Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica
( )
3 22
6
4
f x
=
x
−
x
+
en su punto de inflexión.( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
3 2 2
2 6 4
6 12
12 12 ; 0 12 12 0 1
12 1 0 1, .
1, 1 1, 0 .
Calculamos el punto de inflexión de f x x x
f x x x
f x x f x x x
f x f en x f x tiene su punto de inflexión
Punto de tangencia f La pendiente de la recta tangente a f x en ese punto s
= − +
′ = −
′′ = − ′′ = ⇒ − = ⇒ =
′′′ = ⇒ ′′′ ≠ ⇒ =
⇒
( )
(
)
1 6
0 6 1 6 6
erá m f m
La ecuación de la recta pedida es y x y x
′
= ⇒ = −
− =− − ⇒ = − +
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se divide una cuerda de longitud 1 en dos partes, no necesariamente iguales, para construir un cuadrado y una circunferencia. Probar que de todas las posibilidades, la que encierra un área total mínima surge cuando el radio del círculo es la mitad que el lado del cuadrado.
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
2
2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
1
1 1
; 2 1
4 16 2 2 4
1 :
16 4
1 1 4
, ; 0 0
8 2 8 2 4
x
x x x x
A A en el círculo se cumple r x r A A
x x
El área total será una función en x A x A A A x
x x x x
buscamos el mínimo de esta función A x A x x
π
π
π
π
π
π
π
π
π
−
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⇒ = = − ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟ ⇒ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−
= + ⇒ = +
− −
′ = − ′ = ⇒ − = ⇒ =
+
( )
(
)
1 1 4 1 1
, 0
8 2 4 8 2
4
4 4
4 1
1 4
2
1 4
1
2 4
2
comprobamos que es un mínimo A x A
x
entonces el área total es mínima cuando x y el lado del cuadrado es l
x
por otra parte el radio del círculo es r r y se cumple q
l
r
u
r e
π
π
π
π
π
π
π
π
π
⎛ ⎞
′′ = + ⇒ ′′⎜ ⎟= + > +
⎝ ⎠
= = ⇒
+
−
− +
= ⇒ = ⇒
= +
= =
+ 2
l
x
1-xEjercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Prueba que la función
( )
3
1
3 cos
x
f x
x
+
=
−
alcanza el valor 2 en un único punto de su dominio.( )
[
]
( )
( )
( )
3 1
0 , 3 cos 0
3 cos
1 3 1
0 2 2 ,
2 4
1 3 1
2 4
x
f x es una función continua en el intervalo por ser cociente de funciones continuas y x x
como f y f aplicando la propiedad de Darboux tenemos que f x toma todos los valores comprendidos entre y
π π
π π
+
= − ≠
−
+
= < = >
+
(
)
( )
(
)
(
)
1 2 1 2
0 , 2 0 , .
3 1
, 2 2 cos 3 5 0 .
3 cos
2 cos 3 5 0 , ;
al menos una vez en el intervalo f x en
x
Veamos que ocurre en un único punto entonces la ecuación x x sólo tiene una solución x
Supongamos que x x tiene dos soluciones x y x x x definimos la
π ⇒ = π
+
= ⇒ + − =
−
+ − = <
( )
( )
[
]
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2
2 cos 3 5
, , , 0
, 0
3
2 3 0 2 3 0
2
función g x x x
g x es continua en x x derivable en x x y g x g x ya que en ambos puntos g x estamos en las condiciones del teorema de Rolle c x x tal que g c
pero g x senx y g x senx senx con lo que lleg
= + −
= = ⇒
′
⇒ ∃ ∈ =
′ = − + ′ = ⇒ − + = ⇒ ≠ .
3 1
2 .
3 cos
amos a una contradicción
x
Por todo lo anterior la ecuación sólo tiene una solución y queda demostrado x
+ =
−
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea
f x
( )
una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que:f
( )
0
=
1 ,
f
( )
1
=
2 ,
f
′
( )
0
=
3 ,
f
′
( )
1
=
4
.Se pide:
- Calcular
g
′
( )
0
, siendog x
( )
=
f x
(
+
f
( )
0
)
. (1 punto)- Calcular
(
( )
)
(
)
2
0
2
1
1
x x
f x
f x
lim
e
→−
+
−
. (2 puntos)( )
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
0 40 1 , 1 2 , 0 3 , 1 4
0 1 1 0 0 1 1
f f f f
g x f x f g x f x g x f x g f f g
′ ′
= = = =
′ ′ ′ ′ ′
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Sea la función
( )
2(
)
4
17
f x
=
x sen x
− +
. Demuestra que la función derivadaf
′
( )
x
posee al menos una raíz real en el intervalo(
0 , 4
)
.( )
(
)
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 0
4 17 0 , 4 0 , 4
0 4 17
0 , 4 0
f x x sen x es una función continua en el intervalo y derivable en por ser producto
y suma de funciones continuas y derivables y además f f con lo que estamos en las condiciones
del teorema de Rolle x tal que f x
= − +
= =
′ ′
⇒ ∃ ∈ = ⇒ f
( )
x posee al menos una raíz real en( )
0 , 4 .Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcula los límites siguientes:
( ) ( ) ( )
(
)
2 2
2 2
2 2
2
2
0
0
2
0
1
1
l lim .0, ˆ limcos 2 cos limcos 1 2 lim 1 2 1
cos 0 2 cos 2 cos 2 2
im cos
1
. li
l m
2
im
x x x x
x
x
tg x
x
x sen x sen x
sen x sen x x sen x x
indet L Hopital
x x sen x x sen x s
sen x sen x
x
x
en x
indet
π π π π
π
→ → → → →
→ →
⋅ − −
− ⎛ ′ ⎞ − ⋅ −
= =⎜ ⎟= = = = =
− ⋅ − ⋅ − −
⎝ ⎠
= ∞ ⇒
⋅ −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2 0 2 0 2 0 2 0
3
2 2
0 0 0
2 2
1 ln
1 1 1 1
ˆ
ln ln lim lim ln lim ln lim . , .
1 2
2 1
2
lim lim lim
1 1
tg x tg x tg x
x x x x
x x x
x
A A tg x indet L Hop
x x x x cotg x
x
sen x
x x ind
x
sen x sen x
→ → → →
→ → →
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎛ ⎞ ∞
⎛ ⎞ = ⇒ = ⎜ ⎛ ⎞ ⎟= ⎛ ⎞ = ⋅ ⎛ ⎞= ⎝ ⎠=⎛ ′ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∞ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− ⎛ ⎞
⋅⎜⎝ ⎟⎠ −
= − = − = =
(
)
( )(
)(
)
(
)
(
(
) (
)
)
(
)
0 0
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
2 2
2
0
0 4 cos
ˆ
. , . lim 0
0 1
2
. lim lim lim
2
2 l
l
im lim
1
lim 1
im
x
x
x x
tg x
x
x
x x
sen x x
et L Hop A e
x x x x x x x x x x x x x
indet
x x x x x x x x x x x x
x x
x x x
x
x x
x x x
x x x
→
→∞ →∞ →∞
→ →∞
∞ →∞
→
⎛
⋅
⎛ ′ ⎞= = ⇒ = ⇒
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ − − + + − + − −
= ∞ − ∞ = = = =
+ + − + + − + + −
= =
+
⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
−
+ − −
+ 2
2 2 2
2 2
lim
1 1 1 0 1 0
1
1
1 x
x x x
x x
x x x
→∞
= = =
+ + −
+ + −
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Sea
( )
3 2f x
=
ax
+
bx
+
cx
+
d
una función que cumplef
( )
1
=
0 ,
f
′
( )
0
=
2 ,
y tiene dos extremosrelativos para
x
=
1
yx
=
2
.- Determinar
a b c y d
, ,
.- ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2 2
3
2
1
0
0
6
4
4
2
0
2
12
4
2
3
2
2
6
2
1
0
3
2
0
12
4
2
2
0
12
1
3
3
2
2
2
4
0
5
6
f x
ax
bx
cx
d
f
x
ax
bx c
f
a b c
d
a
b
a b
d
f
a
b
a
b
a
f
a
c
b
c
d
a
b c
a
b
f
a
b c
Veamos si los extremos relat
′
=
+
+
+
⇒
=
+
+
⎧
⎪
= ⇒ + + + =
⎧
⎧
− −
=
⎪
⎪
′
= ⇒
⎧
+ + = −
⎨
+
= −
⎪
⎪
⇒
⎪
+
= −
⇒
⎩
⇒
⎪
⎨
′
⎨
=
⎨
= ⇒
+
+ =
⎪
⎪
⎩
+
= −
⎪
⎪
′
= ⇒
+
+ =
⎪
⎩
⎪
⎪
=
= −
=
= −
⎩
=
( )
( )
( )
( )
1
2
6
2
2
3 ;
1
1 0
1
/
2
1
0
2
.
ivos que están en x
y x
son máximos o mínimos
f
x
ax
b
f
x
x
f
en
x
máximo
f
e
n
x
mín
im
o
=
=
′′
′′
=
=
=
+
⇒
=
−
′′
= − < ⇒
′′
= > ⇒
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea la función definida del modo siguiente:
( )
22
4
3
0
0
x
x
si x
f x
x
ax
b si x
⎧ +
+
≤
⎪
= ⎨
− +
+
>
⎪⎩
.- Halla los valores de
a y b
para que la función cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo[
−
3, 2
]
.- Con los valores obtenidos, halla los puntos de la curva
y
=
f x
( )
en los que la tangente es paralela a la cuerda que une los puntosA
= −
(
3,
f
( )
−
3
)
y
B
=
(
2,
f
( )
2
)
.( )
[
]
(
)
( )
( )
( )
( )
2( )
0
3, 2 3, 2 .
, 0. .
0 lim ; 0 0 4 0 3 0 3
x
Para que f x cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange debe ser continua en y derivable en
f x es continua en todo salvo quizás en x Vamos a imponer que sea continua en ese punto
f f x f f
→
− −
=
= = + ⋅ + ⇒ =
\
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
2 2
0 0 0 0 0
0 0
, 0. .
0 0
0 0 0 4 0 3 3 4 4
0 lim lim lim lim lim 4 4
0 0 0
0 lim lim
h h h h h
h h
f x es derivable en todo salvo quizás en x Vamos a imponer que sea derivable en ese punto
f f
f h f h h h h h h
f h
h h h h
f h f h
f
h
− − − − −
+ +
− +
−
→ → → → →
+
→ →
=
′ = ′
+ − + + + + − + +
′ = = = = = + =
+ − − +
′ = =
\
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2 2
0 0 0
0 0
0 3 3
lim lim lim
2 3
3, 2 /
2 3
3, 3
4
h h h
a h h ah h h a
h a a
h h h
entonces
f f
Como f x cumple las hipótesis del teorema de Lagrange x f x
en esos puntos la recta tangente es paralela a la recta que une los puntos f
a
+ + +
→ → →
+ + + − − + − +
= = = − + =
− − ′
⇒ ∃ ∈ − =
−
=
− − −
(
( )
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
0 0
0
0
0
0
1
2 , 2
4 3 0
4 3 0
3 10 1
2 4 0
2 4 0
7
2 4
2 3 7 0 7 5
7
2 3
10
3 5 5
2 4
5
y f
x x si x
f x
x x si x
x si x
f x
x si x
x
f f
x
x
x
x
f x f
=
⎧ + + ≤
⎪ = ⎨
− + + > ⎪⎩
+ ≤
⎧ ′ = ⎨
− + > ⎩
⎧ + = ⇒ ⎪
− − − ⎪
′ = − − ⇒ ′ = = ⇒ ⎨
⎪− + ⇒ =
−
