5
2 5
2 0
5 2
:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
P P
B P d A P d Condición
R P
y x x
y y
x r
22
Ejercicio: Dada la recta r:2xy50y los puntos A
3,5 B
2,1 hallar un punto de la recta que determine un triángulo con ellos de superficie 10 u2.
37 , 16 16
20 12 2
3 , 4 4
20 12 2 20
12 2
10 12 2 2 1 3 , 2 4 , 1 2 1 2
1 :
3 , 2 2
, 3 4
, 1
5 2 , 5
2 5
2 0
5 2
:
2
P P
u P
A AB S
Condición
P A AP
AB
R P
y x x
y y
x r
23
Ejercicio: Dada la recta r:2xy50y los puntos A
3,5 B
2,1 hallar un punto de la recta que determine con A un vector y forme con el vector
AB un ángulo de 45 grados.
7 17 , 7
9 7
9
11 85 , 11 15 11
15
0 135 6
77 18
6 204 306 170
18 6 204 306 170
4 6 9 17
8 3 2
2
2 3 4
1
2 , 3 4
, 1 2
2 45 cos ,
cos
2 , 3 4
, 1
5 2 , 5
2 5
2 0
5 2
:
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
P P
AP AB
AP AB AP
AB Condición
AP AB
R P
y x x
y y
x r
