Dividir el problema en casos

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(1)

Dividir el problema en casos

Divide y venceras

(Continuaci´on)

John H. Castillo? Universidad de Nari˜no

GRUPO ALTENUA

(2)

Ejemplo (AIME 1984, Problema 14).

¿Cu´al es el mayor entero par que no se puede escribir como suma de dos compuestos impares?

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos?

¿Cu´al es la inc´ognita?

(3)

Ejemplo (AIME 1984, Problema 14).

¿Cu´al es el mayor entero par que no se puede escribir como suma de dos compuestos impares?

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos?

¿Cu´al es la inc´ognita?

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Ejemplo (AIME 1984, Problema 14).

¿Cu´al es el mayor entero par que no se puede escribir como suma de dos compuestos impares?

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos?

¿Cu´al es la inc´ognita?

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Ejemplo (AIME 1984, Problema 14).

¿Cu´al es el mayor entero par que no se puede escribir como suma de dos compuestos impares?

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos?

¿Cu´al es la inc´ognita?

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Ejemplo (AIME 1984, Problema 14).

¿Cu´al es el mayor entero par que no se puede escribir como suma de dos compuestos impares?

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos?

¿Cu´al es la inc´ognita?

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N´umero Partici´on N´umero Partici´on

2 NO 28 NO

4 NO 30 (21,9),(15,15)

6 NO 32 NO

8 NO 34 (25,9)

10 NO 36 (27,9),(21,15)

12 NO 38 NO

14 NO 40 (25,15)

16 NO 42 (33,9),(27,15),(21,21)

18 (9,9) 44 (35,9)

20 NO 46 (25,21)

22 NO 48 (39,9),(33,15),(27,21) 24 (15,9) 50 (35,15),(25,25)

26 NO 52 (27,25)

(8)

¿Qu´e residuo al ser divididos por 6 dejan los n´umeros que tienen una representaci´on en la tabla anterior?

¿Qu´e propiedades podr´ıamos destacar de 18?

¿Lo anterior le da alguna idea sobre los otros residuos?

(9)

¿Qu´e residuo al ser divididos por 6 dejan los n´umeros que tienen una representaci´on en la tabla anterior?

¿Qu´e propiedades podr´ıamos destacar de 18?

¿Lo anterior le da alguna idea sobre los otros residuos?

¿Tiene un plan para resolver el problema?

(10)

¿Qu´e residuo al ser divididos por 6 dejan los n´umeros que tienen una representaci´on en la tabla anterior?

¿Qu´e propiedades podr´ıamos destacar de 18?

¿Lo anterior le da alguna idea sobre los otros residuos?

¿Tiene un plan para resolver el problema?

(11)

¿Qu´e residuo al ser divididos por 6 dejan los n´umeros que tienen una representaci´on en la tabla anterior?

¿Qu´e propiedades podr´ıamos destacar de 18?

¿Lo anterior le da alguna idea sobre los otros residuos?

¿Tiene un plan para resolver el problema?

(12)

¿Qu´e residuo al ser divididos por 6 dejan los n´umeros que tienen una representaci´on en la tabla anterior?

¿Qu´e propiedades podr´ıamos destacar de 18?

¿Lo anterior le da alguna idea sobre los otros residuos?

¿Tiene un plan para resolver el problema?

(13)

Para continuar trabajando

Problema.

En la calle se encuentran dos amigos Andr´es y Daniel. Andr´es miente los lunes, martes y mi´ercoles y Daniel miente los jueves, viernes y s´abados. En los d´ıas que no mienten siempre dicen la verdad,

Andr´es y Daniel sostuvieron el siguiente di´alogo: Andr´es: ¡Hola Daniel! ayer ment´ı

.

Daniel: ¡Hola Andr´es! yo tambi´en ment´ı ayer

.

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Para continuar trabajando

Problema.

En la calle se encuentran dos amigos Andr´es y Daniel. Andr´es miente los lunes, martes y mi´ercoles y Daniel miente los jueves, viernes y s´abados. En los d´ıas que no mienten siempre dicen la verdad, Andr´es y Daniel sostuvieron el siguiente di´alogo:

Andr´es: ¡Hola Daniel! ayer ment´ı

.

Daniel: ¡Hola Andr´es! yo tambi´en ment´ı ayer

.

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Para continuar trabajando

Problema.

En la calle se encuentran dos amigos Andr´es y Daniel. Andr´es miente los lunes, martes y mi´ercoles y Daniel miente los jueves, viernes y s´abados. En los d´ıas que no mienten siempre dicen la verdad, Andr´es y Daniel sostuvieron el siguiente di´alogo:

Andr´es: ¡Hola Daniel! ayer ment´ı.

Daniel: ¡Hola Andr´es! yo tambi´en ment´ı ayer

.

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Para continuar trabajando

Problema.

En la calle se encuentran dos amigos Andr´es y Daniel. Andr´es miente los lunes, martes y mi´ercoles y Daniel miente los jueves, viernes y s´abados. En los d´ıas que no mienten siempre dicen la verdad, Andr´es y Daniel sostuvieron el siguiente di´alogo:

Andr´es: ¡Hola Daniel! ayer ment´ı.

Daniel: ¡Hola Andr´es! yo tambi´en ment´ı ayer.

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Para continuar trabajando

Problema.

En la calle se encuentran dos amigos Andr´es y Daniel. Andr´es miente los lunes, martes y mi´ercoles y Daniel miente los jueves, viernes y s´abados. En los d´ıas que no mienten siempre dicen la verdad, Andr´es y Daniel sostuvieron el siguiente di´alogo:

Andr´es: ¡Hola Daniel! ayer ment´ı.

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Ejemplo.

Sea f una funci´on con valores reales y definida sobre los racionales, tal que f(x+y) =f(x) +f(y) para todos los racionales x , y . Pruebe que f(x) =xf(1)para todo x racional.

Preguntas orientadoras. ¿Cu´ales son los datos?

¿Cu´ales son las inc´ognitas?

¿Qu´e forma tienen los n´umeros racionales?

¿Ha pensado en calcular primero f(m) para m∈Z+? ¿Ha pensado en calcular f(m) para m un entero negativo?

¿Ha pensado en calcular f

1

n

cuando n es un entero

positivo?

¿Los casos anteriores le permiten extender el resultado para f

m n

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Ejemplo.

Sea f una funci´on con valores reales y definida sobre los racionales, tal que f(x+y) =f(x) +f(y) para todos los racionales x , y . Pruebe que f(x) =xf(1)para todo x racional.

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos?

¿Cu´ales son las inc´ognitas?

¿Qu´e forma tienen los n´umeros racionales?

¿Ha pensado en calcular primero f(m) para m∈Z+?

¿Ha pensado en calcular f(m) para m un entero negativo?

¿Ha pensado en calcular f

1 n

cuando n es un entero

positivo?

¿Los casos anteriores le permiten extender el resultado para f

m n

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Ejemplo.

Sea f una funci´on con valores reales y definida sobre los racionales, tal que f(x+y) =f(x) +f(y) para todos los racionales x , y . Pruebe que f(x) =xf(1)para todo x racional.

Preguntas orientadoras. ¿Cu´ales son los datos?

¿Cu´ales son las inc´ognitas?

¿Qu´e forma tienen los n´umeros racionales?

¿Ha pensado en calcular primero f(m) para m∈Z+?

¿Ha pensado en calcular f(m) para m un entero negativo?

¿Ha pensado en calcular f

1 n

cuando n es un entero

positivo?

¿Los casos anteriores le permiten extender el resultado para f

m n

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Ejemplo.

Sea f una funci´on con valores reales y definida sobre los racionales, tal que f(x+y) =f(x) +f(y) para todos los racionales x , y . Pruebe que f(x) =xf(1)para todo x racional.

Preguntas orientadoras. ¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

¿Qu´e forma tienen los n´umeros racionales?

¿Ha pensado en calcular primero f(m) para m∈Z+?

¿Ha pensado en calcular f(m) para m un entero negativo?

¿Ha pensado en calcular f

1 n

cuando n es un entero

positivo?

¿Los casos anteriores le permiten extender el resultado para f

m n

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Ejemplo.

Sea f una funci´on con valores reales y definida sobre los racionales, tal que f(x+y) =f(x) +f(y) para todos los racionales x , y . Pruebe que f(x) =xf(1)para todo x racional.

Preguntas orientadoras. ¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

¿Qu´e forma tienen los n´umeros racionales?

¿Ha pensado en calcular primero f(m) para m∈Z+? ¿Ha pensado en calcular f(m) para m un entero negativo?

¿Ha pensado en calcular f

1 n

cuando n es un entero

positivo?

¿Los casos anteriores le permiten extender el resultado para f

m n

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Ejemplo.

Sea f una funci´on con valores reales y definida sobre los racionales, tal que f(x+y) =f(x) +f(y) para todos los racionales x , y . Pruebe que f(x) =xf(1)para todo x racional.

Preguntas orientadoras. ¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

¿Qu´e forma tienen los n´umeros racionales?

¿Ha pensado en calcular primero f(m) para m∈Z+?

¿Ha pensado en calcular f(m) para m un entero negativo?

¿Ha pensado en calcular f

1 n

cuando n es un entero

positivo?

¿Los casos anteriores le permiten extender el resultado para f

m n

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Ejemplo.

Sea f una funci´on con valores reales y definida sobre los racionales, tal que f(x+y) =f(x) +f(y) para todos los racionales x , y . Pruebe que f(x) =xf(1)para todo x racional.

Preguntas orientadoras. ¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

¿Qu´e forma tienen los n´umeros racionales?

¿Ha pensado en calcular primero f(m) para m∈Z+? ¿Ha pensado en calcular f(m) para m un entero negativo?

¿Ha pensado en calcular f

1 n

cuando n es un entero

positivo?

¿Los casos anteriores le permiten extender el resultado para f

m

n

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Ejemplo.

Sea f una funci´on con valores reales y definida sobre los racionales, tal que f(x+y) =f(x) +f(y) para todos los racionales x , y . Pruebe que f(x) =xf(1)para todo x racional.

Preguntas orientadoras. ¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

¿Qu´e forma tienen los n´umeros racionales?

¿Ha pensado en calcular primero f(m) para m∈Z+? ¿Ha pensado en calcular f(m) para m un entero negativo?

¿Ha pensado en calcular f

1 n

cuando n es un entero

positivo?

¿Los casos anteriores le permiten extender el resultado para f

m

n

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Ejemplo.

Sea f una funci´on con valores reales y definida sobre los racionales, tal que f(x+y) =f(x) +f(y) para todos los racionales x , y . Pruebe que f(x) =xf(1)para todo x racional.

Preguntas orientadoras. ¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

¿Qu´e forma tienen los n´umeros racionales?

¿Ha pensado en calcular primero f(m) para m∈Z+? ¿Ha pensado en calcular f(m) para m un entero negativo?

¿Ha pensado en calcular f

1 n

cuando n es un entero

positivo?

¿Los casos anteriores le permiten extender el resultado para f

m

n

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Problema.

Un hotel tiene infinitas puertas todas cerradas, un cliente grosero se levanta por la noche y las abre todas. Un segundo cliente cierra las pares. Un tercer cliente modifica las que son m´ultiplo de tres, si est´a abierta la cierra y si est´a cerrada la abre. El cuarto hace lo mismo de cuatro en cuatro y as´ı sucesivamente. ¿C´omo est´an las puertas por la ma˜nana?

Problema (OBM 2014, Segunda fase, n´ıvel 2 Problema 5).

(28)

Problema.

Un hotel tiene infinitas puertas todas cerradas, un cliente grosero se levanta por la noche y las abre todas. Un segundo cliente cierra las pares. Un tercer cliente modifica las que son m´ultiplo de tres, si est´a abierta la cierra y si est´a cerrada la abre. El cuarto hace lo mismo de cuatro en cuatro y as´ı sucesivamente. ¿C´omo est´an las puertas por la ma˜nana?

Problema (OBM 2014, Segunda fase, n´ıvel 2 Problema 5).

(29)

Ejemplo.

Pruebe que el ´angulo inscrito en un circunferencia es igual a la mitad del ´angulo central que subtiende el mismo arco.

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos?

¿Cu´ales son las inc´ognitas?

(30)

Ejemplo.

Pruebe que el ´angulo inscrito en un circunferencia es igual a la mitad del ´angulo central que subtiende el mismo arco.

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

(31)

Ejemplo.

Pruebe que el ´angulo inscrito en un circunferencia es igual a la mitad del ´angulo central que subtiende el mismo arco.

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

(32)

Ejemplo.

Pruebe que el ´angulo inscrito en un circunferencia es igual a la mitad del ´angulo central que subtiende el mismo arco.

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

(33)

Ejemplo.

Pruebe que el ´angulo inscrito en un circunferencia es igual a la mitad del ´angulo central que subtiende el mismo arco.

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

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Ejemplo.

Pruebe que el ´angulo inscrito en un circunferencia es igual a la mitad del ´angulo central que subtiende el mismo arco.

Preguntas orientadoras.

¿Cu´ales son los datos? ¿Cu´ales son las inc´ognitas?

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(36)

Figure

Cuadro: Representaci´on de n´umeros pares menores o iguales que 50.
Cuadro: Representaci´on de n´umeros pares menores o iguales que 50. p.7

Referencias

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