7 No podemos concluir que la media poblacional sea 113,2 con un nivel de confianza del 97, ya que este valor no

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JUNIO 2015

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G

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J

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o

o

2

2

.

.

0

0

1

1

5

5

O

OppcciióónnAA

1

1..--

a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 3X + XA + B = I4, suponiendo que todas las

matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad) b) Dada la ecuación matricial: X ·

- =

, despeja y calcula la matriz X.

2

2..-- En un coro, la suma de sopranos, mezzosopranos y contraltos es igual a 15. Un día que tuvieron que cantar faltaron 2 mezzosopranos y 1 contralto debido a la gripe, de tal forma que ese día el número de sopranos era igual a la media aritmética de mezzosopranos y contraltos. Y además ese día el número de mezzosopranos y el número de contraltos coincidían.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número total de sopranos, mezzosopranos y contraltos que tiene el coro asiduamente.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

 x = nº sopranos  y = nº mezzosopranos  z = nº contraltos

Por tanto, hay 4 sopranos, 6 mezzosopranos y 5 contraltos.

3

3..-- Se considera la función

-

- -

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x=1. b) Para t=0, representa gráficamente la función.

Para que sea continua en x=1:

-

Para t=0:

3

2

1

-1

-2

-3

-4

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4

4..-- La evolución del precio de un determinado producto, en miles de euros, durante 6 meses, viene dada por la función f(t) = t3 - 9t2 + 15t + 50, 0 t 6, siendo t el tiempo medido en meses.

c) ¿Cuál fue el valor que alcanzó dicho producto el segundo mes (t=2)? d) ¿Cuándo alcanzó su precio máximo ese producto? ¿Y a cuánto ascendió? e) ¿Cuando alcanzó su precio mínimo? ¿Y cuál es dicho valor?

En el segundo mes alcanzó:

f(2) = 23 9·22 + 15·2 + 50  52 €

Ahora optimizamos la función:

 ’ t) = 3t2 18 t + 15

 ’ t) = 0  3t2 18 t + 15 = 0 

 ’’ 6 18 

- 

Por lo que alcanzó un precio máximo de 7 € y uno mínimo de .

5

5..-- De un estudio sobre accidentes de tráfico se dedujeron los siguientes datos: en el 15% de los casos no se llevaba puesto el cinturón de seguridad, en el 60% no se respetaron los límites de velocidad permitidos y en el 5% de los casos no se cumplían ambas normas, es decir, no llevaban puesto el cinturón y no respetaban los límites de velocidad.

a) Calcula la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya cumplido alguna de las dos normas. b) Razone si son independientes los o “ r a o va o p o r ” “ r

accidente no r p a o o í v o a ”.

 Suceso A = “ r a o va o p o r ”  P(A) = 0.15

 Suceso B = “ r a o r p a o o í v o a ”  P(B) = 0.6

 P (AB)= 0.05

La probabilidad de que no se haya cumplido alguna norma: P(AB)

. .6 . 7

Dos sucesos son independientes si se cumple:

. . .6

Es decir, no son independientes.

6

6..-- Se sabe que el número de pulsaciones después de realizar una serie de ejercicios sigue una distribución normal de desviación típica  = 5. Los siguientes datos representan las pulsaciones de 20 personas elegidas al azar después de realizar dichos ejercicios: 123, 125, 122, 134, 128, 129, 124, 130, 125, 126, 122, 127, 116, 128, 121, 125, 129, 123, 126 y 128.

a) Determina el intervalo de confianza para la media poblacional del número de pulsaciones después de la realización de los ejercicios con un nivel de confianza del 97%.

b) ¿Será razonable pensar que este ejemplo proviene de una población normal con media  = 113.4 con un nivel de confianza del 97%? ¿Y con un nivel de significación igual a 0.08? Razona tus respuestas.

Nos piden un IC para la media de una población normal con desviación típica conocida:

Para calcular el valor de Z/2, hay que tener en cuenta que a un nivel de confianza del 0.97, le corresponde un

nivel de significación  = 0.03. Como el valor correspondiente a P(Z <0.015) no aparece en la tabla: P(Z<0.015) = 1 P(Z<0.985)

Es decir, el valor buscado es 2.17. También nos hace falta la media:

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Por tanto, el IC pedido es:

.6 .

7

No podemos concluir que la media poblacional sea 113,2 con un nivel de confianza del 97%, ya que este valor no

pertenece al intervalo que hemos calculado a un nivel de significación del 3%.

Si el nivel de significación es  = 0.08, el valor de Z/2 será Z0.04, que como en el caso anterior no aparece en la

tabla, por lo que: P(Z<0.04) = 1 P(Z<0.96). Es decir, el valor buscado es menor a 2.

Al ser el valor de Z/2 menor, el IC también será menor, por lo que el valor de la media tampoco estará incluido en

el intervalo, es decir, tampoco podemos concluir que la media poblacional sea de 113.2.

O

OppcciióónnBB

1

1..-- Una empresa tiene 1100 latas de perdiz en escabeche y 1000 latas de lomo de orza. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichas latas: lotes de tipo A formados por una lata de perdiz en escabeche y dos de lomo de orza, que venderá a 70 euros; lotes de tipo B formados por dos latas de perdiz en escabeche y una de lomo de orza que venderá a 60 euros.

a) Expresa la función objetivo.

b) Describe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.

c) Halla el número de lotes de cada tipo que debe preparar para obtener la mayor cantidad de dinero.

 x: nº de lotes del tipo A  y: nº de lotes del tipo B

La función objetivo viene dada por:

B(x, y) = 70x +60y

Restricciones

Es decir hay 300 lotes del tipo A y 400 lotes del tipo B.

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2..-- En una pequeña empresa de procesado de alimentos para su conservación, se tratan tres tipos de productos alimenticios: A, B y C. Estos alimentos pasan por tres procesos para su conservación: lavado, escaldado y congelación. En la tabla siguiente se muestra el tiempo que necesita un lote de cada tipo para su procesado:

A B C

Lavado 5 minutos 3 minutos 2 minutos

Escaldado 10 segundos 20 segundos 30 segundos

Congelación 2 horas 3 horas 1 hora

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos lotes de cada producto alimenticio se pueden procesar con una disponibilidad de 825 minutos para lavado, 4000 segundos para el escaldado y 475 horas para congelado.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

 x = nº lotes tipo A  y = nº lotes tipo B  z = nº lotes C

1100 1000

500

100

100 500 1000 1100

B (0, 550)

D (0, 0)

A (300, 400)

(4)

Lo resolvemos por Cramer:

6

7

Es decir, se procesarán 100 lotes del tipo A, 75 lotes del tipo B y 5 lotes del tipo C.

3

3..-- Se considera la función

6 -

-

- 6

a) Estudia su continuidad en x = - 1.

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (1,4).

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (1, +)

Para que sea continua

- - - -

6

Es decir, la f(x) no es continua en x = -1, sino que presenta una discontinuidad inevitable de salto finito

Calculamos los extremos relativos (máximos y mínimos). Como nos dicen en el intervalo (1,4), la función en ese

intervalo tiene la forma: f(x) = x2- 6x + 9

 ’ 6

 ’  2x 6 = 0  x = 3

Es decir existe un mínimo en (3, 0).

Los intervalos en (1, +), serán:

Decrece: (1, 3)

Crece (3, +)

4

4..-- Determina una función polinómica de segundo grado sabiendo que tiene un mínimo relativo en el punto (3, 2) y que la recta tangente a dicha función en el punto de abscisa x = 4 es paralela a la recta y = 2x + 7.

Una función polinómica de segundo grado tiene la forma: f(x) = ax2 + bx + c

Para que exista un mínimo relativo p o , , q p r q ’ :

 ’ x) = 2ax + b

 ’  6a + b = 0

Además, si pasa por el punto (3,2), significa que:

 f(3) = 2  9a + 3b + c = 2

Por último, nos dicen que la recta tangente en x=4 tiene la misma pendiente que la recta y = 2x + 7, es decir:

 ’  8a + b = 2

Resolvemos el sistema formado por las tres ecuaciones:

6a

a a

6a

a a

Por tanto, la función pedida es: f(x)= x2 – 6x + 11

| 3

(5)

JUNIO 2015 5

5..-- Una persona que corre habitualmente tiene una probabilidad 0.01 de lesionarse. Suponiendo que el hecho de que una persona se lesione es independiente de que otra se lesione o no.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se lesionen dos personas que corren habitualmente?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se lesionen al menos una de cuatro personas que corren habitualmente? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se lesione exactamente una persona de dos que corren habitualmente?

 Suceso A = “ o a a ª p r o a”  P(A) = 0.01

 Suceso B = “ o a a ª p r o a”  P(B) = 0.01

 S o C “ o a a ª p r o a”  P(C) = 0.01

 S o D “ o a a ª p r o a”  P(D) = 0.01

 Los sucesos A y B son independientes, es decir, cumplen la regla del producto: P(AՍB) = P(A)·P(B)

La probabilidad de que dos personas se lesionen: P(AՍB)

P (AՍB) = P(A)·P(B) = 0.01·0.01  P (AՍB) = 0.0001

La probabilidad de que se lesionen al menos una de las cuatro personas: 1 - P(no se lesione ninguno)

P(AՈBՈCՈD) = 1 - P Ո ՈCՈD = 1 [0.99·0.99·0.99·0.99] = 1 0.994 P (AՈBՈCՈD) = 0.0394

La probabilidad de que se lesione una persona de dos: P(AՈ ) + P( ՈB)

P (AՈ ) + P( ՈB) = P(A)·P( ) + P( )·P(B)= 0.01·0.99 + 0.99·0.01  P (AՍ ) + P( ՈB)= 0.0198

6

6..-- Un fabricante de lámparas LEDs sabe que la vida útil de una lámpara LED sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 1000 horas. Tomando una muestra aleatoria de lámparas producidas por dicho fabricante, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional (49804, 50196) con un nivel de confianza del 95%.

a) Calcula el tamaño de la muestra utilizada y calcula el valor que se obtuvo para la media muestral. b) ¿Cuál será el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 50 y un nivel de

confianza del 92.98%?

Si la variable X: “horas útiles de una lámpara LED”, sigue una distribución normal: X ~ N(, 1000), el intervalo de

confianza para la media, toma la forma: .

Nos dicen que el IC es (49804, 50196) con un nivel de confianza del 95%, es decir, con un nivel de significación 

= 0.05. Para buscar el valor de Z0.025 en la tabla:

P(Z < 0.025) = 1 P(Z < 0.975)  Z0.025 = 1.96

La de la muestra es el centro del IC, es decir, el valor medio de los extremos del intervalo:

6

Por tanto:

C , 6 . 6

. 6

6 . 6

El error máximo admisible es:

Nos dicen para un nivel de confianza del 92.98%, es decir, con un nivel de significación  = 0.0702. Para buscar el

valor de Z0.0351 en la tabla:

P(Z < 0.0351) = 1 P(Z < 0.9649)  Z0.0351 = 1.81

Por tanto, para un tamaño n = 50:

.

Figure

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Referencias

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