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DINÁMICA DE ROTACIÓN

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Academic year: 2020

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APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra

UNIDAD 11

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL

Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración. El análisis se simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido.

Un cuerpo rígido, es un caso especial de un sistema de muchas partículas, donde la distancia entre las partículas se considera que permanece constante, lo que permite señalar que son absolutamente indeformables aunque se apliquen fuerzas al mismo. El movimiento general de un cuerpo rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, donde ocurre que:

• En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas.

• En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional al radio de la circunferencia que describe, y su dirección es tangente a dicha circunferencia.

Variables rotacionales

La figura, que a continuación se muestra, representa un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo, perpendicular a un plano se denomina plano de rotación. En la figura, el plano de rotación coincide con el plano (x,y), además el cuerpo rota de derecha a izquierda.

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Para describir la rotación de la partícula en el punto P, se asocia un sistema de coordenadas al eje de rotación, de forma de poder especificar el punto mediante su vector de posición R, constante.

Además de especificar la posición de la partícula mediante el vector de posición, es posible hacerlo dando los valores del par (x,y) ya que:

𝑹 = 𝑅

𝑥

+ 𝑅

𝑦

Ahora esto es utilizando las coordenadas cartesianas, pero en realidad R no varía con el tiempo, mientras que el ángulo 𝜃 que barre si lo hace, lo que permite expresar las coordenadas del vector como:

𝑅𝑥 = 𝑹 cos 𝜃 𝑦 𝑅𝑦 = 𝑹 sin 𝜃

En las rotaciones se escoge ésta última posibilidad, ya que si se desea describir la variación temporal del punto P, sólo hay que analizar como varia 𝜃 con el tiempo, es decir, que la forma de la función es:

𝜃 = 𝜃 𝑡

En otras palabras, El ángulo 𝜃 que se forma con el eje x describe la posición rotacional del cuerpo; por lo que se define como la variable rotacional o coordenada de rotación. Esta coordenada angular 𝜃 gira sobre un eje fijo y puede ser positiva o negativa. Como ejemplo tomemos el caso planteado en la figura, que como se ha señalado, el cuerpo gira de derecha a izquierda, si hacemos que los ángulos positivos se midan en sentido antihorario, es decir, en el sentido contrario al de las agujas del reloj, entonces 𝜃 en la figura es positivo. En cambio, si elegimos la dirección horaria como la rotación positiva, será negativo.

Ahora, prestemos atención a la siguiente figura, cualquier familia de circunferencias con un origen común tiene la propiedad de que la razón entre la longitud de los arcos definidos por dos radios cualesquiera y la longitud del radio correspondiente es constante:

𝑹

𝑆

=

𝑹

𝑆

=

𝑹

′′

𝑆

′′

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Esa constante es el ángulo 𝜃, es decir la variable

rotacional, por tanto y como se ha señalado:

𝜃 =

𝑹

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Momento de una fuerza o momento estático

Cuando se aplican fuerzas a un cuerpo que tiene un eje fijo de rotación, se encuentran los siguientes resultados experimentales:

1. La aceleración angular 𝛼 depende del punto de aplicación de la fuerza. Será mayor mientras más lejos se encuentre la fuerza F del eje de rotación.

2. Dado un punto de aplicación, 𝛼 depende de la dirección de aplicación de F. En la figura, las fuerzas F, F’ y F’’, aunque iguales en módulo y aplicadas en el mismo punto, ejercen efectos diferentes sobre el cuerpo. En particular, la fuerza F’’, cuya prolongación pasa por el eje de rotación, no produce aceleración alguna.

3. La aceleración angular 𝛼

depende de la distribución de masa alrededor del eje de rotación. Aunque el punto de aplicación está a la misma distancia del eje de rotación y el ángulo de la fuerza también es el mismo, al invertir el

cuerpo se cambia la distribución de masa respecto al eje de rotación, y también varía el efecto de F y la correspondiente aceleración angular.

En tal sentido, se introduce concepto de torque

𝜏

o momento de una fuerza F con el fin de describir correctamente el efecto de las fuerzas sobre los cuerpos que tienen la posibilidad de rotar. El torque que actúa sobre una partícula en un punto P, cuya posición, en torno al origen O del marco de referencia, está dado por el vector posición r, se define como el producto vectorial entre F y r, es decir:

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Según la definición de producto vectorial, el vector

𝜏

es perpendicular al plano de rotación, tal como se observa en la figura, sigue la regla de la mano derecha y su modulo viene dado por:

𝜏 = 𝐹𝑟 sin 𝜃

Las unidades que coincide con las unidades de la energía, pero no es una energía, y se expresa usualmente como Nm.

Propiedades del Torque

1. Si r y F son colineales, 𝜃 = 0° ó 180°, el torque de F es cero.

2. La suma de torques es una suma vectorial, en particular, si hay n torques actuando sobre el cuerpo en el plano de rotación, el torque resultante vendrá dado por la suma vectorial de los n torques:

𝝉

𝒊

𝑛

𝑖=1

= 𝝉

𝟏

+ 𝝉

𝟐

+ ⋯ + 𝝉

𝒏

3. La componente de F paralela a r no contribuye al torque, en la figura, el eje de rotación se encuentra perpendicular al plano de rotación, lo que permite ver que la componente paralela al vector de posición, F||, no contribuye al valor del torque. Nótese también de la figura que

𝑏 = 𝑟 sin 𝜃, donde el brazo b es la perpendicular que va desde el eje de rotación hasta la prolongación de la fuerza. De aquí que el torque también puede ser interpretado como el producto del brazo por la fuerza:

𝜏 = 𝐹𝑏

Energía cinemática de rotación y momento de inercia

Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética que podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una nueva cantidad llamada momento de inercia, que depende de la masa del cuerpo y de la forma en que se distribuye tal masa.

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del cuerpo se analizará solamente una de estas rebanadas o discos, de allí se desprende que las propiedades derivadas para un disco serán fácilmente extensibles a todo el cuerpo, con tal que las distancias consideradas sean siempre las distancias desde cada punto hasta el eje de rotación. Como se ha señalado, la energía cinética del sistema de n partículas, está dada por la expresión:

𝐸

𝐶

=

1

2

𝑚

𝑖

𝑣

𝑖

2 𝑛

𝑖=1

Sustituyendo en esta ecuación la expresión donde se relaciona la velocidad lineal con la velocidad angular 𝑣 = 𝑟𝜔, se obtiene:

𝐸

𝐶

=

1

2

𝑚

𝑖

𝑟

𝑖

2 𝑛

𝑖=1

𝜔

2

De donde se obtiene que la expresión de la energía cinética de rotación 𝐸𝐶𝑅 sea:

𝐸

𝐶𝑅

=

1

2

𝜔

2

𝑚

𝑖

𝑟

𝑖2 𝑛

𝑖=1

El otro concepto que se encuentra presente en la ecuación anterior, es el de momento de inercia ó inercia de rotación del cuerpo 𝐼 , del cuan señalaremos que es una medida numérica de la inercia rotacional; es decir, de la propiedad que tienen los cuerpos para resistirse a cambiar su estado de reposo o movimiento circular uniforme mientras sobre ellos no actúen torques externos, se define por la expresión:

𝐼 = 𝑚

𝑖

𝑟

𝑖2

𝑛

𝑖=1

Donde la suma es para todas las partículas que componen el cuerpo. Como se dijo anteriormente, 𝑟𝑖 es la distancia de cada partícula al eje de rotación. Por tanto, expresando la energía cinética en función del momento de inercia se obtiene:

𝐸

𝐶𝑅

=

1

2

𝜔

(6)

Esta expresión es análoga a la energía cinética de traslación 𝐸𝐶 =1

2𝑚𝑣

2, donde 𝜔 hace el

papel de v y el momento de inercia 𝐼 hace el papel de la masa 𝑚. Por lo que se puede señalar que el momento de inercia de un cuerpo depende del eje en torno al cual está girando, así como de la manera en que está distribuida su masa, y desempeña el papel de “masa” en las ecuaciones rotacionales, en la figura se muestra a continuación se presentan el valor de 𝐼 de diversos cuerpos.

La energía de rotación tiene las mismas unidades que cualquier otra energía. Para el momento de inercia la unidad es 𝐾𝑔. 𝑚2.

Teorema de los ejes paralelos

Como se ha señalado, un cuerpo no tiene un solo momento de inercia. De hecho, tiene un número infinito, porque el número de ejes sobre los que podría girar es infinito. No obstante, hay una relación simple entre el momento de inercia 𝐼𝐶𝑀 de un cuerpo de masa M alrededor de un eje que

pasa por el centro de masa y el momento de inercia 𝐼𝑃

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Sea 𝐼𝐶𝑀 el valor del momento de inercia respecto a un eje que pasa por el CM de un cuerpo

y sea 𝐼𝑃 el valor respecto a un eje de rotación paralelo al anterior que se encuentra a una

distancia d del mismo. Entonces se cumple que:

𝐼

𝑃

= 𝐼

𝐶𝑀

+ 𝑀𝑑

2

Dinámica rotacional de un cuerpo rígido

Al referirnos a la dinámica de rotación, lo que se pretende es deducir en términos del movimiento rotacional la segunda Ley de Newton, para lograrlo analicemos el trabajo que realizan las partículas que rotan, cuando actúan sobre ellas torques externos, para ello observemos la figura:

Trabajo infinitesimal realizado por F, viene dado por:

𝑑𝑊 = 𝜏𝑑𝜃

Al derivar con respecto al tiempo se obtiene la expresión de la potencia.

𝑃 = 𝜏𝜔

Si actúan varias fuerzas:

𝑑𝑊 = 𝜏

𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜

𝑑𝜃 = 𝜏

𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜

𝜔𝑑𝑡

Recordando el teorema de trabajo y energía cinética, que señala 𝑑𝑊 = 𝑑𝐸𝐶, en términos rotacionales al derivar la energía cinética rotacional con respecto al tiempo y recordando que 𝑑𝜔

𝑑𝑡 = 𝛼, se obtiene:

𝑑𝐸

𝐶𝑅

= 𝑑

1

2

𝜔

2

𝐼 = 𝐼𝜔𝑑𝜔 = 𝐼𝛼𝜔𝑑𝑡

Por tanto, como:

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Sustituyendo:

𝜏

𝑒𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜

𝜔𝑑𝑡 = 𝐼𝛼𝜔𝑑𝑡

De donde se desprende que la ecuación de la rotación análoga a la segunda ley de Newton, tanto para torques internos como externos, es:

𝜏 = 𝐼𝛼

El movimiento combinado de translación y rotacional de un cuerpo rígido

Para analizar la energía cinética de un cuerpo rígido con movimiento tanto traslacional como rotacional, veamos la siguiente figura, en ella el punto O es un eje instantáneo de rotación, que cambia continuamente mientras la rueda va rotando, notese que la fuerza de fricción f se opone al movimiento relativo de las superficies, e impide que la rueda deslice, por lo tanto f no realiza trabajo.

En este caso, la energía cinética del cuerpo es la suma de la energía asociada al movimiento del centro de masa y la energía asociada a la rotación

alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, es decir:

𝐸

𝐶

=

1

2

𝑚𝑣

𝐶𝑀

2

+

1

2

𝐼𝜔

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