Introducci´on a los n´umeros complejos

(1)

Yoel E. Guti´errez T.

1 Introducci´

on

Consideremos la ecuaci´on

x2₊_x_{+ 1 = 0}

Esta ecuación no tiene ra´ıces reales. Al tratar de aplicar la fórmula que da la solución de una ecuación cuadrática, nos encontramos con la expresión

x= −1± √

−3 2

la cual no tiene sentido en los n´umeros reales. No se puede tener la ra´ız cuadrada de un n´umero negativo. Sin embargo, usando las propiedades de los radicales se obtiene

√

−3 =√3.√−1

luego la solución de la ecuación cuadrática es un número de la forma

−1 2 ±

√ 3 2

√ −1

La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo las que no tienen soluciones reales, motivaron a crear un sistema numérico más amplio, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro de este contexto, se acepta el s´ımbolo √−1 como una entidad matemática nueva. Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números.

Comenzaremos por introducir un nuevo número o s´ımbolo, denotado por i, el cual será llamado la unidad imaginaria y cumple con la condición

i2 ₌₋₁ _{o bien i}₌√₋₁

Una vez hecho esto, construimos un conjunto C llamado N´umeros complejos, cuyos elementos son de la forma

z =x+yi

(2)

donde x e y son n´umeros reales.

Esta es la forma usual de representar los n´umeros complejos y se suele llamar forma b´ın´omica.

Los n´umeros reales x e y en z = x+yi son llamados la parte real e imaginaria de z respectivamente, y se denotan como

Rez =x, Imz=y (1.1)

A los n´umeros complejos con la parte imaginaria nula se les denomina reales puros, y aquellos cuya parte real es nula reciben el nombre de imaginarios puros.

Dos n´umeros complejos z1 = x1+y1i y z2 = x2+y2i son iguales si y s´olo si x1 = x2 y

y1 = y2. En otras palabras, dos n´umeros complejos son iguales cuando sus componentes

respectivas, real e imaginaria, son iguales.

2 Suma y multiplicaci´

on de n´

umeros complejos

Tomando en cuenta la condición que cumple la unidad imaginaria y usando las reglas ordinarias del algebra moderna podemos sumar y multiplicar números complejos escritos en forma binómica. Si z1 =x1+y1i y z2 =x2+y2i, entonces

z1+z2 =x1+y1i+x2+y2i=x1+x2 + (y1+y2)i

y

z1z2 = (x1+y1i)(x2+y2i) = x1x2+x1y2i+iy1x2+y1y2i2 =x1x2−y1y2 + (x1y2+y1x2)i

Estas operaciones de suma y multiplicaci´on satisfacen las siguientes propiedades

1. PROPIEDAD DE CIERRE. Si z y w son números complejos, entonces z+w y zw también son números complejos.

2. PROPIEDAD CONMUTATIVA. Si z y w son n´umeros complejos, entonces

z+w=w+z y zw =wz

3. PROPIEDAD ASOCIATIVA. Si z, wy uson n´umeros complejos, entonces

z+ (w+u) = (z+w) +u y z(wu) = (zw)u

4. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. Si z,w y u son n´umeros complejos, entonces

(3)

5. EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existen dos elementos distintos de C, que se indican por 0 = 0 + 0i y 1 = 1 + 0i tales que para cadaz ∈C se tiene que

0 +z =z+ 0 =z y 1·z =z·1 =z

6. EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO. Para cada número complejo z = x+yi existe un único −z =−x−yi, que también es un número complejo, tal que

(−z) +z =z+ (−z) = 0

7. EXISTENCIA DEL INVERSO MULTIPLICATIVO. Para cada z ∈C, diferente de 0, existe un ´unico z−1 _∈_{C, diferente de 0, tal que}

z−1_z ₌_zz−1 _{= 1}

M´as adelante veremos como se calcula z−1

Observaciones

1. La suma y el producto son operaciones que dotan al conjunto C de estructura de cuerpo, el denominado cuerpo complejo.

2. Por la asociatividad, una sumaz1+z2+z3 o un productoz1z2z3 est´an bien definidos

sin par´entesis, igual como ocurre con los n´umeros reales.

3. La diferencia de dos n´umeros complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2), se puede

deter-minar mediante la siguiente f´ormula

z1−z2 =z1+ (−z2) = (x1−x2) + (y1−y2)i.

4. La existencia de inversos multiplicativos nos capacita para demostrar que si un pro-ducto z1z2 es cero, al menos uno de los factoresz1 o z2 es cero.

5. Con el convenio z0 _{= 1 (si}_z _{6= 0),}_z1 ₌_z, _z2 ₌_zz, _z3 ₌_zz2_{,..., hallamos que las}

potencias sucesivas de la unidad imaginaria son:

i0 = 1,

i1 ₌_i,

(4)

i3 ₌_i2_i₌_−i,

i4 =i3i=−i2 = 1.

Si el exponente de i es de la forma 4c, con c∈Z∪ {0}, entonces

i4c_{= (i}4₎c_{= 1}c_{= 1.}

En general, si el exponente de i es un entero positivo n, mayor o igual que 4, al efectuar la divisi´on por 4 se tiene n= 4c+r, donde 0≤r <4.

6. De acuerdo con la conmutatividad del producto,iy=yi; luego esta permitido escribir

x+yi o x+iy

3 Interpretaci´

on geom´

etrica

Cada n´umero complejo z =x+iyse asocia con el ´unico punto (x, y) del plano cartesiano. Esto nos conduce a definir lo que llamaremos el plano complejo.

El n´umero complejo z tiene dos interpretaciones en el plano complejo:

1. Como un vector de origen el punto (0,0) y de extremo el punto (x, y)

2. Como un punto de este plano.

En el plano complejo, el eje Re se llama eje real, y el eje Im se llamaeje imaginario. Geom´etricamente, la suma y la diferencia de n´umeros complejos, es la suma y diferencia de vectores en R2_.

Definición 3.1 El módulo, o valor absoluto, de un número complejo z = x+iy se define como el número real no negativo px2₊_y2 _{y se denota} _{|z|; esto es;}

|z|=px2₊_y2

Geométricamente, el número |z| es la longitud del vector que representa a z. Se reduce al valor absoluto usual de los números reales cuando y = 0. Nótese que mientras la desigualdad z1 < z2 carece de sentido a menos que z1 y z2 sean ambos reales, |z1| < |z2|

significa que el punto z1 est´a m´as cerca del origen que z2.

La distancia entre dos puntos z1 =x1+iy1 y z2 =x2+iy2 es

|z1−z2|=

p

(x1−x2)2+ (y1−y2)2.

Los n´umeros complejos z correspondientes a los punto de la circunferencia con centro en z0 y radio R, satisfacen la ecuaci´on|z−z0|=R, y rec´ıprocamente. Nos referiremos a ese

(5)

Definición 3.2 El complejo conjugado, o simplemente el conjugado, de un número complejo z =x+iy se define como el número complejo x−iy, denotado por z; esto es;

z =x−iy

Geom´etricamente, z es el sim´etrico de z, en el plano complejo, respecto al eje real.

Propiedades b´asicas del m´odulo y el conjugado

1. |z|2 _{= (Rez)}2_{+ (Imz)}2_.

2. Rez ≤ |Rez| ≤ |z| y Imz ≤ |Imz| ≤ |z|.

3. z =z y |z|=|z|.

4. z1+z2 =z1+z2, z1−z2 =z1−z2 y z1z2 =z1z2.

5. zz =|z|2

6. |z1z2|=|z1||z2|.

7. |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|. (Desigualdad triangular)

Observaciones

1. Si w=x+yi es un n´umero complejo no nulo, entonces

w−1 ₌ 1

w = 1 w.

w w =

w |w|2

2. Si z y w son dos n´umeros complejos, yw 6= 0, podemos hacer la divisi´on de z entre w de la forma siguiente

z

w =z.w

−1 ₌_z. w

|w|2 =

z.w |w|2

3. Para cada n´umeros complejos z y w, se cumple que

(a) |z w|=

|z|

|w|,w6= 0

(b) z

w = wz,w6= 0

(c) Rez = z+z

2

(d) Imz= z−z

(6)

4 Forma polar

Sean ry θ las coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un n´umero complejo z =x+iy. Como

x=rcosθ e y =rsenθ, (4.1)

z puede ser expresado en forma polar como

z =r(cosθ+isenθ). (4.2)

En an´alisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el c´alculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

El número positivo r es la longitud del vector correspondiente a z; es decir, r = |z|. el númeroθse llama unargumentodez, y escribimosθ = argz. As´ı pues, geométricamente argz denota el ángulo medido en radianes, que forma z con el eje real positivo, cuando z se interpreta como un vector. Toma cualquier valor de entre infinitos posibles, que difieren dos a dos en múltiplos de 2π. Estos valores se pueden determinar mediante la ecuación

tanθ = y

x (4.3)

donde el cuadrante que contiene al punto correspondiente a z debe ser especificado. En general, entonces

z =r[cos(θ+ 2nπ) +isen(θ+ 2nπ)] (n = 0,±1,±2, . . .), (4.4)

donde r es el m´odulo de z y θ es cualquier valor particular de argz.

Siz = 0,θ es indefinido. De modo que cualquier número complejo que vaya a ser escrito en polares se sobreentiende que es distinto de cero, aunque tal requisito no se haga expl´ıcito. El valor principal de argz, denotadoArgz, se define como el único valor de argz tal que −π < argz ≤π. Nótese que

argz ={Argz+ 2nπ :n∈Z}

Observaciones

1. La forma polar del producto de dos n´umeros complejos no nulos

z1 =r1(cosθ1+isenθ1), z2 =r2(cosθ2+isenθ2). (4.5)

es

(7)

Este hecho puede utilizase para comprobar la afirmaci´on

arg(z1z2) = argz1+ argz2. (4.7)

La afirmación anterior no es válida cuando se sustituye argz porArgz. Nótese que

argz1+ argz2 ={θ =θ1 +θ2 :θ1 ∈argz1 y θ2 ∈argz2}.

2. Basándonos en la observación anterior podemos dar una interpretación geométrica para la multiplicación y la división de dos números complejos:

(a) Cuando se multiplican dos complejos, el resultado es un número complejo cuyo módulo es igual al producto de los módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.

(b) Cuando se dividen dos números complejos, el resultado es un número complejo cuyo módulo es igual al cociente de los módulos y cuyo argumento es igual a la diferencia de sus argumentos.

3. La ecuación (4.6) enseña que la forma polar del único inverso multiplicativo de un número complejo no nulo

z =r(cosθ+isenθ)

es

z−1 ₌ 1

r[cos(−θ) +isen(−θ)], (4.8) siendo el producto de estas formas polares igual a la unidad. Como z1

z2 = z1z −1 2 ,

tenemos la siguiente expresi´on para el cociente de dos n´umeros complejos no nulos (4.5):

z1

z2

= r1 r2

[cos(θ1−θ2) +isen(θ1−θ2)]. (4.9)

Este hecho tambi´en puede utilizase para comprobar la afirmaci´on

arg(z1 z2

) = argz1−argz2. (4.10)

5 Funciones de una variable compleja

Una función f de dominio de definición S ⊂ C es una regla que asigna a cada z ∈ S un número complejow. El número wse llama el valor def enz y se denota por f(z); esto es,

w=f(z).

(8)

w = 1

z, se puede citar como la funci´on w = 1z, o simplemente como la funci´on 1z, donde

Rez > 0.

Hay que hacer constar que para definir una función es necesario dar tanto una regla de asignación como un dominio de definición. si no se menciona el dominio de definición, sobreentendemos que se toma el mayor conjunto posible. As´ı pues, si hablamos solo de la función 1

z. el dominio de definici´on ha de entenderse impl´ıcitamente como el conjunto de

todos los puntos del plano, excepto el origen.

Supongamos que w = u+iv es el valor de la función f en z = x+iy. Entonces cada número real u y v depende de las variables reales xey, luegof(z) puede ser expresado en términos de un par de funciones con valores reales de las variables reales xe y:

f(z) = u(x, y) +iv(x, y). (5.1)

Sines cero o un entero positivo, y sia0, a1, . . . , anson constantes complejas, dondean6= 0,

si n ≥1, la funci´on

p(z) =a0+a1z+a2z2 +. . .+anzn

es unpolinomiode gradon. Nótese que el dominio de definición es todo el plano complejo. Los cocientes de polinomios P_Q(₍z_z)₎, se llaman funciones racionales, y están definidas en todo punto z excepto en los que hacenQ(z) = 0. Los polinomios y las funciones racionales constituyen casos elementales pero muy importantes, de funciones de una variable compleja.

Una generalización del concepto de función es una regla que asigna más de un valor a un punto zde su dominio de definición. Tales funciones se llamanfunciones multivaluadas. Estas funciones aparecen en la teor´ıa de funciones de una variable compleja, igual que en el caso de variables reales. Cuando se estudian funciones multivaluadas, se suele tomar sólo uno de los valores asignados a cada punto, de modo sistemático, y se construye as´ı una función (univaluada) a partir de la función multivaluada.

6 Funci´

on exponencial

Observaciones

1. En el estudio de las series de números reales se demostró que la función exponencial tiene la representación en serie de Maclaurin

ex =

∞

X

n=0

xn

n! (|x|<∞). (6.1)

(9)

series de Maclaurin

senx=

∞

X

n=0

(−1)n x

2n+1

(2n+ 1)! (|x|<∞) (6.2)

y

cosx=

∞

X

n=0

(−1)n x2n

(2n)! (|x|<∞). (6.3)

2. Consideremos la serie de n´umeros complejos

∞

X

n=0

zn

n!, (6.4)

análoga a la serie (6.1) de números reales. Aplicando la prueba de la razón se tiene que

¯ ¯ ¯ ¯

zn+1

(n+1)!

zn n! ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ z

n+ 1

¯ ¯

¯= |z|

n+ 1 −→0

para toda n suficientemente grande, por tanto, la serie (6.4) converge para |z|<∞.

Definici´on 6.1 Se define la la funci´on exponencial como

ez = expz=

∞

X

n=0

zn

n! (|z|<∞).

Usando la definici´on precedente se tiene que para cada θ ∈R

eiθ =

∞ X n=0 (iθ)n n! = µ

1− θ

2

2! + θ4

4! −. . .

¶

+i

µ

z− θ

3 3! + θ5 5! ¶ .

Luego, por (6.2) y (6.3)

eiθ _{= cos}_θ₊_i_sin_θ. _(6.5)

La ecuaci´on (6.5), que define el s´ımbolo eiθ_{, o exp(iθ), para todo valor real de} _{θ, se conoce}

como f´ormula de Euler.

si escribimos un n´umero complejo no nulo en forma polar

z =r(cosθ+isinθ), (6.6)

la f´ormula de Euler permite expresar a z enforma exponencial:

z =reiθ. (6.7)

En vista de la representaci´on polar

(10)

la expresi´on (6.7) es s´olo una de las infinitas maneras posibles de la forma exponencial de z:

z =rei(θ+2nπ) _(n_{= 0,}_±1,_{±2, . . .).} _(6.8)

Resulta por tanto evidente la siguiente definici´on

Definici´on 6.2 Dos n´umeros complejo no nulos z1 =r1eiθ1 y z2 =r2eiθ2 son iguales si y

s´olo si r1 =r2 y θ1 =θ2+ 2kπ, donde k∈Z.

Nótese que si z =x+iy es la forma binómica de un número complejo, por la fórmula de Euler se tiene que

ez ₌_ex+iy ₌_ex_eiy₌_ex_(cos_y₊_i_sin_y).

As´ı que, habitualmente, La funci´on exponencial se define para todo z =x+iy como

ez =ex(cosy+isiny). (6.9)

Propiedades de la funci´

on exponencial

1. ez1+z2 ₌_ez1_ez2_.

2. Es peri´odica con per´ıodo imaginario puro de 2πi

ez+2πi =ez.

3. 1

ez =e−z.

4. (ez₎n ₌_enz _(n_{= 0,}_±1,_{±2, . . .)}

5. ez1

ez₂ =ez1−z2.

6. |ez_|₌_eRez _>_{0. En particular,} _|eiy_|_{= 1 si} _y _∈_R_.

Observaciones

1. De las propiedades precedente es inmediato que si z1 =r1eiθ1 y z2 =r2eiθ2, entonces

z1z2 =r1r2ei(θ1+θ2), (6.10)

y

z1

z2

= r1 r2

(11)

2. La ecuaci´on

z =Reiθ (0≤θ≤2π) (6.12)

es una representación paramétrica de la circunferencia |z|=R, centrada en el origen con radio R. Al crecer el parámetro θ a partir de 0 sobre el intervalo 0≤ θ≤2π, el punto z arranca del eje real positivo y recorre la circunferencia una vez en el sentido positivo (contrario al de las agujas del reloj). Más en general, la circunferencia |z−z0|=R, cuyo centro esz0y cuyo radio esR, admite la representación paramétrica

z =z0+Reiθ (0≤θ≤2π). (6.13)

7 Potencias y ra´ıces

Como consecuencia de las propiedades de la funci´on exponencial, es inmediato que las potencias enteras de un n´umero complejo no nulo z =reiθ _{vienen dada por}

zn₌_rn_einθ _(n_∈_Z₎ _(7.1)

N´otese que si r= 1, la ecuaci´on (7.1) se convierte en

(eiθ)n=einθ (n ∈Z). (7.2)

Cuando se expresa en la forma

(cosθ+isinθ)n_{= cos}_nθ₊_i_sin_nθ _(n _∈_Z_), _(7.3)

se conoce como f´ormula de De Moivre.

Sea w=r0eiθ0 una constante compleja. Como una aplicaci´on de la f´ormula de De Movre,

determinemos la n ra´ıces de la ecuaci´on

zn ₌_r

0eiθ0 (7.4)

donde n tiene uno de los valores n= 2,3,4, . . ., hallando as´ı las ra´ıces n-´esimas de w. Puesto que z es no nulo, podemos escribir z =reiθ _{y buscar valores de} _r _y _θ _{tales que}

(reiθ₎n ₌_r

0eiθ0

o sea

rn_einθ ₌_r

0eiθ0

Ahora bien, de acuerdo con la definici´on de igualdad de dos n´umeros complejos dados en forma exponencial, se ve inmediatamente que

rn₌_r

(12)

Esto significa que

r= √n_r

0

y

θ = θ0+ 2kπ

n , k = 0±1±2±3, . . . Por consiguiente

z =reiθ = √n_r

0exp(i

θ0+ 2kπ

n ), k= 0±1±2±3, . . . donde √nr

0 denota la ra´ız n-´esima positiva der0. Del n´umero infinito de valores dek basta

considerar k = 0,1,2,3, . . . , n−1, ya que los otros valores nos conducen a los mismos valores de z. Por lo tanto, w tiene n ra´ıces n-´esimas

wn1 =z_k =reiθ = √nr₀exp(iθ0+ 2kπ

n ), k = 0,1,2,3, . . . , n−1 N´otese que

1. Todas las ra´ıces tienen el mimo m´odulo √nr

0, por lo tanto, pueden representarse sobre

una circunferencia de radio √nr

0 y centro el origen del plano complejo.

2. Los puntos de la circunferencia que representan los diversos valores de √nr

0, est´an

uniformemente distribuidos con una separaci´on angular de 2π n.

3. Uno de los puntos, z0, forma un ´angulo de θ_n0 con la parte positiva del eje real.

4. Si θ0 = Argw, el valor de w

1

n que se obtiene cuando k = 0 se llama ra´ız n-´esima principal de w y se escribe como

n √

w= √n_r

0ei

argz0

n

8 Teorema fundamental del ´

algebra

Dada la importancia del siguiente teorema, conocido como teorema fundamental del álgebra, lo enunciamos sin demostración. Para ello se requieren de conocimientos del análisis com-plejo que no discutiremos en este curso.

Teorema 8.1 Todo polinomio

P(z) =a0+a1z+a2z2+. . .+anzn (an 6= 0)

de grado n (n ≥1)tiene al menos un cero en C. Esto es, existe al menos un puntoz0 ∈C

tal que P(z0) = 0.

Si en el teorema anterior los coeficientes a0, a1, . . . , an son n´umeros reales y P(z0) = 0,