MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

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Dpto. Matemáticas. IES BACHILLER SABUCO

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 1 ~

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS

SOCIALES I

EJERCICIOS DE REPASO PENDIENTES

3

a

Evaluación (Unidades 8, 10,11 y 12)

Unidad 8.- DERIVADAS

Cálculo de derivadas a partir de la definición

La derivada de una función f(x) en el puntoxadel dominio es

 

  

  

0

' lim

h

f a h f a

f a

h .

La función derivada de f(x) o derivada de f(x) es

 

  

  

0

' lim

h

f x h f x

f x

x para cualquier x del

dominio de f.

1. Calcula la derivada de las siguientes funciones en el punto que se indica. Fíjate en el ejemplo.

 

1

f x  x en x1

 

 

   

   

0 0

1 1 1 1

' 1 lim lim 1

h h

h h

f

h h

a) f x

 

 2x3 en x  3 d) f x

 

x21 en x 2

b) f x

 

 x 5 en x5 e) f x

 

 3x25x1 en x2

c)

 

1 2

3 3

f xxx en x3 f) f x

 

x 2 x

 en x1

(2)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 2 ~

2. Calcula la derivada de cada función.

a) f x( )3x2 b)   4 3 2 1

( ) 5 10 6

2

f x x x x x c) f x( )(x4)(2x22)

d)  

 1 ( ) 1 x f x

x e)

   3 2 4 9 ( ) 3 5 x x f x

x f)f x( ) 16x1

g) f x( ) 3 x25 h) f x( )sen( 5 x210) i) f x( )sen(6x2)

3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones.

a) f x( )e4x9ln(4x9) b)

         1 2 2 1 ( ) 1 x x f x

x c)

3

( ) cos

f x x

d)f x( )sen (2x23x1) e) f x( ) (1 arccos )(1 arccos )xx f)

 

 1 tg ( ) ln

1 tg x f x

x

g)   

 

4 3 2

2

8 5

( )

sen( 3)

x x x

f x

x x h)

   1 sen ( ) 1 sen x f x

x i)   

3 2

( ) cos( ln )

f x x x

Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos y absolutos.

4. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.

� = � − � + � = � − � + � − � = � � −

5. La curva de ecuación = �+ + pasa por el punto P (-2, 1) y alcanza un extremo relativo en el punto de abcisa x= -3. Halla los números b y c.

6. Calcula el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones en los intervalos indicados.

� = � − � � [− , ] � = � − � − � [ , ] � = � � [ , ]

(3)

Resumen

Unidad 8 194

Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica

Derivadas de funciones elementales

Derivadas de operaciones

Extremos absolutos

Problemas de optimización

Tasa de variación media de

f en el intervalo [a, b]

Tasa de variación instantánea de f en a

TVI f a( )=lim

ba

f b( )f a( ) ba

o bien

TVI f a( )=lim h0

f a( +h)f a( ) h

  Si f ′(a) > 0 ⇒ f es creciente en el punto de abscisa a.

  Si f ′(b) < 0 ⇒ f es decre-ciente en el punto de absci-sa b.

Si se alcanza en el punto x = a (f derivable en él) es necesario aun-que no suficiente, aun-que f ′(a) = 0. Máximo relativo

De creciente a decreciente Mínimo relativo

De decreciente a creciente

Tasas de variación

Crecimiento y decrecimiento

Extremos relativos

Se representa como f ′(a) y es igual al límite: f a( )=lim

h0

f a

(

+h

)

f a( )

h

Coincide con la tasa de variación instantánea de f en a.

Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y=f(x) en el punto P a

(

,f a( )

)

α

f x( )=c f x( )=0

f x( )=xa

f x( )=axa1

f x( )=log

ax f x( )=

1

xlna

f x( )=ax

f x( )=ax

lna

f x( )=ex

f x( )=ex

f x( )=lnx f( )x =

1

x

f x( )=senx f( )x =cosxf x( )=cosx f( )x =senx

f x( )=tgx f ( )x =1+tg2x

= 1

cos2x

 Suma: F x( )=f x( )+g x( ) F x( )=f x( )+g x( ) Producto: F x( )=f x( )g x( ) F x( )=f x( )g x( )+f x( )g x( )

 Producto por k: F x( )=k f x( ) F x( )=kf x( ) Cociente: F x( )= f x( )

g x( ) F x( )=

f x( )g x( )f x( )g x( )

g x( )

(

)

2  Composición (regla de la cadena): F x( )=

(

fg

)

( )x F x( )=f g x

(

( )

)

g x( )

Una función continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos, que pueden situarse o bien en los extremos a y b del intervalo o en puntos interiores al mismo.

1.º Se nombran variables y se expresa la función que hay que maximizar o minimizar.

2.º Si la expresión tiene varias variables, se deben relacionar las mismas mediante las condiciones del enunciado y así, expresar la función que se quiere optimizar como una función con una sola variable.

3.º Se escribe el intervalo adecuado en el que toma valores la variable, según el contexto del problema. 4.º Se calcula el máximo o el mínimo de la función en ese intervalo.

5.º Se calculan el resto de variables y el valor de la función optimizada.

(4)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 3 ~

Unidad 10.- ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

Tablas de frecuencias y gráficos

8. El número de institutos de enseñanza secundaria en 20 ciudades es:

3 1 4 3 2 1 4 4 3 2

5 2 3 1 3 2 4 2 3 1

a) Construye una tabla de frecuencias.

b) Representa gráficamente los datos mediante un diagrama de barras.

9. La siguiente tabla recoge el número de personas que leen prensa en papel al menos una vez al mes, según el nivel de estudios, sobre una muestra de 150 personas.

Representa gráficamente los datos en un diagrama de sectores indicando los porcentajes de cada dato.

10. Los puntos obtenidos por un equipo de baloncesto en los 34 partidos de la fase regular de la liga son:

70 90 90 93 90 96 90 81 89 84 79 91 67 92 79 75 83 88 86 86 99 94 81 87 79 92 80 91 92 78 85 84 81 80

a) Agrupa los datos en intervalos de igual amplitud. b) Construye una tabla de frecuencias.

c) Representa gráficamente los datos mediante el histograma de frecuencias absolutas. d) Representa el polígono de frecuencias del histograma anterior.

11. El siguiente gráfico recoge el número de votos recibido por cada una de las ciudades candidatas a celebrar las olimpiadas de matemáticas.

a) Construye la tabla de frecuencias.

b) Representa gráficamente los datos mediante el histograma de frecuencias absolutas y su polígono de frecuencias.

NIVEL DE ESTUDIOS NÚMERO DE PERSONAS

ESO 18

Bachillerato 41

(5)

Dpto. Matemáticas. IES BACHILLER SABUCO

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 4 ~

12. Una variable estadística X tiene la siguiente distribución de frecuencias.

Clase

 

0,4

 

4,7

7,15

15,20

20,28

28,35

i

f 4 3 6 3 3 1

Construye el histograma de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias.

Medidas de dispersión y localización

Para realizar un estudio completo de una variable estadística hay que analizar las medidas de localización (media, moda, mediana y cuantiles), que proporcionan una idea de dónde se sitúan las observaciones y de cuál es el centro de la muestra, y las medidas de dispersión (recorrido, rango intercuartílico, desviación absoluta media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación para variables positivas), que proporcionan información sobre cuánto se alejan los datos respecto a los valores centrales. Fíjate en el estudio de la siguiente variable cuantitativa discreta cuya tabla de frecuencias es:

Se construye la tabla con todos los valores necesarios para aplicar las fórmulas de las medidas de localización y de dispersión. Asimismo, para calcular los cuantiles, es necesario que los datos estén ordenados de mayor a menor. En este ejemplo vamos a calcular los cuartiles.

Medidas de localización:

280 15,6 18

x  , Mo 15, M 15, Q113, Q2 M, Q3 17

Medidas de dispersión:

17 13 4

RIC   , 32,4 1,8 18 X

D   , 2 4434

2

15,6 2,97 18

s    s 2,971,72, 1,72 0,11

15,6 CV 

13. Las pulsaciones en reposo (X) de 30 personas que practican running habitualmente se

presentan agrupadas en la siguiente tabla:

X

40,50

50,60

60,70

70,80

fi 4 9 12 5

a) Calcula la media, la mediana y el intervalo modal. b) Halla los deciles 3 y 8.

c) Calcula la desviación media y la desviación típica. Compáralas.

14. En la siguiente tabla se han agrupado el número de respuestas acertadas de un examen tipo test (X) de 34 preguntas realizado por 40 personas.

a) Determina la media, el intervalo modal y los cuartiles. b) Halla los percentiles 35 y 80.

xi fi Fi f xi i

2

i i

f x f xi ix

13 5 5 65 845 13

15 6 11 90 1350 3,6

17 4 15 68 1156 5,6

19 3 18 57 1083 10,2

18 280 4434 32,4

X

0,4

4,7

7,15

15,20

20,28

28,35

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Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 5 ~

c) Calcula el rango intercuartílico, la desviación absoluta media, la desviación típica y el coeficiente de variación. ¿Se puede decir que el conjunto de datos es homogéneo?

15. Los goles anotados por dos jugadores de balonmano en 10 partidos son:

Jugador A 15 12 11 9 10 9 11 7 8 10

Jugador B 12 9 9 10 15 16 8 10 11 10

a) Halla la media, la moda y la mediana de los goles anotados por cada jugador.

b) Calcula la desviación absoluta media, el rango intercuartílico y la desviación típica para cada jugador.

(7)

Resumen

Resumen

Unidad 10

246

Variable estadística unidimensional

Una variable estadística unidimensional X representa una característica de una población en la que a cada elemento de la muestra selec-cionada se le asocia un valor.

Tipos de variables

Cualitativas

No son medibles numéricamente.

Cuantitativas:

Las que son medibles.

ðDiscretas: Si toman un número finito o infinito nu-merable de valores.

ðContinuas:

7RPDQDOPHQRVHQWHRU¯DFXDOTXLHUYD-lor en un intervalo.

Distribución de frecuencias

Modalidades o valores

de X (xi)

Absoluta fi

Relativa hi

Absoluta

acumulada Fi

Relativa

acumulada Hi

x1 f1 h1 F1 H1

x

2 f2 h2 F2 H2

... ... ... ... ...

xk fk hk Fk = n Hk = 1

Total n 1

Medidas de dispersión

Informan de la dispersión de los datos, sobre todo respecto a la media y de la homogeneidad o heterogeneidad de los mismos.

Rango

xmáx − xmín

Rango intercuartílico

RIC = Q3 − Q1

Desviación absoluta a la media

Dx= 1

ni=1fi xix

k

= hi xix

i=1

k

Coeficiente de variación

CV= s x

Varianza y desviación típica

s2=1 n fixi

2x2

i=1

k

s= 1 n fixi

2x2

i=1

k

Gráficos representativos

0

1 3

1 2 3 4 5 6 7

Diagrama de barras y polígono de frecuencias

Diagrama de sectores Histograma y polígono

de frecuencias

Diagrama de caja y de bigotes

Medidas de localización

Media aritmética

Es el promedio de los valores de la variable.

x=1 n fixi

i=1 k

= hixi

i=1 k

Moda (Mo)

Valor de la variable que aparece más ve-ces en la muestra.

Si los datos están agrupados se conside-ra la clase modal.

Mediana (M)

Es el valor de la variable que ocupa el lugar central una vez ordenados los datos de menor a mayor.

Si los datos están agrupados se calcula por interpolación lineal.

El cuantil (x

p) de orden p, 0<p <100 verifica: 1. El p % de los datos es menor o igual que xp.

2. El (1 − p) % de los datos es mayor o igual que xp.

Los cuartiles son tres valores que dividen al conjunto de datos en

cuatro partes iguales. El segundo cuartil es la mediana.

Los deciles son nueve valores que dividen al conjunto de datos en

10 partes iguales.

(8)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 6 ~

Unidad 11.- ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

Tablas de doble entrada y tablas simples

Los valores de la variable bidimensional

X Y,

se pueden representar en una tabla simple o en

una tabla de doble entrada (o tabla de contingencia). Fíjate en el siguiente ejemplo, que

representa 11 parejas de valores de una variable bidimensional

X Y,

.

 

3,2

 

1,5

 

4,5

 

2,4

 

3,5

 

3,1

 

1,3

 

3,2

 

4,3

 

2,3

 

4,6

Tabla simple Tabla de doble entrada

X 1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4

Y 3 5 3 4 1 2 2 5 3 5 6

16. Siguiendo el ejemplo anterior, construye la tabla simple y la tabla de doble entrada para los valores de la siguiente variable bidimensional

X Y,

:

 

1,5

 

1,5

 

2,6

 

2,7

 

2,8

 

3,5

 

3,7

 

3,8

 

2,6

 

4,5

 

4,6

 

2,7

 

2,8

 

1,5

 

2,6

 

4,6

 

4,5

 

3,8

 

3,5

 

3,5

 

3,8

 

3,6

17. Representa en una tabla de contingencia los datos de la siguiente tabla simple.

x 10 8 12 8 4 6 10 6 4 6 2 y 1 7 3 3 1 9 5 7 1 9 9

18. Construye la tabla de doble entrada a partir del siguiente diagrama de dispersión.

19. Se ha preguntado a 10 personas sobre el número de viajes realizados al extranjero en el último año (X) y el grupo de edad al que pertenecen (Y).

Organiza los datos de la variable bidimensional

X Y,

en una tabla de contingencia.

1 2 3 4 5 6

1 0 0 1 0 1 0

2 1 0 1 1 0 0

3 1 2 0 0 0 0

4 0 0 1 0 1 1

X Y

Lara 3

20,30

Julián 0

50,60

Carmina 2

20,30

Fernando 2

30,40

Leticia 3

30,40

X Y

José 3

40,50

Nieves 0

50,60

Eugenio 3

30,40

Regina 4

20,30

(9)

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Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 7 ~

20. Averigua los valores a y b sabiendo que todos los pares de valores de la variable

bidimensional

X Y,

tienen frecuencia 2.

 

a,7

3,b

 

3,8

 

4,7

 

4,6

 

4,6

 

3,6

 

3,8

Distribución conjunta. Distribuciones marginales y condicionadas.

21. La distribución de la variable bidimensional

X Y,

viene dada en la siguiente tabla.

X 3 3 4 5 4 5 4 5 3 Y 11 7 5 6 13 17 16 6 7

a) Ordena los datos en una tabla de contingencia. b) Halla las distribuciones marginales.

22. La siguiente tabla simple da la distribución conjunta del número de nacimientos (X) y

el número de defunciones (Y) en una ciudad entre 2004 y 2012.

X 968 982 1029 1014 1114 945 933 877 843 Y 621 618 572 677 617 616 658 640 691

a) Calcula el número medio de nacimientos y de defunciones de la ciudad.

b) Calcula la desviación típica del número de nacimientos y de defunciones de la ciudad.

23. La distribución de 300 personas según la edad de 18 a 65 años (X) y deporte que

practican habitualmente (Y) se recogen en la siguiente tabla.

Atletismo Ciclismo Padel Fútbol Tenis

18,25

10 12 21 25 11

25,37

13 17 22 19 8

37,50

18 11 20 11 6

50,58

21 8 15 9 4

58,65

7 3 6 2 1

a) Escribe las distribuciones marginales.

b) Halla las frecuencias relativas de X condicionadas por cada valor de Y.

(10)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 8 ~ 24. Dada la distribución conjunta

X Y,

:

2 4 6 8

3 2 6 4 8

5 3 9 6 12

7 1 3 2 4

a) Escribe las distribuciones marginales.

b) Halla las frecuencias relativas de Y condicionadas por cada valor de X.

c) Halla la media y la varianza de Y|X = 5. d) ¿Son independientes estas variables?

Covarianza, regresión lineal y correlación.

25. En una determinada región vinícola se han evaluado las pérdidas en cientos de miles de euros (Y) en la producción en función del número de días de lluvia (X) de la campaña.

X 87 80 77 75 63 71 76 74 Y 19,5 18,5 14,6 15,5 12,7 14 18,1 15

a) Representa la nube de puntos.

b) A la vista de la representación gráfica, ¿se puede afirmar que existe una relación lineal? c) Calcula el coeficiente de correlación. ¿Se confirma la impresión anterior?

d) Escribe la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.

e) ¿A cuánto ascenderán las pérdidas en un año en el que ha habido 83 días de lluvia?

26. En un estudio de rendimiento de automóviles, se analiza la relación entre la potencia del motor en CV (X) y los kilómetros recorridos por litro de combustible (Y). Se recogieron datos de 10 vehículos:

X 170 90 110 75 109 129 215 180 160 220 Y 17,0 20,1 21,5 30,4 21,5 17,8 14,9 16,6 16,5 13,3

a) Representa gráficamente los datos y explica razonadamente si existe relación entre las variables y, en caso afirmativo, de qué tipo es.

b) Cuantifica la relación entre la potencia del motor y los km recorridos y explica, justificadamente, el resultado obtenido.

(11)

Dpto. Matemáticas. IES BACHILLER SABUCO

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 9 ~

27. En los siguientes casos, se representa la nube de puntos de una variable bidimensional.

En cada caso indica si existe relación lineal entre las variables y, en caso afirmativo, ¿cuál es el signo de la covarianza y del coeficiente de regresión?

28. A la vista de las siguientes nubes de puntos de dos distribuciones conjuntas bidimensionales, asigna el coeficiente de correlación que mejor se aproxime a cada una de las distribuciones siguientes.

(12)

Unidad 11

270

Variables estadísticas bidimensionales

Covarianza

Distribución conjunta y distribuciones marginales

Nubes de puntos. Tendencias

Una variable estadística bidimensional (X, Y) representa dos características de una población en la que a cada elemento de la muestra

seleccionada se le asocian dos valores, uno por cada variable. La distribución conjunta viene dada por n parejas de observaciones (x1, y1),

(x2, y2), …, (xn, yn).

sxy=1

ni=1xiyix y

n

Proporciona información acerca de la varia-ción conjunta de ambas variables.

Covarianza positiva:la relación es directa y significa que ambas variables crecen o decre-cen simultáneamente.

Covarianza negativa:la relación es inversa, cuando una crece (decrece) la otra decrece (crece).

Covarianza próxima a cero, no hay relación entre las variables.

Regresión lineal y correlación

Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X: y=y+Sxy

Sx2(xx)

Error cuadrático medio de la regresión de

Y sobre X o varianza residual

ECMY|X=sy2 1 sxy 2

sx2

sy2

Es una medida del error cometido al estimar el valor de la variable respuesta mediante el modelo de regresión lineal.

Coeficiente de determinación

Mide el porcentaje de la variabilidad de la respuesta explicada por el modelo de regresión.

R2

=

sxy2

sy2sx2

0R2 1

Coeficiente de correlación

Mide la fiabilidad del ajuste lineal a la distribución conjunta (nube de puntos).

r= R2 =

sxy

sxsy 1r1

ðCuanto más próximo esté r a 1 o −1 mejor será el ajuste lineal.

ðCuanto más próximo esté r a 0, menor será el grado de correlación entre las variables.

1

1

Funcional lineal: r = 1

1

1

Lineal directa: r = 0,89

1

1

Sin relación: r = 0

1

1

Lineal inversa: r = −0,93

Tabla simple

X x1 x2xn

Y y1 y2 yn

Tabla de contingencias

X Y y1 y2 yh Marg X

x1 f11 f12 f1h f1.

x2 f21 f22 f2h f2 .

xk fk1 fk2 fkh fk .

Marg Y f. 1 f. 2 f. h n

Antes de llevar a cabo cualquier análisis, es preciso estudiar la relación causa - efecto entre la variable regresora y la respuesta y repre-sentar siempre la nube de puntos para valorar si, por las características del problema, debe ajustarse una recta que pase por el origen.

(13)

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Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 10 ~

Unidad 12.- COMBINATORIA Y PROBABILIDAD

Combinatoria.

Para calcular probabilidades, es necesario contar el número de casos favorables y el número de casos posibles que se obtendrían al realizar el experimento. La Combinatoria nos proporciona

las siguientes técnicas de recuento para un conjunto formado por n elementos. Estos son

los casos que podemos encontrar:

- En total hay n elementos y se toman grupos de k elementos:

1) Cuando se cambia el orden de los k elementos se forma un nuevo grupo 

VARIACIONES

- Los grupos están formados por elementos diferentes entre sí VARIACIONES SIN

REPETICIÓN

,

!

( )!

n k n V

n k

- En cada grupo se repiten uno o más elementos  VARIACIONES CON REPETICIÓN

, k n k

VRn

2) Cuando se cambia el orden de los k elementos el grupo no varía  COMBINACIONES

,

!

!·( )!

n k

n n

C

k k n k

   

 

- Se toman los n elementos:

1) Los n elementos son diferentes entre sí  PERMUTACIONES

! n Pn

2) Entre los n elementos hay uno que se repite n1 veces, otro que se repite n2 veces, un

tercero que se repite n3 veces…  PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

1 2 3, , ,...,

1 2 3

1 2 3

!

, donde ....

!· !· !.... !

k

n n n n

n k

k n

PR n n n n n

n n n n

    

29. Calcula el valor de:

a) C10,2 c) V5,3 e) P15 g) VR3,2 i) PR124,3,2,2,1 k) 7,3

4! C

m) P11P10

(14)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 11 ~ 30. En una comunidad de vecinos han de escoger un grupo de 3 vecinos para los cargos de presidente, vicepresidente y tesorero. En total hay 45 vecinos. Responde en cada caso:

a) ¿Cuántos posibles grupos de tres vecinos se pueden formar?

b) Si en cada grupo han de escoger quién ocupa cada cargo, ¿cuántas posibilidades hay?

31. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en cada puesto del aula los 31 alumnos del aula de 1º Bachillerato?

32. ¿Cuántas moléculas se pueden formar con la unión de 6 bioelementos básicos, si cada molécula está formada por el enlace entre dos elementos?

33. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar cinco dados y observar el resultado de sus caras superiores se obtengan tres unos y dos cuatros?

34. En un juego de mesa se pide a los participantes que formen palabras con 4 vocales y 6 consonantes. Calcula:

a) ¿Cuántas palabras distintas de 6 letras, con o sin significado, y sin que se repitan letras, pueden formarse?

b) Si una de las vocales escogidas es la “a”, ¿cuál es la probabilidad de que alguna palabra empiece por “a”?

c) ¿En cuántas palabras de las que se pueden formar hay tres vocales en los tres últimos lugares?

35. En el bombo de la lotería de Navidad se introducen 100 000 números ordenados. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un número del bombo tenga una o más cifras repetidas?

36. Calcula cuántas hay y escribe las palabras con significado que se pueden formar con

las letras de la palabra “mora”, sin repetir ninguna letra.

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Dpto. Matemáticas. IES BACHILLER SABUCO

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 12 ~

Probabilidad.

38. Se extraen dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Que las dos sean figuras. b) Que alguna sea un as. c) Que las dos sean de copas.

d) Que las dos sean de oros, pero no figuras.

39. ¿Cuál es la probabilidad de que, obteniendo un número al azar de tres cifras, sea mayor de 700?

40. De los nueve ingenieros que trabajan en un proyecto, dos son ingenieros industriales, un hombre y una mujer, tres son ingenieros civiles, de ellos, dos son hombres, y de los ingenieros agrónomos, tres son mujeres. Elabora la tabla de contingencia y calcula la probabilidad de que escogido uno de los ingenieros al azar:

a) Sea una ingeniera.

b) Sea hombre e ingeniero agrónomo.

41. Se realiza un sorteo extrayendo sin reemplazamiento 3 bolas de una urna en la que se han introducido 5 bolas blancas y 4 bolas negras, explica qué suceso es más probable en cada caso.

a) Obtener más bolas negras que blancas o sacar al menos dos bolas negras.

b) Que se extraiga una bola negra y dos blancas, o que se extraigan tres bolas del mismo color.

c) Que al menos se extraigan dos bolas blancas o que al menos se extraiga una bola negra.

42. Se recogen datos sobre el uso de energías renovables en distintos países de Europa y los resultados muestran que un 65 % de los países utilizan mayoritariamente energía solar, un 2 % utiliza sobre todo energía geotérmica y un 33 % utiliza energía eólica. De los que utilizan energía solar, el 50 % de la población quiere ampliar su uso, un 62 % de la población de los países que utilizan energía geotérmica quiere que se extienda el uso de esta energía y solo el 24 % de los habitantes de los países que utilizan energía eólica desea que se amplíe su uso. Responde:

a) Elegido un país al azar, ¿cuál es la probabilidad de que desee que se extienda el uso de la energía renovable que utiliza?

b) Si sabemos que en uno de los países no se desea extender el uso de la energía

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